percobaan 7
TRANSCRIPT
PERCOBAAN A.VII PENGENALAN MAPLE, SIMULASI BESARAN, SKALAR DAN VEKTOR
VII.1 Pengenalan Maple I. Tujuan
1. Mengenal dan memahami penggunaan dan aplikasi dari software Maple. 2. Dapat menggunakan software Maple di dalam simulasi fisika.
II.
Alat-alat
1. Seperangkat komputer (minimum Windows 98). 2. Software Maple (Maple 11/12/13)
III.
Teori Pendukung Maple adalah perangkat lunak matematika berbasis komputer, yaitu sistem
komputer aljabar yang mampu menyelesaikan persamaan dalam bentuk solusi numerik dan simbolik. Maple dibuat oleh Wateloo Maple Software (WMS) yang cikal bakalnya berasal dari para peneliti dari University of Wateloo, Canada, di tahun 1988. Saat ini Maple sudah menjadi salah satu pimpinan perangkat analisis matematika. Hal ini karena Maple memiliki kemampuan komputasi dan visualisasi, dengan kemudahan penggunaan serta dukungan fasilitas operator matematika, fungsi matematika, dan solusi matematika yang terintegrasi lengkap. Maple merupakan Computer Algebra System (CAS) yang dapat
memanipulasi pola, prosedur, dan perhitungan algoritma, baik untuk analisis maupun sintesis. Hasil perhitungan Maple mampu menjadi solusi matematika dengan metode numerik dan simbolik. Di dalamnya terdapat simbol, sintak, dan semantik mirip seperti bahasa pemrograman. Maple mampu menyajikan
pemrosesan simbolik dan visualisasi. Visualisasi persamaan matematika dapat disajikan dalam berbagai variasi grafik simulasi modeling, bahkan animasi. Semuanya dapat dengan mudah dilakukan. Program maple mampu menjadi solusi dalam berbagai topik matematika, seperti analisi numerik, aljabar simbolik, kalkulus, persamaan diferensial, aljabar linier, simulasi dan visualisasi. Komputasi dan visualisasi berada dalam lingkungan kerja Maple Worksheet Environment (MWS). Operasi ini dapat dengan mudah dilakukan, seperti menuliskan notasi matematika standar. Oleh karenanya Maple sangat sesuai bila digunakan untuk peragaan visualisasi sains. Maple bersifat case sensitive sehingga huruf besar dan huruf kecil sangat berarti bagi penamaan. Maple merupakan alat bantu komputasi, hasilnya dapat berupa komputasi aljabar numerik dan simbolik. Hasil dari komputasi merupakan pernyataan program yang ditulis oleh pengguna. Maple menyediakan banyak tampilan grafis dalam plot package, sperti perintah plot, plot3d, impicitplot, countourplot, tubeplot, sampai animasi; pilihan komputasi dalam berbagai fungsi matematika, seperti fourier, laplace, serta seperangkat aljabar linear dan vektor semuanya tergabung dalam package yang dapat dilihat pada Help Maple. Perhatikan cara Penulisan Maple. Setiap ekspresi harus diakhiri dengan semicolon(;) bila hasilnya ingin ditampilkan. Bila diakhiri dengan colon(:), maka hasilnya tidak akan ditampilkan, tetapi diproses karenanya Maple hanya berhenti sementara.
IV. 4.1
Teori Penunjang Pengenalan Maple Maple merupakan software dikembangkan oleh Waterloo Maple Inc untuk
menyelesaikan masalah matematika. Maple berjalan pada system operasi keluarga Windows dan cukup mudah untuk digunakan. Perintah-perintah seperti cut, copy, dan paste bias menggunakan hotkey seperti di Windows. Sebelum masuk ke perintah-perintah yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah, khususnya
untuk Kalkulus I, terlebih dahulu kita harus memahami lingkungan Maple. Saat pertama kali menjalankan, Maple akan langsung membuka jendela perintah (command window) dan disebelah kiri ada tanda [>, pertanda Maple siap menerima perintah. 4.1.1 Aturan Dasar Setiap akhir baris perintah harus diakhiri dengan tanda titik koma(;) dan untuk eksekusi perintah digunakan tombol enter. 4.1.2 Maple Bersifat Sensitif Arti dari sensitif adalah Maple membedakan perintah yang ditulis dengan huruf besar dan perintah yan ditulis dengan huruf kecil, secara khusus perbedaan ini hanya ada di huruf pertama perintah. Secara umum, perintah yang diawali dengan huruf besar digunakan untuk mendefinisikanatau membentuk
permasalahan matematika, sedangkan perintah yang diawali dengan huruf kecil digunakan untuk mencari atau menghitung nilai operasi yang kita inginkan. 4.1.3 Banyak Perintah Dalam Satu Baris Dalam Maple, penulisan perintah dalam satu baris bisa lebih dari satu perintah. Contoh: [> Int(x^3+1,x); [> value(%); [> Diff(2*x^2,x); [> value(%); Daripada menuliskan tiga perintah dalam tiga baris yang berbeda, akan sangat efisien kalau dituliskan dalam satu baris saja. [> Int(x^3+1,x); value(%); Diff(2*x^2,x); value(%); Output dari Maple akan dituliskan berurutan dari atas ke bawah sesuai urutan perintah.
