permainan dua orang berjumlah tidak nol dan metagame tanpa ... · seribu kata tidak akan...

PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN

METAGAME TANPA KERJASAMA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

PUJI ASTUTI

NIM : 023114031

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

TWO-PERSON NON-ZERO-SUM GAMES AND

METAGAME WITHOUT COOPERATION

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

by:

PUJI ASTUTI

Student number : 023114031

MATHEMATICS DEPARTMENT

SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008

ii


Percayalah pada Tuhan dengan segenap hatimu,

dan janganlah bersandar pada pergertianmu sendiri.

Amsal 3:5

Kupersembahkan Skripsiku ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus yang senatiasa menyertaiku,sumber harapan dan kekuatanku.

Kedua orang tuaku atas cinta dan doa yang tiada henti.

Mas Sun, Mbak Asih, Nug, dan Bowo.

Yang terkasih Albertus Aan Oky atas dukungan, doa, perhatian, dan cinta.

Serta Almamaterku tercinta.

v


Punyailah iman yang dapat melihat kesempatan dalam kesulitan,

dan bukan melihat kesulitan dalam kesempatan.

Yakinilah dibalik semua kesulitan ada rencana indah yang Tuhan telah siapkan.

-nn-

Seribu kata tidak akan meninggalkan kesan yang begitu dalam

dibandingkan dengan satu perbuatan.

-Henrik Ibsen-

Selalu ada jalan untuk melakukan yang lebih baik. Temukanlah !

-Thomas Alfa Edison-

Letakkan segala sesuatunya pada Tuhan sehingga Dia mengambil alih

semuanya. Kerjakan bagianmu dengan baik, maka Dia akan mengerjakan

bagian dengan sangat baik.

-nn-

vi


ABSTRAK

Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para pemainnya. Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masing-masing pemain.

viii


ABSTRACT

Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes. The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies which is used by each player. Another way can be used is Swastika method, which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the game. Metagame without cooporation for two players is a games which is based on the actual game being played . It is because the game solving is based on the game theory which the outcomes is not always the same with the playing game. These are games where the players strategies are really reaction functions to the other players strategies. From the strategy it can be determine the rational outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from each players rational outcomes section.

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas

berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang bejudul ” Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol

Dan Metagame Tanpa Kerjasama”.

Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh

penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi

ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing

skripsi dan selaku ketua program studi Matematika FST USD Yogyakarta

yang telah memberikan banyak saran dan yang telah meluangkan waktu,

pikiran, nasihat, tenaga, serta memberikan kesabarannya sehingga penulis

dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini. (matatih buangeeeet ya

bu….. :))

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dekan FMIPA dan dosen

pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, nasehat,

dan dukungan selama ini.

3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. Selaku Dekan

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan

yang sangat berguna bagi penulis.

xi


5. Mas Tukijo , Ibu Suwarni dan Ibu Linda yang telah memberikan

pelayanan administrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis

selama masih kuliah.

6. Romo Dr. Frans Susilo, SJ, selaku kepala perpustakaan yang telah

menyediakan fasilitas dan kemudahan selama penulis kuliah.

7. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan

kemudahan kepada penulis.

8. Bapak dan ibu tercinta : Ibu Karpini dan Bapak Basuki yang selalu

mendoakan penulis dan memberikan dukungan yang tak pernah berhenti

dalam segala hal.

9. Mas Sun, Mbak Narsih, Sinuk, Bowo, Mas Sugeng, Mbak Ari dan sikecil

Lintang terima kasih buat persaudaraan ini semoga kita dapat selalu

menjaganya. Tuhan berkati kita.

10. Albertus Aan Oky Dwi Hatmoko yang telah memberikan banyak cinta,

pengertian, waktu, kesabaran, nasehat, semangat (cayo-cayo ijup......:),

perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis. Terima kasih buat doa

yang tiada henti untuk penulis, saran, pengetahuan, kebersamaan dan

kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.

11. Saudara dan sahabat penulis : Yulita, Minul, Ika, Teguh, Mas Wawan,

Mas Aga terima kasih untuk kesempatan hidup yang Tuhan berikan

sehingga penulis bisa lalui bersama kalian, terima kasih untuk doa dan

kasih sayangnya serta dukungan yang tak pernah berhenti.

xii


12. Aan, Bani, Taim, Markus, Galih, Tato, (genk mawut) terima kasih atas

persahabatan, kenangan, dukungan, semangat, dan perjalanan hidup yang

sangat berarti yang kalian berikan untuk penulis (kapan bisa main bareng-

bareng lagi.....???). Untuk Ridwan dan Katrin (asyik bisa main bareng

kalian).

13. Teman – teman Kost ‘ICHA’, mbak Nia, Lusae, Via, Indri, Tecca, Tiehna,

Ratih, Cicil, Siane, Ana, Erita dan untuk teman dikost baru Yemima

terima kasih buat keceriaan yang boleh dibagi bersama penulis.

14. Teman – teman angkatan 2002, Amelia, Lenta, Debby, Priska, Retno, Sari,

Vida, Lili, Dani, Ika, Feliks, Archi, Aning, Desi, Deon, Nunung, Chea,

Wuri, Rita, Asih, dan Palma yang sudah memberikan segala keceriaan

dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.

15. Seluruh teman – teman di Prodi Matematika, kakak angkatan dan adik

angkatan.

16. Teman – teman KKN: Angga, Wiwik, Lisna, Suko, Suro, Beny, Mina, dan

Tyas yang memberi warna hidup yang baru selama KKN.

17. Teman – teman di Persekutuan Ekklesia Blok 8, terima kasih untuk

doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

18. Pak Mardi dan Ibu yang memberikan nasehat, pengalaman hidup, dan

semangat.

19. Kost Kodok Ijo : Didit, Topan, Sumin, Bayu yang memberi keceriaan.

20. Ririn yang memberikan bantuan dan pengertian kepada penulis. Semangat

dan selamat berjuang.

xiii


Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan di sini.

Yogyakarta, Januari 2008

Penulis

xiv


DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL…………………………………………………….... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ……………………. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………... iii

HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………….. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………….............. v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….. vii

ABSTRAK……………………………………………………………….. viii

ABSTRACT……………………………………………………………… ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……………………... x

KATA PENGANTAR …………………………………………………… xi

DAFTAR ISI…………………………………………………………….. xv

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………… 1

A. Latar Belakang………………………………………………. 1

B. Rumusan Masalah…………………………………………… 3

C. Pembatasan Masalah………………………………………... 4

D. Tujuan Penulisan……………………………………………. 4

E. Metode Penulisan………………………………………….... 4

F. Manfaat Penulisan…………………………………………... 5

G. Sistematika Penulisan………………………………………. 5

BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL… 6

xv


A. Permainan Berjumlah Tidak Nol……………………………. 7

B. Permainan Tanpa Kerjasama..……………………………..... 7

C. Strategi Campuran………………………………………… 15

D. Teorema Nash……………………………………………... 21

E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium 28

BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK DUA PEMAIN 48

A. Metagame dan Metaekuilibria………….………………… 49

B. Teorema Metarasionalitas..………………………………... 65

C. Simetri Metaekuilibria…………………………..…………. 78

D. Analisis Pilihan………………...…………………………. 81

E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar……… 84

BAB IV PENUTUP…………….……………………………………... 103

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………….. 106

xvi


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang

bersifat kompetitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik).

Persaingan ini dapat dilakukan diantara dua orang atau sejumlah orang (grup).

Persaingan ini dapat disebut sebagai suatu permainan (game). Dari persaingan

yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari, muncullah sebuah Teori

Permainan.

Teori Permainan diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli

Matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Pada

tahun 1928 barulah John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya

menganalisis dan menyatakan pembuktian dari Teorema Minimax, yang

mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maksimum,

yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Teori permainan dikenal

kembali setelah muncul karya bersama yang gemilang dari John Von Neumann

dan Oscar Morgestern seorang ahli ekonomi pada tahun 1944. Pada tahun yang

hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, saat John Von Neumann dan Oscar

Morgestren sedang mempublikasikan karyanya, tampil juga pengembangan dan

penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian

diketemukan bahwa permasalahan dalam teori permainan dapat dirumuskan

sebagai kasus khusus dari program linear. Sejak saat itu teori permainan


2

mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi,

politik , olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya.

Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif , namun

tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan, hanya persaing-

an yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai

permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah:

1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pemain (pelaku).

2. Jumlah pemain terbatas.

3. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan atau tindakan yang terbatas

yang disebut strategi.

4. Aturan permainan di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap

pemain.

5. Hasil permainan dipengaruhi oleh tindakan-tindakan yang dibuat oleh

semua pemain. Hasil untuk seluruh kombinasi tindakan yang mungkin

dilakukan tersebut dapat didefinisikan secara numeris.

Permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada

faktor-faktor tertentu. Salah satunya adalah jumlah keuntungan atau kerugian dari

pemain yang diklasifikasikan sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game)

dan permainan bejumlah tidak nol (non zero-sum game). Faktor yang lain dapat

ditentukan dari adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan tersebut yang

diklasifikasikan dalam permainan dengan kerjasama dan permainan tanpa

kerjasama. Dalam bab selanjutnya yang akan dibahas lebih lanjut adalah


3

permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama. Permainan berjumlah tidak nol

tanpa kerjasama merupakan permainan yang hasil permainannya bukan

merupakan negatif dari hasil pemain lainnya dan dalam permainan tersebut tidak

terdapat kerjasama diantara para pemainnya.

Penyelesaian dalam permainan terkadang membuat hasil yang diperoleh

tidak seperti yang diperkirakan. Dapat diasumsikan bahwa setiap pemain mencoba

memprediksikan strategi apa yang akan digunakan oleh lawannya. Hal ini akan

menuju pada hasil nyata yang stabil dimana masing-masing pemain dapat

memprediksikan dengan tepat strategi yang digunakan dan hasil yang akan

dicapai oleh pemain lain.

Metagame merupakan pengembangan dari Teori Permainan, dimana

metagame adalah strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat

berdasarkan pada permainan yang sebenarnya. Metagame merupakan permainan

yang strategi para pemainnya benar-benar merupakan reaksi untuk strategi pemain

lain. Dalam metagame setiap pemain memberikan reaksi untuk strategi yang

dipilih oleh pemain lainnya.

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai

berikut:

1. Bagaimana penyelesaian permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama?

2. Bagaimana metode penyelesaian Metagame berjumlah tidak nol tanpa


4

kerjasama untuk dua pemain?

3. Bagaimana aplikasi Metagame dalam penggunaannya pada Strategi Pasar?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut :

1. Teori permainan yang dibahas hanya yang terkait langsung dengan

permasalahan dalam permainan berjumlah tidak nol.

2. Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada permainan tanpa

kerjasama, dimana hanya terdapat dua pemain dalam setiap permainan.

3. Strategi permainan yang digunakan terbatas.

D. Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk :

1. Merumuskan model matematika untuk setiap masalah dalam suatu

permainan.

2. Menyelesaikan permainan dengan menggunakan Metagame untuk dua

pemain berjumlah tidak nol, sehingga setiap pemain dapat memprediksi

dengan tepat strategi dan hasil yang dicapai oleh para pemain lain.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan

menggunakan buku-buku yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal


5

baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis dan

pembaca mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah permainan dengan

Metagame.

G. Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai latar

belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,

metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

Bab II. Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol. Pada bagian ini

akan dibahas mengenai permainan tidak berjumlah nol, permainan tanpa

kerjasama, strategi campuran, Teorema Nash, dan penyelesaian permainan

menggunakan metode Swastika untuk menemukan pasangan ekuilibrium.

Bab III. Metagame Tanpa Kerjasama Untuk 2 Pemain. Pada bagian

ini akan dibahas mengenai metagame dan metaekuilibria, teorema

metarasionalitas, simetri metaekuilibria, analisis pilihan, dan analisis pilihan yang

berlaku untuk strategi pasar.

Bab IV. Penutup. Pada bagian ini berisi mengenai kesimpulan dan saran.


BAB II

PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL

Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang

berkaitan dengan pengambilan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada

dalam kondisi persaingan atau konflik. Pihak-pihak tersebut selanjutnya disebut

sebagai pemain. Para pemain yang bersaing diasumsikan bersifat rasional dan

cerdas, artinya masing-masing pemain akan melakukan strategi atau tindakan

yang rasional untuk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing

pemain juga mengetahui strategi pemain lawannya.

Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara,

bergantung pada faktor-faktor berikut : banyaknya pemain, jumlah keuntungan

dan kerugian, dan adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan. Sebagai

contoh, jika banyaknya pemain adalah dua (baik individu maupun kelompok)

maka permainannya disebut sebagai permainan dua pemain (two-person game).

Jika banyaknya pemain adalah n pemain maka permainannya disebut sebagai

permainan n pemain (n person game). Jika hasil permainan untuk salah satu

pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya, maka

permainannya disebut sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game).

Sebaliknya, jika hasil dari permainannya bukan merupakan negatif dari hasil

pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah tidak

nol (non-zero-sum game). Dalam permainan berjumlah nol maupun permainan

berjumlah tidak nol, model permainannya dapat dibagi menjadi permainan dengan


7

kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam penulisan ini hanya akan

dibahas mengenai permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama.

A. Permainan berjumlah tidak nol

Pada permainan berjumlah nol untuk dua pemain hasil permainan untuk

salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya.

Untuk permainan berjumlah nol n pemain, penjumlahan dari hasil permainan

pemain 1 sampai pemain n harus sama dengan nol.

Pada permainan berjumlah tidak nol untuk dua pemain, hasil dari

permainan untuk pemain 1 bukan merupakan negatif dari hasil permainan untuk

pemain 2. Tetapi hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan, misalkan

(A,B), dengan A adalah hasil dari pemain 1 dan B adalah hasil dari pemain 2.

Untuk permainan n pemain tidak berjumlah nol maka hasil permainannya dapat

ditulis sebagai pasangan ( ) dengan masing-masing adalah hasil

dari pemain i.

nAAA ,...,, 21 iA

B. Permainan Tanpa Kerjasama

Dalam permainan berjumlah tidak nol, jika diantara pemainnya tidak

diperbolehkan melakukan komunikasi atau tidak boleh saling berhubungan satu

dengan yang lainnya, maka permainan tersebut dapat disebut dengan permainan

tanpa kerjasama. Karena tidak ada kerjasama antara para pemainnya maka

setiap pemain akan berusaha untuk dapat memaksimalkan perolehan hasil dalam

setiap permainan yang akan dilakukan. Hasil dari permainan juga dapat


8

dinyatakan dengan sebuah matriks yang strategi-strategi pemainnya dinyatakan

dengan baris dan kolom dalam matriks yang bersangkutan.

Definisi 2.2.1

Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu

permainan.

Permainan yang menggunakan dua atau lebih strategi murni disebut dengan

permainan yang menggunakan strategi campuran.

Definisi 2.2.2

Misalkan x dan y masing-masing adalah strategi yang digunakan pemain 1 dan

pemain 2, maka hasil untuk pemain i dapat dituliskan sebagai

(x,y) ie

Hasil permainan merupakan hasil terbaik yang diperoleh kedua pemain.

Definisi 2.2.3

Matriks hasil adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil

permainan dari setiap pemain yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan

para pemain. Umumnya elemen baris ke-i kolom ke-j bersesuaian dengan hasil

permainan pemain 1 bila menggunakan strategi i dan pemain 2 menggunakan

strategi j.


9

Contoh 2.2.1

Misalkan suatu permainan dengan dua pemain, dengan pemain 1 menggunakan

strategi dan pemain 2 menggunakan strategi ( 21, xx ) ( )21, yy . Maka matriks hasil

untuk pemain 1 tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :

Strategi pemain 2

1y 2y

1x ( )11, yxei ( )21, yxei Strategi

pemain 1 2x ( )12 , yxei ( )22 , yxei

Definisi 2.2.4

Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan ( )ji yxe , . Jika hasil ( )ji yxe ,1

merupakan keuntungan dari pemain 1 maka paling tidak pemain 1 mendapatkan

hasil ( ){ }jiy yxej

,min 1 untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 2. Kriteria

maksimin adalah memilih strategi yang memaksimalkan hasil tersebut di atas,

yakni

ix

( ){ }jiyxL yxevji

,minmax 1= .

Definisi 2.2.5

Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan ( )ji yxe , . Jika hasil ( )ji yxe ,2

merupakan kerugian dari pemain 2, maka paling tidak pemain 2 mendapatkan

hasil ( ){ }jix yxei

,max 2 untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 1. Kriteria


10

minimaks adalah memilih strategi yang meminimumkan hasil tersebut di atas,

yakni

jy

( ){ }jixyU yxevij

,maxmin 2= .

Definisi 2.2.6

Nilai maksimin adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

memaksimumkan minimum keuntungan dari strategi baris yang dimainkan

pemain 1.

Nilai minimaks adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

meminimumkan maksimum kerugian dari strategi kolom yang dimainkan pemain

2.

Definisi 2.2.7

Titik sadel merupakan titik keseimbangan dari suatu permainan dengan nilai

maksimin sama dengan nilai minimaks.

Suatu permainan yang hanya menggunakan strategi murni mempunyai titik sadel.

Definisi 2.2.8

Misalkan permainan yang dimainkan oleh dua pemain. Saat pemain 1

menggunakan strategi , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 1. Dan saat

pemain 2 menggunakan strategi , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 2.

merupakan titik ekuilibrium dari permainan tersebut, yaitu titik

keseimbangan saat kedua pemain menggunakan strategi yang terbaik dari

permainan.

