perbandingan rotasi faktor dalam analisis …digilib.unila.ac.id/22385/20/tesis tanpa bab...
TRANSCRIPT
PERBANDINGAN ROTASI FAKTOR DALAM
ANALISIS FAKTOR PENILAIAN SIKAP
(Tesis)
Oleh
DWI MARDIANI
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
ABSTRACT
THE COMPARISON OF ROTATION FACTOR IN FACTOR
ANALYSIS TO ANALYZE ATTITUDE ASSESMENT
by
Dwi Mardiani
Multivariate is a statistical methods that enable to analyze for more than two variables.
One of multivariate analysis methods which is frequently used to analyze the relationship
among variables in the field of education is factor analysis, It is used for reduction of
variables. The aim of is study is to estimate the loading factor about attitude assesment in
the field of education especially toward spiritual, honest, discipline, responsible, mutual
assistance, cooperation, tolerant, peace, courtesy, responseve and proactive attitude. In
this study,the comparison of the performance of principal component method and
likelihood maximum method are discussed. The result of data analysis from principal
component method and likelihood maximum method by R output and minitab both
before being rotated or after rotated through the selection of varimax orthogonal and
promax non-orthogonal rotation, it can be concluded that : Factor 1 as Spiritual Attitude
component and Factor 2 as social attitude component.
Keyword : Factor Analysis, Principal Component Method, Maximum
Likelihood Method, Orthogonal Varimax Rotation, Non-Orthogonal Promax
Rotation.
ABSTRAK
PERBANDINGAN ROTASI FAKTOR PADA ANALISIS
FAKTOR PENILAIAN SIKAP
Oleh
Dwi Mardiani
Multivariate merupakan metode analisis statistik yang memungkinkan untuk melakukan
penelitian terhadap lebih dari dua variabel yang saling berkorelasi secara bersamaan.
Salah satu analisis multivariate yang sering digunakan untuk menganalisis hubungan
antar variabel pada bidang pendidikan adalah Analsis Faktor, yaitu untuk menunjukkan
apakah terjadi reduksi variabel teramati (observable variable) menjadi variabel baru yang
jumlahnya lebih sedikit dari jumlah variabel sebelumnya. Tujuan dari penelitian ini
adalah untuk menduga loading faktor pada masalah penilaian sikap di bidang pendidikan
pada sikap Spiritual, perilaku Jujur, Disiplin, Tanggungjawab, Gotongroyong, Kerjasama,
Toleransi, Damai, Santun, Responsif dan Proaktif. Pada penelitian ini dibandingkan
performan dari Metode Komponen Utama dan Metode Maksimum Likelihood. Hasilnya
dengan memperhatikan hasil dari analisis data dari Metode Komponen Utama dan
Metode maksimum Likelihood pada keluaran R dan Minitab baik sebelum rotasi maupun
setelah rotasi melalui pemilihan rotasi orthogonal Varimax dan Rotasi Non-Orthogonal
Promax disimpulkan terbentuk dua faktor yaitu Faktor 1 sebagai Komponen Sikap
Spiritual dan Faktor 2 sebagai Komponen Sikap Sosial.
Kata kunci : Analisis Faktor, Metode Komponen Utama, Metode Maksimum
Likelihood, Rotasi Orthogonal Varimax, Rotasi Non-Orthogonal Promax.
PERBANDINGAN ROTASI FAKTOR DALAM
ANALISIS FAKTOR PENILAIAN SIKAP
Oleh
DWI MARDIANI
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Tanjung Karang pada tanggal 28 Oktober 1981 dari
ayah bernama Marsudiyono dan ibu bernama Dewi Heru. Penulis merupakan
anak tertua dari tiga bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah dasar
di SD Negeri 5 Penengahan Bandar lampung pada tahun 1987 dan lulus pada
tahun 1993. Penulis melanjutkan pendidikan di SMP Negeri 6 Tanjung Karang
(SMP Negeri 10) Bandar Lampung yang diselesaikan pada tahun 1996. Penulis
melanjutkan pendidikan di SMA Negeri 3 Bandar Lampung dan lulus pada tahun
1999. Pada tahun yang sama Penulis melanjutkan pendidikan di tingkat
perguruan tinggi di Universitas Lampung yang diterima pada Fakultas MIPA
Jurusan Matematika dengan tahun kelulusan sebagai Sarjana Sains pada tahun
2004. Tahun 2013 Penulis melanjutkan pendidikan pada jenjang Magister yang
ditempuh pada Fakultas MIPA Jurusan Matematika yang diselesaikan pada tahun
2016.
MOTTO
“BARANG SIAPA BERTAWAKKAL PADA ALLAH, MAKA ALLAH AKAN
MEMBERIKAN KECUKUPAN PADANYA, SESUNGGUHNYA ALLAHLAH
YANG AKAN MELAKSANAKAN URUSAN (YANG DIKEHENDAKI)NYA”
(QS : ATH-THALAQ’3)
“BARANGSIAPA BERSUNGGUH-SUNGGUH SESUNGGUHNYA
KESUNGGUHAN ITU ADALAH UNTUK DIRINYA SENDIRI”
(QS ; AL-ANKABUT’6)
PERSEMBAHAN
Bismillaahirrohmaanirrohiim
Dengan Rahmat ALLAH SWT yang Maha Pengasih dan
Penyayang….
Dengan ini kupersembahkan karya ini untuk yang kusayangi tanpa henti
mengalirkan kekuatan doa hingga terselesaikannya penulisan ini.
Untuk papa, Aipda Santoso, S.Kom., Kakak Taufiq Ahmad Shandy Tsaqief,
Kakak Hafizuddin Ghaisan Shandy Shamid, Yaya Ono, Uti Dewi, Mbah Min Uti,
Kakung, Calief, Alesha yang tersayang dan adik-adikku tercinta yang tanpa henti
mengalirkan doa, memotivasi, memberikan semangat serta seluruh Bapak Ibu
Dosen Magister Matematika yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan
bimbingan yang tiada jemu.
Almamater tercinta Universitas Lampung
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
SANWACANA
Alhamdulillaahirobbil’aalamiin puji syukur kehadirat ALLAH SWT
yang telah melimpahkan nikmat serta karunia hingga terselesaikan
tesis ini yang berjudul ”Perbandingan Rotasi Faktor dalam Analisis
Faktor Penilaian Sikap”.
Teriring salam dan doa kepada segenap pihak yang telah memberikan
motivasi, ilmu serta bimbingan kepada penulis dalam proses
penyelesaian tesis ini serta ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya
kepada :
1. Bapak Warsono, Ph.D selaku pembimbing 1 yang telah
membimbing penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
2. Bapak Mustofa Usman, Ph.D selaku pembimbing 2 sekaligus
pembimbing akademik yang telah membimbing penulis dalam
meyelesaikan tesis ini.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori selaku pembahas yang dengan
bimbingannya pula penulis dapat meyelesaikan tesis ini dengan
baik.
