pert-07 aljabar boolean, k-map, dan mev bag-1 20110205
DESCRIPTION
bookTRANSCRIPT
CS2624CS2624 COMPUTERCOMPUTERCS2624 CS2624 -- COMPUTER COMPUTER ORGANIZATION & ARCHITECTURE ORGANIZATION & ARCHITECTURE
(COA)(COA)(COA)(COA)
ALJABAR BOOLEAN,ALJABAR BOOLEAN,,,KK--MAP, DAN MEVMAP, DAN MEV
b i 1b i 1bagian 1bagian 1
Februari 2011
Pokok BahasanPokok BahasanPokok BahasanPokok Bahasan
•• Fungsi BooleanFungsi Boolean•• Prinsip dualitasPrinsip dualitas•• Prinsip dualitasPrinsip dualitas•• Konversi fungsi BooleanKonversi fungsi BooleanKonversi fungsi BooleanKonversi fungsi Boolean•• Bentuk standar/kanonikBentuk standar/kanonik•• Penyederhanaan fungsi Boolean:Penyederhanaan fungsi Boolean:
Dengan aljabarDengan aljabar–– Dengan aljabarDengan aljabar–– Dengan Peta KarnoughDengan Peta Karnoughg gg g–– Dengan MEVDengan MEV
20090312 #1
Representasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi Boolean
20090312 #2
Prinsip DualitasPrinsip DualitasPrinsip Dualitas Prinsip Dualitas T 1 (Id t )• Teorema 1 (Idempoten)Untuk setiap elemen a, berlaku: a + a = a dan a . a = a
• Teorema 2Teorema 2Untuk setiap elemen a, berlaku: a + 1 = 1 dan a . 0 = 0
• Teorema 3 (Hukum Penyerapan)Untuk setiap elemen a dan b, berlaku: a + a . b = a
dan a . (a+b) = a• Teorema 4 (Hukum de Morgan)• Teorema 4 (Hukum de Morgan)
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku: (a . b)’ = a’ + b’dan (a + b)’ = a’.b’
• Teorema 50’ = 1 dan 1’ = 0
• Teorema 6• Teorema 6 Jika suatu Aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 1
20090312 #3
Fungsi BooleanFungsi BooleanFungsi BooleanFungsi BooleanMisalkan x x x x merupakan variabel variabel• Misalkan x1, x2, x3, … , xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean
• Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat• Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut:
–fungsi konstanfungsi konstanf(x1, x2, x3, … , xn) = a
–fungsi proyeksifungsi proyeksif(x1, x2, x3, … , xn) = xi i = 1, 2, 3, … , n
–fungsi komplemenfungsi komplemeng(x1, x2, x3, … , xn) = (f(x1, x2, x3, … , xn))’
–fungsi gabunganfungsi gabunganh(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) + g(x1, x2, x3, … , xn)h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) . g(x1, x2, x3, … , xn)
20090312 #4
Bentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi Boolean• Suatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam
bentuk yang berbeda tetapi memiliki arti yang y g p y gsama
• Contoh:• Contoh:f1(x,y) = x’ . y’f2(x,y) = (x + y)’
• f1 dan f2 merupakan bentuk fungsi Boolean yangf1 dan f2 merupakan bentuk fungsi Boolean yang sama, yaitu dengan menggunakan Hukum De MorganMorgan
20090312 #5
Nilai FungsiNilai FungsiNilai FungsiNilai Fungsi• Fungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap
variabel yaitu pada setiap kombinasi (0,1)y p p ( , )
C h F i B l• Contoh: Fungsi Booleanf(x,y) = x’y + xy’ + y’f(x,y) x y xy y
20090312 #6
Cara RepresentasiCara RepresentasiCara RepresentasiCara Representasi1. Dengan Aljabar
Contoh: f(x y z) = xyz’Contoh: f(x,y,z) = xyz
2. Dengan menggunakan tabel kebenaran
20090312 #7
