Permutaatioista alternoivaan ryhmään

Pro Gradu-tutkielmaSini-Susanna FetulaMatemaattisten tieteiden laitosOulun yliopistoSyksy 2014

Sisältö

1 Johdanto 2

2 Esitietoja 3

3 Permutaatioista. 6

3.1 Symmetrinen ryhmä ja permutaation määritys. . . . . . . . . 63.2 Permutaatioiden esitystavoista. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Permutaatiot erillisten syklien tulona . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Parilliset ja parittomat permutaatiot. . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Permutaatioryhmistä ja niiden käytöstä. 15

5 Alternoivasta ryhmästä. 20

5.1 Alternoivan ryhmän An määritteleminen. . . . . . . . . . . . . 205.2 Alternoivan ryhmän ominaisuuksia. . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Yhteenveto ja loppusanat. 29

1

1 Johdanto

Tutkielmani aihe liittyy ryhmäteoriaan ja on mielestäni yksi sen mielenkiin-toisimmista aihealueista. Ryhmäteoriassa ei tarvita (ainakaan tällä tasolla)kovin pitkälle meneviä matemaattisia laskutekniikoita, vaan se vaatii uuden-laisen ajatusmaailman sisäistämistä. Siinä onkin sen haastavuus, sekä help-pous ja mielenkiintoisuus.

Tässä työssä en lähde aivan ryhmäteorian alkeista, tai ainakaan käy niitätarkemmin läpi. Esitietoja käsittelevässä osiosta löytyy muutama esimerkkija määritelmä, jotka katsoin hyväksi laittaa muistin virkistämiseksi ja sel-kiyttämiseksi. Sekä tämän tutkielman aiheen teoria, että ryhmäteorian al-keet löytyy päälähteenä käyttämästäni I.N Hersteinin kirjasta Abstract Al-gebra. Lisäksi itse olen käyttänyt myös Algebra II - kurssin luentomonistettaja luentomuistiinpanoja apuna.

Esitietoja kappaleessa on ryhmäteorian alkeisiin kuuluvia määritelmiä,lauseita ja joitain todistuksia. Kaikkia lauseita ei ole todistettu, vaan ne ote-taan pelkkänä tuloksena, jotta fokus säilyisi olennaisessa. Nämä tiedot ovatkuitenkin olennaisia ja niitä käytetään moneen kertaan tutkielman aikana jaliittyvät sinänsä tiiviisti tutkielman aiheeseen.

Luvussa 3 käsitellään tutkielman aiheen perusteita, eli permutaatioita janiiden ominaisuuksia. Luvun kahdessa ensimmäisessä kappaleessa määritel-lään permutaatiot, esitetään niille muutama esitystapa ja havainnollistetaanniiden käyttöä esimerkein. Luvussa 3.3 keskitytään permutaatioiden esityk-seen muiden permutaatioiden avulla eli esitykseen erillisten syklien tulona.Luvun viimeisessä kappaleessa tarkastellaan permutaatioiden pariteettia, jo-ka on yksi permutaatioiden käytetyimmistä ominaisuuksista.

Neljännessä luvussa käsitellään permutaatioryhmiä, niiden ratoja sekäpermutaatioiden käyttöä käytännön sovelluksissa. Lisäksi todistetaan muuta-ma ominaisuus permutaatioryhmälle ja sen radoille. Tämän kaappaleen tar-koitus on esitellä permutaatioiden syvempää, soveltavampaa puolta ja näyt-tää, että niitä voidaan hyödyntää myös käytännössä.

Luvussa 5 päästään sitten käsiksi alternoivaan ryhmään. Ensimmäisessäkappaleessa luonnollisesti esitellään miten alternoiva ryhmä An määritelläänja mitä se käytännössä tarkoittaa. Kappaleessa 5.2 lähdetään vähän kiertotie-tä tutkimaan alternoivan ryhmän ominaisuuksia. Jotta näitä ominaisuuksiapääsisi tutkimaan, täytyy ensin perehtyä hieman permutaatioiden konjugoin-tiin. Tämän kappaleen päämäärä ja koko tutkielman yksi päätuloksista onalternoivan ryhmän An yksinkertaisuus, kun n ≥ 5.

2

2 Esitietoja

Määritelmä 2.1. Olkoon G epätyhjä joukko ja kuvaus •:G × G → G,•(a, b) = a • b. Nyt pari (G, •) on ryhmä mikäli

1. (•) on joukon G binäärinen operaatio, eli •(a, b) = a • b ∈ G kaikillaa, b ∈ G.

2. (•) on assosiatiivinen operaatio joukossa G eli a • (b • c) = (a • b) • ckaikilla a, b, c ∈ G.

3. Joukossa G on neutraalialkio e, jolle pätee a • e = e • a = a kaikillaa ∈ G.

4. Jokaiselle alkiolle a ∈ G on olemassa joukossa G käänteisalkio a−1, jollepätee a−1 • a = a • a−1 = e , missä e on siis joukon G neutraalialkio.

Esimerkki 2.2. Tutkitaan onko pari ({1,−1}, ·), missä (·) on kokonaisluku-jen kertolasku ryhmä: Nyt

1) a · b ∈ {1,−1} kaikilla a, b ∈ {1,−1}

2) kokonaislukujen kertolaskulle pätee assosiatiivisuus, joten

(a · b) · c = a · (b · c) kaikilla a, b, c ∈ {1,−1}

3) neutraalialkio i = 1 ∈ {1,−1}

4) −1 ·−1 = 1 = i ja 1 ·1 = 1 = i ,joten a−1 ∈ {1,−1} kaikilla a ∈ {1,−1}

kohtien 1) , 2) , 3) ja 4) nojalla pari ({1,−1}, ·) on ryhmä.

Määritelmä 2.3. Olkoon pari (G, •) ryhmä (toteuttaa edellä mainitut eh-dot). Jos pari toteuttaa lisäksi ehdon a • b = b • a kaikilla a, b ∈ G, eli (•) onkommutatiivinen operaatio G:ssä, niin pari (G, •) on Abelin ryhmä.

Määritelmä 2.4. Olkoon (G, •) ryhmä ja H ⊆ G, H 6= ∅, eli H on joukonG epätyhjä osajoukko. Nyt (H, •) on ryhmän (G, •) aliryhmä, mikäli pari(H, •) on ryhmä. Tällöin merkitään (H, •) ≤ (G, •), tai lyhemmin H ≤ G.

Määritelmä 2.5. Olkoon (G, •) ryhmä ja (H, •) sen aliryhmä. Nyt (H, •)on ryhmän (G, •) normaali aliryhmä, jos Ha = {h • a|h ∈ H} = {a • h|h ∈H} = aH kaikilla a ∈ G. Joukkoa Ha kutsutaan alkion a määräämäksialiryhmän (H, •) oikeaksi sivuluokaksi ja joukkoa aH kutsutaan vastaavastialkion a määräämäksi aliryhmän (H, •) vasemmaksi sivuluokaksi.

3

Lause 2.6 (normaalisuuskriteeri). Olkoon (G, •) ryhmä ja (H, •) sen aliryh-mä. Nyt (H, •) on normaali jos ja vain jos aHa−1 ⊆ H aina, kun a ∈ G.

Määritelmä 2.7. Olkoot (G, •) ja (G′, ∗) ryhmiä ja kuvaus f : G → G′.Nyt kuvaus f on homomor�smi, jos f(a • b) = f(a) ∗ f(b) kaikilla a, b ∈ G.Eli kuvaus f niin sanotusti säilyttää operaation.

Määritelmä 2.8. Olkoot (G, •) ja (G′, ∗) ryhmiä ja ρ : G→ G′ homomor�s-mi. Kuvauksen ρ kuvaksi sanotaan joukkoa Im(ρ) = {ρ(a)|a ∈ G}. Eli jouk-koa johon kuuluu kaikki ne ryhmän (G′, ∗) alkiot, jotka saadaan kuvauksellaρ.

Joukkoa Ker(ρ) = {a ∈ G|ρ(a) = e′}, missä e′ on ryhmän (G′, ∗) neut-raalialkio, sanotaan kuvauksen ρ ytimeksi. Ytimeen siis kuuluu kaikki neryhmän (G, •) alkiot, jotka ρ kuvaa maaliryhmän (G′, ∗) neutraalialkioksi.

Lause 2.9 (Homomor�smin peruslause, hpl). Olkoot (G, •) ja (G′, ∗) ryh-miä ja homomor�smi g : G → G′ surjektio,eli Im(g) = G′. Olkoon lisäksiKer(g) = K Nyt G′ = Im(g) ∼= G/K.

Määritelmä 2.10. Kuvausten yhdistämisoperaatio (◦) määritellään seuraa-vasti: f ◦ g(x) = f(g(x)), missä f ja g ovat siis kuvauksia.

Lause 2.11. Kuvausten yhdistämisoperaatio (◦) on assosiatiivinen.

Todistus. Olkoon f , g ja h kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukot ovat so-pivat. Nyt [(f ◦ g) ◦ h](x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f(g ◦ h(x)) =[f ◦ (g ◦ h)](x).

