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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Equações algébricas
• Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode ser escrita na forma:
• Onde:
– Os coeficientes an,an-1,an-2,..., a2, a1, a0 C
– n N*
– an diferente de zero!
0... 0
1
1
2
2
2
2
1
1
axaxaxaxaxa n
n
n
n
n
n
Equações algébricas
0)x.(x...).x).(xx-a.(x
:fatorada Forma
grau. primeiro de fatores em
ãodecomposiç e resolução:Importante
0623
03
:
n21
23
23
xxx
xxx
Exemplos
Multiplicidade da raiz
• Prove que 1 é raiz dupla da equação
algébrica abaixo:
Multiplicidade da raiz
• A equação abaixo possui 1 e 2 como raízes.
Função polinomial
PESQUISA DE RAÍZES
Pesquisa de raízes
• Teorema das raízes inteiras
Se r é raiz inteira de uma equação algébrica de
grau n (an0), de coeficientes inteiros:
Com a00, então r é um divisor (inteiro) de a0
011222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn
Exemplo
Pesquisa de raízes
• Teorema das raízes racionais
Se , com p e q primos entre si, é raiz racional de uma equação algébrica de grau n, de coeficientes inteiros:
Com a00, então p é divisor (inteiro) de a0 e q é
um divisor (inteiro) de an
q
pr
011222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn
Exemplo
Pesquisa de raízes
• Teorema das raízes complexas
Se uma equação algébrica de coeficientes reais
admitir a raiz x1=a+bi, admitirá também a raiz
x2=a-bi, conjugada da primeira, com o mesmo
grau de multiplicidade.
Exemplo
Verifique que o número complexo i é raiz da equação.
Exemplo
• Verifique que o número complexo 2+i é raiz da equação.
Pesquisa de raízes
• Teorema das raízes irracionais
Se uma equação algébrica de coeficientes racionais admitir a raiz irracional admitirá também a raiz conjugada da primeira, com o mesmo grau de multiplicidade.
bax 1
bax 2
RELAÇÕES DE GIRARD
Relações de Girard
• Albert Girard (1590-1633)
– Wikipedia: “no seu livro L'invention nouvelle
en l'Algèbre (publicado in 1629), afirmou que
uma equação polinomial de grau n tem n
soluções, mas não disse que tais soluções eram
necessariamente números complexos”
Relações de Girard
a
cxx
a
bxx
xxxxxxa
cx
a
bx
xxxxa
cx
a
bx
xxxxacbxax
cbxax
2121
2121
22
21
2
21
2
2
.
.).(
)).((
)).(.(
0
• No caso de uma equação do 2o. Grau:
Relações de Girard
• Da mesma forma, para uma equação do 3o.
Grau:
a
dxxx
a
cxxxxxx
a
bxxx
dcxbxax
321
323121
321
23 0
Relações de Girard
a
exxxx
a
dxxxxxxxxx
a
cxxxxxxxxxxxx
a
bxxxx
edxcxbxax
4321
431421321
434232413121
4321
234
...
0
Relações de Girard
• A soma das raízes é sempre –b/a e o
produto de todas as n raízes está sempre
relacionado ao termo independente.
TEOREMA DE BOLZANO
Teorema de Bolzano
• Se P(x)=0 uma equação polinomial, com
coeficientes reais e (a; b) um intervalo
aberto: – Se P(a) e P(b) têm mesmo
sinal, então existe um
número par de raízes reais
da equação no intervalo
(a;b). Caso não existam
raízes reais no intervalo,
o número será zero raízes!
Teorema de Bolzano
• Se P(x)=0 uma equação polinomial, com
coeficientes reais e (a; b) um intervalo
aberto: – Se P(a) e P(b) têm sinais
diferentes, então existe um
número ímpar de raízes
reais da equação no
intervalo (a;b). Em particular,
podemos dizer que existe
pelo menos uma raiz real
no intervalo