Minterm dan MaxtermMinterm dan Maxterm (1)(1)Minterm dan Maxterm Minterm dan Maxterm (1)(1)
Minterm dan Maxterm 2 variabel:
20090312 #8
Minterm dan MaxtermMinterm dan Maxterm (2)(2)Minterm dan Maxterm Minterm dan Maxterm (2)(2)
Minterm dan Maxterm 3 variabel:
20090312 #9
Konversi Fungsi BooleanKonversi Fungsi Boolean (1)(1)Konversi Fungsi Boolean Konversi Fungsi Boolean (1)(1)
SOP (Sum of product)1). f1(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
Contoh 1:1). f1(x,y,z) x y z + xy z + xyz
= m1 + m4 + m7f1’ = selain f1:f ’( ) ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’f1’(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
POS (Product of sum) POS (Product of sum)2). f2(x,y,z) =
( )( ’ )( ’ ’)( ’ ’)( ’ ’ )(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)
= (f1’(x,y,z))’( 1 ( ,y, ))= M0 M2 M3 M5 M6
F M M M M20090312 #10
F = m1 + m 4 + m7 = M0 . M2 . M3 . M5 . M6
Konversi Fungsi BooleanKonversi Fungsi Boolean (2)(2)Konversi Fungsi Boolean Konversi Fungsi Boolean (2)(2)
1) f (x y z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z’ +
Contoh 2:1). f1(x,y,z) = x y z + x y z + x yz + x yz + xy z +
xyz’ SOP= m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m60 1 2 3 4 6
f1’ = selain f1:f1’(x y z) = xy’z + xyzf1 (x,y,z) = xy z + xyz
2). f2(x,y,z) = (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z’) POS= (f1’(x,y,z))’= M5 M7
F = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6 = M5 . M7
20090312 #11
Konversi Fungsi BooleanKonversi Fungsi Boolean (2)(2)Konversi Fungsi Boolean Konversi Fungsi Boolean (2)(2)
1) f ( ) ’ ’ ’ ’ SOP
Contoh 3:
1). f1(x,y,z) = x’yz’ + x’yz + xyz’ + xyz SOP= m2 + m3 + m6 + m7
f1’(x,y,z)= x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z
2) f (x y z)= (x + y + z)(x + y + z’)(x’ + y + z)2). f2(x,y,z)= (x + y + z)(x + y + z )(x + y + z)(x’ + y + z’) POS
= (f1’(x,y,z))’= M0 M1 M4 M5
F = m2 + m3 + m6 + m7 = M0 . M1 . M4 . M5
20090312 #12
Bentuk Standar/KanonikBentuk Standar/KanonikBentuk Standar/KanonikBentuk Standar/Kanonik• Jika f adalah fungsi Boolean satu variabel maka untuk semua
nilai x berlaku:f (x) = f (0) . x’ + f (1) . x
• Jika f adalah fungsi Boolean dua variabel maka untuk semua il i b l knilai x berlaku:f(x,y) = f(0,0) . x’y’ + f(0,1) . x’y + f(1,0) . xy’ + f(1,1) . xy
• Jika f adalah fungsi Boolean tiga variabel maka untuk semuanilai x berlaku:f(x,y,z) = f(0,0,0) . x’y’ z’ + f(0,0,1) . x’y’z + f(0,1,0) . x’yz’ +
f(0,1,1) . x’yz + f(1,0,0) . xy’z’ + f(1,0,1) . xy’z’ +f(1,1,0) . xyz’ + f(1,1,1) . xyz
20090312 #13
Konversi ke Bentuk Standar/KanonikKonversi ke Bentuk Standar/Kanonik (1)(1)Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik (1)(1)
1 Cari bentuk standar dari f(x y) x’1. Cari bentuk standar dari f(x,y) = xJawab:Bentuk SOP-nya = ..........f(x,y) = x’ . 1 identitas
= x’ . (y+y’) komplemen= x’y + x’y’ distributify y= x’y’ + x’y diurutkan
Bentuk Standar: f(x,y) = x’y’ + x’yBentuk Kanonik: f(x y) = m(0 1)Bentuk Kanonik: f(x,y) m(0, 1)
Bentuk POS-nya = ..........Dengan mj’ = Mj f(x y) = x’ f’(x y) = xDengan mj = Mj f(x,y) = x f (x,y) = xf’(x,y) = x . 1 identitas
= x .(y+y’) komplemen’ di t ib tif= xy + xy’ distributif
