Kinematik und Mechanik

'Physik für Ingenieure (Maschinenbau)'�Vorlesung vom 30.10.13

Themen: Kinematik und Mechanik

Jonas Herick Alexander Berlin Werner Meyer

Lehrstuhl für Hadronen und Kerne, Ruhr-Universität Bochum

30.Oktober 2013

Dritte Vorlesung � Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 1

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Kinematik und Mechanik

Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung I

Physik ist eine Erfahrungswissenschaft, die auftretende Phänomene mitobjektiven Messmethoden analysiert und quantitativ beschreibt.

Physikalische Gröÿen bestehen aus einem Zahlenwert und einer zugehörigenEinheit.Alle phy. Einheiten lassen sich aus den SI-Basiseinheiten zusammensetzen:Länge [m ], Zeit [ s ], Masse [ kg ], Temperatur [ K ], Sto�menge [mol ],Stromstärke [ A ], Lichtstärke [ cd ]

Modellvorstellung des Massepunktes:

Gesamte Masse eines Körpers wird sich in seinem Schwerpunkt konzentriertvorgestellt

Bewegung nur in x-,y-, z-Richtung (Translation) einschl. Ruhe

keine Beschreibung von Phänomenen die mit der Ausdehnung des Körperszusammenhängen

z.B.: Rotation

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Kinematik und Mechanik

Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung II

Kinematik (Bewegungslehre)

Beschreibung der Bewegung eines Massepunktes durch Ort-Zeit-Funktion ~x(t)Geschwindig ~v gegeben durch Ableitung von ~x nach der Zeit

~v(t) = lim∆t→0

∆~x

∆t=

d

dt~x = ~̇x

Beschleunigung ~a durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gegeben

~a =d

dt~v(t) = ~̇v =

d2

dt2~x(t) = ~̈x

Spezialfall: Erdbeschleunigung und freier Fall⇒ Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell

durchfallene Höhe ~h = 12~gt2 =⇒ Fallzeit t =

√

2~h~g

mit ~g =

00−g

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Kinematik und Mechanik

Weiteres zur Kinematik

weg vom Spezialfall:

Bewegungsgleichung mit Anfangsgeschwindigkeit ~v0 und Anfangsort ~x0

~x(t) =12~at2 + ~v0t + ~x0

für die Geschwindigkeit gilt: ~v(t) = ~at + ~v0

Bsp.: Senkrechter Ballwurf (eindimensionale Betrachtung)Abwurfhöhe h0 ≈ 1, 5m, Fallzeit bis zum Boden t =Wie groÿ waren Anfangsgeschwindigkeit v0 und Maximalhöhe hmax?

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Kinematik und Mechanik

Mehrdimensionale Betrachtung

Erdbeschleunigung g wirkt nur auf die z-Komponente der Bewegung.Bsp.: Horizontaler Wurf, Schanze

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Kinematik und Mechanik

Prinzipien der Mechanik

Was ist die Ursache für das Auftreten einer Beschleunigung?

Trägheitsprinzip nach Galilei

Ohne äuÿere Ein�üsse verbleibt jeder beliebige Körper in Ruhe odergleichförmiger Bewegung.

nicht selbstverständlich da:

frei fällt alles nach unten (Gravitation)

rollende Fahrzeuge werden mit der Zeit immer langsamer (Reibung)

geostationäre Satelliten verbleiben über einem Ort(Gravitationsbeschleunigung wird durch Zentrifugalbeschleunigungkompensiert)

Nachweis des Trägheitsprinzips im Labor nicht so einfach, daabbremsende/beschleunigende E�ekte kompensiert werden müssen! (Bsp.:Luftkissenbahn)

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Kinematik und Mechanik

Träge Masse

Galilei prägte auÿerdem den Begri� der trägen Masse, worunter er dasBeharrungsvermögen eines Körpers verstand, sich Beschleunigungen zuwidersetzen.Bsp.: Beschleunigung und Bremsen im Auto

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Kinematik und Mechanik

Newtonsche Gesetze I

Im Wesentlichen übernahm Sir Isaac Newton das Trägheitsprinzip von Galilei undformulierte es mathematisch um.

1. Newtonsche Gesetz

Wenn kein äuÿerer Ein�uss (Kraft) auf einen Körper der Masse m wirkt, ist

~a =d~v

dt= 0

Aber: Bei der Planetenbewegung ist ~a 6= 0, da sie sich auf Kreisbahnen bewegen.Also muss eine ständige Kraft vorliegen, die diese Beschleunigung bewirkt.⇒ das ist die Gravitation!

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Kinematik und Mechanik

Newtonsche Gesetze II

Newton hat in dieser Beschleunigung einer Masse m die Wirkung einer Kraft Ferkannt!

