Persamaan Maxwell

1.1 The Displacement Current Jika kawat pembawa arus memiliki simetri tertentu, medan magnet dapat diperoleh menggunakan hukum Ampere: (1.1.1) Persamaan menyatakan bahwa integral garis dari medan magnet di sekitar lup tertutup sembarang sama dengan dimana adalah arus konduksi yang mengalir pada permukaan yang dibatasi oleh lintasan tertutup. Sebagai tambahan, sebagai konsekuensi hukum induksi Faraday, perubahan medan magnet dapat menghasilkan medan listrik: (1.1.2) Sebaliknya, perubahan medan listrik dapat menghasilkan medan magnet, dan suku kanan Eq. (1.1.1) harus dimodifikasi untuk merefleksikan simetri antara E dan B. Untuk memperlihatkan bagaimana medan magnet dapat dihasilkan dengan medan listrik yang berubah terhadap waktu, kita fikirkan kapasitor yang sedang di-charge. Selama proses charging, intensitas medan listrik bertambah terhadap waktu dan lebih banyak muatan terakumulasi pada pelat. Arus konduksi pembawa muatan juga menghasilkan medan magnet. Untuk menerapkan hukum Ampere menghitung medan ini, dipilih kurva C seperti Figure 1.1.1 sebagai lup Amperian.

gambar 1.1.1 Permukaan S1 dan S2 dibatasi oleh kurva CJika permukaan S1 yang dibatasi oleh permukaan datar, maka arus yang dilingkup adalah Ienc=I . Bila kita memilih S2 menjadi permukaan yang dibatasi oleh kurva, maka Ienc = 0 karena tidak ada arus yang lewat. Sehingga terdapat kontradiksi dalam memilih permukaan yang dilingkup kurva C secara tepat. Maxwell menyelesaikan masalah ini dengan menambahkan pada bagian kanan hukum Ampere suku tambahan: (1.1.3) yang disebut displacement current. Suku ini menyatakan perubahan fluks listrik. Sehingga hukum Ampere (atau Ampere-Maxwell) menjadi (1.1.4) Asal displacement current dapat dipahami sebagai berikut:

Figure 2.1.2 Displacement through S2Pada Figure 1.1.2, fluks listrik melewati S2 diberikan dengan persamaan (1.1.5) Dimana A adalah luas pelat kapasitor. Dari Eq. (1.1.3), displacement current berhubungan dengan laju pertambahan muatan pada pelat (1.1.6) Meskipun demikian, suku pada sisi kanan sama dengan arus konduksi, I. Sehingga, disimpulkan bahwa arus konduksi melalui S1 secara detil sama dengan displacement current yang melewati S2, I = Id. Dengan hukum Ampere-Maxwell, kontradiksi dalam pemilihan permukaan yang dibatasi lup Amperian dapat diatasi. 2.2 Gausss Law for Magnetism Hukum Gauss untuk magnetika Hukum Gauss untuk elektrostatika menyatakan bahwa fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan muatan yang dilingkupi (Figure 1.2.1a). Garis medan listrik berasal dari muatan positif dan berakhir di muatan negative. Untuk kesetaraan magnetik akan ada yang menulis (1.2.1) dimana adalah muatan magnetic (monopole) yang dilingkupi permukaan Gaussian. Akan tetapi monopole magnetic yang terisolasi tidak pernah ditemukan. Sehingga dan hukum Gauss untuk magnetika menjadi (1.2.2) Hal ini berimplikasi bahwa jumlah garis medan magnet yang memasuki permukaan tertutup sama dengan jumlah garis medan yang meninggalkan permukaan. Ini berarti tidak ada sumber. Garis harus kontinyu tanpa awal dan titik akhir. Dalam kenyataannya, sebagaimana pada Figure 1.2.1(b) untuk batangan magnet, garis medan yang berasal dari kutub utara ke kutub utara di luar magnet kembali lagi di dalam magnet dan membentuk lup tertutup.

gambar 1.2.1 persamaan gauss elektrostatis dan persamaan gauss magnetis1.3 Persamaan Maxwell Empat persamaan yang membentuk dasar fenomena elektromagnetika:HukumPersamaanInterpretasi fisis

Gauss law for Fluks listrik melalui suatu permukaan tertutup sebanding dengan muatan yang dilingkupi.

faradays lawPerubahan fluks magnetik menghasilkan medan listrik

Gauss law for Fluks magnetik total melalui suatu permukaan tertutup adalah nol

Ampere-Maxwell lawArus listrik dan perubahan fluks listrik menghasilkan medan magnet

Semuanya dikenal sebagai persamaan Maxwell. Dapat pula ditulis dapat bentuk diferensial:

SumberTanpa keberadaan sumberQ = 0 , I = 0

dimana dan adalah muatan bebas dan densitas arus konduksi. Konsekuensi penting persamaan Maxwell, seperti akan dilihat, adalah prediksi keberadaan gelombang elektromagnetik yang berjalan dengan kecepatan cahaya . Alasannya adalah karena fakta bahwa perubahan medan listrik menghasilkan medan magnet dan sebaliknya, dan kapling antara kedua medan membawa pada terbentuknya gelombang elektromagnetik. Prediksi ini dikonfirmasi oleh H. Hertz pada 1887. 1.4 Plane Electromagnetic Waves Untuk mengamati sifat gelombang elektromagnetik, fikirkan gelombang elektromagnetik yang merambat pada arah +x, dengan medan listrik E mengarah ke arah +y dan medan magnet B pada arah +z, seperti ditunjukkan 2.4.1 di bawah. Yang dibahas di sini adalah gelombang bidang dimana E dan B uniform pada setiap bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatan. Gelombang adalah transversal karena kedua gelombang tegak lurus terhadap arah rambah, yang menuju ke arah perkalian silang E x B.

Figure 1.4.1 A plane electromagnetic waveMenggunakan persamaan Maxwell akan diperoleh hubungan antara besar medan. Untuk ini, fikirkan lup persegi pada bidang xy, seperti pada Figure 2.4.2. Diketahui vektor satuan normal terhadap lup pada arah positif z, .

Figure 1.4.2 Spatial variation of the electric field Figure 1.4.3 Spatial variation of the magnetic field

Menggunakan hukum Faraday (2.4.1) Sisi kiri dapat dituliskan dengan (1.4.2) Dimana perluasannya dapat dibuat (1.4.3) Di sisi lain, laju perubahan fluks magnetic pada sisi kanan diberikan dengan(1.4.4) Menyamakan kedua persamaan dan dibagi dengan luas menghasilkan (1.4.5) Syarat kedua pada hubungan antara medan listrik dan magnet dapat dideduksi menggunakan persamaan Ampere-Maxwell: (1.4.6)