Määritelmä 2.12. Olkoon G ryhmä ja α ∈ G. Nyt alkion α kertaluku|α| = s, missä s on pienin kokonaisluku s, jolle pätee αs = (i).

Määritelmä 2.13. Ryhmän G keskus Z(G) = {σ ∈ G|gσ = σg, g ∈ G}sisältää kaikki ne ryhmän alkiot σ, jotka kommutoivat ryhmän muiden al-kioioden kanssa.

Lause 2.14. Jos (i) 6= σ ∈ An, niin on olemassa 3-sykli τ , jolle pätee στ 6=τσ.

Todistus. Vastaoletus: Olkoon α ∈ An 3-sykli. Tällöin σα = ασ. Olkoonsitten g ∈ An. Nyt voidaan kirjoittaa g = α1α2 · · ·αr, missä αi, i = 1, ..., ron 3-syklejä, sillä 3-syklit generoivat An:n. Tällöin vastaoletuksen nojallagσ = σα1α2 · · ·αr = α1α2 · · ·αrσ = σg. Tällöin (i) 6= σ ∈ Z(An) = {(i)},mikä on ristiriita. Täten vastaoletus on siis väärä ja väite tosi.

4

Lause 2.15. Olkoon G ryhmä ja H ≤ G sekä N ryhmän G normaali aliryh-mä. Tällöin N ∩H on normaali ryhmässä H.

Todistus. Nyt N ∩ H = {x|x ∈ N ja x ∈ H}. Joten N ∩ H ⊂ H,N ∩ H onryhmä (N ja H ovat ryhmiä) ja lisäksi normaalius ehto toteutuu, sillä N onnormaali. Tästä seuraa, että N ∩H on normaali aliryhmä H:ssa.

5

3 Permutaatioista.

Tässä kappaleessa määritellään mitä permutaatio tarkoittaa, esitetään niillemuutamakin erilainen esitystapa. Lisäksi tarkastellaan permutaatioiden omi-naisuuksia, kuten pariteettia ja esitystä erillisten syklien tulona.

3.1 Symmetrinen ryhmä ja permutaation määritys.

Määritelmä 3.1. Merkitään joukkoa {x1, ..., xn} = X Jos kuvaus σ : X →X on bijektio, niin sitä kutsutaan joukon X permutaatioksi.

Merkitään lisäksi joukon X = {x1, ..., xn} kaikkien permutaatioiden jouk-koa Sn:llä.

Lause 3.2. Pari (Sn, ◦), missä (◦) on kuvausten yhdistämisoperaatio, onryhmä.

Todistus. Olkoon α, β, γ ∈ Sn. Nyt

1) α◦β : X → X on bijektio,eli α◦β ∈ Sn, sillä α : X → X ja β : X → Xovat bijektioita.

2) Kuvaus i(x) = x, x ∈ X kuuluu joukkoon Sn. Lisäksi α ◦ i = i ◦α = α,joten neutraalialkio i ∈ Sn.

3) Kuvausten yhdistämis operaatiolle pätee assosiatiivisuus, joten

(α ◦ β) ◦ γ = α ◦ (β ◦ γ).

4) α−1 : X → X on bijektio, sillä α : X → X on bijektio. Lisäksi

α−1 ◦ α = α ◦ α−1 = i, joten käänteisalkio ehto toteutuu.

kohtien 1) , 2) , 3) ja 4) nojalla pari (Sn, ◦) on ryhmä.

Määritelmä 3.3. Ryhmää (Sn, ◦) sanotaan astetta n olevaksi symmetriseksiryhmäksi.

Ryhmäteoriassa on usein tapana jättää tunnettujen ryhmien operaatiomerkitsemättä käytännön syistä, joten jatkossa merkitään (Sn, ◦) = Sn.

Voidaan todeta päättelemällä, että astetta n olevan symmetrisen ryhmänSn kertaluku |Sn| = n · (n− 1) · ... · 2 · 1 = n!.

6

3.2 Permutaatioiden esitystavoista.

Kun jatketaan permutaatioiden ja permutaatioryhmien käsittelyä, tarvitaanjokin kätevä tapa kuvata permutaatioita ja miten ne kuvaavat kunkin jou-kon X alkion. Tässä luvussa esitellään kolme erilaista tapaa merkitä/kuvatapermutaatioita.

Olkoon siis joukko X = {x1, x2, ..., xn} ja annettu permutaatio σ ∈ Snsellainen, että σ(x1) = x2, σ(x2) = x3,...,σ(xn−1) = xn ja σ(xn) = x1. Per-mutaatiota voidaan havainnollistaa esimerkiksi siten, että kirjoitetaan riviinkaikki joukon X alkiot ja niiden alapuolelle niiden kuvat vastaavassa järjes-tyksessä. Tällöin esitys näyttäisi seuraavalta:

σ =

(x1 x2 ... xn−1 xnx2 x3 ... xn x1

)Tätä merkintätapaa voidaan vielä yksinkertaistaa samaistamalla kaikki jou-kot X, joissa on n kappaletta elementtejä/alkioita. Samaistaminen onnistuunumeroimalla alkiot ja käsittelemällä niitä vain lukuina.

Tällöin X = {1, 2, ..., n} ja σ =

(1 2 ... n− 1 n2 3 ... n 1

)Esimerkki 3.4. Olkoon X = {1, 2, 3, 4} ja σ ∈ S4 seuraavanlainen permuu-

taatio: σ(1) = 3,σ(2) = 2,σ(3) = 1 ja σ(4) = 4. Tällöin σ =

(1 2 3 43 2 1 4

).

Huomautus 3.5. Edellä esitetyssä kaksirivisessä esitystavassa ei ole vält-tämätöntä kirjoittaa yläriville joukon X alkioita järjestyksessä, vaan samapermutaatio voidaan kirjoittaa useammalla eri tavalla. Esimerkiksi edellisenesimerkin permutaatio:

σ =

(1 2 3 43 2 1 4

)=

(1 2 4 33 2 4 1

)=

(2 1 3 42 3 1 4

)=...

Tästä kaksirivisestä esitystavasta on myös helppo saada selville anne-tun permutaatiokuvauksen käänteiskuvaus. Jos esimerkiksi σ(1) = 2, niinσ−1(2) = 1. Kun tämä tehdään kaikille alkioille, niin käytännössä rivien pai-kat vain vaihtuu.

Esimerkki 3.6. Jos τ =

(1 2 3 44 1 2 3

), niin τ−1 =

(4 1 2 31 2 3 4

)=

(1 2 3 42 3 4 1

)

Jos σ =

(1 2 3 43 2 1 4

), niin σ−1 =

(3 2 1 41 2 3 4

)=

(1 2 3 43 2 1 4

).

7

Huomautus 3.7. Kuvaus voi siis olla myös itsensä käänteiskuvaus, kutenedellisen esimerkin σ.

Entäpä sitten yhdistetyn kuvauksen laskeminen kaksirivisen esitystavanavulla? Kuvausten yhdistämisoperaation määrittelyn nojalla yhdistetty ku-vaus saadaan kertomalla permutaatiot oikealta vasemmalle. Jos esimerkiksiτ(3) = 2 ja σ(2) = 2, niin σ ◦ τ(3) = 2. Seuraavassa esimerkissä on pyrittyhavainnollistamaan tätä käytännössä.

Esimerkki 3.8. Olkoon σ =

(1 2 3 43 2 1 4

)ja τ =

(1 2 3 44 1 2 3

)Nyt

σ ◦ τ =

(1 2 3 44 3 2 1

), τ ◦ σ =

(1 2 3 42 1 4 3

)

Edellä käytetyssä kaksirivisessä esitystavassa on usein tapana kirjoittaaylemmälle riville alkiot järjestyksessä, joten se voidaan jossain tapauksissa

jättää kirjoittamatta. Esimerkiksi σ =

(1 2 3 43 2 1 4

)=(3 2 1 4

).

Huom! Tätä yksirivistä esitystapaa ei kuitenkaan pidä sekoittaa seuraa-vaksi käsiteltävään sykliesitykseen.

Jatketaan siis edelleen permutaatioiden käsittelyä ja vieläkin yksinkertai-semman esitystavan hakemista.

Olkoon edelleen X = {1, 2, ..., (n − 1), n}. Nyt permutaatio σ säilyttääalkion i ∈ X, jos ja vain jos σ(i) = i. Vastaavasti σ siirtää alkion j ∈ X, josja vain jos σ(j) 6= j. Merkintä σ =

(i1 i2 ... ir

), missä ik ∈ X, 1 ≤ k ≤ n

tarkoittaa, että σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, ... , σ(ir−1) = ir ja σ(ir) = i1 ja lisäksiσ säilyttää muut joukon X alkiot.

Määritelmä 3.9. Permutaatiota σ =(i1 i2 ... ir

), jonka pituus on r

sanotaan r-sykliksi

Esimerkki 3.10. σ =

(1 2 3 43 2 1 4

)=(1 3

)=(3 1

)ja

τ =

(1 2 3 44 1 2 3

)=(1 4 3 2

)=(4 3 2 1

)=(3 2 1 4

)=(2 1 4 3

)Seuraavassa vielä muutama asia, jotka on syytä mainita sykliesityksen

yhteydessä.