*x

*y

),( ** yxe


11

Contoh 2.2.2 (Permainan Prisoner’s Dilemma)

Dua orang ditangkap polisi karena mencuri barang milik orang lain. Kemudian

dilakukan wawancara secara terpisah oleh polisi. Mereka berdua tahu jika mereka

tetap diam maka polisi tidak mendapatkan cukup bukti untuk menghukum mereka

atas pencurian tersebut, dan mereka hanya mendapatkan satu tahun hukuman

penjara karena perbuatan mereka. Jika mereka berdua mengakui bahwa mereka

mencuri, maka masing-masing mendapatkan sembilan tahun hukuman penjara.

Jika salah satu mengakui dan yang lain tetap diam, maka yang mengakui menjadi

bukti dan akan dibebaskan, sedangkan yang tetap diam akan mendapatkan

hukuman sepuluh tahun penjara. Apa yang sebaiknya mereka lakukan?

Penyelesaian :

Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan pemain 1 adalah A1 =

mengakui dan A2 = tidak mengakui. Sedangkan strategi pemain 2 adalah B1 =

mengakui dan B2 = tidak mengakui. Misalkan banyaknya hukuman dinyatakan

dengan –n tahun, maka matriks hasil dari permainan di atas dapat dituliskan

sebagai berikut :

Pemain 2

BB1 : Mengakui BB2 : Tidak mengakui

A1 : Mengakui (-9,-9) (0,-10) Pemain 1

A2 : Tidak mengakui (-10,0) (-1,-1)


12

Jika keduanya mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah

dan masing-masing akan mendapatkan hukuman 9 tahun penjara,

dituliskan dengan

( 11, BA )

( ) 9,11 −=BAe dan ( ) 9, 12 −=BAe . Jika keduanya tidak

mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah ( )22 , BA dan setiap

pemain akan mendapatkan hukuman 1 tahun penjara dituliskan dengan

dan ( ) 1,21 −=BAe ( ) 1, 22 −=BAe . Jika salah satu mengakui dan yang lain tidak

mengakui mencuri berarti yang mengakui akan dibebaskan dan yang tidak

mengakui akan mendapatkan hukuman 10 tahun penjara, dengan demikian

strategi yang digunakan adalah ( )21, BA dan ( )12 , BA dan hasilnya dapat dituliskan

dengan , ( ) 0,11 =BAe ( ) 10, 22 −=BAe dan ( ) 10,21 −=BAe , ( ) 0, 12 =BAe .

Akan dicari penyelesaian permainan tersebut, yaitu dengan cara mencari

nilai minimaks dan nilai maksimin untuk setiap pemain. Matrik hasil untuk

pemain 1 adalah:

Minimum baris

-9 → maks

-10

Maksimum -9 0

1B 2B

1A -9 0

2A -10 -1

kolom ↓

min

Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 1 adalah dan

mempunyai titik sadel karena nilai maksimin sama dengan nilai minimaks.

Sebaliknya matriks hasil untuk pemain 2 adalah sebagai berikut :

( ) 9, 111 −=BAe


13

Minimum baris

-9 → maks

-10

Maksimum -9 0

1A 2A

1B -9 0

2B -10 -1

kolom ↓

min

Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 2 ( ) 9, 112 −=BAe dan juga

mempunyai titik sadel. Hasil permainan untuk kedua pemain dinyatakan dengan

( ) ( ) { 9,9},,,{ 112111 }−−=BAeBAe dan ini merupakan titik ekuilibrium dari

permainan ini. Maka penyelesaian dari permainan ini adalah jika kedua pemain

saling mengakui bahwa mereka mencuri.

Akan dicari penyelesaian permainan Prisoner’s Dilemma menggunakan

kriteria maksimin dan kriteria minimaks. Dengan menggunakan kriteria maksimin

( ){ }jiyxL yxevji

,minmax 1= hasil permainan untuk pemain 1 adalah

( ){ }( ) ( ){ } ( ) ({ }{ }

( ) ( ){ }( ){ }9,9

0,10dan9,9max

1,1,0,10mindan10,0,9,9minmax

,minmax 1

−−=

−−−=

−−−−−−=

=

i

jji

ji

x

yyx

jiyxL yxev

)

Dengan menggunakan kriteria minimaks ( ){ }jixyU yxevij

,maxmin 2= hasil

permainan untuk pemain 2 adalah

( ){ }( ) ( ){ } ( ) ({ }{ }

( ) ( ){ }( ){ }9,9

0,10,9,9min

1,1,10,0maxdan0,10,9,9maxmin

,maxmin 2

−−=

−−−=

−−−−−−=

=

j

iij

ij

y

xxy

jixyU yxev

)


14

Dapat dilihat bahwa hasil permainan dengan menggunakan kriteria maksimin

sama dengan hasil permainan dengan menggunakan kriteria minimaks, yaitu

({ 9,9 )}−−== UL vv . Maka permainan Prisoner’s Dilemma tersebut mempunyai

titik ekuilibrium karena . UL vv =

Definisi 2.2.9

Dalam permainan tanpa kerjasama untuk n pemain, misalkan adalah strategi

campuran yang digunakan oleh pemain i. n pasang strategi campuran , ,...,

, adalah n pasang ekuilibrium untuk strategi campuran jika untuk semua

strategi – strategi yang lain, yaitu , ,…, berlaku :

*ix

*1x *

2x

*nx

1y 2y ny

( ) ( )**2

*1

***2

*1 ,...,,...,,,...,,...,, niinii xyxxexxxxe ≥ , 1 ≤ i ≤ n .

Definisi 2.2.10

Misalkan pada permainan yang dimainkan oleh dua pemain, X adalah himpunan

strategi campuran untuk pemain 1, Y adalah himpunan strategi campuran untuk

pemain 2. Suatu pasangan strategi adalah pasangan ekuilibrium

untuk permainan tidak berjumlah nol jika untuk setiap

YX ∈∈ **x y,

YX ∈∈ yx , :

( ) ( )( ) ( ***

***

y,xy,x

y,xyx,

22

11

ee

ee

≤

≤

)

Dengan ( )**1 y,xe adalah hasil untuk pemain 1 dan ( )**

2 y,xe adalah hasil untuk

pemain 2.


15

Contoh 2.2.3

Dari permainan Prisoners Dilemma pada contoh 2.2.2 didapatkan pasangan

ekuilibrium ( ) ( ){ } { }9,9,,, **2

**1 −−=yxyx ee . { }9,9 −− adalah pasangan ekuilibrium

untuk permainan tidak berjumlah nol tersebut jika untuk setiap

berlaku :

YX ∈∈ yx ,

( ) ( )( ) ( ***

***

y,xy,x

y,xyx,

22

11

ee

ee

≤

≤

)

Dari permainan pada contoh 2.2.2 tersebut didapatkan hasil untuk pemain 1

adalah ( ) 10, *1 −=yxe dan hasil untuk pemain 2 adalah ( ) 10,*

2 −=yxe . Didapatkan

untuk pemain 1 berlaku ( ) ( ) 910,, **1

*1 −<−≡≤ yxyx ee dan untuk pemain 2

berlaku ( ) ( ) 910,, **2

*2 −<−≡≤ yxyx ee . Maka menurut definisi 2.2.9 untuk

permainan Prisoners Dilemma berlaku ( ) ( ) 910,, **1

*1 −<−≡≤ yxyx ee dan

( ) ( ) 910,, **2

*2 −<−≡≤ yxyx ee . Dengan pasangan ekuilibriumnya adalah

. { }9,9 −−

C. Strategi Campuran

Von Neumann menyarankan salah satu cara untuk menyelesaikan kasus

dimana dengan menggunakan strategi campuran. Suatu strategi campuran

terdiri atas seni percobaan acak setiap waktu dalam permainan tersebut dan untuk

menentukan strategi yang akan digunakan pemain setiap saat. Strategi murni

terdiri dari beberapa strategi murni dengan probabilitas tertentu.

UL vv ≠


16

Contoh 2.3.1 (Permainan Poker sederhana)

Dalam permainan Poker yang sederhana strategi yang digunakan para pemain

akan ditunjukkan dalam tabel berikut :

Strategi

1I Pemain 1 percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’ Pemain 1

2I Pemain 1 tidak percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’

1II Pemain 2 berkata ’Two’ ketika mempunyai ’Two’ Pemain 2

2II Pemain 2 berkata ’Ace’ ketika mempunyai ’Two’

Dari strategi di atas akan didapatkan hasil permainan sebagai berikut.

Jika pemain 1 menggunakan strategi dan pemain 2 menggunakan strategi ,

maka pemain 1 akan mendapatkan -1 jika pemain 2 menunjukkan ’Ace’. Tetapi

jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ maka saat itu juga pemain 1 mendapatkan +1.

Harapan mendapatkan ’Ace’ adalah

1I 1II

21 dan harapan mendapatkan ’Two’ juga 2

1 ,

maka nilai yang diharapkan adalah ( ) 0.1.1 21

21 =−+ .


maka pemain 1 mendapatkan nilai -1.

1I 2II


maka ketika pemain 2 menunjukkan ’Ace’ pemain 1 kalah -2. Jika pemain 2

menunjukkan ’Two’ pemain 1 menang +1. Maka nilai harapannya adalah

2I 1II

21

21

21 1.2. −=+− .


17

Yang terakhir jika pemain 1 menggunakan strategi dan pemain 2

menggunakan strategi , maka pemain 1 akan mendapatkan -2 ketika pemain 2

mendapatkan ’Ace’. Tetapi jika kartu tersebut adalah ’Two’ maka pemain 1

mendapatkan +2. Kemudian, nilai harapannya adalah

2I

2II

02.2. 21

21 =+− .

Maka matriks hasilnya dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Pemain 2

1II 2II

1I 0 -1

Pemain 1 2I - 2

1 0

Dalam permainan Poker, pemain 1 akan melempar koin untuk menentukan

strategi yang akan digunakan. Apabila muncul ”kepala” maka yang digunakan

adalah strategi . Dan bila muncul ”ekor” maka akan menggunakan strategi .

Probabilitas pemain 1 menggunakan strategi dan strategi masing-masing

adalah

1I 2I

1I 2I

21 .

Hasil permainan dari matriks di atas menunjukkan jika pemain 2 menggunakan

strategi maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi adalah

0 dan peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi adalah -

1II 1I

2I 21 .

Sedangkan, jika pemain 2 menggunakan strategi maka peluang pemain 1 2II


18

menang jika menggunakan strategi adalah -1. Dan jika menggunakan strategi

adalah 0.

1I

2I

Hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 menggunakan strategi adalah

(0 x

1II

21 ) + (- 2

1 x 21 ) = - 4

1 . Dan hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2

menggunakan strategi adalah (-1 x 2II 21 ) + (0 x 2

1 ) = - 21 . Dalam permainan

tersebut digunakan strategi campuran, yakni pemain 1 menggunakan strategi

campuran ( dan pemain 2 menggunakan strategi campuran . )21, II ( )21, IIII

Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu

permainan. Misalkan pemain 1 mempunyai n strategi murni, susunan strategi

campuran X bisa dinyatakan dengan n-tuple ( )nxxx ,...,, 21=x dimana

, dan nixi 1,2,...,,0 =≥

(2.3.1) ∑=

=n

iix

11

Persamaan (2.3.1) digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap

strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas .

Sedangkan jika pemain 2 mempunyai m strategi murni, susunan strategi campuran

Y bisa dinyatakan dengan m-tuple

ix

( )myyy ,...,, 21=y dimana ,

dan

miyi 1,2,...,,0 =≥

∑=

=m

iiy

11 (2.3.2)

Persamaan (2.3.2) juga digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap

strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas . iy


19

Apabila pemain 1 memainkan strategi ( )nxxx ,...,, 21=x dan pemain 2

memainkan strategi hasil yang diharapkan untuk pemain 1

adalah :

( myyy ,...,, 21=y )

)

( ) ∑∑= =

=m

j

n

ijiji yexe

1 11 ,yx (2.3.3)

Contoh 2.3.2

Dalam permainan Poker yang sederhana, misalkan pemain 1 memainkan strategi

dan pemain 2 memainkan strategi ( xx −= 1,x ( )yy −= 1,y , dan matriks hasilnya

adalah

Pemain 2

1II 2II

y 1-y

1I x 0 -1 Pemain 1

2I 1-x - 21 0

Nilai harapan hasil pemain 1 adalah

( ) ( ) ( ) ( )( )

xyyxxyyxxy

yxyxyxxye

23

21

21

21

21

1 11011.1.0,

+−−=

+−−=

−−+−−−−=yx (2.3.4)


20

Jika pemain 1 memainkan strategi ( )32

31 ,*=x , yakni 3

1=x artinya bahwa pemain 1

bermain dengan menggunakan strategi 1I 31 kali banyaknya permainan yang dia

lakukan. Maka dari persamaan (2.3.4) diperoleh

( ) 31

1 *, −=yxe , untuk semua Yy∈ (2.3.5)

Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa pemain 1 yakin hasilnya paling

sedikit 31− jika memainkan . Artinya bahwa dia akan kalah paling tidak

adalah

*x

31 .

Jika pemain 2 memainkan ( )31

32 ,* =y , yakni 3

2=y artinya pemain 2 bermain

dengan menggunakan strategi adalah 1II 32 kali jumlah permainan yang

dimainkannya. Maka dari persamaan (2.3.4) memberikan

( ) 31

1 *, −=yxe , untuk semua Xx∈ (2.3.6)

Jadi, jika pemain 2 memainkan dia meyakinkan pemain 1 bahwa pemain 1

tidak dapat memperoleh hasil lebih dari

*y

31− dengan strategi apapun yang

dimainkan. Pemain 1 akan kalah 31 .

Dari contoh di atas jika pemain 1 menggunakan strategi maka

hasilnya akan kurang dari atau sama dengan hasil pemain 2 jika pemain 2

menggunakan strategi . Penyelesaian optimal permainan ini adalah pemain 2

memainkan strategi campuran

*x

*y

( )31

32 ,* =y dan pemain 1 memainkan strategi

campuran ( 32

31 ,* )=x dengan hasil yang diharapkan 3

1− untuk pemain 1.


21

D. Teorema Nash

Definisi 2.4.1

Semesta pembicaraan adalah R. Dengan titik x merupakan Rx∈ dan himpunan

. RS⊂

Untuk dan Rp∈ 0<r . Kitar p dengan radus r adalah

( ) ( ) { rx-pxrprprpN }<∈=+−= |:|R,, . Atau kitar titik p dengan radius r adalah

interval terbuka dengan ujung-ujung p-r dan p+r.

Definisi 2.4.2

Titik p adalah titik limit himpunan S jika untuk setiap 0<r terdapat titik q

dengan dan Sqpq ∈≠ , ( )rpNq ,∈ .

Definisi 2.4.3

Himpunan S dikatakan tertutup jika semua titik limitnya anggota dari S.

Atau (S tertutup) ⇔ (p titik limit S Sp∈⇒ ) .

Contoh 2.4.1

i. Misalkan himpunan { }10| ≤≤= xxS maka S adalah himpunan tertutup

jika semua titik limitnya, yaitu titik limit diantara interval 0 sampai 1

adalah anggota himpunan S.


22

Definisi 2.4.4

Himpunan S disebut terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas atau

batas bawah.

Contoh 2.4.2

i. Misalkan himpunan { }10| ≤≤= xxS maka S adalah himpunan terbatas

karena himpunan S akan menuju ke 1 dan terbatas pada 1 saja, tidak

akan melewati 1. Dengan kata lain, anggota-anggota himpunan S akan

berada dintara 0 dan 1, batas bawah 0 dan batas atas 1.

Definisi 2.4.5

Himpunan S disebut konveks jika untuk setiap pasangan dari titik , dalam S

membentuk segmen garis

1x 2x

[ , ] = { : = α + β , 1x 2x x x 1x 2x 1,0,0 =+≥≥ βαβα } untuk semua S.

y

y

xx

Gambar 2.4.1 Himpunan konveks Gambar 2.4.2 Himpunan bukan konveks


23

Contoh 2.4.3

i. Misalkan himpunan { }4|, 22 ≤+= yxyxS adalah himpunan konveks.

Untuk menunjukkan hal tersebut, ambil dua titik dalam S

( )( ) 4,

4,2

22

121

22

2121

≤+⇒∈=

≤+⇒∈=

vvSvv

uuSuu

v

u

Himpunan S disebut konveks jika memenuhi definisi 2.4.5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒∈+

21

21

2

1

2

1

vvuu

vv

uu

Sβαβα

βαβα vu

Maka :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 42

422

422

4

22

21

22211

22

21

2

22

221

22211

22

221

2

22

222

22

221

211

21

2

222

211

≤+++++

≤+++++

≤+++++

≤+++

vvvuvuuu

vvvuvuuu

vvuuvvuu

vuvu

βαβα

ββαβαβαα

βαβαβαβα

βαβα

Karena 1,0,0 =+≥≥ βαβα dan 4,4 22

21

22

21 ≤+≤+ vvuu

Maka

( )( )( ) 42

4

4

2211

22

21

2

22

21

2

≤+≤+

≤+

vuvuvv

uu

αββ

α

Sehingga ( ) ( ) ( ) 42 22

21

22211

22

21

2 ≤+++++ vvvuvuuu βαβα

Oleh karena itu S∈+ vu βα maka himpunan S konveks.

