performance and reliability analysis wacyclic graphs

7/29/2019 Performance and Reliability Analysis wAcyclic Graphs

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I E E E TRANSACTIONS O N SOFTWARE ENGINEERING, VOL. S E - 1 3 , N O . 1 0 , OCTOB E R 1 9 8 7

Performance and R e l i a b i l i t y Analysis Using D i r e c t e dAcyclic Graphs

ROBINA. SAHNERANDKISHOR S. TRIVEDI, MEMBER, IEEE

A b s t r a c t - A g r a p h - b a s e d m o d e l i n g t e c h n i q u e h a s b e e n d e v e l o p e d f o rt h e s t o c h a s t i c a n a l y s i s o f s y s te m s c o n t a i n i n g c o n c u r r e n c y . The b a s i s o ft h e t e c h n i q u e i s t he u se o f d i r ec t ed a c y c l i c g r a p h s . T h e s e g r a p h s r e p -r e s e n t e v e n t - p r e c e d e n c e n e t w o r k s w h e r e a c t i v i t i e s ma y o c c u r s e r i a l l y ,p r o b a b i l i s t i c a l l y , o r c o n c u r r e n t l y . When a s e t o f a c t i v i t i e s o c c u r s c o n -c u r r e n t l y , t h e c o n d i t i o n f o r t h e s e t o f a c t i v i t i e s t o c o m p l e t e i s t h a t as p e c i f i e d number o f t h e a c t i v i t i e s m u s t c o m p l e t e . T h i s i n c l u d e s t h e s p e-c i a l c a s e s t h a t o n e o r a l l o f t h e a c t i v i t i e s m u s t c o m p l e t e . T h e c u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h a n a c t i v i t y i s a s s u m e d t o h a v e e x -p o n e n t i a l p o l y n o m i a l f o r m . F u r t h e r g e n e r a l i t y i s o b t a i n e d b y a l l o w i n gt h e s e d i s t r i b u t i o n s t o h a v e a m a s s a t t h e o r i g i n a n d / o r a t i n f i n i t y . T h ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e t i me t a ke n t o c o m p l e t e t h e e n t i r e g r a p h i sc o m p u t e d s y m b o l i c a l l y i n t h e t i m e p a r a m e t e r t . T h e t e c h n i q u e a l l o w st w o o r more g r a p h s t o b e c o m b i n e d h i e r a r c h i c a l l y . A p p l i c a t i o n s o f t h et e c h n i q u e t o t h e e v a l u a t i o n o f c o n c u r r e n t p r o g r a m e x e c u t i o n t i m e a n dt o t h e r e l i a b i l i t y a n a l y s i s o f f a u l t - t o l e r a n t s y s t e m s a r e d i s c u s s e d .

I n d e x T e r m s - A v a i l a b i l i t y , d i r e c t e d a c y c l i c g r a p h s , f a u l t - t o l e r a n c e ,Markov m o d e l s , p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n , p r o g r a m p e r f o r m a n c e ,r e l i a b i l i t y .I . I N T R O D U C T I O NG RAPH-BASED m o d e l s a r e o f t e n u s e d t o a n a l y z eUcomputer s y s t e m s . F o r e x a m p l e , p r e c e d e n c e g r a p h sa r e u s e d t o a n a l y z e t h e p e r f o r m a n c e o f c o n c u r r e n t p r o -g r a m s [ 2 ] , [ 1 8 ] , f a u l t - t r e e s a n d r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m sa r e u s e d t o a n a l y z e s y s t e m r e l i a b i l i t y a n d a v a i l a b i l i t y [ 2 1 ] ,a n d M a r k o v a n d s e m i - M a r k o v m o d e l s a r e u s e d f o r a n a -l y z i n g b o t h p e r f o r m a n c e a n d r e l i a b i l i t y / a v a i l a b i l i t y [ 2 5 ] .T h i s p a p e r d e s c r i b e s a g r a p h - b a s e d m o d e l i n g t e c h n i q u et h a t i s e f f i c i e n t a n d c a n s o l v e a w i d e c l a s s o f p r o b l e m s .T h e t e c h n i q u e i n c l u d e s t h e u s e o f d i r e c t e d a c y c l i c g r a p h s ,f a u l t - t r e e s , r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m s , a n d a c y c l i c M a r -k o v a n d s e m i - M a r k o v c h a i n s . I t h a s b e e n i m p l e m e n t e d a sa s o f t w a r e t o o l . T h e t e c h n i q u e i s i l l u s t r a t e d b y m e a n s o fs e v e r a l e x a m p l e s .G r a p h m o d e l s a r e c o m m o n l y u s e d t o s t u d y t h e b e h a v i o ro f s y s t e m s t h a t c o n t a i n c o n c u r r e n c y . T h e g r a n u l a r i t y o f

a c t i v i t i e s v a r i e s f r o m m o d e l t o m o d e l . An a c t i v i t y ma yr e p r e s e n t a s i n g l e m a c h i n e i n s t r u c t i o n o r i t may r e p r e s e n ta n e n t i r e p r o c e s s . A c t i v i t i e s may h a v e c o n s t a n t o r r a n d o m

M a n u s c r i p t r e c e i v e d A p r i l 3 0 , 1 9 8 5 ; r e v i s e d F e b r u a r y 2 8 , 1 9 8 6 . T h i sw o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e A i r F o r c e O f f i c e o f S c i e n t i f i c R e s e a r c hu n d e r G r an t A F O S R - 8 4 - 0 1 3 2 , b y t h e A r m y R e s e a r c h O f f i c e u n d e r C o n t r a c tD A A G 2 9 - 8 4 - 0 0 4 5 , a n d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n u n d e r G r a n tM C S - 8 3 0 2 0 0 .R . A . S a h n e r i s w i t h G o u l d C o m p u t e r S y s t e m s D i v i s i o n , U r b a n a , I L6 1 8 0 1 .K . S . T r i v e d i i s w i t h t h e D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , D u k e U n i -v e r s i t y , D u r h a m , N C 2 7 7 0 6 .I E E E L o g N u m b e r 8 7 1 6 5 6 8 .

d u r a t i o n . T h e d e g r e e o f c o n c u r r e n c y may b e l i m i t e d o ru n l i m i t e d . A p a r t i c u l a r m o d e l may a s s i g n a c t i v i t i e s t on o d e s a n d u s e e d g e s f o r p r e c e d e n c e [ 1 2 ] , o r i t may a s s i g na c t i v i t i e s t o e d g e s a n d u s e t h e n o d e s f o r p r e c e d e n c e s p e c -i f i c a t i o n [ 1 3 1 . Many m o d e l s a s s u m e t h a t a l l a c t i v i t i e s m u s to c c u r [ 2 ] . Some a l l o w p r o b a b i l i s t i c b r a n c h i n g [ 2 7 ] .When t h e a c t i v i t y t i m e s a r e c o n s t a n t a n d t h e r e a r e i n -f i n i t e r e s o u r c e s , i t i s e a s y t o c o m p u t e t h e c o m p l e t i o n t i m ef o r t h e e n t i r e s e t o f a c t i v i t i e s c o m p o s i n g a g r a p h . Whena c t i v i t y t i m e s a r e a l l o w e d t o b e r a n d o m , t h e a n a l y s i s o f ag r a p h m o d e l i s e x t r e m e l y d i f f i c u l t . T h e s o u r c e o f t h e d i f -f i c u l t y i s t h e f a c t t h a t i f t w o p a t h s i n t h e g r a p h h a v e o n eo r m o r e e d g e s i n c o m m o n , t h e r a n d o m v a r i a b l e s f o r t h ef i n i s h i n g t i m e o f t h e p a t h s a r e n o t i n d e p e n d e n t .T h e r e i s a l o n g h i s t o r y o f i n v e s t i g a t i o n o f t h i s a b s t r a c tp r o b l e m i n t h e c o n t e x t o f PERT ( P r o g r a m E v a l u a t i o n R e -v i e w T e c h n i q u e ) n e t w o r k s [ 5 ] . T h e n e t w o r k s may b e a n a -l y z e d f o r m e a n c o m p l e t i o n t i m e , f o r t i m e o f s h o r t e s t r o u t e ,a n d f o r v a r i o u s o t h e r m e a s u r e s , s u c h a s t h e p r o b a b i l i t yt h a t a p a t h i s t h e s h o r t e s t p a t h . B e c a u s e o f t h e d e p e n d e n -c i e s a m o n g p a t h s , t h e e x a c t a n a l y s i s o f a n e t w o r k i n v o l v e si n v e s t i g a t i n g e a c h p a t h a s s u m i n g a c o n s t a n t t i m e f o r t h ecommon e d g e s , t h e n c o m b i n i n g t h e i n d i v i d u a l r e s u l t su s i n g i n t e g r a l f o r m u l a s c o n t a i n i n g c o n d i t i o n a l d i s t r i b u -t i o n s [ 9 ] , [ 1 6 ] . I n [ 2 2 ] , a n a p p r o a c h h a s b e e n d e v e l o p e dt h a t c o n d i t i o n s o n t h e e d g e s i n a u n i f o r m l y d i r e c t e d c u ts e t a n d t h e n e v a l u a t e s t h e i n t e g r a l f o r m u l a s n u m e r i c a l l yu s i n g M o n t e - C a r l o s i m u l a t i o n . T h e e x a c t s o l u t i o n i s t i m e -c o n s u m i n g , s o w o r k h a s b e e n d o n e i n o b t a i n i n g e f f i c i e n ta p p r o x i m a t i o n s a n d b o u n d s [ 5 ] , [ 8 ] .I f a l l a c t i v i t y t i m e s a r e m e m o r y l e s s , a n a l t e r n a t i v e t ot h e u s e o f c o n d i t i o n i n g i s t o t r a n s f o r m t h e g r a p h i n t o ac o n t i n u o u s - t i m e M a r k o v c h a i n [ 1 1 ] , [ 2 5 ] . T h e c h a i n c a nt h e n b e a n a l y z e d b y u s i n g o n e o f a n u m b e r o f n u m e r i c a lm e t h o d s . T h e m a i n d r a w b a c k o f t h i s a l t e r n a t i v e i s t h a t t h en u m b e r o f s t a t e s i n t h e M a r k o v c h a i n i n c r e a s e s e x p o n e n -t i a l l y w i t h t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e g r a p h . T h e m o d e l e rm u s t a l s o c o n t e n d w i t h t h e p r a c t i c a l d i f f i c u l t i e s o f g e n e r -a t i n g t h e s t a t e s a n d t r a n s i t i o n s o f t h e M a r k o v c h a i n a n ds o l v i n g a v e r y l a r g e s y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a -t i o n s .I f t h e s t r u c t u r e o f t h e g r a p h s i s r e s t r i c t e d , t h e p r o b l e mb e c o m e s l e s s c o m p l e x . Many p r o b l e m s t h a t a r e N P - c o m -p l e t e f o r a r b i t r a r y g r a p h s c a n b e s o l v e d i n l i n e a r o r p o l y -n o m i a l t i m e f o r s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s , b e c a u s e o f t h e i rr e s t r i c t e d s t r u c t u r e . S u c h p r o b l e m s i n c l u d e many g r a p h -0 0 9 8 - 5 5 8 9 / 8 7 / 1 0 0 0 - 1 1 0 5 $ 0 1 . 0 0 1 9 8 7 IEEE