(f’(x,y))’ = (xy + xy’)’ = (xy)’ (xy’)’= (x’+y’)(x’+y) = (x’+y)(x’+y’)
20090312 #14
Bentuk Standar: f(x,y) = (x’+y)(x’+y’)Bentuk Kanonik: f(x,y) = M(2, 3)
Konversi ke Bentuk Standar/KanonikKonversi ke Bentuk Standar/Kanonik (2)(2)Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik (2)(2)
2. Cari bentuk standar dari f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’Jawab:Bentuk SOP-nya = ..........f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’
= y’(x+x’)(z+z’) + xy(z+z’) + x’yz’ = (xy’ + x’y’)(z+z’) + xyz + xyz’ + x’yz’( y y )( ) y y y
f(x,y,z) = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’= m5 + m4 + m1+ m0 + m7 + m6 + m2 m5 m4 m1 m0 m7 m6 m2
Bentuk Standar: f(x y z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + xy’z’ +Bentuk Standar: f(x,y,z) x y z + x y z + x yz + xy z +xy’z + xyz’ + xyz
Bentuk Kanonik: f(x y z) = m(0 1 2 4 5 6 7)
20090312 #15
Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = m(0, 1, 2, 4, 5, 6, 7)
Konversi ke Bentuk Standar/KanonikKonversi ke Bentuk Standar/Kanonik (3)(3)Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik (3)(3)
Bentuk POS-nya = ..........f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’ff’(x,y,z) = (y’ + xy + x’yz’)’
= y (xy)’ (x’yz’)’ = y(x’+y’)(x+y’+z)( ’ ’) ( ’ ) ’ ’ ’= (yx’+yy’) (x+y’+z) = yxx’+yy’x+yx’z
= x’yz(f’(x y z))’ (x’yz)’ x + y’ + z’(f’(x,y,z))’ = (x’yz)’ = x + y’ + z’
Bentuk Standar: f(x,y,z) = x + y’ + z’ Bentuk Kanonik: f(x y z) = M(3)Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = M(3)Cara lain = ..........f’(x y z) = yang tidak ada pada bentuk standar f(x y z) yaitu m3 =f (x,y,z) = yang tidak ada pada bentuk standar f(x,y,z), yaitu m3 =
x’yzBentuk Standar: f(x y z) = x + y’ + z’
20090312 #16
Bentuk Standar: f(x,y,z) x + y + z Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = M(3)
Konversi ke Bentuk Standar/KanonikKonversi ke Bentuk Standar/Kanonik (4)(4)Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik (4)(4)
Latihan:1 Cari bentuk standar dari:1. Cari bentuk standar dari:
a. f(x,y,z) = x + za. f(x,y,z) x + zb. f(x,y,z) = z’
2 C i b t k K ik d i2. Cari bentuk Kanonik dari: a f(x y) = x’y + xy’a. f(x,y) = x y + xyb. f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
20090312 #17
Konversi ke Bentuk SOPKonversi ke Bentuk SOP (1)(1)Konversi ke Bentuk SOP Konversi ke Bentuk SOP (1)(1)
1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x + y’z dalam SOPJawab :Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaLengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = x . (y+y’) . (z+z’) + (x+x’) . y’z
= (xy+xy’) (z+z’) + xy’z + x’y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z= m7 + m6 + m5 + m4 + m1 m7 + m6 + m5 + m4 + m1
= m(1, 4, 5, 6, 7)
20090312 #18
Konversi ke Bentuk SOPKonversi ke Bentuk SOP (2)(2)Konversi ke Bentuk SOP Konversi ke Bentuk SOP (2)(2)
2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x’y’z + xz + yz dalam SOPJawab:Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaLengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = x’y’z + xz + yz