2-2

-2

2y

x


24

Definisi 2.4.6

Fungsi f kontinu jika fungsi tersebut berkelanjutan tanpa perubahan yang

mendadak.

Contoh 2.4.5

i. Misalkan himpunan { }10| ≤≤= xxS dan diberikan fungsi .

Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai x antara 0 dan 1 jika

dipetakan ke dalam fungsi f(x) maka akan mendapatkan nilai yang

saling berdekatan dan dapat dihubungkan sebagai garis lurus.

( ) xxf −=1

ii. Misalkan diberikan himpunan { }11| ≤≤−= xxS dengan persamaan

( ) 2xxf = . Himpunan S disebut kontinu karena setiap nilai dalam x jika

dipetakan ke dalam fungsi f(x) akan mendapatkan nilai yang

berkelanjutan tanpa ada perubahan yang mendadak.

Gambar dibawah ini mengambarkan himpunan S yang tertutup, terbatas,

konveks dan fungsi f yang berlaku dalam himpunan S tersebut kontinu.

S

f

Gambar 2.4.3 Fungsi f dalam sebuah lingkaran.


25

Teorema 2.4.1 (Teorema titik tetap Brouwer)

Jika f suatu fungsi yang memetakan titik-titik pada himpunan S yang tertutup,

terbatas dan konveks dalam ruang Euclides ke dalam himpunan S dan jika f adalah

fungsi kontinu maka sekurang-kurangnya ada satu titik dalam S yang dipetakan ke

dirinya sendiri (titik tetap).

Dengan kata lain titik tetap tersebut dapat dituliskan ke dalam fungsi sebagai,

misalkan ( ) kontinu,,: ppfSpfSxyxf =∋∈∃∈→ .

Maka merupakan titik tetap. ( ) ppf =

Bukti untuk teorema Titik Tetap Brouwer ini tidak diberikan, dapat dilihat pada

buku ” Some Topics in Two Person Games” yang ditulis oleh T. Parthasarathy

dan T.E.S. Raghavan, 1977.

Teorema 2.4.2 (Teorema Nash)

Sebarang permainan untuk dua orang (berjumlah nol atau berjumlah tidak nol)

dengan sejumlah strategi yang berhingga paling sedikit mempunyai satu pasangan

ekuilibrium.

Bukti :

Diberikan S = {(x,y)| x X, y ∈ ∈ Y} adalah himpunan semua pasangan strategi

yang mungkin. Karena x dan y adalah vektor dengan strategi yang terbatas, maka

dalam hal ini S adalah tertutup dan terbatas dan juga konveks.


26

Misal adalah nilai harapan untuk pemain 1 jika pemain 1 menggunakan

strategi I , dan

( y,1 iIe )

( )jIIe ,2 x adalah nilai harapan untuk pemain 2 jika pemain 2

menggunakan strategi II.

Didefinisikan ( )YX ∈∈∀ yx ,

( ) ( ) ( ){ } nieIec ii ≤≤−= 1,,,,0max, 11 yxyyx

( ) ( ) ( ){ } mjeIIed ji ≤≤−= 1,,,,0max, 22 yxxyx

dengan n banyaknya strategi murni pemain 1 dan m banyaknya strategi murni

pemain 2.

Diberikan fungsi f : S → S dengan f (x,y) = ( )y,x ′′ dimana

( )( )yx,

yx,

∑=

+

+=′ n

ii

iii

c

cxx

11

, ni <≤1

dan

( )

( )∑=

+

+=′ m

jj

jjj

d

dyy

1

1 yx,

yx, , mj <≤1

Fungsi f adalah suatu fungsi yang kontinu, karena jika diambil sebarang x∈X,

y∈Y, f akan selalu terdefinisi dengan perubahan yang kecil dalam x dan y, akan

menyebabkan perubahan kecil dalam x′ dan y′ . Dengan demikian menurut

teorema Titik Tetap Brouwer ada suatu titik tetap ( )** y,x dimana

f ( )** y,x = ( )** y,x (2.4.1)

Menurut persamaan (2.3.1) dan (2.3.3) jika menggunakan strategi campuran maka


27

( ) ( ) ( ) (( )**

*****

y,x

yxy,xyy,x

1

**1

11

*1

1

*1 ,.1,

e

eexIexen

iii

n

ii

=

=≤= ∑∑==

)

Jadi untuk suatu i diperoleh ( )** y,xic = 0

dari persamaan (2.4.1) diperoleh

( )( )∑

=

+

+= n

ii

iii

c

cxx

1

**

1 **

**

y,x

y,x (2.4.2)

dan untuk i dimana ( )** y,xic = 0, maka . ( ) 01

=∑=

** y,xn

iic

Jadi , , i∀ ni <≤1 ( )** y,xic = 0 berlaku ( ) ( )*** yy,x ,11 iIee ≥ , sehingga dari sini

diperoleh

( ) ( ) Xee ∈∀≥ xyxy,x *** ,,11 (2.4.3)

Demikian juga untuk mjj <≤∀ 1, , menurut persamaan (2.3.3) jika

menggunakan strategi campuran maka

( ) ( ) ( ) (

( )**2

**22

1

*2

1

*2

,

,.1,

yx

yxy,xxy,x ****

e

eeyIIeyem

jjj

m

jj

=

=≤= ∑∑==

)

Jadi untuk suatu j, ( ) 0=** y,xjd

Dari persamaan (2.4.1) diperoleh

( )( )∑

=

+

+= m

jj

jjj

d

dyy

1

**

1 **

**

y,x

y,x (2.4.4)

Dan untuk j dimana ( ) 0=** y,xjd , maka ( ) 01

=∑=

** y,xm

jjd


28

Jadi ( , mjj <≤∀ 1, ) ( ) 0=** y,xjd berlaku ( ) ( )jIIee ,22*** xy,x ≥ sehingga

diperoleh

( ) ( ) ( )y,xy,xy ***22Y ee ≥∈∀ (2.4.5)

Dari persamaan (2.4.3) dan persamaan (2.4.5) diperoleh

( ) ( )*** y,xyx, 11 ee ≤ dan ( ) ( )*** y,xy,x 22 ee ≤ dengan demikian berdasarkan definisi

pasangan ekuilibrium untuk permainan tidak berjumlah nol maka ( )** y,x adalah

suatu pasangan ekuilibrium. ▄

E . Metode Swastika untuk menemukan Pasangan Ekuilibrium

Teorema Nash menyatakan bahwa paling sedikit ada satu titik ekuilibrium

dalam suatu permainan. Tetapi dalam teorema tersebut tidak disebutkan cara

untuk mendapatkannya. Metode untuk mencari titik ekuilibrium ( )** y,x dari

permainan dua orang berjumlah tidak nol antara lain dengan metode Swastika.

Metode swastika ini digunakan pada matriks hasil berordo 2 x 2 dengan langkah-

langkah sebagai berikut :

1. Dimisalkan x = (x, 1-x) adalah strategi untuk pemain 1 dan y =

(y,1-y) adalah strategi untuk pemain 2.

2. Hitung , yaitu nilai harapan hasil pemain i yang

berhubungan dengan strategi x dan y.

( yx,ie )

)3. Tentukan nilai dan yang memaksimalkan untuk

semua nilai y, dan yang memaksimalkan

*x *y ( yx,1e

( )yx,2e untuk semua nilai

x.


29

4. ( )** y,x merupakan titik ekuilibrium.

Contoh 2.5.1

Diberikan matriks hasil untuk permainan berjumlah tidak nol

Pemain 2

II1 II2

I1 (3,2) (2,1) Pemain 1

I2 (0,3) (4,4)

Akan dicari hasil yang optimal untuk masing-masing pemain, yaitu titik

ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil permainan untuk setiap titik

ekuilibrium.

Penyelesaian :

Untuk pemain 1

Langkah 1:

Matriks hasil untuk pemain 1 adalah

A =

y 1 - y

x 3 2

1 - x 0 4


30

Langkah 2 :


e1(x,y) = x ( 3y + 2 (1 – y)) + (1 – x) (0.y + 4 (1 – y))

= x ( 3y + 2 – 2y) + (1 – x) (4 – 4y)

= x (y + 2) + (4 – 4y – 4x + 4xy)

= x (y + 2) + x (4y – 4) + (4 – 4y)

= x (5y – 2) + (4 – 4y) (2.5.1)

Langkah 3 :

Untuk mendapatkan hasil e1(x,y) yang optimal maka akan dicari titik kritisnya,

yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.1) terhadap x, sehingga diperoleh :

( yx,'1e ) = (5y – 2) = 0 52=⇒ y .

Terdapat tiga kemungkinan nilai y, yaitu 52

52

52 ,, >=< yyy .

Dari persamaan (2.5.1) akan didapatkan :

Jika 52<y maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 0

Jika 52=y maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh 10 << x

Jika 52>y maka e1(x,y) dimaksimalkan oleh x = 1

Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :


31

y

1

52

0 1 x

Gambar 2.5.1 x memaksimumkan hasil e1(x,y).

Nilai yang memaksimalkan hasil e*x 1(x,y) untuk semua nilai y adalah nilai-nilai

diantara x = 0, , x = 1. 10 << x

Untuk pemain 2

Langkah 1 :


B =

x 1 - x

y 2 3

1 - y 1 4

Langkah 2 :


e2(x,y) = y ( 2 x + 3 (1 – x)) + (1 – y) ( 1.x + 4 (1 – x))

= y ( 2x + 3 – 3x) + (1 – y) ( x + 4 – 4x)

= y (-x + 3) + (1 – y) (-3x + 4)


32

= y (-x + 3) + (-3x + 4 + 3xy – 4y)

= y (-x + 3) + y (3x – 4) + (4 – 3x)

= y (2x – 1) + (4 – 3x) (2.5.2)

Langkah 3 :


yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.2) terhadap y, sehingga diperoleh :

( yx,'2e ) = (2x – 1) = 0 21=⇒ x .

Terdapat tiga kemungkinan nilai x, yaitu 21

21

21 ,, >=< xxx .

Dari persamaan (2.5.2) diperoleh bahwa

jika 21

<x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 0

jika 21

=x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh 10 << y

jika 21

>x maka e2(x,y) dimaksimalkan oleh y = 1

Dari ketiga nilai di atas dapat digambarkan dalam grafik berikut :


33

y

1

0 21 1 x

Gambar 2.5.2 y memaksimumkan hasil e2(x,y).

Nilai yang memaksimalkan hasil e*y 2(x,y) untuk semua nilai x adalah nilai-nilai

diantara y = 0, , y = 1. 10 << y

Langkah 4 :

Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik dari Gambar 2.5.1 dan Gambar

2.5.2. Grafik perpotongannya disajikan sebagai berikut :

y

1

52

0 21 1 x

Gambar 2.5.3 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.


34

Dari gambar 2.5.3 diperoleh tiga buah titik potong, yaitu A(0,0), B( 52

21 , ), C(1,1).

Akan ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium-ekuilibrium tersebut.

Perhatikan kembali, dari persamaan 2.5.1 dan persamaan 2.5.2 diperoleh

( yx,1e )

)

= x (5y – 2) + (4 – 4y)

( yx,2e = y (2x – 1) + (4 – 3x)

Untuk titik ekuilibrium A(0,0), yakni 0dan0 == yx maka didapatkan

( 0,01e )

)

= 0 (5.0 – 2) + (4 – 4.0) = 4 .

( 0,02e = 0(2.0 – 1) + (4 – 3.0) = 4 .

Dengan demikian hasilnya adalah (4,4).

Untuk titik ekuilibrium B( 52

21 , ), yakni 5

221 dan == yx maka didapatkan

( )52

21

1 ,e = 21 (5. 5

2 – 2) + (4 – 4. 52 ) = 5

12 = 2,4 .

( )52

21

2 ,e = 52 (2. 2

1 – 1) + (4 – 3. 21 ) = 2,5 .

Dengan demikian hasilnya adalah (2,4 ; 2,5).

Untuk titik ekuilibrium C(1,1), yakni 1dan1 == yx maka didapatkan

( )1,11e = 1 (5. 1– 2) + (4 – 4.1) = 3.

( 52

21

2 ,e ) = 1 (2. 1 – 1) + (4 – 3. 1) = 2.

Dengan demikian hasilnya adalah (3,2).

Jadi titik ekuilibrium ( )** , yx adalah (0,0), ( )52

21 , , (1,1) dan hasil permainannya

masing-masing adalah (4,4), (2,4 ; 2,5), (3,2).

Pada permainan contoh 2.5.1 akan diselesaikan menggunakan program

QM, matriks hasil untuk pemain 1 ditunjukkan sebagai berikut :


35

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil permainan untuk

pemain 1 adalah 2,4. Akan ditunjukkan grafik untuk permainan tersebut.

a. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi baris pemain 1.

Strategi kedua dari pemain 1

Strategi pertama dari pemain 1


nilai

permainan


Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan pada sumbu kiri

mewakili nilai strategi kedua dari pemain 1 dan nilai permainan pada sumbu

kanan mewakili nilai strategi pertama dari pemain 1. Grafik terbentuk dari


36

hubungan strategi pertama dan strategi kedua pemain 1 terhadap strategi pemain

2. Pemain 1 akan memilih strategi pertama daripada memilih strategi kedua.

Karena strategi pertama dari pemain 1 merupakan strategi yang memaksimumkan

minimum keuntungan. Dengan peluang menggunakan strategi strategi pertama

dari pemain 1 adalah 0,8 dan nilai permainan adalah 2,4.

b. Grafik hasil pemain 1 dilihat dari strategi kolom pemain 2.




nilai

permainan


Untuk grafik yang kedua ini dapat dilihat bahwa nilai permainan pada

sumbu kiri mewakili nilai strategi kedua dan nilai pada sumbu kanan mewakili

nilai strategi pertama dari pemain 2. Grafik di atas adalah hubungan dari strategi

pertama dan strategi kedua pemain 2 terhadap strategi pemain 1. Pemain 1 akan

mendapatkan hasil yang optimal dengan memilih strategi yang tepat, yaitu

memilih strategi pertama. Karena strategi pertama membuat pemain 1

memaksimalkan minimum keuntungan dari hasil permainannya. Dengan peluang

menggunakan strategi pertama adalah 0,4 dan nilai permainannya adalah 2,4.


37

Matriks hasil pemain 2 ditunjukkan sebagai berikut :

Matriks di atas merupakan matriks hasil dari permainan pemain 2. Dapat

dilihat di atas bahwa hasil permainan untuk pemain 2 adalah 2. Di bawah ini

grafik mengenai hasil permainan di atas.


Strategi kedua dari pemain 2 Strategi pertama

dari pemain 2Strategi kedua dari pemain 1

nilai

permainan Strategi pertama dari pemain 1

Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa hasil permainannya adalah 2. Nilai

permainan dari sumbu kiri mewakili nilai-nilai dari strategi kedua pemain 2 dan


38

nilai pada sumbu kanan mewakili nilai strategi pertama pemain 2. Pemain 2

memilih menggunakan strategi pertama karena akan mendapatkan hasil yang

maksimal, yaitu 2. Daripada memilih strategi kedua akan mendapatkan hasil 1.

Pemain 2 pasti akan memilih strategi pertama yang membuat dia meminimumkan

maksimum kerugian. Dengan peluang menggunakan strategi pertama adalah 1 dan

nilai permainannya adalah 2.



Strategi pertama dari pemain2


nilai

permainan


Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa nilai permainan dari sumbu kiri

diwakili oleh nilai strategi kedua pemain 1 dan nilai permainan dari sumbu kanan

diwakili oleh nilai strategi pertama pemain 1. Hasil permainannya adalah pemain

2 memilih strategi pertama karena dia akan mendapatkan hasil yang maksimum,

yaitu 2 dengan peluang menggunakan strategi yang dimainkan adalah 1 dan nilai

pemainannya adalah 2. Daripada memilih strategi kedua dengan hasil

pemainannya adalah 1.


39

Contoh 2.5.2

Diberikan matriks hasil untuk permainan Prisoners Dilemma sebagai berikut :

Pemain 2

II1 II2

I1 (-9,-9) (0,-10) Pemain 1

I2 (-10,0) (-1,-1)

Dengan metode Swastika tentukan titik ekuilibrium untuk permainan ini dan hasil

permainan untuk setiap titik ekuilibriumnya.

Penyelesaian :

Untuk pemain 1

Langkah 1:


A =

y 1 - y

x -9 0

1 - x -10 -1

Langkah 2 :


e1(x,y) = x ( -9y + 0 (1 - y)) + (1 - x) (-10y + (-1)(1 - y))

= x ( -9y ) + (1 - x) (-10y -1 + y)


40

= x (-9y) + (1-x) (-9y -1)

= x (-9y) + (-9y -1 + 9xy +x)

= x (-9y) + x (9y +1) + (-9y -1)

= x- 9y -1 (2.5.3)

Langkah 3 :


yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.3) terhadap x, sehingga diperoleh :

( yx,'1e ) = 1 .

Maka nilai yang memaksimalkan hasil e*x 1(x,y) untuk semua nilai y adalah

. ( )0,1* =x

Digambarkan dalam grafik berikut :

y

1

0 1 x

Gambar 2.5.4 x memaksimumkan hasil e1(x,y).