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I E E E T R A N S A C T I O N S O N SOFTWARE E N G I N E E R I N G , V O L . S E - 1 3 , N O . 1 0 , OCTOB E R 1 9 8 7t h e o r e t i c a l p r o b l e m s [ 2 3 ] a n d a l s o p r o b l e m s s u c h a ss c h e d u l i n g , f o r w h i c h a g r a p h i s t h e u n d e r l y i n g m o d e l[ 1 2 ] . I f an e v e n t - p r e c e d e n c e g r a p h w i t h r a n d o m a c t i v i t yt i m e s i s s e r i e s - p a r a l l e l , t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h ec o m p l e t i o n t i m e o f t h e g r a p h can b e o b t a i n e d e x a c t l y i nl i n e a r t i m e b y c o m b i n i n g t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s o f t h ei n d i v i d u a l n o d e s u s i n g m u l t i p l i c a t i o n a n d c o n v o l u t i o n .M a r t i n [ 1 3 ] a p p l i e d t h i s a p p r o a c h t o t h e a n a l y s i s o fPER T n e t w o r k s . T h e d i s t r i b u t i o n s were a s s u m e d t o b ep i e c e w i s e p o l y n o m i a l s d e f i n e d over a f i n i t e range. Morer e c e n t l y , R o b i n s o n [ 1 8 ] a n d K l e i n o d e r [ 1 0 ] h a v e a l s o u s e ds e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s t o a n a l y z e t h e p e r f o r m a n c e o f p r o -g rams t h a t c o n t a i n c o n c u r r e n t t a s k s . When t a s k s ors u b g r a p h s ar e e x e c u t e d i n p a r a l l e l , a l l o f t h e m must f i n i s hb e f o r e any successor t a s k s can b e s t a r t e d . T h e g r a p h s ar ea n a l y z e d b y p e r f o r m i n g n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s on d i s t r i -b u t i o n f u n c t i o n s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y ; K l e i n o d e r a l s oa l l o w s p h a s e - t y p e d i s t r i b u t i o n s , w h i c h are a p p r o x i m a t e da n d r e p r e s e n t e d i n t e r n a l l y as sums o f d i s c r e t e d e n s i t yf u n c t i o n s .S u c h s e r i e s - p a r a l l e l m o d e l s are a s p e c i a l case o f ou rm o d e l i n g t e c h n i q u e , w h i c h i s c a l l e d SPAD E ( S e r i e s - P A r -a l l e l D i r e c t e d a c y c l i c g r a p h E v a l u a t o r ) . We h a v e gener-a l i z e d t h e s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h m o d e l i n a way t h a t a l l o w si t t o b e u s e d n o t o n l y f o r p e r f o r m a n c e a n a l y s i s , b u t a l s of o r r e l i a b i l i t y a n d ( u n d e r c e r t a i n r e s t r i c t i o n s ) a v a i l a b i l i t ya n a l y s i s . T h e k e y f e a t u r e s o f t h e t e c h n i q u e a r e :

* E a c h g r a p h n o d e i s a s s i g n e d a f u n c t i o n t h a t i s a l -l o w e d t o b e any e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l t h a t i s r e a l - v a l -u e d a n d h a s range b e t w e e n zero a n d one. The f u n c t i o n sare a l l o w e d t o h a v e a ma s s a t zero a n d / o r a t i n f i n i t y . T h i sc l a s s o f f u n c t io n s i n cl u de s a l l o f t h e C o x i a n p h a s e - t y p ed i s t r i b u t i o n s [ 3 ] .

* No a s s u m p t i o n s ar e made a b o u t t h e n a t u r e o f t h e" a c t i v i t i e s " a s s o c i a t e d w i t h t h e n o d e s . I t i s t h i s f a c t t h a ta l l o w s ou r t e c h n i q u e t o b e u s e d f o r p e r f o r m a n c e , r e l i a -b i l i t y a n d a v a i l a b i l i t y a n a l y s i s . When u s e d f o r p e r f o r -mance a n a l y s i s , t h e f u n c t i o n F ( t ) a s s o c i a t e d w i t h a n o d er e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a t a s k f i n i s h e s b y t i m e t .When u s e d f o r r e l i a b i l i t y a n a l y s i s , F ( t ) r e p r e s e n t s t h ep r o b a b i l i t y t h a t a component h a s f a i l e d b y t i m e t . Whenu s e d f o r a v a i l a b i l i t y a n a l y s i s , F ( t ) d e n o t e s t h e p r o b a b i l -i t y t h a t a component i s n o t a v a i l a b l e a t t i m e t .

* T h e i n t e r p r e t a t i o n o f p a r a l l e l s u b g r a p h s i s c h o s e nf r o m a g e n e r a l a n d u s e f u l g roup o f a l t e r n a t i v e s . P a r a l l e ls u b g r a p h s are n o t r e q u i r e d t o h a v e i d e n t i c a l d i s t r i b u t i o n s .* T h e a n a l y s i s o f a g r a p h i s d o n e s y m b o l i c a l l y i n t , a n d

i s e x a c t ( u p t o t r u n c a t i o n e r r o r ) .* B e c a u s e r e s u l t s ar e s y m b o l i c , i t i s p o s s i b l e t o u se t h es o l u t i o n o f a g r a p h as t h e f u n c t i o n a s s i g n e d t o a n o d e i na n o t h e r g r a p h . T h u s i t i s p o s s i b l e t o c o m b i n e g r a p h s h i -e r a r c h i c a l l y . The f a c i l i t y f o r u s i n g a h i e r a r c h y o f g r a p h si s b u i l t i n t o t h e m o d e l i n g t e c h n i q u e , b u t t h e c h o i c e o f h ow

t o arrange t h e h i e r a r c h y i s l e f t t o t h e m o d e l e r .* T h e t e c h n i q u e i s s u i t a b l e f o r e f f i c i e n t a u t o m a t i o n , a n dh a s b e e n a u t o m a t e d i n t h e form o f a s o f t w a r e t o o l , a l s oc a l l e d SPADE.* A l t h o u g h t h e m o d e l i s d e s c r i b e d h e r e i n t h e form o f

a s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h , i t i n c l u d e s a s s p e c i a l c a s e s r e l i a -b i l i t y b l o c k d i a g r a m s [ 7 ] , [ 1 4 ] , f a u l t t r e e s w i t h o u t r e -p e a t e d c o m p o n e n t s [ 2 1 ] , a n d a c y c l i c M a r k o v a n d s e m i -M a r k o v c h a i n s [ 2 5 ] . E a c h o f t h e s e m o d e l s c a n b e t r a n s -f o r m e d i n l i n e a r t i m e t o a s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h m o d e l . F o rd e t a i l s o n how t h i s c a n b e d o n e , s e e [ 1 9 ] . T h e SPAD Ep r o g r a m a c c e p t s t h e s p e c i f i c a t i o n o f t h e s p e c i a l i z e dm o d e l s , i n a d d i t i o n t o t h e g e n e r a l s e r i e s - p a r a l l e l g r a p hm o d e l .I n t h e n e x t s e c t i o n , we d e s c r i b e t h e SPADE m o d e l i n gt e c h n i q u e . I n S e c t i o n I I I we b r i e f l y d e s c r i b e t h e SPAD Ep r o g r a m . S e c t i o n I V g i v e s e x a m p l e s i l l u s t r a t i n g t h e u s eo f o u r a p p r o a c h . A l t h o u g h t h e e x a m p l e s a r e s i m p l e , m o r ec o m p l e x p r o b l e m s c a n b e a n d h a v e b e e n a n a l y z e d u s i n go u r m o d e l i n g t e c h n i q u e .I I . THE S P A D E MODELING T E C H N I Q U E

T h e SPADE m o d e l i n g t e c h n i q u e i s a m e t h o d f o r a n a -l y z i n g s y s t e m s w h o s e u n d e r l y i n g s t r u c t u r e c a n b e m o d -e l e d a s a s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h o r a h i e r a r c h y o f s u c hg r a p h s . G r a p h n o d e s c o r r e s p o n d t o c o m p o n e n t s o f a s y s -t e m o r s u b s y s t e m . E a c h g r a p h n o d e i s a s s i g n e d a f u n c t i o no f o n e v a r i a b l e t , g e n e r a l l y r e p r e s e n t i n g t i m e . E a c h s e t o fp a r a l l e l s u b g r a p h s i s a s s i g n e d o n e o f s e v e r a l a l t e r n a t i v et y p e s . A n a l y s i s o f t h e g r a p h r e s u l t s i n a f u n c t i o n i n t . T h ei n t e r p r e t a t i o n o f t h e f u n c t i o n p r o d u c e d b y t h e a n a l y s i s d e -p e n d s o n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e f u n c t i o n s a s s i g n e d t ot h e i n d i v i d u a l n o d e s .To u s e SPAD E f o r p e r f o r m a n c e a n a l y s i s , e a c h n o d ew o u l d b e a s s i g n e d t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n( C D F ) f o r t h e c o m p l e t i o n t i m e o f t h e t a s k i t m o d e l s . T h e nt h e r e s u l t f u n c t i o n i s t h e C DF f o r t h e c o m p l e t i o n t im e o ft h e g r a p h c o n s i s t i n g o f t h e s e t a s k s . T o u s e SPADE f o rr e l i a b i l i t y a n a l y s i s , e a c h n o d e w o u l d b e a s s i g n e d t h e C DFf o r t h e t i m e - t o - f a i l u r e o f a c o m p o n e n t . T h e n t h e r e s u l tf u n c t i o n i s t h e C DF f o r t h e t i m e - t o - f a i l u r e f o r t h e s y s t e mm o d e l e d b y t h e g r a p h . To u s e SPADE f o r a v a i l a b i l i t ya n a l y s i s , e a c h n o d e w o u l d b e a s s i g n e d a f u n c t i o n t h a tg i v e s t h e p r o b a b i l i t y t h a t a c o m p o n e n t i s u n a v a i l a b l e a t ag i v e n t i m e . T h e n t h e r e s u l t f u n c t i o n g i v e s t h e p r o b a b i l i t yt h a t t h e s y s t e m a s a w h o l e i s u n a v a i l a b l e a t a g i v e n t i m e .T h i s s e c t i o n p r e s e n t s a d e f i n i t i o n o f " s e r i e s - p a r a l l e l "g r a p h s a n d d e f i n e s how a C DF i s o b t a i n e d f o r a g r a p hb a s e d o n t h e CDFs o f t h e i n d i v i d u a l n o d e s .A . S e r i e s - P a r a l l e l G r a p h sT h e r e a r e m a n y d e f i n i t i o n s f o r t h e t e r m " s e r i e s - p a r a l -l e l , " a n d m a n y d i f f e r e n t n a m e s f o r t h e s e r i e s - p a r a l l e ls t r u c t u r e . I n [ 1 0 ] , s u c h g r a p h s a r e c a l l e d " s i m p l e , " i n[ 1 1 ] t h e y a r e c a l l e d " s t a n d a r d , " i n [ 9 ] t h e y a r e c a l l e d" u n c r o s s e d , " a n d i n [ 5 ] t h e y a r e c a l l e d " c o m p l e t e l y r e -d u c i b l e . " I n f o r m a l l y , s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s c a n b e d e -s c r i b e d a s b e i n g " w e l l - s t r u c t u r e d . " T h e y a r e b u i l t b ys t a r t i n g w i t h s i n g l e n o d e s . T h e s e s i n g l e n o d e s may b ec o m b i n e d , e i t h e r i n s e r i e s o r i n p a r a l l e l . T h e s u b g r a p h so b t a i n e d i n t h a t w a y ma y i n t u r n b e c o m b i n e d , i n s e r i e so r i n p a r a l l e l , w i t h o t h e r n o d e s o r s u b g r a p h s . An i m p o r -t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s i s t h a t w h e n -

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S A H N E R AND T R I V E D I : P E R F O R M A N C E ANALYSIS U S I N G D I R E C T E D A C Y C L C GRAPH Se v e r m u l t i p l e e d g e s l e a v e a n o d e , t h e y l e a d t o t w o o r mored i s j o i n t p a r a l l e l s u b g r a p h s . O n c e a n a c t i v i t y w i t h m u l t i p l es u c c e s s o r a c t i v i t i e s i s f i n i s h e d , t h e d i s j o i n t s u b g r a p h s t h a tf o l l o w i t p r o c e e d i n p a r a l l e l , w i t h n e i t h e r h a v i n g a n y d e -p e n d e n c i e s o n w h a t i s h a p p e n i n g i n t h e o t h e r s u b g r a p h .To d e f i n e " s e r i e s - p a r a l l e l " m o r e f o r m a l l y , we b e g i nb y d e f i n i n g a f i n i t e l i n e a r d i r e c t e d g r a p h t o b e a n o r d e r e dq u a d r u p l e G = ( N , A , S , T ) w h e r ea ) N i s a f i n i t e s e t o f e l e m e n t s c a l l e d n o d e s .b ) A i s a s u b s e t o f N x N , c a l l e d t h e s e t o f e d g e s .c ) S i s t h e s u b s e t o f N c o n t a i n i n g t h o s e n o d e s t h a t h a v en o i n c o m i n g e d g e s . T h e s e a r e t h e e n t r a n c e n o d e s .d ) T i s t h e s u b s e t o f N c o n t a i n i n g t h o s e n o d e s t h a t h a v en o o u t g o i n g e d g e s . T h e s e a r e t h e e x i t n o d e s .S u p p o s e G 1 = ( N 1 , A 1 , S 1 , T 1 ) a n d G 2 = ( N 2 , A 2 , S 2 ,T 2 ) a r e n o n i n t e r s e c t i n g g r a p h s . A g r a p h G = ( N , A , S ,T ) i s t h e s e r i e s c o n n e c t i o n o f G 1 a n d G 2 i f a n d o n l y i fa ) A t l e a s t o n e o f T , a n d S 2 i s 1 . T h a t i s , a t l e a s to n e o f t h e t w o s e t s i s a s i n g l e t o n .