2. Newtonsche Gesetz

Grundgleichung der Mechanik:

Kraft = Masse× Beschleunigung

~F = m · ~a

m = träge Masse

Die Einheit der Kraft ~F ist das Newton N.De�nition: 1N erteilt einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 m

s2

Dimension der Kraft:[

~F]

=kgms2

= N

Die Kraft ist indirekt über ihre Wirkung, die Beschleunigung des Körpers,de�niert!

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Kinematik und Mechanik

Beispiel: Federkraftmesser

Bestimmung der Gröÿe einer Kraft beispielsweise mit Hilfe von Federkraftmessern.

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Kinematik und Mechanik

Bsp.:Aufspringen mit gesteckten Beinen

Schienbeinbruch bei etwa F = 2 · 50000N = 105N(=̂10 t Gewicht auf gestreckte Beine)

Frage: Fallhöhe für Schienenbeinbruch

Aufsprungkraft = FSprung = m · aBremsEndgeschwindigkeit v bei freien Fall aus Höhe Haus v = gt und H = g

2t2 ⇒ v2 = 2 · H · g

Diese Geschwindigkeit muss auf Null abgebremst werden innerhalb derStauchungshöhe h ≈ 1 cm

gemäÿ v2 = 2 · h · aBrems(1)+(2)=⇒ aBrems =

Hh· g

F = m · aBrems = 105N = mg Hh⇒ H = 10

5 N·hm·g

=10

5·10

−2

75·10

[

kgmms2

s2 kgm

]

≈ 1, 3m

Daher: Besser in die Knie gehen beim Aufsprung und somit h vergröÿern!

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Kinematik und Mechanik

Newtonsche Gesetze III

Kräfte treten nie alleine auf:

3. Newtonsche Gesetz

Übt ein Körper auf einen zweiten Körper einen Kraft aus, so übt der zweiteKörper eine gleich groÿe entgegengesetzte Kraft auf den erste Körper aus.

F1→2 = −F2→1

oder auch: actio = reactio

Beispiel: Schlag auf den Tisch, Tisch schlägt zurück!Experiment: Verbundene Skateboards

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Kinematik und Mechanik

Gravitation I

Alle massebehafteten Körper ziehen sichan

Planeten

Strukturen im Weltall

aber auch: Körper auf der Erde

E�ekt bekannt als Gravitation oder auch erste Wechselwirkung

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Kinematik und Mechanik

Gravitation II

Zwischen zwei Körpern der Massen m und M , sowie dem Abstand r wirkt dieGravitationskraft:

Newton's Gravitaionsgesetz∣

∣

∣

~F12

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

~F21

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

~F∣

∣

∣= G · m·M

r2

mitG = (6, 673±0, 007)·10−11

[

N·m2

kg2

]

Wichtige Errungenschaft von Isaac Newton!

Ursprung der Naturkonstanten G ist noch unbekannt.

=⇒ einziger Zugang: Experimente

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Kinematik und Mechanik

Bestimmung von G

Beispielsweise:Bestimmung mit Hilfe des Schwerefeldes der Erde:

F = m · g = G · m·MEr2E

⇒ g = G · MEr2E

für Fallhöhe h ≪ rE und m ≪ ME⇒ Änderung des Abstandes zum Mittelpunkt und

Auslenkung der Erde vernachlässigbar klein

Messung der Beschleunigung g über:

∆x = 12g∆t2 ⇒ g = 2∆x

∆t2

G =2∆x

∆t2·

r2

E

ME

Vorsicht Zirkelschluss! Erdmassebestimmung nur mit Hilfe von G! BesserBestimmung mit anderen Methoden (Bsp.: Cavendishe Gravitationswaage)

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Kinematik und Mechanik

Masse und Gewicht

Gewicht

Kraft mit der ein Körper der Masse m z.B. von der Erde angezogen wird(Schwerkraft)

~Fschwer = m · ~g

Die Masse ist hingegen eine Körpereigenschaft die unabhängig von g ist

Bespiel: Gewicht einer Person der Masse m=75 kgBeschleunigung Gewichtskraft

Erde

Mond

Schwerelosigkeit

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Kinematik und Mechanik

Kräfteaddition I

Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so ergibt sich die resultierende Kraftdurch die Vektoraddition dieser Kräfte:

~Fres. = ~F1 + ~F2 + ~F3 + ...+ ~Fn =

n∑

i=1

~Fi

Kräfte-Parallelogramm:

��

��

����

�

��

��

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Kräfteaddition II

Umgekehrt folgt auch, dass sich jede Kraft in Teilkräfte (Komponenten) zerlegenlässt.Bsp.: Schiefe Ebene

�

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,ΕΡΚΕΦΞςΜΙΦΩΟςΕϑΞ

Kinematik und Mechanik

Arbeit I

Arbeit

Um einen Körper, an dem eine konstante Kraft ~F angreift, um eine Srecke ~s zuverschieben, muss eine Arbeit aufgewendet werden.