Untuk pemain 2

Langkah 1 :



41

B =

x 1 - x

y -9 0

1 - y -10 -1

Langkah 2 :


e2(x,y) = y ( -9 x + 0 (1 - x)) + (1 - y) ( -10.x + (-1) (1 - x))

= y ( -9x) + (1 – y) ( -10x -1 + x)

= y (-9x) + (1 – y) (-9x -1)

= y (-9x) + (-9x - 1 + 9xy + y)

= y (-9x) + y (9x +1 ) + ( -9x -1)

= y - 9x -1 (2.5.4)

Langkah 3 :


yakni dengan menurunkan persamaan (2.5.4) terhadap y, sehingga diperoleh :

( yx,'2e ) = 1

Maka Nilai yang memaksimalkan hasil e*y 2(x,y) untuk semua nilai x adalah

. ( )1,0* =y

Digambarkan dalam grafik berikut :


42

y

1

0 1 x

Gambar 2.5.5. y memaksimumkan hasil e2(x,y).

Langkah 4 :

Titik ekuilibrium terletak pada perpotongan grafik berikut :

y

1

0 1 x

Gambar 2.5.6 Metode Swastika untuk pasangan ekuilibrium.

Dari gambar 2.5.6 diperoleh sebuah titik potong, yaitu (1,1). Akan

ditentukan nilai permainan dari titik ekuilibrium tersebut. Perhatikan kembali, dari

persamaan 2.5.3 dan persamaan 2.5.4 diperoleh

( yx,1e )

)

= x- 9y -1

( yx,2e = y - 9x -1


43

Untuk titik ekuilibrium (1,1), yakni 1dan1 == yx maka didapatkan

( )1,11e = 1 -9 -1= -9 .

( )1,12e = 1-9 -1 = -9 .

Dengan demikian hasilnya adalah (-9,-9).

Jadi titik ekuilibrium ( )** y,x adalah (1,1) dan hasil permainannya adalah (-9,-9).

Mencari titik ekuilibrium pada permainan Prisoners Dilemma di atas

menggunakan program QM.

Matriks hasil pemain 1 disajikan sebagai berikut :

Dapat disimpulkan dari matriks hasil di atas bahwa hasil untuk pemain 1

adalah -9. Hasil tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan

diperlihatkan grafik dari permainan di atas.


44

a. Grafik hasil pemain 1dilihat dari strategi baris pemain 1.

A1 A2 BB2

nilai

permainan

BB1

Dari grafik di atas dapat ditunjukkan bahwa nilai pemainan pada sumbu

kiri mewakili nilai-nilai dari strategi (tidak mengakui) dan nilai permainan

pada sumbu kanan mewakili nilai-nilai dar strategi A

2A

1 (mengakui). Grafik di atas

menunjukkan hubungan strategi A1 dan terhadap strategi kolom pemain 2. 2A

Pemain 1 akan lebih memilih A1 daripada , karena pemain 1 memilih

kemungkinan terburuk, yaitu jika pemain 1 memilih A

2A

1 maka dia akan

mendapatkan hukuman penjara selama 9 tahun. Daripada memilih strategi

maka akan mendapatkan hukuman penjara selama 10 tahun. Maka pemain 1

memilih strategi yang meminimumkan maksimum hukuman yang akan dia terima,

yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada 10 tahun.

2A



45

B BB2 B1

A1 nilai

permainan A2

Grafik di atas ditunjukkan dengan nilai permainan dari sumbu kiri

mewakili nilai strategi BB2 (tidak mengakui) dan nilai permainan dari sumbu kanan

mewakili nilai strategi B1B (mengakui). Grafik merupakan hubungan strategi BB1 dan

B2 B terhadap strategi baris pemain 1. Pemain 1 tetap akan memilih menggunakan

strategi A1 . Karena pemain 1 tidak mengetahui strategi yang digunakan pemain 2,

maka dia akan memilih strategi yang paling aman menurutnya.

Matriks hasil pemain 2 disajikan sebagai berikut :


46

Dari matriks di atas hasil permainan untuk pemain 2 adalah -9. Hasil

permainan tersebut sesuai dengan hasil permainan pada contoh 2.2.2. Akan

diperlihatkan grafik untuk pemain 2 dari permainan di atas.


BB1 A2 BB2

nilai

permainan

A1

Grafik di atas menunjukkan hasil permainan untuk pemain 2, yaitu -9.

Nilai permainan dari sumbu kiri mewakili nilai dari strategi BB2 (tidak mengakui)

dan nilai permainan dari sumbu kanan mewakili nilai dari strategi B1B (mengakui).

Hasil yang optimal untuk pemain 2 didapatkan jika dia memilih strategi BB1

(mengakui). Karena pemain 2 tidak mengetahui strategi apa yang akan digunakan

oleh pemain 1, maka pemain 2 memilih strategi yang paling menguntungkan

buatnya. Pemain 2 memilih meminimumkan maksimum hukuman yang akan

diperolehnya, yaitu memilih dihukum 9 tahun daripada dihukum 10 tahun.


47

b. Grafik hasil pemain 2 dilihat dari strategi kolom pemain 1

A2 A1

BB B1 nilai

permainan

B2

Dari grafik di atas menunjukkan bahwa nilai permainan dari sumbu kiri

mewakili nilai-nilai dari strategi (tidak mengakui) dan nilai permainan dari

sumbu kanan mewakili nilai-nilai dari strategi (mengakui). Grafik tersebut

menunjukkan hubungan strategi dan terhadap strategi baris pemain 2.

Pemain 2 memilih untuk menggunakan strategi B

2A

1A

2A 1A

B1 (mengakui) daripada memilih

strategi B2 B (tidak mengakui). Karena jika pemain 2 memilih BB2 (tidak mengakui)

maka kemungkinan terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama

10 tahun. Tetapi jika dia memilih strategi B1B (mengakui) maka kemungkinan

terburuknya adalah pemain 2 akan dihukum penjara selama 9 tahun.


BAB III

METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK 2 PEMAIN

Metagame adalah permainan dengan strategi permainan yang titik

ekuilibriumnya didapat berdasarkan pada permainan yang sedang berlangsung.

Permainan tanpa kerjasama untuk dua pemain adalah permainan yang melibatkan

dua pemain dimana tidak ada kerjasama antara kedua pemain tersebut. Jadi

metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain adalah permainan yang melibatkan

dua pemain dimana diantara para pemainnya tidak ada kerjasama dan strategi

permainan yang digunakan oleh para pemain didasarkan pada permainan yang

sedang berlangsung.

Dalam bab sebelumnya diberikan contoh tentang permainan Prisoners

Dilemma. Titik ekuilibrium yang didapatkan pada permainan tersebut adalah

kedua pemain memilih untuk mengakui mencuri, maka mereka mendapatkan

hukuman sembilan tahun penjara. Tetapi dalam kenyataannya hasil permainan

yang diperoleh terkadang tidak seperti yang diperkirakan dengan teori. Karena

dalam kenyataan kebanyakan orang akan memilih untuk tidak mengakui dan

hukuman yang didapatkan juga cukup ringan, yaitu satu tahun penjara. Nigel

Howard adalah seorang peneliti yang tertarik tentang bagaimana menyelesaikan

suatu permainan tanpa kerjasama seperti permainan Prisoners Dilemma. Howard

memperkirakan bahwa setiap pemain mencoba memprediksi strategi apa yang

akan digunakan lawannya, sehingga dia dapat memprediksi strateginya sendiri.

Strategi para pemain dalam metagame merupakan fungsi reaksi untuk strategi


49

pemain lainnya. Dan hasil permainan yang didapatkan akan seperti dalam

kenyataan.

Kesulitan pada permainan ini adalah bahwa pemain yang satu memberikan

peluang kepada pemain yang lain untuk memilih fungsi reaksi yang akan

digunakan sebagai strateginya, dan jika terjadi terus menerus maka fungsi reaksi

yang terjadi akan sampai tak hingga banyaknya. Asumsi untuk menemukan hasil

nyata yang stabil adalah masing-masing pemain memprediksi dengan tepat

strategi dari para pemain lainnya, dan memilih hasil yang paling menguntungkan

untuknya.

A. Metagame dan Metaekuilibria

Misalkan pemain 1 memainkan strategi campuran ( )*1

*12

*11

*1 .,...,, nxxxX = ,

pemain 2 memainkan strategi campuran ( )*2

*22

*21

*2 ,...,, nxxxX = dan misalkan juga

( )**2

*1 ,...,, ni xxxe adalah hasil untuk pemain i jika pemain 1 memainkan strategi

campuran *1X dan pemain 2 memainkan strategi campuran *

2X . Akan dijabarkan

pengertian dari ekuilibrium dalam permainan tanpa kerjasama dengan n pemain

yang telah didefinisikan dalam bab sebelumnya, yaitu definisi 2.2.8.

Misalkan pada sebuah permainan G dengan n pemain, pemain i

mempunyai kumpulan strategi murni dengan i = 1,2 ,…,n. Hasil dari sebuah

permainan ditentukan dari strategi yang digunakan masing-masing pemain. Pada

umumnya para pemain akan memilih strategi yang nantinya akan lebih

iX


50

menguntungkan untuk dirinya sendiri. Dalam metagame strategi yang digunakan

pemain akan menentukan hasil rasional pada permainan tersebut.

Definisi 3.1.2

Misalkan ( ni xxxX ,...,, 21 )= adalah kumpulan strategi murni dari n pemain. Hasil

rasional pada saat permainan sedang berlangsung untuk pemain i merupakan n

pasang strategi , ,..., , dengan *1x *

2x *nx

( ) ( ),...,,...,,,...,,...,, **2

*1

***2

*1 niinii xxxxexxxxe ≥ , untuk semua .

Sekumpulan hasil rasional untuk pemain i dalam permainan G dinyatakan dengan

.

ii Xx ∈

( )GRi

Definisi 3.1.3

Ekuilibrium dari permainan G dengan n pemain adalah hasil rasional untuk

semua pemain, yakni , yang memenuhi : ( )GE

= . ( )GE ( )GRn

iiI

1=

Definisi 3.1.4

Hasil yang stabil terjadi jika pemain lawan menggunakan strategi lain, maka hal

tersebut tidak akan mempengaruhi hasil permainan yang terjadi.

Untuk mempertimbangkan hasil mana yang stabil maka misalkan

dipertimbangkan metagame 1G. Dalam permainan ini masing-masing pemain


51

kecuali pemain 1 terlebih dahulu memilih strateginya dalam permainan dasar G.

Setelah pemain lain memilih strateginya barulah pemain 1 memilih strateginya

dalam permainan dasar tersebut dengan mempertimbangkan strategi–strategi

lawannya. Jika pemain 1 dapat memprediksi strategi–strategi pemain lain sebelum

memilih strategi untuk dirinya sendiri, maka pemain 1 dapat memilih strategi

untuk mendapatkan hasil yang maksimal. Ini adalah hasil rasional untuk pemain 1

dalam permainan tersebut dan hasilnya dapat ditulis dengan ( )GR 11 .

Jika seluruh pemain berada dalam tipe permainan tersebut dan

memprediksi dengan benar seluruh strategi lawan – lawannya maka ekuilibrium

dari hasil permainan yang rasional, yakni titik ekuilibrium ( )GE 1 untuk permainan

tersebut dapat ditemukan.

Contoh 3.1.1

Tentukan titik ekuilibrium dalam permainan Prisoners Dilemma. Matrik hasil dari

permainan tersebut diberikan dalam tabel sebagai berikut:

Pemain 2

BB1 : Mengakui BB2 : Tidak mengakui

A1 : Mengakui (-9,-9) (0,-10) Pemain 1

A2 : Tidak mengakui (-10,0) (1,1)


52

Penyelesaian :

Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan kedua pemain adalah

. Pemain 1 akan memilih strategi dimana hasilnya akan lebih

menguntungkan dirinya sendiri. Jika pemain 2 memainkan strategi , yaitu

mengakui bahwa dia mencuri maka pemain 1 akan memilih startegi yaitu

mengakui mencuri juga dari pada tidak mengakuinya. Karena jika pemain 1

mengakui mencuri, dia akan mendapatkan hukuman penjara selama 9 tahun.

Hukuman ini lebih ringan dibandingkan jika dia tidak mengakui mencuri yang

akan mendapatkan hukuman penjara selama 10 tahun.

{ BAXX ,21 == }

1B

1A

Apabila pemain 2 memainkan strategi , yaitu tidak mengakui mencuri.

Maka pemain 1 akan tetap memilih memainkan strategi , yaitu mengakui

mencuri. Karena jika pemain 1 mengakuinya maka dia tdak akan mendapatkan

hukuman penjara atau dengan kata lain dia dibebaskan. Dari pada jika dia tidak

mengakui maka akan mendapatkan hukuman penjara selama 1 tahun.

2B

1A

Hasil rasional untuk pemain 1 dapat ditulis ( )GR1 ( ) ( ){ }2111 ,, BABA= .

Demikian juga jika pemain 1 terlebih dahulu bermain. Jika pemain 1 memainkan

strategi maka pemain 2 memilih memainkan strategi , karena pemain 2 akan

mendapatkan hukuman yang lebih ringan daripada dia memilih strategi lainnya.

Jika pemain 1 memainkan strategi maka pemain 2 lebih memilih memainkan

strategi , karena pemain 2 tidak akan mendapatkan hukuman atau dengan kata

lain dibebaskan. Dan hasil rasional untuk pemain 2 adalah

.

1A 1B

2A

1B

( ) ( ) ( ){ }12112 ,, BABAGR =


53

Pasangan ekuilibrium dari permainan ini dapat dicari, yakni

( ) ( ) ( ) ( )1121 , BAGRGRGE =∩= .

Dengan demikian ekuilibrium permainan Prisoner Dilemma adalah ( ) ,

yaitu kedua pemain memilih untuk mengakui.

11 , BA

Contoh 3.1.2

Dalam permainan 1G , misalkan strategi pemain 2 adalah = . Jika

pemain 1 memilih strateginya dengan mengetahui strategi pemain 2, maka strategi

pemain 1 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2 dan membentuk

kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan rumus

2X { 21 , BB }

{ }121 :| XXffF →= .

Tentukan ekuilibrium untuk permainan 1G di atas.

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi mengenai fungsi reaksi maka pada permainan 1G didapatkan

empat fungsi sebagai berikut :

i). ( ) 111 ABf = atau ( ) 121 ABf = ,yakni pemain 1 selalu memilih untuk

mengakui mencuri.

ii). atau( ) 212 ABf = ( ) 222 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk tidak

mengakui mencuri.

iii). atau ( ) 113 ABf = ( ) 223 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk melakukan

hal yang sama seperti yang dilakukan pemain 2.

iv). atau ( ) 214 ABf = ( ) 124 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk melakukan


54

kebalikan dari pemain 2.

Dari permainan di atas didapatkan hasil permainan dari rumus fungsi yang

telah dikerjakan dan mendapatkan empat hasil permainan. Maka hasil permainan

tersebut dapat dituliskan dalam matrik hasil untuk permainan 1G , yaitu :

Pemain 2

1B 2B

1f

(-9 , -9) (0 , -10)

2f

(-10 , 0) (-1 , -1)

3f

(-9 , -9) (-1 , -1)

Pemain 1

4f

(-10 , 0) (0 , -10)

Karena dapat dilihat dari hasil permainan sebelumnya kedua pemain memilih

untuk selalu mengakui, maka hasil di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk

kedua pemain yaitu :

, ( ) { ),(),,(),,(),,(1 242113111 BfBfBfBfGR = }

} ( ) { ),(),,(),,(),,(1 142312112 BfBfBfBfGR =

dengan demikian ekuilibrium dari permainan ini dapat ditemukan dengan mecari

irisan dari hasil rasional kedua pemain, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ){ }1121 ,111 BfGRGRGE =∩= .


55

Perhatikan hasil rasional untuk pemain 1. Hasil tersebut didapatkan

dengan memaksimalkan hasil pertama dari pemain 1 yang ditunjukkan dalam

setiap kolom, sedangkan hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan

memaksimalkan hasil kedua dari pemain 2 yang ditunjukkan dalam setiap baris.

Hasil ekuilibrium dari adalah ( GE 1 ) ( )11 , Bf karena pemain 2 memilih dan

pemain 1 memilih reaksi fungsi . Fungsi reaksi memiliki arti bahwa

sebenarnya pemain 1 memainkan dalam permainan G karena .

Dengan demikian dalam permainan G terjadi saat

1B

1f 1f

1A ( ) 111 ABf =

( 11 , BA ) ( )11 , Bf dimainkan

dalam 1G .

Jadi, titik ekuilibrium dari permainan 1G adalah ( )11 , BA .

Definisi 3.1.5

Hasil ( )**2

*1 ,....,, nxxx dalam permainan G yang umumnya muncul dari suatu

ekuilibrium dalam suatu permainan , dengan r adalah sebarang

bilangan bulat non-negatif dan adalah sebarang urutan pemain,

termasuk pengulangannya disebut metaekuilibrium.

Gkkk r...21

rkkk ,...,, 21

( )GE menyatakan nilai dari

setiap pemain metaekuilibria. ( )GkkkE r...ˆ21 adalah metaekuilibria yang muncul

dari dan yang disebut sebagai judul permainan. Gkkk r....21 rkkk ,...,, 21

Dalam permainan 1G ( )11 , BA ada dalam ( )GE karena dalam

dan adalah hasil ekuilibrium dalam

( 11 , BA )

)( )GE ( 11 , BA ( )GE 1 . Untuk menemukan


56

semua elemen dari akan diperlihatkan metagame yang lain yang didasarkan

pada permainan G.