b ) N= N 1 U N 2 .c ) A = A 1 U A 2 U ( T 1 x S 2 ) .d ) S =S 1 , T = T 2 .A g r a p h G i s t h e p a r a l l e l c o m b i n a t i o n o f G 1 a n d G 2 i fa n d o n l y i fa ) N =N1 U N 2 .b ) A A 1 U A 2 .c ) S = S 1 U S 2 , T = T 1 U T 2 .T h e c l a s s o f s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s i s t h e s m a l l e s t c l a s so f g r a p h s c o n t a i n i n g t h e u n i t g r a p h s ( g r a p h s c o n s i s t i n g o fo n e n o d e ) a n d h a v i n g t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r G i s t h es e r i e s o r p a r a l l e l c o n n e c t i o n o f t w o g r a p h s i n t h e c l a s s ,t h e n G i s i n t h e c l a s s .N o t e t h a t a s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h i s b y d e f i n i t i o n a c y c l i c .O u r d e f i n i t i o n o f s e r i e s - p a r a l l e l a l s o i m p l i e s t h a t a s e r i e s -p a r a l l e l g r a p h c a n n o t h a v e r e d u n d a n t e d g e s . T h a t i s , i ft h e r e i s a n e d g e f r o m n o d e x t o n o d e y , t h e r e i s n o o t h e rp a t h f r o m x t o y .F i g . 1 s h o w s s e v e r a l e x a m p l e s o f s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s .I n t h i s a n d a l l s u b s e q u e n t f i g u r e s , t h e d i r e c t i o n o f t h ee d g e s i s n o t s h o w n e x p l i c i t l y ; i t i s a s s u m e d t h a t a n e d g ep o i n t s d o w n w a r d . I n F i g . 2 , g r a p h G I i s " t r a n s i t i v e s e -r i e s - p a r a l l e l " [ 2 6 ] b u t i s n o t s e r i e s - p a r a l l e l b e c a u s e o f t h er e d u n d a n t a r c f r o m A t o C . I t c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o t h es e r i e s - p a r a l l e l g r a p h G 2 b y a d d i n g t h e dummy n o d e Z ,w h o s e a c t i v i t y t a k e s n o t i m e . G r a p h G3 i n F i g . 2 i s n o t

s e r i e s - p a r a l l e l u n d e r a n y d e f i n i t i o n .A l t h o u g h t h e d e f i n i t i o n o f s e r i e s - p a r a l l e l i s b i n a r y i nn a t u r e , i t i s c o n v e n i e n t t o t h i n k o f e a c h s e r i e s o r p a r a l l e lc o m b i n a t i o n a s b e i n g b u i l t f r o m n s u b g r a p h s , r a t h e r t h a nt w o . T h e p a r a l l e l ( s e r i e s ) c o m b i n a t i o n o f n s u b g r a p h s i sd e f i n e d t o b e t h e s e q u e n c e o f n - 1 b i n a r y p a r a l l e l ( s e r i e s )c o mb i na t io n s o f t h e s u b g r a p h s .B . D i s t r i b u t i o n F u n c t i o n o f a G r a p h

W i t h e a c h n o d e i n a g r a p h i s a s s o c i a t e d a r e a l - v a l u e df u n c t i o n w h o s e r a n g e i s [ 0 , 1 ] . T h e c l a s s o f a l l o w e d f u n c -t i o n s w i l l b e d e s c r i b e d i n S e c t i o n I I - E . I t i s a l s o p o s s i b l e

F i g . 1 . E x a m p l e s o f s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s .

G l G2 G3F i g . 2 . G r a p h e x a m p l e s .

t o a s s i g n t o a n o d e a f u n c t i o n o b t a i n e d b y a n a l y z i n g s o m eg r a p h .E a c h s e t o f p a r a l l e l s u b g r a p h s i s s p e c i f i e d t o b e e i t h e rp r o b a b i l i s t i c o r c o n c u r r e n t . I f t h e s e t i s p r o b a b i l i s i t i c , e a c hs u b g r a p h i s a s s i g n e d a p r o b a b i l i t y v a l u e . I f t h e s e t i s c o n -c u r r e n t , t h e s e t o f n s u b g r a p h s i s a s s i g n e d a t y p e a n d a ni n t e g e r k c n .We d e f i n e t h e c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( C D F )o f a g r a p h r e c u r s i v e l y . I n t h i s s e c t i o n , we s i m p l y d e f i n ehow t h e f u n c t i o n i s c o m p u t e d . I n t h e n e x t s e c t i o n , we w i l le x p l a i n how t h e c o m p u t a t i o n o f t h e f u n c t i o n c a n b e i n t e r -p r e t e d i n t e r m s o f p e r f o r m a n c e , r e l i a b i l i t y , a n d a v a i l a b i l -i t y a n a l y s i s .I f G c o n s i s t s o f a s i n g l e n o d e , t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o ni s g i v e n a s p a r t o f t h e m o d e l s p e c i f i c a t i o n .S u p p o s e G w a s f o r m e d b y c o m b i n i n g t h e g r a p h s G 1 ,G 2 , , G n h a v i n g i n d e p e n d e n t d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n sF l , F 2 , * * * , F , I f t h e g r a p h s w e r e c o m b i n e d i n s e r i e s ,t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n f o r t h e g r a p h G i s d e f i n e d b y

nF s u m ( t ) = ( 0 F i ( t )i w = ( 1 )w h e r e t h e s y m b o l ( 2 9 r e p r e s e n t s c o n v o l u t i o n . T h e c o n v o -l u t i o n o f t w o C D F ' s F j a n d F k i s d e f i n e d b y

F j ( t ) F k ( t ) = F k ( t - x ) d F j ( x ) .N o t e t h a t t h e o r d e r o f t h e s u b g r a p h s d o e s n o t m a t t e r .I f t h e s u b g r a p h s G i w e r e c o m b i n e d i n p a r a l l e l , t h e d i s -t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e g r a p h d e p e n d s o n w h e t h e r t h es u b g r a p h s a r e p r o b a b i l i s t i c o r c o n c u r r e n t . F o r p r o b a b i l i s -t i c p a r a l l e l s u b g r a p h s , s u p p o s e t h e p r o b a b i l i t y a s s i g n e d t oG i i s p i . T h e n t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f G i s g i v e n b y

nF p r o b ( t ) = Z p 1 F i ( t ) . ( 2 )

1 1 0 7


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I E E E T R A N S A C T I O N S ON S O F T W A R E ENGINEERING, VOL. S E - 1 3 , NO . 1 0 , O C T O B E R 1 9 8 7F o r c o n c u r r e n t p a r a l l e l s u b g r a p h s , t h e d i s t r i b u t i o n f u n c -t i o n f o r G i s g i v e n b y t h e k th o r d e r s t a t i s t i c [ 4 ] o f t h e ns u b g r a p h f u n c t i o n s . Two s p e c i a l c a s e s o c c u r s o o f t e n t h a twe t r e a t t h e m s e p a r a t e l y . I f k = 1 t h e n t h e d i s t r i b u t i o n i st h e "minimum" o f t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e s u b g r a p h s . I nt h a t c a s e we h a v e

nF m i n ( t ) = 1 -H ( 1 - F i ( t ) ) .i= 1I f k = n t h e n t h e d i s t r i b u t i o n i s t h e "maximum" o f t h o s eo f t h e s u b g r a p h s , a n d we h a v e

nFmX( t ) = H F i ( t ) .i = 1 ( 4 )

( 3 )

e a c h m 2 k , t h e r e a r e ( ' ) w a y s o f c h o o s in g T . O n c e T i sc h o s e n , V i s d e t e r m i n ed a n d V = i - m . T h e r e f o r e t h ec o e f f i c i e n t o f i n t e r e s t i s ( s e e [ 1 7 ] )

i-km=0 ( (m)i-k ( [()m I ( - I +m=0 m/

= (1)\m- I ) J

( k - 1 II n t h e g e n e r a l c a s e , i f t h e n s u b g r a p h s h a v e i d e n t i c a l d i s -t r i b u t i o n s F t h e n t h e d i s t r i b u t i o n f o r G i s ( o m i t t i n g t h ep a r a m e t e r t f o r b e t t e r r e a d a b i l i t y )n

F k / f = E K F 1 ( 1 -F ) . ( 5 )I f t h e s u b g r a p h s d o n o t h a v e i d e n t i c a l d i s t r i b u t i o n s , t h ee x p r e s s i o n f o r F k l n i s ( s e e [ 4 ] )(H(1- F j ) )

w h e r e T i s a s e t o f i n d e x es r a n g i ng over a l l c o m b i n a t i o n so f k or more i n d e x e s c h o s e n f r o m { 1 , 2 , * * , n } . T h a ti s , T ranges over a l l c h o i c e s { i l , 1 2 , * * j m } s u c h t h a tk mnandji 1 .d ) S i ( j ) = S i ( j - 1 ) + ( F j S i - . ( j - 1 ) ) f o r l < i< j .

N o t e t h a t we d o n o t n e e d t o c o m p u t e a l l o f t h e t e r m sS i ( j ) , b u t o n l y t h e l a s t n - k + 1 t e r m s f o r e a c h j . U s i n gt h i s m e t h o d , t h e n u m b e r o f m u l t i p l i c a t i o n s o f C D F ' s i sO(n(n - k ) ) .C . G r a p h I n t e r p r e t a t i o n

S u p p o s e we a r e m o d e l i n g p r o g r a m e x e c u t i o n . C l e a r l y ,s e r i e s s u b g r a p h s r e p r e s e n t s e r i a l s t a t e m e n t e x e c u t i o n . T h ei n t e r p r e t a t i o n o f p a r a l l e l s u b g r a p h s d e p e n d s o n t h e t y p eo f p a r a l l e l i s m . We a s s i g n t h e t y p e maximum t o a p a r a l l e lc o m b i n a t i o n o f s u b g r a p h s i n o r d e r t o m o d e l t h e c o n c u r -r e n t e x e c u t i o n o f g r o u p s o f t a s k s , w i t h e a c h g r o u p r u n n i n gt o c o m p l e t i o n . T h e s e t o f g r o u p s i s n o t c o n s i d e r e d f i n -i s h e d u n t i l a l l t a s k g r o u p s a r e f i n i s h e d . T h i s c o n s t r u c tm o d e l s t h e s t a t em e n t t y p es c o b e g i n o r p a r b e g i n i n v a r i o u sc o n c u r r e n t p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s . T h i s i s t h e o n l y k i n do f c o n c u r r e n c y c o n s i d e r e d i n PER T n e t w o r k s a n d b yR o b i n s o n [ 1 8 ] a n d K l e i n o d e r [ 1 0 ] . I f p a r a l l e l s u b g r a p h sa r e p r o b a b i l i s t i c , t h e y c a n b e i n t e r p r e t e d a s t h e a l t e r n a -t i v e s i n a c o n d i t i o n a l s t a t e m e n t ( i f o r c a s e s t a t e m e n t t y p e si n p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s ) .P a r a l l e l s u b g r a p h s o f t h e t y p e minimum can m o d e l t h ep a r a l l e l e x e c u t i o n o f a n o n d e t e r m i n i s t i c a l g o r i t h m i nw h i c h t h e v e r i f i c a t i o n o f a l l g u e s s e d s o l u t i o n s i s a t -t e m p t e d c o n c u r r e n t l y , a n d t h e f i r s t g u e s s t o b e v e r i f i e dp r o v i d e s a s o l u t i o n t o t h e w h o l e p r o b l e m . A n o t h e r e x -