1) Identiteettikuvausta, joka säilyttää kaikki alkiot merkitään usein

i =(1)

8

2) 2-syklejä σ =(i1 i2

)kutsutaan transpooseiksi

3) k-syklin kertaluku on k.

perustellaan vielä kohta 3): Olkoon σ =(1 2 ... k

)∈ Sn. Nyt

σ(1) = 2, σ2(1) = σ(σ(1)) = σ(2) = 3, ..., σk(1) = 1.

Vastaavasti σ(i)k = i kaikilla i ∈ {1, 2, ..., k}. Lisäksi σ säilyttää ne joukonX alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon {1, 2, ..., k}, joten saadaan että σ(i)k = ikaikilla i ∈ {1, 2, ..., n} = X. Täten σ:n kertaluku |σ| = k.

Myös sykliesityksestä saadaan kätevästi annetun permutaation käänteis-kuvaus kirjoittamalla annetun syklin elementit käänteisessä järjestyksessä.Jos esimerkiksi σ =

(1 4 3 2

), niin σ−1 =

(2 3 4 1

).

Sykliesityksessä on helppouden ja yksinkertaisuuden lisäksi yksi iso etuverrattuna aikaisempiin esitystapoihin. Sykliesityksen avulla voidaan nimit-täin kirjoittaa pitkät ja hankalat permutaatiokuvaukset lyhyempien ja sel-keämpien syklien avulla. Seuraavassa luvussa käydäänkin tätä asiaa läpi.

3.3 Permutaatiot erillisten syklien tulona

Määritelmä 3.11. Kaksi sykliä ovat erilliset, mikäli niillä ei ole yhtäänsamaa elementtiä, eli ne eivät siirrä yhtään samaa alkiota.

Esimerkiksi(1 3 4

)∈ S7 ja

(2 7

)∈ S7 ovat erillisiä syklejä, mutta(

1 3 4)∈ S7 ja

(3 5 6

)∈ S7 eivät ole erillisiä.

Lause 3.12. Mikäli σ, τ ∈ Sn ovat erillisiä, niin niille pätee τσ = στ .

Todistus. Olkoon i ∈ X.

1. Olkoon lisäksi σ(i) = i sekä τ(i) = i. Nyt

στ(i) = σ(τ(i)) = σ(i) = i = τ(i) = τ(σ(i)) = τσ(i)

2. Olkoon sitten σ(i) 6= i, tällöin τ(i) = i, sillä σ ja τ ovat erillisiä. Nyt

στ(i) = σ(τ(i)) = σ(i)(∗)= τ(σ(i)) = τσ(i).

(*)= τ ei siirrä alkiota σ(i), koska σ ja τ ovat erillisiä.

3. Tapaus, jossa τ(i) 6= i, ja σ(i) = i toimii vastaavasti kuin kohta 2.

Näistä kolmesta kohdasta saadaan, että στ(i) = τσ(i) kaikilla i ∈ Sn ja väiteon todistettu.

9

Vähän myöhemmin tullaan todistamaan, että jokainen permutaatio voi-daan esittää erillisten syklien tulona. Tarkastellaan nyt ensin, miten ylipää-tään voidaan löytää "osasyklejä" annetun syklin sisältä.

Määritelmä 3.13. alkion i ∈ X määräämä sykli permutaatiossa σ ∈ Snon(σ(i) σ2(i) ... σs−1(i)

), missä s on pienin kokonaisluku, joka toteuttaa

ehdon σs(i) = i.

Esimerkki 3.14. Jos σ =

(1 2 3 4 5 6 73 2 5 7 1 4 6

), niin 1. määräämä sykli

σ:ssa on(1 3 5

).

Lause 3.15. Jokainen permutaatio voidaan esittää erillisten syklien tulona.

Todistus. Olkoon σ ∈ Sn sellainen permutaatio, joka siirtää k alkiota. Todis-tetaan väite induktiolla K:n suhteen.

1) Jos k = 0, niin σ = i =(1) (

2)· · ·(n). Olkoon siis jatkossa k > 0.

2) Induktio-oletus: Jos σ:n siirtämien alkioiden lukumäärä on pienempikuin k, niin se voidaan esittää erillesten syklien tulona.

3) Olkoon nyt σ ∈ Sn sellainen permutaatio, joka siirtää k alkiota jai1 eräs alkio, jonka σ siirtää. Merkitään i1:n määräämää sykliä σ:ssaα =

(i1 i2 ...ir

). Luonnollisesti r ≤ k, jos r = k, niin σ = α ja σ

on itsessään sykli. Oletetaan siis seuraavaksi, että r < k ja tarkastel-laan permutaatiota σα−1. Nyt σα−1:n kertaluku on korkeintaan k jase säilyttää alkiot i1, i2, ..., ir, joten sen siirtämien alkioiden lukumääräon pienempi kuin k. Induktio-oletuksen nojalla siis σα−1 = β1β2...βt,missä β1, β2, ..., βt ovat erillisiä. Lisäksi β1, β2, ..., βt ovat erillisiä α:nkanssa, sillä σα−1 säilyttää kaikki α:n alkiot, joten ne eivät ole mukanasyklissä σα−1. Olemme siis saaneet seuraavan yhtälön

σα−1 = β1β2...βt ⇔ σ = β1β2...βtα

, jossa σ on erillisten syklien tulo.

Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt todistettu.

Lause 3.16. Jokainen sykli voidaan esittää transpoosien tulona.

Todistus. Nyt σ =(1 2 ... k

)=(1 k

) (1 k − 1

)· · ·(1 3

) (1 2

), joten

jokainen permutaatio voidaan esittää transpoosien (Ei välttämättä erillisiä!)tulona.

10

Seuraus 3.17. Kahden edellisen lauseen nojalla jokainen permutaatio voi-daan esittää transpoosien tulona.

Esimerkki 3.18. Esitetään σ =

(1 2 3 4 5 6 74 2 7 5 1 7 6

)erillisten syklien

tulona.

Nyt σ =

(1 2 3 4 5 6 74 2 7 5 1 7 6

)=(1 4 5

) (2) (

3 7 6)

=(1 4 5

) (3 7 6

).

Lause 3.19. Jos σ = α1α2...αt on permutaation σ esitys erillisten syklientulona ja |αi| = ki, 1 ≤ i ≤ k, niin |σ| = pyj(k1, k2, ..., kt).

Todistus. Merkitään pyj(k1, k2, ..., kt) = M . Nyt σM = αM1 αM2 ...α

Mt . Koska

M = pyj(k1, k2, ..., kt), niin αMi = i, kaikilla 1 ≤ i ≤ k ja siten σM = i.Toisaalta, jos σN = i, niin vastaavasti αNi = i, kaikilla 1 ≤ i ≤ k. Syklinkertaluvun määritelmän nojalla ki|N kaikilla 1 ≤ i ≤ k. Siten myös M =pyj(k1, k2, ..., kt)|N ja |σ| = M = pyj(k1, k2, ..., kt).

Tämän kappaleen tärkein tulos on, että jokainen permutaatio voidaanesittää erillisten (eivät siirrä yhtään samaa alkiota)syklien tulona ja kertalu-ku saadaan esityksen erillisten syklien kertalukujen pienimmästä yhteisestäjaettavasta.

3.4 Parilliset ja parittomat permutaatiot.

Permutaation esitys transpoosien tulona ei ole yksikäsitteinen, mutta tietytominaisuudet määräytyvät yksiselitteisesti annetusta permutaatiosta. Lähde-tään seuraavaksi tarkastelemaan permutaatioiden pariteettia. Tarkastelussatäytyy lähteä liikkeelle hieman mutkan kautta ja ensin määritelläänkin kaksiuutta kuvausta.

OlkoonN =

∏1≤i<j≤n

(j − i).

Jos σ ∈ Sn, niin merkitään

σN =∏

1≤i<j≤n

(σ(j)− σ(i)).

Kuvaukselle N pätee myös σN = N tai σN = −N kaikilla σ ∈ Sn. Tätäominaisuutta en perustele tarkemmin tässä työssä, vaan otan sen pelkkänätuloksena. Katsotaan seuraavaksi kuitenkin pari esimerkkiä, jotka tukevatväitettä.

11

Esimerkki 3.20. Olkoon n=3, σ =(1 2

)∈ S3, τ =

(1 2 3

)∈ S3. Nyt

N = (2− 1)(3− 2)(3− 1) = 2 ja

σN = (σ(2)−σ(1))(σ(3)−σ(2))(σ(3)−σ(1)) = (1−2)(3−1)(3−2) = −2 = −N

sekä

τN = (τ(2)−τ(1))(τ(3)−τ(2))(τ(3)−τ(1)) = (3−2)(1−3)(1−2) = 2 = N.

Määritellään seuraavaksi kuvaus F : Sn → ({1,−1}, ·), (·) on kokonaislukujen kertolasku ja pari ({1,−1}, ·) on ryhmä (todistus esitietoja käsitte-levässä osiossa) seuraavasti:

F (σ) =

{1 , kun σN = N

−1 , kun σN = −N.