4. Bapak Suharsono, Ph.D. ibu Wamiliana, Ph.D. ibu Dr. Asmiati,
ibu Dian Kurniasari, M.Sc. ibu Widiarti, M.Si. selaku pengajar
dan pembimbing.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, Ph.D. selaku Ketua Jurusan
Matematika Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Semua pihak yang telah membantu dalam proses penyelesaian
tesis ini.
8. Almamater tercinta Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Penulis menyadari terdapat kekurangan dalam penulisan tesis ini
untuk itu penulis berharap tesis ini mampu menjadikan langkah awal
untuk melanjutkan kepenulisan yang jauh lebih baik sehingga mampu
memberikan manfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan.
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
DAFTAR ISI………………………………………………………………… ii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... iii
DAFTAR TABEL ............................................................................................ iv
DAFTAR LAMPIRAN……………………………………. ........................... v
I. PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang dan Masalah. ........................................................ 1
1.2 Ruang Lingkup .............................................................................. 2
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................ 3
1.4 Kegunaan Penelitian .................................................................... 3
II. ANALISIS FAKTOR ................................................................... 4
2.1 Distribusi Normal Multivariat ( , )pN ........................................ 4
2.2 Analisis Faktor……… ................................................................... 5
2.3 Metode Pendugaan Loading Faktor dengan Metode Komponen Utama
……………………….. .................................................................. 14
2.4 Metode Maksimum Likelehood ..................................................... 22
2.5 Penentuan Banyaknya Faktor Bersama .......................................... 25
2.6 Menduga Skor Faktor .................................................................... 30
2.7 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Square Method)
…………………………………………………………………… 30
III. METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 32
3.1 Jenis dan Sumber Data ................................................................... 32
3.2 Analisis Kelayakan Data melalui Uji Validitas dan Reliabilitas .... 32
3.3 angkah-Langkah Penelitian ............................................................ 35
IV. Rotasi Faktor … ..................................................................................... 37
4.1 Pendekatan Grafis…. ..................................................................... 38
4.2 Rotasi Orthogonal Varimax ........................................................... 43
4.3 Rotasi Orthogonal Quartimax ....................................................... 48
4.4 Rotasi Non-Orthogonal (Oblique)a ................................................ 49
4.5 Rotasi Non-Orthogonal Harris-Kaisser ......................................... 53
4.6 Rotasi Non-Orthogonal Promax .................................................... 54
V. PENDUGAAN LOADING FAKTOR…… ............................................ 55
5.1 Menentukan Matriks Ragam-Peragam ……. ............................ 55
5.2 Menentukan Matriks Ragam-Peragam pada Variabel Acak iX yang
Dibakukan………… ...................................................................... 58
5.3 Menentukan Matriks korelasi R ………..…………………… 59
5.4 Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks X ………. 62
VI. APLIKASI……………………………………………………………... 66
6.1 Penentuan Loading Faktor...…………………………………… 67
6.2 Menentukan Matriks Sisaan………………………………… ...... 72
6.3 Perbandingan Rotasi Faktor…………………….……………… 73
6.4 Penentuan Banyak Faktor……………………………………… 77
VII. KESIMPULAN………………………………………………………. 85
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1. Diagram jalur analisis faktor .............................................................. 7
Gambar 2.2. Scree diagram dari nilai akar cirri matriks korelasi ......................... 22
Gambar 4.1. Rotasi berlawanan arah jarum jam ................................................... 39
Gambar 4.2. Rotasi orthogonal dua dimensi………………………………….. 40
Gambar 4.3. Rotasi sudut jl ................................................................................ 44
Gambar 4.4. Ilustrasi rotasi umum ........................................................................ 50
Gambar 4.5. Proyeksi sejajar sumbu utama .......................................................... 50
Gambar 4.6. Proyeksi tegak lurus sumbu.............................................................. 51 Gambar 4.7. Hubungan antara dua faktor utama dan faktor reference ................. 52
Gambar 6.1. Scree plot eigen value output software Minitab……………… .. . 79
Gambar 6.2. Scree plot eigen value output software Minitab……………… .. 80
iv
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 3.1. Pedoman interpretasi untuk uji Kaiser-Meyer-Olkin (KMO). ............. 33
Tabel 6.1. Tabel Perbandingan rotasi faktor software R …………………… .. 74
Tabel 6.2. Tabel Perbandingan rotasi faktor software Minitab.……… ............... 76 Tabel 6.3. Nilai eigen matriks korelasi ................................................................. 78 Tabel 6.4. Nilai proporsi varian dan total keragaman output software R. ............ 81
Tabel 6.5. Unsur-unsur komponen (Faktor) hasil output software R.. ................. 83
Tabel 6.6. Unsur-unsur komponen (Faktor) hasil output software Minitab. .. ….84
v
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman Lampiran 1. Data variabel ..................................................................................... 87
Lampiran 2. Coding R Metode Komponen Utama ............................................. 104
Lampiran 3. Coding R Metode Maksimum Lokelihood ..................................... 106
Lampiran 4. Keluaran Minitab Metode Komponen Utama. ............................... 107
Lampiran 5. Keluaran Minitab Metode Komponen Utama setelah Rotasi
Orthogonal Varimax. .......................................................................................... 109
Lampiran 6. Keluaran Minitab Maksimum Likelihood sebelum rotasi. ............. 112
Lampiran.7. Keluaran Minitab Maksimum Likelihood rotasi Orthogonal Varimax
…………………………………………………………………………… ...... 113
Lampiran 8. Scree plot dan Plot Data. ................................................................ 114
Lampiran 9. Biplot Data. ..................................................................................... 118
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Multivariat merupakan metode analisis statistik yang memungkinkan untuk
melakukan penelitian terhadap lebih dari dua variabel yang saling berkorelasi
secara bersamaan. Salah satu bentuk pengamatan analisis multivariate yaitu
kelompok variabel-variabel sikap seperti sikap spiritual, perilaku-perilaku jujur,
disiplin, tanggungjawab, peduli gotongroyong, kerjasama, toleran, damai, santun,
responsif dan proaktif dinyatakan sebagai 1 2, ,..., pX X X X sebanyak p
variabel dari sejumlah n individu dalam suatu penelitian yang dapat pula
dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
11 12 1
21 22 2
1 2
p
p
n n np
x x x
x x xX
x x x
(1.1)
Keterukuran baris ke-i yaitu 1 2, ,...,i i ipX X X sebagai pengukuran pada unit yang
sama yang berkorelasi, dapat pula dinyatakan sebagai vektor kolom yaitu,
2
1
2
i
i
i
ip
X
XX
X
(1.2)
Dimana iX sebagai pengamatan multivariate. n baris pada matriks X sesuai
dengan n individu multivariat dan dalam setiap iX biasanya berkorelasi. Antar
kolom 1 2, ,..., pX X X memungkinkan terjadinya korelasi dan memungkinkan pula
tidak terjadi korelasi.