1 1 0 8

F = Z I I F jl n T j > i k je T


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S A H N E R AND T R I V E D I : P E R F O R M A N C E ANALYSIS U S I N G D I R E C T E D A C Y C L C GRAPH Sa m p l e o f t h e u s e o f p a r a l l e l s u b g r a p h s o f t y p e m i n i m u mi s i n m o d e l i n g t h e p a r a l l e l s e a r c h o f a d a t a b a s e w h e r e t h ef i r s t o n e o f t h e c o n c u r r e n t s e a r c h p r o c e s s e s t o f i n i s h w i l lt e r m i n a t e t h e o v e r a l l s e a r c h . We c a n a l s o m o d e l t h e u n -r e l i a b i l i t y o f t a s k s b y r e p r e s e n t i f i g e a c h t a s k b y a p a r a l l e lc o m b i n a t i o n o f t h e t a s k e x e c u t i o n a n d t h e f a i l u r e p r o c e s so f t h e t a s k .S u p p o s e we a r e m o d e l i n g c l o s e d ( n o n r e p a i r a b l e ) f a u l t -t o l e r a n t s y s t e m s w i t h p e r m a n e n t f a u l t s . S u c h s y s t e m s a r ed e f i n e d i n [ 1 5 ] , w h e r e t h e y a r e a n a l y z e d b y M a r k o v c h a i nt e c h n i q u e s . We n o t e t h a t o u r g r a p h s a l l o w m o r e g e n e r a ld i s t r i b u t i o n s o f s u b s y s t e m o r c o m p o n e n t l i f e t i m e s t h a nt h o s e a l l o w e d b y t h e M a r k o v c h a i n t e c h n i q u e s . I n t h eSPADE t e c h n i q u e , t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a t t a c h e d t o ag r a p h n o d e w i l l b e t h e l i f e t i m e d i s t r i b u t i o n ( o r u n r e l i a b i l -i t y f u n c t i o n ) o f t h e c o m p o n e n t o r s u b s y s t e m i t r e p r e s e n t s .A s y s t e m c o n s i s t i n g o f a s e r i e s c o m b i n a t i o n o f c o m p o -n e n t s i s m o d e l e d b y p a r a l l e l g r a p h n o d e s w i t h t y p e m i n i -m u m ; a p a r a l l e l c o m b i n a t i o n i s m o d e l e d a s p a r a l l e l g r a p hn o d e s w i t h t y p e m a x i m u m . S y s t e m s w i t h r e d u n d a n t c o m -p o n e n t s , s o m e minimum n u m b e r o f w h i c h m u s t f u n c t i o n ,a r e m o d e l e d a s k - o u t - o f - n p a r a l l e l s u b g r a p h s .We c a n a l s o m o d e l t h e p o i n t ( i n s t a n t a n e o u s ) a v a i l a b i l -i t y f o r t h e r e s t r i c t e d c l a s s o f r e p a i r a b l e s y s t e m s w h e r e e a c hc o m p o n e n t h a s a n i n d e p e n d e n t r e p a i r f a c i l i t y .D . I m p l e m e n t a t i o n o f t h e G r a p h A n a l y s i sI n p r a c t i c e , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e d i s t r i b u t i o n o f a g r a p hi s d o n e i n t w o s t e p s . F i r s t we d e c o m p o s e t h e g r a p h , o b -t a i n i n g a t r e e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r a p h t h a t s h o w s t h es e r i e s a n d p a r a l l e l c o m b i n a t i o n s t h a t f o r m e d t h e g r a p h .T h e l e a v e s o f t h e t r e e c o r r e s p o n d t o . n o d e s o f t h e g r a p ha n d e a c h i n t e r n a l t r e e n o d e r e p r e s e n t s e i t h e r a s e r i e s o rp a r a l l e l c o m b i n a t i o n o f i t s s u b t r e e s . F i g . 3 s h o w s a g r a p ha n d i t s t r e e d e c o m p o s i t i o n . When t h e d e c o m p o s i t i o n i sp a r a l l e l , we l a b e l t h e i n t e r n a l n o d e w i t h t h e p a r t i c u l a ri n t e r p r e t a t i o n ( m a x i m u m , m i n i m u m , p r o b a b i l i s t i c , o r k -o u t - o f - n ) a s s i g n e d t o t h e s e t o f p a r a l l e l s u b g r a p h s . I t i sp o s s i b l e t o c a r r y o u t t h i s d e c o m p o s i t i o n i n t i m e p r o p o r -t i o n a l t o t h e n u m b e r o f n o d e s i n t h e r e s u l t i n g t r e e . F o r ad e s c r i p t i o n o f s u c h a l i n e a r a l g o r i t h m f o r d e c o m p o s i n ga n y t r a n s i t i v e s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h i n t o a b i n a r y t r e e , s e e[ 2 6 ] . T h e a c t u a l a l g o r i t h m u s e d i n t h e SPADE p r o g r a m i sd e s c r i b e d i n [ 1 9 ] .

O n c e we h a v e t h e t r e e r e p r e s e n t a t i o n o f a g r a p h , t h es e c o n d s t e p i s t o c a l c u l a t e t h e g r a p h ' s d i s t r i b u t i o n a c c o r d -i n g t o t h e d e f i n i t i o n s i n S e c t i o n I I - B . We d o t h a t b y v i s -i t i n g a l l o f t h e n o d e s o f t h e t r e e i n p o s t o r d e r , a s s i g n i n ge a c h o n e a d i s t r i b u t i o n . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r o o t n o d eo f t h e t r e e w i l l b e t h e C DF o f t h e g r a p h .I f a n o d e i s a l e a f we a s s i g n i t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h eg r a p h n o d e t o w h i c h i t c o r r e s p o n d s . I f a n o d e i s i n t e r n a l ,i t r e p r e s e n t s t h e s e r i e s o r p a r a l l e l c o m b i n a t i o n o f t w o o rm o r e s u b g r a p h s . B e c a u s e we a r e t r a v e r s i n g ' t h e t r e e i np o s t o r d e r , t h e c h i l d r e n o f t h e n o d e w i l l a l r e a d y c o n t a i nt h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e s e s u b g r a p h s . We a p p l y o n e o f t h ef o r m u l a s ( 1 ) t h r o u g h ( 6 a ) , d e p e n d i n g o n t h e t y p e o f t h e

3 . n.F i g . 3 . A s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h a n d i t s d e c o m p o s i t i o . n t r e e .n o d e , t o t h e d i s t r i b u t i o n s a s s i g n e d t o t h e n o d e ' s c h i l d r e n ,a n d a s s i g n t h e r e s u l t i n g d i s t r i b u t i o n t o t h e n o d e i t s e l f .When we r e a c h t h e r o o t n o d e , we a r e f i n i s h e d .I f we t a k e a s o u r u n i t o f c a l c u l a t i o n t h e m u l t i p l i c a t i o na n d c o n v o l u t i o n o f d i s t r i b u t i o n s , t h e n t h e t i m e n e e d e d t oc a l c u l a t e t h e C DF f o r a t r e e n o d e o f t y p e s e r i e s , m a x i -mum, m i n i m u m , p r o b a b i l i s t i c , o r k - o u t - o f - n w i t h i d e n t i -c a l l y d i s t r i b u t e d s u b g r a p h s i s 0 ( n ) . I f t h e t y p e i s k - o u t -o f - n w i t h n o n i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d s u b g r a p h s , t h e t i m ei s a t w o r s t ( w h e n k i s s m a l l ) 0 ( n 2 ) .T h e o v e r a l l t i m e c o m p l e x i t y o f t h e a l g o r i t h m d e p e n d so n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f d i s t r i b u t i o n s , a n d o n t h e i m p l e -m e n t a t i o n o f t h e v a r i o u s o p e r a t i o n s d o n e o n d i s t r i b u -t i o n s .E . D i s t r i b u t i o n F u n c t i o n sU p t o t h i s p o i n t , we h a v e m a d e n o a s s u m p t io n s a b o u tt h e c h a r a c t e r o f t h e C D F ' s a s s o c i a t e d w i t h t h e n o d e s o fo u r g r a p h s e x c e p t t h a t t h e y a r e s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t .F o r C D F ' s o f a n y f o r m , i t w o u l d b e p o s s i b l e t o c o m p u t eF ( t ) n u m e r i c a l l y f o r t h e o v e r a l l g r a p h f o r a n y p a r t i c u l a rv a l u e o f t . I f t h e t y p e o f t h e C D F ' s i s r e s t r i c t e d t o b e o fe x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l f o r m a n d t h e p a r a m e t e r s a r eg i v e n , we c a n c o m p u t e t h e o v e r a l l C DF a s a f u n c t i o n o f

An e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l i s d e f i n e d t o b e a n e x p r e s -s i o n o f t h e f o r mZ a i t k i e b i t

w h e r e t h e k , a r e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s a n d t h e a i a n d b i a r er e a l o r c o m p l e x n u m b e r s . Of c o u r s e , n o t e v e r y e x p o n e n -t i a l p o l y n o m i a l i s a v a l i d CDF. F o r a f u n c t i o n F ( t ) t o b et h e C DF o f a n o n n e g a t i v e r a n d o m v a r i a b l e , i t m u s t s a t -i s f y t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :F i s r e a l - v a l u e d .0 c F ( t ) c 1 v t . ( 7 )( 8 )F i s m o n o t o n e n o n d e c r e a s i n g

a n d r i g h t c o n t i n u o u s . ( 9 )N o t e t h a t t h e s e p r o p e r t i e s i m p l y t h a t t h e r e a l p a r t o f e a c hb i m u s t b e l e s s t h a n o r e q u a l t o z e r o , a n d t h a t i f b i = 0t h e n we m u s t h a v e k-0 . I n o r d e r f o r F ( t ) t o b e r e a l -v a l u e d , c o m p l e x n u m b e r s m u s t o c c u r i n c o n j u g a t e p a i r s .

1 1 0 9


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I E E E TRANSACTIONS O N SOFTWARE E N G I N E E R I N G , VOL. S E - 1 3 , N O . 1 0 , O C T OBER 1 9 8 7T h a t i s , w h e n e v e r F ( t ) c o n t a i n s t h e t e r m a t k e b t , i f t h ei m a g i n a r y p a r t o f a o r b i s n o n z e r o , F ( t ) m u s t a l s o c o n -t a i n t h e t e r m I i t k e b t .T h e c l a s s o f e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l s t h a t s a t i s f y t h e s er e q u i r e m e n t s i s q u i t e g e n e r a l . I n f a c t , t h i s c l a s s i s e x a c t l yt h e c l a s s o f C o x i a n p h a s e - t y p e d i s t r i b u t i o n s [ 3 ] , [ 1 9 ] . I np a r t i c u l a r , t h e C DF o f e a c h n o d e c a n b e e x p o n e n t i a l , h y -p e r e x p o n e n t i a l , E r l a n g , o r a m i x t u r e o f E r l a n g d i s t r i b u -t i o n s . B e c a u s e t h e c l a s s o f e x p o n e nt i a l p o l y n o m i a l s i sc l o s e d u n d e r t h e o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n , s u b t r a c t i o n , m u l -t i p l i c a t i o n , d i f f e r e n t i a t i o n , a n d i n t e g r a t i o n , a s e r i e s - p a r -a l l e l g r a p h w h o s e n o d e s h a v e e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l s f o rC D F ' s w i l l h a v e a n o v e r a l l C DF t h a t i s a l s o a n e x p o n e n -t i a l p o l y n o m i a l .I f F ( 0 ) > 0 , - t h e n F ( O ) i s a d i s c r e t e p r o b a b i l i t y m a s s a tt h e o r i g i n . F ( 0 ) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e a c t i v i t y w i t hd i s t r i b u t i o n F t a k e s n o t i m e . I f a n a c t i v i t y r e p r e s e n t s t h ef a i l u r e o f a c o m p o n e n t , i t i s u s e f u l t o a l l o w f o r t h e p o s -s i b i l i t y t h a t t h e c o m p o n e n t i s d e f e c t i v e t o b e g i n w i t h .A l s o , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e w a i t i n g t i m e i n a q u e u e i n gs y s t e m u s u a l l y p o s s e s s e s a m a s s a t t h e o r i g i n [ 2 5 ] .I t i s p o s s i b l e t o h a v e F ( O ) = 1 ( F i s t h e " z e r o " d i s t r i -b u t i o n ) , i n w h i c h c a s e t h e a c t i v i t y a l w a y s t a k e s n o t i m e .T h i s i s t h e c o u n t e r p a r t o f a n i n s t a n t a n e o u s t r a n s i t i o n i n as t o c h a s t i c P e t r i n e t [ 6 ] . N o d e s w i t h d i s t r i b u t i o n " z e r o "c a n b e u s e d t o s p e c i f y p r e c e d e n c e r e l a t i o n s t h a t o t h e r w i s ew o u l d n o t a d h e r e t o o u r d e f i n i t i o n o f s e r i e s - p a r a l l e l ( s e eg r a p h s G l a n d G2 i n F i g . 2 ) .T h e l i m i t o f a d i s t r i b u t i o n a t i n f i n i t y r e p r e s e n t s t h ep r o b a b i l i t y t h a t a n a c t i v i t y e v e r f i n i s h e s . I f l i m t , 1 F ( t )< 1 , t h e n F i s a " d e f e c t i v e " d i s t r i b u t i o n . I f a n a c t i v i t yr e p r e s e n t s a n u m e r i c a l a l g o r i t h m t h a t d o e s n o t a l w a y sc . o n v e r g e , i t i s u s e f u l t o b e a b l e t o e x p r e s s t h e p r o b a b i l i t yt h a t t h e a l g o r i t h m d o e s n o t c o n v e r g e . S i m i l a r l y , i f wec o n s i d e r p r o g r a m e x e c u t i o n i n a f a i l u r e - p r o n e e n v i r o n -m e n t , t h e n we may a l l o w f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a f a i l u r eo c c u r r i n g b e f o r e p r o g r a m c o m p l e t i o n , s o t h a t t h e p r o g r a md o e s n o t c o m p l e t e .S e c t i o n I V i n c l u d e s e x a m p l e s t h a t s h o w how d i s t r i b u -t i o n s w i t h a m a s s a t z e r o o r i n f i n i t y c a n b e u s e d .E q u a t i o n s ( 1 ) - ( 6 a ) f o r c o m p u t i n g t h e d i s t r i b u t i o n s o fc o m b i n a t i o n s o f s u b g r a p h s a r e v a l i d f o r d i s t r i b u t i o n s w i t ha m a s s ' a t z e r o o r i n f i n i t y ( o r b o t h ) a s w e l l a s f o r a b s o l u t e l yc o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n s . I n p r a c t i c e , we d o n o t h a v e t oi m p l e m e n t t h e f o r m u l a s i n t h e i r f u l l g e n e r a l i t y ; i n s t e a d wer e d e r i v e t h e m t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e e x p o n e n t i a l p o l y n o -m i a l f o r m o f t h e d i s t r i b u t i o n s .

