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Physik für Wissenschaftler und Ingenieure von Paul A. Tipler, Gene Mosca, Michael Basler, Renate Dohmen, Carsten Heinisch, Anna Schleitzer, Michael Zillgitt 1. Auflage Physik – Tipler / Mosca / Basler / et al. schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Thematische Gliederung: Physik, Chemie für Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag 2009 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 8274 1945 3 Inhaltsverzeichnis: Physik – Tipler / Mosca / Basler / et al.

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Physik

für Wissenschaftler und Ingenieure

vonPaul A. Tipler, Gene Mosca, Michael Basler, Renate Dohmen, Carsten Heinisch, Anna Schleitzer, Michael Zillgitt

1. Auflage

Physik – Tipler / Mosca / Basler / et al.

schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

Thematische Gliederung:

Physik, Chemie für Ingenieure

Spektrum Akademischer Verlag 2009

Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.de

ISBN 978 3 8274 1945 3

Inhaltsverzeichnis: Physik – Tipler / Mosca / Basler / et al.

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1Die Anzahl der Sandkör-ner an einem Strand kannman nicht abzählen. Mitgeeigneten Annahmenund einfachen Berech-nungen lässt sie sich aberschätzen. (Mit freundli-cher Genehmigung vonAnja Groth.)

? Wie viele Sandkör-ner liegen an IhremLieblingsstrand? (SieheBeispiel 1.6.)

Messung und Vektoren

1.1 Vom Wesen der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Dimensionen physikalischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Signifikante Stellen und Größenordnungen . . . . . . . . . 71.5 Messgenauigkeit und Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Allgemeine Eigenschaften von Vektoren . . . . . . . . . . . . 16

Der Mensch ist von Natur aus neugierig und trachtete schon immer danach, die ihnumgebende Welt zu ergründen. Solange es Aufzeichnungen gibt, suchen wir nachWegen, die verwirrende Vielfalt von Ereignissen, die wir beobachten, zu ordnen: DasBlau des Himmels, die Änderung des Klangs, wenn ein Auto an uns vorüberfährt, dasWiegen der Bäume im Wind, den Sonnenauf- und -untergang, den Flug eines Vogelsoder Flugzeugs und anderes. Bei der Suche nach Erkenntnis gibt es verschiedeneHerangehensweisen: Eine davon ist die Religion, eine andere die Kunst und eine dieWissenschaft. In der Wissenschaft unterscheidet man zwischen Naturwissenschaftenwie der Physik und Geisteswissenschaften wie der Philosophie. Die Physik hat essich zum Ziel gesetzt, die Grundgesetze des Universums und ihre Wirkungsweise zubeschreiben. Sie behandelt Kategorien wie Materie und Energie, Raum und Zeit.

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2 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Wie andere Wissenschaften auch, ist die Physik auf ei-ne ganz spezifische und rationale Weise organisiert. DerPhysiker will die Realität beschreiben, erklären und vor-hersagen, indem er Modelle aufstellt, diese überprüft undmiteinander verknüpft. Dabei bedient er sich Hypothe-sen, reproduzierbarer Experimente, Beobachtungen undwieder neuer Hypothesen. Das Ergebnis sind eine Rei-he von Grundprinzipien und Gesetzmäßigkeiten, die dieErscheinungen in der uns umgebenden Welt beschreiben.Mithilfe dieser Gesetzmäßigkeiten können sowohl exoti-sche Phänomene – dunkle Energie und Elementarteilchenwie Leptoquarks und Bosonen – als auch ganz alltäglicheDinge beschrieben werden. Wie wir bald sehen werden,lassen sich mit Grundkenntnissen der Physik zahlreicheFragen beantworten, mit denen wir häufig konfrontiertsind: Weshalb ist der Himmel blau? Wie schweben Astro-nauten im Weltraum? Wir funktioniert ein CD-Spieler?Weshalb klingt eine Oboe anders als eine Flöte? Warumbenötigt ein Hubschrauber zwei Rotoren? Weshalb füh-len sich Metallgegenstände mit der gleichen Temperaturkälter an als solche aus Holz? Schließlich gibt es physika-lische Fragen, die heiße Diskussionen auslösen: Warumgehen bewegte Uhren nach? Wie ist das Universum ent-standen?

In diesem Buch werden wir zeigen, wie sich diese und vie-le weitere Fragen ausgehend von physikalischen Prinzi-pien beantworten lassen. Dabei werden Sie die bekanntenGebiete der Physik wie Mechanik (die Untersuchung derBewegung von Körpern), Schall, Licht, Wärme, Elektrizi-tät, Magnetismus, Atom- und Kernphysik wiederfinden.Darüber hinaus werden Sie nützliche Vorgehensweisenzur Lösung physikalischer Aufgabenstellungen erlernen.Wenn Sie dabei auch noch einen besseren Blick und eintieferes Verständnis für die Schönheit der Physik gewin-nen würden, hätte das Buch sein Ziel erreicht.

� In diesem Kapitel wollen wir einige vorbereitende The-men behandeln, auf die wir im Verlauf des Buchs im-mer wieder zurückkommen werden. Zunächst wollen wirkurz betrachten, worin das Wesen der Physik besteht. An-schließend werden wir verschiedene grundlegende Defi-nitionen treffen, das internationale Maßeinheitensystemeinführen und seine Verwendung kennenlernen. Den Ab-schluss bildet eine Einführung in die Vektorrechnung.Weitere Themen sind Messgenauigkeit und Messfehler,signifikante Stellen von Zahlen und die Schätzung vonGrößenordnungen.

1.1 Vom Wesen der Physik

Das Wort „Physik“ leitet sich vom griechischen Wort phy-sis für die Beschaffenheit der Körper ab und bedeutet Kennt-nis der natürlichen Welt. Somit ist es sicher nicht verwun-derlich, dass die ersten überlieferten Versuche, systematischWissen über Bewegungen zusammenzutragen, aus der grie-

chischen Antike stammen. In der Naturphilosophie des Aris-toteles (384–322 v. Chr.) wurden Erklärungen für physika-lische Erscheinungen nicht aus Experimenten, sondern ausAnnahmen über die Welt und aus dem Allgemeinwissen derGelehrten abgeleitet. Eine Grundannahme besagte z. B., dassjeder Stoff einen „natürlichen Ort“ im Universum besitzt unddass Materie eine natürliche Ausdehnung hat. Die Bewegungetwa eines Körpers war der Versuch, diesen natürlichen Ort zuerreichen. Das entsprechende griechische Weltbild hielt sichfast zweitausend Jahre: Die in der Natur beobachteten Bewe-gungen stimmten ja mit der Aristotelischen Physik überein,und Experimente, die die Vorstellungen der antiken Griechenhätten widerlegen können, gab es noch nicht. Erst Galileo Ga-lilei (1564–1642) machte mit seinen brillianten Experimen-ten zur Bewegung die Notwendigkeit deutlich, in der Physikmit speziellen Beobachtungsmethoden zu experimentieren.Seine klassischen Experimente zur Bewegung bewiesen einfür alle Mal, wie wichtig in der Physik experimentelle Be-obachtungen sind. Einhundert Jahre später hatte Isaac New-ton die Ergebnisse von Galileis Experimenten zu seinen dreiberühmten Axiomen verallgemeinert und damit das Zeitalterder Aristotelischen Naturphilosophie endgültig beendet.

Die Experimente während der nächsten zweihundert Jahrebrachten eine Flut neuer Erkenntnisse – warfen aber gleich-zeitig auch eine Fülle neuer Fragen auf. Einige dieser Entde-ckungen betrafen elektrische und magnetische Erscheinun-gen, andere die Expansion und Kompression von Gasen. So-mit mussten neue Modelle entwickelt werden, um diese Ent-deckungen und Fragen zu klären. Ende des 19. Jahrhundertsexistierten neben den Newton’schen Axiomen für die Bewe-gung mechanischer Systeme die nicht minder erfolgreichenGesetze von James Maxwell, James Joule, Sadi Carnot undanderen zur Beschreibung des Elektromagnetismus und derThermodynamik. Die Gebiete, mit denen sich die Physikerund deutsche Lehrbuchautoren wie Ernst Mach und HeinrichHertz Ende des 19. Jahrhunderts vorrangig beschäftigten –Mechanik, Licht, Wärme, Schall, Elektrizität und Magnetis-mus –, werden üblicherweise als klassische Physik bezeich-net. Die klassische Physik ist unumgänglich für das Verständ-nis der makroskopischen Welt, in der wir leben. Sie wird vor-wiegend in Teil I bis V dieses Buchs behandelt.

Der bemerkenswerte Erfolg der klassischen Physik führteviele Wissenschaftler zu dem Glauben, die Beschreibungdes physikalischen Universums sei damit abgeschlossen.Die Entdeckungen der Röntgenstrahlen durch WilhelmRöntgen im Jahre 1895 und der Radioaktivität durch AntoineBecquerel sowie Marie und Pierre Curie in den nächstenJahren passten jedoch überhaupt nicht in diesen Rahmen.Die von Albert Einstein 1905 veröffentlichte spezielleRelativitätstheorie erweiterte schließlich die von Galilei undNewton begründeten klassischen Vorstellungen von Raumund Zeit. Zudem schlug Albert Einstein im gleichen Jahrdie Lichtquantenhypothese vor, der zufolge die Lichtenergiequantisiert sein sollte. Licht sollte also nicht, wie in der klassi-schen Physik angenommen, wellenförmig und kontinuierlichsein, sondern aus diskreten Lichtpaketen bestehen. Die Ver-

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1.2 MASSEINHEITEN 3

Mes

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...allgemeinerung dieser Erkenntnis zur Quantisierung aller

Arten von Energie ist die Grundidee der Quantenmechanik.Sie führt zu zahlreichen verblüffenden und bedeutsamen Fol-gerungen. Die Anwendung der speziellen Relativitätstheorieund insbesondere der Quantentheorie auf extrem kleineSysteme wie Atome, Moleküle und Atomkerne hat zu einemtiefgreifenden Verständnis von Festkörpern, Flüssigkeitenund Gasen geführt. Diese Gebiete werden als moderne Physikbezeichnet, die Gegenstand von Teil VI dieses Buchs ist.

Auch wenn dieses Buch hauptsächlich die klassische Phy-sik behandelt, wird schon in den ersten Kapiteln gelegentlichauf den Zusammenhang von klassischer Physik und moder-ner Physik hingewiesen. So werden wir uns bei der Erläute-rung der Geschwindigkeit in Kapitel 2 beispielsweise kurzhohen Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit zu-wenden und dabei die Relativitätstheorie Einsteins streifen.Nach dem Energieerhaltungssatz in Kapitel 7 werden wir dieQuantisierung der Energie sowie Einsteins berühmte Bezie-hung E = m c2 für Masse und Energie behandeln. Etwas spä-ter werden wir in Kapitel R das von Albert Einstein 1905 auf-gedeckte Wesen von Raum und Zeit untersuchen.

1.2 Maßeinheiten

Die physikalischen Gesetze bringen Beziehungen zwischenphysikalischen Größen zum Ausdruck. Physikalische Grö-ßen sind Zahlen, die durch die Messung physikalischer Er-scheinungen erhalten werden. Beispiele für physikalischeGrößen sind also die Dicke dieses Buchs, die Zeit, die Siezum Lesen dieses Satzes brauchen, und die Lufttemperaturin Ihrem Hörsaal.

Die Messung jeder physikalischen Größe erfordert den Ver-gleich mit einem genau definierten Standard, einer Maßein-heit dieser Größe. So benötigt man eine Standardmaßeinheitder Länge wie etwa ein Meter oder einen Kilometer, um bei-spielsweise den Abstand zweier Punkte zu messen. Die Aus-sage, eine Strecke sei 25 Meter lang, bedeutet, dass sie 25-malso lang ist wie die Maßeinheit Meter. Da zur Längenmessungunterschiedliche Maßeinheiten verwendet werden können, istes bei der Angabe einer Strecke wichtig, zusammen mit derMaßzahl, in diesem Fall also 25, die Maßeinheit, d. h. Me-ter, anzugeben. Die Aussage, eine Strecke sei 25, ist demnachsinnlos.

Einige der wichtigsten physikalischen Größen – die Zeit, dieLänge und die Masse – sind durch das Verfahren definiert,mit dem sie gemessen werden. So ist die Länge einer Stan-ge dadurch definiert, wie oft man eine Maßeinheit der Längeaneinanderfügen muss, um die Länge der Stange zu erhalten.Häufigwerdenphysikalische GrößenunterVerwendungeineroperationalen Definition definiert, d. h. durch die Operati-on, die ausgeführt werden muss, um die physikalische Größezu messen. Andere physikalische Größen sind durch eine Be-schreibung definiert, wie sie aus diesen Grundgrößen berech-net werden können. So ist die Geschwindigkeit eines Körpers

Wasseruhr, wie sie im 13. Jahrhundert zur Messung von Zeitinter-vallen genutzt wurde. (Ullsteinbild-Granger Collection.)

der Quotient aus einer Länge und einer Zeit. Viele Größen,mit denen wir in diesem Buch umgehen werden, etwa die Ge-schwindigkeit, die Kraft, der Impuls, die Arbeit, die Energieund die Leistung, lassen sich durch Zeit, Länge und Masseausdrücken. Offenbar reicht eine kleine Anzahl der entspre-chenden Grundeinheiten aus, um alle physikalischen Größendurch sie auszudrücken. Die Wahl dieser Grundeinheiten be-stimmt das Einheitensystem.

Das internationale Einheitensystem

InderPhysikmuss eineinheitliches Einheitensystemverwen-det werden. Ein internationales Komitee hat 1960 einen SI(Système International) genannten Satz von Standardmaß-einheiten aufgestellt. Im SI-System gibt es sieben Grundgrö-ßen: die Länge, die Masse, die Zeit, den elektrischen Strom,die thermodynamische Temperatur, die Stoffmenge und dieLichtstärke. Jede Grundgröße hat eine Grundeinheit. Die SI-Grundeinheit für die Zeit ist die Sekunde, die für die Län-ge das Meter und die für die Masse das Kilogramm. Bei derBehandlung der Thermodynamik und der Elektrizität wer-den wir noch die SI-Grundeinheiten für die Temperatur (dasKelvin, K), für die Stoffmenge (das Mol, mol) und für denelektrischen Strom (das Ampere, A) benötigen. Die siebteSI-Grundeinheit, das Candela (cd), werden wir in diesemBuch nicht benötigen. Für die Definition der Standards je-der Grundgröße wird derzeit angestrebt, alle SI-Grundgröß-en über Naturkonstanten festzulegen. Eine vollständige Listeder Definitionen der SI-Einheiten sowie oft verwendeter dar-aus abgeleiteter Einheiten finden Sie in Anhang A.