( )GE

Contoh 3.1.3

Misalkan terdapat permainan 2G, yakni pemain 2 bermain setelah pemain 1, yang

memiliki strategi permainan { }211 , AAX = . Pemain 2 memilih strateginya dengan

mengetahui strategi pemain 1. Tentukan ekuilibrium dari permainan tersebut.

Penyelesaian :

Strategi pemain 2 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 1 dan

membentuk kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan { }212 :| XXffF →=

maka terdapat empat fungsi sebagai berikut :

i). ( ) 111 BAf = atau ( ) 121 BAf = , yakni pemain 2 selalu memilih untuk

mengakui mencuri.

ii). ( ) 212 BAf = atau ( ) 222 BAf = , yakni pemain 2 memilih untuk tidak

mengakui mencuri.

iii). ( ) 113 BAf = atau ( ) 223 BAf = , yakni pemain 2 memilih untuk melakukan


iv). ( ) 214 BAf = atau ( ) 124 BAf = , yakni pemain 2 memilih untuk melakukan

kebalikan dari yang dilakukan pemain 1.


57

Dari permainan di atas didapatkan hasil permainan dari rumus fungsi yang

telah dikerjakan dan mendapatkan empat hasil permainan. Maka hasil permainan

tersebut dapat dituliskan dalam matrik hasil untuk permainan 2G , yaitu :

Karena dapat dilihat dari hasil permainan sebelumnya kedua pemain

memilih untuk selalu mengakui, maka dari matrik di atas dapat ditemukan hasil

rasional untuk kedua pemain yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }421231111 ,,,,,,,2 fAfAfAfAGR = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }413221112 ,,,,,,,2 fAfAfAfAGR =

didapatkan ( ) ( ) ( ) ( ){ }1121 ,222 fAGRGRGE =∩= . Jadi metaekulibrium yang

sesuai dalam permainan G untuk ( )11, fA adalah ( )11 , BA .

Dari uraian di atas dapat dilihat bahwa permainan , permainan

sampai permainan untuk n orang merupakan permainan dasar yang

mendasari metagame. Akan diperlihatkan permainan , permainan ini sesuai

G1 G2

nG

G21

Pemain 1

1A 2A

1f (-9 , -9) (0 , -10)

2f (-10 , 0) (-1 , -1)

3f (-9 , -9) (-1 , -1)

Pemain 2

(-10 , 0) 4f (0 , -10)


58

dengan permainan dimana pemain 1 memberitahukan strategi yang akan

dimainkan dalam permainan . Dan kemudian pemain 2 memutuskan strategi

yang akan dimainkannya dalam mereaksi permainan pemain 1. Dengan kata lain,

jika pemain 1 memilih untuk memberitahukan strategi permainannya terhadap

pemain 2 maka pemain 2 akan bereaksi dengan memberitahukan strategi

permainannya terhadap pemain 1.

G1

Permainan Ini adalah kondisi ketika pemain 2 mencoba untuk

memprediksi strategi pemain 1 dan pemain 2 juga memperbolehkan pemain 1

untuk mencoba memprediksi strategi permainannya. Hasil rasional dalam

permainan ini memberitahukan bahwa apa yang dilakukan oleh berbagai macam

pemain akan memberi prediksi dalam kasus ini. Dan ekuilibria merupakan hasil

dimana setiap pemain memprediksi secara tepat strategi dari pemain lawan.

Contoh 3.1.4

Dalam permainan himpunan strategi pemain 1 adalah

dan himpunan strategi pemain 2 adalah

G21 { }121 : XXfF →=

{ }212 : XFgG →= . Tentukan

metaekuilibrium dari permainan tersebut.

Penyelesaian:

Dalam terdapat 16 fungsi yang dapat didefinisikan oleh salah satu vektor

seperti yang merupakan penyelesaian untuk fungsi

antara lain :

2G

( 1121 ,,, BBBB ) 4321 ,,, ffff

( ) 11 Bfg = , ( ) 22 Bfg = , ( ) 13 Bfg = , dan ( ) 14 Bfg = .


59

Strategi pemain 1 yang dinyatakan dengan rumus:

membentuk sekumpulan fungsi seperti pada contoh 3.1.1 dan didapatkan empat

fungsi yaitu:

{ }121 : XXfF →=

i). ( ) 111 ABf = atau ( ) 121 ABf = ,yakni pemain 1 selalu memilih untuk

mengakui mencuri.

ii). atau( ) 212 ABf = ( ) 222 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk tidak

mengakui mencuri.

iii). atau ( ) 113 ABf = ( ) 223 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk melakukan


iv). atau ( ) 214 ABf = ( ) 124 ABf = ,yakni pemain 1 memilih untuk melakukan

kebalikan dari pemain 2.

Dari strategi pemain 1 di atas dapat ditentukan strategi pemain 2. Strategi

pemain 2 merupakan fungsi reaksi dari kumpulan strategi yang telah dipilih

pemain 1 dengan strategi pemain 2 sendiri. Dapat dinyatakan dengan rumus

fungsi yaitu: , dari rumus fungsi reaksi tersebut akan

membentuk sekumpulan fungsi dalam . Fungsi reaksi tersebut didefinisikan

oleh suatu vektor yang terdiri dari empat bagian dan merupakan jawaban untuk

fungsi reaksi dari strategi pemain 1. Perhatikan matrik hasil dari di bawah ini,

ada 16 fungsi dalam matrik tersebut dan didefinisikan sebagai berikut :

{ 212 : XFgG →= }

2G

2G


60

Pemain 2

1g 2g 3g 4g

( )1111 ,,, BBBB ( )2111 ,,, BBBB ( )1211 ,,, BBBB ( )1121 ,,, BBBB

1f ( )9,9 −− ( )9,9 −− ( )9,9 −− ( )9,9 −−

2f ( )0,10− ( )0,10− ( )0,10− ( )1,1 −−

3f ( )9,9 −− ( )9,9 −− ( )1,1 −− ( )9,9 −−

4f ( )0,10− ( )10,0 − ( )0,10− ( )0,10−

5g 6g 7g 8g


( )10,0 − 1f ( )9,9 −− ( )9,9 −− ( )9,9 −−

( )0,10− 2f ( )0,10− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )9,9 −− ( )1,1 −− ( )9,9 −− ( )1,1 −− 3f

( )0,10− 4f ( )10,0 − ( )10,0 − ( )0,10−

9g 10g 11g 12g


( )10,0 − 1f ( )10,0 − ( )10,0 − ( )9,9 −−

( )0,10− 2f ( )0,10− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )9,9 −− ( )1,1 −− ( )9,9 −− ( )1,1 −− 3f

( )10,0 − 4f ( )0,10− ( )0,10− ( )10,0 −

13g 14g 15g 16g


( )10,0 − 1f ( )10,0 − ( )10,0 − ( )10,0 −

( )0,10− 2f ( )1,1 −− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )1,1 −− 3f ( )9,9 −− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

Pemain

1

( )0,10− ( )10,0 − ( )10,0 − ( )10,0 − 4f


61

Mengacu pada matriks hasil di atas akan ditentukan hasil rasional

untuk kedua pemain, yaitu dengan memisalkan

2G

( )1, ii gf adalah hasil rasional

untuk pemain 1 dan misalkan ( )2, ii gf adalah hasil rasional untuk pemain 2. Maka

hasil rasional didapatkan dengan memaksimalkan hasil pertama dari pemain 1

yang ditunjukkan dalam setiap kolom, sedangkan hasil rasional untuk pemain 2

didapatkan dengan memaksimalkan hasil kedua dari pemain 2 yang ditunjukkan

dalam setiap baris. Hasil rasional untuk kedua pemain tersebut dapat dituliskan

menurut definisi yang telah ditentukan diatas.

Maka matrik hasil yang didapatkan sebagai berikut:

Pemain 2

1g 2g 3g 4g


1f ( )129,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −−

2f ( )20,10− ( )20,10− ( )20,10− ( )11,1 −−

3f ( )19,9 −− ( )9,9 −− ( )121,1 −− ( )9,9 −−

4f ( )20,10− ( )110,0 − ( )20,10− ( )20,10−

5g 6g 7g 8g


( )110,0 − 1f ( )29,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −−

( )20,10− 2f ( )20,10− ( )1,1 −− ( )11,1 −−

( )9,9 −− 3f ( )21,1 −− ( )9,9 −− ( )121,1 −−

Pemain

1

( )20,10− 4f ( )110,0 − ( )110,0 − ( )20,10−


62

9g 10g 11g 12g


( )110,0 − 1f ( )110,0 − ( )110,0 − ( )29,9 −−

( )20,10− 2f ( )20,10− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )9,9 −− ( )21,1 −− ( )9,9 −− ( )21,1 −− 3f

( )110,0 − 4f ( )20,10− ( )20,10− ( )110,0 −

13g 14g 15g 16g


( )110,0 − 1f ( )110,0 − ( )110,0 − ( )110,0 −

( )20,10− 2f ( )1,1 −− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )9,9 −− ( )21,1 −− ( )21,1 −− ( )21,1 −− 3f

( )110,0 − ( )110,0 − ( )20,10− ( )110,0 − 4f

Hasil rasional untuk pemain 1 dan pemain 2 dapat juga dituliskan sebagai berikut:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }10,0,1,1,9,9

10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,1,1,1,1,10,0,10,0,1,1,9,9,1,1,9,9

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,21

164144134151141131124

9411110191746483

82512433134211

1

−−−−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

gfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf

gfgfgfgfgfgfgfGR


63

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ){ }1,1,0,10,9,9

0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,1,1

,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,9,9

,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21

1541141048454443414

163153133123103836333

132102926252322212

12181716141312111

2

−−−−−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

gfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf


GR

Dan didapatkan titik ekuilibriumnya adalah

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,1,9,9

1,1,1,1,9,9,,,,,

212121

833311

21

−−−−=−−−−−−=

=∩=

gfgfgfGRGRGE

Dalam permainan Prisoners Dilemma, karena dan

maka ( sesuai dengan

( ) 111 Bfg =

( ) 111 ABf = )11 , gf ( )11 , BA , demikian juga dan

maka sesuai dengan

( ) 233 Bfg =

( ) 223 ABf = ( 33 , gf ) ( )22 , BA . Demikian juga

dan maka sesuai dengan

( ) 238 Bfg =

( ) 223 ABf = ( 83 , gf ) ( )22 , BA . Dalam permainan ini

dan ( )11 , BA ( )22 , BA merupakan metaekuilibria jadi

( ) ( ) ({ }( ) ( ){ }1,1,9,9

,,,21ˆ2211

−−−−== BABAGE )

Pemain 1 terlebih dahulu mengetahui strategi apa yang akan digunakan

oleh pemain 2, jika pemain 2 memilih untuk mengakui maka pemain 1 juga akan


64

memilih untuk mengakui. Dengan demikian hukuman yang didapatkan sama,

yakni 9 tahun penjara. Jika pemain 2 memilih untuk tidak mengakui maka pemain

1 juga akan memilih untuk tidak mengakui. Dengan demikian hukuman yang

didapatkan sama, yakni 1 tahun penjara. Hal ini memberikan contoh kegunaan

analisis metagame untuk mengenal hasil apa yang dapat diharapkan dari sebuah

permainan.

Dapat menggunakan cara lain untuk menganalisis metagame dalam

permainan tersebut. Dengan menggunakan fungsi reaksi dalam setiap strategi

yang digunakan masing-masing pemain. Kasus-kasus di bawah akan mencari

penyelesaian permainan yang diharapkan hasilnya akan sesuai dengan hasil di

atas. Perhatikan permainan 21G dengan kasus di bawah ini :

i. Kasus 1

Tahap I : Pemain 2 memilih mengakui.

Tahap II : Pemain 1 juga memilih mengakui.

Tahap III : Maka pemain 2 memilih mengakui. Dan mendapatkan hukuman

sembilan tahun penjara. Begitu pula dengan pemain 1 juga mendapatkan hukuman

sembilan tahun penjara.

ii. Kasus 2

Tahap I : Mula-mula pemain 2 memilih tidak mengakui.

Tahap II : Pemain 1 juga memilih untuk tidak mengakui.

Tahap III : Maka pemain 2 memilih tidak mengakui. Maka hasil yang diperoleh

adalah pemain 2 mendapatkan satu tahun hukuman penjara. Dan begitu juga

dengan pemain satu hukuman yang didapatkan sama


65

Jadi, jika para tawanan diijinkan untuk berbicara satu dengan yang lain

dan setiap tawanan dapat meyakinkan yang lain bahwa mereka dapat bebas dari

strategi apapun maka dia akan mengikutinya. Untuk itu analisis berguna dalam

pengambilan keputusan untuk banyak orang. Jika dilakukan analisis yang sama

untuk permainan akan didapatkan lagi antara G12 ( )11 , BA dan ( sebagai

metaekuilibria.

)22 , BA

Melihat uraian dimuka untuk menemukan himpunan metaekuilibria harus

ditemukan ekuilibria dalam semua permainan. Setiap permainan dalam metagame

terdapat pola permainan, yaitu permainan 1212121G, permainan 21G, permainan

12G, dan masih ada yang lainnya. Jika ada permainan 1212121G maka hasil

metaekuilibrianya sama dengan permainan 21G, karena dalam permainan

1212121G pola permainannya adalah pemain 2 akan bermain terlebih dahulu baru

pemain 1 bermain kemudian. Selanjutnya akan terjadi sampai pola permainan

1212121G berakhir dan hasilnya sama dengan permainan 21G. Begitu juga

dengan permainan 22222G maka hasil metaekuilibrianya sama dengan permainan

2G. dan jika ada permainan 21212G maka hasil metaekuilibrianyapun sama

dengan permainan 12G. Maka dari itu dalam bagian selanjutnya permainan yang

digunakan hanya akan disekitar permainan 12G dan 21G.

B. Teorema Metarasionalitas

Dalam metagame untuk dua pemain matrik hasil yang didapatkan cukup

besar. Apalagi jika untuk n pemain maka perhitungan yang digunakan juga akan

semakin rumit dan banyak. Sebab semua hasil dalam permainan dasar dapat


66

diidentifikasi sesuai dengan hasil yang rasional untuk pemain tertentu dalam

metagame. Metarasional adalah hasil dalam permainan dasar dan menandakannya

dengan . Teorema berikut akan menjelaskan mengenai hal tersebut. ( GkkkR ri ....21

^)

Teorema 3.2.1

Dalam metagame , adalah himpunan pemain-pemain yang letak

nomornya dekat dengan G sebelum pemain i muncul dalam permainan ,

atau semua pemain yang muncul dalam jika pemain i tidak muncul.

merupakan himpunan dari pemain-pemain yang tidak berada dalam , yang

setelah pemain I muncul dalam permainan . merupakan pemain

yang tidak didalam atau atau

Gkkk r...21 iF

Gkkk r...21

rkkk ...21 iP

iF

Gkkk r...21 iU

iP iF {}i . Hasil x = ( )iUPF xxxxiii,,, dalam G

merupakan metarasional untuk i dalam . Jika Gkkk r...21

iPx

minix

maxiFx

min ie ( )iUPF xxxxiii,,, ≤ ie ( )x (3.2.1)

Bukti :

Jika permainan G hanya mempunyai dua pemain yaitu 1 dan 2, dengan = = 1F 1P

{ }φ , = 2, maka teorema 3.2.1 berbunyi bahwa dalam permainan 1G 1U ( )21 , xx

merupakan metarasional untuk pemain 1 jika,

1

maxx 1e ( )21 , xx ≤ 1e ( )21 , xx , (3.2.2)


67

dengan { } { }φ=== 222 ,1 UPF untuk permainan 1G, ( )21 , xx merupakan

metarasional untuk pemain 2 jika

2

maxx 1

minx

( )212 , xxe ≤ 2e ( )21 , xx , (3.2.3)

Dalam metagame 21G berdasarkan kedua pemain G, dengan

{ } { }φ=== 111 ,2 UFP maka teorema 3.3.1 berbunyi ( )21 , xx merupakan

metarasional untuk pemain 1 jika

( ) ( )211211 ,,maxmin12

xxexxexx

≤ (3.2.4)

Untuk permainan 21G ( 21 , xx ) merupakan metarasional untuk pemain 2 jika

2

maxx 1

minx

( )212 , xxe ≤ 2e ( )21 , xx , (3.2.5)

seperti dalam (3.2.2). Hasil yang sama untuk permainan 2G dan 21G dinamakan

2G ( 21 , xx ) dengan { } { }φ=== 111 ,2 UPF , ( )21 , xx merupakan metarasional

untuk pemain 1 jika

( ) ( )211211 ,,minmax21

xxexxexx

≤ (3.2.6)

Dengan { } { }1, 222 === UPF φ maka ( )21 , xx merupakan metarasional untuk

pemain 2 jika

( ) ( 212212 ,,max2

xxexxex

≤ ) (3.2.7)

Akhirnya untuk permainan 12G mempunyai syarat yang mengikuti, dengan

{ } { }φ=== 111 ,2 UPF maka ( )21 , xx merupakan metarasional untuk pemain 1 jika

( ) ( )211211 ,,minmax21

xxexxexx

≤ (3.2.8)


68

Dengan { } { }( )1, 222 == PUF =φ maka ( )21 , xx merupakan metarasional

untuk pemain 2 jika

( ) ( )212212 ,,maxmin21

xxexxexx

≤ (3.2.9)

■

Misalkan diperiksa bahwa hasil metarasional diberikan oleh pertaksamaan

(3.2.1 – 3.2.9) akan sama dengan hasil pada pekerjaan matrik hasil untuk

permainan 1G dan matrik hasil untuk permainan Prisoners Dilemma. Untuk

permainan 1G ( 21 , xx ) merupakan metarasional untuk pemain 1 jika sesuai

dengan pertaksamaan 3.2.2. Maka ( )21,max1

xxx

sesuai dengan maksimum dari

( ) 9, 211 −=xAe dan ( ) 10, 221 −=xAe . Jadi hasil maksimumnya adalah -9 harus

kurang dari hasil ( 211 , xxe ) . Dan ( )21 , xx merupakan metarasional untuk pemain 2

jika sesuai dengan pertaksamaan 3.2.3. Maka ( )212 ,minmax12

xxexx

sesuai dengan

( ) 9,min 1121

−=Bxex

dan ( ) 10,min 2121

−=Bxex

. Jadi dari -9 dan -10 adalah -9

harus kurang dari hasil

2

maxx

( )211 , xxe .