I I I . THE SPADE PROGAMWe h a v e d e v e l o p e d a s o f t w a r e t o o l ( a l s o c a l l e d SPADE)t h a t i m p l e m e n t s t h e . SPADE m o d e l i n g t e c h n i q u e . I t i sw r i t t e n i n C a n d c o n s i s t s o f a b o u t 2 8 0 0 l i n e s o f c o d e .SPADE may b e u s e d e i t h e r i n t e r a c t i v e l y o r i n b a t c h m o d e .T h e d a t a t h a t ' m u s t b e s u p p l i e d b y t h e u s e r i s t h e s a m e i ne i t h e r c a s e . When u s e d i n t e r a c t i v e l y , SPADE p r o m p t s t h eu s e r . f o r d a t a e n t r y , a l l o w i n g r e t r y w h e n e v e r p o s s i b l e i fi n v a l i d d a t a ' i s e n t e r e d a n d e n s u r i n g t h a t a l l r e q u i r e d d a t a 'i s e n t e r e d . I n b a t c h m o d e , t h e u s e r c r e a t e s a f i l e t h a t c o n -

t a i n s d a t a i n t h e f o r m o f a s i m p l e i n p u t l a n g u a g e . T h eSPADE p r o g r a m h a s p r o v e n t o b e e a s y t o l e a r n a n d u s e .Some o f i t s f e a t u r e s a r e :* I t r e c o g n i z e s a r i t h m e t i c e x p r e s si o n s c o n ta i ni n g a n yw e l l - f o r m e d c o m b i n a t i o n o f v a r i a b l e s , c o n s t a n t s , f u n c -t i o n n a m e s , a n d t h e o p e r a t o r s +,-, * , / , e x p o n e n t i a t i o na n d p a r e n t h e s e s . ( V a r i a b l e s m u s t b e b o u n d t o v a l u e s b e -f o r e g r a p h a n a l y s i s t a k e s p l a e d . )* I t a l l o w s u s e r s t o d e f i n e a r i t h m e t i c f u n c t i o n s o f a n yn u m b e r o f p a r a m e t e r s ( i n c l u d i n g n o n e ) .* I n a d d i t i o n t o r e c o g n i z i n g c e r t a i n b u i l t - i n d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s , i t a l l o w s u s e r t o d e f i n e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n si n a n y n u m b e r o f p a r a m e t e r s ( i n c l u d i n g n o n e ) . A d i s t r i -b u t i o n c a n b e s p e c i f i e d b y g i v i n g a l i s t o f e x p o n e n t i a lp o l y n o m i a l t e r m s o r i t c a n b e s p e c i f i e d t o b e t h e d i s t r i -b u t i o n f u n c t i o n t h a t ' r e s u l t s f r o m t h e a n a l y s i s o f s o m es p e c i f i e d g r a p h .* I t c o n t a i n s a c o n v e n i e n t s h o r t h a n d f o r s p e c i f y i n g t h ecommon c a s e w h e n t h e d i s t r i b u t i o n s o f a l l s u b g r a p h s i n as e t o f p a r a l l e l s u b g r a p h s a r e i d e n t i c a l .* I t a l l o w s t h e u s e r t o s e l e c t w h a t r e s u l t s a r e p r i n t e da n d , t o s o m e e x t e n t , t h e f o r m a t o f t h e r e s u l t s .* T h e i n p u t c a n b e s p l i t i n t o a n y n u m b e r = o f f i l e s . T h i sm a k e s i t e a s y t o s e t u p a p e r m a n e n t l i b r a r y o f f u n c t i o n ,d i s t r i b u t i o n , a n d g r a p h d e f i n i t i o n s .* When i n p u t i s g i v e n i n t h e f o r m o f b l o c k d i a g r a m s ,f a u l t t r e e s , a c y c l i c M a r k o v c h a i n s , o r a c y c l i c s e m i -M a r k o v p r o c e s s e s , t h e m o d e l a n a l y s i s i s d o n e u s i n g a l -g o r i t h m s s p e c i a l i z e d f o r t h e s e p a r t i c u l a r m o d e l s , r a t h e rt h a n t r a n s f o r m i n g t h e m o d e l s i n t o s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h sa n d u s i n g t h e g e n e r a l a l g o r i t h m . W i t h t h e s e s p e c i a l i z e da l g o r i t h m s , t h e a n a l y s i s i s q u i t e e f f i c i e n t .

I V . EXAMPLEST h i s s e c t i o n c o n t a i n s e x a m p l e s o f m o d e l s t h a t c a n b ea n a l y z e d u s i n g t h e SPADE t e c h n i q u e .

A . E x a m p l e I-CPU-I/O O v e r l a pF i g . 4 s h o w s a s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h r e p s e n t i n g o n ei t e r a t i o n o f t h e p r o g r a m w i t h C P U - I / O o v e r l a p c o n s i d -e r e d b y T o w s l e y , C h a n d y , a n d B r o w n e [ 2 4 ] . I n e a c h i t -e r a t i o n o f t h e p r o g r a m t h e r e a r e t w o s t a g e s . T h e f i r s t s t a g ei s a l w a y s a C PU b u r s t . T h e s e c o n d s t a g e c o n s i s t s o f e i t h e rp u r e i n p u t / o u t p u t , o r i n p u t / o u t p u t t h a t may b e o v e r l a p p e dw i t h a s e c o n d C PU b u r s t . T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e s e c o n ds t a g e c o n s i s t s o f C P U - I / O o v e r l a p i s g i v e n b y p . T h en o d e c a l l e d Z E R O i s a dummy n o d e h a v i n g d i s t r i b u t i o nz e r o . I t a l l o w s u s t o h a v e o n e b r a n c h o f t h e C PU n o d el e a d t o a s i n g l e n o d e , w h i l e t h e o t h e r b r a n c h l e a d s t o ag r o u p o f n o d e s t o b e e x e c u t e d i n p a r a l l e l .We m i g h t l i k e t o k n o w how m u c h i t h e l p s t o a l l o w t h eo v e r l a p . We d e f i n e t h e " s p e e d u p " t o b e t h e r a t i o o f t h emean s e q u e n t i a l e x e c u t i o n t i m e ( t h e t i m e w h e n n o o v e r l a pi s a l l o w e d ) t o t h e mean p a r a l l e l e x e c u t i o n t i m e . We c a nu s e t h e SPAD E p r o g r a m t o c o m p u t e t h e s p e e d u p f o r v a r -i o u s v a l u e s o f p . F i g . 5 ( a ) s h o w s p a r t o f a n i n p u t f i l e f o rt h e SPADE p r o g r a m a n d F i g . 5 ( b ) s h o w s t h e o u t p u t p r o -d u c e d b y SPADE.

1 1 1 0


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SAtINER AND TRIVEDI: PERFORMANCE A N A L Y S I S U S I N G DIRECTED ACYCLC GRAPHS

e x p ( g ),p

e x p ( X)/max\

e x p ( 9 l 2 ) e x p ( k )F i g . 4 . O n e i t e r a t i o n o f CPU-I/O e x a m p l e .

* b y t h i s p o i n t , t h e v a r i a b l e s l a m b d a , mu l* a n d mu 2 h a v e b e e n a s s i g n e d t h e v a l u e s* 1 / 0 . 0 3 7 6 , 1 1 0 , 1 2 5 a n d l / 0 . 1 4 9 9 5 a n d t h e* g r a p h S E R I A L h a s b e e n d e f i n e d .g r a p h O V E R L A P ( p )c p u l zerocpul j o 1zero c p u 2z e r o b2e n de x i t cpul p r o bp r o b cpul zero pe x i t zero ma xd i s t cpul ex p ( m u l )d i s t zero zerod i s t i o 1 ex p ( l a m b d a )d i s t c p u 2 ex p ( m u 2 )' d i s t i o 2 ex p ( l a m b d a )e n dexpr m e a n ( S E R I A L ; 0 . 7 )e x p r m e a n ( O V E R L A P ( 0 . 7 )f u n c s p e e d u p ( p ) \m e a n ( S E R I A L , p ) / m e a n ( O V E R L A P ; p )e x p r s p e e d u p ( 0 . 6 )e x p r s p e e d u p ( 0 . 7 )e x p r s p e e d u p ( 0 . 8 )e x p r s p e e d u p ( 0 . 9 )e x p r s p e e d u p ( 1 . 0 )b i n dm u l 1 / 0 . 0 1e n de x p r s p e e d u p ( 1 . 0 )e n d

(a) ( b )F i g . 5 . I n p u t a n d o u t p u t f o r CPU-I/O e x a m p l e . ( a ) I n p u t . ( b ) O u t p u t .

When p i s 0 . 7 , t h e mean e x e c u t i o n t i m e f o r t h e s e r i a lg r a p h i s 0 . 2 7 5 0 5 , t h e mean e x e c u t i o n t i m e f o r t h e g r a p hw i t h o v e r l a p i s 0 . 2 2 7 3 3 , a n d t h e s p e e d u p i s 1 . 2 1 . I t i si n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t even when we h a v e maximum p a r -a l l e l i s m f o r t h i s g r a p h ( w h e n t h e b r a n c h l e a d i n g t o I O ] i snever t a k e n ) , t h e s p e e d u p i s o n l y 1 . 2 8 . T h i s i s b e c a u s e o ft h e t i m e s p e n t i n CPU]. When we d e c r e a s e d t h e means e r v i c e t i m e a t CPU] t o 0 . 0 1 r a t h e r t h a n 0 . 0 3 7 6 , t h es p e e d u p w i t h maximum p a r a l l e l i s m i s i n c r e a s e d t o 1 . 3 1 .A s a f u r t h e r e x p e r i m e n t , we can a d d more d e t a i l t o t h em o d e l . F i r s t , we r e c o g n i z e t h e f a c t t h a t t h e t i m e s p e n t i ne a c h C PU may vary, d e p e n d i n g on t h e p a r t i c u l a r j o b b e i n gd o n e . We can m o d e l t h i s b y d i v i d i n g t h e j o b s i n t o nc l a s s e s a n d a s s i g n i n g e a c h C P U an n - s t a g e h y p e r e x p o -n e n t i a l d i s t r i b u t i o n . S e c o n d , we a s s u m e t h a t t h e I/O s e r -v i c e c o n s i s t s o f t h r e e s e q u e n t i a l p h a s e s . The f i r s t p h a s e ,c o r r e s p o n d i n g t o s e e k t i m e , i s assumed t o b e e x p o n e n -t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t h a m a s s a t t h e o r i g i n :