Analisis faktor merupakan analisis interdependensi sebagai salah satu teknik
analisis multivariat yang berfungsi untuk memberikan makna terhadap
seperangkat variabel atau membuat kelompok- kelompok secara bersama-sama.
1.2 Ruang Lingkup
Menganalisis lebih lanjut keterkaitan antar p variabel pengamatan yang mewakili
varaiabel-variabel sikap seperti sikap spiritual yang mengacu pada menghayati
dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya dan menghyati dan mengamalkan
perilaku-perilaku (jujur,disiplin, tanggungjawab, peduli (gotongroyong,
kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, sebagai variabel-
variabel yang digunakan dalam penelitian ini.
3
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian menganalisis lebih lanjut untuk menunjukkan terjadinya reduksi
variabel teramati (observable variable) menjadi variabel baru yang jumlahnya
lebih sedikit melalui Analisis Faktor. Pada masalah penilaian sikap
membandingkan performan Metode Komponen Utama (Principal Component
Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelehood Method)
lalu membandingkan hasil rotasi faktor melalui rotasi orthogonal Varimax dan
rotasi non-orthogonal Promax.
1.4 Kegunaan Penelitian
Sebagai salah satu bentuk implementasi dalam menyelesaikan permaslahan
pengamatan data multivariable.
4
II. ANALISIS FAKTOR
2.1 Distribusi Normal Multivariat ,pN
Distribusi normal multivariat merupakan generalisasi dari distribusi normal
univariat lebih dari satu variabel. Analisis faktor banyak didasari oleh statistik
inferensia yang didasarkan pada distribusi normal multivariat. Hal ini merupakan
pendekatan yang sangat baik karena distribusi normal multivariat cocok untuk
menganalisis hubungan fungsional linier antar variabel karena transformasi linier
multivariat terdistribusi normal dengan variabel-variabel yang juga berdistribusi
normal multivariat.
Vektor acak X , 1n , berdistribusi normal multivariat dengan vektor mean ,
1p , , dan matriks varian-kovarian , jika fungsi densitasnya
sebagai berikut :
1
'2
1
22
1
2 | |
x x
nf x e
, X (2.1)
(Mulaik, 2010, p.112)
5
,pN menyatakan notasi multivariat. N menyatakan distribusi normal. p
menyatakan banyaknya variabel pada vektor mean dan matriks varian-kovarian.
menyatakan suatu p x 1 vektor mean. menyatakan suatu pxp matriks varian-
kovarian (ragam peragam) dan parameter dari distribusi.
2.2 Analisis Faktor
Analisis faktor merupakan salah satu analisis yang banyak digunakan pada
statistik peubah ganda dengan perhatian utama adalah menemukan hubungan
internal antar segugus peubah acak.
Misalkan X vektor acak dengan vektor rata-rata , 1p dan matriks ragam
peragam dan hubungan antar unsur vektor X dapat dituliskan dalam model
faktor:
1 1
X L F
p p k k l p
(2.2)
(Johnson & Wichern, 2007, p.482)
Persamaan (2.2) merupakan model faktor orthogonal dengan adalah vektor
konstanta, F adalah vektor acak dengan ukuran kx1 (k<p), dengan unsur 1,..., kF F ,
dan disebut faktor bersama, L adalah matriks konstanta yang tidak diketahui
nilainya berukuran pxk, disebut loading faktor, dan unsur-unsur 1,..., p adalah
unsur vektor acak yang disebut faktor khusus.
6
Model faktor orthogonal dengan m faktor bersama dinyatakan sebagai:
1 1 1 1
X L F
p p p k k p
(2.3)
(Johnson & Wichern, 2007, p.483)
Dalam hal ini diasumsikan bahwa vektor F dan saling tidak berkorelasi.
Berimplikasi model (2.3) untuk unsur X tertentu, misalkan iX yang mewakili
pengukuran pada peubah tertentu dapat dituliskan dalam bentuk kombinasi linier
dari seluruh faktor bersama dan sebuah faktor khusus i ditulis sebagai:
1 1 11 1 1 1
2 2 21 1 2 2
1 1
...
...
...
k k
k k
p p p pk k p
X l F l F
X l F l F
X l F l F
(2.4)
(Johnson & Wichern, 2007, p.482)
Dengan ijl unsur ke- ,i j dari matriks L, adalah loading faktor untuk faktor
bersama jF terhadap iX . Jika k=1 maka model faktor tersebut tereduksi menjadi
model Spearman.
Berikut ini adalah contoh dari diagram jalur sederhana untuk model analisis
faktor. Diagram ini adalah representasi skematis dari rumus di atas.
7
Gambar 2.1. Diagram jalur analisis faktor
1F dan 2F adalah dua faktor umum. 1 2, ,..., pX X X subjek dari pengamatan
lainnya yang diamati. 1 2, ,..., p mewakili residu atau faktor yang unik, yang
diasumsikan tidak berkorelasi satu sama lain. Setiap korelasi antara sepasang
variabel yang diamati dapat dijelaskan dalam hal hubungan mereka dengan
variabel laten.
Model faktor (2.3) dan (2.4) menggunakan asumsi bahwa:
1. ( ) 0E F , 'Cov F E FF dan Var F definit positif.
2. 0E , 'Cov E dengan adalah matriks diagonal dan
1
2
0 0
0 0
0 0 p
Var
, dengan 0k .
3. cov( , ) ' 0F E F .
(Johnson & Wichern, 2007, p.516) dan (Matjik, 2011, p.140)
4
2
3
1
1F 2F
2X
1X
4X
3X
8
Bukti:
1. 22Var F E F E F
2 0E F
2Var F E F definit positif yaitu elemen-elemen diagonal
matriks adalah positif. Misalkan ,j kF F F untuk j k sehingga,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
cov( , ) cov
k
k
j k
k k k k
F F F F F F
F F F F F FCov F F F
F F F F F F
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
1 2
1 0 0
0 1 0cov
0 0 1
k
k
kxk
k k k
F F F F F
F F F F F
F F F F F
………(1)
1
2
1 2' k
k
F
FE FF E F F F
F
21 1 1 2 1 1 1 2 1
22 1 2 2 2 2 1 2 2
21 2 1 2
k k
k k
k k k k k k k
F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F F F FE E
F F F F F F F F F F F
9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
kxk
……………………………………….(2)
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa benar 'Cov F E FF .
