persamaan diophantine - · pdf filepersamaan diophantine terdiri dari persamaan diophantine...

http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/
http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-diophantine/ 1
PERSAMAAN DIOPHANTINE
A. Pendahuluan
Persamaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine Linier dan persamaan
Diophantine non-Linier.persamaan ini pertama kali ditulis oleh Diophantus (250 M)
didalam bukunya yang berjudul Aritmathica dan buku ini dikenal sebagai buku
aljabar yang pertama kali.
B. Persamaan Diophantine Linier
Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua variable,pada
umumnya dinyatakan dengan ax + by = c
Dengan a,b,c z
Dalil.7.1
Ditentukan a,b,c Z dan d = ( a,b)
a. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian .
b. Jika ( a,b) / c maka persamaan ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang
tak hingga banyaknya,yaitu pasangan ( x,y) dengan :
x = xo + (b/d )n dan y = yo ( a/d)n
Dengan n Z dan (xo ,yo ) adalah suatu penyelesaian bulat
Contoh soal 7.1
Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine berikut :
a. 4x +5y = 10
b. 9x +12y =21
c. 4x + 6y = 7

Jawab :
a. (4,5 ) = 1 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .
Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (4,5 ) = 1 maka tentu ada x1,y1
Z sehingga 4 x1,+ 5 y1 = 1
Karena 5 = 1.4 + 1 atau 4 (-1) + 5 ( 1) = 1, maka x1= -1 ,y1 = -1
4 (-1) + 5 ( 1) = 1
10 [ 4 (-1) + 5 ( 1)] = 10 .1
4 (-10) + 5 ( 10) = 10 ( ingat 4x +5y = 10 )
Jadi : xo = -10 dan ,yo = 10
Penyelesaian Persamaan adalah
x = -10 + 5k dan
y = 10- 4k dengan k Z
b. ( 9,12 ) = 3 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .
Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (9,12 ) = 3 maka tentu ada x1,y1
Z sehingga 9 x1,+ 12 y1 = 3
Karena 12 = 1.9 + 3 atau 9 (-1) + 12 ( 1) = 3, maka x1= -1 ,y1 = -1
9 (-1) + 12 ( 1) = 3
7 [ 9 (-1) + 12 ( 1)] = 7 .3
9 (-7) + 12 ( 7) = 21 ( ingat 9x +12y = 21 )
Jadi : xo = -7 dan ,yo = 7
Penyelesaian Persamaan adalah
x = xo + (b/d )t
= -7 + ( 12 /3 ) t
= -7 + 4t , dengan t Z
y = yo ( a/d)t
= 7 (9 / 3)t
= 7 -3t , dengan t Z
c. ( 4,6 ) = 2 , 2 7 ,persamaan tak mempunyai penyelesaian .

1. CARA REDUKSI
Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine Linier adalah
mereduksikoefisien ( bukan variabel ) melalui pembagian berulang ( serupa dengan
pembagian Algoritma ) sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan .
Contoh soal 7.2
a. selesaikan 4x + 5y = 10 dengan cara reduksi .
jawab :
4x + 5y = 10 4x = 10 -5y
4
510 yx
x = 4
248 yy
x = 4
2
4
48 yy
x = 4
2)22(
yy
ambil t =4
2 y atau 2-y = 4t atau y = 2 -4t dari y = 2- 4t diperoleh :
x = 4
2)22(
yy
= 2- (2 -4t) + 4
)42(2 t
= 4t + t
= 5t
Penyelesaian persamaan adalah :
x = 0 +5t
y = 2 - 4t

jika dibandingkan dengan penyelesaian pada contoh didepan maka hasil yang diperoleh
nampak berbeda,sebetulnya dua jawaban itu sama
x = -10 + 5k
= 5 (-2 + k )
= 5t dengan t = -2 + k atau k = t + 2
y = 10- 4k
= 10 -4 ( t + 2 )
=10 4t 8
= 2 4t
Contoh soal 7.3
Selesaikan 3x + 8y = 11 dengan cara reduksi
Jawab :
3x + 8y = 11 3x = 11 -8y
3
811 yx
x = 3
2269 yy
x = 3
22
3
69 yy
x = 3
22)23(
yy
ambil t =3
22 y atau 2-2y = 3t atau
2
32 ty
2
22 tty
dari
2)1(
tty
ut
u 22
t = 2u y = ( 1- 2u) 4
= 1-3u

x = 3-2y + t
= 3- 2( 1-3u ) + 2u
=1+8u
Penyelesaian persamaan adalah :
x = 1+8u dan y = 1- 3u
Contoh 7.4
selesaikan x + 2 y + 3 z = 1 dengan cara reduksi
jawab :
x + 2y + 3z = 1 2y = - x 3z + 1
y = 2
13 zx
y = 2
1
zxz
t =2
1 zx
2t = - x z + 1
Z = -x 2t + 1
u = x 2t + 1 x = - u + 2t +1
z = x 2t + 1 z = u
y = - z + t y = -u + t
penyelesaian perrsamaan adalah :
x = - u + 2t +1
y = -u + t
z = u

sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat diketahui
nilai- nilai ( x + 2y + 3z ) sebagai berikut :
u t x 2y 3z x + 2y + 3z
1 1 -2 0 3 1
2 1 -3 -2 6 1
2 3 -7 2 6 1
Dari tabel nilai diatas dapat diketahui bahwa beberapa triple ( x ,y,z) yang memenuhi
persamaan adalah ( -2 ,0,3), (-3 ,-2 ,6) ,(-7,2,6)
2.CARA KONGRUENSI
Contoh soal :
Selesaikan persamaan-persamaan Diophantine linier berikut dengan cara kongruensi
a. 2x + 5y = 11
b. 2x + 3y + 7z = 15
c. 6x + 15y = 8
d. 35x + 14y = 91
Jawaban a)
2x +5y = 11 5y = 11- 2x
5y 11 (mod 2)
y 1 (mod 2)
y 1 (mod 2) y = 1 + 2t
2x +5y = 11 2x = 11 5y
2x = 11 5 ( 1 + 2t )
2x = 11 -5 -10t
x = 3 5t

Penyelesaian kongruensi adalah
x = 3 5t dan y = 1 + 2t
sekedar pengecekan ,dengan mengambil beberapa pasangan nilai u dan t dapat
diketahui nilai- nilai (2x + 5y) sebagai berikut :
t x y 2x 5y 2x + 5y
1 2 1 4 5 11
2 -7 5 -14 25 11
4 -17 9 -34 45 11
Jawaban b)
2x +3y + 7z = 15 3y + 7z = 15- 2x
3y + 7z 15 (mod 2)
y + z 1 (mod 2)
y (1- z) (mod 2)
Ambil z = t ,maka y (1- z) + 2u = (1- t) + 2u
y = 2u t + 1
2x +3y + 7z = 15 2x = 15 -3y 7z
= 15 -6u + 3t -3 7t
=-6u -4t + 12
x = 3u -2t + 6
Penyelesaian kongruensi adalah
x = 3u -2t + 6 dan y = 2u t + 1

http://muhammadalfaridzi.wordpress.com/2014/06/07/persamaan-dio

persamaan diophantine - · pdf filepersamaan diophantine terdiri dari persamaan diophantine...

Documents