4.2
Dasar-Dasar Maple Dalam Maple setiap perintah akan berbentuk perintah( ); perintah disini
menyesuaikan perintah yang digunakan. Didalam kurung berisi permasalahan matematika dan parameter yang diperlukan. 4.2.1 Aturan Dasar Operasi Matematika dalam Maple Bentuk ax disajikan sebagai perkalian a dengan x, bentuk a xn, disajikan sebagai a dikali x pangkat n.Tabel 7.1 Aturan dasar penulisan
Operasi Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian Pangkat Trigonometri
Penulisan biasa + x : atau /
Penulisan maple + * / a*x^n
sin x
sin(x) (sin(x))^n
Invers fungsi trigonometri Hyperbolic
arc sin x sinh x cosech x
arcsin(x) sinh(x) cosech(x) pi (untuk symbol) pi (untuk bilangan)
Pi Pi Akar pangkat dua Nilai mutlak Tak hingga Pemberian nilai Logaritma x x x=a log x ln x log 10x Eksponential, e
sqrt(x) abs(x) infinity x := a log(x) ln(x) log10(x) exp(x)
Perintah log(x) sama dengan perintah ln(x). Sedangkan log10(x) adalah logaritma basis sepuluh, yaitu yang umum kita gunakan jika kita menuliskan log x. Jadi hati-hati mengingat perintah ini. Pada log[b](x) adalah logaritma basis b adalah sembarang bilangan dengan b>0 dan x>0 . Ingat, pemberian nilai suatu variabel dalam Maple digunakan tanda titik dua sama dengan (:=), bukan tanda sama dengan (=). Perintah restart; digunakan untuk membersihkan memori yang dikelola oleh Maple. Setelah kita menjalankan perintah restart; maka semua penghitungan (computasi) sebelumnya akan dihapus.
V.
Tugas Pendahuluan
1. Apakah yang dimaksud dengan case sensitive? Jawab: Case sensitive adalah sifat peka terhadap perbedaan penulisan antara huruf besar dengan huruf kecil.
2. Apa yang dapat dilakukan program Maple bagi Anda? Jawab: Yang dapat dilakukan Maple: 1) Dapat memanipulasi pola, prosedur, dan perhitungan algoritma, baik untuk analisis maupun sintesis 2) Hasil perhitungan Maple mampu menjadi solusi dalam masalah matematika, seperti aljabar simbolik, persamaan differensial, simulasi, visualisasi dengan metode simbolik dan numerik 3) Dapat digunakan untuk peragaan visualisasi sains 4) Dapat digunakan untuk visualisasi persamaan matematika yang disajikan dalam berbagai variasi grafik, simulasi modeling, bahkan animasi
3. Jelaskan secara singkat prosedur penggunaan program Maple! Jawab: 1) Untuk memulainya bisa langsung mengetikkan perintah pada Maple Worksheet Environment 2) Setiap perintah Maple harus diakhiri dengan semicolon (;). Tanda colon (:) akan memproses perintah, karenanya Maple hanya berhenti sementara 3) Setelah selesai menggunakan maple jangan lupa untuk disave
VI.
Percobaan
1. Pada Maple Worksheet Environment, tuliskan ekspresi : > 7+2;
9
2. Setiap perintah pada Maple haru diakhiri dengan semicolon (;). Tanda colon (:) hanya akan menghasilkan sementara. > hasil:=3^2+5: > hasil;
3. Maple bekerja dengan hirarki operasi scientific seperti layaknya aturan-aturan yang baku. > 3+3*4+5^2;
4. Maple juga mampu bekerja secara simbolik dan mampu melakukan operasi aljabar, baik perkalian, penguraian maupun pemfaktoran. > (x+y)^4;
> expand(%);
Tanda % menunjukan hasil yang terakhir (last output) versi sebelumnya. Expand menunjukan penguraian perkalian aljabar.