Fseek(t) =Pnoseek +(1 Pnoseek) (1 -

T h e s e c o n d p h a s e i s t h e r o t a t i o n a l l a t e n c y p h a s e , a n d t h e

t h i r d p h a s e i s t h e t r a n s f e r p h a s e ; we assume t h a t t h e t i m es p e n t i n e ac h o f t h e s e p h a s e s i n e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d .We c h o o s e t h e p a r a m e t e r v a l u e s s o t h a t t h e mean f o rt h e h y p e r e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n f o r e a c h C PU n o d e i st h e same as t h e mean f o r t h e p r e v i o u s l y u s e d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s f o r t h e n o d e s , a n d t h e mean f o r t h e I/ On o d e s i s t h e same as b e f o r e . The more d e t a i l e d m o d e ls h o w s a s h o r t e r mean e x e c u t i o n t i m e f o r t h e g r a p h w i t ho v e r l a p a n d a g r e a t e r s p e e d u p f o r e a c h v a l u e o f p . T h i si l l u s t r a t e s t h e f a c t t h a t t h e mean o f a d i s t r i b u t i o n d o e s notc o n t a i n a l l o f t h e i n f o r m a t i o n a b o u t a d i s t r i b u t i o n .I t t o o k t h e SPAD E program a b o u t 0 . 9 s e c o n d s ( m o r et h a n h a l f o f w h i c h was i n p u t / o u t p u t t i m e ) on a l i g h t l yl o a d e d G o u l d C O N C E P T " 3 2 / 8 7 t o compute a l l o f t h er e s u l t s d i s c u s s e d a b o v e .B . E x a m p l e 2 - M o d e l i n g I n t e r p r o c e s s C o m m u n i c a t i o n

C o n s i d e r t h e t a s k g r a p h s h o w n i n F i g . 6 . T h i s m o d e l i sb a s e d on a m o d e l s u g g e s t e d b y Kung [ 1 1 ] . N o d e s 1 , 2 ,3 , a n d 4 r e p r e s e n t t a s k s ; t a s k s 1 a n d 2 ar e e x e c u t e d onone processor a n d t a s k s 3 a n d 4 ar e e x e c u t e d on a n o t h e rp r o c e s s o r . R e s u l t s f r o m t a s k 1 m u s t b e s e n t f r o m one pro-cessor t o t h e o t h e r b e f o r e t a s k 3 can b e g i n , a n d s i m i l a r l yf o r t a s k s 2 a n d 4 . T h e t i m e n e e d e d f o r c o m m u n i c a t i o nb e t w e e n t a s k s 1 a n d 3 a n d t a s k s 2 a n d 4 i s m o d e l e d b yt h e n o d e s S 1 3 a n d S 2 4 , r e s p e c t i v e l y .Kung a s s u m e d t h a t a l l o f t h e d i s t r i b u t i o n s are exponen-t i a l a n d a n a l y z e d t h e g r a p h b y c o n v e r t i n g i t i n t o a Markovc h a i n . T h e SPADE t e c h n i q u e a l l o w s d i s t r i b u t i o n s t o b eany e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l . We a s s i g n e d t a s k 2 t h e 2 -s t a g e E r l a n g d i s t r i b u t i o n w i t h p a r a m e t e r 0 . 4 , a n d t h e r e s to f t h e t a s k s t h e e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n w i t h parameters0 . 3 , 0 . 5 7 , a n d 0 . 2 5 f o r t a s k s 1 , 3 , a n d 4 , r e s p e c t i v e l y .E a c h c o m m u n i c a t i o n t a s k i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t hmean c . By v a r y i n g t h e v a l u e o f c , we can g e t a f e e l f o rw h e n t h e c o s t o f c o m m u n i c a t i o n ' o u t w e i g h s t h e b e n e f i t sg a i n e d f r o m u s i n g two processors. T h e r e s u l t s s h o w e d t h a tw h e n c i s g r e a t e r t h a n a b o u t 1 . 2 5 , t h e c o m m u n i c a t i o n c o s tcauses t h e t w o - p r o c e s s o r i m p l e m e n t a t i o n t o t a k e l o n g e r( o n t h e a v e r a g e ) t h a n i f t h e t a s k s were a l l ru n on a s i n g l eprocessor.We can u se t h e d e f e c t i v e d i s t r i b u t i o n s a l l o w e d b ySPADE t o m o d e l t h e case w h e r e t h e c o m m u n i c a t i o n l i n kcan f a i l s o t h a t w i t h some p r o b a b i l i t y , t h e o v e r a l l programw i l l n o t f i n i s h . I f t h e l i n k u s e d f o r c o m m u n i c a t i o n t a s kS 1 3 h a s f a i l u r e r a t e X13 t h e n t h e c o m p l e t i o n t i m e d i s t r i -b u t i o n f o r S 1 3 i s

( / ( 1 - e x p 1 3 1/c)t]).X 1 3 , +1 Ic1T h e d i s t r i b u t i o n f o r S 1 4 i s c o m p u t e d s i m i l a r l y . Whent h e s e d e f e c t i v e d i s t r i b u t i o n s ar e u s e d , t h e r e s u l t i n g CDFf o r t h e e n t i r e g r a p h i s d e f e c t i v e , a n d g i v e s b o t h t h e p r o b -a b i l i t y o f a l i n k f a i l u r e b e f o r e c o m p l e t i o n o f a l l t h e t a s k sas w e l l as t h e d i s t r i b u t i o n f o r t h e t i m e - t o - f i n i s h i n case a l l

TM CONCEPT i s a t r a d e m a r k o f Gould I n c .

m e a n ( S E R I A L ; 0 . 7 ) : 2 . 7 5 0 5 e - 0 1

m e a n ( O V E R L A P ; 0 . 7 ) : 2 . 2 7 3 3 e - 0 1

s p e e d u p ( 0 . 6 ) : 1 . 1 8 4 5 e + 0 0

s p e e d u p ( 0 . 7 ) : 1 . 2 0 9 9 e + 0 0

s p e e d u p ( 0 . 8 ) : 1 . 2 3 4 1 8 + 0 0s p e e d u p ( O . 9 ) : 1 . 2 5 7 0 e + 0 0s p e e d _ p . 0 ) : - 1 - - 2 7 9 - es p e e d u p ( 1 . 0 ) : 1 . 2 7 9 0 e + 0 0

s p e e d u p ( l . 0 ) : 1 . 3 1 4 5 e + 0 0

1 1 1 1


8/10

IEEE TRANSACTIONS O N S OF TW A R E E N G I N E E R I N G , V O L . S E - 1 3 , N O . 1 0 , O C T OBER 1 9 8 7

F i g . 6 . C o m m u n i c a t i n g t a s k s .t a s k s d o c o m p l e t e . I f X 1 3 = 0 . 0 0 0 1 , X 2 4 = 0 . 0 0 0 3 , a n dc = 1 , t h e p r o b a b i l i t y o f a l i n k f a i l u r e b e f o r e c o m p l e t i o no f t h e g r a p h i s 0 . 0 0 0 3 9 9 9 .C . E x a m p l e 3-Program E x e c u t i o n w i t h a P o s s i b i l i t y o fF a i l u r e

T o s e e how SPADE c a n b e u s e d t o a n a l y z e t h e c o m -p l e t i o n t i m e o f a p r o g r a m t h a t i s s u b j e c t t o s o f t w a r e o rh a r d w a r e f a i l u r e , we c o n s i d e r a n e x a m p l e t a k e n f r o m W e ia n d C a m p b e l l [ 2 7 ] . I n F i g . 7 ( a ) , t h e n o d e s i n t h e g r a p hr e p r e s e n t s e g m e n t s o f a p r o c e s s . A s s o c i a t e d w i t h e a c hs e g m e n t i i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n F i ( f , A i , t ) = ( 1- f) ( 1 - e - 1 t ) . T h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e d u r i n g t h ee x e c u t i o n o f t h e s e g m e n t i s 1 - I F ( f f , A i , t ) =f . A l l b r a n c h i n g i n t h e g r a p h i s p r o b a b i l i s t i c , a n d t h e l a -b e l p i j o n t h e e d g e l e a d i n g f r o m n o d e i t o n o d e j g i v e s t h ep r o b a b i l i t y t h a t a f t e r t h e c o m p l e t i o n o f s e g m e n t i t h eb r a n c h t o s e g m e n t j i s t a k e n .I n [ 2 7 ] , a f o r m u l a i s g i v e n f o r a p p r o x i m a t i n g t h e o v e r -a l l f a i l u r e p r o b a b i l i t y . U s i n g t h e SPADE t e c h n i q u e , t h er e s u l t f u n c t i o n F f o r t h e o v e r a l l g r a p h g i v e s t h e C DF f o rt h e c o m p l e t i o n t i m e o f t h e e n t i r e p r o c e s s . T h e m a s s a ti n f i n i t y o f t h i s C DF g i v e s t h e p r o b a b i l i t y p t h a t a f a i l u r eo c c u r s b e f o r e t h e w h o l e p r o c e s s c o m p l e t e s . T h e d i s t r i -b u t i o n F / p i s t h e C DF o f t h e p r o c e s s c o m p l e t i o n t i m eg i v e n t h a t a f a i l u r e d i d n o t o c c u r .We u s e d SPADE t o a n a l y z e t h i s g r a p h f o r t h e s a m e t w os e t s o f v a l u e s f o r t h e p r o b a b i l i t i e s o n t h e e d g e s a n d f a i l u r ep r o b a b i l i t i e s a s i n [ 2 7 ] . We a s s i g n e d t h e A i a r b i t r a r y v a l -u e s , s i n c e t h e o r i g i n a l e x a m p l e d i d n o t c o n t a i n e x e c u t i o n -t i m e p a r a m e t e r s . F i g . 7 ( b ) c o m p a r e s t h e e x a c t r e s u l t s f r o mSPADE t o t h e a p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y t h e m e t h o du s e d i n [ 2 7 ] . A s e x p e c t e d , t h e a p p r o x i m a t i o n i s b e t t e rw h e n t h e i n d i v i d u a l f a i l u r e p r o b a b i l i t i e s a r e s m a l l e r .D . E x a m p l e 4 - R e l i a b i l i t y o f a n A i r c r a f t F l i g h t C o n t r o lS y s t e mTo i l l u s t r a t e t h e u s e o f k - o u t - o f - n p a r a l l e l i s m a n d s e ehow t h e SPAD E t e c h n i q u e c a n b e u s e d t o a n a l y z e a f a u l tt r e e m o d e l , we c o n s i d e r e x a m p l e p r o b l e m 7 i n A p p e n d i xG o f [ 1 ] . T h i s p r o b l e m m o d e l s a n a i r c r a f t f l i g h t c o n t r o ls y s t e m . T h e s y s t e m c o n t a i n s t h r e e i n e r t i a l r e f e r e n c e s e n -s o r s ( I R S ) a n d t h r e e p i t c h r a t e s e n s o r s ( P R S ) , t h a t m o n i t o rt h e s t a t u s o f t h e a i r c r a f t . A l l o f t h e s e n s o r s a r e c o n n e c t e dt o e a c h o f f o u r c o m p u t e r s y s t e m s ( C S ) . T h e c o m p u t e r s y s -t e m s i n d e p e n d e n t l y c o l l e c t i n f o r m a t i o n f r o m t h e s e n s o r sa n d p r o c e s s t h e i n f o r m a t i o n . T h e c o m p u t e r s a r e c o n -n e c t e d t o e a c h o t h e r a n d t o t h r e e s e c o n d a r y a c t u a t o r s ( S A )t h r o u g h f o u r i d e n t i c a l b u s s y s t e m s ( B S ) .

3g 4 ) d a t a s e t 1 d a ta s et 2SHARPE R e s u l t 0 . 2 5 5 9 0 . 0 2 8 3

( < ) j W e i & C a m p b e l l 0 . 2 8 6 4 0 . 0 2 8 6~ 5 7 P s , A p p r o x i m a t i o n

F = ( 1 - f j ) ( - e - u t )( a ) ( b )

F i g . 7 . A p r o g r a m t h a t ' may f a i l . ( a ) G r a p h o f p r o g r a m . ( b ) C o m p a r i s o no f r e s u l t s .

F i g . 8 . A i r c r a f t c o n t r o l s y s t e m .I n o r d e r f o r t h e e n t i r e s y s t e m t o f u n c t i o n ( s o t h a t t h ea i r c r a f t r e m a i n s a i r b o r n e ) a t l e a s t t w o o f e a c h t y p e o fc o m p o n e n t m u s t b e f u n c t i o n i n g . A f a u l t t r e e f o r t h i s s y s -t e m i s g i v e n i n F i g . 8 . I t t o o k t h e SPAD E p r o g r a m l e s st h a n h a l f a s e c o n d t o c o m p u t e t h e f a i l u r e t i m e C DF a n dt h e p r o b a b i l i t y o f f a i l u r e f o r t e n v a l u e s o f t .