Zeit Die Maßeinheit der Zeit t , die Sekunde (Abkürzung s),war früher über die Drehung der Erde definiert und entsprach(1/60) · (1/60) · (1/24) eines mittleren Sonnentags von 24Stunden à 60 Minuten à 60 Sekunden. Allerdings haben Wis-senschaftler beobachtet, dass sich die Umdrehungsgeschwin-digkeit der Erde allmählich verringert. Heute ist die Sekundeüber eine charakteristische Strahlungsfrequenz des Cäsium-atoms definiert. Atome, die Energie absorbiert haben, emit-tieren Licht, dessen Frequenzen bzw. Wellenlängen für das

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4 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Cäsiumuhr und ihre Entwickler Steve Jefferts und Dawn Meekhof.(©1999 Geoffrey Wheeler.)

Nordpol

Paris

Äquator 107 m

1.1 Das Meter war ursprünglich so gewählt, dass der Abstand vomÄquator zum Nordpol entlang des Meridians durch Paris genau107 m (10000 km) beträgt.

Das Urkilogramm ist ein Zylinder aus einer Platin-Iridium-Legierung, der im Internationalen Büro für Gewichte und Maße inSèvres, Frankreich, aufbewahrt wird. (© BIPM; www.bipm.org.)

betreffende Element charakteristisch sind. Jedes Element be-sitzt seine eigene Anzahl von Wellenlängen bzw. Frequenzen,wobei jedem Energieübergang in dem Atom eine bestimmteFrequenz und Wellenlänge zugeordnet sind. Soweit wir heu-te wissen, sind diese Frequenzen konstant. Heute ist die Se-kunde so definiert, dass die Frequenz des Lichts von einembestimmten Energieübergang in Cäsium genau 9192631770Schwingungen pro Sekunde entspricht.

Länge Das Meter (m) ist die SI-Standardmaßeinheit derLänge. Früher war diese Länge als ein Zehnmillionstel desAbstands vom Äquator zum Nordpol entlang des Meridiansdurch Paris definiert (Abbildung 1.1). Allerdings ließ sichdieser Abstand nur schwer genau messen. So wurde 1889der Abstand zweier Kerben auf einem Stab aus einer Platin-Iridium-Legierung, der auf einer festen Temperatur gehaltenwurde, als neuer Standard angenommen. Aber auch hier zeig-te sich mit der Zeit, dass dieses Urmeter zu ungenau war,sodass andere Definitionen herangezogen werden mussten.Gegenwärtig ist das Meter über die Lichtgeschwindigkeit imVakuum bestimmt, die als genau 299792458 m/s festgelegtist. Das Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in1/299729458 Sekunden zurücklegt. Über diese Definitionensind die Grundeinheiten der Länge und der Zeit jedem Laborder Welt zugänglich.

Masse Die SI-Einheit der Masse, das Kilogramm (kg), warfrüher als die Masse eines Liters Wasser bei 4°C definiert.(Das Volumen eines Liters ist gleich dem eines Würfels mit ei-ner Kantenlänge von 10 cm.) Die Definition des Kilogrammsunterlag ebenso wie die der Zeit und der Länge mit der ZeitÄnderungen. Heute ist das Kilogramm als Masse eines Zy-linders aus einer Platin-Iridium-Legierung definiert. DieserZylinder, das sogenannte Urkilogramm, wird im Internatio-nalen Büro für Gewichte und Maße in Sèvres, Frankreich,aufbewahrt. Ein Duplikat dieses Körpers befindet sich in derPhysikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig.Da das Pariser Urkilogramm gegenüber den Kopien einenmessbaren Masseverlust aufweist, werden in Braunschweigfür ein neues Ur-Kilogramm aus Silicium 28 seit 2008 zweiSilicium-Kugeln vermessen, um einen Massenstandard aufatomarer Basis von 28Si entwicklen zu können. Das Konzeptder Masse wird in Kapitel 4 näher erläutert.

Maßeinheitenvorsätze

Häufig muss man mit Maßeinheiten umgehen, die sehr vielkleiner oder größer als die SI-Standardeinheiten sind. In die-sen Fällen empfiehlt es sich, auf Zehnerpotenzen der SI-Einheiten zurückzugreifen. Die verschiedenen Zehnerpoten-zen werden durch Vorsätze bezeichnet. So bedeutet der Vor-satz „Kilo“ 1000 oder 103, während „Mikro“ für 0,000001bzw. 10−6 steht. In Tabelle 1.1 sind häufig vorkommendeVorsätze von SI-Einheiten zusammengestellt. Diese Vorsät-ze können auf jede SI-Einheit angewendet werden. Zum Bei-spiel sind 0,001 Sekunde 1 Millisekunde (ms) und 1000000Watt 1 Megawatt.

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(a) (b)

a) Hier wird ein Laserstrahl vom McDonald Observatory verwendet, um die Entfernung zum Mond zu messen. Diese Entfernung lässt sichauf den Zentimeter genau ermitteln, indem die Zeit gemessen wird, die der Laserstrahl bis zum Mond und zurück benötigt. b) Der hierfürbenötigte Spiegel wurde von den Astronauten von Apollo 14 aufgestellt. (a) McDonald Observatory; b) Bruce Coleman.)

Übung 1.1: Beschreiben Sie die folgenden Größen durchgeeignete Vorsätze: a) Die Verzögerung durch die Verwürfe-lung von etwa 0,0000003 Sekunden bei einer Kabelfenseh-sendung und b) den Erdumfang von 40000000 Metern. �

Umrechnen von Maßeinheiten

Gelegentlich kommt es vor, dass im Verlauf einer Rechnungvon einer Maßeinheit in eine andere umgerechnet werdenmuss. In der Praxis muss man dabei, etwa bei Zeiteinheiten,auch mit anderen als den in Tabelle 1.1 genannten Vorsätzenumgehen. Zum Beispiel kann der Weg gesucht sein, den einAuto, das mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/hfährt, in drei Stunden zurücklegt. Dieser Weg ist das Produktaus Geschwindigkeit und Zeit:

x = v t = 80 km

�h· 3 �h = 240 km.

Die Zeiteinheit Stunde (h) kann hier wie jede andere Zahlbehandelt und gekürzt werden, sodass die Maßeinheit Kilo-meter stehen bleibt.

Ähnlich lassen sich viele weitere Maßeinheiten ineinanderumrechnen. Häufig müssen z. B. Angaben in Stunden inMinuten umgerechnet werden. Hierzu nutzt man Umrech-nungsfaktoren. Zunächst schreibt man dafür die Beziehungzwischen Stunden und Minuten, also 1 h = 60 min, auf. An-schließend dividiert man beide Seiten durch 60 min, was denentsprechenden Umrechnungsfaktor

1 h

60 min= 1

ergibt. Mit ihm lassen sich nun Minuten beliebig in Stundenumrechnen:

180 min = 180��min1 h

60��min= 3 h.

Tabelle 1.1 Vorsätze für Zehnerpotenzen

Vielfaches Vorsatz Abkürzung

1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto† h101 Deka† da10−1 Dezi† d10−2 Zenti† c10−3 Milli m10−6 Mikro µ10−9 Nano n10−12 Piko p10−15 Femto f10−18 Atto a

† Die zu Hekto (h), Deka (da) und Dezi (d) gehörenden Vielfachensind keine Potenzen von 103 oder 10−3 und werden kaum noch ver-wendet. Eine weitere Ausnahme macht der Vorsatz Zenti (c), derbei der Längeneinheit 1 cm = 10−2 m üblich ist. Vorsätze, welche indiesem Buch häufig auftreten, sind rot geschrieben. Bitte beachtenSie, dass die Abkürzungen für Vorsätze ab 106 groß-, alle anderenhingegen kleingeschrieben werden.

Eine solche Umrechnung wird z. B. im späteren Beispiel 1.4genutzt.

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6 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Beispiel 1.1: Die Dimension des DrucksDer Druck P in einer bewegten Flüssigkeit hängt von ihrer Dichte ρ und von ihrer Geschwindigkeit v ab. Gesucht isteine einfache Kombination von Dichte und Geschwindigkeit, die die richtige Dimension des Drucks ergibt.

Problembeschreibung: Aus Tabelle 1.2 lässt sich ablesen, dass der Druck die Dimension m/(l t2), die Dichte dieDimension m/ l3 und die Geschwindigkeit die Dimension l/t haben. Sowohl bei der Dimension des Drucks als auch beider der Dichte steht die Masse im Zähler. In der Geschwindigkeit kommt die Masse dagegen nicht vor. Daher müssendie Dichte und die Geschwindigkeit so multipliziert oder dividiert werden, dass in der Dimension des Drucks die Massesteht. Um den genauen Zusammenhang zu ermitteln, können wir zunächst die Dimension des Drucks durch die der Dichtedividieren. Anschließend betrachten wir das Ergebnis, um zu sehen, wie daraus die Dimension einer Geschwindigkeitgebildet werden kann.

Lösung:1. Dividieren Sie die Dimension des Drucks durch die derDichte, sodass ein Ausdruck entsteht, der die Dimensionder Masse m nicht enthält:

[P][ρ] = m/(l t2)

m/ l3 = l2

t2

2. Wie man sieht, hat das Ergebnis die Dimensionen vonv2. Damit hat der Druck die gleiche Dimension wie dasProdukt aus Dichte und Geschwindigkeit zum Quadrat:

[P] = [ρ] [v2] = m

l3

(l

t

)2

= m

l3 · l2

t2 = m

l t2

Plausibilitätsprüfung: Division der Dimension des Drucks durch die Dimension des Geschwindigkeitsquadrats ergibtwieder die Dimension der Dichte: [P] /[v2] = (m/ l t2) / (l2/ t2) = m/ l3 = [ρ].

1.3 Dimensionenphysikalischer Größen

Wie wir gesehen hatten, enthält eine physikalische Größesowohl eine Maßzahl als auch eine Maßeinheit. Die Maßein-heit gibt den für die Messung verwendeten Standard an unddie Maßzahl, wie oft der Standard in der gemessenen Größeenthalten ist. Um zu charakterisieren, was man misst, mussman aber die Dimension der physikalischen Größe angeben.Länge, Zeit und Masse sind Dimensionen. Der Abstand dzweier Körper hat die Dimension einer Länge. Wir schreibenhierfür [d] = l , wobei [d] die Dimension des Abstands dbedeutet und l für die Dimension der Länge steht. Entspre-chend bezeichnen t und m die Dimensionen der Zeit bzw.der Masse. Die Dimensionen verschiedener anderer Größenlassen sich durch diese Grunddimensionen ausdrücken. Soergibt sich der Flächeninhalt A einer Fläche, indem man eineLänge mit einer zweiten Länge multipliziert. Da der Flächen-inhalt das Produkt zweier Längen ist, sagt man, er habe dieDimension „Länge mal Länge“ oder „Länge zum Quadrat“,was als [A] = l2 geschrieben werden kann. In dieser Glei-chung bedeuten [A] die Dimension der Größe A und l die Di-mension der Länge. Die Geschwindigkeit hat die DimensionLänge durch Zeit oder l/t . Die Dimensionen anderer Grö-ßen wie Kraft oder Energie können durch die Dimensionenvon Grundgrößen wie Länge, Zeit und Masse ausgedrücktwerden.

Zwei physikalische Größen lassen sich nur dann sinnvoll ad-dieren oder subtrahieren, wenn sie die gleiche Dimension

Tabelle 1.2 Dimensionen physikalischer Größen

Größe Zeichen Dimension

Flächeninhalt A [A] = l2 m2

Volumen V [V ] = l3 m3

Geschwindigkeit v [v] = l/t m/sBeschleunigung a [a] = l/t2 m/s2

Kraft F [F] = m l/t2 kg · m/s2

Druck (F/A) P [P] = m/(l t2) kg/ms2

Dichte (m/V ) ρ [ρ] = m/ l3 kg/m3

Energie E [E] = m l2/t2 kg · m2/s2

besitzen. So ergibt es keinen Sinn, einen Flächeninhalt undeine Geschwindigkeit zu addieren. Bei einer Gleichung wie

A = B + C

müssen also alle Größen, A, B und C, die gleiche Dimen-sion besitzen. Außerdem erfordert die Addition von B undC, dass diese Größen die gleiche Einheit haben. Wenn Bein Flächeninhalt von 500 m2 und C ein Flächeninhalt von4 km2 ist, muss entweder B in die Einheit von C umgerechnetwerden oder umgekehrt, um die Summe zu ermitteln.

Oft entdeckt man Fehler in Gleichungen, indem man dieDimensionen oder Einheiten der Größen überprüft. DiesesVorgehen heißt Dimensionsanalyse. Nehmen wir an, wirwollten irrtümlich die Formel A = 2πr verwenden, umden Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Da 2πr dieDimension einer Länge hat, während der Flächeninhalt die

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1.4 SIGNIFIKANTE STELLEN UND GRÖSSENORDNUNGEN 7

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...Dimension einer Länge zum Quadrat haben muss, sieht

man sofort, dass diese Gleichung nicht stimmen kann. InBeispiel 1.1 ist eine Dimensionsbetrachtung für den DruckP ausgeführt.

Das Berechnen der Dimension eines Ausdrucks liefertnur eine Aussage darüber, ob die Dimensionenstimmen. Ob der gesamte Ausdruck richtig ist, kannman auf diese Weise nicht ermitteln. So lässt sichanhand einer Dimensionsanalyse nicht entscheiden, obder richtige Ausdruck bei der Berechnung desFlächeninhalts eines Kreises πr2 oder 2πr2 ist (richtig:πr2).

