performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches...

Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes

F. Pascual - LIGEn collaboration avec : G. Christodoulou, L. Gourvès, E. Koutsoupias E. Angel, E. Bampis, A. Tchetgnia

2MAO - 25/01/2007

Ordonnancement P||Cmax

m machines identiques n tâches toute tâche i a une longueur li

Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin)

M2 M2

M1 M1

3MAO - 25/01/2007

Algorithmes d’approximation

SPT (Shortest Processing Time first)

2-1/m approché LPT (Largest Processing Time first)

4/3-1/(3m) approché Schéma d’approximation

4MAO - 25/01/2007

Ordonnancement de tâches individualistes

Chaque tâche i est contrôlée par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent)

Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan

5MAO - 25/01/2007

Stratégies des agents

L’algorithme d’ordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser

sa date de fin d’exécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi

représentant sa longueur. Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)

li

bi

6MAO - 25/01/2007

Un exemple Le protocole utilise l’algorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines

La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution.

7MAO - 25/01/2007

Algorithmes à véracité garantie

Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.

8MAO - 25/01/2007

Retour sur l’exemple

Le protocole utilise l’algorithme SPT

C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]

9MAO - 25/01/2007

Objectif

Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextesDéterministe ou randomiséModèle d’exécution fort ou souple

Pas de paiements

10MAO - 25/01/2007

Modèles d’exécution Modèle fort

Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution.

Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son

résultat bi unités de temps après le début de son exécution.

li = 2

bi = 3

11MAO - 25/01/2007

Bornes pour un système centralisé

Déterministe Randomisé

LB UB LB UB

Fort 2-1/m *2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souple

* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]

** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]

12MAO - 25/01/2007



LB UB LB UB

Fort ? 2-1/m *2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souple



13MAO - 25/01/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2)

m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1

Au moins une tâche t se termine à la date m.

Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m .

1M1

M2

M3

1 1

1 1

1 1

14MAO - 25/01/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : 1 1 1

1 1

1 1

3

11 1

1 1 1

fin(t) ≥ 3

début(t) < 2, fin(t) < 3OPT = 3

3

Makespan < (2-1/m) OPT = 5

Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché

La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :

15MAO - 25/01/2007



LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m * 3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souple



16MAO - 25/01/2007



LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m * 3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souple ?



17MAO - 25/01/2007

Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de l’avantage de LPT

(son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier)

Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0

18MAO - 25/01/2007

LPT mirror

Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.

Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.

LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.

19MAO - 25/01/2007



LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m * 3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souplem=2: ρ≥1.1

m≥3: 7/64/3-1/(3m)



20MAO - 25/01/2007

Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple

Ordonnancer les tâches de façon optimale. Makespan = OPT; Sommes des longueurs sur Mi = Li.

Ajouter une tâche fictive de longueur OPT-Li sur Mi.

Sur chaque machine, ordonnancer les tâches dans un ordre aléatoire.

9 9

10

9

3 5

2 4 3

M1

M2

M3

21MAO - 25/01/2007

Block : un algorithme randomisé pour le modèle souple

Lemme : Soit un ensemble de tâches à ordonnancer selon un ordre aléatoire. E[ fin de i ] = li + ½ ( lj)= ½ (( lj) + li)

Block est à véracité garantie.

- i déclare li : Makespan= OPTli.

E[ fin de i ] = ½ (OPTli + li)

- i déclare bi>li : Makespan= OPTbi ≥ OPTli.

E[ fin de i ] = ½ (OPTbi + bi)

i j

22MAO - 25/01/2007



LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m * 3/2-1/(2m)2-(5/3+1/(3m))/(m+1)

**

Souplem=2: ρ≥1.1

m≥3: 7/64/3-1/(3m) 1 1



23MAO - 25/01/2007

Système distribué

Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées.

La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local

d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04]

24MAO - 25/01/2007

Prix de l’anarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle

aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie.

Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}

Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.

25MAO - 25/01/2007

Bornes pour un système distribué


LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m

Souple?

2-1/m 2-1/m

26MAO - 25/01/2007

Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf

ρ < (2+ε)/2 et ρ ≥ 2/(1+ε)

→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28

M1

M1 M1

M1

M2 M2

M2 M2

27MAO - 25/01/2007

Bornes pour un système distribué


LB UB LB UB

Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m

Souple (1+√17)/4 > 1.28 2-1/m 1+(√13-3)/4>1.15 2-1/m

28MAO - 25/01/2007

Perspectives

Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanismes de coordination avec véracité

garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines avec vitesses

29MAO - 25/01/2007

30MAO - 25/01/2007

Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure

m machines identiques xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier)

Existence d’une tâche t telle que :

E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1

Hyp : Existence d’un algorithme à véracité garantie, randomisé et de rapport d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε

31MAO - 25/01/2007

Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut

déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer l’espérance de sa date de fin

E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’

E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1)

E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1

32MAO - 25/01/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (1) Hyp : algorithme à véracité garantie de

rapport d’approximation 11/10 – ε 2 machines et 5 tâches de longueurs

{5,4,3,3,3}

33MAO - 25/01/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (2)

34MAO - 25/01/2007

Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (3)

35MAO - 25/01/2007

Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure

C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’

C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm

C(t) ≤ (1-ε)m < m

performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches...

Documents