’ ’ + ( + ’) + ( + ’)= x’y’z + x. (y+y’) . z + (x+x’) . yz= x’y’z + xyz + xy’z + xyz + x’yz= m1 + m3 + m5 + m7
= m(1, 3, 5, 7)( , , , )
20090312 #19
Konversi ke Bentuk SOPKonversi ke Bentuk SOP (3)(3)Konversi ke Bentuk SOP Konversi ke Bentuk SOP (3)(3)
3 N t k F i B l f( )3. Nyatakan Fungsi Boolean f(w,x,y,z) = wxy + yz + xy dalam SOPJawab:Jawab:Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(w,x,y,z) = wxy + yz + xy( , ,y, ) y y y
= wxy . (z+z’) + (w+w’)(x+x’) . yz + (w+w’) . xy . (z+z’)
= wxyz + wxyz’ + (wx+wx’+w’x+w’x’)yz +(wxy+w’xy)(z+z’)wxyz + wxyz’ + wxyz + wx’yz + w’xyz += wxyz + wxyz’ + wxyz + wx yz + w’xyz +w’x’yz + wxyz + wxyz’ + w’xyz + w’xyz’
= wxyz + wxyz’ + wx’yz + w’xyz + w’x’yz + w’xyz’ wxyz + wxyz + wx yz + w xyz + w x yz + w xyz= m15 + m14 + m11 + m7 + m3 + m6
= m(3, 6, 7, 11, 14, 15)
20090312 #20
m(3, 6, 7, 11, 14, 15)
Konversi ke Bentuk POSKonversi ke Bentuk POS (1)(1)Konversi ke Bentuk POS Konversi ke Bentuk POS (1)(1)
1 N t k F i B l f( ) ’ d l POS1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = xy + x’z dalam POSJawab: Bentuk fungsi ke POSf(x y z) = xy + x’z a+bc = (a+b)(a+c); a=xy; b=x’; c=zf(x,y,z) = xy + x z a+bc = (a+b)(a+c); a=xy; b=x ; c=z
= (xy + x’)(xy + z) distributif a= x’ dan z; b=y; c=x= (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z) (x x )(y x )(x z)(y z) = (x’ + y)(x + z)(y + z) komplemen, identitas
Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaSuku-1 x’ + y = x’ + y + zz’ a+bc = (a+b)(a+c); a=x’+y; b=z; c=z’
( ’ + + ) ( ’ + + ’)= (x’ + y + z) (x’ + y + z’)Suku-2 x + z = x + z + yy’
= (x + y + z) (x + y’ + z)= (x + y + z) (x + y + z)Suku-3 y + z = xx’ + y + z
= (x + y + z) (x’ + y + z)
20090312 #21
( y ) ( y )
Konversi ke Bentuk POSKonversi ke Bentuk POS (2)(2)Konversi ke Bentuk POS Konversi ke Bentuk POS (2)(2)
f( ) ( ’ )( ’ ’)( )( ’ )( )f(x,y,z) = (x’+y+z)(x’+y+z’)(x+y+z)(x+y’+z)(x+y+z)(x’+y+z)
= (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z)= (x +y+z) (x +y+z ) (x+y+z) (x+y +z) = M4 . M5 . M0 . M2= M(0 2 4 5)= M(0, 2, 4, 5)
2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = (x+z)(y’+z’) dalam POSy g ( ,y, ) ( )(y )Jawab :Fungsi Boolean asumsi sudah dalam bentuk POSf(x,y,z) = (x+z)(y’+z’) lengkapi literal pada tiap suku
= (x+yy’+z)(xx’+y’+z’) Identitas, Komplemen( + + )( + ’+ )( + ’+ ’)( ’+ ’+ ’) di t ib tif= (x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y’+z’) distributif
= M0 . M2 . M3 . M7
M(0 2 3 7)
20090312 #22
= M(0,2,3,7)
XOR dan EQVXOR dan EQV (1)(1)XOR dan EQV XOR dan EQV (1)(1)
XOR E l i OR EQV E i lXOR = Exclusive OR EQV = Equivalen
Hasil = 1, Hasil = 1, ,jika XY
,jika X=Y
KebalikanKebalikan dari XOR
X Y = X’Y + XY’ X Y = X’Y’ + XY
P insip d alitas• Prinsip dualitas:XOR EQV
X 0 = X X 1 = XX 0 = X X 1 = XX 1 = X’ X 0 = X’X X = 0 X X = 1
20090312 #23
X X’ = 1 X X’ = 0COA/Endro Ariyanto/
XOR dan EQVXOR dan EQV (2)(2)XOR dan EQV XOR dan EQV (2)(2)
• Hukum Asosiatif:(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z(X Y) Z X (Y Z) X Y Z(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z
• Hukum Komutatif:X Y Z X Z Y Z X YX Y Z = X Z Y = Z X Y = ...X Y Z = X Z Y = Z X Y = ...