1.4 Signifikante Stellenund Größenordnungen

Das Ergebnis einer Messung sollten immer der Messwertund der Messfehler �x mit der Einheit [x] sein, wobei derMessfehler in Bezug auf einen statistisch ermittelten mittle-ren Messwert 〈x〉 (siehe Abschnitt 1.5) bezogen wird:

x = (〈x〉 ±�x) [x].Oft stellt man allerdings fest, dass nur der Messwert mit derEinheit angegeben wird, nicht aber der Messfehler. Dann lie-fert die Anzahl der verwendeten Stellen einen groben Hin-weis darauf, wie groß die Unsicherheit in einer Messung ist.Wenn z. B. auf dem Etikett eines Tischs im Möbelgeschäftsteht, dass er 2,50 m lang ist, bedeutet das meist, dass seineLänge ungefähr, aber nicht genau 2,50 m beträgt. Die letzteZiffer, die 0, ist unsicher. Mithilfe eines Bandmaßes mit Mil-limeterteilung könnten wir die Länge bei genügend Sorgfaltvielleicht bis auf ±0,6 mm der tatsächlichen Länge genaumessen. Diese Genauigkeit könnten wir angeben, indem wirdie Länge mit vier Stellen, etwa als 2,503 m, angeben. Jedezuverlässig bekannte Stelle mit Ausnahme der Nullen, diedie Position des Kommas angeben, wird signifikante Stellegenannt. Die Zahl 2,50 besitzt drei signifikante Stellen, 2,503dagegen vier. Die Zahl 0,001 30 besitzt drei signifikante Stel-len; die ersten drei Nullen sind keine, da sie lediglich dieLage des Kommas zeigen. Die Zahl 2300,0 hat vier signifi-kante Stellen, während die Zahl 2300 (d. h. ohne das Komma)nur zwei, aber ebenso gut auch vier signifikante Stellen ha-ben könnte. Die Anzahl signifikanter Stellen in Zahlen mitnachstehenden Nullen und ohne Komma ist unbestimmt.

Ein häufig vorkommender Fehler besteht darin, mehr Dezi-malstellen anzugeben, als die Messgenauigkeit rechtfertigt.

Stellen Sie sich vor, Sie möchten den Flächeninhalt eineskreisförmigen Spielfelds ermitteln. Hierzu schreiten Sie sei-nen Radius ab und erhalten 8 m. Anschließend verwendenSie einen zehnstelligen Taschenrechner, mit dem Sie überdie Formel A = πr2 = π(8 m)2 den Flächeninhalt ermit-teln. Sie erhalten 201,061 929 8 m2. Die Nachkommastellenvermitteln einen völlig falschen Eindruck von der Genauig-keit, mit der Sie den Flächeninhalt bestimmt haben. Um inRechnungen mit Multiplikations- und Divisionsoperationendie richtige Anzahl signifikanter Stellen zu ermitteln, ist diefolgende allgemeine Faustregel nützlich:

Die Anzahl der signifikanten Stellen im Ergebnis einerMultiplikation oder Division ist nie größer als die derGröße mit den wenigsten signifikanten Stellen.

Im Beispiel des Spielfelds ist der Radius nur auf eine signifi-kante Stelle genau bekannt. Damit ist auch die Fläche nur miteiner signifikanten Stelle bekannt und beträgt 200 m2. DieseZahl besagt, dass die Fläche irgendwo zwischen 150 m2 und250 m2 liegt.

Bei einer Summe oder Differenz mehrerer Messwerte ist dieGenauigkeit nur so hoch wie die Genauigkeit des am wenigs-ten genauen Messwerts. Eine allgemeine Faustregel besagt:

Die Anzahl der Dezimalstellen bei der Addition oderSubtraktion mehrerer Größen entspricht der des Termsmit der kleinsten Anzahl von Dezimalstellen.

Verständnisfrage 1.1

Wie viele signifikante Stellen hat die Zahl 0,0104567?

Exakte Werte haben unendlich viele signifikanteStellen. Ein durch Abzählen bestimmter Wert wie etwazwei Tische hat keine Unbestimmtheit und ist exakt. Da1 m exakt gleich 100 cm ist, betrifft dies auch denUmrechnungsfaktor 1 m/100 cm.

Beim Rechnen mit Zahlen, die mit einer Unsicherheitbehaftet sind, ist darauf zu achten, dass nicht mehrStellen mitgeführt werden, als durch die Messungsichergestellt sind.

Beispiel 1.2 zeigt eine Anwendung dieser Faustregeln.

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8 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Beispiel 1.2: Signifikante StellenSubtrahieren Sie 1,040 von 1,213 42.

Problembeschreibung: Die erste Zahl, 1,040, besitzt nur drei signifikante Stellen nach dem Komma, wogegen diezweite, 1,213 42, fünf besitzt. Nach der oben genannten Faustregel für die Addition und Subtraktion kann die Differenznur drei signifikante Stellen nach dem Komma besitzen.

Lösung:Subtrahieren Sie die Zahlen und runden Sie auf drei Stellennach dem Komma:

1,213 42 − 1,040 = 0,173��42 = 0,173

Plausibilitätsprüfung: Das Ergebnis kann nicht genauer sein als die ungenauere der beiden Zahlen, also 1,040, undhat daher die gleiche Anzahl signifikanter Stellen nach dem Komma wie diese.

Weitergedacht: In diesem Beispiel haben die gegebenen Größen vier bzw. sechs signifikante Stellen, während dieDifferenz nur drei hat. In den meisten Beispielen und Aufgaben in diesem Buch haben die Daten zwei, drei odergelegentlich auch vier signifikante Stellen.

Übung 1.2: Berechnen Sie unter Verwendung der zutreffenden Faustregel für die signifikanten Stellen a) 1,58 · 0,03,b) 1,4 + 2,53, c) 2,456 − 2,453.

Die Exponentialschreibweise

Beim Umgang mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen las-sen sich signifikante Stellen leichter mithilfe der Exponenti-alschreibweise zum Ausdruck bringen. In dieser Schreibwei-se wird jede Zahl als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10und einer Zehnerpotenz (z. B. 102 = 100 oder 103 = 1000)geschrieben. So wird beispielsweise die Zahl 12000000 als1,2·107 ausgedrückt; die Entfernung von der Erde zur Sonne,etwa 150000000000 m, schreibt man als 1,5 · 1011 m. Da-bei wird davon ausgegangen, dass keine der nachstehendenNullen in dieser Zahl signifikant ist. Falls zwei der nachste-henden Nullen signifikant wären, könnte dies dadurch zumAusdruck gebracht werden, dass 1,500 · 1011 m geschrieben

Vorgehensweise:Berechnungen in der Exponentialschreibweise

Wenn die in einer Berechnung vorkommenden Zahlen sehr groß oder sehr klein sind, werden sie zweckmäßig in Exponen-tialschreibweise geschrieben. Diese ermöglicht oft eine leichtere Bestimmung der signifikanten Stellen und vereinfachtdarüber hinaus die Berechnungen.

Lösung:Verwenden Sie bei der Lösung solcher Aufgabenstellungen die folgenden Regeln:1. Bei der Multiplikation von Zahlen in Exponentialschreibweise werden die Exponenten addiert; bei ihrer Division

werden sie subtrahiert:

Beispiel: 102 · 103 = 100 · 1 000 = 100 000 = 105,

Beispiel:102

103 = 100

1 000= 1

10= 10−1.

wird. Dabei ist die „11“ in 1011 der Exponent. Bei Zahlenkleiner als 1 ist dieser Exponent negativ. So ist 0,1 = 10−1

und 0,0001 = 10−4. Der Durchmesser eines Virus von unge-fähr 0,00000001 m lautet dann 1 ·10−8 m. Wenn die Zahlenin dieser Form geschrieben werden, kann die Anzahl signi-fikanter Stellen leicht abgelesen werden. So besitzt die Zahl1,5 · 1011 m zwei signifikante Stellen (nämlich 1,5).

Übung 1.3: Wenden Sie die passende Faustregel für signi-fikante Stellen auf die Berechnung von 2,34 · 102 + 4,93an. �

Bei Berechnungen mit Zahlen in der Exponentialschreibwei-se hat sich folgende Vorgehensweise bewährt:

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1.4 SIGNIFIKANTE STELLEN UND GRÖSSENORDNUNGEN 9

Mes

sung

...2. In der Exponentialschreibweise ist 100 definitionsgemäß 1. Zur Begründung betrachten wir die Division von 1000

durch 1000:

Beispiel:1 000

1 000= 103

103 = 103−3 = 100 = 1.

3. Bei der Addition oder Subtraktion von Zahlen in Exponentialschreibweise muss besonders aufgepasst werden, wennihre Exponenten nicht übereinstimmen:

Beispiel: (1,200 · 102)+ (8 · 10−1)

= 120,0 + 0,8 = 120,8.

4. Um die Summe zu ermitteln, ohne beide Zahlen in gewöhnliche Dezimalzahlen umzurechnen, muss eine der Zahlenso umgewandelt werden, dass die Zehnerpotenzen beider Zahlen übereinstimmen.

Beispiel: (1 200 · 10−1)+ (8 · 10−1)

= 1 208 · 10−1 = 120,8.

5. Beim Potenzieren einer Zehnerpotenz werden die Exponenten multipliziert:

Beispiel: (102)4 = 102 · 102 · 102 · 102 = 108.

Plausibilitätsprüfung: Beachten Sie, dass der Exponent bei der Umrechnung von Zahlen kleiner als eins in die Ex-ponentialschreibweise negativ ist. Bei jeder Addition, Subtraktion oder Multiplikation von Exponenten ist besondersaufzupassen – das Ergebnis wird sonst gleich um ganze Zehnerpotenzen zu groß oder zu klein.

Weitergedacht: Geben Sie bei Berechnungen keine Zwischenergebnisse von Hand mit der Tastatur ein. Speichern Siediese stattdessen im Speicher des Rechners. Wenn es sich dennoch nicht vermeiden lässt, sollten Sie eine oder zweizusätzliche (nicht signifikante) Ziffern als sogenannte Schutzziffern eingeben. Dadurch werden Rundungsfehler kleingehalten.

Alle Exponenten sind dimensionslos und haben keineMaßeinheiten.

Die Beispiele 1.3 und 1.4 zeigen, wie sich Berechnungen an-hand der Exponentialschreibweise vorteilhaft ausführen las-sen.

Größenordnungen

Bei groben Schätzungen werden wir gelegentlich eine Zahlauf die nächste Zehnerpotenz runden. Eine derart gerun-dete Zahl heißt Größenordnung. So könnte die Größe ei-ner Ameise beispielsweise 8 · 10−4 m oder näherungsweise10−3 m betragen. Wir würden dann sagen, dass die Größeder Ameise in der Größenordnung von 10−3 m liegt. Auchwenn die meisten Menschen fast 2 m groß sind, könnenwir dies runden und sagen, dass die Größe eines Menschenh ∼ 100 m beträgt, wobei das Zeichen ∼ so viel wie „liegtin der Größenordnung von“ bedeutet. Dabei soll h ∼ 100 mnicht etwa heißen, dass die übliche Größe eines Menschentatsächlich 1 m beträgt, sondern dass sie näher bei 1 m alsbei 10 m oder 10−1 m = 0,1 m liegt. Damit stellen wirfest: Ein typischer Mensch ist um drei Größenordnungen grö-ßer als eine typische Ameise, d. h., ihr Größenverhältnis be-trägt 1000 : 1. Eine Größenordnung besitzt keine zuverlässig

bekannten Stellen und damit auch keine signifikanten Stel-len. Tabelle 1.3 zeigt einige typische Größenordnungen fürGrößen, Massen und Zeitintervalle, denen man in der Physikbegegnet.

Die Beispiele 1.5 und 1.6 zeigen, wie ohne viel Rechenauf-wand Aussagen über Größenordnungen möglich sind.

Benzolmoleküle mit einem Durchmesser in der Größenordnung von10−10 m in einem Rasterelektronenmikroskop. (IBM Research, Al-maden Research Center.)

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10 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Beispiel 1.3: Wasser im BauchEin Liter (l) ist das Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 10 cm mal 10 cm mal 10 cm. Sie trinken (genau)einen Liter Wasser. Welches Volumen in Kubikzentimetern und in Kubikmetern nimmt dieses Wasser in Ihrem Magenein?

Problembeschreibung: Das Volumen eines Würfels der Kantenlänge a ist V = a3. Das Volumen in Kubikzentimeternergibt sich direkt aus a = 10 cm. Um das Volumen in Kubikmetern zu ermitteln, werden mit dem Umrechnungsfaktor1 cm = 10−2 m die cm3 in m3 umgerechnet.

Lösung:1. Berechnen Sie das Volumen in cm3: V = a3 = (10 cm)3 = 1000 cm3 = 103 cm3

2. Wandeln Sie dieses Ergebnis in m3 um:103 cm3 = (103 cm3) · (10−2 m

1 cm

)3

= (103 cm3) · (10−6 m3

1 cm3

)= 10−3 m3

Plausibilitätsprüfung: Wie es bei einem Volumen mit der Dimension einer Länge hoch drei sein sollte, sind dieMaßeinheiten der Ergebnisse Kubikzentimeter bzw. Kubikmeter. Außerdem ist die Maßzahl 103 größer als 10−3, da einMeter länger als ein Zentimeter ist.

Beispiel 1.4: Atome zählen12,0 g Kohlenstoff enthalten 6,02 ·1023 Kohlenstoffatome (dies ist die Avogadro-Konstante nA). Wie viele Jahre würdenSie benötigen, um die Atome in 1,00 g Kohlenstoff zu zählen, wenn es 1 s dauert, ein Atom zu zählen?

Problembeschreibung: Zuerst muss die Gesamtzahl der zu zählenden Atome n berechnet werden. Anschließend wirddie Tatsache ausgenutzt, dass diese Zahl gleich der Zählrate R mal der Zeit t ist.

Lösung:1. Die Zeit zum Zählen steht mit der Anzahl der Atome nund der Zählrate R = 1 Atom/s in folgendem Zusammen-hang:

n = R t

2. Bestimmen Sie die Gesamtzahl der Kohlenstoffatome in1,00 g: n = 6,02 · 1023 Atome

12,0 g· (1 g) = 5,02 · 1022 Atome

3. Ermitteln Sie nun die Anzahl der Sekunden, die es bei1 Atom pro Sekunde dauert, diese Menge zu zählen: t = n

R= 5,02 · 1022 Atome

1 Atom · s−1 = 5,02 · 1022 s

4. Berechnen Sie die Anzahl k der Sekunden in einem Jahr(a = Jahre, d = Tage, h = Stunden): k =

(365 �d1,00 a

)·(

24 �h1 �d

)·(

3600 s

1 �h

)= 3,15 · 107 s · a−1

5. Nutzen Sie den auf diese Weise gewonnenen Umrech-nungsfaktor von 3,15 · 107 s · a−1 (den man ruhig auch imKopf behalten sollte), um das Ergebnis aus Schritt 3 inJahre umzurechnen:

t = (5,02 · 1022 s) · 1,00 a

3,15 · 107 s

= 5,02

3,15· 1022−7 a = 1,59 · 1015 a

Plausibilitätsprüfung: Das Ergebnis kann anhand einer Schätzung überprüft werden. Wenn es etwa 1022 s dauert, dieAtome in einem Gramm Kohlenstoff zu zählen und ein Jahr etwa 107 s hat, braucht man 1022/107 = 1015 Jahre.

Weitergedacht: Die Zeit, die Sie benötigen würden, entspricht dem 100000fachen des Alters unseres Universums.