E . E x a m p l e 5 - I n s t a n t a n e o u s A v a i l a b i l i t yI f a s y s t e m i s c o m p o s e d o f c o m p o n e n t s , e a c h h a v i n g a ni n d e p e n d e n t r e p a i r f a c i l i t y , t h e SPADE t e c h n i q u e c a n b eu s e d t o c o m p u t e t h e i n s t a n t a n e o u s a v a i l a b i l i t y o f t h e s y s -t e m . C o n s i d e r t h e s e r i e s - p a r a l l e l s y s t e m o f c o m p o n e n t sp i c t u r e d i n F i g . 9 . T h i s i s t h e e x a m p l e p r e s e n t e d i n [ 1 4 ] ,w h e r e a n a p p r o x i m a t i o n m e t h o d i s g i v e n f o r c o m p u t i n gt h e s t e a d y s t a t e u n a v a i l a b i l i t y o f a s e r i e s - p a r a l l e l s y s t e m .U s i n g o u r m o d e l , we c a n c o m p u t e t h e s t e a d y s t a t e - u n -a v a i l a b i l i t y e x a c t l y , a n d i n a d d i t i o n we c o m p u t e t h e t r a n -s i e n t u n a v a i l a b i l i t i e s .A s s u m e t h a t e a c h c o m p o n e n t i s s u b j e c t t o f a i l u r e , a n dh a s i t s own i n d e p e n d e n t r e p a i r f a c i l i t y . I f t h e t i m e - t o - f a i l -u r e o f c o m p o n e n t i i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d w i t h f a i l -u r e r a t e X i , a n d t h e t i m e - t o - r e p a i r i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b -u t e d w i t h r e p a i r r a t e , u , t h e n t h e i n s t a n t a n e o u s a v a i l a b i l i t yi s [ 2 5 ]

A i ( ) + e- ( X i + iXi+ + iA s t a p p r o a c h e s i n f i n i t y , A i ( t ) a p p r o a c h e s t h e s t e a d y - s t a t ea v a i l a b i l i t y . I f i i = 0 ( n o r e p a i r ) , A i ( t ) r e d u c e s t o t h er e l i a b i l i t y ( a s a f u n c t i o n o f t i m e ) o f t h e c o m p o n e n t .L e t t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h c o m p o n e n ti b e U i ( t ) = 1 - A i ( t ) . T h i s d i s t r i b u t i o n r e p r e s e n t s t h ei n s t a n t a n e o u s u n a v a i l a b i l i t y o f t h e c o m p o n e n t a n d i s i n

1 1 1 2


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S A H N E R AND TRIVEDI: P E R F O R M A N C E A N A L Y S I S U S I N G D I R E CT ED A C Y C L C GRAPH S

F i g . 9 . A v a i l a b i l i t y b l o c k d i a g r a m .e x p o n e n t i a l p o l y n o m i a l f o r m w i t h a m a s s a t i n f i n i t y . Wewant t o compute t h e i n s t a n t a n e o u s u n a v a i l a b i l i t y o f t h es y s t e m as a w h o l e . F o r s u b s y s t e m s i n p a r a l l e l , we mustt a k e t h e p r o d u c t o f t h e component u n a v a i l a b i l i t i e s ( t h es y s t e m i s u n a v a i l a b l e o n l y w h e n a l l p a r a l l e l s u b s y s t e m sa r e u n a v a i l a b l e ) . T h i s i s t h e "maximum" c o m b i n a t i o n .F o r a s e r i e s o f components, t h e a v a i l a b i l i t y i s t h e p r o d u c to f t h e component a v a i l a b i l i t i e s ( t h e s y s t e m i s a v a i l a b l eo n l y w h e n a l l s u b s y s t e m s ar e a v a i l a b l e ) . T h u s , t h e u n-a v a i l a b i l i t y o f t h e s y s t e m i s e x a c t l y t h e "minimum" com-b i n a t i o n o f t h e c o m p o n e n t s .B e c a u s e t h e c o m b i n i n g o p e r a t i o n s ar e e x a c t l y " m a x i -mum"a n d "minimum," we can u s e SPAD E t o computeU ( t ) , t h e i n s t a n t a n e o u s u n a v a i l a b i l i t y f o r t h e s y s t e m as aw h o l e . B y t a k i n g t h e l i m i t o f U ( t ) as t a p p r o a c h e s i n f i n -i t y , we o b t a i n t h e s t e a d y - s t a t e s y s t e m u n a v a i l a b i l i t y , a n db y s e t t i n g a l l i t i = 0 , we o b t a i n s y s t e m u n r e l i a b i l i t y as af u n c t i o n o f t h e m i s s i o n t i m e t . N o t e t h a t t i may b e zerof o r some or a l l o f t h e c o m p o n e n t s , a n d we s t i l l o b t a i n t h ei n s t a n t a n e o u s u n a v a i l a b i l i t y f o r t h e o v e r a l l s y s t e m .We u s e d S P A D E t o compute t h e u n a v a i l a b i l i t y f o r t h i ss y s t e m u s i n g t h e sa m e p a r a m e t e r s as i n [ 1 4 ] . T h o s e pa-r a m e t e r s ar e X 5 = X 6 = 0 . 0 0 5 , X I =0 . 0 0 1 , X i = 0 . 0 1f o r a l l o t h e r i , A 5 = , 6 = 1 / 6 , y 1 = 1 0 = ll=1 / 5 ,a n d , i t = 1 / 7 . 5 f o r a l l o t h e r i . T h e s t e a d y - s t a t e u n a v a i l -a b i l i t y i s c o m p u t e d t o b e 5 . 7 4 3 0 * 1 0 - 4 . I t s h o u l d b e n o t e dt h a t t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n i n [ 1 4 ] i s i n e r r o r . T h e ap -p r o x i m a t i o n as c o m p u t e d u s i n g t h e m e t h o d i n [ 1 4 ] s h o u l db e 7 . 1 0 2 1 * 1 0 - 4 .B e c a u s e SPADE d i s t r i b u t i o n s can c o n t a i n c o m p l e xn u m b e r s , we can a l l o w t h e f a i l u r e or r e p a i r t i m e d i s t r i -b u t i o n s t o b e n o n e x p o n e n t i a l . S u p p o s e t h e f a i l u r e t i m ed i s t r i b u t i o n f o r a component i i s 2 - s t a g e E r l a n g w i t h pa-r a m e t e r 2 X i a n d t h e r e p a i r t i m e d i s t r i b u t i o n i s e x p o n e n t i a lw i t h r a t e / A i . T h e n i t s i n s t a n t a n e o u s a v a i l a b l i l i t y i s g i v e nb y : X i ( t t i x i ___i_IX

Xi+P y i X i +-i 0i-i2

w h e r e. e - i i t + O i 2 X i A i e - i 2 t 1

0i2 O i 1/

4 X i + A i+-O i , O i 2 2I f A i < 8 X, t h e a b o v e f u n c t i o n w i l l c o n t a i n c o m p l e xn u m b e r s , a s i t u a t i o n e a s i l y h a n d l e d b y SPADE.

( a ) ( b ) ( c )F i g . 1 0 . A n a l y z i n g a n o n - s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h . ( a ) N o n - s e r i e s - p a r a l l e lg r a p h . ( b ) L o w e r l e v e l : M a r k o v c h a i n . ( c ) U p p e r l e v e l : s e r i e s - p a r a l l e lg r a p h .

F . E x a m p l e 6-A H i e r a r c h i c a l M o d e lS u p p o s e we h a v e t h e t a s k g r a p h s h o w n i n F i g . 1 0 ( a ) .A s s u m e t h a t a l l t a s k s m u s t r u n t o c o m p l e t i o n . T h i s g r a p h

i s n o n - s e r i e s - p a r a l l e l , s o we c a n n o t u s e t h e s e r i e s - p a r a l l e lg r a p h m o d e l d i r e c t l y t o f i n d t h e d i s t r i b u t i o n o f i t s c o m -p l e t i o n t i m e . H o w e v e r , i f t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e n o d e s i nt h e n o n - s e r i e s - p a r a l l e l p a r t s a r e e x p o n e n t i a l , we c a n m a k eu s e o f t h e a b i l i t y o f t h e SPAD E t e c h n i q u e t o c o m b i n em o d e l s h i e r a r c h i c a l l y . We c a n e x t r a c t t h e n o n - s e r i e s - p a r -a l l e l p o r t i o n s o f t h e g r a p h a n d m o d e l t h e m b y M a r k o vc h a i n s . T h e n we c a n r e p l a c e e a c h n o n - s e r i e s - p a r a l l e l p o r -t i o n o f t h e g r a p h b y a s i n g l e n o d e a s s i g n e d t h e C DF o ft h e t i m e t o a b s o r p t i o n i n t h e c o r r e s p o n d i n g M a r k o v c h a i n .T h i s w i l l g i v e u s a n e x a c t a n s w e r .C o n s i d e r t h e s u b g r a p h c o n t a i n i n g n o d e s 1 , 2 , 3 , a n d 4 .T h e M a r k o v c h a i n i n F i g . 1 0 ( b ) i s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h i ss y s t e m . E a c h s t a t e i n t h e M a r k o v c h a i n i s a l i s t o f t h o s en o d e s t h a t a r e c u r r e n t l y r u n n i n g b u t h a v e n o t y e t c o m -p l e t e d . T h e t i m e t o r e a c h t h e a b s o r b i n g s t a t e d o n e i n t h eM a r k o v c h a i n i s e x a c t l y t h e t i m e - t o - c o m p l e t i o n o f t h es u b g r a p h . S i n c e t h e s u b g r a p h c o n t a i n i n g n o d e s 5 , 6 , 7 ,a n d 8 i s s t r u c t u r a l l y t h e s a m e a s t h e s u b g r a p h c o n t a i n i n gn o d e s 1 , 2 , 3 , a n d 4 , i t c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e s a m eM a r k o v c h a i n , w i t h p o s s i b l y d i f f e r e n t v a l u e s f o r t h e r a t e s, i j . F i g . 1 0 ( c ) s h o w s t h e g r a p h w i t h t h e n o n - s e r i e s - p a r a l l e lp a r t s r e p l a c e d b y t h e s i n g l e n o d e s 1 2 3 4 a n d 5 6 7 8 .

V . C O N C L U S I O N S A N D F U T U R E WO RKWe h a v e d e v e l o p e d a m o d e l i n g t e c h n i q u e f o r a n a l y z i n gs t o c h a s t i c a c t i v i t y n e t w o r k s h a v i n g s e r i e s - p a r a l l e l s t r u c -t u r e . We a l l o w n o d e e x e c u t i o n t i m e s t o h a v e g e n e r a l e x -p o n e n t i a l p o l y n o m i a l f o r m a n d a l l o w t h e s e d i s t r i b u t i o n st o h a v e a m a s s a t t h e o r i g i n a n d a m a s s a t i n f i n i t y . Wea l l o w s e v e r a l i n t e r p r e t a t i o n s o f p a r a l l e l s u b g r a p h s , i n -c l u d i n g t h e p o s s i b i l i t i e s o f r e q u i r e d c o m p l e t i o n o f o n e ,a l l , o r k o f t h e n s u b g r a p h s . P a r a l l e l s u b g r a p h s a r e a l -l o w e d t o h a v e n o n i d e n t i c a l ( b u t i n d e p e n d e n t ) d i s t r i b u -t i o n s .T h i s t e c h n i q u e a l l o w s u s t o m o d e l a w i d e - r a n g i n g s e to f a p p l i c a t i o n s i n c l u d i n g t h e e x e c u t i o n t i m e a n a l y s i s o fc o n c u r r e n t p r o g r a m s , p r o g r a m e x e c u t i o n i n a f a i l u r e - p r o n e

e n v i r o n m e n t , r e l i a b i l i t y a n a l y s i s o f n o n r e p a i r a b l e f a u l t -

1 1 1 3


10/10

I E E E TRANSACTI ONS O N SOFTWARE ENGINEERING, VOL. S E - 1 3 , N O . 1 0 , O C T OB E R 1 9 8 7t o l e r a n t s y s t e m s , a n d a v a i l a b i l i t y a n a l y s i s o f a c l a s s o fr e p a i r a b l e s y s t e m s .S e v e r a l g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e t e c h n i q u e s d i s c u s s e d i nt h i s paper h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d or ar e u n d e r i n v e s t i g a -t i o n . T h e SPADE t e c h n i q u e h a s b e e n e x t e n d e d t o i n c l u d ei r r e d u c i b l e M a r k o v c h a i n s a n d c y c l i c M a r k o v c h a i n s w i t ha b s o r b i n g s t a t e s . W i t h t h i s a c c o m p l i s h e d , we are a b l e t oa n a l y z e m o d e l s o f t h e t y p e d i s c u s s e d i n [ 2 0 ] . I n o r d e r t oo b t a i n t h e s y m b o l i c C DF f o r t h e t i m e t o a b s o r p t i o n i n ac y c l i c M a r k o v c h a i n , we n e e d t o o b t a i n t h e e i g e n v a l u e so f i t s g e n e r a t o r m a t r i x . I n g e n e r a l , t h e s e e i g e n v a l u e s mayb e c o m p l e x , b u t t h i s d o e s n o t p o s e a d i f f i c u l t y s i n c eSPADE d i s t r i b u t i o n s a l l o w c o m p l e x n u m b e r s . H o w e v e r ,t h e e i g e n v a l u e a p p r o a c h h a s n u m e r i c a l p r o b l e m s , p a r t i c -u l a r l y f o r l a r g e c h a i n s . We h a v e a v e r s i o n o f t h e SP AD Eprog ram t h a t a l l o w s c y c l i c M a r k o v m o d e l s .