5. Maple dapat melakukan manipulasi proses pemfaktoran aljabar. Dengan simplify persamaan dapat dijadikan kebentuk yang paling sederhana. > (x^3+3*x^2+2*x)/((x+2)*x);
> simplify(%);
x 1
6. Maple dapat menyelesaikan persamaan dengan menggunakan fsolve dan solve. Cobalah kedua cara dibawah ini : Cara I : > restart; > fsolve(x^2-5=0);
Ekspresi restart digunakan untuk melakukan pembebasan memori. Biasakan untuk memulai sesuatu komputasi aljabar dengan mengawalinya dengan restart dan titik koma. Cara II : > solve(x^2-5=0,{x});
7. Maple dapat menyelesaikan persamaan dengan dua variabel atau lebih, biasanya kita lakukan dengan eliminasi atau substitusi. > fsolve({2*x+3*y=5,x-2*y=6},{x,y});
atau dengan cara : > Pers_1:=2*x+3*y=5;
> Pers_2:=x-2*y=6;
> fsolve({Pers_1,Pers_2},{x,y});
8. Maple mampu menghasilkan solusi imajiner (huruf Kapital i) > solve(2*x^2-5*x+10,{x});
VII.
Tugas Akhir
1. Apa fungsi ekspresi simplify pada percobaan nomor (5) di atas ? Jawab: Fungsi dari ekspresi simplify adalah untuk memanipulasi proses pemfaktoran aljabar dengan mengubah bentuk persamaan ke bentuk yang paling sederhana.
2. Dari percobaan nomor (6) menurut Anda apa perbedaan expresi fsolve dengan solve? Jawab: Expresi fsolve untuk mengeluarkan hasil Maple dalam bentuk akhir (tidak dalam bentuk akar), sedangkan expresi solve untuk mengeluarkan hasil Maple dalam bentuk akar.
3. Lakukan perhitungan secara manual untuk soal percobaan nomor (5), (6), (7) dan (8)! Jawab: Percobaan (5) x (x x x )x x xx (x x )x (x x )x x
Percobaan (6)
x x x Percobaan (7) 2x + 3y = 5 x - 2y = 6 2x + 3y = 5 2x - 4y = 12 7y = -7 y = -1 x 2(-1) = 6 x+2=6 x=4 Percobaan (8) 2x2 - 5x + 10 = 0 {x } {x }
4. Selesaikan soal dibawah ini dengan menggunakan program Maple! a. 2x - x 15 = 0, x = ......? b. 3x 2y = 5 5x + 3y = 2 x = ....? y = ....? Jawab: a) > solve(2*x^2-x-15=0,{x});
b) > solve({3*x-2*y=5,5*x+3*y=2},{x,y});
VIII. Kesimpulan Maple merupakan suatu perangkat lunak yang berguna untuk perhitungan matematika, dalam perhitungannya Maple bersifat case sensitive dan
menggunakkan standar matematika yang baku. Dengan melakukan percobaan Maple kita dapat mengerjakan berbagai masalah matematika maupun fisika seperti persamaan, aljabar, diferensial dengan ketelitian yang lebih baik dibandingkan bila menghitung secara manual. Serta menguasai Maple akan membuat kita bisa menghitung secara efisien dan tepat.
DAFTAR PUSTAKA [1] Yao Tung, Khoe, Komputasi Simbolik Fisika Mekanika Berbasis Maple, Yogyakarta, Andi, 2005 [2] Software Maple Komputer Online. Homepage Online. Avaible from http://www.sundayana.web.id/aplikasi-software-maple-dalammenyelesaikan-permasalahan-diferensial-integral.html; Internet; accessed 5 November 2011
VII. 2 Simulasi Besaran I. Tujuan
1. Untuk memahami besaran dan satuan melalui komputasi berbasis Maple. 2. Dapat mencari dimensi dari besaran yang diinginkan dengan bantuan Maple.
II.
Alat-alat
1. Seperangkat Komputer (minimum Windows 98) 2. Software Maple (Maple 11/12/13)
III.