2. 22Var E E
2 0E
2Var E berdasarkan asumsi yang harus terpenuhi diperoleh,
2Var E
Misalkan ,i j untuk i j sehingga,
21 1 1 2 1 1 1 2 1
22 1 2 2 2 2 1 2 2
21 2 1 2
cov( ) cov cov
p p
p p
p p p p p p p
…(1)
1
2
1 2' p
p
E E
21 1 1 2 1 1 1 2 1
22 1 2 2 2 2 1 2 2
21 2 1 2
p p
p p
p p p p p p p
E E
……(2)
10
21 1 1 2 1 1 1 2 1
22 1 2 2 2 2 1 2 2
21 2 1 2
1
2
cov '
0 0
0 0
0 0
p p
p p
p p p p p p p
pxp
p
E
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa benar 'Cov E .
3.
1
2
1 2, ' k
p
Cov F Cov F F F
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
k
k
k k k k
F F F
F F FCov
F F F
…………………………….(1)
1
2
1 2, ' k
p
E F E F F F
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
k
k
k k k k
F F F
F F FE
F F F
…………………………………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) serta karena F dan saling bebas adalah benar
bahwa,
11
0 0 0
0 0 0, , '
0 0 0
pxkCov F E F
Dengan terpenuhinya asumsi-asumsi tersebut dapat diturunkan struktur kovarian
model faktor orthogonal persamaan (2.2) yaitu:
' '
' '
' ' ' '
X X LF LF
LF LF
LF LF LF LF
(2.5)
var( ) cov '
( ) ' ( ) ' '
( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) '
( ') ' ( ') ' ( ') ( ')
( ' ') 0 0
( ') '
'
'
X X E X X
E LF LF LF LF
E LF LF E LF E LF E
LE FF L E F L LE F E
E LFF L
LE FF L
LIL
LL
(2.6)
(Johnson & Wichern, 2007, p.483)
Dengan menggunakan persamaan (2.4) 1 1 11 1 1 1... k kX l F l F dan dengan
menggunakan asumsi (1) dan (3) ,i jF F tidak berkorelasi begitu juga dengan
F dan . Misalkan akan ditentukan nilai dari:
12
1 2 1 1 2 2
1 1 2
11 1 12 2 1 1 2
11 1 2 12 2 2 1 2 1 2
2
11 1 2 12 2 1 2
11 1 2 12 2 1 2
12
12
cov( , ) ( )
( )
( ... )
...
... 0
cov( , ) var( ) ... cov( , )
0 0
k k
k k
k k
k k
X F E X F E F
E X F
L F L F L F F
L F F L F F L F F F
L F F L F L F F
L F F L F L F F
L
L
(2.7)
Secara umum dengan menggunakan persamaan (2.2) dapat dinyatakan dengan,
' '
' '
X F LF F
LFF F
(2.8)
cov( , ) '
' '
X F E X F
LE FF E F
L
(2.9)
(Johnson & Wichern, 2007, p.483)
Misalkan vektor berukuran pxl, i jl dan l adalah baris ke-i dan ke-j dari matriks
L. Maka untuk i j ,
'
1 1 2 2cov( , ) ...ij i j i j i j i j ik jkX X l l l l l l l l (2.10)
(Johnson & Wichern, 2007, p.484)
2 2 2
1 2
2
var( ) ( ... )ii i i i ik i
i i
X l l l
h
(2.11)
(Johnson & Wichern, 2007, p.484)
13
Ragam dari iX diuraikan menjadi dua komponen ragam yaitu 2
ih dan i yang
masing-masing berpadanan dengan faktor bersama dan faktor khusus. Besaran
i adalah kontribusi faktor khusus yang disebut faktor khusus (spesific
variance) sedangkan 2
ih adalah kontribusi faktor bersama dan disebut komunalitas
ragam bersama.
Total varian dari model faktor dapat ditulis sebagai :
2 2 2
1 2
1
1 2
( ) ...
...
p
ii p
i
p
tr
(2.12)
Model faktor pada persamaa (2.2) tidak unik karenaa ( , )L F dan * *,L F yang
berbeda menghasilkan struktur matriks ragam peragam yang sama. Misalkan
adalah sembarang matriks orthogonal berukuran kxk. Dengan sifat ' I
yang ditambahkan pada persamaa (2.1) persamaan menjadi:
* *
'
X LF
L F
L F
(2.13)
*L L dan * 'F F
* ' 0,E F E F
*cov( ) 'cov ' m mF F
Sehingga sembarang transformasi orthogonal terhadap F akan menghasilkan
struktur peragam yang sama untuk yaitu :
14
* *'
( ) '
' '
'
L L
L L
L L
LL
(2.14)
(Johnson & Wichern, 2007, p.487)
Dengan menotasikan 'iL menyatakan baris ke-i pada L, notasi vektor untuk
jumlah kuadrat adalah 2 'i i ih L L dengan
*' '
i iL L adalah baris ke-i pada *L L
sehingga komunalitasnya dapat ditulis sebagai:
*2 *' * ' 2
i i i i i ih L L L L h (2.15)
Walaupun komunalitas dan struktur peragam tidak berubah, besarnya loading
faktor sangat tergantung pada matriks transformasi orthogonal .
2.3 Metode Pendugaan Loading Faktor dengan Metode Komponen Utama
Metode komponen utama bertujuan untuk menaksir parameter pada analisis
faktor, yaitu varians spesifik pxp , komunalitas h , dan matriks faktor loading
pxkL . Matriks ragam peragam dari sampel yaitu S yang merupakan estimator
(penduga) bagi matriks ragam peragam populasi yang tidak diketahui yaitu .
Komponen utama analisis faktor pada matriks ragam peragam memiliki
pasangan nilai eigen dan vektor eigen ˆ ˆ, , 1,2,...,i ie i p dimana
1 2 ... 0p dan ie ternormalisasi.
15
Misalkan 1 2, ,... pX X X merupakan sampel random yang teramati sebanyak p
komponen. Dari data tersebut diperoleh rata-rata sampel matriks ragam peragam
S, dan matriks korelasi R. Karena matriks R adalah simetrik dan definit positif
maka dapat dituliskan sebagai:
'R (2.16)
(Matjik, 2007, p. 149)
Dengan adalah diagonal
1
2
1 2
0 0
0 0, ,...,
0 0
p
p
, dan
1 2 ... 0p adalah akar ciri matriks R, serta ' ' I p , dengan
1 2, ,..., pe e e adalah matriks orthogonal pxp yang kolom-kolomnya adalah
vektor ciri (verktor eigen) matriks R, yaitu 1 2, ,..., p yang berpadanan dengan
akar ciri 1 2, ,..., p .