R E F E R E N C E S[ 1 ] S . B a v u s o , P . P e t e r s o n , a n d D . R os e, " C a r e II I m o d e l o v e r v i e w a n du s e r ' s g u i d e , " N A S A T e c h . Memo. 8 5 8 1 0 , J u n e 1 9 8 4 .[ 2 ] E . G . C o f f m a n , C o m p u t e r a n d J o b / S h o p S c h e d u l i n g . N ew Y o r k :W i l e y , 1 9 7 6 .[ 3 ] D . R . C o x , " T h e u s e o f C o m p l e x p r o b a b i l i t y i n t h e t h e o r y o f s t o -c h a s t i c processes," P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s o p h i c a l S o c . , v o l . 5 1 ,

pp . 3 1 3 - 3 1 9 , 1 9 5 5 .[ 4 ] H . E . D a v i d , O r d e r S t a t i s t i c s . New Y o r k : W i l e y , 1 9 8 1 .[ 5 ] B . D o d i n , " B o u n d i n g t h e p r o j e c t c o m p l e t i o n t i m e d i s t r i b u t i o n i nPERT n e t w o r k s , " O p e r . R e s . , v o l . 3 3 , no . 4 , pp . 8 6 2 - 8 8 1 , J u l y -A u g . 1 9 8 5 .[ 6 ] J . B . D u g a n , K . S . T r i v e d i , R . M. G e i s t , a n d V . F . N i c o l a , " E x -t e n d e d s t o c h a s t i c P e t r i n e t s : A n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s , " i n PERFOR-M A N C E ' 8 4 . P a r i s : N o r t h - H o l l a n d , D e c . 1 9 8 4 .[ 7 ] J . L . F l e m i n g , " R e l c o m p : A computer pr o gram f o r c a l c u l a t i n g sys-tem r e l i a b i l i t y a n d MTBF,' I E E E T r a n s . R e l . , v o l . R - 2 0 , p p . 1 0 2 -1 0 7 , A u g . 1 9 7 1 .[ 8 ] H . F r a n k , " S h o r t e s t p a t h s i n p r o b a b i l i s t i c g r a p h s , " O p e r . R e s . , v o l .1 7 , no. 4 , pp. 5 8 3 - 5 9 9 , J u l y - A u g . 1 9 6 9 .[ 9 ] H . H a r t l e y a n d A . W o r t h a m , " S t a t i s t i c a l t h e o r y f o r PER T c r i t i c a lp a t h a n a l y s i s , " M a n a g e m e n t S c i . , v o l . 1 2 , no . 1 , pp . B - 4 6 9 - 4 8 1 ,J u n e 1 9 6 6 .[ 1 0 ] W. K l e i n o d e r , " E v a l u a t i o n o f t a s k s t r u c t u r e s f o r a h i e r a r c h i c a l m u l -t i p r o c e s s o r s y s t e m , " i n P r o c . I n t . C o n f . M o d e l i n g T e c h n i q u e s a n dT o o l s f o r P e r f o r m a n c e A n a l y s i s , M ay 1 9 8 4 .[ 1 1 ] K . C . - Y . K u n g , " C on c u r r e n c y i n p a r a l l e l p r o c e s s i n g s y s t e m s , " P h . D .d i s s e r t a t i o n , D e p . C o m p u t . S c i . , U n i v . C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s ,1 9 8 4 .[ 1 2 ] E. L . L a w l e r , " S e q u e n c i n g j o b s t o m i n i m i z e t o t a l w e i g h t e d c o m p l e -t i o n t i m e s u b j e c t t o p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s , " A n n . D i s c r e t e M a t h . ,v o l . 2 , p p. 7 5 - 9 0 , 1 9 7 8 .[ 1 3 ] J . M a r t i n , " D i s t r i b u t i o n o f t h e t i m e t h r o u g h a d i r e c t e d a c y c l i c n e t -w o r k , " O p e r . R e s . , v o l . 1 3 , p p . 4 4 - 6 6 , 1 9 6 5 .[ 1 4 ] M. M o d a r r e s , " A m e t h o d o f p r e d i c t i n g a v a i l a b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s o fs e r i e s - p a r a l l e l s y s t e m s , " I E E E T r a n s . R e l . , v o l . R - 3 3 , no . 4 , pp. 3 0 8 -3 1 2 , O c t . 1 9 8 4 .[ 1 5 ] Y . - W . Ng a n d A . A v i z i e n i s , " A m o d e l f o r t r a n s i e n t a n d p e r m a n e n tf a u l t recovery i n c l o s e d f a u l t - t o l e r a n t s y s t e m s , " i n P r o c . 1 9 7 6 I n t .S y m p . F a u l t - T o l e r a n t C o m p u t i n g , J u n e 1 9 7 6 .[ 1 6 ] L . R i n g e r , " N u m e r i c a l o p e r a t o r s f o r s t a t i s t i c a l PERT c r i t i c a l p a t ha n a l y s i s , " M a n a g e m e n t S c i . , v o l . 1 6 , no . 2 , pp . B - 1 3 6 - 1 4 3 , O c t .1 9 6 9 .

[ 1 7 ] J . R i o r d a n , C o m b i n a t o r i a l I d e n t i t i e s . N ew Y o r k : W i l e y , 1 9 6 8 .[ 1 8 ] J . T . R o b i n s o n , "Some a n a l y s i s t e c h n i q u e s f o r a s y n c h r o n o u s m u l t i -p r o c e s s o r a l g o r i t h m s , " IEEE T r a n s . S o f t w a r e E n g . , v o l . S E - 5 , p p .2 4 - 3 1 , J a n . 1 9 7 9 .[ 1 9 ] R . S a h n e r , " A h y b r i d , c o m b i n a t o r i a l - M a r k o v m e t h o d o f s o l v i n g p e r -f o r m a n c e a n d r e l i a b i l i t y m o d e l s , " P h . D . d i s s e r t a t i o n , D e p . C o m p u t .S c i . , D u k e U n i v . , 1 9 8 6 .[ 2 0 ] R . D . S c h l i c h t i n g , " A t e c h n i q u e f o r e s t i m a t i n g p e r f o r m a n c e o f f a u l t -t o l e r a n t p r o g r a m s , " IEEE T r a n s . S o f t w a r e E n g . , v o l . S E - I l , p p . 5 5 5 -5 6 3 , J u n e 1 9 8 5 .[ 2 1 1 M . S h o o m a n , P r o b a b i l i s t i c R e l i a b i l i t y , An E n g i n e e r i n g A p p r o a c h .New Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 6 8 .[ 2 2 ] C . S i g a l , A . P r i t s k e r , a n d J . S o l b e r g , " T h e s t o c h a s t i c s h o r t e s t r o u t ep r o b l e m , " O p e r . R e s . , v o l . 2 8 , n o . 5 , p p . 1 1 2 2 - 1 1 2 9 , S e p t . - O c t .1 9 8 0 .[ 2 3 ] K . T a k a m i z a w a , T . N i s h i z e k i , a n d N . S a i t o , " L i n e a r - t i m e c o m p u t -a b i l i t y o f c o m b i n a t o r i a l p r o b l e m s o n s e r i e s - p a r a l l e l g r a p h s , " J A C M ,v o l . 2 9 , n o . 3 , p p . 6 2 3 - 6 4 1 , J u l y 1 9 8 2 .[ 2 4 ] D . F . T o w s l e y , J . C . B r o w n e , a n d K . M . C h a n d y , " M o d e l s f o r p a r -a l l e l p r o c e s s i n g w i t h i n p r o g r a m s , " C o m m u n . A C M , v o l . 2 1 , n o . 1 0 ,p p . 8 2 1 - 8 3 1 , O c t . 1 9 7 8 .[ 2 5 ] K . S . T r i v e d i , P r o b a b i l i t y a n d S t a t i s t i c s w i t h R e l i a b i l i t y , Q u e u i n ga n d C o m p u t e r S c i e n c e A p p l i c a t i o n s . E d g e w o o d C l i f f s , N J : P r e n -t i c e - H a l l , 1 9 8 2 .[ 2 6 ] J . V a l d e s , R . E . T a r j a n , a n d E . L . L a w l e r , " T h e r e c o g n i t i o n o f s e -r i e s - p a r a l l e l d i g r a p h s , " S i a m J . C o m p u t . , v o l . 1 1 , n o . 2 , p p . 2 9 8 -3 1 3 , 1 9 8 2 .[ 2 7 ] A . T . W e i a n d R . H . C a m p b e l l , " C o n s t r u c t i o n o f a f a u l t t o l e r a n t r e a l -t i m e s o f t w a r e s y s t e m s , " U n i v . I l l i n o i s , T e c h . R e p . U I U C D C S - R - 8 0 -1 0 4 2 , D e c . 1 9 8 0 .

I' E R o b i n A . S a h n e r r e c e i v e d t h e B . S . d e g r e e i nm a t h e m a t i c s a n d t h e B . A . d e g r e e i n m u s i c f r o mt h e U n i v e r s i t y o f H a r t f o r d , H a r t f o r d , C T , i n 1 9 7 6a n d t h e A . M . d e g r e e i n m a t he m a ti c s a n d t h e P h . D .d e g r e e i n c o m p u t e r s c i e n c e f r o m D u k e U n i v e r -s i t y , D u r h a m , N C , i n 1 9 7 8 a n d 1 9 8 6 , r e s p e c -t i v e l y .S i n c e 1 9 8 1 , s h e h a s b e e n a C o m p u t e r S c i e n t i s ta t G o u l d C o m p u t e r S y s t e m s D i v i s i o n i n U r b a n a ,I L , w h e r e h e r w o r k i s c o n c e r n e d w i t h n e t w o r k a n di n t e r p r o c e s s o r c o m m u n i c a t i o n s a n d s e c u r e s y s -t e m s . H e r r e s e a r c h i n t e r e s t s i n c l u d e r e l i a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e a n a l y s i sa n d s o f t w a r e e n g i n e e r i n g .

- K i s h o r S . T r i v e d i ( M ' 8 6 ) r e c e i v e d t h e B . T e c h .X d e g r e e f r o m t h e I n d i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,B o m b a y , a n d t h e M .S . a nd P h . D . d e g r e e s i n com-p u t e r s c i e n c e f r o m t h e U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , U r -b a n a - C h a m p a i g n .H e i s t h e a u t h o r o f a w i d e l y u s e d t e x t , P r o b a -_ b i l i t y a n d S t a t i s t i c s w i t h R e l i a b i l i t y , Q u e u i n g a n dC o m p u t e r S c i e n c e A p p l i c a t i o n s ( E n g l e w o o dC l i f f s , N J : P r e n t i c e - H a l l ) . B o t h t h e t e x t , a n d h i sr e l a t e d r e s e a r c h a c t i v i t i e s , h a v e b e e n f o c u se d one s t a b l i s h i n g a u n i f i e d m a t h e m a t i c a l m o d e l i n gf o u n d a t i o n f o r c o m p u t i n g s y s t e m r e l i a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n .P r e s e n t l y , h e i s a P r o f e s s o r o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E l e c t r i c a l E n g i n e e r -i n g a t D u k e U n i v e r s i t y , D u r h a m , N C . He h a s s e r v e d a s a P r i n c i p a l I n v e s -t i g a t o r o n v a r i o u s A F O S R , ARO, I B M , NASA, N I H , a n d N SF f u n d e dp r o j e c t s a n d a s a c o n s u l t a n t t o i n d u s t r y a n d r e s e a r c h l a b o r a t o r i e s .D r . T r i v e d i i s a n E d i t o r o f t h e I E E E T R A N S A C T I O N S O N C O M P U T E R S .

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