Übung 1.4: Wie lange brauchen 5 Milliarden (5 · 109) Menschen, um die Atome in 1 g Kohlenstoff zu zählen?

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1.4 SIGNIFIKANTE STELLEN UND GRÖSSENORDNUNGEN 11

Mes

sung

...Tabelle 1.3 Größenordnungen im Universum

Größe oder Abstand (m)

Proton 10−15

Atom 10−10

Virus 10−7

Riesenamöbe 10−4

Walnuss 10−2

Mensch 100

Höchster Berg 104

Erde 107

Sonne 109

Abstand Erde–Sonne 1011

Sonnensystem 1013

Abstand zumnächsten Stern 1016

Milchstraße/Galaxis 1021

Sichtbares Universum 1026

Masse (kg)

Elektron 10−30

Proton 10−27

Aminosäure 10−25

Hämoglobin 10−22

Grippevirus 10−19

Riesenamöbe 10−8

Regentropfen 10−6

Ameise 10−2

Mensch 102

Saturn-V-Rakete 106

Pyramide 1010

Erde 1024

Sonne 1030

Milchstraße/Galaxis 1041

Universum 1052

Zeitintervall (s)

Licht durchquert den Atomkern 10−23

Schwingungsperiodedes sichtbaren Lichts 10−15

Schwingungsperiodevon Mikrowellenstrahlung 10−10

Halbwertszeit eines Myons 10−6

Schwingungsperiode derhöchsten noch hörbaren Töne 10−4

Periode desmenschlichen Herzschlags 100

Halbwertszeit freier Neutronen 103

Umdrehungszeit der Erdrotation 105

Umlaufzeit der Erde um die Sonne 107

Lebensdauer eines Menschen 109

Halbwertszeit von Plutonium-239 1012

Lebenszeit eines Gebirges 1015

Alter der Erde 1017

Alter des Universums 1018

Beispiel 1.5: ReifenabriebWie dick ist die Gummiprofilschicht, die während einer1 km langen Autofahrt durchschnittlich von einem Auto-reifen abgerieben wird?

(GLP/Pitopia.)

Problembeschreibung: Wir gehen davon aus, dass ein neuer Reifen eine Ausgangsprofiltiefe von 1 cm besitzt. DieserSchätzwert kann vielleicht um einen Faktor von 2 daneben liegen, aber ein neues Profil ist sicherlich nicht nur 1 mmund auch nicht 10 cm tief. Da Autoreifen nach ca. 60000 km gewechselt werden müssen, nehmen wir an, dass das Profilnach 60000 km abgefahren ist.

Lösung:Verwenden Sie den Abrieb von 1 cm auf 60000 km, umden Abrieb nach 1 km Fahrt zu berechnen:

1 cm Abrieb

60000 km Fahrt= 1,7 · 10−5 cm Abrieb

1 km Fahrt

≈ 2 · 10−7 m Abrieb pro km Fahrt

Plausibilitätsprüfung: Multiplikation von 1,7 · 10−5 cm/km mit 60000 km ergibt näherungsweise 1 cm, also die Dickedes Ausgangsprofils auf einem neuen Reifen.

Weitergedacht: Atome haben einen Durchmesser von etwa 2 ·10−10 m. Damit nimmt die Dicke bei jedem gefahrenenKilometer um 1000 Atomlagen ab.

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12 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Beispiel 1.6: Sandkörner am Strand IM KONTEXT

Schätzen Sie die Anzahl der Sandkörner an einem Strand.

Problembeschreibung: Zunächst muss man Schätzwerte für die Größe des Strands und für die Größe jedes Sandkornsannehmen. Wir betrachten einen Strand, der 500 m lang, 100 m breit, 3 m tief ist. Eine Suche im Internet ergibt, dass derDurchmesser eines Sandkorns zwischen 0,04 mm und 2 mm schwankt. Damit können wir ein Sandkorn als eine Kugelmit einem Durchmesser von 1 mm behandeln. Weiterhin nehmen wir an, dass die Sandkörner so dicht gepackt sind, dassdas Volumen des Zwischenraums zwischen ihnen im Vergleich zum Volumen des Sandkorns selbst vernachlässigbar ist.

Lösung:1. Das Volumen VS des Strands ist das Produkt aus der An-zahl n der Sandkörner und dem Volumen VK eines Korns:

VS = n VK

2. Die Formel für das Kugelvolumen liefert das Volumeneines einzelnen Sandkorns:

VK = 4

3πr3

3. Dies können Sie einsetzen und die Formel anschließendnach n umstellen. Da die Zahlenwerte der Aufgabenstel-lung nur eine signifikante Stelle haben, trifft dies auch aufdas Ergebnis zu:

VS = n VK = n4

3πr3

und damitn = 3 VS

4π r3 = 3 · (500 m) · (100 m) · (3 m)

4π (0,5 · 10−3 m)3

= 2,9 · 1014 ≈ 3 · 1014

Plausibilitätsprüfung: Um das Ergebnis zu überprüfen, kann man das Volumen des Strands durch die Anzahl der Sand-körner dividieren. Dies ergibt 1,5 · 105 m3/3 · 1014 Sandkörner = 5 · 10−10 m3/Sandkorn. Dieser Wert ist das geschätzteVolumen eines Sandkorns, 4/[3 π (5 · 10−4 m)3] .

Weitergedacht: Das Volumen des Zwischenraums zwischen den Körnern lässt sich ermitteln, indem man einen Ein-literbehälter zunächst mit trockenem Sand füllt und anschließend langsam Wasser hineingießt, bis der Sand mit Wassergesättigt ist. Wenn wir einmal davon ausgehen, dass der Sand in dem Behälter nach der Zugabe von 1/10 l Wasservollständig gesättigt ist, beträgt das tatsächlich mit Sand gefüllte Volumen nur 9/10 l. Damit ist unser Schätzwert derAnzahl der Sandkörner am Strand zu hoch. Wenn der Sand nur 90 % des Volumens des Behälters einnimmt, beträgt dieAnzahl der Sandkörner am Strand auch nur 90 % des Ergebnisses aus Schritt 3.

Übung 1.5: Wie viele Sandkörner liegen an einem 2 km langen und 500 m breiten Strandstreifen? Hinweis: NehmenSie an, dass der Sand 3,00 m tief ist und dass ein Sandkorn einen Durchmesser von 1,00 mm hat.

Der Durchmesser der Andromeda-Galaxis liegt in der Größenord-nung von 1021 m. (NASA.)

1.5 Messgenauigkeitund Messfehler

Viele Zahlen, mit denen wir es in der Wissenschaft zu tunhaben, sind das Resultat einer Messung und damit nur biszu einer bestimmten Messgenauigkeit bekannt. Das Ausmaßder Ungenauigkeit hängt sowohl von der Geschicklichkeitdes Experimentators als auch von dem verwendeten Apparatab und kann häufig nur geschätzt werden. Wir wollen uns hieretwas eingehender mit dem Messvorgang und den möglichenUrsachen für Messfehler beschäftigen.

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1.5 MESSGENAUIGKEIT UND MESSFEHLER 13

Mes

sung

...Das Ergebnis einer Messung entsteht durch den Vergleich

der zu messenden Größe mit der zugehörigen Maßeinheit.Die Messung selbst ist naturgemäß immer mit Fehlern ver-bunden. Daran ändert auch nichts der verstärkte Einsatz derElektronik bei der Aufnahme, Umwandlung und Verarbei-tung von Messwerten – er führt lediglich zu einer deutlichenErhöhung der Messgenauigkeit und reduziert häufig das Auf-treten einfacher Ablesefehler. Messungen sind also immerfehlerbehaftet. Wir unterscheiden aber prinzipiell zwischenzwei verschiedenen Arten von Fehlern: systematischen Feh-lern und statistischen Fehlern.

Systematische Fehler zeichnen sich dadurch aus, dass siebei wiederholten Messungen unter gleichen Bedingungen ingleicher Weise auftreten. Es gibt viele Ursachen für derar-tige Fehler, etwa ein unvollkommenes Messgerät oder ei-ne mangelhafte Kalibrierung der Geräte. Häufig gelingt es,durch Kontrollmessungen den Anteil der systematischenFehler zu bestimmen und die Werte der darauf folgendenMessungen entsprechend zu korrigieren. Das bedeutet, sys-tematische Fehler können im Prinzip durch eine Verbes-serung des Messverfahrens reduziert bzw. vermieden wer-den.

Statistische Fehler werden verursacht durch unkontrollier-bare äußere Einflüsse auf das Messverfahren. Sie machen sichdadurch bemerkbar, dass sich der Messwert bei jeder Wie-derholung der Messung etwas von den Messwerten aller vor-angegangenen Messungen unterscheidet, d. h., der Messwertunterliegt statistischen Schwankungen. Die daraus resultie-rende Messwertverteilung ergibt sich aus den allgemeinenAussagen der mathematischen Statistik, die wir jetzt anhandeiniger einfacher Beispiele aus der täglichen Erfahrung dis-kutieren wollen. Nehmen wir an, ein Professor hat in seinemKurs mit n Studenten eine Klausur schreiben lassen. Maximalkonnten 25 Punkte erreicht werden. Um das Gesamtergebniszu beschreiben, könnte der Professor nun einfach den Durch-schnitt aller erreichten Punktzahlen angeben. Aber das wärewenig aussagekräftig, denn bei einem Mittelwert von bei-spielsweise 12,5 Punkten könnte in einem Extremfall jederStudent 12,5 Punkte erreicht haben, im anderen Extremfalldie eine Hälfte der Studenten null Punkte und die andereHälfte sämtliche 25 Punkte. Viel besser ist es daher, der Pro-fessor gibt für jedes Ergebnis si jeweils die Anzahl ni derStudenten an, die dieses Ergebnis erzielt haben (Abbildung1.2). Alternativ könnte er auch jeweils den Anteil fi = ni/nder Studenten mit dem Ergebnis si angeben. Sowohl ni alsauch fi , die Funktionen der Variablen s sind, nennt man dabeiVerteilungsfunktionen. Oft ist es günstiger, die Form mit derAngabe des Anteils zu verwenden. Die Wahrscheinlichkeit,dass irgendeiner der insgesamt n Studenten das Ergebnis si

erzielt hat, ist gleich der Anzahl ni der Studenten mit diesemErgebnis, dividiert durch die Gesamtzahl n der Studenten.Diese Wahrscheinlichkeit ist also gleich fi . Dabei gilt

∑i

fi =∑

i

ni

n= 1

n

∑i

ni . (1.1)

5 10 15 20 25

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

2468

10121416182022ni if

⟨s = 14,2s

s

rms = ⟨s2 =14,9Ergebnis i

⟩⟩ √

1.2 Eine mögliche Verteilung der Klausurergebnisse von n = 200Studenten, wobei maximal 25 Punkte erreicht werden konnten. ni

ist die Anzahl der Studenten mit dem jeweiligen Klausurergebnissi , und fi = ni /n ist der Anteil der Studenten mit dem Ergebnis si .Am wahrscheinlichsten ist ein Ergebnis von 16 Punkten.

Wegen∑

ni = n ist dabei

∑i

fi = 1. (1.2)

Definition der Normierungsbedingung

Das ist die Normierungsbedingung für Verteilungen, die alsAnteile angegeben werden.

Um den Mittelwert der Ergebnisse aller Studenten zu ermit-teln, sind sämtliche Ergebnisse zu addieren und die Summeist durch n zu dividieren. Jedes Ergebnis si wurde ja vonni = n fi Studenten erzielt, was gleichbedeutend ist mit

〈s〉 = 1

n

∑i

ni si =∑

i

si fi . (1.3)

In ähnlicher Weise ist der Mittelwert irgendeiner Funktiong(s) definiert durch

〈g(s)〉 = 1

n

∑i

g(si ) ni =∑

i

g(si ) fi . (1.4)

Mittelwert von g(s)

Das Quadrat des durchschnittlichen Ergebnisses im Beispielmit der Klausur ist⟨

s2⟩ = 1

n

∑i

s2i ni =

∑i

s2i fi . (1.5)

Die Größe⟨s2⟩

heißt mittleres Ergebnisquadrat und dieWurzel daraus quadratisch gemitteltes Ergebnis:

srms =√⟨

s2⟩. (1.6)

Definition des quadratisch gemittelten Ergebnisses von s

Eine mögliche Verteilung der Klausurergebnisse ist in Abbil-dung 1.2 dargestellt. Bei dieser Verteilung beträgt das wahr-

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14 1 MESSUNG UND VEKTOREN

scheinlichste (also von den meisten Studenten erreichte) Er-gebnis 16 Punkte, das mittlere Ergebnis 14,2 Punkte unddas quadratisch gemittelte Ergebnis 14,9 Punkte. Beispiel1.7 zeigt die praktische Berechnung des Mittelwerts und desquadratisch gemittelten Ergebnisses anhand solcher Klausur-ergebnisse.

Jetzt betrachten wir eine kontinuierliche Verteilung. Als Bei-spiel soll dabei die Verteilung der Körpergröße in der Be-völkerung dienen. Unter n Personen (wobei die Anzahl nnatürlich endlich ist) hat niemand eine Größe von exakt zweiMetern. Angenommen, wir könnten die Körpergröße belie-big genau messen; dann gäbe es unendlich viele verschiede-ne Körpergrößen, und die Wahrscheinlichkeit wäre praktischnull, dass jemand wirklich ganz genau eine bestimmte Größehat. Daher unterteilen wir die Körpergröße in gleich großeIntervalle �h, wobei �h beispielsweise 1 cm oder 0,5 cmgroß sein kann. Dann ermitteln wir den Anteil der Personen,deren Körpergröße im betreffenden Intervall liegt. Bei einersehr großen Gesamtzahl n von Personen ist dieser Anteil pro-portional zur Größe des Intervalls, sofern dieses ausreichendklein ist. Wir definieren nun die Verteilungsfunktion f (h)als den Anteil aller Personen, deren Körpergröße zwischenh und h +�h liegt. Bei insgesamt n Personen ist n f (h)�hdie Anzahl der Personen mit einer Körpergröße zwischen hund h + �h. Abbildung 1.3 zeigt die Verteilungsfunktionder Größen für den Fall, dass die Größen allein statistischeSchwankungen aufweisen.