Kuvauksien σN ja F avulla määritellään permutaation pariteetti seuraavallatavalla:

Määritelmä 3.21. Kuvausta σ ∈ Sn sanotaan parittomaksi permutaatioksi,jos F (σ) = −1. Vastaavasti sitä kutsutaan parilliseksi permutaatioksi, josF (σ) = 1.

Esimerkki 3.22. Edellisen esimerkin σ =(1 2

)∈ S3 on pariton permutaa-

tio, sillä σN = −2 = −N ⇒ F (σ) = −1 ja τ =(1 2 3

)∈ S3 on parillinen,

sillä τN = 2 = N ⇒ F (τ) = 1.

Lause 3.23. Jos σ ∈ Sn on transpoosi, niin σ on pariton permutaatio.

Todistus. Olkoon σ =(i j

),missä 1 ≤ i < j ≤ n. Laskettaessa tuloa σN

lasketaan lukujen (σ(u) − σ(v)), missä 1 ≤ v < u ≤ n tuloa. Huomataan,että negatiivisia tulontekijöitä tässä tulossa on 2(j− i−1)+1 = 2j−2i−1 =2(j − i) − 1 kappaletta. Koska 1 ≤ i < j ≤ n ja j ja i ovat kokonaislukuja,niin 2(j − i) on parillinen kokonaisluku. Täten negatiivisten tulontekijöidenlukumäärä 2(j − i) − 1 on pariton kokonaisluku ja tulo σN < 0. Tulonominaisuuden perusteella σN = −N ja σ on pariton.

Jotta kuvauksien σN ja F avulla saataisiin selville muidenkin kuin trans-poosien pariteetti, tarkastellaan miten kuvaus F toimii yhdistetylle kuvauk-selle.

Olkoon σ, τ ∈ Sn. Tällöin

(τσ)N =∏

1≤i<j≤n

(τσ(j)− τσ(i)) =∏

(τ(j′)− τ(i′)).

12

Kun tähän lisätään ehto τ(j′) − τ(i′) = −[τ(i′) − τ(j′)] kaikilla i′ > j′, niinsaadaan

(τσ)N = F (σ)∏

1≤i<j≤n

(τ(j)− τ(i)) = F (σ)τN = F (σ)F (τ)N.

Tästä saadaan kuvauksen F määritelmä huomioiden tulos F (τσ) = F (τ)F (σ),eli F on ryhmähomomor�smi.

Tiedetään lisäksi, että F (σ) = −1, kun σ on transpoosi. Tämän ja edellätodistetun ominaisuuden F (τσ) = F (τ)F (σ) nojalla voidaan suoraan pää-tellä, että permutaatio α ∈ Sn on pariton jos ja vain jos sen esityksessätranspoosien tulona on pariton määrä transpooseja.

Edellisessä luvussa todettiin, että k-sykli σ =(1 2 ... k

)∈ Sn voidaan

esittää transpoosien tulona seuraavasti:

σ =(1 2 ... k

)=(1 k

) (1 k − 1

)· · ·(1 3

) (1 2

).

Tässä esityksessä transpooseja on k-1 kappaletta ja voidaan suoraan päätellä,että jos k on parillinen, niin k-1 on pariton luku ja k-syklit ovat parittomiapermutaatioita. Vastaavasti, jos k on pariton ,niin k-1 on parillinen ja k-syklitovat parillisia permutaatioita. Syklin pariteetin näkee siis kätevästi suoraansyklin pituudesta/kertaluvusta.

Esimerkki 3.24. 3-syklit σ =(i j k

)ovat parillisia, sillä k=3 on pariton.

6-syklit σ =(1 2 3 4 5 6

)ovat parittomia, sillä k=6 on parillinen.

Kuvauksen F homomor�suudesta voidaan myös päätellä seuraavat "pa-riteetti laskusäännöt":

1) parillinen· parillinen=parillinen

2) parillinen· pariton=pariton

3) pariton· pariton=parillinen.

Esimerkki 3.25. Olkoon

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 84 1 8 5 2 3 7 6

)=(1 4 5 2

) (3 8 6

) (7)

=(1 4 5 2

)︸ ︷︷ ︸pariton

(3 8 6

)︸ ︷︷ ︸parillinen

.

Nyt F (σ) = F ((1 4 5 2

))F ((3 8 6

)) = −1 · 1 = −1

Huomautus 3.26. Symmetrisen ryhmän Sn permutaatio σ on joko paritontai parillinen, mutta ei voi olla molempia.

13

Lause 3.27. Permutaatiolla σ ja sen käänteiskuvauksella σ−1 on sama pa-riteetti.

Todistus. Olkoon σ = α1α2 · · ·αk permutaation esitys transpoosien tulona.

Nyt σ−1 = (α1α2 · · ·αk)−1 (∗)= α−1

k α−1k−1 · · ·α

−11

(∗∗)= αkαk−1 · · ·α1. Joten ku-

vauksilla σ ja σ−1 on sama pariteetti.(∗) = yhdistetyn kuvauksen käänteiskuvaus.(∗∗) = transpoosit ovat itsensä käänteiskuvauksia.

Tiivistettynä tämän kappaleen tärkeimmät tulokset ovat 1) k-sykli onparillinen, jos k on pariton, ja päinvastoin. 2) pariteetti laskusäännöt 3) per-mutaatiolla ja sen käänteiskuvauksella on sama pariteetti.

Tästä onkin hyvä jatkaa eteenpäin permutaatioryhmiin.

14

4 Permutaatioryhmistä ja niiden käytöstä.

Permutaatioilla on myös tiettyjä käytännön soveluksia. Tässä luvussa tarkas-tellaan miten permutaatioryhmä on määritelty ja mitä tarkoittaa permutaa-tioryhmän rata. Lisäksi tutkitaan muutamia soveltavia esimerkkejä, joissahyödynnetään juuri permutaatioryhmän ratoja.

Määritelmä 4.1. Olkoon X = {1, 2, ..., n} ja G ≤ Sn. Aliryhmää G sano-taan antetta n olevaksi permutaatioryhmäksi.

Merkitään lisäksi relaatio (∼): i ∼ j ⇔ on olemassa g ∈ G siten, ettäg(i) = j. Nyt (∼) on ekvivalenssirelaatio joukossa X ja jakaa siis kyseisenjoukon pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Näitä ekvivalenssilokkia voidaanmerkitä T1, T2, ...Tr ja tällöin sanotaan, että ne ovat permutaatioryhmän Gradat joukossa X.

Huomautus 4.2. Seuraavassa pari huomautusta permutaatioryhmän ra-doista.

1) Joukko X = Ti ∪ T2 ∪ ... ∪ Tr voidaan kirjoittaa ratojen unionina jaTi ∩ Tj = ∅, kun i 6= j. Tästä seuraa myös, että n = |X| =

∑ri=1 |Ti|.

2) Alkion i määräämä rata G:ssä Ti = {g(i)|g ∈ G}, missä G siis onpermutaatioryhmä.

3) Jos permutaatioryhmällä on vain yksi rata, sitä kutsutaan transitiivi-seksi.

Esimerkki 4.3. Olkoon N = {1, 2, 3, 4, 5} ja

G = {(1),(1 3

),(2 4 5

),(2 5 4

),(

1 3) (

2 4 5),(1 3

) (2 5 4

)} ≤ S5.

Tällöin T1 = {g(1)|g ∈ G} = {1, 3} = T3 ja T2 = {2, 4, 5} = T4 = T5

15

Määritelmä 4.4. Alkion i stabiloija ryhmässä G on Gi = {g ∈ G| g(i) = i}.

Lause 4.5. Olkoon G permutaatioryhmä, T sen rata ja k ∈ T . Tällöin |T | =[G : Gk].

Todistus. Olkoon G =⋃ri=1 giGk.

1) Jos x ∈ giGk, niin x = gig, missä g ∈ Gk. Tällöin x(k) = gig(k)(∗)=

gi(k).

2) Jos, jollakin h ∈ G h(k) = gi(k), niin g−1i h(k) = k. Joten g−1

i h(k) ∈ Gk

ja h ∈ giGk. Täten siis |{g(k)|g ∈ G}| = |T | = |{giGk| i = 1, ..r}| =[G : Gk].

Huomautus 4.6. Transitiivisessa ryhmässä |G| = |T ||Gk| = |X||Gk|.

Määritelmä 4.7. Merkitään fixX(g) = {i ∈ X|g(i) = i}, missä G onpermutaatioryhmä joukossa X.

Lemma 4.8. (Ei-Burnsiden lemma) Olkoon G permutaatioryhmä joukossaX. Tällöin ryhmän G ratojen lukumäärä joukossa X = 1

|G| ·∑

g∈G |fixX(g)|.

Todistus. Olkoot T1, ...Tr permutaatioryhmän G radat joukon X suhteen.Merkitään Sj = {(i, g) ∈ Tj x G|g(i) = i}. Nyt |Sj| =

∑g∈G |fixTj(g)|

ja toisaalta |Sj| =∑

l∈Tj |Gl|, missä Gl on alkion l ∈ Tj stabiloija. Nyt

|Tj| = |G||Gl|⇔ |Gl| = |G|

|Tj | . Tällöin |Sj| =∑

l∈Tj |Gl| =∑

l∈Tj|G||Tj | = |Tj| ·

|G||Tj | = |G|. Edelleen

∑g∈G |fixX(g)| =

∑rj=1(

∑g∈G |fixTj(g)|) =

∑rj=1 |Sj| =∑r

j=1 |G| = r|G| ⇔ r = |Tj| = 1|G| ·

∑g∈G |fixX(g)|.

