peter markoˇs, kf fei stu april 14,...

Klasicke a kvantove vlny na rozhraniach.

Peter Markos, KF FEI STU

April 14, 2008

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markos: Klasicke a kvantove vlny Katedra fyziky FEI STU

Obsah

1. Prechod cez barieru/vrstvu: rezonancna transmisia

2. Tunelovanie

3. Rezonancne tunelovanie

4. Vlna dopadajuca na rozhranie: odraz, transmisia, uplny odraz, Goos-Hanchenov jav

– Typeset by FoilTEX – 1


Odraz od potencialoveho stupienka I

0x

Rozptyl na potencialovom schode V= + 4, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

R=0.631

Ak je energia vacsia, ako potencialovy stupen, tak klasicka castica vzdy prejde a pokracuje, hoci s mensou

rychlost’ou.

Kvantova castica sa dokaze odrazit’. Vieme urcit’ len pravdepodobnost’, ze prejde na druhu stranu, ale na

zaciatku experimentu nevieme povedat’, aky bude presne jeho vysledok.



Odraz od potencialoveho schodu

0x

Rozptyl na potencialovom schode V= - 4, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

R=0.03

Kvantovy elektron sa dokaze odrazit’ aj od schodu “smerom nadol”.Toto nedokaze ziadna klasicka castica.



Klasicky analog:

-20 -10 0 10

-10

0

10

20eps=1/9 k0=4 sigmak1=0.4 sigmak2=0.2 T=0.626

Prechod elektromagnetickejvlny cez rozhranie. Existuje

jednoznacna suvislost’ medzikvantovym elektronom a klasickouelektromagnetickou vlnou.

Zasadne rozdiely:

• v disperznom zakone: elektron maenergiu E = k2, EM vlna ma

frekvenciu ω = ck/n

• polarizacia

• dvojrozmernost’ ulohy (ale ta

sa da dosiahnut’ aj v prpadeelektronu)



Prechod potencialovou barierou

E V0

ℓ = 2a

−a a0

Ae+ikx

Be−ikx

Ce+ikx

De−ikx

Fe+ik′x

Ge−ik′x



Transmisia

-2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on c

oeff

icie

nt T

V0< 0 V

0> 0

β = 10

E / V0

0 < E < V0

E > 0

E > V0



Rezonancna transmisia

-3 -2 -1 0 1 2 3-6-3036

n = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4n = 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

0

2 n = 5

Rea

l Ψ

,

|Ψ|

x /a-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2n = 7 V

0< 0

Rea

l Ψ

,

|Ψ|

x /a



Rezonancna transmisia

ℓ

r′1

t′1r′2t1e

i2φ

t′1r′2r1r

′

2t1e

i4φ

t′1t′2eiφ

t′1r′2r1t

′

2ei3φ



Anti-transmisia

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

0

2

4

n = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

0

2

4n = 2

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

0

2 n = 7 V0< 0

Rea

lΨ

, |

Ψ|

x /a



Tunelovanie

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1

0

1

2

3

E = 0.95 V0

β = 10

Rea

l

Ψ,

|

Ψ|

x /a-3 -2 -1 0 1 2 310

-3

10-2

10-1

100

E = 0.95 V0

β = 10

|ψ|

x/a

Prechod elektronu cez barieru. Vsimnite si, ze pokles vlnovej funkcie nie je presne exponenci1alny, ale je

vysledkom “interferencie” dvvoch exponencialne klesajucich modov.



Tunelovanie

-2

-1

0

1

2

β = 0.25

-2

-1

0

1

2β = 1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2

-1

0

1

2β = 2

Rea

l Ψ

x /a

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

-20 -10 0 10 20-2

-1

0

1

2

E /V0 = 0.2

E /V0 = 0.5

E /V0 = 0.9

Rea

lΨ

x /a

Pravdepodobnost’ tunelovania zavisı samozrejme na vyske bariery a na jej sırke. Bariera je temertransparentna, ak vlnova dlzka elektronu (EM vlny) je podstatne vacsia, ako sırka bariery.



Prıklad: kvantove tunelovanie elektronu

-30 -20 -10 0 10x

0

0.2

0.4

Rozptyl na Prechod barierou V=6 a=1, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

Τ=0.025

Elektron je schopny pretunelova’t cez barieru, aj ked’ je jeho energia mensia ako je vyska bariery. klasickacastica by sa totalne odrazila.



Viazane stavy

-2 -1 0 1 2

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

Ψn(x)

x /a



EM vlny: viazane stavy:

z

x

n = 2 n = 7



Tunelovanie EM vlny cez planarnu vrstvu: n1 > n2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5θ1/π

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on0 0.5 1

0

0.5

1

ε1 ε2 ε1

n = 10n = 20

Transmisia ako funkcia uhla dopadu: ak θ > θcrit, tak je mozne len tunelovanie - T exponenciane klesa shrubkou vrstvy.

Θ

n1 n

1n

2

ℓ



Tunelovanie: n1 > n2

Θ

n1 n

1n

2

ℓ

Transmisia cez jednu vrstvu (pre s vlnu) k2z = iκ je imaginarne

T1 =1

1 + |M12|2, M12 = − i

2

»

κ

k1z+

k1z

κ

–

sinh κℓ2 (1)

k1z =ωn1

ccos θ, κ =

ωn2

c

v

u

u

t

n21

n22

sin2 θ − 1 (n1 > n2)

T ∼ e−2κℓ2 exponencialne klesa !



Dvojita potencialova bariera: rezonancne tunelovanie.