Teori Pendukung Standar kilogram terbuat dari silinder berbahan platinum-iridium. Massa
jenis (densitas) dari platinum adalah 21, 45 g/cm . Dengan komposisi yang seimbang, tanpa mengetahui komposisi massa secara eksak, akan didapatkan bahwa densitas dari kilogram standar berkisar 22g/cm , dan bila berbahan massa 1 kg, maka volume dari bahan adalah V = m/p ~g
g
cm
Pilihan jatuh
pada platina Iradium karena bahan ini sangat sulit untuk korosi. Untuk meminimalkan korosi, bentuk yang dipilih haruslah berpermukaan sekecil mungkin. Standar massa kilogram ini termasuk rekor terlama yang tidak diperbaharui. Sejak tahun 1901 dan tidak berubah sampai sekarang. Hal ini disebabkan standar massa kilogram sudah menjadi paduan yang sangat stabil. Silinder ini mempunyai diameter dan tinggi yang sama sebesar 39 mm. Standar massa kilogram ini disimpan di General Conference on Weights and Measure di kota Serves, dekat Paris. Sidang konferensi dari para ahli dan peneliti fisika dari berbagai Negara amat menentukan definisi berat dan ukuran. Konferensi pertama di tahun 1792 mendefinisikan satu meter adalah-
kali jarak ekuator ke kutub utara melalui
kota Paris. Konferensi di tahun 1960 mendefinisikan standar panjang untuk satu
meter. Satu meter adalah panjang yang harganya sama dengan 1.650.763, 73 kali panjang gelombang merah-jingga dalam ruang hampa yang dipancarkan atom gas Kripton-86. Dari jarak standar dibuat meteran batang platinum-iridium sebagai standar. Gas Kripton-86 digunakan karena panjang gelombang gas ini cukup stabil dan mampu menghasilkan garis-garis interferensi yang tajam dan jelas. Definisi satu meter berdasarkan sidang konferensi di tahun 1983 adalah: satu meter adalah jarak yang ditempuh cahaya dalam ruang hampa dalam selang waktu 1/299.792.458 detik. Adapun nilai 299.792.458 pada standar meter diambil dari kecepatan cahaya yang dianggap konstan dan stabil. Satu detik adalah interval waktu dari 9.192.631,770 kali waktu getar radiasi yang disebabkan oleh transisi antar tingkatan halus struktur energi dari keadaan dasar atom Caesium 133 (fine structure energy level). Satu ampere adalah arus tetap yang terjadi bila pada dua buah konduktor lurus sejajar panjangnya tak berhingga dan diabaikan luas penampangnya berjarak 1 meter diletakkan di ruang hampa dan menghasilkan gaya antara kedua konduktor sebesar 2.-
Newton per meter.
Satu kalori adalah 1/273,16 bagian dari temperatur termodinamika dari titik tripel air murni. Satu candela adalah kuat penerangan secara tegak lurus pada permukaan yang luasnya 1/600.00 m2 dari sebuah benda hitam sempurna pada titik beku platina (2046,65 Kelvin), pada tekanan 101325 Newton per meter kuadrat. Satu mol adalah banyaknya zat yang mengisi atom 12 C sebanyak 0,012 kg (atau yang mengandung jumlah atom C yang sama dengan 0,012 kgC murni).
IV.