Misalkan k adalah banyaknya komponen utama yang dipilih menggunakan
kriteria tertentu, misalnya banyak komponen utama minimum yang mampu
menerangkan presentase keragaman total. Dengan mendefinisikan matriks L̂
berukuran pxk sebagai:
1 1 2 2ˆ , ,..., k kL
(2.17)
(Matjik, 2007, p. 149)
Maka R didekati dengan:
16
1
ˆ ˆ ' 'k
i i i
i
LL
(2.18)
1 1
2 2
1 1 2 2ˆ ˆ ' , ,..., k k
k k
LL
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,..., 1,2,...,
ˆ ˆ ˆ
k
k
i i ik
p p pk
l l l
l l ll l l i k
l l l
Dengan i adalah kolom ke-i pada matriks . Jadi ˆˆijL l merupakan penduga
matriks loading faktor L. Matriks diagonal ragam khusus diduga dengan ̂
yaitu matriks diagonal yang unsurnya diambil dari ˆ ˆ 'R LL ditulis sebagai:
2
1
2
2
2
1 0 0
0 1 0ˆ
0 0 1 p
h
h
h
(2.19)
(Matjik, 2007, p. 149)
Dengan 2 2
1
ˆ , 1,2,...k
i ij
i
h l i p
, sehingga diperoleh pendekatan bagi R adalah:
ˆ ˆ ˆ'R LL (2.20)
(Matjik, 2007, p. 150)
17
Dengan mensubstitusi S pada R diperoleh:
ˆ ˆ ˆ'S LL (2.21)
Pada pendekatan komponen utama, nilai ̂ diabaikan sehingga S dapat
difaktorkan menjadi:
ˆ ˆ 'S LL (2.22)
Dengan menerapkan sifat Dekomposisi Spektral pada S dapat ditulis sebagai:
'S CDC (2.23)
C adalah matriks diagonal yang dibangun dengan normalized eigenvektors
' 1i ic c dari kolom S dan D adalah matriks diagonal dengan eigenvalues
1 2, ,..., p pada diagonal S :
1
2
0 0
0 0
0 0 p
D
(2.24)
Notasi i digunakan untuk menggantikan notasi ij pada loadings sebagai
eigenvalues. Menyelesaikan pemfaktoran 'CDC ke bentuk ˆ ˆ 'LL dengan
memperhatikan eigenvalues i pada matriks S semi definit positif yang semuanya
positif atau nol(0), D dapat difaktorkan menjadi:
1 1
2 2D D D (2.25)
Dengan,
18
1
122
0 0
0 0
0 0 p
D
(2.26)
Sehingga diperoleh:
1 1
2 2
'1 1
2 2
' 'S CDC CD D C
CD CD
(2.27)
Persamaan (2.27) merupakan bentuk ˆ ˆ 'S LL , L̂ yang didefinisikan menjadi
1
2CD karena 1
2CD merupakan matriks berdimensi pxp dan L̂ merupakan matriks
berdimensi pxm dengan m<p. Karena itu didefinisikan 1 1 2, ,..., mD diag
dengan m adalah eigenvalues terbesar 1 2, ,..., m dan memuat 1 1 2, ,..., nC c c c
yang sesuai. Kemudian memperkirakan L̂ sebagai m kolom pertama pada 1
2CD
yaitu;
1
21 1 1 1 2 2
ˆ , ,..., m mL C D c c c (2.28)
L̂ merupakan matriks berdimensi pxm, 1C matriks berdimensi pxm dan 1
2D
matriks berdimensi mxm.
19
Elemen diagonal ke-i pada ˆ ˆ 'LL merupakann jumlah kuadrat dari baris ke-i pada
L̂ atau ' 2
1
1
ˆˆ ˆm
i ij
j
L L l
. Maka untuk melengkapi pendekatan dari ˆ ˆ ˆ'S LL yaitu
dengan mendefinisikan:
2
1
ˆˆm
i ii ij
j
s l
(2.29)
Dan ditulis:
ˆ ˆ ˆ'S LL (2.30)
Pada metode pendugaan komponen utama, jumlah kuadrat dari baris dan kolom
pada L̂ adalah sama untuk komunalitas dan eigenvaluenya. Komunalitas ke-i
diduga dengan menggunakan persamaan (2.30) dan 2 2 2 2
1 2 ...i i i imh l l l
merupakan jumlah kuadrat baris ke-i pada L̂ , diperoleh:
2 2 2 2 2
1 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ...m
i ij i i im
j
h l l l l
(2.31)
Idealnya kontribusi dari beberapa faktor umum awal terhadap variansi sampel
variabel seharusnya cukup besar. Kontribusi faktor umum pertama terhadap
varians sampel iis dinyatakan dengan 2
1ˆil . Maka kontribusi faktor umum pertama
terhadap varians total ( ) ...ii ii iitr s s s s didefinisikan sebagai berikut:
22 2 2 2
11 21 1 1 1 1
1 1
2
1 1 1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ...p p
p i i
i i
p
i
i
l l l l c
c
(2.32)
20
1 adalah vektor eigen satu yang memiliki panjang 1. Sehingga secara umum
kontribusi dari faktor umum ke-j terhadap varians total adalah:
22 2 2 2
1 2 1
1 1
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ...p p
j j pj ij ij
i i
p
j ij j
i
l l l l c
c
(2.33)
Proporsi total varians sampel akibat j faktor adalah:
2
1
ˆ
( ) ( )
p
ijji
l
tr S tr S
(2.34)
Jika variabel tidak sepadan, maka variabel dapat di standarkan dan bekerja dengan
menggunakan matriks korelasi R. Eigenvalue dan eigenvektor pada R diterapkan
pada S ke persamaan (2.28) untuk memperoleh dugaan dari loading. Dengan
memfaktorkan R diperoleh proporsi yang sesuai, p menyatakan banyaknya
variabel, dengan persamaan (2.34) adalah:
2
1
ˆ
(R) (p)
p
ijji
l
tr
(2.35)
Ketepatan model faktor analisis dapat dinilai dengan membandingkan bagian kiri
dan kanan persamaan ˆ ˆ ˆ'S LL , diperoleh matriks sisa (Ress) yaitu:
ˆ ˆ ˆ'E S LL (2.36)
memiliki nilai nol(0) pada diagonalnya dan selain nol untuk elemen lainnya.
