Distribusi Probabilitas Variabel Acak Kontinyu

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Geotechnical Engineering Division Department of Civil Engineering

3

Pertemuan ke-9

2

POKOK BAHASAN

6.1 Distribusi Normal (Gaussian)

6.2 Distribusi Gamma

6.3 Distribusi Chi-Kuadrat

6.4 Distribusi Eksponensial 6.5 Distribusi Weibull

6.6 Distribusi Lognormal

3

6.1 DISTRIBUSI NORMAL (GAUSSIAN) Probability density function (pdf) distribusi normal:

4

Pdf distribusi normal standar :

5

Pumulative distribution function (cdf) Distribusi Normal

6

Contoh 6.1

Rata-rata dan standar deviasi kekuatan tekan dari pengujuan 40 sampel beton adalah 60.14 dan 5.02 N/mm2. Berapakah probabilitas beton dapat menahan gaya tekan lebih dari 45 N/mm2?

7

6.2 DISTRIBUSI GAMMA

Pdf distribuasi gamma

= 0 untuk yang lain

Parameter r adalah parameter bentuk, dimana mempengaruhi bentuk dari distribusi, sebagai contoh grafik distribusi gamma standard dengan r=1, 3 dan 5

8

Dengan Γ(r) disebut complete (standard) gamma function,

= 0

Sifat-sifat penting fungsi gamma:

1. untuk n>0 2. 3.

9

Cdf Distribusi Gamma

= 0 untuk yang lain

Mean dan Varian Distribusi Gamma dua parameter

10

Contoh 6.2

Suatu data pengujian kekuatan luluh suatu baja menunjukkan rata-rata dan standar deviasi sebesar 39.09 dan 9.92 N/mm2. Tentukan probabilitas kekuatan luluh yang terjadi pada 20 N/mm2.

=15.5

11

6.3 DISTRIBUSI CHI-SQUARE

Distribusi Chi-Square memikiki bentuk khusus dari Distribusi Gamma dimana parameter , dimana menyatakan derajat

kebebasan, dan . Dengan fungsi cdf sebagai berikut:

Dengan adalah variabel dummy

12

6.4 DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Distribusi eksponensial merupakan model waktu (atau panjang atau area) antara kejadian Poisson. Dengan fungsi pdf dan cdf sebagai berikut.

= 0 untuk yang lain

13

Mean dan varian Distribusi Eksponensial

14

Contoh 6.4

Dinas Pekerjaan Umum Denpasar Bali memiliki proyek pelindungan pantai Kuta yang mengalami erosi yang cukup parah akibat gelombang laut. Data yang sudah ada menunjukkan bahwa perairan pantai Kuta akan pasang yang ekstrim hingga mencapai 3.2 meter yang terjadi sekali dalam 1.5 tahun yang mana dapat mengganggu kegiatan proyek karena kendaraan berat (dozer, excavator) tidak mampu beroperasi dengan muka air yang terlalu tinggi. Bila proyek tersebut dijadwalkan akan rampung dalam waktu 5 bulan. Berapakah probabilitas pekerjaan perlindungan pantai tersebut aman dari pasang ekstrim tersebut?

15

Dengan rata-rata kejadian pasang ekstrim adalah 1.5 tahun, maka , dan distribusi eksponensialnya adalah

Resiko, . angka resiko cukup tinggi, sehingga perlu dilakukan peninjauan ulang pada peroyek tersebut agar waktu proyek bisa di perpendek atau dengan melakukan metode yang lainnya.

16

6.5 DISTRIBUSI WEIBULL

Pdf Distribusi Weibull dua parameter dengan β dan λ > 0 diberikan sebagai berikut

= 0 untuk yang lain

Dan fungsi cdf sebagai berikut

= 0 untuk yang lain

17

Dari kurva yang terlihat diatas dengan parameter bentuk β = 1, 2, dan 4 serta parameter skala λ = 1. Dengan bertambah besarnya nilai β maka kurva cenderung menjadi simetris.

18

Mean dan varian Distribusi Weibull

19

Contoh 6.5

Pengukuran kecepatan angin dilakukan untuk menghitung kekuatan struktur lepas pantai terhadap beban angin. Diperoleh data parameter weibull λ=25 m/s dan β=1. hitunglah probabilitas kecepatan angin sekurang-kurangnya 35 m/s.

20

6.6 DISTRIBUSI LOGNORMAL (LOGARITMIK NORMAL)

Pdf dan cdf Ditribusi Lognormal

= 0 untuk yang lain

21

Mean dan varian Distribusi Lognormal

22

Contoh 6.6

Suatu pengujian modulus elastisitas suatu bahan diberikan data logaritmik standar deviasai dan mean sebagai berikut dan . Berapakah probabilitas modulus elastisitas dari bahan tersebut yang dipilih secara acak sekurng-kurangnya adala 20N/mm2.