Teori Penunjang Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur atau dihitung, dinyatakan
dengan angka dan mempunyai satuan. Dari pengertian ini dapat diartikan bahwa sesuatu dapat dikatakan sebagai besaran harus memenuhi tiga syarat yaitu: 1) Dapat diukur atau dihitung 2) Dapat dinyatakan dengan angka-angka atau mempunyai nilai
3) Mempunyai satuan Bila ada satu saja syarat tersebut tidak dipenuhi maka tidak dapat dikatakan sebagai besaran. Besaran berdasarkan cara memperolehnya dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu: 1) Besaran fisika, yaitu besaran yang diperoleh dari pengukuran. Karena diperoleh dari pengukuran maka harus ada alat ukurnya. Sebagai contoh adalah massa, massa merupakan besaran fisika karena massa dapat diukur dengan menggunakan neraca. 2) Besaran non fisika, yaitu besaran yang diperoleh dari perhitungan. Dalam hal ini tidak diperlukan alat ukur tetapi alat hitung misalnya kalkulator. Contoh besaran non fisika adalah jumlah. Besaran fisika dibagi menjadi dua, yaitu: 1) Besaran pokok yaitu besaran yang ditentukan lebuh dahulu berdasarkan kesepakatan para ahli fisika. Besaran pokok yang paling umum ada tujuh macam yaitu panjang, massa, waktu, suhu, kuat arus listrik, intensitas cahaya, dan jumlah zat. Besaran pokok memiliki ciri khusus, antara lain diperoleh dari pengukuran langsung, mempunyai satu satuan (tidak satuan ganda), dan ditetapkan terlebih dahulu. 2) Besaran turunan yaitu besaran yang diturunkan dari besaran pokok. Besaran turunan ada banyak macamnya sebagai contoh gaya (N) diturunkan dari besaran pokok massa, panjang, dan waktu. Volume (m3) diturunkan dari besaran panjang. Besaran turunan memiliki ciri khusus antara lain yaitu diperoleh dari pengukuran langsung dan tidak langsung, mempunyai satuan lebih dari satu dan diturunkan dari besaran pokok. Besaran berdasarkan arah dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: 1) Besaran vektor yaitu besaran yang mempunyai nilai dan arah. 2) Besaran skalar yaitu besaran yang mempunyai nilai saja. Saat membahas besaran dan satuan maka tidak akan lepas dari pengukuran. Pengukuran merupakan kegiatan membandingkan suatu besaran dengan besaran sejenis yang ditetapkan sebagai satuan. Satuan didefinisikan sebagai pembanding dalam suatu pengukuran besaran. Setiap besaran mempunyai
satuan masing-masing, tidak mungkin dalam dua besaran yang berbeda mempunyai satuan yang sama. Apabila ada dua besaran berbeda kemudian mempunyai satuan yang sama maka besaran adalah sama. Sebagai contoh gaya (F) dan berat (w) mempunyai satuan Newton. Besaran ini terlihat berbeda tetapi sesungguhnya besaran ini sama yaitu besaran turunan gaya.
V.
Tugas Pendahuluan
1. Sebutkan dimensi dari tujuh besaran pokok ! Jawab: Besaran-Satuan-Lambang-Dimensi 1) Panjang-meter-m-[L] 2) Suhu-kelvin-K-[O] 3) Waktu-sekon-s-[T] 4) Arus listrik-ampere-A-[I] 5) Massa-kilogram-kg-[M] 6) Intensitas cahaya-kandela-Cd-[Cd] 7) Jumlah zat-mol-mol-[Mol]
2. Sebutkan minimal tiga (3) besaran turunan dan tentukan dimensinya ! Jawab: Besaran Turunan-Dimensi-Satuan 1) Gaya-[M][L][T]-2-kgm/s2 2) Volum-[L]- m 3) Percepatan-[L][T]-2-m/s2
3. Menurut Anda, untuk menentukan dimensi dengan program Maple, ekspresi apa yang digunakan ? Jawab: Misalnya untuk mencari dimensi daya dalam dimensi besaran pokok. > restart; > Daya:=P=W/t;
> Usaha:=W=m*g*h;
> Dimensi_Daya:=subs(W=M*L^2*T^(-2),g=L*T^(-2),m=M,t=T,Daya);
VI.
Percobaan
1. Carilah dimensi konstanta G dalam dimensi besaran pokok, pada hukum gravitasi semesta. Jawab: > restart; > Hukum_Gravitasi:=F=G*m1*m2/r^2;
> Konstanta_G:=solve(Hukum_Gravitasi,G);
> Dimensi_G:=subs(F=M*L*T^(-2),m1=M,m2=M,r=L,Konstanta_G);
2. Carilah dimensi daya dalam dimensi besaran pokok! Jawab: > restart; Daya:=P=W/t;
> Usaha:=W=m*g*h;
> Dimensi_Daya:=subs(W=M*L^2*T^(-2),g=L*T^(-2),m=M,t=T,Daya);
VII.
Tugas Akhir
1. Carilah dimensi dari Energi Kinetik (Ek) dengan menggunakan program Maple! Jawab: > restart; > Energi_Mekanik:=Ek=1/2*m*v^2;
> Dimensi_Energi_Mekanik:=subs(v=L*T^(-1),m=M,Energi_Mekanik);
2. Carilah dimensi dari gaya berat (W) dengan mengunakan program Maple! Jawab: > restart; > gaya_berat:=W=m*g;
> Dimensi_gaya_berat:=subs(g=L*T^(-2),m=M,gaya_berat);
VIII. Kesimpulan Maple selain digunakan untuk perhitungan matematika ternyata juga dapat digunakan untuk simulasi besaran dan dimensi dari rumus fisika, dari percobaan yang sudah dilakukan, untuk bisa mencari besaran dan dimensi kita perlu membuat rumus dasarnya serta membuat dimensi yang akan dimasukkan yang kemudian akan menggantikan besaran yang ada. Sebelum menggunakan Maple ada baiknya kita restart terlebih dahulu sehingga memori yang lama akan dihapus dan tidak akan terjadinya kesalahan pembacaan dimensi oleh Maple.