Der Anteil der Personen mit einer Größe, die in einem be-stimmten Intervall �h liegt, ist gleich der Fläche f (h)�h.Wenn n sehr groß ist, können wir �h sehr klein wählen, unddas Histogramm nähert sich einer glatten Kurve an. Dannkönnen wir die Verteilungsfunktion f (h) durch eine konti-nuierliche Funktion ersetzen. Diese kontinuierliche Vertei-lungsfunktion tritt sehr häufig in der Physik auf, z. B. bei derVerteilung der Geschwindigkeiten von Molekülen in einemGasvolumen. Sie ist glockenförmig und wird Normal- oderGauß-Verteilung genannt. Ihre mathematische Form lautet

f (h) = 1√2π σ

e−(h−〈h〉)2/(2 σ 2). (1.7)

f (h)

h h h h+ Δ

1.3 Eine mögliche Verteilung von Körpergrößen. Der Anteil der Per-sonen mit einer Größe zwischen h und h+�h entspricht der farbigenFläche f (h)�h. Das Histogramm kann bei kleiner Intervallgröße,wie angedeutet, durch eine glatte Kurve angenähert werden.

Sie ist daher symmetrisch um den Wert h = 〈h〉. Lässt sichdie Messwertverteilung der Körpergrößen mithilfe einer Nor-malverteilung beschreiben, können wir die Summen in Glei-chung 1.1 bis 1.4 durch Integrale ersetzen und für das Inter-vall dh schreiben. In Kapitel 2 (siehe Gleichung 2.19) werdenwir genauer untersuchen, wie man das Integral als Grenzfalleiner Summe definiert, wenn die Messintervalle �h immerkleiner werden und durch dh ersetzt werden können. Für die-sen Grenzfall gilt:

∫f (h) dh = 1, (1.8)

Normierungsbedingung

〈h〉 =∫

h f (h) dh, (1.9)

〈g(h)〉 =∫

g(h) f (h) dh. (1.10)

Mittelwert von g(h)

Darin ist g(h) eine willkürliche Funktion von h, und es folgt

⟨h2⟩ = ∫ h2 f (h) dh. (1.11)

Mit der kontinuierlichen Verteilungsfunktion ist die Wahr-scheinlichkeit, dass eine willkürlich herausgegriffene Personeine Körpergröße zwischen h und h + dh hat, gegeben durchf (h) dh.

Wir wollen jetzt wieder zu unserem Problem der Verteilungvon Messwerten x zurückkehren, von denen wir annehmenkönnen, dass sie normalverteilt sind. Die Größe, welche dieBreite der Normalverteilung f (x) charakterisiert, ist die Va-rianz σ 2, die folgendermaßen definiert ist:

σ 2 = ⟨(x − 〈x〉)2⟩ . (1.12a)

Ausmultiplizieren des Quadrats auf der rechten Seite ergibt

σ 2 = ⟨x2 − 2 x 〈x〉 + 〈x〉2⟩

= ⟨x2⟩− 2 〈x〉 〈x〉 + 〈x〉2 = ⟨x2⟩− 〈x〉2 .

Als Fehler einer Messung ergibt sich die Quadratwurzelσ ausder Varianz, die man als Standardabweichung bezeichnet.Für sie gilt

σ =√⟨

x2⟩− 〈x〉2. (1.12b)

Standardabweichung σ

Die Standardabweichung einer Verteilung ist also ein Maßdafür, wie weit die einzelnen Messwerte um den Mittelwert„gespreizt“ sind. Bei vielen Verteilungen liegen nur wenigeWerte vor, die von 〈x〉 um ein Mehrfaches von σ abweichen.

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1.5 MESSGENAUIGKEIT UND MESSFEHLER 15

Mes

sung

...Beispiel 1.7: Klausurergebnisse

15 Schüler schrieben eine Klausur, bei der maximal 25 Punkte zu erreichen waren. Ihre Ergebnisse sind folgende: 25, 22,22, 20, 20, 20, 18, 18, 18, 18, 18, 15, 15, 15 bzw. 10 Punkte. Wie hoch sind das mittlere Ergebnis 〈s〉 und das quadratischgemittelte Ergebnis srms?

Problembeschreibung: Die Verteilungsfunktion ist hier gegeben durch n25 = 1, n22 = 2, n20 = 3, n18 = 5, n15 = 3und n10 = 1. Zum Ermitteln von srms ist 〈s〉 = n−1 ∑

i ni si (Gleichung 1.3) zu verwenden. Um das quadratischgemittelte Ergebnis zu erhalten, verwenden wir

⟨s2⟩ = n−1 ∑

i s2i ni (Gleichung 1.5) und ziehen anschließend die

Wurzel.

Lösung:1. Nach Definition ist: 〈s〉 = 1

n

∑i

ni si =

= 1

15((1 · 25 + 2 · 22 + 3 · 20)

+ (5 · 18) + (3 · 15) + (1 · 10))

= 1

15· 274 = 18,27 = 18,3

2. Zum Berechnen von srms ermitteln wir zunächst denMittelwert von s2:

⟨s2⟩ = 1

n

∑i

ni s2i =

= 1

15

((1 · 252)+ (2 · 222)+ (3 · 202)

+ (5 · 182)+ (3 · 152)+ (1 · 102))

= 1

15· 5188 = 345, 9

3. Wir ziehen nun die Wurzel aus⟨s2⟩: srms =

√⟨s2⟩ = 18,6

Plausibilitätsprüfung: Der Mittelwert und das quadratisch gemittelte Ergebnis unterscheiden sich nur um 1 bis 2 %.Außerdem ist das quadratisch gemittelte Ergebnis größer als der Mittelwert. In der Diskussion im Anschluss an Gleichung1.12b wird erläutert, weshalb das quadratisch gemittelte Ergebnis stets größer oder gleich dem Mittelwert ist.

In Beispiel 1.7 haben wir gesehen, dass das quadratisch ge-mittelte Ergebnis größer als der Mittelwert war. Dies ist einallgemeines Merkmal aller Verteilungen (es sei denn, dieWerte sind alle gleich, sodass σ = 0 und xrms = 〈x〉 ist).Anhand der Definition des quadratisch gemittelten Ergeb-nisses (Gleichung 1.6) ist x2

rms = ⟨x2⟩. Einsetzen von x2

rmsfür⟨x2⟩

in Gleichung (1.12b) ergibt

σ 2 = x2rms − 〈x〉2 .

Da sowohl σ 2 als auch xrms stets positiv sind, muss xrms

immer größer als | 〈x〉 | sein.

Im Fall der Normalverteilung liegen 68,3 % aller Werte in-nerhalb des Intervalls 〈x〉 ± σ , 95,5 % liegen innerhalb des

Intervalls 〈x〉 ± 2 σ , und 99,7 % liegen innerhalb des Inter-valls 〈x〉 ± 3σ .

Messwertverteilungen Bei der n-maligen Wiederholungeiner Messung ergeben sich n Messwerte x1, x2, ..., xn

(auch als Stichprobe vom Umfang n bezeichnet), die es nurgestatten, Schätzwerte für den Mittelwert 〈x〉 und die Stan-dardabweichung σ anzugeben. Der Schätzwert für den Mit-telwert ist das arithmetische Mittel der Stichprobe,

〈x〉 = 1

n

n∑i=1

xi = 1

n(x1 + x2 + x3 + ...+ xn) . (1.13)

Arithmetisches Mittel

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16 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Je größer n ist, umso näher kommt der Schätzwert dem wah-ren Wert. Für den Schätzwert der Standardabweichung ergibtsich

σ =√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(xi − 〈x〉)2. (1.14)

Standardabweichung

Das ist der Schätzwert für den Fehler, mit dem jede Einzel-messung behaftet ist. Der Messfehler �x der Stichprobe istjedoch kleiner, weil sich die Fehler der Einzelmessungen beider Mittelwertbildung (Gleichung 1.13) zum Teil gegenseitigaufheben. Für den Messfehler ergibt sich

�x = σ√n

=√√√√ 1

n(n − 1)

n∑i=1

(xi − 〈x〉)2. (1.15)

Statistischer Messfehler

Oft besteht ein Experiment aus der Messung mehrerer Grö-ßen, deren Messwerte X1, X2, ..., Xm schließlich in eineFormel eingesetzt werden, die zu einem Ergebnis Y führt,

Y = Y (X1, X2, ..., Xm) .

Da alle Messwerte fehlerbehaftet sind, stellt sich die Frage,wie sich die Fehler der Messwerte X j im Fehler des End-ergebnisses Y niederschlagen. Während sich systematischeFehler im schlimmsten Fall aufaddieren, können wir bei denstatistischen Fehlern davon ausgehen, dass sie sich zum Teilgegenseitig aufheben. Der Messfehler des Ergebnisses �Ylässt sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gaußwie folgt über die Messfehler der einzelnen Größen berech-nen:

�Y =√√√√ m∑

j=1

(∂Y

∂X j�X j

)2

. (1.16)

Dabei ist ∂Y/∂X j die (partielle) Ableitung der Größe Y nachder Größe X j . Auf den Begriff der Ableitung gehen wir inKapitel 2 und im mathematischen Anhang noch ein.

Wenn wir beispielsweise die Zentripetalbeschleunigung beieiner Kreisbewegung mittels

aZP = −v2

r

berechnen wollen, nachdem wir die Geschwindigkeit v undden Radius r gemessen haben, ist der Messfehler der Zentri-petalbeschleunigung

�aZP =√(

2v

r�v

)2

+(v2

r2 �r

)2

.

1.6 Vektoren

Die Bewegung eines Körpers entlang einer Geraden kanndadurch charakterisiert werden, dass angegeben wird, wieschnell er sich bewegt und ob er sich gegenüber dem Koordi-natenursprung nach rechts oder links bewegt. Handelt es sichdagegen um die Bewegung eines Körpers in zwei oder dreiDimensionen, reicht ein Plus- oder Minuszeichen zur Angabeder Richtung nicht mehr aus. Größen, die wie die Geschwin-digkeit, die Beschleunigung und die Kraft einen Betrag undeine Richtung haben, werden Vektoren genannt. Größen miteinem Betrag, aber ohne Richtung wie etwa der Geschwin-digkeitsbetrag, die Masse, das Volumen und die Zeit heißendagegen Skalare.

Ein Vektor wird grafisch durch einen Pfeil dargestellt. DieLänge des maßstäblich gezeichneten Pfeils gibt den Betragdes Vektors an und die Richtung des Pfeils seine Richtung. Sozeigt Abbildung 1.4 eine grafische Darstellung von zwei Ge-schwindigkeitsvektoren. Einer von ihnen hat im Vergleich zudem anderen den doppelten Betrag. Vektoren werden durchFettdruck wie A hervorgehoben. Für den Betrag von A wird|A| geschrieben. Somit ist für die Vektoren in Abbildung 1.4|A| = 6 m/s und |B| = 12 m/s.

1.7 Allgemeine Eigenschaftenvon Vektoren

Vektorielle Größen können ebenso wie skalare addiert, sub-trahiert und multipliziert werden. Allerdings muss bei alge-braischen Operationen an Vektoren ihre Richtung beachtetwerden. In diesem Abschnitt werden wir einige allgemeineEigenschaften von Vektoren sowie Rechenoperationen mitihnen betrachten. (Die Multiplikation von Vektoren wird inKapitel 6 und 9 behandelt.) Da Verschiebungsvektoren, al-so Vektoren, die Ortsänderungen beschreiben, am anschau-lichsten sind, werden wir sie im Folgenden überwiegend zurDarstellung heranziehen. Allerdings sind die folgenden Ei-genschaften nicht nur für Verschiebungsvektoren, sondernfür alle Vektoren gültig.

Beim Rechnen mit Vektoren sind diese immer deutlichkenntlich zu machen. Während in Büchern dazuFettdruck wie A genutzt wird, verwendet man beihandschriftlichen Rechnungen meist einen Pfeil überdem Buchstaben ( �A). Beachten Sie auch, dass derBetrag eines Vektors nie negativ sein kann.

Grundlegende Definitionen

Wenn sich ein Körper von einem Ort A zu einem Ort B be-wegt, lässt sich seine Verschiebung wie in Abbildung 1.5a

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1.7 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON VEKTOREN 17

Mes

sung

...

Maßstab: 1 cm = 2 m/s

0

1

ZENTIMETER

EIN DEZIMETER

M-108

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

B

1.4 Zwei Geschwindigkeitsvektoren A und B mit Beträgen von 6 m/s bzw. 12 m/s. Die Pfeile, die sie repräsentieren, sind im Maßstab1 cm = 2 m/s gezeichnet und daher 3 cm bzw. 6 cm lang.

durch einen Pfeil von A nach B darstellen. Die Länge desPfeils stellt den Abstand zwischen den beiden Orten dar. DieRichtung des Pfeils stellt die Richtung von A nach B dar.Ein Verschiebungsvektor ist eine gerichtete Strecke vom An-fangspunkt zum Endpunkt, die die Ortsänderung eines Kör-pers repräsentiert. Der Verschiebungsvektor muss nicht not-wendig den Weg beschreiben, auf dem sich der Körper tat-sächlich bewegt. So entspricht in Abbildung 1.5b allen dreiWegen zwischen den Punkten A und B derselbe Verschie-bungsvektor

Falls zwei Verschiebungsvektoren wie in Abbildung 1.5c die-selbe Richtung haben, nennt man sie parallel. Wenn Sie wiein Abbildung 1.5d entgegengesetzte Richtungen haben, hei-ßen sie antiparallel. Zwei Vektoren, die sowohl den gleichenBetrag als auch die gleiche Richtung haben, sind gleich.Grafisch heißt das, dass sie die gleiche Länge haben undzueinander parallel sind. Solange ein Vektor den gleichenBetrag (die gleiche Länge) und die gleiche Richtung hat,kann er an verschiedenen Orten dargestellt werden. Somitsind alle Vektoren in Abbildung 1.6 gleich. Außerdem hän-gen Vektoren (bis auf den Ortsvektor, der in Kapitel 3 ein-geführt wird) nicht von dem zu ihrer Darstellung verwen-deten Koordinatensystem ab. Zwei oder mehr zueinandersenkrechte Koordinatenachsen bilden ein Koordinatensys-tem.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Stellen Sie sich vor, Sie gehen auf einem Wanderweg durchden Wald. Abbildung 1.7 zeigt Ihren Weg vom Punkt P1

zu einem zweiten Punkt P2 und anschließend zu einemdritten Punkt P3. Der Vektor A beschreibt die Verschiebungvom Punkt P1 zum Punkt P2, während der Vektor B dieVerschiebung von P2 zu P3 beschreibt. Beachten Sie, dassdie Verschiebungsvektoren lediglich von den Endpunkten,nicht aber vom tatsächlichen Weg, auf dem Sie gegangensind, abhängen. Ihre Gesamtverschiebung von P1 nach P3 istein neuer Vektor, der mit C bezeichnet wird, und die Summe

Verschiebungsvektor

B

A

(a)

Verschiebungsvektor

Weg 1

Weg 3

Weg 2

B

A

(b)

Parallele Vektoren

(c)

Antiparallele Vektoren

(d)

1.5 a) Verschiebungsvektor vom Punkt A zum Punkt B; b) derselbeVerschiebungsvektor mit drei verschiedenen Wegen zwischen denbeiden Punkten; c) nochmals derselbe Verschiebungsvektor nebeneinem zweiten Verschiebungsvektor, der zu dem ersten parallel ist,aber eine andere Länge hat; d) wieder derselbe Verschiebungsvektorneben einem zweiten Verschiebungsvektor, der aber antiparallel ist(Anfangspunkt und Spitze sind entgegengesetzt) und eine andereLänge hat.

y

x

1.6 Vektoren sind gleich, wenn ihre Beträge und Richtungen gleichsind. Alle Vektoren in dieser Abbildung sind gleich.

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18 1 MESSUNG UND VEKTOREN

der beiden aufeinanderfolgenden Teilverschiebungen A undB heißt:

C = A + B. (1.17)

Die Summe zweier Vektoren wird Summe, Vektorsummeoder Resultierende genannt.