Kesetaraan berikut memberikan batas ukuran elemen E yaitu:
21
2 2 2 2
1 2 ...ij m m pije (2.37)
merupakan jumlah kuadrat dari entri matriks ˆ ˆ ˆ'E S LL adalah sama
untuk jumlah kuadrat dari eigenvalue yang dihilangkan pada S . Jika eigenvalue
kecil, sisaan pada matriks error ˆ ˆ ˆ'S LL juga kecil dan merupakan
pendekatan yang baik. Salah satu ukuran untuk menilai kebaikan model faktor
dengan menggunakan RMS_overall yaitu akar kuadrat tengah dari seluruh unsur
non diagonal matriks E (Ress), atau:
2
1 1
1_
( 1)
p p
ij
i j
RMS overall resp p
(2.38)
(Khattree & Naik, 2000, p.125)
p menyatakan banyaknya variabel yang diamati, ijres merupakan elemen-elemen
matriks sisa selain elemen diagonal utama pada variabel ke-i dan variabel ke-j.
Semakin kecil nilai RMS_overall yang diperoleh maka semakin baik model faktor
yang diperoleh.
Petunjuk berapa banyak faktor yang diikutsertakan dalam model faktor terkadang
dilakukan dengan menggunakan grafik yang disebut Scree Diagram. Grafik pada
gambar 2.2 berikut menampilkan nilai akar ciri dari matriks korelasi lawan
, 1,...,k k p .
22
Gambar 2.2. Scree diagram dari nilai akar ciri dari matriks korelasi
Dengan grafik ini, k, banyaknya faktor, dipilih sedemikian rupa sehingga gradien
dari grafik tersebut curam disebelah kirinya dan sangat landai disebelah kanan.
2.4 Metode Maksimum Likelihood
Jika faktor umum F dan faktor spesifik diasumsikan berdistribusi normal
multivariat, maka penaksiran maksimum likelihood dari faktor sembarang dan
variansi spesifik dapat diperoleh.
Misalkan X adalah vektor random yang teramati dengan rata-rata matriks
ragam peragam . Untuk setiap variabel random , 1,2,...,iX i p dilakukan n
kali observasi dengan F dan masing-masing berdistribusi normal multivariat.
Model faktornya dapat ditulis sebagai:
23
j j j jX LF dengan 1,2,...,j m (2.39)
(Johnson & Wichern, 2007, p.495)
Karena F dan berdistribusi normal multivariat, maka fungsi likelihood untuk
j j j jX LF adalah:
1
, , , ,n
i i
i
L X f X
' '122
1
1, , 2 | | exp
2
n nnp
i j j
j
L X tr x x x x n x x
11
'122
1
12 | | exp
2
nn p n
j j
j
tr x x x x
1
' 1222 | | exp2
p nx x x
(2.40)
(Johnson & Wichern, 2007, p.495)
Teorema 2.1
Misalkan 1 2, ,..., nX X X adalah sampel acak dari ,pN dengan 'LL
dalah matriks kovarian untuk m model faktor bersama pada persamaan (2.3),
diperoleh penaksir maksimum likelihood untuk ˆ ˆ ˆ,L dan x yaitu dengan
memaksimumkan persamaan (2.41) terhadap matriks diagonal 1tL L , maka
diperoleh penaksir likelihood untuk komunalitas 2ˆih adalah:
2 2 2 2
1 2ˆ ˆ ˆ ˆ... 1,2,...,pi i i imh l l l i (2.41)
24
dengan proporsi ke-j terhadap varian sampel total adalah:
2 2 2
1 2
( )
11 22
ˆ ˆ ˆ...
...
j j pj
j
pp
l l l
s s s
(2.42)
Bukti:
Dengan menggunakan sifat invariant dari penaksir maksimum likelihood, fungsi
L dan memiliki penaksir dengan fungsi yang sama yaitu L̂ dan ̂ . Sama
halnya dengan komunalitasnya yaitu 2 2 2 2
1 2 ...i i i imh l l l memiliki penaksir
maksimum likelihood 2 2 2 2
1 2ˆ ˆ ˆ ˆ...i i i imh l l l
(Johnson & Wichern, 2007, p.496)
Fungsi log-likelihood l untuk X data matriks pada pengamatan ,pX N
ditulis sebagai:
1
1
1 1
1, , log | 2 | '
2 2
log | 2 | '2 2 2
n
i i
i
nl X x x
n n ntr S x x
1ˆ, , log | 2 |2
nl X tr S (2.43)
Dengan mengganti ˆdengan x dan dengan mensubstitusikan 'LL
ke persaman (2.45) diperoleh:
1ˆ, , log | 2 ' | '
2
nl X LL tr LL S
(2.44)
(Härdle & Simar, 2007, p.258)
25
2.5 Penentuan Banyaknya Faktot Bersama
Terdapat beberapa kriteria untuk menentukan banyaknya faktor bersama yaitu:
1. Memilih m bilangan yang sama dari faktor yang diperlukan untuk
menyumbang varian untuk mencapai tujuan yang ditentukan,misalnya
mencapai 80%, dari total varian ( ) ( )tr S atautr R .
Metode ini khusus berlaku untuk metode komponen utama. Memilih m
bilangan yang sama dari faktor yang diperlukan dengan menyumbangkan
varian untuk mencapai tujuan yang telah ditentukan (misal 80%
ketercapaian) dari total varian.
Persamaan (2.30) merupakan bentuk total varian sampel yang disebabkan
oleh faktor ke-j dari S adalah
2
1
ˆ
( )
p
ij
i
l
tr S
dan proporsi yang sesuai dari R
adalah
2
1
ˆp
ij
i
l
p
pada persamaan (2.37) merupakan kontribusi dari semua
faktor m pada ( )tr S atau p . Oleh karena itu 2
1 1
ˆp m
ij
i j
l
sebagai jumlah
kuadrat dari semua elemen pada L̂ . Pada metode komponen utama
persamaan (2.36) dan (2.37) menyatakan jumlah yang sama dengan jumlah
m eigenvalue pertama atau jumlah dari semua p pada komunalitas yaitu:
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆp pm m
ij i j
i j i j
l h
(2.45)
26
Sehingga memilih m yang cukup besar berakibat jumlah komunalitas atau
jumlah dari eigenvalue merupakan ukuran yang besar pada ( )tr S atau p.
Untuk metode faktor utama, penduga sebelumnya dari komunalitas
digunakan pada bentuk ˆS atau ˆR . Oleh karena itu ˆS atau
ˆR akan sering memiliki nilai eigenvalue yang negatif menyebabkan
nilai eigenvalue antara 1 sampai p, dengan jumlah proporsi eigenvalupe
1
1
m
j
j
p
j
j
akan lebih dari 1 kemudian akan diturunkan ke 1 dengan
menambahkan eigenvalue yang bernilai negative. Sehingga target
tercapainya 80% akan tercapai pada nilai yang lebih rendah dari m dapat
terjadi untuk S atau R .