DAFTAR PUSTAKA [1] Yao Tung, Khoe, Komputasi Simbolik Fisika Mekanika Berbasis Maple, Yogyakarta, Andi, 2005 [2] Besaran dan Satuan Wordpress Online. Homepage Online. Avaible from http://alljabbar.wordpress.com/2008/03/05/besaran-dan-satuan/; Internet; accessed 5 November 2011
VII.3 Simulasi Skalar dan Vektor I. Tujuan
1. Untuk memahami besaran dan satuan melalui komputasi berbasis Maple. 2. Dapat mencari dimensi dari besaran yang diinginkan dengan bantuan Maple.
II.
Alat-alat
1. Seperangkat Komputer (minimum Windows 98) 2. Software Maple (Maple 11/12/13)
III.
Teori Pendukung Pengertian besaran skalar dan vektor dalam Fisika memegang peran yang
sangat penting. Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, momen, impuls, gaya berat dan perpindahan. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar saja. Contoh: massa, panjang, waktu, suhu, energi, jarak. Sebuah vektor F dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya dalam arah x dan y. Fx = F cos Fy = F sin F2
F2 1 FTotal
F1
2
F1
Gambar 7.1 Resultan Vektor
Sebuah
vektor
dapat tan-
dipadukany x
dalam
vektor
x
y
dengan arahnya dalam menggunakan penentuan sin sin aturan arahnyatotal
. Perpaduan dua vektor dinyatakan dengan total dinyatakan dengan cos aturan dengan sinus:
cosinus: dapat
sin F F.sin F
F.cos Gambar 7.2 Penguraian Vektor
Bila terdapat banyak vektor, vektor-vektor tersebut dapat dipadukan dengan diuraikan menjadi komponen-komponennya dalam x dan y.
Gambar 7.3 Vektor
, , ,dan
y
x F4y
Gambar 7.4 Penguraian Vektor
, , ,dan
Dengan besaran dari dalam arctan .x
total
:
total
(
x)
(
y)
, dengan arahnya
y
IV.
Teori Penunjang Gaya adalah kegiatan menarik atau mendorong suatu benda atau objek.
Gaya merupakan suatu besaran vektor, sementara besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, satuan gaya adalah Newton. Alat untuk mengukur gaya disebut dinamometer. Vektor gaya didefinisikan dengan anak panah menyatakan arah gaya bekerja. Gaya yang bekerja pada benda dapat mengakibatkan perubahan. Perubahan pada benda disebabkan oleh pengaruh gaya diantaranya adalah sebagai berikut: 1) Gaya dapat membuat benda yang semula diam menjadi bergerak. 2) Gaya dapat mengubah arah benda yang bergerak. 3) Gaya dapat mengubah bentuk benda. 4) Gaya dapat mengubah posisi/letak benda.
Resultan gaya adalah sebuah gaya pengganti yang memiliki nilai dan arah yang ekuivalen dengan jumlah beberapa gaya yang bekerja, resultan gaya bisa searah, berlawanan, membentuk resultan gaya poligon, atau resultan gaya yang paralelogram. Dua buah gaya yang akan dijumlah diletakkan pada titik tangkap yg sama (titik a). P=Q P a Q
Gambar 7.5 Gaya Paralelogram
Aturan poligon : Jika ada tiga vektor atau lebih, tidak mungkin menjumlahkan vektor-vektor tersebut dengan metode jajar genjang atau metode segitiga. Oleh karena itu harus digunakan metode segibanyak (poligon). Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut:
Gambar 7.6 Gaya Poligon
Pada gambar di bawah terdapat tiga buah vektor yang akan dicari resultannya. Adapun resultan ketiga vektor tersebut seperti tampak pada gambar berikut:
Gambar 7.7 Resultan Poligon
V.