W = ~F ·~s︸︷︷︸

Skalarprodukt

= |~F | · |~s| · cosα

Die Einheit der Arbeit ist das Joule J.Dimension der Arbeit: [W ] = kgm

2

s2= Nm = J

Bei der Betrachtung der Arbeit ist es also wichtig wie Kraft und Streckezueinander orientiert sind.Bsp.: Ziehen eines Klotzes unter verschiedenen Winkeln

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Kinematik und Mechanik

Hubarbeit

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Kinematik und Mechanik

Verallgemeinerung zur Arbeit

��

��

��

Kraft ~F abhängig vom Ort

W =s2∫

s1

~F (s)d~s Linienintegral

Wenn die Kraft unab-hängig vom Weg ist (sieheHubarbeit im Gravitation-skraftfeld) spricht man voneinem konservativen oderZentral-Kraftfeld!

||||||||||||||||||

Bsp.: Arbeit gegen veränderliche Kraft �Zusammendrücken einer Feder

Federkonstante

D

x0

dx

0Ruhelage

Enspannte Feder entspanne sich bis x=0

Zusammendrücken =⇒ gerader Weg,Federkraft antiparallel und veränderlichF = D · x ⇒ dW = D · x · dx

W =

x0∫

0

D·x ·dx = D

x0∫

0

xdx = D

[

x2

2

]x0

0

=12Dx20

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Kinematik und Mechanik

Beschleunigungsarbeit

Beim Beschleunigen einer Masse m von v = 0 auf v = vend muss Arbeitverrichtet werden gegen die Trägheitskraft ~F = m ·~a

Für die Beschleungungsstecke folgt aus den Bewegungsgleichungen:

vend = a · t und s =a

2· t2

⇒ t =venda

=⇒ s = a2·

( venda

)2=

12·v2end

a

Eingesetz in die Gleichung für die Arbeit folgt:

W = F · s = m · a · 12·v2end

a=

12mv2end

Bsp.: PKW (1500 kg) von 0 auf 180 km/h=̂50m/s

WPKW =12· 1500 kg

(

50m

s

)2

= 1 875 000 kgm2

s2= 1, 875MJ

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Kinematik und Mechanik

Leistung

Leistung

Unter dem Begri� der Leistung versteht man die pro Zeiteinheit geleistete Arbeiteines Systems.

P =dW

dt= Ẇ

Die Einheit der Leistung ist das Watt W.

[P] =kgm2

s3=

Nm

s=

J

s= W

veraltete Einheit: Pferdestärke 1 PS≈̂735WBsp.:

Dauerleistung eines Bergsteigers (m=75 kg)2000 Höhenmeter in 4 Stunden: P = ∆W

∆t= 75 kg·10

m/s2·2000m4·3600 s

≈ 104W

kurzzeitiges Treppensteigen2 Meter in 2 Sekunden: P = ∆W

∆t= 75 kg·10

m/s2·2m2 s

= 750W

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Kinematik und Mechanik

Energie

Eng mit dem Begri� der Arbeit ist die Energie verbunden.

Die Energie E bezeichnet dabei den Vorrat an Arbeitsvermögen.

Die Dimension der Energie ist ebenfalls das Joule.

[Energie E ] = [Arbeit W ] = J

Bsp.: Lageenergie oder potentielle Energiekinetische Energie Ekin =

1

2mv2

⇒ hat ein Minimum bei v=0 m/s, nämlich 0 J

potentielle Energie im Schwerefeld der Erde Epot = mgh⇒ Nullpunkt wird willkürlich/dem Problem entsprechend gewählt. Auchnegative Werte möglich!

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Kinematik und Mechanik

Umwandlung von Energie

Energieerhaltung

Die Energie E, eines abgeschlossenen Systems, ist eine Erhaltungsgröÿe, dassheiÿt sie kann in andere Energieformen umgewandelt werden, jedoch nichtvernichtet oder aus dem Nichts erscha�en werden.

Bsp.: Freier Fall einer Masse m=1 kg aus 2m HöhePotentielle (Lage-)Energie ⇒ kinetische (Bewegungs-)EnergieEnergieerhaltung: Epot + Ekin = mgh + 12mv

2 = Etot = konst.

Höhe potentielle Energie kinetische Energie Geschwindigkeit v10m

5m

0m

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Kinematik und Mechanik

Exkurs: Fluchtgeschwindigkeit

Im Folgenden möchten wir kurz betrachten, welche Geschwindigkeit ein Objekthaben müsste um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen.

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Kinematik und Mechanik

Beispiel:Columbiade

In dem Roman 'Die Reise von der Erde zum Mond' will Jules Verne seineProtagonisten mit einer Kanone zum Mond schieÿen. Der Lauf dieser Kanonebeträgt 270 m.Können Jules Vernes Astronauten diesen Start überleben?

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