• Hukum Pemfaktoran:• Hukum Pemfaktoran:(X . Y) (X . Z) = X . (Y Z)
• Hukum Distributif:• Hukum Distributif:(X + Y) (X + Z) = X + (Y Z)
• Hukum Absortif:• Hukum Absortif:X . (X’ Y) = X . Y X.X’ X.Y = 0 X.Y = X.YX + (X’ Y) = X + Y X+X’ X+Y = 1 X+Y = X+Y
20090312 #24
( )
COA/Endro Ariyanto/
XOR dan EQVXOR dan EQV (3)(3)XOR dan EQV XOR dan EQV (3)(3)
• Hukum DeMorgan:(X Y)’ = X’ Y’ = X Y(X Y)’ = X’ Y’ = X Y
• Relasi lainnya:X’ Y = X Y’ = (X Y)’ = X YX’ Y = X Y’ = (X Y)’ = X YF = X Y Z F’ = X Y’ Z
= X Y Z = X Y’ Z= X Y’ Z = X Y Z= X’ Y Z’ = X Y Z
...... ......
20090312 #25COA/Endro Ariyanto/
Penyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi Boolean• Asumsi yang dipakai dalam penyederhanaan:• Asumsi yang dipakai dalam penyederhanaan:
– Bentuk fungsi Boolean paling sederhana adalah SOP– Operasi yang digunakan adalah operasi penjumlahan (+), p y g g p p j ( ),
perkalian (.) dan komplemen (‘)
• Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean:• Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean:1. Cara Aljabar
Bersifat trial and error (tidak ada pegangan)( p g g ) Penyederhanaan menggunakan aksioma-aksioma dan
teorema-teorema yang ada pada aljabar Boolean2 Peta Karnaugh2. Peta Karnaugh
Mengacu pada diagram Venn Menggunakan bentuk-bentuk peta Karnaugh
3. Metoda Quine-McCluskey Penyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi Eliminasi Prime Implicant Redundant
20090312 #26
Eliminasi Prime Implicant Redundant
Penyederhanaan Dengan AljabarPenyederhanaan Dengan Aljabar (1)(1)Penyederhanaan Dengan Aljabar Penyederhanaan Dengan Aljabar (1)(1)
1 S d h k l h f i B l1. Sederhanakanlah fungsi Booleanf(x,y) = x’y + xy’ + xy
Jawab:f(x y) x’y + xy’ + xyf(x,y) = x y + xy + xy
= x’y + x . (y’+y) Distributif= x’y + x 1 Komplemen= x y + x . 1 Komplemen= x’y + x Identitas= (x’+x)(x+y) Distributif= (x +x)(x+y) Distributif= 1 . (x+y) Komplemen= x+y Identitas x+y Identitas
20090312 #27
Penyederhanaan Dengan AljabarPenyederhanaan Dengan Aljabar (2)(2)Penyederhanaan Dengan Aljabar Penyederhanaan Dengan Aljabar (2)(2)
2 S d h k l h f i B l di b h i i2. Sederhanakanlah fungsi Boolean di bawah ini:f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’Jawab:Jawab:f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’
= x’ . (y’z’+y’z+yz+yz’) + x . (y’z’+yz’) Distributif(y y y y ) (y y ) st but= x’.((y’(z+z’) + y(z+z’)) + x.((y’+y)z’) Distributif= x’. (y’ . 1 + y . 1) + x.( 1 . z’) Komplemen= x’ . (y’+y) + xz’ Identitas= x’ . 1 + xz’ Komplemen
’ + ’ Identitas= x’ + xz’ Identitas= (x’+x)(x’+z’) Distributif= 1 (x’+z’) Komplemen= 1 . (x +z ) Komplemen= x’ + z’ Identitas
20090312 #28
Penyederhanaan Dengan AljabarPenyederhanaan Dengan Aljabar (3)(3)Penyederhanaan Dengan Aljabar Penyederhanaan Dengan Aljabar (3)(3)
3 S d h k l h f i B l f( ) ’ ’3. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y) = x + xy’ + y’
Jawab:Jawab:f(x,y) = x + xy’ + y’
= x . (1 + y’) + y’ Distributif( y ) y st but= x . 1 + y’ Teorema 2= x + y’ Identitas
atauf(x,y) = x + xy’ + y’
+ (x + 1) ’ Dist ib tif= x + (x + 1) . y’ Distributif= x + 1 . y’ Teorema 2= x + y’ Identitas= x + y Identitas
20090312 #29
Penyederhanaan Dengan AljabarPenyederhanaan Dengan Aljabar (4)(4)Penyederhanaan Dengan Aljabar Penyederhanaan Dengan Aljabar (4)(4)