2. Memilih bilangan m yang sama yang lebih besar dari rata-rata eigenvalue
dengan rata-rata untuk R adalah 1 dengan S adalah 1
pj
j p
.
ˆR yang digunakan dengan menganggap m merupakan bilangan yang
sama dari eigenvalue yang positif. Oleh karena itu akan sering
menghasilkan banyak faktor, karena jumlah dari eigenvalue positif
melebihi jumlah komunalitasnya.
3. Menggunakan scree test (gambar 2.2) berdasarkan eigenvalue pada S atau
R . Jika garis membelok tajam diikuti garis tegak dengan kemiringan
27
yang kecil, m dipilih sama dengan banyaknya eigenvalue sebelum garis
tegak.
4. Menguji hipotesis bahwa m merupakan bilangan yang tepat dari faktor,
0 : 'H LL dengan L berukuran pxm dan ( )r L k diketahui.
Disebut juga uji nisbah kemungkinan (likelihood ratio test).
Misalkan ˆ ˆ, ,L dan 'LL adalah penduga kemungkinan
maksimum bagi ,L dan . Jika 0H benar, maka nilai maksimum untuk
log dari fungsi kemungkinannya
adalah:
0
1* 11 ˆln ln | |
2H
nL c tr S S
(2.46)
(Matjik, 2007, p. 168)
Jika matriks definit positif tak berstruktur, maka penduga kemungkinan
maksimum bagi adalah S, sehingga nilai maksimum untuk log dari
fungsi kemungkinan menjadi:
0
1* 1
*
1 ˆln ln | |2
1
2
H
nL c tr S S
nc p
(2.47)
(Matjik, 2007, p. 168)
Jadi jika 0H benar dan n sangat besar, maka statistik ujinya adalah:
28
0
1 1
1 1' '
2ln 2ln
1 ln | |
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ln | |
ˆ ˆ1 ,
HL
L
n tr S S p
n tr LL S LL S p
n F L
(2.48)
(Matjik, 2007, p. 168)
dengan 1 1
' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ln | |F L tr LL S LL S p
mendekati
sebaran khi-kuadarat dengan derajat bebas 21
2p k p k
. Nilai
derajat bebas tersebut dihitung berdasarkan selisih antara banyak
parameter yang diduga jika tidak berstruktur dan banyaknya parameter
jika 0H benar. Ada sebanyak 1
2
pp
parameter jika tidak ada kendala
pada serta ada pk p jika hipotesis nol benar. Dengan adanya
kendala sebanyak 1
2
kk
pada persyaratan keunikan mengurangi
jumlah parameter yang diduga jika 0H benar. Sehingga derajat bebas dari
uji ini adalah:
21 1 1
2 2 2
p p k kpk p p k p k
(2.49)
(Matjik, 2007, p. 169)
Pendugaan L dan dengan melakukan proses iterasi peminimuman dua
tahap. Pertama untuk matriks tertentu, minimum dari:
29
1 1
' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ln | |F L tr LL S LL S p
(2.50)
(Matjik, 2007, p. 169)
Misalkan saja nilai minimumnya adalah ˆ,F L . Selanjutnya ˆ,F L
diminimumkan terhadap . Algoritma ini terus dilakukan secara iterasi
sehingga diperoleh dugaan bagi L dan yang membuat minimum global
dari ,F L tercapai.
5. Kriteria Informasi Akaike (Akaike’s Information Criterion)
AIC digunakan untuk menduga banyaknya parameter dalam sebuah
model. Dengan melibatkan k buah faktor dalam model, maka matrik
ragam peragam dapat dituliskan '
k kL L dengan kL adalah matriks
loading faktor berukuran pxk. Sehingga log dari fungsi kemungkinan yang
berpadanan dengan model k-faktor ini berdasarkan pada data contoh acak
dari populasi normal ganda-p, 1 2, ,..., nX X X adalah:
1' 'ln ( ) ln | |
2k k k k n
nL k c L L tr L L S
(2.51)
(Matjik, 2007, p. 170)
dengan 1
1'
n
n i i
i
S X X X Xn
. Maka statistic AIC untuk model
dengan k factor didefinisikan sebagai:
30
( ) 2 ( ) [2 ( 1) ( 1)]AIC k L k p k k k (2.52)
(Matjik, 2007, p. 170)
Model berfaktor k dengan k adalh nilai yang berpadanan dengan AIC(k)
yang paling kecil dianggap sebagai model yang paling baik.
2.6 Menduga Skor Faktor
Prediksi atau dugaan nilai faktor bersama yang berpadanan dengan pengamatan
dengan nilai peubah asal tertentu disebut sebagai skor faktor pengamatan. Skor
faktor untuk setiap individu (objek) ditentukan setelah dugaan matriks loading
faktor diperoleh dan rotasi yang sesuai dilakukan.
2.7 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (Weighted Least Square Method)
Metode ini menentukan nilai skor faktor yang berpadanan dengan pengamatan
, 1,2,...,iX i n didapatkan menggunakan formula kuadrat kecil terboboti:
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ' ) ' ( ) ' ( )i i if L L L X X L X X (2.53)
(Matjik, 2007, p. 181)
Dengan X merupakan vektor rataan contoh dari data. Penduga L̂ dan ̂
diperoleh menggunkan metode kemungkinan maksimum. Jika matriks korelasi
yang digunakan (atau peubah asal telah dibakukan terlebih dahulu) untuk analisis
faktor, maka:
31
11
22
10 0
10 0
10 0
i i
pp
s
sZ X X
s
(2.54)
(Matjik, 2007, p. 181)
Digunakan menggantikan ( )iX X pada formula skor faktor di atas.
32
III. METODE PENELITIAN
3.1 Jenis dan Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data yang diperoleh melalui responden pada institusi
pendidikan menengah kejuruan, dimana responden akan memberikan respon
tertulis sebagai respon terhadap pertanyaan yang diberikan. Instrumen penilaian
diri serta penilaian antar responden sebagai instrumen yang digunakan untuk
merangkum respon yang diberikan oleh responden yang dituangkan dalam blanko
instrumen penilaian. Data yang digunakan merupakan jenis data primer
kuantitatif berjumlah 537 data responden sebagai jumlah seluruh populasi
responden yang diamati dengan menggunakan angket tertutup skala likert dan
skala guttman.
3.2 Analisis Kelayakan Data melalui Uji Validitas dan Reliabilitas
Permasalahan validitas dan reliabilitas menjadi masalah yang utama. Tidak valid
dan tidak reliabelnya alat ukur yang digunakan akan berdampak kepada kesalahan
pengambilan keputusan.