16

Esimerkki 4.9. (Kuution tahkojen erilaiset väritykset)Kuution tahkot väritetään käyttäen kolmea väriä. Kuinka monta erilaista

väritystä saadaan? Värityksiä pidetään samoina, jos ne saadaan toisistaankuution kiertojen avulla.

Ratk. Kuution värityksiä on kaiken kaikkiaan 36 = 729 kappaletta. Kuu-tion kierrot muodostaa permutaatioryhmän G, joka permutoi kuution kaik-kien väritysten joukkoa. Tällöin samanlaiset väritykset ovat G:n samalla ra-dalla. On siis määritettävä kuinka monta rataa G:llä on kaikkien väritys-ten joukossa. Merkataan kuution tahkoja ja kulmia seuraavasti: etutahkoT1,vasen sivutahko T2, takatahko T3, oikea sivutahko T4, ylätahko T5 ja ala-tahko T6. Etu vasen ylä-kulma=evy=1, ovy=2, eva=3, eoa=4, tvy=5, toy=6,tva=7, toa=8. Tällöin saadaan:

1) Kierto 90◦ myötäpäivään ylä- ja alatahkon keskipisteiden kautta kulke-van akselin suhteen. R1 =

(T1 T2 T3 T4

) (T5

) (T6

). Tyyppiä R1 ole-

via ratoja on 3 kpl (ylä- ja alatahkoina oleva tahkopari voidaan valitakolmella tavalla).

2) Kierto 180◦ saman akselin suhteen. TällöinR2 = R21 =

(T1 T3

) (T2 T4

) (T5

) (T6

).

Kuten tyyppiä R1, myös tyyppiä R2 olevia kiertoja on 3 kappaletta.

3) Kierto 270◦ saman akselin suhteen. TällöinR3 = R31 =

(T1 T4 T3 T2

) (T5

) (T6

).

Kuten tyyppiä R1, myös tyyppiä R3 olevia kiertoja on 3 kappaletta.

4) Kierto 120◦ kärkien 1 ja 8 määräämän akselin suhteen.R4 =(T1 T5 T2

) (T3 T6 T4

).

(Kulmat siirtyvät 2→ 5,5→ 3, 3→ 2, 6→ 7, 7→ 4, 4→ 6.) TyyppiäR4 olevia kiertoja on 4 kpl, koska akselin määräävä kulmapari voidaanvalita neljällä eri tavalla.

5) Kierto 240◦ saman akselin suhteen.R5 = R24 =

(T1 T2 T5

) (T3 T4 T6

).

(Kulmat siirtyvät 2→ 5,5→ 3, 3→ 2, 6→ 7, 7→ 4, 4→ 6.) Samoinkuin tyyppiä R4 myös tyyppiä R5 olevia kiertoja on 4 kpl.

6) Kierto 180◦ vastakkaisten särmien (esim 3-7 ; 2-6) keskipisteiden kaut-ta kulkevan akselin suhteen. R6 =

(T1 T3

) (T2 T6

) (T4 T5

).Kulmat

siirtyvät seuraavasti: 3↔ 7, 2↔ 6, 1↔ 8, 4↔ 5. Vastakkaisia särmä-pareja on kuusi, joten tyyppiä R6 olevia kiertoja on 6kpl.

17

kiertotyyppi lkmsäilyvien väritys-ten lkm

lisäys lausekkeeseen∑g∈G |fixx(g)|

(i) 1 36 = 729 729R1 3 33 = 27 3 · 33 = 81R2 3 33 = 27 3 · 34 = 243R3 3 33 = 27 3 · 33 = 81R4 4 32 = 9 4 · 9 = 36R5 4 32 = 9 4 · 9 = 36R6 6 33 = 27 6 · 27 = 162∑

g ∈ G|fixx(g)| = 1368

Täten erilaisten väritysten lukumäärä= ryhmän G ratojen lukumäärä=1|G| ·

∑g ∈ G|fixx(g)| = 1

24· 1368 = 57.

Vastaus on siis 57 erilaista väritystä.

Esimerkki 4.10. Tarkastellaan leimauskorttia, joka on 3x3-ruudukko. Teh-dään leima/reikä kahteen ruutuun. Kuinka monta erilaista rei'itystä on mah-dollista tehdä? Rei'ityksiä pidetään samoina, jos ne saadaan toisistaan kiertä-mällä korttia. Merkitään kaikkien rei'itysten joukkoa X:llä. Nyt |X| =

(92

)=

9!2!7!

= 36. Numeroivaan ruudut edeten vasemmasta ylänurkasta oikeaan ala-nurkkaan, ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. Tällöin:

1) 90◦ kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α =(1 3 9 7

) (2 6 8 4

) (5).

2) 180◦ kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α2 =(1 9

) (3 7

) (2 8 6 4

) (5).

3) 270◦ kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α3 =(1 7 9 3

) (2 4 8 6

) (5).

Nyt < α >= {(i), α, α2, α3} on permutaatioryhmä joukon X suhteen jasamat rei'itykset ovat ovat < α >:n samalla radalla tässä joukossa. Tä-ten erilaisten rei'itysten lukumäärä= < α >:n ratojen lukumäärä joukossaX= 1

|<α>| ·∑

g∈<α> |fixX(g)| = 14· (|fixX((i))| + |fixX(α)| + |fixX(α2)| +

|fixX(α3)|) = 14· (36 + 0 + 4 + 0) = 10.

18

Lause 4.11. (Caychy'n lause) Olkoon G äärellinen ryhmä, p alkuluku jap | |G|. Tällöin G:llä on sellainen alkio a, jolle pätee |a| = p.

Todistus. Merkitään X = {(g1, g2, ..., gp) | gi ∈ G, g1g2...gp = 1}. Nyt X 6= ∅,sillä (1, 1, ..., 1) ∈ X. Kuinka monta alkiota joukossa X sitten on? Alkiotg1, ..., gp−1 voidaan valita vapaasti ryhmästä G ja alkio gp valitaan niin, et-tä näiden tuloksi tulee yksi(gp = (g1...gp−1)−1). Tästä saadaan,että |X| =|G|p−1. Määritellään seuraavaksi kuvaus α : X → X, α((g1, g2, ..., gp)) =(g2, g3, ..., gp, g1). Nyt kuvaus α on bijektio, eli se on permutaatio joukon Xsuhteen. Nyt α2((g1, g2, ..., gp)) = (g3, g4, ..., gp, g1g2), ..., αp((g1, g2, ..., gp)) =(g1g2...gp) = (i). Siten |α| = p ja < α > on kertalukua p oleva permutaa-tioryhmä joukossa X. Koska p on alkuluku, niin < α >:n radat sisältävät,joko yhden tai p alkiota. Oletetaan, että yhden kappaleen ratoja on s kap-

paletta ja p alkion ratoja r kappaletta. Täten s · 1 + r · p = |X| = |G|p−1 (∗)=

(pt)p−1 ⇔ s = (pt)p−1 − rp ⇒ p | s. Nyt (1, 1, ..., 1) ∈ X muodostaa yh-den alkion radan, joten s ≥ 1. Koska p ≥ 2,p | s, niin s ≥ 2. Täten onolemassa alkio a = (a, ...a) ∈ X, missä a = (a, ...a) 6= (1, ..., 1). Tällöina..a︸︷︷︸p kpl

= 1⇔ ap = 1⇔ |a| = p.

Tämän luvun sisältämän teorian ydinkohdat ovat permutaatioryhmän jasen radan määritteleminen sekä lausekkeet joiden avulla voidaan laskea ra-tojen lukumäärä ja radan pituus, kun tunnetaan yksi alkio, joka kuuluu ky-seenomaiseen rataan. Ja toki sovellus esimerkit ovat myös luvun yksi pää-kohdista.

19

5 Alternoivasta ryhmästä.

Tässä luvussa keskitytään alternoivan ryhmän määrittelemiseen ja sen omi-naisuuksiin.

5.1 Alternoivan ryhmän An määritteleminen.

Edellisessä luvussa määriteltiin kuvaukset σN ja F . Niiden avulla määritel-lään myös alternoiva ryhmä An seuraavasti:

Määritelmä 5.1. Paria (An, ◦), missä An = {σ ∈ Sn|F (σ) = 1} ja (◦) on ku-vausten yhdistämisoperaatio, kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryh-mäksi. Se sisältää siis kaikki symmetrisen ryhmän Sn parilliset permutaatiotja sitä merkitään jo otsikossakin löytyvällä tavalla An.

Todistetaan vielä, että pari (An, ◦) todella on ryhmä: Olkoon σ, τ, α ∈ An.Nyt

1) στ ∈ An, sillä F (στ) = F (σ)F (τ) = 1 · 1 = 1

2) (στ)α = σ(τα), sillä σ, τ, α ∈ Sn (An ⊂ Sn) ja Sn on ryhmä.