4 Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x y z) xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’4. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y,z) = xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’Jawab:f(x,y,z) = xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’
= x(y+y’z) + y(x’+z) + y’z’ Distributif ( a+bc=(a+b)(a+c) )= x((y+y’)(y+z)) + x’y + yz + y’z’ Distributif= x( 1 . (y+z)) + x’y + yz + y’z’ Komplemen( (y )) y y y p= x . (y+z) + x’y + yz + y’z’ Identitas= xy + xz + x’y + yz + y’z’ Distributif= y(x+x’) + xz + yz + y’z’ Distributif= y(x+x ) + xz + yz + y z Distributif= y . 1 + xz + yz + y’z’ Komplemen= y + xz + yz + y’z’ Identitas= (y+y’)(y+z’) + xz + yz Distributif= (y+y )(y+z ) + xz + yz Distributif= 1.(y+z’) + xz + yz Komplemen= y + z’ + xz + yz Identitas
(1 ) ( ’)( ’) Di ib if= y (1 + z) + (x+z’)(z+z’) Distibutif= y . 1 + (x+z’)(z+z’) Teorema 2= y + (x+z’)(z+z’) Identitas
20090312 #30
= y + (x + z’) . 1 Komplemen= x + y + z’ Identitas
Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K Map)Map) (1)(1)Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K--Map) Map) (1)(1)
20090312 #31
Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K Map)Map) (2)(2)Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K--Map) Map) (2)(2)
20090312 #32
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--MapMapy gy g pp2 Variabel2 Variabel (1)(1)
Sederhanakanlah persamaan: (lihat soal no.1 penyederhanaan dengan aljabar)
f(x,y) = x’y + xy’ + xy = m1 + m2 + m31 2 3
Jawab:• Sesuai dengan bentuk minterm maka 3 kotak dalam• Sesuai dengan bentuk minterm, maka 3 kotak dalam
K-Map 2 dimensi, diisi dengan 1:
1
1
1
1
20090312 #33
1 1
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--MapMapy gy g pp2 Variabel2 Variabel (2)(2)
• Selanjutnya kelompokkan semua 1 yang ada dengan membuat kumpulan kotak atau persegi panjang dengan jumlah sel bujursangkar kecil sebanyak 2ny
– n = 0, 1, 2, 3, dst
• Buat kelompok yang sebesar-besarnyaBuat kelompok yang sebesar besarnya
AAB
20090312 #34
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp2 Variabel2 Variabel (3)(3)
• Cara menentukan bentuk sederhana dari hasil pengelompokan adalah:– Carilah variabel yang memiliki nilai yang sama (tidak
berubah) dalam kelompok tersebut, sebagai contoh: Pada kelompok A adalah variabel y dengan nilai 1 Pada kelompok B adalah variabel x dengan nilai 1
– Tentukan bentuk hasil pengelompokanKelompok A adalah y, dan kelompok B adalah x, sehingga hasil b t k d h d i t h di tbentuk sederhana dari contoh di atas:
f(x,y) = x’y + xy’ + xy = kelompok A + kelompok B = y + x
20090312 #35
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp3 Variabel3 Variabel (1)(1)
1 S d h k l h b ik t1. Sederhanakanlah persamaan berikut: (lihat soal no.2 penyederhanaan dengan aljabar)
f( ) ’ ’ ’ + ’ ’ + ’ + ’ ’ + ’ ’ + ’f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’Jawab:
X’ Z’X’
20090312 #36
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp3 Variabel3 Variabel (2)(2)
2 S d h k l h f i B l b ik t d2. Sederhanakanlah fungsi Boolean berikut dengan menggunakan K’Map : f(x,y,z) = xyz + xyz’ + xy’z + x’yz + x’yz’ +
xy’z’ + x’y’z’Jawab:
z’z’
y
xx
20090312 #37
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp3 Variabel3 Variabel (3)(3)
3. Sederhanakanlah fungsi Boolean: f(w x y) = m(0 1 3 5 7)f(w,x,y) = m(0, 1, 3, 5, 7)
Jawab:
’ ’w’x’y
20090312 #38
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (1)(1)
1. Sederhanakanlah fungsi Boolean berikut:f(w,x,y,z) = m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)( , ,y, ) ( , , , , , , , , , , , , )Jawab:
x’x
z’
20090312 #39wy’
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (2)(2)
2. Sederhanakanlah fungsi Boolean: f(w,x,y,z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wx’yz + w’x’yz + ( , ,y, ) y y y y y
w’x’yz’ + w’xyz’ + w’xy’z’ + w’xy’zJawab: (alternatif 1)
’ ’( )
w’x’y
xy’ w’yz’
f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y
w’x’y + wyz + w’yz’
20090312 #40
wyz
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (3)(3)
Jawab: (alternatif 2) x’yz
w’yz’xy’
w yz
wxz
f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y
wxz + x’yz + w’yz’
20090312 #41
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (4)(4)
Jawab: (alternatif 3)
’ ’w’x’y
’ z’w’xz’
f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y
wyz + w’xz’ + w’x’yxy’
wyz
20090312 #42
wyz
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (5)(5)
t b b d3. Contoh: urutan berbeda B’D’
A’BD
Mi lMisal isinya
don’t ca e bisa 0 bisa 1
SOP berdasarkan
x = don’t care, bisa 0 bisa 1, tergantung kebutuhan
C
20090312 #43
SOP berdasarkan bit-bit 1 f(A,B,C,D) = C + B’D’ + A’BD
Don’t CareDon’t Care (1)(1)Don t Care Don t Care (1)(1)
Nil i b h d ’t tid k di hit k l h• Nilai peubah don’t care tidak diperhitungkan oleh fungsinya
• Nilai 1 atau 0 dari peubah don’t care tidak berpengaruh• Nilai 1 atau 0 dari peubah don t care tidak berpengaruh pada hasil fungsi
• Semua nilai don’t care disimbolkan dengan X, d, atau g , , • Bentuk SOP:
– Nilai X yang masuk ke dalam kelompok akan bernilai 1– Nilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akan
bernilai 0• Bentuk POS:• Bentuk POS:
– Nilai X yang masuk ke dalam kelompok akan bernilai 0– Nilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akanNilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akan
bernilai 1
20090312 #44
Don’t CareDon’t Care (2)(2)Don t Care Don t Care (2)(2)
• Contoh 1:f(w,x,y,z) = Σm(1,3,7,11,15)( , ,y, ) ( , , , , )
don’t care = d(w,x,y,z) = Σm(0,2,5)Bentuk SOP:Bentuk SOP:
w’z Hasil penyederhanaan:
yzw z
f(w,x,y,z) = yz + w’z
20090312 #45
Don’t CareDon’t Care (3)(3)Don t Care Don t Care (3)(3)
• Contoh 1:f(w,x,y,z) = Σm(1,3,7,11,15)( , ,y, ) ( , , , , )
don’t care = d(w,x,y,z) = Σm(0,2,5)Bentuk POS:Bentuk POS:
z
w’+y Hasil penyederhanaan:w +yf(w,x,y,z) = z(w’+y)
20090312 #46
Don’t CareDon’t Care (4)(4)a b c d f(a,b,c,d)
Don t Care Don t Care (4)(4)
C t h 2
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0• Contoh 2: 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 10 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 00 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 x1 0 0 0 x
1 0 0 1 x
1 0 1 0 x1 0 1 0 x
1 0 1 1 x
1 1 0 0 x1 1 0 0 x
1 1 0 1 x
1 1 1 0 xc’d’ bd
bd
20090312 #47
1 1 1 1 xf(a,b,c,d) = c’d’+bd+bd
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp4 Variabel4 Variabel (6)(6)
B’+C+DPOS berdasarkan bit bit 0:
B’+C+D
bit-bit 0:B+C+D’
A’+B’
don’t ca e bisa 0 bisa 1
A’+B’
x = don’t care, bisa 0 bisa 1, tergantung kebutuhan
20090312 #48
f(A,B,C,D) = (A’+B’)(B’+C+D)(B+C+D’)
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map 4 V i b l4 V i b l4 Variabel4 Variabel (7)(7)