Tugas Pendahuluan
1. Jelaskan perbedaan antara berat dan massa, perpindahan dan jarak ! Jawab: Berat sebuah benda bergantung kepada gravitasi tempat benda tersebut berada, sementara massa sebuah benda tidak bergantung kepada gravitasi, karena berat adalah massa dikalikan gravitasi. Perpindahan adalah seberapa jauh suatu benda berubah posisi dari titik awalnya, sementara panjang adalah seluruh panjang lintasan yang ditempuh oleh sebuah benda.
2. Apakah hasil dari vektor dikalikan dengan vektor ? Jawab: Hasil dari vektor dikalikan vektor bisa dibagi menjadi tiga jenis, yaitu: 1) perkalian titik (dot product) menghasilkan sebuah skalar, perkalian ini bersifat komutatif 2) perkalian silang (cross product) menghasilkan sebuah vektor, perkalian ini tidak bersifat komutatif 3) perkalian langsung (direct product) menghasilkan sebuah matriks, perkalian ini tidak bersifat komutatif
3. Lakukan perhitungan secara manual untuk soal-soal percobaan di bawah ini yang akan Anda lakukan ! Jawab: 1) diketahui: F1 = 20N; F2 = 30N; F3 jawab: Fx1 = 20 x cos30; Fy1 = 20 x sin30 Fx2 = 30 x cos60; Fy2 = 30 x sin60 Fx3 = 40 x cos120; Fy3 = 40 x sin120 x= y=
N;
1
;
2
6 ;
3
= 90
Fx1 + Fx2 + Fx3 = Fy1 + Fy2 + Fy3 =
(- ) =
- N 6 N 6 N
=
2) diketahui: V1 = [2,-4]; V2 = [5,3] jawab: V1 + V2 = [2 + 5],[-4 + 3] = [7,-1] V1 - V2 = [2 - 5],[-4 3] = [-3,-7] |V1 + V2| = |V2 - V2| = (- ) 3) diketahui: V1 = 2i - 4j + 5k; V2 = 5i + 3j - 2k jawab: V1 + V2 = 7i - j + 3k V1 - V2 = -3i - 7j - 7k |V1 + V2| = (- )
|V1 - V2| = (- ) (- ) 4) diketahui:
u = 2i - 2j + k; v = 6i + 3j + 2k jawab: u . v = (2 x 6) + ((-2) x 3) + (1 x 2) u . v = 12 6 + 2 = 8 5) diketahui: u = 4i - 3j + 2k; v = 5i + 2j - k u x v = (4i - 3j + 2k) x (5i + 2j - k) =| = i(3 - 4) - j((-4) - 10) + k(8 - (-15)) = -i + 14j + 23k |
VI.
Percobaan
Untuk setiap percobaan, hasil dari tampilan Maple wajib dilampirkan dalam Laporan Akhir Praktikum. 1. Tiga buah vektor dengan gaya masing-masing 20 N, 30 N dan 40 N. Masingmasing membentik sudut dengan sumbu x positif sebesar Hitunglah resultan total dari ketiga vektor tersebut! Jawab: > restart; > F1:=20;F2:=30;F3:=40; 6 dan .
> theta1:=Pi/6;theta2:=Pi/3;theta3:=2*Pi/3;
> F1x:=F1*cos(theta1);F2x:=F2*cos(theta2);F3x:=F3*cos(theta3);
> F1y:=F1*sin(theta1);F2y:=F2*sin(theta2);F3y:=F3*sin(theta3);
> Fx:=F1x+F2x+F3x;
> Fy:=F1y+F2y+F3y;
> R:=(Fx^2+Fy^2)^(1/2);
> Resultan:=evalf(R);
2. Hitunglah penjumlahan dan selisih serta tentukan besarnya dari dua buah vektor dengan perintah vektor Maple besar vektor masing-masing V1 [2,-4] dan [5,3]. Jawab: > restart; > v1:=Vector([2,-4]);
> v2:=Vector([5,3]);
> v1+v2;
> v1-v2;
> LinearAlgebra[Norm](v1+v2,2);
> LinearAlgebra[Norm](v1-v2,2);
3. Hitung penjumlahan dan pengurangan dari vektor 2i - 4j + 5k dan 5i + 3j - 2k dan tentukan besarnya! Jawab: > restart; > v1:=Vector([2,-4,5]);
> v2:=Vector([5,3,-2]);
> v1+v2;
> v1-v2;
> LinearAlgebra[Norm](v1+v2,2);
> LinearAlgebra[Norm](v1-v2,2);
4. Carilah perkalian dot dari dua vektor, bila vektor u = 2i - 2j + k dan vektor v = 6i + 3j + 2k. Jawab: > restart; > u:=Vector([2,-2,1]);
> v:=Vector([6,3,2]);
> LinearAlgebra[DotProduct](u,v);
5. Carilah perkalian cross dari dua vektor, bila vektor u = 4i - 3j + 2k dan vektor v = 5i + 2j - k! Jawab: > restart; > u:=Vector([4,-3,2]);
> v:=Vector([5,2,-1]);
> linalg[crossprod](u,v);
VII.