Untuk permainan 1G pertaksamaan 3.2.2 berisi ( )21 , xx merupakan

metarasional untuk pemain 1 jika ( )21 , xx merupakan hasil tertinggi untuk pemain

1 dalam kolom terhadap strategi 2x . Kembali pada matrik hasil pada permainan

dasar G, yaitu pada matrik hasil permainan Prisoners Dilemma memberikan

. Untuk pemain 2 hasil metarasional pada pertaksamaan

3.2.3 memerlukan syarat

( ) ( ) ( ){ 21111 ,,,1ˆ BABAGR = }

( )212 ,minmax12

xxexx . Sekarang ( ) 9,min 1121−=Bxex


69

dan , maka ( ) 10,min 2121−=Bxex ( )212 ,minmax

12xxexx adalah maksimum dari -9

dan -10 yaitu -9. Dan memberikan ( ) ( ) ( ) ( ){ }2212112 ,,,,,1ˆ BABABAGR = , dengan

merupakan hasil metarasional. Jadi hasil akhir yang disetujui dari

dan ada dalam hasil rasional untuk permainan 1G.

iR

( )GR 11

( )GR 12

Untuk permainan 21G, keadaan untuk hasil rasional pemain 2 sama

dengan hasil rasional untuk permainan 1G jadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 22121122 ,,,,,1ˆ21ˆ BABABAGRGR == }. Untuk pemain 1 pertaksamaan

3.2.4 memerlukan untuk menemukan ( )211 ,maxmin12

xxexx . Dengan

memiliki dari matrik hasil permainan dasar G, jika

memiliki . Jadi

12 Bx =

( ) 9,max 1111−=Bxex 22 Bx =

( ) 0,max 2111=Bxex ( )211 ,maxmin

12xxexx adalah minimum dari -9

dan 0, yaitu menghasilkan -9.

Teorema 3.2.2

Diberikan suatu metagame . Jika semua permainan, kecuali permainan

terakhir yang muncul dalam (yang paling dekat dengan G), dihapus

maka hasil permainan

Gkkk r...21

Gkkk r...21

Gkkk s′′′ ...21 mempunyai hasil metarasional yang sama

dengan metagame . Gkkk r...21

Bukti :

Untuk membuktikan Teorema di atas, akan digunakan beberapa contoh, yakni

akan ditunjukkan bahwa hasil permainan 22G sama dengan hasil permainan 2G.


70

Dan untuk permainan 121G hasil permainannya sama dengan permainan 21G.

Keduanya menggunakan contoh permainan Prisoners Dilemma.

1. Permainan 22G

Dalam permainan 22G pemain 2 bermain setelah pemain 1

memberitahukan strategi yang akan digunakan, misalkan strategi yang digunakan

oleh pemain 1 adalah ( )211 , AAX = dan strategi pemain 2 merupakan fungsi reaksi

untuk strategi pemain 1. Untuk permainan 22G terdapat dua kumpulan fungsi

reaksi untuk pemian 1, yakni

i. dengan { }211 :| XXffF →= ( )212 , BBX = adalah strategi yang

digunakan pemain 2. Maka kumpulan fungsi reaksi untuk strategi yang

digunakan pemain 2 adalah

a. Pemain 2 selalu memilih untuk mengakui jadi

( ) ( ) 121111 , BAfBAf == .

b. Pemain 2 selalu memilih untuk tidak mengakui jadi

( ) ( ) 222212 , BAfBAf == .

c. Pemain 2 memilih untuk melakukan hal yang sama seperti pemain 1

jadi ( ) ( ) 223113 , BAfBAf == .

d. Pemain 2 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 1 jadi

( ) ( ) 124214 , BAfBAf == .

ii. { }212 :| XXggG →= , maka kumpulan fungsi reaksi untuk strategi yang

digunakan pemain 2 adalah


71


( ) ( ) ., 121111 BAgBAg ==


( ) ( ) ., 222212 BAgBAg ==


jadi ( ) ( ) ., 223113 BAgBAg ==

d. pemain 2 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 1 jadi

( ) ( ) ., 124214 BAgBAg ==

Dari dua kumpulan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2 di atas, kumpulan fungsi

reaksi dan mempunyai fungsi reaksi yang sama, maka untuk mencari hasil

permainannya cukup digunakan salah satu dari kedua kumpulan fungsi reaksi

tersebut. Dengan demikian hasil permainan 22G dapat dituliskan dalam matrik

hasil berikut :

1F 2G

Pemain 1

1A 2A

1f / 1g (-9 , -9)

(0 , -10)

2f / 2g (-10 , 0) (-1 , -1)

3f / 3g (-9 , -9) (-1 , -1)

Pemain 2

(-10 , 0) 4f / 4g (0 , -10)


72

Dari matriks di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk kedua pemain, yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }421231111 ,,,,,,,22 fAfAfAfAGR = ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }413221112 ,,,,,,,22 fAfAfAfAGR =

maka didapatkan metaekuilibrium dari permainan 22G adalah

( ) ( ) ( ) ( ){ }1121 ,222222 fAGRGRGE =∩= , yakni ( )11 , BA yang artinya pemain 1

memilih untuk mengakui begitu juga dengan pemain 2 memilih untuk mengakui.

Kesimpulannya adalah hasil rasional dari permainan 22G sama dengan

hasil rasional dari permainan 2G dalam contoh 3.2.3, yakni ( dengan

penyelesaian bahwa kedua pemain sama-sama mengakui mencuri.

)11 , BA

2. Permainan 121G

Dalam permainan 121G, pemain 1 bermain setelah pemain 2, yang telah

memberitahukan strategi yang akan digunakan. Misalkan strategi yang digunakan

oleh pemain 2 adalah ( )212 , BBX = , maka pemain 1 akan melakukan fungsi reaksi

terhadap strategi yang akan digunakan pemain 2. Strategi pemain 1 sekarang

adalah kumpulan fungsi { }121 :| XXffF →= . Lalu pemain 2 juga akan

melakukan fungsi reaksi terhadap strategi yang digunakan oleh pemain 1. Strategi

pemain 2 sekarang adalah kumpulan fungsi { }212 :| XXggG →= . Kemudian

pemain 1 akan bermain kembali dengan melakukan fungsi reaksi terhadap strategi

yang digunakan oleh pemain 2. Sekarang strategi pemain 1 merupakan kumpulan

fungsi yang didefinisikan dengan { }123 :| XXhhH →= .


73

Dapat dilihat bahwa kumpulan strategi untuk pemain 1 adalah

dan { }121 :| XXffF →= { }123 :| XXhhH →= yang mempunyai fungsi yang

sama.

i. Kumpulan strategi pemain 1 yang dinyatakan dengan

{ }121 :| XXffF →= , yang juga berlaku untuk

adalah :

{ }123 :| XXhhH →=


( ) ( ) ., 121111 ABfABf ==


( ) ( ) ., 222212 ABfABf ==


jadi ( ) ( ) ., 223113 ABfABf ==

d. Pemain 1 memilih untuk melakukan kebalikan dari pemain 2 jadi

( ) ( ) ., 124214 ABfABf ==

ii. Kumpulan strategi pemain 2 dapat dinyatakan dengan

{ }212 :| XXggG →= . Himpunan ini akan terdiri dari fungsi-fungsi

dalam yang didefinisikan oleh suatu vektor yang memilih empat

elemen dan merupakan fungsi reaksi dari strategi pemain 1.

2G


74

Hasil rasional untuk kedua pemain dapat ditentukan dengan memisalkan

sebagai hasil rasional untuk pemain 1 dan ( 1, ii gf ) ( )2, ii gf adalah hasil rasional

untuk pemain 2. Maka hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan

memaksimalkan hasil pemain 1 yang ditunjukkan dalam setiap kolom, sedangkan

hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil pemain 2

yang ditunjukkan dalam setiap baris. Hasil rasional untuk kedua pemain dapat

dituliskan dalam matrik hasil sebagai berikut:

Pemain 2

1g 2g 3g 4g


1f ( )129,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −−

2f ( )20,10− ( )20,10− ( )20,10− ( )11,1 −−

3f ( )19,9 −− ( )9,9 −− ( )121,1 −− ( )9,9 −−

4f ( )20,10− ( )110,0 − ( )20,10− ( )20,10−

5g 6g 7g 8g


1f ( )110,0 − ( )29,9 −− ( )29,9 −− ( )29,9 −−

2f ( )20,10− ( )20,10− ( )1,1 −− ( )11,1 −−

3f ( )9,9 −− ( )21,1 −− ( )9,9 −− ( )121,1 −−

4f ( )20,10− ( )110,0 − ( )110,0 − ( )20,10−

9g 10g 11g 12g


Pemain

1

1f ( )110,0 − ( )110,0 − ( )110,0 − ( )29,9 −−


75

2f ( )20,10− ( )20,10− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

3f ( )9,9 −− ( )21,1 −− ( )9,9 −− ( )21,1 −−

4f ( )110,0 − ( )20,10− ( )20,10− ( )110,0 −

13g 14g 15g 16g


1f ( )110,0 − ( )110,0 − ( )110,0 − ( )110,0 −

2f ( )20,10− ( )1,1 −− ( )1,1 −− ( )1,1 −−

( )21,1 −− ( )9,9 −− ( )21,1 −− ( )21,1 −− 3f

( )110,0 − ( )110,0 − ( )20,10− ( )110,0 − 4f

Hasil rasional untuk pemain 1 dan pemain 2 dapat juga dituliskan sebagai berikut:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }10,0,1,1,9,9

10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,1,1,1,1,10,0,10,0,1,1,9,9,1,1,9,9

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,121

164144134151141131124

9411110191746483

82512433134211

1

−−−−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

gfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf

gfgfgfgfgfgfgfGR

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ){ }1,1,0,10,9,9

0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,1,1

,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,0,10,9,9

,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

121

1541141048454443414

163153133123103836333

132102926252322212

12181716141312111

2

−−−−−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=



GR


76

Dan didapatkan titik ekuilibriumnya adalah

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,1,9,9

1,1,1,1,9,9,,,,,

121121121

833311

21

−−−−=−−−−−−=

=∩=

gfgfgfGRGRGE

Dalam permainan Prisoners Dilemma, karena dan


( ) 111 Bfg =

( ) 111 ABf = )11 , gf ( )11 , BA , demikian juga dan


( ) 233 Bfg =

( ) 223 ABf = )33 , gf ( )22 , BA . Begitu pula dan


( ) 238 Bfg =

( ) 223 ABf = )83 , gf ( )22 , BA . Dengan demikian dalam

permainan ini dan ( )11 , BA ( )22 , BA merupakan metaekuilibria. Jadi,

( ) ( ) ( ){ }( ) ({ }1,1,9,9

,,,ˆ2211

−−−−== BABAGE

)

)

Hasil metaekuilibria dari permainan 121G sama dengan hasil

metaekuilibria dari permainan 21G dalam contoh 3.1.4 , yaitu

( ) ( 9,9, 11 −−=BA dan ( ) ( )1,1, 22 −−=BA . Maka dapat disumpulkan bahwa

Teorema 3.2.2 berlaku. ■

Teorema 3.2.2 mempunyai arti bahwa dalam permainan 121G atau dalam

permainan 1212121G mempunyai hasil metarasional yang sama dengan

permainan 21G, dan dalam permainan 2222G mempunyai hasil akhir yang sama

dengan permainan 2G. Dengan demikian, jika permainan dasar hanya mempunyai

dua pemain, maka semua kemungkinan hasil metarasional dapat ditentukan

dengan melihat hasil dari metagame 1G, 2G, 12G, dan 21G.


77

Teorema 3.2.3

Untuk permainan dasar dengan n pemain terdapat sebanyak

( ) ( ) ( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

−+

−+

− !!...

!3!

!2!

!1!

nnn

nn

nn

nn metagame yang dapat dibentuk.

Bukti :

Untuk permainan dasar dengan n-pemain, dibutuhkan sebanyak n tingkat

metagame yang semua kemungkinannya adalah jumlah dari permutasi dalam

setiap tingkatan, yaitu dari tingkat nomor 1 sampai n. Metagame untuk n pemain

dapat ditunjukkan dengan rumus sebagai berikut :

∑=

n

iin P

1

Dengan merupakan rumus permutasi, yaitu in P ( )!!in

nPin −= , maka metagame

untuk n pemain dapat ditunjukkan sebagai berikut :

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

−+

−+

−=

++++=∑=

!!...

!3!

!2!

!1!

...3211

nnn

nn

nn

nn

PPPPP nnnnn

n

iin

Jadi untuk n pemain terdapat sebanyak ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++

−+

−+

− !!...

!3!

!2!

!1!

nnn

nn

nn

nn

metagame yang dapat dibentuk.

Misalkan ada 3 pemain maka metagame yang dapat dibentuk adalah


78

{ }

( ) ( ) ( )

{ }15

6631

1231

12312123

!0!3

!1!3

!2!3

!33!3

!23!3

!13!3

332313

3

1

=++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+

−+

−=

++=∑=

PPPPi

in

15 permainannya dapat dijabarkan sebagai berikut : permainan 1G, 2G, 3G, 12G,

13G, 21G, 23G, 31G, 32G, 123G, 132G, 213G, 231G, 312G, dan 321G.

Maka dari 3 pemain dapat dibentuk 15 metagame.

Jadi teorema 3.2.3 terbukti. ■

Selanjutnya ditentukan metaekuilibria ( )GE untuk metagame tersebut,

dengan Definisi 3.1.3 dapat ditentukan metaekuilibria untuk setiap permainan,

syarat yang dipenuhi adalah dasar permainan harus sama. Sebagai contoh adalah:

( ) ( ) ( )GRGRGE 12ˆ12ˆ12ˆ21 ∩= dan

( ) ( ) ( )GRGRGE 21ˆ21ˆ21ˆ21 ∩=

C. Simetri Metaekuilibria

Dalam menguji hasil metarasional pada metagame yang telah dibahas di

muka, diketahui bahwa jika suatu hasil merupakan metarasional untuk permainan

G , maka hasil tersebut juga merupakan metarasional untuk permainan 1G, 2G,

12G dan 21G. Dan jika hasil metarasional untuk permainan 1G adalah juga hasil


79

metarasional untuk permainan 21G. Dengan demikian suatu hasil metarasional

adalah metarasional untuk semua metagame dengan orde yang lebih tinggi jika

mempunyai dasar permainan yang sama, seperti teorema berikut :

Teorema 3.3.1

Jika ( nxxxx ,...,, 21= ) adalah metarasional untuk pemain i dalam permainan

, maka Gkkk r...32 ( nxxxx ,...,, 21= ) juga hasil metarasional untuk pemain i dalam

permainan (apapun tidak akan mempengaruhi). Gkkkk r...321 1k

Bukti :

Dalam Teorema 3.2.1 pemain dibagi menjadi tiga himpunan kelompok,

yaitu dan . Dan menurut pertaksamaan 3.2.1 syarat bahwa ii FU , iP x merupakan

metarasional dalam adalah : Gkkk r...32

( ) ( )xexxxxe iiUPFixxx iiiiFiiP

≤,,,minmaxmin (3.3.1)

i. Jika muncul di depan permainan , maka berdasarkan teorema

3.2.2,

1k Gkkk r...32

x juga metarasional untuk permainan (nomor pemain

yang dekat dengan G tidak berubah).

Gkkkk r...321

ii. Jika tidak muncul di depan permainan dan , maka

menurut definisi dari hasil permainan tidak berubah. Dengan demikian

1k Gkkk r...32 {}ik =1

iF


80

pertaksamaan 3.3.1 merupakan syarat untuk x agar menjadi metarasional

untuk permainan seperti dalam permainan . Gkkkk r...321 Gkkk r...32

iii. Jika mula-mula di dalam sekarang masuk dalam , dan karena 1k iU 1k iP

( ) ( )iUkPFixxxiUkPFixxxxxxxxxexxxxxe

iiiiFiiP

iiiiFiiPk

,,,,minmaxmin,,,,minmaxminmin11

1

≤

jika x membuat pertaksamaan 3.3.1 benar, maka x metarasional untuk

pemain i dalam permainan . Gkkkk r...321

Jadi terbukti bahwa ( )nxxxx ,...,, 21= juga merupakan hasil metarasional

untuk pemain i dalam permainan . ■ Gkkkk r...321

Hasil ini menyiratkan bahwa hanya diperlukan melihat permainan

123…nG atau nn – 1…21G dan yang lainnya seperti permutasi dari 1,2,…,n

untuk menemukan metaekuilibria dalam suatu permainan. Suatu permainan jika

judulnya adalah beberapa permutasi dari 1,2,…,n disebut permainan lengkap.