3) i ∈ An, sillä iN = N → F (i) = 1, koska i on identiteettikuvaus eikämuuta kuvausta N mitenkään.

4) josσ ∈ An, niin σ−1 ∈ An, sillä aikaisemmin todettiin kuvauksella jasen käänteiskuvauksella olevan sama paritetti. Lisäksi σ−1 on olemassa,koska σ−1 ∈ Sn.

Nyt kohtien 1), 2), 3) ja 4) nojalla (An, ◦) = An on ryhmä.

Lisäksi huomataan, että jos ρ ∈ Sn ja σ ∈ An, niin ρ−1σρ ∈ An, sillä σ onparillinen ja kuvauksilla ρ−1, ρ on sama pariteetti, joten paritetti laskusään-töjen mukaan tulo ρ−1σρ on parillinen ja kuuluu siten ryhmään An, jossa siistämän nojalla toteutuu normaalisuuskriteeri. Saadaan siis, että alternoivaryhmä An on symmetrisen ryhmän Sn normaali aliryhmä.

Toisessa luvussa pääteltiin, että symmetrisen ryhmän kertaluku |Sn| = n!.Alternoivan ryhmän An kertaluvun määrittelemiseksi täytyy tutkia edellises-sä luvussa määriteltyä kuvausta F hieman tarkemmin.

Tutkittava kuvaus määriteltiin seuraavasti: F : Sn → ({1,−1}, ·),

F (σ) =

{1 , kun σN = N

−1 , kun σN = −N.

20

Samalla todettiin myös, että kaikille σ ∈ Sn pätee, että σN = N tai σN =−N , joten kuvauksen F kuvajoukko im(F ) = {1,−1} ja F on näin ollensurjektio. Lisäksi kuvauksen F ydinKer(F ) = {σ ∈ Sn|F (σ) = 1} = An. Nytkuvaukselle F pätee homomor�smien peruslause, jonka mukaan Im(F ) ∼=Sn/Ker(F ). Eli {1,−1} ∼= Sn/An, josta saadaan ryhmän ominaisuuksien

nojalla |Sn||An| = |{1,−1}| ⇔ n!

|An| = 2⇔ |An| = n!2.

Tämän kappaleen yhteenvetona ollaan siis saatu, että alternoiva ryhmäAn on symmetrisen ryhmän Sn normaali aliryhmä, joka sisältää kaikki Sn:nparilliset permutaatiot ja jonka kertaluku on |Sn|

2.

5.2 Alternoivan ryhmän ominaisuuksia.

Lähdetään seuraavaksi tutkimaan alternoivaa ryhmää tarkemmin. Tämänkappaleen ja koko tutkielman yksi pää tavoitteista on todistaa seuraava tu-los: Kun n ≥ 5, niin alternoiva ryhmä An on yksinkertainen. Ennen kuintähän päästään tutkitaan hieman permutaatioiden konjugointia ja todiste-taan muutama muu ominaisuus alternoivalle ryhmälle An. Lähdetään liikeelletranspooseeja koskevasta lauseesta, jota käytetään myöhemmin hyödyksi.

Lause 5.2. Jos n ≥ 3 ja τ1, τ2 ∈ Sn ovat transpooseja, niin τ1τ2 on 3-syklitai kahden 3-syklin tulo.

Todistus. 1) Olkoon τ1 = τ2, niin τ1τ2 = τ 21 = i =

(1 2 3

) (1 3 2

)2) Jos τ1 6= τ2 ja permutaatioilla yksi yhteinen alkio/elementti, jota ne

siirtää. Tällöin voidaan merkitä, että τ1 =(1 2

)ja τ2 =

(1 3

). Jolloin

τ1τ2 =(1 2

) (1 3

)=(1 3 2

).

3) Olkoon τ1 6= τ2 ja permutaatioilla ei ole yhtään yhteistä alkiota/elementtiä,jota ne siirtävät. Tällöin voidaan merkitä, että τ1 =

(1 2

)ja τ2 =(

3 4). Nyt τ1τ2 =

(1 2

) (3 4

)=(1 4 2

) (1 4 3

)Kohtien 1), 2), 3) nojalla väite on todistettu.

Lause 5.3. 3-syklit generoivat alternoivan ryhmän An, kun n ≥ 3.

Todistus. Olkoon σ ∈ An jokin parillinen permutaatio. Nyt σ voidaan esittäätranspoosien tulona, jossa on parillinen määrä transpooseja. Voidaan kirjoi-taa σ = α1α2 · · ·α2m, m ≥ 1 ∈ Z. Nyt transpoosit voidaan siis jakaa pareihinja edellisen lauseen nojalla jokainen transpoosipari α2i−1α2i, missä 1 ≤ i ≤ mon 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Joten nyt σ on 3-sykli tai jokin korkein-taan 2m:n 3-syklin tulo. Ollaan siis todistettu, että mielivaltainen alternoivanryhmän permutaatio voidaan esittää 3-syklien avulla, mikä tarkoittaa, että3-syklit generoivat altenoivan ryhmän An.

21

Tarkastellaan seuraavaksi permutaatioiden konjugointia ja edetään tutki-maan alternoivaa ryhmää. Ja todistetaan ryhmälle An ominaisuus: 3-syklitkonjugoivat ryhmässä. Määritellään kuitenkin ensin, mitä tarkoitetaan sillä,että kaksi alkiota konjugoivat keskenään.

Määritelmä 5.4. Olkoon G ryhmä sekä x, y ∈ G. Jos on olemassa a ∈ G,jolle a−1xa = y, niin x ja y konjugoivat G:ssä.

Seuraavassa esimerkki kahdesta permutaatiosta, jotka konjugoivat. Nytσ =

(2 5 6

)ja τ =

(3 4 1

)konjugoivat ryhmässä S6, sillä(

1 2 3 5 4 6)−1︸ ︷︷ ︸

∈Sn

(3 4 1

) (1 2 3 5 4 6

)︸ ︷︷ ︸∈Sn

=(2 5 6

).

Lause 5.5. Konjugointikuvaus K : Sn → Sn, K(x) = ρ−1xρ, ρ ∈ Sn onhomomor�smi.

Todistus. NytK(στ) = ρ−1στρ = ρ−1σ(ρρ−1)τρ = (ρ−1σρ)(ρ−1τρ) = K(σ)K(τ),joten kuvaus K on ryhmähomomor�smi.

Lause 5.6. k-syklin konjugaatti on k-sykli.

Todistus. Olkoon α =(a1 a2 ... ak

)∈ Sn, β ∈ Sn ja lisäksi

1) Olkoon x ∈ Sn sellainen, että β(x) /∈ {a1, a2, ..., ak}. Nyt β−1αβ(x) =β−1α(β(x)) = β−1(β(x)) = x, eli β−1αβ(x) ei siirrä alkiota x.

2) Olkoon sitten x ∈ Sn sellainen, että β(x) ∈ {a1, a2, ..., ak}. Nyt

β−1αβ(x) = β−1α(β(x))merk.β(x)=ar

= β−1α(ar) =

{β−1(ar+1) , kun 1 ≤ r ≤ k − 1

β−1(a1) , kun r = k.

Kohdat 1) ja 2) yhdistämällä saadaan, että

β−1αβ =(β−1(a2) β−1(a3) ... β−1(ak) β−1(a1)

)=(β−1(a1) β−1(a2) ... β−1(ak)

).

Joka on k-sykli.

Esimerkki 5.7. Edellisen esimerkin permutaation τ =(3 4 1

)konjugaat-

ti σ =(2 5 6

)on 3-sykli, samoin kuin τ itse.

22

Pohditaan seuraavaksi, miten saadaan selville konjugoivatko, jotkin kaksiannettua permutaatiota. Väitetään, että kaksi permutaatiota konjugoivat, josja vain jos niillä on sama syklirakenne. Samalla syklirakenteella tarkoitetaanseuraavaa:

Määritelmä 5.8. kahdella syklillä σ, τ ∈ Sn on sama syklirakenne, jos niidenesitykset erillisten syklien tulona vastaavat toisiaan kun otetaan huomioonsyklien pituudet ja lukumäärät.

Esimerkki 5.9. Sykleillä

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 85 4 8 2 7 6 1 3

)=(1 5 7

) (2 4

) (3 8

)ja

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 86 7 2 5 4 1 3 8

)=(1 6

) (2 7 3

) (4 5

)on sama syklirakenne.

Lause 5.10. Kaksi sykliä σ, τ ∈ Sn konjugoivat, jos ja vain jos niillä onsama syklirakenne.

Todistus. ”⇒ ” Olkoon σ = α1α2 · · ·αk permutaation esitys erillisten syklientulona ja τ = ρ−1σρ, ρ ∈ Sn eräs permutaation σ konjugaatti. Nyt

τ = ρ−1σρ = ρ−1(α1α2 · · ·αk)ρ = ρ−1α1(ρρ−1)α2(ρρ−1) · · · (ρρ−1)αkρ

= (ρ−1α1ρ)︸ ︷︷ ︸α1:nkonjugaatti

(ρ−1α2ρ) · · · (ρ−1αkρ) = α′1α′2 · · ·α′k

ja sykleillä σ, τ on sama syklirakenne, sillä k-syklin konjugaatti on k-sykli.