Das Pluszeichen in Gleichung 1.17 besagt, dass es sich umeine Vektoraddition handelt. Beim geometrischen Konstru-

y

x

z

P1

P2

P3

A

B

C

1.7

A

B

C

C = A + B

1.8 Vektoraddition, indem der Anfangspunkt des einen Vektors andie Spitze des anderen angesetzt wird.

A

BC

A

B

A + B = B + A = C

1.9 Das Parallelogrammverfahren der Vektoraddition.

A A A

B B BC C C

A + (B + C)

(A + B) + CA + B + C

B + C

A + B

1.10 Die Vektoraddition ist assoziativ. Es gilt also (A + B)+ C = A + (B + C).

ieren der Summe muss man sowohl die Beträge als auchdie Richtungen beider Vektoren berücksichtigen. Um zweiVerschiebungsvektoren grafisch zu addieren, wird der An-fangspunkt des zweiten Vektors B an die Spitze des ersten Aangesetzt (Abbildung 1.8). Der resultierende Vektor verläuftdann vom Anfangspunkt des ersten Vektors zur Spitze deszweiten.

Praktisch addiert man Vektoren mit dem Parallelogramm-verfahren. Dabei wird der Vektor B so parallel verschoben,dass sein Anfangspunkt mit dem Anfangspunkt des VektorsA zusammenfällt (Abbildung 1.9). Die Diagonale des von Aund B gebildeten Parallelogramms ist dann der Vektor C . Of-fensichtlich spielt es dabei keine Rolle, in welcher Reihenfol-ge die beiden Vektoren addiert werden, d. h. A+ B = B+ A.Die Vektoraddition genügt also dem Kommutativgesetz.

Beachten Sie, dass |C| nur dann gleich |A| + |B| ist,wenn A und B dieselbe Richtung haben. AusC = A + B folgt also nicht notwendig|C| = |A| + |B|.

Im Allgemeinen gilt die Dreiecksungleichung |C| ≤ |A| +|B|.

Um mehr als zwei Vektoren – z. B. A, B und C – zu addieren,werden zunächst zwei Vektoren addiert und wird anschlie-ßend der dritte Vektor zur Summe der beiden ersten addiert(Abbildung 1.10). Dabei ist es egal, in welcher Reihenfol-ge die Vektoren zusammengefasst und anschließend addiertwerden, d. h. (A + B) + C = A + (B + C). Somit ist dieVektoraddition wie die gewöhnlicher Zahlen auch assozia-tiv.

Falls die Vektoren A und B den gleichen Betrag, aber die ent-gegengesetzte Richtung haben, hat der Vektor C = A + Bden Betrag null. Dies kann dadurch gezeigt werden, dassder Anfangspunkt des zweiten Vektors an die Spitze des ers-ten angefügt wird, um die Summe A + B zu konstruieren.Ein Vektor mit dem Betrag 0 wird Nullvektor 0 genannt.Wenn A + B = 0 ist, heißt B der zu A negative Vektorund umgekehrt. Der Vektor B ist zu A negativ, wenn B den-selben Betrag wie A, aber die entgegengesetzte Richtunghat. Für den zu A negativen Vektor wird −A geschrieben,sodass aus A + B = 0 die Relation B = −A folgt (Abbil-dung 1.11)

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1.7 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON VEKTOREN 19

Mes

sung

...

A − A = A + (−A) = 0

−A

A

1.11

Der Vektor B wird von dem Vektor A subtrahiert, indem zuihm der zu B negative Vektor addiert wird. Das Ergebnis istC = A − B = A + (−B) (Abbildung 1.12a). Auf ande-re Weise kann man B von A subtrahieren, indem man aufbeiden Seiten der Gleichung C = A + (−B) den Vektor Baddiert, was B + C = A ergibt, und B und C durch An-einanderfügen des Anfangspunkts des einen Vektors an dieSpitze des anderen grafisch so addiert, dass A erhalten wird.Praktisch werden dazu die Anfangspunkte der beiden Vekto-ren A und B an einem Punkt dargestellt (Abbildung 1.12b)und wird anschließend C von der Spitze von B zur Spit-ze von A eingezeichnet. Beispiel 1.8 zeigt, wie eine solcheVektoraddition praktisch ausgeführt wird.

Beispiel 1.8: Verschiebung eines Wanderers ZUM VERSTÄNDNIS

Ein Wanderer läuft 3 km nach Osten und anschließend 4 km nach Norden. Bestimmen Sie durch grafischeAddition der beiden Verschiebungsvektoren seine resultierende Verschiebung.

Problembeschreibung: Die Verschiebung ist der Vektor vom Anfangspunkt zum Endpunkt. Die beiden einzelnenVerschiebungsvektoren können grafisch addiert werden, um die resultierende Verschiebung zu ermitteln. Um die Re-sultierende genau zu bestimmen, sollte ein Maßstab wie etwa 1 cm in der Zeichnung = 1 km in der Natur verwendetwerden.

Lösung:1. Wir bezeichnen die Verschiebung von 3,00 km nach Os-ten mit A und die von 4,00 km nach Norden mit B. DieResultierende nennen wir C = A+ B. Setzen Sie den An-fangspunkt von B an die Spitze von A (Abbildung 1.13).Verwenden Sie den Maßstab von 1 cm : 1 km und zeichnenSie Achsen für die Nord- und für die Ostrichtung ein.

N

E

C5,00 km B

4,00 km

A3,00 km

θ

0 1

ZENTIMETERM-108

2 3 4

1.13

2. Ermitteln Sie aus dem Diagramm eines Winkelmessersunter Berücksichtigung des Maßstabs von 1 cm : 1 km Be-trag und Richtung von C:

Der Pfeil für C hat eine Länge von 5,00 cm, sodass C einenBetrag von 5,00 km hat. Die Richtung von C zeigt unteretwa 53° gegen die Ostachse nach Nordosten.

C = A − B = A + (−B)

C = A − B B + C = AAC

CA

A

−B

B

B

(a)

(b)

1.12 Zwei verschiedene Möglichkeiten, Vektoren zu subtrahieren.Es sei C = A − B. a) Zur Konstruktion von C werden −B und Aaddiert. b) Alternativ werden zunächst A und B mit ihren Anfangs-punkten an einem Punkt dargestellt. C ist dann der Vektor, der zu Baddiert werden muss, um A zu erhalten.

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20 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Plausibilitätsprüfung: Die zurückgelegte Strecke ist 3,00 km + 4,00 km = 7,00 km, während der Betrag der Gesamt-verschiebung 5 km ist. Dies steht im Einklang damit, dass die kürzeste Verbindung zweier Punkte eine Gerade ist. Auchdass der Wanderer unter einem Winkel von etwas mehr als 45° gegen die Ostachse ankommt, ist einleuchtend, da er janur 3 km nach Osten, aber 4 km nach Norden gegangen ist.

Weitergedacht: Ein Vektor wird durch seinen Betrag und durch seine Richtung beschrieben. Die resultierende Ver-schiebung ist daher ein Vektor mit einer Länge von 5,00 km in einer Richtung von etwa 53° gegen die Ostachse nachNordosten.

Multiplikation eines Vektorsmit einem Skalar

Der Ausdruck 3A repräsentiert für einen beliebigen VektorA die Summe A+ A+ A. Mit anderen Worten, es ist A+ A+A = 3A. (Ähnlich ist (−A) + (−A) + (−A) = 3 (−A) =−3A.) Allgemeiner ist das Ergebnis der Multiplikation desVektors A mit einem Skalar s der Vektor B = s A, wobei derVektor B den Betrag |s||A| hat. Wenn s positiv ist, weist Bin dieselbe Richtung wie A, während B die entgegengesetzteRichtung von A hat, wenn s negativ ist. Die Dimension vons A ist das Produkt der Dimension von s und der Dimensionvon |A|. (Der Vektor A wird durch s dividiert, indem er mit1/s multipliziert wird.)

Komponenten von Vektoren

Vektoren lassen sich addieren oder subtrahieren, indem mansie in ihre Komponenten zerlegt. Die Komponente einesVektors in einer gegebenen Richtung ergibt sich dabei ausder Projektion auf eine vorgegebene Richtungsachse r . DieseProjektion entspricht dem Produkt aus der Länge des Vektorsund dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels θ in Abbil-dung 1.14. Je nachdem, ob der Vektor mit der Bezugsrich-

A

Ar = A cos 1θ

r

Ar

(a)

B

θ

Br = B cos 2 = − B cos θ θ

r

Br

(b)

^

^

1.14 Die Komponente eines Vektors in einer gegebenen Richtung istgleich dem Produkt aus dem Betrag des Vektors und dem Kosinusdes Winkels zwischen der Richtung des Vektors und der angege-benen Richtung. Ar ist die Komponente des Vektors A in positiverr-Richtung. Sie ist positiv. Dagegen ist Br , die r-Komponente desVektors B in positiver r-Richtung, negativ.

tung einen spitzen oder stumpfen Winkel einschließt, kanndie Projektion positiv oder negativ sein. Wie in Abbildung1.15 gezeigt ist, können Vektoren auch entsprechend den kar-tesischen x- und y-Koordinaten für die Basisrichtungen desdreidimensionalen Raums zerlegt werden. Für einen Vek-tor A der Länge |A|, der mit der x-Achse den Winkel θeinschließt, ergeben sich dann die folgenden Komponenten(Abbildung 1.15):

Ax = |A| cos θ (1.18)

Die x-Komponente eines Vektors

und

Ay = |A| sin θ. (1.19)

Die y-Komponente eines Vektors

Wir betrachten in diesem Buch die rechtwinkligen x-, y-und z-Komponenten eines Vektors wie Koordinaten als Zah-len, soweit wir Vektorkomponenten in den rechtwinkligenRaumrichtungen des kartesischen Koordinatensystems be-schreiben. Diese kartesischen Komponenten können dabeipositiv oder negativ sein – der Vektor B in Abbildung1.14 hat z. B. eine negative r -Komponente Br in Richtungder r -Koordinate, weshalb die Länge dem Betrag der r -Komponente entspricht. Im Gegensatz zur Länge, die wirallgemein als Betrag |A| bezeichnen und die für alle Koor-dinatensysteme denselben Wert hat, hängen die kartesischenKomponenten Ar , Ax usw. eines Vektors A von der Wahl desKoordinatensystems ab. Wir werden in diesem Buch dort,

y

xAx

θ

AyAy = |A| sin θ

Ax = |A| cos θ

A

1.15 Die rechtwinkligen Komponenten eines Vektors. θ ist der Win-kel zwischen der Richtung des Vektors und der +x-Richtung. DerWinkel ist positiv, wenn er wie gezeigt gegenüber der +x-Richtungentgegen der Uhrzeigerrichtung gemessen wird.

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1.7 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON VEKTOREN 21

Mes

sung

...wo die Wahl des Koordinatensystems negative Projektionen

und damit negative Komponenten bedingt, deshalb oft aufdie positiven Vektorbeträge Bezug nehmen, die nicht vomKoordinatensystem abhängen.

Bei gegebenem Ax und Ay lässt sich der Winkel θ gegen diex-Achse aus

tan θ = Ay

Ax, θ = atan

Ay

Ax(1.20)

berechnen, während sich der Betrag |A| aus dem Satz desPythagoras ergibt (Abbildung 1.16b):

|A| =√

A2x + A2

y. (1.21a)

Der Betrag eines Vektors in zwei Dimensionen

In drei Dimensionen lautet der entsprechende Ausdruck

|A| =√

A2x + A2

y + A2z . (1.21b)

Der Betrag eines Vektors in drei Dimensionen

Es ist wichtig, sich vor Augen zu halten, dass die Arkustan-gensfunktion in Gleichung 1.20 mehrwertig ist. Dieses Pro-blem wird in Beispiel 1.9 aufgegriffen.

Übung 1.6: Ein Auto fährt 20,0 km unter einem Winkel von30,0° nördlich gegenüber der Westrichtung. Legen Sie wiein Abbildung 1.17 die +x-Richtung nach Osten und die +y-Richtung nach Norden. Bestimmen Sie die x- und die y-Komponente der Verschiebung des Autos. �

Nachdem ein Vektor in seine Komponenten zerlegt wordenist, kann mit den Komponenten wie mit gewöhnlichen Zahlengerechnet werden. Wir betrachten zwei Vektoren A und B inder x-y-Ebene. In Abbildung 1.16a sind die rechtwinkligenKomponenten beider Vektoren sowie des SummenvektorsC = A + B gezeigt. Offensichtlich sind die rechtwinkligenKomponenten der beiden Vektoren und des SummenvektorsC = A + B durch die folgenden beiden Komponentenglei-chungen verknüpft:

Cx = Ax + Bx (1.22a)

undCy = Ay + By. (1.22b)

Mit anderen Worten, die Summe der x-Komponenten vonA und B ist gleich der x-Komponente des resultierenden

Bxy

x

A

B

CCy

Cx

Ay

Ax

By

y

x

z

A Ax

Ay

Az

Az

(b)

(a)

1.16 a) Die x- und die y-Komponenten der Vektoren A, B und C =A + B. Aus der Zeichnung lässt sich ablesen, dass Cx = Ax + Bx

und Cy = Ay + By ist. b) In der Zeichnung lässt sich der Betragdes dreidimensionalen Vektors A anhand des grau hervorgehobenenDreiecks berechnen, indem man den Satz des Pythagoras auf die

Katheten√

A2x + A2

y und Az anwendet: |A|2 =(√

A2x + A2

y

)2 +A2

z = A2x + A2

y + A2z .