33
Analisis faktor merupakan salah satu metode statistik yang digunakan untuk
menguji hubungan anatar kelompok pada variabel- variabel yang diamati yang
diperoleh melalui pertanyaan atau butir berdasarkan teori tentang konstruk laten
yang diukur. Proses yang dilakukan dalam analisis faktor adalah proses siklis
secara bekelanjutan sampai ditemukannya solusi yang paling bermakna. Asumsi
yang digunakan dalam analisis faktor sama dengan asumsi yang digunakan dalam
teknik statistik multivariate, yaitu: (1) jumlah sampel besar, (2) linear, (3)
tidak terjadi outlier, (4) data kontinu, (5) tidak terjadi multikolinieritas, (6)
persentase missing data rendah.
Pengujian validitas menggunakan teknik analisis faktor ( construct validity) serta
untuk menentukan apakah data yang dianalisis layak dianalisis menggunakan
analisis faktor maka perlu dilihat nilai Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) yang
dihasilkan.
Berikut tabel pedoman untuk menginterpretasi hasil KMO :
KMO Tingkat Varian Bersama
0,90 – 1,00
0,80 – 0,89
0,70 – 0,79
0,60 – 0,69
0,50 – 0,59
0,00 – 0,49
Sangat Tinggi
Tinggi
Sedang
Cukup
Rendah
Tidak ada faktor
Tabel 3.1. Pedoman interpretasi uji Kaiser-Meyer-Olkin (KMO).
(Beavers, et.al. 2013)
34
Hipotesis:
Ho : Jumlah data cukup untuk difaktorkan
H1 : Jumlah data tidak cukup untuk difaktorkan
Statistik Uji:
KMO =
p
1i
p
1i
p
1j
2
ij
p
1j
2
ij
p
1i
p
1j
2
ij
ar
r
(3.1)
i = 1, 2, 3, ..., p dan j = 1, 2, ..., p
rij = Koefisien korelasi antara variabel i dan j
aij = Koefisien korelasi parsial antara variabel i dan j
(Mulaik, 2010, p.241)
Apabila nilai KMO lebih besar dari 0,5 maka terima Ho sehingga dapat
disimpulkan jumlah data telah cukup difaktorkan dengan kata lain analsis faktor
dapat dilanjutkan.
Untuk mengetahui apakah butir-butir pertanyaan valid atau tidak dilihat dari nilai
ukuran kecukupan sampel yaitu Measure Sampling of Adequacy (MSA) dengan
ketentuan jika MSA 0,50 maka butir atau item pertanyaan yang diajukan
dikatakan valid dan sebaliknya. Nilai MSA ditunjukkan oleh nilai diagonal anti-
image correlation pada table anti-image matrices setelah mengetahui butir mana
yang valid dan butir mana yang di buang atau diperbaiki. Total Variance
Explained untuk menjawab butir-butir mana yang sebaiknya masuk ke dalam
komponen yang mana.
35
Total Initial Eigenvalue untuk menentukan banyak faktor yang terbentuk, dengan
ketentuan bahwa faktor terbentuk jika nilai eigenvalue 1. Dan besarnya
kontribusi komponen dalam menjelaskan konstruk yang diukur dapat dilihat pada
nilai komulatif %varian yang dihasilkan.
Sedangkan uji reliabilitas yang merupakan uji kehandalan bertujuan untuk
mengetahui sejauh mana suatu alat ukur dapat dipercaya dapat menggunakan
koefisien Cronbach Alpha, yaitu:
2
21
1
b
t
kr
k
(3.2)
dengan,
r = nilai koefisien Cronbach Alpha
k = banyak butir soal atau butir pertanyaan
2
b = total varian butir soal atau pertanyaan
2
t = total varians
(Cronbach, 1951)
3.3 Langkah-Langkah penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan permasalahan
multivariate melalui metode Analisis Faktor dengan metode pendugaan loading
faktor Principal Component Method (Metode komponen Utama) yang bertujuan
mengekstrak variabel latent dari indikator atau mereduksi variabel observable
menjadi variabel baru dengan jumlah yang lebih sedikit sebagai berikut :
36
1. Penentuan loading faktor dengan metode Komponen Utama dan Metode
Kemungkinan Maksimum.
2. Melakukan rotasi faktor orthogonal varimax pada metode Komponen
Utama dan rotasi faktor non-orthogonal Promax pada Metode
kemungkinan Maksimum serta membandingkan keadaan sebelum dirotasi
serta setelah dirotasi.
3. Penentuan skor faktor dan Pemberian nama untuk faktor baru.
37
VII. KESIMPULAN
Dengan memperhatikan hasil analisis data dari Metode Komponen Utama dan
Metode Maksimu Likelihood pada keluaran R dan Minitab baik sebeleum dirotasi
maupun setelah dirotasi melalui pemilihan rotasi orthogonal Varimax dan rotasi
non-orthogonal Promax disimpulkan “Terbentuknya dua faktor yaitu Faktor 1
sebagai Komponen Sikap Spiritual dan Faktor 2 sebagai Komponen Sikap
Sosial.”
Gambar 7.1. Biplot data
38
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. Alih Bahasa Silaban, P. dkk. 1998. Aljabar Linier Elementer. Edisi
Kelima. Erlangga.
Basilevsky, A. 1994. Statistical Factor Analysis and Related Methods. A Wiley
Interscience Publications. John Wiley and Sons Publications.
Beavers, Amy S. (et.al). 2013. Practical Considerations for Using Exploratory
Factor Analysis in Educational Research. Practical Assesment, Research
& Evaluation, 18.
Cronbach, L.J. 1951. Coeficient Alpha and The Internal Structure of Test.
Psychometrika, 16, 297-334.
Härdle & Simar. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis. Second
Edition. LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vockler Gbr, Leipzig.
Johnson, R. A. dkk. 1998. Applied Multivariate Statistical Analysis. Fourth
Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey.
Khatree, R & Naik Dayanand N. 2000. Multivariate Data Reduction and
Discrimination with SAS Software. SAS Institute Inc. SAS Campus
Drive, Cary, North Carolina.
Matjik, AA. & IM. Sumertajaya. 2011. Sidik Peubah Ganda. Departemen
Statistika Institut Pertanian Bogor.
Mulaik, SA. 2010. Foundation of Factor Analysis. Second Edition. CRC Press.
Taylor &Francis Group, LLC. Boca Raton London New York.
Rayment, R.A. & Jöreskog, K.G. 1993. Applied Factor Analysis in The
Natural Science. Cambridge University Press.
Rencher, AC. 2002. Methods of Multivariate Analysis. Second Edition.
Brigham Young University. Wiley-interscience. A John Wiley & Sons,
ICC. Publication