” ⇐ ” Olkoon σ =(a1 a2 ... ak1

) (b1 b2 ... bk2

)· · ·(x1 x2 ... xkr

)ja

τ =(α1 α2 ... αk1

) (β1 β2 ... βk2

)· · ·(χ1 χ2 ... χkr

)kaksi symmetrisen ryhmän Sn permutaatiota, joilla on sama syklirakenne.Nyt, jos

ρ =

(a1 a2 ... ak1 b1 b2 ... bk2 x1 x2 ... xkrα1 α2 ... αk1 β1 β2 ... βk2 χ1 χ2 ... χkr

)∈ Sn

, niin ρ−1τρ = σ ja τ ja σ konjugoivat.

23

Katsotaan edellä olevan permutaation ρ valinnan tueksi, miten ρ−1τρkuvaa alkion a1. Nyt ρ

−1τρ(a1) = ρ−1τ(ρ(a1)) = ρ−1τ(α1) = ρ−1(α2) = a2 =σ(a1).

Määritelmä 5.11. Kokonaisluvun n jaotuksella tarkoitetaan luvun n esi-tystä kokonaislukujen summana seuraavasti: n = n1 + n2 + ... + nk, missä0 ≤ n1 ≤ n2 ≤ ... ≤ nk ≤ n ja ni, 1 ≤ i ≤ k ovat kokonaislukuja.

Lause 5.12. Konjugointiluokkien lukumäärä symmetrisessä ryhmässä Sn onsamalla myös kokonaisluvun n jaotuksien lukumäärä.

Todistus. Nyt kaksi sykliä konjugoivat jos ja vain jos niillä on sama sykli-rakenne, joten konjugointi luokkien lukumäärä ryhmässä Sn on myös ryh-mässä Sn olevien erilaisten syklirakenteiden lukumäärä. Koska symmetri-sen ryhmän permutaatiot kuvaavat alkioita 1, 2, ..., n, niin erilaiset syklira-kenteet voidaan samaistaa kokonaisluvun n jaotuksiksi seuraavasti: Olkoonσ = α1α2 · · ·αk ∈ Sn permutaation esitys erillisten syklien tulona ja ri syklinαi, 1 ≤ i ≤ k kertaluku. Samaistetaan tämä syklirakenne jaotukseksi

n = 1 + 1 + ..+ 1︸ ︷︷ ︸(n−Σ1≤i≤kri)kpl

+Σ1≤i≤kri,

missä kokonaisluvut ri ovat suuruusjärjestyksessä ja kirjoittamattomat 1-syklit on "luettu"kokonaisluvuksi 1 ja lisätty summaan. Näin ollen kokonais-luvun n jaotusten lukumäärä = Sn:n erilaisten sykliesitysten lukumäärä =Sn:n konjugointiluokkien lukumäärä.

Esimerkki 5.13. Nyt

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 85 4 8 2 7 6 1 3

)=(1 5 7

) (2 4

) (3 8

)∈ S8

voidaan samaistaan kokonaisluvun 8 jaotukseen 8 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3

Lause 5.14. Jos n ≥ 5, niin 3-syklit konjugoivat alternoivassa ryhmässä An.

Todistus. Olkoon σ1 ja s2 kaksi 3-sykliä Sn:ssä. Nyt ne konjugoivat ryhmässäSn ja voidaan kirjoittaa σ1 =

(1 2 3

)ja σ2 = ρ

(1 2 3

)ρ−1, jollakin

ρ ∈ Sn. Jos ρ on pariton, niin τ = ρ(4 5

)∈ An on parillinen. Tällöin

τσ1τ−1 = τ

(1 2 3

)τ−1 = ρ

(4 5

) (1 2 3

) (4 5

)−1ρ−1 = ρ

(1 2 3

)ρ−1 = σ2

, eli σ1 ja σ2 konjugoivat myös alternoivassa ryhmässä An.

24

Lause 5.15. Jos n ≥ 5, niin symmetrisen ryhmän Sn ainoa ei-triviaali nor-maali aliryhmä on alternoiva ryhmä An.

Todistus. Olkoon N symmetrisen ryhmän Sn normaali aliryhmä, joka on ei-triviaali. Eli N 6= {i} ja N 6= Sn. Olkoon sitten σ 6= i ∈ N . Nyt Sn:n keskuson {i} ja transpoosit generoivat ryhmän Sn, joten on olemassa transpoo-si τ ∈ Sn siten, että στ 6= τσ. Aiemmin todistettiin, että k-syklin kon-jugaatti on myös k-sykli, joten τ1 = στσ−1 on myös transpoosi. Tällöinττ1 = τστσ−1 = (τστ)σ−1 = (τστ−1)σ−1 6= i on normaaliuskriteerin no-jalla myös joukossa N . Nyt joukko N sisältää siis elementin, joka on kahdentranspoosin tulo. Lauseen (4.2) nojalla voidaan todeta: 1) Jos transpooseillaτ ja τ1 on yksi yhteinen elementti, niin ττ1 on 3-sykli. Täten joukko N sisäl-tää 3-syklin ja koska 3-syklit konjugoivat joukossa Sn ja N on sen normaalialiryhmä, niin joukko N sisältää kaikki 3-syklit. Tästä taas voidaan päätellä,että An ⊂ N , sillä 3-syklit generoivat ryhmän An. 2) Jos transpooseilla τ ja τ1

on yksi yhteinen elementti, niin voidaan merkitä τ =(1 2

)ja τ1 =

(3 4

)ja tiedetään ττ1 =

(1 2

) (3 4

)∈ N . Koska n ≥ 5, niin

(1 5

)∈ Sn ja

tällöin(1 5

) (1 2

) (3 4

)︸ ︷︷ ︸∈N

(1 5

)−1=(2 5

) (3 4

)∈ N , sillä N on Sn:n

normaali aliryhmä. Tästä saadaan edelleen N :n normaaliuden nojalla, että(1 2

) (3 4

)︸ ︷︷ ︸∈N

(2 5

) (3 4

)︸ ︷︷ ︸∈N

∈ N . Joukko N sisältää siis tässäkin tapauksessa

3-syklin ja normaaliuden nojalla kaikki 3-syklit kuuluvat sinne. Tällöin päteeAn ⊂ N .

Koska symmetrisellä ryhmällä Sn ei ole aliryhmiä, joiden kertalu olisialternoivan ryhmän kertaluvun |An| ja symmetrisen ryhmän kertaluvun |Sn|välissä, niin täytyy olla, että N = An ja väite on tosi.

Lause 5.16. A5 on kertalukua 60 oleva yksinkertainen ryhmä.

Todistus. Oletetaan, että An ei ole yksinkertainen. Tällöin on olemassa sel-lainen ryhmän A5 normaali aliryhmä N , jolle pätee |{i}| < |N | < |A5| ja |N |on pienin mahdollinen. Olkoon sitten T = {σ ∈ Sn|σNσ−1 ⊂ N} merkintäaliryhmän N normalisoijalle ryhmässä S5. Koska N on normaali aliryhmäryhmässä A5, niin normalisoijan ehto toteutuu kaikilla σ ∈ A5. Eli A5 ⊂ Tja koska lisäksi T ≤ Sn, niin täytyy olla joko T = A5 tai T = S5. Jos T = S5,niin se tarkoittaisi, että N olisi normaali aliryhmä myös joukossa Sn, mi-kä on edellisen lauseen nojalla ristiriita. Täytyy siis olla T = A5. Tällöin

25

(1 2

)/∈ T = A5 ja näin ollen M

merk.=

(1 2

)N(1 2

)−1 6= N . Nyt

σMσ−1 = σ(1 2

)N(1 2

)−1σ−1

=(1 2

)[(1 2

)−1σ(1 2

)︸ ︷︷ ︸∈A5=T

N(1 2

)−1σ−1

(1 2

)︸ ︷︷ ︸∈A5=T

](1 2

)−1

NnormaaliA5:ss=

(1 2

)N(1 2

)−1

Siis myös M on ryhmän A5 normaali aliryhmä ja aliryhmien ominaisuuksis-ta voidaan suoraan päätellä, että myös M ∩ N = {a|a ∈ M ja a ∈ N} jaMN = {mn|m ∈ M ja n ∈ N} ovat ryhmän A5 normaaleja aliryhmiä. Nyt

M =(1 2

)N(1 2

)−1 6= N , joten myösM∩N 6= N . Tällöin |M∩N | < |N |ja koska N valittiin minimaaliseksi normaaliksi aliryhmäksi ryhmässä A5,

niin täytyy olla M ∩ N = {(i)} Tutkimalla joukkoa(1 2

)MN

(1 2

)−1=(

1 2)M(1 2

)−1︸ ︷︷ ︸=N

(1 2

)N(1 2

)−1︸ ︷︷ ︸=M

= NMN,Mnormaaleja

= MN huomataan,

että(1 2

)kuuluu joukon MN normalisoijaan joukossa S5. Koska normali-

soija on S5:n aliryhmä, sekä A5 ja(1 2

)kuuluvat normalisoijaan, täytyy olla

MN = A5. Tutkitaan seuraavaksi ryhmän MN kertalukua. Tiedetään, että|M | = |N | (k-syklin konjugaatti on k-sykli) jaMN = A5 sekäM∩N = {(i)}.Nämä yhdistämällä voidaan päätellä, että |N |2 = |MN | = |A5| = 60, mikäei voi pitää paikkaansa, sillä 60 ei ole minkään kokonaisluvun neliö. Tätenvastaoletus on siis väärä ja väite tosi.