N

S

OW30,0

2,0 km

°

A

1.17

Vektors C und die Summe der y-Komponenten ist gleich dery-Komponente des resultierenden Vektors. Der Winkel undder Betrag des resultierenden Vektors lassen sich anhand vonGleichung 1.20 bzw. 1.21a ermitteln.

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22 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Beispiel 1.9: Die Schatzinsel IM KONTEXT

Der Verwalter einer Tropeninsel erhält eine Karte mit dem Auftrag, an einem bestimmten Ort einen Schatzzu vergraben, den die Besucher dann suchen sollen. Hierzu muss er bestimmte Anweisungen befolgen. Der Verwaltermöchte die Aufgabe schnell hinter sich bringen, um baden zu gehen. Die Anweisungen besagen, dass er 3,00 km untereinem Winkel von 60,0° nördlich der Ostrichtung und anschließend 4,00 km unter einem Winkel von 40,0° nördlich derWestrichtung gehen soll. In welche Richtung und wie weit muss er laufen, um die Sache möglichst schnell zu erledigen?Ermitteln Sie das Ergebnis a) grafisch und b) unter Verwendung von Vektorkomponenten.

Problembeschreibung: Sie müssen in beiden Fällen die resultierende Verschiebung ermitteln. In Teilaufgabe a könnenSie die Vektoren addieren, indem Sie den Anfangspunkt des zweiten an die Spitze des ersten zeichnen und das Ergebnisaus der Zeichnung ablesen. Hierzu stellen Sie beide Verschiebungen maßstäblich dar und messen anschließend in derZeichnung die resultierende Verschiebung. Für Teilaufgabe b müssen Sie die Vektoren in ihre einzelnen Komponentenzerlegen und aus ihnen anschließend die resultierende Verschiebung berechnen.

Lösung:

Teilaufgabe a1. Zeichnen Sie ein maßstäbliches Vektoradditionsdia-gramm (Abbildung 1.18). Beginnen Sie mit Koordinaten-achsen, deren +x-Richtung Sie nach Osten und deren +y-Richtung Sie nach Norden legen. Zeichnen Sie anschlie-ßend ausgehend vom Koordinatenursprung den ersten Ver-schiebungsvektor A mit einer Länge von 3,00 cm in einerRichtung von 60,0° nördlich der Ostrichtung ein. ZeichnenSie anschließend beginnend bei der Spitze des ersten Vek-tors A den zweiten Vektor B mit einer Länge von 4,00 kmunter einem Winkel von 40,0° nördlich der Westrichtungein. Verwenden Sie einen Winkelmesser, um die Winkelabzumessen. Nun können Sie den resultierenden Vektor Cvom Anfangspunkt von A zur Spitze von B zeichnen.

N

C

B

x

y

A

60,0°

140°40,0°

θφ

1.18

2. Messen Sie die Länge von C ab. Messen Sie anschlie-ßend mit einem Winkelmesser den Winkel zwischen derRichtung von C und der +x-Richtung.

Der Vektor C ist etwa 5,40 cm lang. Der Betrag des re-sultierenden Verschiebungsvektors ist also 5,40 cm . DerWinkel φ zwischen C und Westen beträgt 73,2°. Der Ver-walter muss also 5,40 km unter einem Winkel von 73,2°gegen die Westrichtung nordwestlich laufen.

Teilaufgabe b1. Um diese Aufgabe mithilfe von Vektorkomponenten zulösen, bezeichnen Sie die erste Verschiebung mit A. LegenSie die +x-Richtung so, dass sie nach Osten zeigt, und die+y-Richtung so, dass sie nach Norden weist. BerechnenSie Ax und Ay aus Gleichung 1.18 und 1.19:

Ax = (3,00 km) · cos 60° = 1,50 km

Ay = (3,00 km) · sin 60° = 2,60 km

2. Ähnlich werden die Komponenten der zweiten Verschie-bung B berechnet. Der Winkel zwischen der Richtung vonB und der +x-Richtung ist 180,0° − 40,0° = 140°:

Bx = (4,00 km) · cos 140° = −3,06 km

By = (4,00 km) · sin 140° = +2,57 km

3. Die Komponenten der resultierenden VerschiebungC = A + B ergeben sich durch Addition der Komponen-ten:

Cx = Ax + Bx = 1,50 km − 3,06 km = −1,56 km

Cy = Ay + By = 2,60 km + 2,57 km = 5,17 km

4. Nun folgt der Betrag von C aus dem Satz des Pythagoras: |C|2 = C2x + C2

y

= (−1,56 km)2 + (5,17 km)2 = 29,2 km2

|C| =√

29,2 km2 = 5,40 km

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1.7 ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN VON VEKTOREN 23

Mes

sung

...5. Der Quotient aus Cy und Cx ist der Tangens des Win-

kels θ zwischen C und der positiven x-Richtung. BeachtenSie, dass der gesuchte Wert um 180° größer als der vomTaschenrechner für den Arkustangens ausgegebene seinkann:

tan θ = Cy

Cx

und damit

θ = atan5,17 km

−1,56 km= atan (−3,46)

= −73,2° oder (−73,2° + 180°)

= −73,2° oder + 107°)

6. Da Cy positiv und Cx negativ ist, müssen wir den Wertfür θ im zweiten Quadranten wählen:

θ = 107° entgegen der Uhrzeigerrichtung

gegenüber der Ostrichtung

φ = 73° nordwestlich

Plausibilitätsprüfung: Schritt 4 aus Teilaufgabe b ergibt den Betrag von 5,40 km, und Schritt 6 ergibt die Richtungvon 73,9° nördlich gegenüber der Westrichtung. Im Rahmen der Messgenauigkeit stimmt dies mit den Ergebnissen ausTeilaufgabe a überein.

Weitergedacht: Ein Vektor wird entweder durch den Betrag und durch die Richtung oder durch beide Komponentenvollständig festgelegt. In diesem Beispiel waren Betrag und Richtung gesucht.

Einheitsvektoren

Ein Einheitsvektor ist ein dimensionsloser Vektor vom Be-trag eins. Der Vektor A = A/|A| ist ein Beispiel für einenEinheitsvektor in Richtung von A. Das Dach über dem Vek-tor gibt an, dass es sich um einen Einheitsvektor handelt. EinVektor lässt sich daher auch A = A e schreiben, wobei A dieKomponente des Vektors A (also eine Zahl) und e ein Ein-heitsvektor ist. Die Komponente A ist positiv, d. h. A = |A|,wenn A und e die gleiche Richtung besitzen. Sie ist dagegennegativ, d. h. A = −|A|, wenn A und e entgegengesetzt ge-richtet sind. Die zweite Möglichkeit wird uns oft begegnen,z. B. bereits in Abschnitt 3.1 und 3.2.

Mithilfe von Einheitsvektoren in der positiven x-, y- undz-Richtung lassen sich Vektoren auch durch ihre rechtwink-ligen Komponenten ausdrücken. In diesem Buch sind dieEinheitsvektoren in Achsrichtung mit x, y und z bezeichnet.So besitzt beispielsweise der Vektor Ax x den Betrag |Ax |.Er zeigt in die +x-Richtung, wenn Ax positiv ist (bzw. in die−x-Richtung, wenn Ax negativ ist). Ein beliebiger VektorA im Raum kann als Summe von drei Vektoren geschriebenwerden, die jeweils parallel zu einer Koordinatenachse sind(Abbildung 1.19):

A = Ax x + Ay y + Az z. (1.23)

Die Addition zweier Vektoren A und B kann durch die Ein-heitsvektoren ausgedrückt werden,

A + B = (Ax x + Ay y + Az z)+ (Bx x + By y + Bz z)

= (Ax + Bx) x + (Ay + By) y

+ (Az + Bz) z. (1.24)

y

x

z

A

Ayy

Ax xAz z

(b)

y x

z

(a) y

x

z

1.19 a) Die Einheitsvektoren x, y und z in einem rechtwinkligenKoordinatensystem. b) Der Vektor A, ausgedrückt durch die Ein-heitsvektoren, d. h. A = Ax x + Ay y + Az z.

Die allgemeinen Eigenschaften von Vektoren sind in Tabelle1.4 zusammengestellt.

Übung 1.7: Gegeben sind die Vektoren A = (4,00 m)x +(3,00 m) y und B = (2,00 m)x − (3,00 m) y. Bestimmen Siea) |A|, b) |B|, c) A + B und d) A − B. �

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24 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Tabelle 1.4 Eigenschaften von Vektoren

Eigenschaft Erläuterung Abbildung Komponenten-darstellung

Komponente Ax , Ay , Az : Projektion von A Ax , Ay , Az

auf die x-, y- bzw. z-Richtung

y

xAx

θ

AyA

Betrag |A| |A| =√

A2x + A2

y + A2z

Gleichheit A = B, falls |A| = |B| und die Ax = Bx

Richtungen von A und B Ay = By

übereinstimmen Az = Bz

AB

Addition C = A + B Cx = Ax + Bx

Cy = Ay + By

Cz = Az + Bz

A

B

C

Das Negative A = −B, falls |B| = |A| und die Ax = −Bx

eines Vektors Richtungen von A und B Ay = −By

entgegengesetzt sind Az = −Bz

AB

Subtraktion C = A − B Cx = Ax − Bx

Cy = Ay − By

Cz = Az − Bz

–BC

BA

Multiplikation B = s A hat den Betrag |B| = |s||A| Bx = s Ax

mit einem Skalar und die Richtung von A, falls s positiv ist, By = s Ay

oder die Richtung von −A, falls s negativ ist Bz = s Az

BA sA

Schlaglicht

Die SchaltsekundeDas Kalenderjahr 2005 war – um genau eine Sekunde –länger als andere Jahre. Diese Sekunde wird „Schaltse-kunde“ genannt. Sie war notwendig, um zwei Zeitmes-sungsverfahren zu synchronisieren, von denen eines aufder Erdumdrehung und ein zweites auf einer ausgewähl-ten Gruppe von Atomuhren beruht.

In der Vergangenheit hatte sich die Zeitmessung immerauf die Stellung der Sonne am Himmel gegründet, diedurch die Erdrotation um ihre Achse sowie durch den Um-lauf der Erde um die Sonne bestimmt ist. Diese Sternzeit,heute Weltzeit (UT1) genannt, ging davon aus, dass dieErdumdrehung gleichförmig verläuft. In dem Maße, in

dem genauere Messverfahren entwickelt wurden, zeigtesich allerdings, dass es in der Umdrehungsgeschwindig-keit der Erde kleine Unregelmäßigkeiten gibt. Damit folgteauch eine bestimmte Schwankung der wissenschaftlichenStandardeinheit für die Zeit, der Sekunde, solange derenDefinition als (1/60) · (1/60) · (1/24) des mittleren Son-nentags von der Sternzeit abhing.

Im Jahr 1955 entwickelte das National Physics Laborato-ry in Großbritannien die erste Cäsiumuhr, die eine weithöhere Genauigkeit als alle zuvor bekannten Uhren auf-wies. Damit konnte die Zeitmessung von der astronomi-schen Beobachtung gelöst werden. Anhand der Frequenz

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SCHLAGLICHT 25

Mes

sung

...der von dem Übergang zwischen zwei Energieniveaus des

Cäsium-133-Atoms emittierten Strahlung konnte eine vielgenauere Definition der Sekunde gegeben werden. Ande-rerseits ist die UT1 in der Navigation und Astronomie nachwie vor unverzichtbar. Daher ist es wichtig, die Atomzeitmit der UT1 synchron zu halten.

Das National Physics Laboratory schreibt dazu: „Die [fürdie Synchronisation] angenommene Lösung bestand dar-in, eine Koordinierte Weltzeit (UTC) genannte Atomzeit-skala . . . als Grundlage für die internationale Zeitmes-sung zu konstruieren. Diese vereint die Regelmäßigkeitder Atomzeit mit der zweckmäßigeren Handhabung derUT1, und viele Länder haben sie als gesetzliche Grundla-ge für die Zeitmessung angenommen.“1 Das Internationa-le Büro für Gewichte und Maße in Sèvres, Frankreich, er-fasst Daten von ausgewählten Labors auf der ganzen Weltund erzeugt daraus die internationale Standardzeit UTC.

Wenn kleine Differenzen zwischen der UTC und der UT1zusammengekommen sind, da sich die Erdrotation mit derZeit geändert (normalerweise verlangsamt) hat, wird eineSchaltsekunde eingefügt, um die Lücke wieder zu schlie-ßen. Diese Konzeption erinnert an die der Schaltjahre, mitderen Hilfe der Kalender korrigiert wird. Ein Jahr hat nichtgenau 365, sondern 365,242 Tage. Um dies zu berück-sichtigen, wird alle vier Jahre ein zusätzlicher Tag, der29. Februar, zum Kalender hinzugefügt.

Seit die meisten Länder 1972 zur Atomzeitmessung über-gegangen sind, sind 23 solche Schaltsekunden zur UTChinzugefügt worden. Gemäß internationaler Übereinkunftwird eine Schaltsekunde dann eingefügt, wenn die Diffe-renz zwischen UT1 und UTC 0,9 Sekunden erreicht hat.Der International Earth Rotation and Reference Systems(IERS) Service kündigt die Notwendigkeit einer solchenSchaltsekunde über seine Zentrale am Paris Observatorybereits Monate im Voraus an.

In einem Jahr ohne Schaltsekunde beginnt die letzte Se-kunde im Jahr am 31. Dezember, 23:59:59 UTC. Die erste

Das globale Positionsbestimmungssystem (GPS) erfordert, dass 24Satelliten wenigstens 70 % der Zeit im Primärdienst sind. Jeder Pri-märsatellit hat eine Umlaufzeit von 1/2 Sterntag (1 Sterntag = ∼23 h56 min) und einen Radius der Umlaufbahn, der das Vierfache des Erd-radius beträgt. Es gibt sechs Umlaufebenen, jeweils mit dem gleichenWinkel dazwischen, die jeweils um 55° gegen die Äquatorialebeneder Erde geneigt sind. In jeder dieser Ebenen laufen vier Primärsatel-liten um. Daneben gibt es mehrere weitere GPS-Satelliten als Ersatz,falls einer der Primärsatelliten ausfällt, sodass bis zu 31 Satelliten imEinsatz sind.(Detlev Van Ravenswaay/Photo Researchers.)

Sekunde des neuen Jahres beginnt am 1. Januar, 00:00:00UTC. Dagegen wurden im Jahr 2005 und 2008 am 31. De-zember, 23:59:59 UTC eine Schaltsekunde hinzugefügt,sodass die Atomuhren 23:59:60 UTC anzeigten, bevorsie auf 00:00:00 umschalteten. In mitteleuropäische Zeitumgerechnet entsprechen die Umstellungstermine dem1.1.2006 und 1.1.2009 vor 1Uhr MEZ.2

1. http://www.npl.co.uk/upload/pdf/The_Leap_Second_PENDING.pdf (Stand: März 2009).