Definisi 3.3.1

Hasil ( )∗∗∗nxxx ,...,, 21 adalah simetri ekuilibrium jika dia adalah metaekuilibrium

dalam semua permainan lengkap.

Jika G mempunyai dua pemain metaekuilibria yang simetri adalah

, dan untuk permainan Prisoners Dilemma metaekuilibrianya

adalah simetri.

( ) ( GEGE 21ˆ12ˆ ∩ )


81

D. Analisis Pilihan

Penerapan analisis metagame dalam kehidupan nyata salah satunya adalah

dapat mendiskusikan konsep metagame tersebut bukan dengan ahli teori

permainan. Misalnya, ada perusahaan A,B dan C, ketiga perusahaan tersebut

merupakan pelaku bisnis yang bersaing untuk mendapatkan keuntungan yang

maksimal. Setiap perusahaan akan berusaha untuk memenangkan persaingan

tersebut dengan menggunakan strategi yang akan membuat mereka mendapatkan

keuntungan yang maksimal. Masalah dari ketiga perusahaan tersebut dapat

dibawa ke dalam metagame yaitu, permainan 321G dengan pemain 1 adalah

perusahaan A, pemain 2 adalah perusahaan B, dan pemain 3 adalah perusahaan C.

Dan strategi yang digunakan setiap pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi

pemain lainnya. Untuk mendapatkan hasil metarasional dalam permainan 321G

maka setiap perusahaan harus memprediksi dengan tepat strategi yang digunakan

perusahaan lainnya dan memilih strategi yang paling menguntungkan untuknya.

Pada umumnya kebanyakan orang tidak ingin mengetahui semua hasil yang stabil,

yakni hasil yang stabil dalam jangka waktu yang lama. Tetapi mereka hanya

tertarik pada hasil yang stabil untuk suatu waktu tertentu.

Untuk memenuhi tujuan tersebut dapat digunakan suatu teknik yang

disebut analisis pilihan. Tujuan analisis pilihan ini adalah untuk menyelidiki suatu

situasi konflik dengan memeriksa apakah suatu skenario atau hasil dalam

metagame adalah stabil. Satu-satunya yang diperlukan adalah bahwa setiap

pemain dapat menyatakan sikap suka atau tidak suka terhadap sembarang dua


82

skenario. Sehingga, pada umumnya seorang pemain akan menggunakan pilihan

yang lebih disukai pemain lain sebagai strateginya.

Langkah-langkah yang dapat ditempuh oleh seorang pemain A adalah sebagai

berikut :

1. Mendaftar semua pemain dan semua pilihan atau strategi yang terbuka

bagi setiap pemain.

2. Menentukan skenario dasar. Skenario dasar adalah hasil atau skenario

(pasangan strategi) yang diperiksa stabilitasnya.

3. Memilih salah satu pemain yang lain, untuk memeriksa apakah hasil

tersebut akan menjadi metarasional untuk pemain A. Dengan cara

sebagai berikut :

4. Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar untuk pemain

A. Peningkatan sepihak adalah hasil yang lebih disukai dari pada

skenario dasar yang dapat dicapai oleh pemain A dengan mengubah

strateginya, tetapi semua pemain yang lain tetap menggunakan strategi

skenario dasar. Jika tidak ada peningkatan sepihak kembali ke langkah

(3) dan memeriksa pemain lain.

5. Jika ada peningkatan sepihak untuk pemain A, tentukan apakah ada

pemain lain yang mempunyai sanksi terhadap pemain A. Suatu sanksi

terjadi saat pemain lain mengubah sembarang strategi mereka, maka

pemain A tidak akan lebih menyukai hasil yang baru daripada skenario

dasar. Jika ada sanksi terhadap pemain A, kembali ke langkah (3) dan

memeriksa pemain lain.


83

6. Jika pemain A mempunyai peningkatan hasil, tetapi tidak ada sanksi

terhadap pemain A, harus diperiksa apakah sembarang peningkatan hasil

adalah peningkatan terjamin. Peningkatan terjamin terjadi jika untuk

semua strategi yang dipilih pemain lain, pemain A lebih menyukai

skenario dasar. Jika sembarang peningkatan sepihak adalah peningkatan

terjamin maka skenario dasar tidak stabil. Jika sembarang peningkatan

sepihak bukan peningkatan terjamin kembali ke langkah (3) dan

memeriksa pemain lain.

7. Jika setelah diperiksa untuk semua pemain, tidak satupun dari mereka

mempunyai peningkatan terjamin, skenario dasar telah stabil.

Untuk melihat hubungan antara algoritma 1 - 7 dan analisis metagame,

akan dipertimbangkan syarat-syarat permainan G untuk dua pemain dan

perhatikan kembali pertaksamaan-pertaksamaan (3.2.2 – 3.2.9) yang menjamin

( 21, xx ) adalah metarasional di dalam permainan 1G, 21G, 12G, 2G.

Pada pertaksamaan (3.2.2), ( )21, xx adalah metarasional untuk pemain 1

dalam permainan 1G jika ( ) ( )xxexxe x ,max, 11211 1≥ , yang bisa dikatakan tidak ada

peningkatan sepihak untuk pemain 1 jika menggunakan strategi ( )21, xx .

Pada pertaksamaan (3.2.4), ( )21, xx adalah metarasional untuk pemain 1

dalam permainan 21G jika yang meminimumkan ruas kiri pertaksamaan

tersebut adalah sanksi. Dalam hal ini artinya jika skenario dasar kedua pemain

2x


84

adalah , mula-mula pemain lain menggunakan strategi kemudian

mengubah strateginya menjadi

( 21, xx ) 2x

2x . Maka pemain 1 akan memilih hasil yang baru

daripada skenario dasar, yaitu ( )211 , xxe .

Di dalam metagame 12G dan 2G, syarat-syarat metarasional pada

pertaksamaan (3.2.6) dan (3.2.8) tidak ada peningkatan terjamin untuk pemain 1,

artinya untuk semua strategi yang dipilih pemain lain, pemain 1 lebih menyukai

hasil yang baru, yaitu ( 211 , xxe ) daripada skenario dasar. Oleh karena itu tidak ada

peningkatan terjamin untuk pemain 1. Sehingga analisis pilihan dapat mengenali

skenario dasar sebagai metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 2G pada

langkah (4), metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 21G pada langkah (5),

dan metarasional untuk pemain 1 dalam permainan 12G dan 2G pada langkah (6).

Jika semua langkah-langkah ini terlewati sehingga mempunyai peningkatan

terjamin, maka ( 21, xx ) tidak stabil.

Tujuan dari analisis pilihan adalah meminimumkan banyaknya langkah (6)

yang dilakukan. Dalam menemukan sanksi dan peningkatan hasil relatif mudah

karena hanya strategi pemain A atau pemain lain sisanya yang diubah.

E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar

Untuk melihat analisis pilihan di tempat kerja akan dipertimbangkan

masalah bisnis berikut:

A.U.K merupakan suatu pabrik komputer, harus memutuskan apakah akan

membuat sebuah komputer pribadi dan jika demikian apakah hanya bertujuan


85

untuk kepentingan pabrik U.K semata-mata, atau untuk mencoba dan

mendapatkan penjualan yang meliputi seluruh dunia (yang mana sebagian besar

adalah U.S). Di Amerika perusahaan telah memasarkan apa yang disebut

komputer pribadi di U.S, dan harus memutuskan apakah akan menjual komputer

pribadi tersebut di U.K, dan jika demikian harganya bisa mahal atau murah. Pada

bagian sebelumnya dituliskan langkah-langkah untuk analisis pilihan. Jika

mengikuti langkah-langkah tersebut didapatkan analisis apakah keadaaan status

quo, yaitu tidak ada penjualan oleh perusahaan manapun juga di U.K maka

keadaan akan stabil jika perusahaan U.K dibantu untuk menyelesaikan

permasalahannya tersebut.

Penyelesaian :

a. Tahap I

~ Langkah 1. Mendaftar semua pemain

Misalkan pemain 1 adalah perusahaan U.K dan pemain 2 adalah perusahaan U.S.

Diberikan aturan sebagai berikut :

0’ jika pemain tidak memilih pilihan strategi yang ada.

1’ jika pemain memilih pilihan strategi yang ada.

Maka diberikan tabel 3.5.1 sebagai berikut :


86

Tabel 3.5.1

Pilihan 1 Pilihan 2 Status quo Infeasible Membuat komputer bagi pasar

U.K

1

1

0

0

Perusahaan U.K Membuat

komputer bagi pasar

U.S

0

1

0

1

Pilihan 1 Pilihan 2 Status quo Infeasible Komputer

masuk pasar U.K dengan harga tinggi

1

0

0

1

Perusahaan U.S

Komputer masuk pasar U.K dengan harga rendah

0

1 0 1

Dengan begitu kedua pemain mempunyai dua pilihan strategi, terlepas dari

keadaan status quo dan satu pilihan lainnya yang tidak layak, karena tidak

mungkin untuk memilih pilihan tersebut.

~ Langkah 2. Menentukan skenario dasar

Misalkan dipertimbangkan keadaan status quo sebagai skenario dasar, dimana

perusahaan tidak mengerjakan apapun yang baru.

~ Langkah 3. Memilih pemain untuk memeriksa apakah skenario dasar

menjadi metarasional untuk perusahaan U.K

Mempertimbangkan perusahaan U.K terlebih dahulu.

~ Langkah 4. Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar

untuk perusahaan U.K


87

Untuk menentukan apakah perusahaan U.K mempunyai strategi secara sepihak,

maka yang dilakukan perusahaan U.K adalah memilih mengubah strategi skenario

dasar yang digunakannya. Dari strategi skenario dasar ke strategi yang baru,

dengan syarat hasil dari strategi yang baru akan lebih disukai oleh perusahaan U.K

dan perusahaan U.S tetap memilih menggunakan strategi skenario dasar sehingga

tidak akan memberikan perubahan kepada perusahaan U.K. Atau perusahaan U.S

tidak mengerjakan apapun.

Ada peningkatan sepihak terhadap skenario dasar perusahaan U.K. Karena

perusahaan U.K lebih menyukai hasil dari strategi yang baru, yaitu pilihan strategi

lebih menyukai status quo. Yang membuat perusahaan U.K dapat memproduksi

komputer untuk pasarnya sendiri dan pasar perusahaan U.S. Misalkan pilihannya

diberikan pada tabel 3.5.2.

Tabel 3.5.2

Lebih menyukai status quo

Status quo Tidak menyukai status quo

Membuat komputer bagi

pasar U.K

1

0

1

Perusahaan U.K


pasar U.S

1

0

0

Komputer masuk pasar U.K dengan harga tinggi

0

0

0

Perusahaan U.S

Komputer masuk pasar U.K dengan harga rendah

0 0 0


88

~ Langkah 5. Menentukan apakah perusahaan U.S mempunyai sanksi

terhadap perusahaan U.K, jika ada peningkatan sepihak untuk perusahaan

U.K

Ada peningkatan sepihak (bagi pasar keduanya) untuk perusahaan U.K maka

adakah sanksi. Disini perusahaan U.K harus memilih pilihannya jika perusahaan

U.S bertindak terlebih dahulu. Sanksi terjadi saat perusahaan U.S mengubah

sembarang strateginya maka perusahaan U.K tidak menyukai hasil dari perubahan

tersebut dan perusahaan U.K lebih menyukai hasil dari strategi skenario dasar.

Ada dua kemungkinan bagi perusahaan U.S untuk mengubah strateginya, yaitu

memasuki pasar U.K dengan harga tinggi atau dengan harga rendah. Akan dilihat

kemungkinan-kemungkinan perubahan strategi yang digunakan perusahaan U.S

pada tabel 3.5.3 yang diberikan dibawah ini.

Tabel 3.5.3




pasar U.K

1 0 1

0

-


komputer bagi pasar U.S

0 0 1

0

-


1 1 1

0

0

Perusahaan U.S Komputer

masuk pasar U.K dengan harga rendah

0 0 0 0 1


89

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa perusahaan U.S memasuki pasar U.K

dengan harga rendah adalah sanksi. Karena apapun juga yang perusahaan U.S

kerjakan, perusahaan U.K tidak menyukai hasil tersebut sebanyak status quo .

Analisis pilihan untuk perusahaan U.K telah dikerjakan. Dan dapat disimpulkan

bahwa perusahaan U.K mempunyai peningkatan sepihak dan perusahaan U.S

mempunyai sanksi terhadap dia. Maka untuk tahap dua akan kembali ke langkah

(3) dan memilih pemain yang lain. Sekarang dapat dilihat untuk perusahaan U.S.

b. Tahap II

~ Langkah 3. Memilih pemain untuk memeriksa apakah skenario dasar

menjadi metarasional untuk perusahaan U.S

Mempertimbangkan perusahaan U.S .

~ Langkah 4. Menentukan peningkatan sepihak terhadap skenario dasar

untuk perusahaan U.S

Pilihan kemungkinan strategi yang digunakan pemain 2, yaitu perusahaan U.S jika

perusahaan U.K tidak mengerjakan apapun akan memberikan tabel 3.5.4 :


90

Tabel 3.5.4




pasar U.K

0 0

0



0 0

0


1 0

0

Perusahaan U.S Komputer

masuk pasar U.K dengan harga rendah

0 1 0

Maka kedua strategi yang dipilih perusahaan U.S seperti yang terlihat pada tabel

di atas meningkat secara sepihak untuk perusahaan U.S. Karena disaat perusahaan

U.S memilih mengubah strateginya dan hasil yang didapat lebih disukai,

perusahaan U.K memilih untuk tetap menggunakan strategi skenario dasar.

Dapat disimpulkan bahwa ada peningkatan secara sepihak terhadap skenario dasar

perusahaan U.S. Selanjutnya akan diperiksa adakah sanksi.

~ Langkah 5. Menentukan apakah perusahaan U.K mempunyai sanksi

terhadap perusahaan U.S, jika ada peningkatan sepihak untuk perusahaan

U.S

Karena dari langkah sebelumnya didapatkan bahwa perusahaan U.S mempunyai

peningkatan sepihak maka akan dipertimbangkan kemungkinan sanksi untuk

perusahaan U.K. Sanksi terjadi saat perusahaan U.K mengubah sembarang


91

strateginya, maka perusahaan U.S tidak akan menyukai hasil yang baru dan lebih

menyukai skenario dasar. Hasilnya bisa dilihat dalam tabel 3.5.5, yang mana

memberi perusahaan U.S pilihan dan meliputi pilihan dalam tabel 3.5.4.

Tabel 3.5.5




pasar U.K

0 0 1 1

0

1 1 1 1



0 0 0 1

0

0 1 0 1


1 0 1 0

0

0 1 0 0

Perusahaan

U.S Komputer masuk pasar U.K dengan harga rendah

0 1 0 1 0 1 0 0 0

Masing-masing strategi yang digunakan perusahaan U.K adalah (0,0),(1,0), dan

(1,1). Dapat dilihat dari tabel di atas bahwa perusahaan U.S menyukai hasil yang

didapat dari perubahan strategi perusahaan U.K, maka tidak ada sanksi untuk

perusahaan U.K. Karena tidak ada sanksi maka akan diperiksa adakah

peningkatan terjamin untuk perusahaan U.S.

~ Langkah 6. Menentukan apakah peningkatan sepihak perusahaan U.S

merupakan peningkatan terjamin


92

Peningkatan terjamin terjadi saat semua strategi yang dipilih perusahaan U.K,

maka perusahaan U.S lebih menyukai skenario dasar.

Akan diperiksa dari tabel 3.5.5 :

i. Strategi (1,1,1,0)

Perusahaan U.S memilih strategi (1,1,1,0), artinya bahwa dia memilih

memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga tinggi. Hasil ini lebih disukai

perusahaan U.S daripada hasil dari skenario dasar, yaitu untuk keadaan status quo.

Maka memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga tinggi bukanlah peningkatan

terjamin.

ii. Strategi (1,0,0,1)

Perusahaan U.S memilih strategi (1,0,0,1), artinya bahwa dia memilih

untuk memasuki pasar perusahaan U.K dengan harga rendah. Hasil ini juga lebih

disukai perusahaan U.S daripada hasil untuk keadaan status quo. Maka memasuki

pasar perusahaan U.K dengan harga rendah bukanlah peningkatan terjamin.

Jadi dapat disimpulkan bahwa peningkatan sepihak perusahaan U.S bukanlah

peningkatan terjamin.

~ Langkah 7. Menentukan kesimpulan bahwa skenario dasar stabil

Karena semua pemain sudah diperiksa dan telah mengikuti langkah-langkah

analisis pilihan dengan benar, maka dapat disimpulkan bahwa tidak satupun dari

kedua pemain yang mempunyai peningkatan terjamin. Maka skenario dasar stabil.


93

Didapatkan analisis bahwa pasar stabil untuk keadaan status quo, yaitu

tidak ada penjualan oleh perusahaan U.S di U.K.

Contoh 3.5.1

Pada kota ”Z” terdapat persaingan perebutan pasar barang-barang elektronik dari

pengusaha A dan pengusaha B. Mereka mengadakan kampanye promosi dengan

menggunakan dua media promosi, yaitu media surat kabar dan media radio.

