physics 2211: lecture 17, pg 1 agenda di oggi lavoro e energia *review *lavoro fatto da una forza...
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Physics 2211: Lecture 17, Pg 1
Agenda di oggi Agenda di oggi
Lavoro e energia
*Review
*Lavoro fatto da una forza variabile
*Molla
*Potenza
Physics 2211: Lecture 17, Pg 2
Review: Forza CostanteReview: Forza Costante
Il lavoro, W, di una forza costante FF
Che agisce attraverso uno
spostamento rr è è :
W = FF r r = F r cos() = Fr rr
FF
rr
displace
ment
Fr
Physics 2211: Lecture 17, Pg 3
Lavoro fatto da una forza variabile : (1D)Lavoro fatto da una forza variabile : (1D)
Quando la forza era costante
scrivevamo W = F x
Che è l’area sotto F :
Per una forza variabile, calcoliamo l’area integrando
dW = F(x) dx. F
x
Wg
x
2
1
x
x
dx)x(FW
F(x)
x1 x2 dx
Physics 2211: Lecture 17, Pg 4
Teorema lavoro/energia cinetica per una forza Teorema lavoro/energia cinetica per una forza variabilevariabile
2
1
x
x
W dtmma
ΔKEm21
m21
)(21
m
FF dx
dx2
1
x
x dtm dv
dxdv
2
1
v
v
m v dv
v22 v1
2 v22 v1
2
dv
dxv
dxdxdv dv dv
dxv
2
1
v
v
m
dt=
dt=
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The graph F (in N) vs x (in m) is shown for the net force F acting on a 0.25 kg object that moves only along the x axis. If the object has a velocity of +7 m/s at x=0, what is the maximum kinetic energy between x=0 m and x=9 m?
(1) 6.1 J (2) 14 J
(3) 9.1 J (4) 10 J
(5) 8.1 J
F+2
-2
1133111331
4X
1 2 3 5 6 7 8 9
Physics 2211: Lecture 17, Pg 6
Un piano inclinato sta accelerando con velocità costante a. Una scatola ferma sul piano è tenuta sul posto dall’attrito statico. Quante forze stanno facendo lavoro sul blocco?
aa
(1)(1) 1 (2)(2) 2(3) (3) 33
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Tracciamo prima tutte le forze agenti sul sistema:
aa
mgmg NN
FFSS
Physics 2211: Lecture 17, Pg 8
aa
mgmg NN
Ricordiamo che W = FF r r così soltanto le forze che hanno una componente lungo la direzione dello spostamento stanno compiendo lavoro.
FFSS
La risposta è (b) 2.
Physics 2211: Lecture 17, Pg 9
MollaMolla
Legge di Hooke: Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo.
FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la
costante di proporzionalità.
Posizione di riposo
FX = 0
x
Physics 2211: Lecture 17, Pg 10
Molla...Molla...
Legge di Hooke: Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo.
FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la
costante di proporzionalità
Posizione di riposo
FX = -kx > 0
xx 0
Physics 2211: Lecture 17, Pg 11
Molla...Molla...
Legge di Hooke: Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo.
FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la
costante di proporzionalità
FX = - kx < 0
xx > 0
Posizione di riposo
Physics 2211: Lecture 17, Pg 12
Scale:Scale:
Le molle possono essere calibrate per farci conoscere la forza applicata. Possiamo calibrare le scale e leggere Newtons,
02468
Physics 2211: Lecture 17, Pg 13
Esempio di forza variabile 1-D : MollaEsempio di forza variabile 1-D : Molla
Per una molla sappiamo che Fx = -kx.
F(x) x2
x
x1
-kxrelaxed position
F = - k x1
F = - k x2
Physics 2211: Lecture 17, Pg 14
Molla...Molla...
Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra
x1 e x2.
Ws
F(x) x2
x
x1
-kxrelaxed position
Physics 2211: Lecture 17, Pg 15
Molla...Molla...
2
1
2
2s
x
x
2
x
x
x
xs
xxk2
1W
kx2
1
dxkx
dxxFW
2
1
2
1
2
1
)(
)(F(x) x2
Ws
x
x1
-kx
Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra x1 e x2.
Physics 2211: Lecture 17, Pg 16
Una scatola che scivola su di una superficie orizzontale in assenza di attrito corre verso una molla comprimendola ad una distanza x1 dalla sua posizione di riposo mentre momentaneamente si arresta.