Tugas akhir
1. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan perhitungan manual dengan hasil yang diperoleh menggunakan program Maple! Jawab: 1) Menggunakan Maple > (x^3+3*x^2+2*x)/((x+2)*x);
> simplify(%);
2) Manual (x3 + 3x2 + 2x) / ((x + 2)x) = x(x2 + 3x + 2) / ((x+2)x) = (x2 + 3x + 2) / (x+2) = (x+2)(x+1) / (x+2) = (x + 1)
Hasil yang diperoleh melalui perhitungan Maple maupun manual sama saja, hanya saja bila menggunakan Maple maka perhitungan akan menjadi lebih simpel dan akurat, dibanding dengan cara manual yang lebih panjang dan tidak seteliti bila menggunakkan Maple. 2. Pada percobaan nomor dua terdapat perintah LinearAlgebra[Norm]
(v1+v2,2 ; cobalah anda ganti angka dua yang digaris bawahi dengan angka lain, apakah arti angka dua tersebut? Jawab: Angka dua yang digarisbawahi berarti perhitungan dalam akar pangkat dua. Bila angka yang digaris dibawahi 3 berarti perhitungan dalam akar pangkat tiga dan seterusnya. Contoh: > v1:=Vector([5,-4,3]);
> v2:=Vector([-2,0,1]);
> v1+v2;
> v1-v2;
> LinearAlgebra[Norm] (v1+v2,2);
> LinearAlgebra[Norm] (v1+v2,3);
> LinearAlgebra[Norm] (v1+v2,4);
> LinearAlgebra[Norm] (v1+v2,5);
3. Hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian dot, dan perkalian cross dari vektor a = 3i 2j + k dan b = -2i + k! Jawab: > restart; > v1:=Vector([3,-2,1]);
> v2:=Vector([-2,0,1]);
> v1+v2;
> v1-v2;
> LinearAlgebra[DotProduct](v1,v2);
> linalg[dotprod](v1,v2);
> LinearAlgebra[CrossProduct](v1,v2);
> linalg[crossprod](v1,v2);
4. Hitung resultan dari empat buah gaya masing-masing 5N,15N, 20N dan 25N dengan sudut masing-masing 30, 90, 120, 210 terhadap sumbu x positif dengan program maple! Jawab: > restart; > F1:=5;F2:=15;F3:=20;F4:=25;
> theta1:=Pi/6;theta2:=Pi/2;theta3:=2*Pi/3;theta4:=7*Pi/6;
>F1x:=F1*cos(theta1);F2x:=F2*cos(theta2);F3x:=F3*cos(theta3);F4x:=F4*co s(theta4);
> Fx:=F1x+F2x+F3x+F4x;
>F1y:=F1*sin(theta1);F2y:=F2*sin(theta2);F3y:=F3*sin(theta3);F4y:=F4*sin (theta4);
> Fy:=F1y+F2y+F3y+F4y;
> R:=(Fx^2+Fy^2)^(1/2);
> Resultan:=evalf(R);
VIII.
Kesimpulan Software Maple memiliki begitu banyak kegunaan, termasuk dalam
perhitungan matematika dalam bentuk besaran vektor maupun skalar, melalui percobaan dapat dilihat fungsi Maple untuk menghitung besar vektor dengan akar pangkat dua, akar pangkat tiga menggunakkan liner algebra secara simpel dan lebih akurat dibandingkan dengan perhitungan manual.
DAFTAR PUSTAKA [1] Yao Tung, Khoe, Komputasi Simbolik Fisika Mekanika Berbasis Maple, Yogyakarta, Andi, 2005 [2] Gaya dan Sifatnya Pembelajaran Fisika. Homepage online. Available from klikbelajar.com/pelajaran-sekolah/pelajaran-fisika/gaya-dan-sifatnya/; Internet; accessed 20 Oktober 2011.