perturbación de matrices polinomiales

Perturbacion de matrices polinomiales

Gasteiz, Mayo 2005

Introduccion

OBJETIVO:

Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita

al perturbar una matriz polinomial.

ANTECEDENTES:

den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.

ESTRATEGIA:

Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).

F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)

Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].

Introduccion

OBJETIVO:

Estudiar los cambios en:

factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),

ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,

estructura infinita

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Introduccion

OBJETIVO:

ANTECEDENTES:

ESTRATEGIA:

Notacion

K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m

Definicion

Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}

(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)

Definicion

Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}

P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)

Notacion

K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m

Definicion

Notacion

K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m

Definicion

Notacion

K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m

Definicion

Notacion

K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m

Definicion

Representaciones polinomiales matriciales

Definicion

P(s) ∈ Kn[s]m×m es r.p.m. de (A,B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n

tal que (A,C ) es observable y

P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B

con D(s) ∈ K[s]m×m.

Si P(s) ∈ Kn[s]m×m entonces existe (A,B) ∈ Σn,m del cual P(s)

es r.p.m.

Si (A,B) ∈ Σn,m entonces existe P(s) ∈ Kn[s]m×m r.p.m. de

(A,B).

Definicion

P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B

es r.p.m.

(A,B).

Definicion

P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B

es r.p.m.

(A,B).

(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)

donde P(s),P ′(s) son r.p.m. de (A,B), (A′,B ′), respectivamente.

Definicion

Σn,m/∼ = {[(A,B)] | (A,B) ∈ Σn,m}, donde[(A,B)] = {(A′,B ′) ∈ Σn,m | (A,B)∼(A′,B ′)}

Definicion

Kn[s]m×m/

ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Kn[s]m×m}, donde

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)

ed∼P ′(s)}

(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)

Definicion

Kn[s]m×m/

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)

ed∼P ′(s)}

(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)

Definicion

Kn[s]m×m/

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)

ed∼P ′(s)}

Teorema

f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

, donde P(s) r.p.m. de (A,B).

f es una biyeccion

Lema (Zaballa,1997)

(A, B) ∈ Σn,m, r1, . . . , rm ındices de una base buena. Entonces

T = [bl1 Abl1 · · · Arl1−1bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp−1blp ] ∈ Kn×n,

rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i /∈ {l1, . . . , lp}, es no singular,

T−1AT = (Aij)pi,j=1, T−1B = [B1 B2 · · · Bp]

0 · · · 0 xli li 0

1 · · · 0 xli li 1

.... . .

......

0 · · · 1 xli li rli−1

37775 , Aij =

0 · · · 0 xlj li 0

0 · · · 0 xlj li 1

.... . .

......

0 · · · 0 xlj li rli−1

37775 , i 6= j ,

Bi = [bi1 · · · bim], bij =

0, j ∈ {l1, . . . , lp} − {li}[1 0 · · · 0]T , j = lihxjli 0 xjli 1 · · · xjli rli−1

iT, j /∈ {l1, . . . , lp},

P(s) = (pij(s)), pij(s) = −riX

xjitst , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j , r.p.m. de (A, B)

Topologıas cociente

A = (ai ,j),||A|| =

∑i ,j |ai ,j |

Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||

Topologıa cociente enΣn,m/∼:

πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonicaU abierto en Σn,m/∼⇔ π−1

Σ (U) abierto enΣn,m

p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =

∑di=0 |pi |

P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,

||P(s)|| =∑

i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d

i=0 ||Pi ||

Kn[s]m×m espacio metrico

d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||

Topologıa cociente en Kn[s]m×m/

ed∼:τ1

πK : Kn[s]m×m → Kn[s]

m×m/ed∼

proyeccion canonica

U abierto en Kn[s]m×m/

ed∼ ⇔π−1

K (U) abierto en Kn[s]m×m

A = (ai ,j),||A|| =

∑i ,j |ai ,j |

p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =

∑di=0 |pi |

P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,

||P(s)|| =∑

i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d

i=0 ||Pi ||

d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||

ed∼:τ1

m×m/ed∼

proyeccion canonica

ed∼ ⇔π−1

A = (ai ,j),||A|| =

∑i ,j |ai ,j |

p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =

∑di=0 |pi |

P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,

||P(s)|| =∑

i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d

i=0 ||Pi ||

d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||

ed∼:τ1

m×m/ed∼

proyeccion canonica

ed∼ ⇔π−1

A = (ai ,j),||A|| =

∑i ,j |ai ,j |

πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonica

U abierto en Σn,m/∼⇔ π−1

p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =

∑di=0 |pi |

P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,

||P(s)|| =∑

i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d

i=0 ||Pi ||

d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||

ed∼:τ1

m×m/ed∼

proyeccion canonica

ed∼ ⇔π−1

A = (ai ,j),||A|| =

∑i ,j |ai ,j |

p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =

∑di=0 |pi |

P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,

||P(s)|| =∑

i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d

i=0 ||Pi ||

d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||

ed∼:τ1

m×m/ed∼

proyeccion canonica

ed∼ ⇔π−1

Teorema

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

f es continua para τ1.

Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/

ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ

f continua si y solo si f ◦ πΣ continua.

Teorema

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

Teorema

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

Teorema

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

Lema (Zaballa,1997)

(A, B) ∈ Σn,m, r1, . . . , rm ındices de una base buena. Entonces

T = [bl1 Abl1 · · · Arl1−1bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp−1blp ] ∈ Kn×n,

rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i /∈ {l1, . . . , lp}, es no singular,

T−1AT = (Aij)pi,j=1, T−1B = [B1 B2 · · · Bp]

0 · · · 0 xli li 0

1 · · · 0 xli li 1

.... . .

......

0 · · · 1 xli li rli−1

37775 , Aij =

0 · · · 0 xlj li 0

0 · · · 0 xlj li 1

.... . .

......

0 · · · 0 xlj li rli−1

37775 , i 6= j ,

Bi = [bi1 · · · bim], bij =

0, j ∈ {l1, . . . , lp} − {li}[1 0 · · · 0]T , j = lihxjli 0 xjli 1 · · · xjli rli−1

iT, j /∈ {l1, . . . , lp},

P(s) = (pij(s)), pij(s) = −riX

xjitst , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j , r.p.m. de (A, B)

Topologıa de Kn[s]m×m/

Lema (Helmke, 1986)

Si K = C, Σn,m/∼ es conexo y no es compacto.

Teorema

Cn[s]m×m/

ed∼ es conexo con la topologıa τ1.

Topologıa de Kn[s]m×m/

Lema (Helmke, 1986)

Si K = C, Σn,m/∼ es conexo y no es compacto.

Teorema

Cn[s]m×m/

ed∼ es conexo con la topologıa τ1.

Pregunta

¿Es f −1 : Kn[s]m×m/

ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?

f −1 continua ⇔ f abierta

πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta

Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta

Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.

Pregunta

Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

n [s]m×m}

? Topologıa cociente: τ1

πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.

n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica

U abierto en Ki.p.n [s]m×m/

ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

P(s) r.p.m. de (A,B)

f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

n [s]m×m}

? Topologıa cociente: τ1

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)

ed∼P(s)}Ki .p.

n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.

Ki.p.n [s]m×m

f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/

ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]

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