Se la velocità iniziale della scatola viene raddoppiata e la sua massa viene dimezzata, quanto lontano è il punto x2 a cui viene compressa la molla ?
x
(a)(a) (b) (b) (c)(c)12
xx 12
x2x 12
x2x
Physics 2211: Lecture 17, Pg 17
Nuovamente, usiamo il fatto che WNET = K.
x1v1
così kx2 = mv2
k
mvx 1
11
m1
m1
In questo caso, WNET = WSPRING = -1/2 kx2
e K = -1/2 mv2
Nel caso di x1
Physics 2211: Lecture 17, Pg 18
x2v2
k
mvx
m2
m2
Così se v2 = 2v1 e m2 = m1/2
k
2mv
k
2mv2x 1
11
12
12x2x
Physics 2211: Lecture 17, Pg 19
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Una molla di costante elastica K è stirata ad una distanza d, e una massa m è posta al suo
estremo. La massa è rilasciata dalla sua posizionecon velocità nulla. Qual’è la velocità della massa quando essa ritorna alla posizione di riposo se il piano di scivolamento è senza attrito?
Posizione di riposo
Posizione stirata (ferma)
dafter release
Ritorno alla posizione di riposo
vr
v
m
m
m
m
Physics 2211: Lecture 17, Pg 20
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Trovare prima ill lavoro netto fatto sulla massa durante il moto da x = d a x = 0 (dovuto soltanto alla molla):
Posizione stirata (ferma)
d
posizione a riposo
vr
m
m
ii
2222
1
2
2skd
2
1d0k
2
1xxk
2
1W
Physics 2211: Lecture 17, Pg 21
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.
Troviamo ora la variazione nell’energia cinetica della massa :
Posizione stirata (ferma)
d
Posizione a riposo
vr
m
m
ii
2r
21
22 mv
21
mv21
mv21
ΔK
Physics 2211: Lecture 17, Pg 22
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.
Usiamo il Teorema del Lavoro ed dell’energia cinetica : Wnet = WS = K.
Posizione stirata (ferma)
d
Posizione a riposo
vr
m
m
ii
1
22kd 2
rmv21
mk
dv r
Physics 2211: Lecture 17, Pg 23
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Supponiamo che ci sia un coefficiente di attrito fra il blocco e il pavimento. Il lavoro totale fatto sul blocco è ora la somma del lavoro fatto dalla molla WS (lo stesso di prima) e il lavoro fatto dall’attrito Wf.
Wf = ff.ΔrΔr = - mg d
Posizione stirata (ferma)
d
Posizione a riposo
vr
m
m
ii
f = mg
rr
Physics 2211: Lecture 17, Pg 24
Problema: Molla che spinge su una massa.Problema: Molla che spinge su una massa.Usiamo di nuovo Wnet = WS + Wf = K
Wf = -mg d
Posizione stirata (ferma)
d
Posizione a riposo
vr
m
m
ii
f = mg
rr
W kdS 1
22 2
rmv21
K
2r
2 mv21
mgdkd21 gd2d
mk
v 2r μ
Physics 2211: Lecture 17, Pg 25
PotenzaPotenza
Abbiamo visto che W = FF.rr
NON DIPENDE DAL TEMPO!
FF
rr
vv
PdW
dt
La potenza è la
“variazione del lavoro
fatto nel tempo”:
Se la forza non dipende dal tempo
: dW/dt = FF.drr/dt = FF.v v P =
FF.vv Unità di misura: J/sec = N-m/sec = Watts
Physics 2211: Lecture 17, Pg 26
PotenzaPotenzaUn carrello di 2000 kg è spinto su una
a 30 gradi con una velocità di
20 mi/hr fino alla sommità.
Quanta potenza è necessaria ?
La potenza è P = FF.v v = TT.v v
Poichè il carrello non sta accelerando, la forza netta deve essere nulla. Nella direzione x :
T - mg sin = 0
T = mg sin
vv
mg
TT
winch
xy
Physics 2211: Lecture 17, Pg 27
PotenzaPotenza
P = TT.vv = Tv poichè TT è parallela a vv
Così P = mgv sin
v = 20 mi/hr = 8.94 m/sg = 9.81 m/s2
m = 2000 kgsin = sin(30o) = 0.5
e P = (2000 kg)(9.81 m/s2)(8.94 m/s)(0.5) = 87,700 W
vv
mg
TT
winch
xy
Physics 2211: Lecture 17, Pg 28
Riassunto della lezione di oggiRiassunto della lezione di oggi
Lavoro fatto dalla molla
Potenza