4. f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)A’BC’Alternatif I:
ACSOP:
f(A B C D)f(A,B,C,D) = AC+BCD+A’BC’+A’B’D’
20090312 #49
BCDA’B’D’
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map 4 V i b l4 V i b l4 Variabel4 Variabel (7)(7)
f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)Alternatif II:
A’BD
A’C’D’
ACSOP:
f(A B C D)
B’CD’
f(A,B,C,D) = AC+A’BD+A’C’D’+B’CD’
20090312 #50
B’CD’
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map 4 V i b l4 V i b l4 Variabel4 Variabel (7)(7)
f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)Bentuk POS:
A’+C
A+B+D’ POS:
f(A B C D)
A+B’+C’+D
f(A,B,C,D) = (A’+C)(A+B+D’)(A+B’+C’+D)
20090312 #51
A+B’+C’+D
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp5 Variabel 5 Variabel (1)(1)
1. f(A,B,C,D,E) = {2,3,6,7,9,13,18,19,22,23,24,25,29}Dengan model planar:
ABD’EA’BD’Eg p
0 4 12 8 16 20 28 24ABC’D’
1 5 13 9 17 21 29 25
3 7 15 11 19 23 31 27
A’B’D AB’D2 6 14 10 18 22 30 26
f(A B C D E) A’B’D + AB’D + A’BD’E + ABD’E + ABC’D’
A’B’D AB D
20090312 #52
f(A,B,C,D,E) = A’B’D + AB’D + A’BD’E + ABD’E + ABC’D’
= B’D + BD’E + ABC’D’
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp5 Variabel 5 Variabel (2)(2)
00 01 11 10BC
00 01 11 10BC00 01 11 10
00DE
1
00 01 11 10
00DE
0 4 12 8 16 20 28 24
1 1 01 1 1 011
0
5 13 9 17
16
21 29 25
1 1
1 1
11
10
1 1
1 1
11
103
6
7
14
15
10
11 19
22
23
30
31
26
27
1 1 10 1 1 10
A=0 A=1
2 6 14 10 18 22 30 26
Dengan model stack:
f(A B C D E) = B’D + BD’E + ABC’D’
20090312 #53
f(A,B,C,D,E) = B D + BD E + ABC D
Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp6 Variabel6 Variabel
1 1
00 01 11 10
00
CDEF
1 1
00 01 11 10
00
CDEF
1 1
00
01 1
00
01
1 1
1 1
11
10
1
1 1
11
10AB=00 AB=01
00 01 11 10CDEF 00 01 11 10CD
EF
AB=00 AB=01
1 1
1
00
01
EF1 1
1
00
01
EF
1
1
01
11
1
1
01
11
20090312 #54
1 1 10 1 1 10AB=10 AB=11
Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)• Penyederhanaan dengan K-Map hanya praktis untuk
maksimum 4 variabel !!!• Bagaimana jika jumlah variabel lebih dari 4 ?
– Dengan Map Entered Variables (MEV)– Satu variabel atau lebih dimasukkan ke dalam tabel
20090312 #55
MEV:MEV: 2 Variabel Menjadi 1 Variabel2 Variabel Menjadi 1 VariabelMEV: MEV: 2 Variabel Menjadi 1 Variabel2 Variabel Menjadi 1 Variabel
• Contoh 1: f(A,B) = A’B + AB’ + AB• Variabel B akan dimasukkan ke mapp
20090312 #56
MEV:MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel3 Variabel Menjadi 2 Variabel (1)(1)MEV: MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel 3 Variabel Menjadi 2 Variabel (1)(1)
• Contoh 1: f(A,B,C) = m(2,5,6,7)• Variabel C akan dimasukkan ke mapp
20090312 #57
MEV:MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel3 Variabel Menjadi 2 VariabelMEV: MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel 3 Variabel Menjadi 2 Variabel (2)(2)
• Kompresi dari 3 variabel (x1, x2, dan x3) menjadi 2 variabel• Contoh 2: x3 dimasukkan (entered)3 ( )
1.x3 + 0.x’3 = x3
1.x3 + 1.x’3 = 10.x3 + 1.x’3 = x’3
0.x3 + 0.x’3 = 0
20090312 #58
MEV:MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel3 Variabel Menjadi 2 VariabelMEV: MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel 3 Variabel Menjadi 2 Variabel (3)(3)
• Contoh 3: x2 dimasukkan (entered)
0.x’2 + 1.x2 = x2 0.x2 + 1.x’2 = x’21.x’2 + 0.x2 = x’2
1.x’2 + 0.x2 = x’2
2 2 2
20090312 #59