Dengan menggunakan informasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran

diperoleh data sebagai berikut :

Matriks hasil riset pemasaran (matriks 3.5.1)

Pengusaha ” B”

BB1 (surat kabar) BB2 (radio)

A1 (surat kabar) (-1,-1) (6,0)

Pengusaha ” A”

A2 (radio) (0,0) (3,3)

Tanda minus dalam hasil permainan menunjukkan kerugian pemain dalam

melakukan promosi barang-barang elektronik mereka. Dan yang tidak terdapat

tanda minus menunjukkan keuntungan masing-masing pemain. Angka dalam

hasil permainan menunjukkan jumlah keuntungan atau kerugian dalam ratusan

ribu rupiah. Jadi jika pemain mendapatkan angka (-1), maka pemain tersebut rugi

seratus ribu rupiah. Jika pemain mendapatkan angka (0), maka pemain tersebut

tidak mendapat untung atau rugi. Jika hasil yang didapatkan pemain adalah angka


94

(6) atau (3), maka pemain tersebut mendapatkan keuntungan sejumlah angka yang

tertulis dalam hasil permainan tersebut.

Analisislah permainan di atas, apakah setiap hasil yang diperoleh dapat

menentukan bahwa hasil tersebut rasional terhadap permainan dasar 1G dan 2G

atau metarasional bagi setiap pemain. Tentukan metaekulibrium dari permainan di

atas, supaya kedua pengusaha barang elektronik tersebut tidak rugi atau

mendapatkan keuntungan yang sama.

Penyelesaian :

Permainan 1G

Misalkan strategi pemain 2 adalah ( )21, BBB = dan strategi pemain 1 adalah

. Strategi pemain 1 merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain 2,

dan membentuk kumpulan fungsi yang didefinisikan dengan rumus

. Akan ditentukan titik ekuilibrium dari permainan tersebut.

( 21, AAA = )

}{ ABffF →= :|1

Berdasarkan definisi mengenai fungsi reaksi, maka diperoleh beberapa fungsi

sebagai berikut :

i. Pemain 1 memilih untuk selalu menggunakan media surat kabar, yang

dinyatakan dengan ( ) 111 ABf = atau ( ) 121 ABf = .

ii. Pemain 1 memilih untuk selalu menggunakan media radio, yang

dinyatakan dengan ( ) 212 ABf = atau ( ) 222 ABf = .

iii. Pemain 1 memilih untuk melakukan media yang sama dengan pemain 2,

yang dinyatakan dengan ( ) 113 ABf = atau ( ) 223 ABf = .


95

iv. Pemain 1 memilih untuk melakukan media yang berbeda dengan pemain

2, yang dinyatakan dengan ( ) 214 ABf = atau ( ) 124 ABf = .

Dari rumus fungsi di atas hasil permainan 1G dapat dituliskan dalam matriks hasil

sebagai berikut :

Matriks hasil permainan 1G (matriks 3.5.2)

Pemain 2 (pengusaha ”B”)

BB1 BB2

1f (-1,-1) (6,0)

2f (0,0) (3,3)

3f (-1,-1) (3,3)

Pemain 1

(pengusaha ”A”)

(0,0) (6,0) 4f

Dari matriks hasil di atas akan dicari hasil rasional untuk masing-masing pemain.

Hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang

pertama untuk setiap kolom, yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }242114121 ,,,,,,,1 BfBfBfBfGR = .

Hasil rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang

kedua dari setiap baris, yaitu :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }24142322212 ,,,,,,,,,1 BfBfBfBfBfGR = .

Dengan demikian titik ekuilibriumnya adalah

( ) ( ) ( )( ) ( ) ({ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }0,0,0,6

0,6,0,0,0,6,,,,,

211

241421

21

===

∩=BfBfBf

GRGRGE)


96

Jadi titik ekuilibriumnya adalah ( )21, BA dan ( )12 , BA . Titik ekuilibrium

berarti bahwa pemain 1 menggunakan media surat kabar dan pemain 2

menggunakan media radio, dan hasil yang diperoleh pemain 1 adalah enam ratus

ribu rupiah sedangkan hasil yang diperoleh pemain 2 adalah 0, artinya bahwa

pemain 2 tidak mendapatkan untung atau rugi. Titik ekuilibrium berarti

bahwa pemain 1 menggunakan media radio dan pemain 2 menggunakan media

surat kabar. Dan kedua pemain memperoleh hasil yang sama, yaitu 0 yang berarti

tidak mendapatkan untung atau rugi.

( 21, BA )

)( 12 , BA

Permainan 2G

Hasil permainan dari permainan 2G akan sama dengan permainan 1G. Maka titik

ekuilibrium dari permainan 2G adalah ( )21, BA dan ( )12 , BA . Keterangan tentang

hasil permainan sudah dijelaskan di atas.

Permainan 21G

Dalam permainan ini strategi pemain 1 yang digunakan adalah fungsi reaksi

dan strategi pemain 2 yang digunakan adalah fungsi reaksi

. Untuk fungsi pada permainan ini sama seperti fungsi

pada permainan 1G. Selanjutnya akan diselidiki strategi untuk pemain 2.

Dalam terdapat 16 fungsi dari definisi fungsi reaksi

{ ABffF →= :|1 }

}{ BFggG →= 12 :| 1F

1F

2G { }BFggG →= 12 :| , dan

dapat didefinisikan oleh salah satu vektor seperti ( )1211 ,,, BBBB yang merupakan


97

penyelesaian untuk fungsi antara lain : 4321 ,,, ffff ( ) 11 Bfg = , ,

, dan .

( ) 12 Bfg =

( ) 23 Bfg = ( ) 14 Bfg =

Dari rumus fungsi { }BFggG →= 12 :| akan membentuk sekumpulan

fungsi dalam dan matriks hasilnya didefinisikan sebagai berikut : 2G

Matriks hasil permainan 21G (matriks 3.5.3)

Pemain 2 (pengusaha B)

1g 2g 3g 4g Pemain 1

(pengusaha A) ( )1111 ,,, BBBB

( )2111 ,,, BBBB ( )1211 ,,, BBBB ( )1121 ,,, BBBB

1f (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1)

2f (0,0) (0,0) (0,0) (3,3)

3f (-1,-1) (-1,-1) (3,3) (-1,-1)

4f (0,0) (6,0) (0,0) (0,0)

5g 6g 7g 8g

( )1112 ,,, BBBB

( )2211 ,,, BBBB ( )2121 ,,, BBBB ( )1221 ,,, BBBB

1f (6,0) (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1)

2f (0,0) (0,0) (3,3) (3,3)

3f (-1,-1) (3,3) (-1,-1) (3,3)

4f (0,0) (6,0) (6,0) (0,0)

9g 10g 11g 12g

( )2112 ,,, BBBB

( )1212 ,,, BBBB ( )1122 ,,, BBBB ( )2221 ,,, BBBB

1f (6,0) (6,0) (6,0) (-1,-1)

2f (0,0) (0,0) (3,3) (3,3)


98

3f (-1,-1) (3,3) (-1,-1) (3,3)

4f (6,0) (0,0) (0,0) (6,0)

13g 14g 15g 16g

( )2212 ,,, BBBB

( )2122 ,,, BBBB ( )1222 ,,, BBBB ( )2222 ,,, BBBB

1f (6,0) (6,0) (6,0) (6,0)

2f (0,0) (3,3) (3,3) (3,3)

3f (3,3) (-1,-1) (3,3) (3,3)

(6,0) (6,0) (0,0) (6,0) 4f

Mengacu pada matriks hasil di atas dapat ditemukan hasil rasional untuk

kedua pemain. Hasil rasional untuk pemain 1 didapatkan dengan memaksimalkan

hasil yang pertama dari kolom dan dimisalkan dengan ( )1, ii gf . Sedangkan hasil

rasional untuk pemain 2 didapatkan dengan memaksimalkan hasil yang kedua dari

baris dan dimisalkan dengan ( )2, ii gf . Hasil rasional untuk kedua pemain dapat

dituliskan dalam matriks hasil sebagai berikut :

Matriks hasil rasional permainan 21G (matriks 3.5.4)

Pemain 2 (pengusaha B)

1g 2g 3g 4g Pemain 1

(pengusaha A) ( )1111 ,,, BBBB

( )2111 ,,, BBBB ( )1211 ,,, BBBB ( )1121 ,,, BBBB

1f (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1)

2f (0,0)1 (0,0) (0,0) (3,3)12

3f (-1,-1) (-1,-1) (3,3)12 (-1,-1)


99

4f (0,0)12 (6,0)12 (0,0)2 (0,0)2

5g 6g 7g 8g

( )1112 ,,, BBBB

( )2211 ,,, BBBB ( )2121 ,,, BBBB ( )1221 ,,, BBBB

1f (6,0)12 (-1,-1) (-1,-1) (-1,-1)

2f (0,0) (0,0) (3,3)2 (3,3)12

3f (-1,-1) (3,3)2 (-1,-1) (3,3)12

4f (0,0)2 (6,0)12 (6,0)12 (0,0)2

9g 10g 11g 12g

( )2112 ,,, BBBB

( )1212 ,,, BBBB ( )1122 ,,, BBBB ( )2221 ,,, BBBB

1f (6,0)12 (6,0)12 (6,0)12 (-1,-1)

2f (0,0) (0,0) (3,3)2 (3,3)2

3f (-1,-1) (3,3)2 (-1,-1) (3,3)2

4f (6,0)12 (0,0)2 (0,0)2 (6,0)12

13g 14g 15g 16g

( )2212 ,,, BBBB

( )2122 ,,, BBBB ( )1222 ,,, BBBB ( )2222 ,,, BBBB

1f (6,0)12 (6,0)12 (6,0)12 (6,0)12

2f (0,0) (3,3)2 (3,3)2 (3,3)2

3f (3,3)2 (-1,-1) (3,3)2 (3,3)2

(6,0)12 (6,0)12 (0,0)2 (6,0)124f

Hasil rasional untuk pemain 1 juga dapat dituliskan sebagai berikut :


100

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }3,3,0,0,0,6

0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,0,3,3,3,3,3,3,3,3,0,0,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,21

164144134124947464

24148333824212161

1511411311111019151

1

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

gfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf

gfgfgfgfgfgfgfGR

Hasil rasional untuk pemain 2 juga dapat dituliskan sebagai berikut :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }0,0,3,3,0,6

0,0,3,3,0,6,0,6,0,0,0,6,0,6,0,6,0,0,0,0,0,6,0,0,0,6,0,6,0,0,0,0,0,0,0,6,0,0

,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,

21

16415414413412411410494

8474645444342414

163153133123103836333

162152142122112827242

1611511411311111019151

2

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=



gfgfgfgfgfgfgfgf

GR

Titik ekuilibrium adalah

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }0,0,3,3,0,6

0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,0,3,3,3,3,3,3,3,3,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6,0,6

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

212121

164144134124947464

241483338242161

1511411311111019151

21

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

∩=

gfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgfgf

GRGRGE

dalam permainan ini ( ) ( )1221 ,,, BABA dan ( )22 , BA merupakan metaekuilibria, jadi

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }3,3,0,0,0,6

,,,,,ˆ221221

== BABABAGE


101

Dalam permainan perebutan pasar bagi kedua pengusaha elektronik

tersebut masing-masing pemain berusaha untuk meminimumkan kerugiannya dan

berusaha mendapatkan keuntungan yang sama. Supaya kedua pengusaha

elektronik tersebut mendapatkan pasar penjualan yang sama. Jika dilakukan

analisis yang sama untuk permainan akan didapatkan lagi antara

dan sebagai metaekuilibria.

G12

( ) ( )1221 ,,, BABA ( 22 , BA )

Akan dicari penyelesaian untuk permainan 12G menggunakan cara lain,

yaitu menganalisis metagame dalam permainan tersebut. Dengan menggunakan

fungsi reaksi dalam setiap strategi yang digunakan masing-masing pemain. Kasus-

kasus di bawah akan mencari penyelesaian permainan yang diharapkan hasilnya

akan sesuai dengan hasil di atas. Perhatikan permainan 12G dengan kasus di

bawah ini :

i Kasus 1

Tahap I : Mula-mula pemain 1 menggunakan media surat kabar.

Tahap II : Pemain 2 memilih menggunakan media radio.

Tahap III : Pemain 1 mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih menggunakan

media surat kabar . Dan mendapatkan keuntungan enam ratus ribu rupiah.

Sedangkan pemain 2 tidak mendapatkan keuntungan, tetapi juga tidak rugi.

ii Kasus 2

Tahap I : Mula-mula pemain 1 menggunakan media surat kabar.

Tahap II : Pemain 2 memilih menggunakan media radio.


102

Tahap III : Pemain 1 mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih menggunakan

media radio . Dan mendapatkan keuntungan tiga ratus ribu rupiah. Sedangkan

pemain 2 juga mendapatkan keuntungan tiga ratus ribu rupiah.

iii Kasus 3

Tahap I : Mula-mula pemain 1 memilih menggunakan media radio.

Tahap II : Kemudian pemain 2 memilih menggunakan media surat kabar.

Tahap III : Maka pemain 1 akan mereaksi strategi pemain 2 dengan memilih

menggunakan media radio. Dan kedua pemain mendapatkan hasil nol rupiah, atau

mereka tidak untung dan juga tidak rugi.

Dari ketiga kasus di atas hasil dari permainan 12G adalah (6,0), (0,0) dan

(3,3). Kasus-kasus di atas dilihat dari reaksi para pemain dalam menanggapi

strategi yang digunakan lawannya. Para pemain akan memilih strategi yang paling

menguntungkan untuknya. Supaya hasil yang didapatkan menjadi lebih optimal

bagi pemain tersebut. Hasil yang didapatkan sama dengan hasil metagame dengan

mencari hasilnya menggunakan titik ekuilibrium, yaitu irisan dari hasil rasional

yang didapatkan masing-masing pemain.


BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Permainan dua orang berjumlah tidak nol adalah permainan yang

dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain bukan

negatif dari hasil permainan pemain lainnya. Pada permainan tersebut yang

dibahas hanyalah permainan tanpa kerjasama, yaitu permainan yang tidak ada

kerjasama antara pemainnya. Hasil permainannya merupakan suatu pasangan

ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium yang didapatkan adalah hasil yang paling

maksimal dari hasil permainan yang lainnya. Pasangan ekuilibrium dari

permainan tersebut dapat diselesaikan juga dengan metode Swastika. Metode ini

berlaku untuk matriks yang berordo 2x2 dan dengan langkah-langkah yang telah

diberikan pada bab sebelumnya.

Metagame merupakan permainan yang strateginya berdasarkan pada

permainan yang sedang berlangsung, sehingga dapat ditemukan titik ekuilibrium

dari permainan tersebut. Strategi yang digunakan pemain merupakan fungsi reaksi

untuk strategi pemain lainnya. Permasalahannya yang terjadi jika salah satu

pemain memberikan peluang kepada pemain yang lain untuk memilih strateginya

dan jika hal tersebut terjadi secara terus-menerus, maka fungsi reaksi yang terjadi

akan sampai pada tak hingga banyaknya. Oleh karena itu, penyelesaian permainan

dengan metagame dibatasi hanya pada dua pemain dan pada strategi yang


104

terbatas. Dalam metagame model permainannya menggunakan permainan dasar

yang dinyatakan dengan permainan G.

Dalam metagame setiap pemain mempunyai strategi masing-masing,

sehingga strategi yang dipilih akan menguntungkan mereka. Misalkan

adalah strategi murni dari n pemain. Dari strategi tersebut

dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Hasil rasional untuk

pemain i dalam permainan dasar G dinyatakan dengan

( ni xxxX ,...,, 21= )

( )GRi . Untuk mencari titik

ekuilibrium ( ) dari permainan tersebut ditentukan dengan rumus : ( )GE

( )GE = ( )GRn

iiI

1=

atau dengan kata lain titik ekuilibrium didapatkan melalui irisan dari hasil rasional

masing-masing pemain. Dalam menyelesaikan permasalahan metagame

menggunakan strategi yang disebut sebagai fungsi reaksi untuk strategi pemain

lawan.

Untuk menyelesaikan masalah dalam metagame, kunci utamanya adalah

adanya fungsi reaksi yang terjadi diantara pemainnya. Dan berdasarkan pada

permainan yang sedang berlangsung. Karena penyelesaian permainan yang

berdasarkan teori hasilnya tidak selalu sama dengan permainan yang sedang

terjadi.

B. Saran

Dalam penulisan skripsi ini penulis menyarankan untuk membahas

permainan dua orang berjumlah tidak nol lebih mendalam dengan membahas hal-


105

hal lain yang mungkin berkaitan dengan permainan tersebut. Serta membahas

metagame tanpa kerjasama tidak hanya untuk dua pemain.


106

DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R . (1991) . Theory and Problem Of Operation Research. New York:

Schaum Outline Series, McGraw-Hill.

Kartono. (1994) Teori permainan . Yogyakarta: Andi Offset.

Supranto, J. (1988). Riset Operasi Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta : UI-

Press.

Taha, H.A. (2003). Operational Research. New York : Pearson Education Inc.

PHI.

Thomas, L.C. (1984). Games, Theory and Applications. England: Ellis Horwood

Limited.


permainan dua orang berjumlah tidak nol dan metagame tanpa ... · seribu kata tidak akan...

Documents