pertemuan 3.pdf
TRANSCRIPT
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 1/22
DinamikaStruktur
-Redaman-
4 sks
Jurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 2/22
REDAMAN
•
Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi satu siklus gerak bolakbalik
• Redaman timbul karena ada gesekan internaldalam bahan ketika mengalami gerakan.
• Redaman bisa juga berasal dari bantalaneksternal yang sengaja dipasang seperti padarel kereta api
• Redaman internal dapat berasal dari gesekanmikro bahan, dapat pula dari gesekan dalamsambungan tidak rigid.
• Model redaman yang paling sering dipakaiadalah model dashpot .
• Selain model dashpot , dapat juga dipakai modelCoulomb, yaitu redaman yang berasal dari friksidan berbanding lurus dengan simpangan dan
arah gerakan
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 3/22
MODEL REDAMAN DASHPOT
Model redaman dashpot adalah model gaya redaman
yang berbanding lurus dengan kecepatan.
Getaran bebas redaman viscous
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 4/22
MODEL REDAMAN COULOUMB
Struktur dengan redaman cou loumb mempunyai persamaan
gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah
diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun responakibat adanya gaya luar
Redaman yang berasal dari friksi dan berbanding luru
dengan simpangan dan arah gerakan.
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 5/22
MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN
• Redaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu
struktur.
• Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan
kecepatan gerak (V)
mP(t)
K2K1 K,c
mP(t)
P(t)m
x
K
Ic
P(t)I
f s
f d
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 6/22
PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN
Persamaan kesetimbangan dapat ditulis:
)(
)(0
...
...
t P kx xc xm
kx f xc f xm I
t P f f I H
sd
sd
Solusi persamaan difensial:
pt
pt
pt
Ae pdt
xd
pAedt
dx
Ae x
2
2
2
……(16)
……(17)
……(18)
……(19)
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 7/22
Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)
0
0
2
2
pt
pt pt pt
Aek cpmp
Aek pAec Ae pm
02 pt Aek cpmp
Solusi nontrivial:
Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:
……(20)
……(21)
m
k
m
c
m
c p
2
2,122
Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:
t pt p
Be Ae x21
Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor dibawah
akar apakah positif atau negatif.
p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponen
p imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang
(22)
……(23)
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 8/22
FAKTOR REDAMAN
0222
22
2,1
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c p
Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0
Maka,
cr cmk
m
k mc
m
k
m
c
m
k
m
c
22
2
02
2
2
Ccr disebut dengan faktor redaman kritis
Keadaan redam an kri t is adalah batas antara redam an
berlebih (ov er damped) dan redaman kur ang (un der
damped)
Kasus Redaman Kritis……
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 9/22
Pada kondisi redaman kritis,
m
c p
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c p
2
0222
22
2,1
Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:
t m
c
pt
Ae Ae x
2
……(24)
……(25)
Kasus Redaman Kurang (Under-damped)……Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis(c < ccr)
2
2,1
22
2,1
22
222
m
c
m
k i
m
c p
m
k
m
c
m
k
m
c
m
c p
……(26)
t pt p Be Ae x 21
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 10/22
Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, makadigunakan persamaan Euler:
t Sinit Cose
t Sinit Cose
it
it
Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:
2
2
2
m
c
m
k
t Sin Bt Cos Ae x
D
D D
t m
c
……(27)
……(28)
……(29)
……(30)
Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:
cr
cr
D
D
c
c
c
c
mk
c
11
41
2
2
2
2
……(31)
……(32)
……(33)
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 11/22
Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)……
Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari
koefisien redaman kritis yaitu:
cr
cr
ccc
c1 ……(34)
t pt p Be Ae x 21
Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran
bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)…
..
Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yangberbeda
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 12/22
MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN
Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:
Metode setengah amplitudo
Metode pengurangan logaritmik
D
D
T
Q
P
T
e x
x D
2
METODE SETENGAH AMPLITUDO
……(35)
……(36)
Dimana:xP = perpindahan awalxQ = perpindahan setelah 1 siklusξ = faktor rasio redamanω = frekuensi naturalTD = periode teredam
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 13/22
METODE PENGURANGAN LOGARITMIK
D
Q
P T x
x
ln
21
22
D
DT
21
2
DT
……(37)
……(38)
Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio redaman:
Dimana:
xP = perpindahan awal
xQ = perpindahan setelah 1 siklus
ξ = faktor rasio redaman
ω = frekuensi natural
TD = periode teredam
δ = pengurangan logaritmik
ωD = frekuensi teredam
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 14/22
Contoh 5
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak
dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan.
Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan
bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik
a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 15/22
Jawab
Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.
Hz125.34.0
putaran25.1
s f n
rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f
s f
T n
n 32.0125.3
11
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 16/22
Contoh 6Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan
K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak
1,0 dan 0,85.Tentukan:
• Frekuensi natural
• Pengurangan logaritmik
• Faktor rasio redaman
• Faktor redaman
• Frekuensi teredam
Jawab
detik rad 78,27
386/10
20
m
k
SPS f 42,4
2
78,27
2
Frekuensi natural:
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 17/22
165,085,0
1lnln
2
1 x
x
0256,0
165,014,32
165,0
21
2
2
Pengurangan logaritmik:
Faktor rasio redaman:
Faktor redaman:
in
dtk lbcc cr 037,0
386102020256,0
Frekuensi teredam:
dtk rad
D 422,270256,0178,2712
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 18/22
Contoh 7
Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama
dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental
telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada
lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan
redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:
• Frekuensi natural tak teredam
• Koefisien redaman absolut dan redaman kritis• Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan
berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.
Jawab
inlbk xk P /100001,0
1000.
detik
rad 06,31
386/4000
10000
m
k
Frekuensi natural:
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 19/22
in
dt lbmk ccr
. 8,643386/4000.1000022
314,0
05,01
05,014,32
1
2
22
in
dtk lbcc cr 19,328,64305,0
Faktor redaman kritis:
Pengurangan logaritmik:
Faktor redaman absolut:
37,1314,0ln
Q
P
Q
P
x
x
x
x
Frekuensi teredam:
dtk rad
D 02,3105,0106,31122
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 20/22
siklus833,70,314
10ln314,0
01,0
1,0ln
...ln
....1
2
1
1
k k
k x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Q
P
Q
Q P
Q
P
Periode teredam:
det2025,0
02,31
14,322
D
DT
Waktu untuk 8 siklus:
det62,1det2025,088siklus8 DT t
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 21/22
Contoh8
EI=400 KN/cm2
K = 2 N/cm
L=100 cm
c = 200 kg/dtk
m = 1000 kgTentukan solusi persamaan gerakdari struktur pada gambar
disamping.
Jawab
Kekakuan balok: N/cm1,2KN/cm0012,0100
4003333
cm KN
L
EI k
Kekakuan balok danpegas: 2
kg/dt320 N/cm2,3 22,1
pegasbalok paralel k k K
Frekuensi natural: detik rad 56,0
1000
320
m
k
7/16/2019 Pertemuan 3.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3pdf-5633855ca666f 22/22
i
m
k
m
c
m
c p
55,01,032,001,01,0
22
2
2,1
Keadaan redaman kurang (under-damped)
55,0
32010004
200156,0
41
22
mk
c D
Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redamankurang (under-damped) adalah:
t Sin Bt Cos Ae
t Sin Bt Cos Ae x
t
D D
t m
c
55,055,0
1,0
2
Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0
Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0 t Cose x t
55,03,01,0
Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.