V0

2a 2b 2a

T=1

E < V0 θ > θcrit

Kvantova castica moze len tunelovat’ cez jednu barieru. Pre urcite energie castice ale nastava rezonancnatransmisia cez dve bariery: T = 1

Analogia pre EM vlnu: napriek tomu, ze je θ > θcrit, transmisia cez dve vrstvy moze byt’ T = 1.



Rezonancna transmisia: dielektrika

nb

na

nb

na

nb

ℓa0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on

olc

Rezonancne tunelovanie: netrivialny jav, dany len vlnam.

Pre 10× sirsie doelektricke vrstvy je transmisia mozna len pre vel’mi presne definovane frekvencie.



Rezonancna transmisia: kov

Transmisia EM vlny cez tenku kovovu vrstvu.

10-3

10-2

10-1

10010

-3

10-2

10-1

100

Abs

orpt

ion

Tra

nsm

issi

on ω/ωp = 0.01

ω/ωp = 0.1

ld

0 20 40 600

0.5

1

Tra

nsm

issi

on

olc

0 10 20 30 40 50 60 700.9

0.92

0.94

0.96

0.98

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

Tra

nsm

issi

on

0 10 20 30 40 50 60 700

0.002

0.004

0.006

olc

Transmisia cez dvojvrstvu je o mnoho radov vacsia, ako cez jednoduchu vrstvu.



Rozptyl EM vlny na rozhranı

-20 -10 0 10

-10

0

10

20eps=1/9 k0=4 sigmak1=0.4 sigmak2=0.2 T=0.626

Prechod EM vlny z opticky redsieho prostredia do opticky hustejsieho (ǫ1 = 1, ǫ2 = 9). Rozne farby

zodpovedaju vlnovemu balıku v roznych casoch.



Uplny odraz EM vlny

Snellov zakon

n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (2)

n je index lomu, n =√

ǫ.

Pokial’ je n1 > n2, tak vlna prejde do prostredia 2 len ak je uhol dopadu mensı, ako kriticku uhol, θ1 < θc.

kriticky uhol zıskame z podmienky, aby uhol lomu θ2 = π/2, teda sin θ2 = 1:

sin θc =n2

n1(3)

Pre vacsie uhly dopadu, θ1 > θc nastava uplny odraz.

V prıpade vlnoveho balıka musıme mysliett’ na to, ze jednotlive rovinne vlny maju rozny vlnovy vektir,~k = (kx, ky) a teda dopadaju na rozhranie pod roznymi uhlami, tan θ = kx/ky. (hodnoty kx a ky sugenerovane z nahodnych hodnot k1 a k2). Preto sa moze stat’, ze niektore zlozky balıka sa neodrazia uplne

(ich uhol dopadu moze byt’ mensı, ako je kriticky uhol). Tomu sa da vyhnut’ vhodnou vol’bou disperzie vrozdeleniach P (k1) a P (k2): ak je balık dostatocne uzky, a zvoleny uhol dopadu θ1 dostato’cne vel’ky,

odrazia sa v’setky komponenty balıka.



Uplny odraz EM vlny

-20-15-10 -5 0 5-20

-15

-10

-5

0

5

-10-8-6 -4 -2 0 2 4

-5

0

5

-10-8-6 -4 -2 0 2 4

0

5

10

-15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

-10-8-6 -4 -2 0 2 4-5

0

5

10

-15 -10 -5 0 5-5

0

5

10

15

-10-8-6 -4 -2 0 2 4-10

-5

0

5

-10-8-6 -4 -2 0 2 4-5

0

5

10

-20-15-10 -5 0 5-5

0

5

10

15

20

Rozhranie eps1/eps2=1/0.2 theta=pi/4 k0=4 sigmak1=0.4 sigmak2=0.2deltat=2

0

4

8

10

12

14

16

18

22

Prechod EM vlny z opticky hustejsieho prostredia do opticky redsieho (ǫ1 = 1, ǫ2 = 0.2)



Goos-Hanchenov efekt

-20 -15 -10 -5 0-20

-10

0

10

20

t = 0

t = 22

y = x

y=-0.98 x +1.018

Odrazena vlna je posunuta vo vertikalnom smere o ∆y,

preto’ze v proces odrazu od rozhrania trva nejaky cas∆t: balık ciasto’cne vnika do druheho prostredia, musı

sa “reorganizovat’”.

Hlbka vniku do druheho prostredia je samozrejme prekazdu rovinnu vlnu ina. Vychadza

κ′ = ik′x =

2π

λ

r

sin2 θ1 − ǫ2

ǫ1. (4)

Pole v druhom prostredı zanika ako e−κx. Preto hlbkavniku do druheho prostredia, ∼ 1/κ∼λ je umerna

vlnovej dlzke dopadajucej vlny. da s apreto cakat’, zeaj posuv v smere y bude ∼ λ, co aj vyslo.



“Spomalenie” vlnoveho balıka

0 5 10 15 20 25 301.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2draha vlnoveho balika v casovych usekoch deltat=2

Draha, ktoru presiel vlnovy balık v jednotlivych casovychusekoch. V procese odrazu sa musel “reorganizovat’”,preto presiel mensiu drahu.



Odraz od kovoveho povrchu

-15 -10 -5 0 5-15

-10

-5

0

5

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-10 -8 -6 -4 -2 0-10

-5

0

5

10

-15 -10 -5 0 5-5

0

5

10

15

Rozhranie vakuum - kov eps=-2 k0=4 deltat=1

0

5

7

9

10

11

12

14

20

Odraz od prostredia so zapornou permitivitou. ǫ2 = −2. Nie je celkom presne, lebo v prıpade kovu

permitivita musı zavisiet’ od frekvencie.

Vlna vniknuvsia do kovu sa bude ciastocne absorbovat’, co je dovod ohriatia povrchu kovu.


peter markoˇs, kf fei stu april 14,...

Documents