Edellä esitetty todistus on esitetty I.N Hersteinin kirjassa Abstract Al-gebra s. 219. Algebra II kurssin luentomuistiinpanoissa on toisenlainen ver-sio todistuksesta. Tämä versio on mielestäni selkeämpi, joten haluan esittäämyös sen tässä.

Todistus. Oletetaan, että N on alternoivan ryhmän A5 normaali aliryhmäja N 6= {(i)}. Tällöin on olemassa σ ∈ N , σ 6= (i). Nyt koska N = 5, niinσ =

(1 2 3

), σ =

(1 2

) (3 4

)tai σ =

(1 2 3 4

). Tutkitaan tilanne

näissä jokaisessa tapauksessa erikseen.

1) Olkoon σ =(1 2 3

). Nyt permutaation σ konjugaatti ασα−1, α ∈ A5

on 3-sykli ja kuuluu ryhmän N normaliuden nojalla joukkoon N . Onsiis osoitettu, että normaali aliryhmä N sisältää 3-syklin, koska 3-syklitkonjugoivat ryhmässä A5, niin kaikki 3-syklit kuuluvat joukkoon N .Lisäksi 3-syklit generoivat ryhmän A5, joten A5 ⊂ N . Nyt N ⊆ A5 jaA5 ⊆ N , joten täytyy olla N = A5.

26

2) Olkoon σ =(1 2

) (3 4

). Nyt τ =

(3 5

) (1 2

)∈ A5 ja τστ−1 ∈ N .

Täten τ−1στσ =(3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

) (3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

)=(

3 5 4)∈ N . Päädytään siis 1)-kohdan tilanteeseen, jossa joukko N

sisältää 3-syklin. Kuten 1)-kohdassakin, voidaan päätellä, että N = A5.

3) Olkoon σ =(1 2 3 4

)ja τ =

(1 2 3

)∈ A5. Nyt τ

−1στ ∈ N jaτ−1στσ−1 =

(1 2 3

) (1 2 3 4

) (1 2 3

) (1 2 3 4

)=(1 3 4

)∈

N . Saadaan siis tässäkin tapauksessa, että N sisältää 3-syklin ja 1)-kohdan nojalla N = A5. Kohdat 1), 2) ja 3) yhdistämällä ollaan siissaatu: N on normaali aliryhmä A5:ssä⇔ N = {(i)} tai N = A5. JotenA5 on yksinkertainen.

Edellisen todistuksen mekaanisissa laskuissa on hypätty monta välivai-hetta pois, jotta todistus pysyisi selkeänä. Katsotaan tässä todistuksen jäl-keen toinen näistä laskuista välivaiheineen, jotta laskut eivät jää epäselviksi.Toinen laskuista menee vastaavasti.

τ−1στσ = ((3 5

) (1 2

))−1(1 2

) (3 4

) (3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

)=(1 2

)−1 (3 5

)−1 (1 2

) (3 4

) (3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

)=(1 2

) (3 5

) (1 2

) (3 4

) (3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

)=(3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

) (3 5

) (1 2

) (1 2

) (3 4

)=(3 5 4

)Lause 5.17. Alternoiva ryhmä A6 on yksinkertainen.

Todistus. Aiemmin todistettiin, että alternoiva ryhmä A5 on yksinkertainen.Todistuksessa tehtiin vastaoletus. Joka päättyi ristiriitaan, missä alternoivanryhmän A5 kertaluku |A5| = 5!

2= 60 pitäisi olla jonkin kokonaisluvun ne-

liö N2. Samaa päättelyä voidaan käyttää myös A6:n tapauksessa. Myöskään|A6| = 6!

2= 360 ei ole minkään kokonaisluvun neliö, joten A6 on yksinkertai-

nen.

27

Lause 5.18. Alternoiva ryhmä An on yksinkertainen, kun n ≥ 5

Todistus. Aiemmin todistettiin tapaus n=5, joten jatkossa voidaan olettaan ≥ 6. Olkoon sitten N 6= {(i)} ryhmän An normaali aliryhmä. Tällöin onsiis olemassa σ 6= (i) ∈ N ⊆ An. Lisäksi alternoivan ryhmän keskus Z(An) ={(i)}, kun n > 3 ja 3-syklit generoivat ryhmän An, joten on olemassa 3-sykliτ , jolle pätee στ 6= τσ (Lause (2.14)). Tällöin στσ−1τ−1 6= (i). Lisäksi koskaN on normaali aliryhmä ryhmässä An, niin στσ

−1τ−1 ∈ N . Nyt koska τ on 3-sykli, niin sen konjugaatti στσ−1 ja käänteiskuvaus τ−1 ja στσ−1τ−1 6= (i) ∈N on kahden 3-syklin tulo. Tämä tulo siirtää korkeintaan kuutta alkiota,joten voidaan ajatella, että στσ−1τ−1 6= (i) ∈ H ∼= A6 ⊂ An Täten N ∩H 6= (i) ja esitietoja käsittelevässä kappaleessa olevan lauseen (2.15) nojallaN ∩H 6= (i) ryhmän A6 normaali aliryhmä. Koska A6 on yksinkertainen niintäytyy olla N ∩ H = H. Koska 3-syklit generoivat ryhmän H ∼= A6, niinjoukon N täytyy myös sisältää 3-sykli. Aiemmin todistettiin, että 3-syklitgonjugoivat ryhmässä Sn ja koska N on normaali An:ssä, niin se sisältääkaikki 3-syklit ja näin ollen N = An (3-syklit generoivat An:n)ja väite ontodistettu.

28

6 Yhteenveto ja loppusanat.

Tämän tutkielman aikana on käyty läpi ryhmäteorian perusteita ja permu-taatioilla laskemista sekä niiden ominaisuuksia ja vähän sovelluksiakin. Ko-konaisuudessaan siis melko laaja katsaus ryhmäteorian ja permutaatioidenmaailman ytimeen.

Esitietoja käsittelevässä kappaleessa on kerätty yhteen tärkeimmät asiataivan ryhmäteorian alkeista, mutta esimerkkejä ei pahemmin ole ja osan pe-rusteluistakin jätin pois. Tämä siksi, että tutkielman fokus pysyisi paremminsen ytimessä. Tämän kappaleen teoriasta ja muusta esimerkkeineen saisi ai-van oman minitutkielman, jos lähtisi tarkasti käymään läpi.

Kolmannessa luvussa käydään läpi perustietoja permutaatioista. Tär-keimpinä voisi mainita ainakin kuvausten sykliesityksen ja sykleillä laskemi-sen ja laskusäännöt. Sekä permutaatioiden esityksen erillisten syklien tulo-na ja pariteetin päättelyn + pariteettilaskusäännöt. Pyrin laittamaan paljonesimerkkejä tähän kappaleeseen, jotta lukija saisi harjoitusta ja ymmärrystäsiitä, miten laskeminen tapahtuu käytännössä. Esimerkit kannattaakin käydäläpi, niin että lukee tehtävänannon ja laskee sitten itse paperille ja tarkistaavastauksen.

Neljännessä luvussa käsitellään permutaatioiden sovelluksia ja käyttöä.Kappaleen teoria menee vähän syvemmälle aiheeseen ja on astetta vaati-vampaa. Päälimmäisenä tästä kappaleesta olisi varmaan hyvä jäädä mieleenpermutaatioryhmä ja sen rata, sekä se miten ratojen lukumäärä tietyssä jou-kossa ja radan pituus(kun tiedetään yksi alkio, joka kuuluu ko. rataan) voi-daan laskea. Ja tietenkin myös se, että käytäntöön permutaatioita ja ratojavoidaan soveltaa tapauksissa, jossa pitää ottaa huomioon kappaleen kierrot.

Viimeisessä luvussa palataan taas enemmän ryhmäteorian pariin ja läh-detään tarkastelemaan alternoivaa ryhmää. Liikkeelle lähdetään aivan alusta,eli määritelmästä ja edetään konjugoinnin kautta todistamaan muutama omi-naisuus alternoivalle ryhmälle. Kappaleen päätulos on sen viimeinen lause,jonka väite on: Kun n ≥ 5, niin alternoiva ryhmä An on yksinkertainen.

29

Viitteet

[1] I.N. Herstein: Abstract Algebra, Prentice-Hall,1996

[2] M. Niemenmaa ; K. Myllylä ; J-M. Tirilä: Algebra 1, luentorunko, Oulunyliopisto, 2010

[3] K. Myllylä ; Algebra 1, luennot ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, kevät2010

[4] M. Niemenmaa ; Algebra 2, luennot ja muistiinpanot, Oulun yliopisto,kevät 2011

30