2. Tabelle der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt: http://www.ptb.de (Stand: März 2009).

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26 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Zusammenfassung

Thema Wichtige Gleichungen und Anmerkungen

1. Maßeinheiten Physikalische Größen sind Zahlen, die durch Messungen an physikalischen Ob-jekten erhalten werden. Operationale Definitionen geben die Operationen an, diebefolgt werden müssen, um die physikalischen Größen zu definieren. Der Wert jederphysikalischen Größe wird durch Maßzahl mal Maßeinheit ausgedrückt.

2. Grundeinheiten Die Grundeinheiten des SI-Systems sind das Meter (m), die Sekunde (s), das Ki-logramm (kg), das Kelvin (K), das Ampere (A), das Mol (mol) und die Candela(cd). Die Einheiten aller physikalischen Größen können durch diese Grundgrößenausgedrückt werden.

3. Einheiten in Gleichungen Einheiten in Gleichungen werden wie jede andere algebraische Größe behandelt.

4. Umrechnung Umrechnungsfaktoren besitzen stets den Wert 1. Sie bieten eine einfache Mög-lichkeit, von einer Einheit in eine andere umzurechnen.

5. Dimensionen Beide Seiten einer Gleichung müssen die gleiche Dimension besitzen.

6. Exponentialschreibweise Zur Vereinfachung werden sehr kleine und sehr große Zahlen im Allgemeinen alsProdukt einer Zahl und einer Zehnerpotenz geschrieben.

7. Exponenten

Multiplikation Bei der Multiplikation zweier Zahlen werden die Exponenten addiert.

Division Bei der Division zweier Zahlen werden die Exponenten subtrahiert.

Potenzierung Wird eine Zahl, die einen Exponenten enthält, selbst potenziert, werden die Expo-nenten multipliziert.

8. Messfehler

Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion von Messwerten x um den wahren Wert 〈x〉 lautet

f (x) = 1√2πσ

e−(x−〈x〉)2/(2 σ 2). (1.7)

Schätzwerte Der Schätzwert für den wahren Messwert ist

〈x〉 = 1

n

n∑i=1

xi . (1.13)

Der Schätzwert für den statistischen Fehler einer Einzelmessung ist

σ =√√√√ 1

n − 1

n∑i=1

(xi − 〈x〉)2. (1.14)

Der Schätzwert für den statistischen Fehler des Messwerts ist

�x = σ√n

=√√√√ 1

n(n − 1)

n∑i=1

(xi − 〈x〉)2. (1.15)

9. Signifikante Stellen

Multiplikation und Division Die Anzahl der signifikanten Stellen im Ergebnis einer Multiplikation oder Divisionist nie größer als die kleinste Anzahl der signifikanten Stellen aller Faktoren.

Addition und Subtraktion Das Ergebnis einer Addition oder Subtraktion zweier Zahlen besitzt keine signifi-kanten Stellen nach der letzten Dezimalstelle, die für beide Ausgangszahlen signi-fikant ist.

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ANTWORT/LÖSUNGEN 27

Mes

sung

...

Thema Wichtige Gleichungen und Anmerkungen

10. Größenordnungen Eine Zahl, die auf die nächstgelegene Zehnerpotenz gerundet wurde, wird Grö-ßenordnung genannt. Die Größenordnung einer Größe lässt sich oft schon durchsinnvolle Annahmen und einfache Berechnungen ermitteln.

11. Vektoren

Definition Vektoren sind Größen mit Betrag und Richtung. Vektoren werden wie aufeinander-folgende Verschiebungen addiert.

Komponenten Die Komponente eines Vektors in einer Richtung im Raum ist seine Projektion aufeine Achse in dieser Richtung. Die x- und die y-Komponente eines Vektors A, derunter einem Winkel θ zur positiven x-Achse liegt, lauten

Ax = |A| cos θ, (1.18)

Ay = |A| sin θ. (1.19)

Betrag |A| =√

A2x + A2

y (1.21a)

Grafische Vektoraddition Zwei Vektoren werden grafisch addiert, indem der Anfangspunkt des einen Vektorsan die Spitze des anderen gesetzt wird. Anschließend wird der Pfeil, der den resul-tierenden Vektor repräsentiert, vom Anfangspunkt des ersten Vektors zur Spitze desanderen gezeichnet. In der Praxis verwendet man hierfür das Parallelogrammver-fahren.

Vektoraddition in derKomponentenschreibweise

Für C = A + B gilt

Cx = Ax + Bx (1.22a)

und

Cy = Ay + By. (1.22b)

Einheitsvektoren Ein Vektor A lässt sich durch die Einheitsvektoren x, y und z ausdrücken, diejeweils dimensionslos sind, den Betrag eins haben und entlang der x-, y- bzw. z-Achse zeigen:

A = Ax x + Ay y + Az z. (1.23)

Antwort auf die Verständnisfrage

1.1 5

Lösungen der Übungen

1.1 a) 300 ns, b) 40 Mm1.2 a) 0,05, b) 3,9, c) 0,0031.3 2,39 · 102

1.4 3,2 · 105 a1.5 ≈ 6 · 1015

1.6 Ax = 17,3 km, Ay = 10,0 km1.7 a) A = 5,00 m, b) B = 3,61 m, c) A+B = (6,00 m)x,

d) A − B = (2,00 m) x + (6,00 m) y

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28 1 MESSUNG UND VEKTOREN

Aufgaben

Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen anderen dagegen werdenDaten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benötigt.

• einfache Aufgaben mit wenigen Rechenschritten•• mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination verschiedener Konzepte erfor-

dern••• anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständen auch aus späteren Kapiteln) oder eigene

mathematische Modellbildung benötigen

1.1 • Welche der folgenden physikalischen Größen istkeine Grundgröße des SI-Systems? a) Masse, b) Länge,c) Energie, d) Zeit, e) alle genannten sind physikalischeGrundeinheiten.

1.2 • Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/sim Zähler und m/s2 im Nenner. Wie lautet die endgültigeMaßeinheit? a) m2/s3, b) 1/s, c) s3/m2, d) s, e) m/s.

1.3 • Wie viele signifikante Stellen hat die Zahl0,0005130? a) eine, b) drei, c) vier, d) sieben oder e) acht.

1.4 • Richtig oder falsch? Zwei Größen müssen die glei-che Dimension besitzen, um multipliziert werden zu können.

1.5 • Ein Vektor hat eine negative x-Komponente undeine positive y-Komponente. Sein entgegen der Uhrzeiger-richtung gegen die positive x-Achse gemessener Winkelliegt a) zwischen 0° und 90°, b) zwischen 90° und 180°,c) ist größer als 180°.

1.6 • Lassen sich drei Vektoren mit dem gleichenBetrag so addieren, dass der Nullvektor erhalten wird? Wennja, fertigen Sie dafür eine Skizze an. b) Wenn nein, erläuternSie, weshalb nicht.

Schätzungs- und Näherungsaufgaben

1.7 • Die Annahme, dass der menschliche Körperim Wesentlichen aus Wasser besteht, ermöglicht einigegute Schätzungen. Ein Wassermolekül hat eine Masse von29,9 · 10−27 kg. Schätzen Sie die Anzahl der Wassermole-küle eines Menschen mit einer Masse von 60 kg.

1.8 •• a) Schätzen Sie, wie viele Liter Benzin die Au-tos in den USA jeden Tag verbrauchen sowie den Geldwertdieser Benzinmenge. b) Aus einem Barrel Rohöl können73,43 l Benzin gewonnen werden. Wie viele Barrel Roh-öl müssen die USA demnach zur Benzingewinnung jähr-lich importieren? Wie vielen Barrel pro Tag entspricht das?(1 Barrel = 158,76 l)

1.9 •• Das sogenannte „Megabyte“ (MB) ist eineMaßeinheit für die Kapazität bzw. das Fassungsvermögenvon Computerspeichern, CD-ROMs oder Musik- bzw.Sprach-CDs. Beispielsweise kann eine Musik-CD mit ihrerSpeicherkapazität von 700 MB etwa 70 min Musik in HiFi-Qualität speichern. a) Wie viele MB werden für einen 5 minlangen Musiktitel benötigt? b) Schätzen Sie, wie viele Ro-mane auf einer CD-ROM gespeichert werden können, wennpro Druckseite Text durchschnittlich 5 KB an Speicherplatzbenötigt werden.

Maßeinheiten1.10 • Drücken Sie die folgenden Werte mithilfeder in Tabelle 1.1 aufgeführten Vorsätzen aus. Beispiel:10000 Meter = 10 km. a) 1000000 Watt, b) 0,002 Gramm,c) 3 · 10−6 Meter, d) 30000 Sekunden.

1.11 •• In den folgenden Gleichungen werden dieStrecke x in Metern, die Zeit t in Sekunden und die Ge-schwindigkeit v in Metern pro Sekunde angegeben. WelcheSI-Einheiten besitzen die folgenden Konstanten C1 undC2? a) x = C1 + C2 t , b) x = 1

2 C1 t2, c) v2 = 2 C1 x ,d) x = C1 cos C2 t , e) v2 = 2 C1 v − (C2 x)2.

Umrechnen von Einheiten1.12 • Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt340 m/s. Sie wird in der Luft- und Raumfahrt nach ErnstMach als Mach 1 bezeichnet. Wie hoch ist die Geschwin-digkeit in km/h eines Überschallflugzeugs, das mit Mach 2,also doppelter Schallgeschwindigkeit, fliegt?

1.13 •• Im Folgenden seien x in Metern, t in Sekunden, vin Metern pro Sekunde und die Beschleunigung a in Meternpro Sekunde zum Quadrat gegeben. Gesucht sind die SI-Einheiten für die Kombinationen a) v2/x , b)

√x/a, c) 1

2 a t2.

Dimensionen physikalischer Größen1.14 • Das Gesetz für den radioaktiven Zerfall lautetn(t) = n0 e−λ t , wobei n0 die Anzahl der radioaktiven Kerne

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AUFGABEN 29

Mes

sung

...zur Zeit t = 0, n(t) die Anzahl der davon zum Zeitpunkt t

verbliebenen Kerne und λ die sogenannte Zerfallskonstanteist. Welche Dimension hat λ?

1.15 •• Die SI-Einheit der Kraft (kg · m/s2) wird Newton(N) genannt. Gesucht sind die Dimension und die SI-Einheitder Konstanten Γ im Newton’schen GravitationsgesetzF = Γ m1 m2/r2.

1.16 •• Der Impuls eines Körpers ist das Produkt ausseiner Geschwindigkeit und seiner Masse. Zeigen Sie, dassder Impuls die Dimension Kraft mal Zeit besitzt.

1.17 •• Wenn ein Gegenstand in der Luft fällt, gibt es ei-ne Widerstandskraft, die vom Produkt der Querschnittsflächedes Gegenstands und vom Quadrat seiner Geschwindigkeitabhängt. Somit ist FLuft = C A v2, wobei C eine Konstanteist. Bestimmen Sie die Dimension von C.

Exponentialschreibweiseund signifikante Stellen1.18 • Drücken Sie folgende Zahlen in der Exponenti-alschreibweise aus: a) 1345100 m = km, b) 12340,0 kW= MW, c) 54,32 ps = s, d) 3,0 m = mm.

Vektoren und ihre Eigenschaften1.19 • Ein 7,00 Einheiten langer Vektor und ein 5,50Einheiten langer Vektor werden addiert. Der Summenvektorhat eine Länge von 10,0 Einheiten. a) Zeigen Sie wenigstenseine Möglichkeit, die Vektoren grafisch zu addieren. b) Be-stimmen Sie anhand der Skizze aus a den Winkel zwischenden beiden Ausgangsvektoren.

1.20 • Bestimmen Sie die x- und die y-Komponentender folgenden drei Vektoren in der x-y-Ebene a) eines 10 mlangen Verschiebungsvektors, der mit der +y-Achse inUhrzeigerrichtung einen Winkel von 30° bildet, b) einesGeschwindigkeitsvektors von 25 m/s, der mit der −x-Achseentgegen der Uhrzeigerrichtung einen Winkel von 40°bildet, c) eines Kraftvektors von 40 N, der mit der −y-Achseentgegen der Uhrzeigerrichtung einen Winkel von 120°bildet.

1.21 •• Gegeben sind die folgenden Kraftvektoren: Amit einem Betrag von 25 N unter einem Winkel von 30°in Uhrzeigerrichtung gegenüber der +x-Achse und B miteinem Betrag von 42 N unter einem Winkel von 50° inUhrzeigerrichtung gegenüber der +y-Achse. a) FertigenSie eine Skizze an und schätzen Sie mit ihrer Hilfe denBetrag und den Winkel eines Vektors C , der so gewählt

wird, dass 2A + C − B ein Vektor mit einem Betrag von35 N ist, der in die +x-Richtung weist. b) WiederholenSie die Berechnung aus a mit dem Komponentenverfah-ren und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem in a erhaltenen.

Allgemeine Aufgaben

1.22 •• Ein Eisenatomkern hat einen Radius von5,4 · 10−15 m und eine Masse von 9,3 · 10−26 kg. a) Wiegroß ist das Verhältnis der Masse zum Volumen in kg/m3?b) Angenommen, die Erde hätte das gleiche Masse-Volumen-Verhältnis. Wie groß wäre dann ihr Radius? (Die Masse derErde beträgt 5,98 · 1024 kg.)

1.23 •• Wenn die durchschnittliche Dichte des Uni-versums mindestens 6 · 10−27kg/m3 beträgt, wird seineExpansion eines Tages aufhören und es zu kontrahierenbeginnen. a) Wie viele Elektronen pro Kubikmeter sindnotwendig, um die kritische Dichte zu erzeugen? b) Wieviele Protonen pro Kubikmeter würden die kritische Dichteerzeugen? (me = 9,11 · 10−31 kg; mP = 1,67 · 10−27 kg)

1.24 •• Eine astronomische Einheit (1 AE) ist als dermittlere Abstand der Mittelpunkte der Erde und der Son-ne definiert. Sie beträgt 1,496 · 1011 m. Ein Parsec (1 pc) istder Radius eines Kreises, dessen Kreisbogen bei einem Zen-triwinkel von einer Bogensekunde (= 1

3600 °) genau 1 AElang ist (Abbildung 1.20). Ein Lichtjahr ist die Entfernung,die das Licht in einem Jahr zurücklegt. a) Wie viele Par-sec bilden eine astronomische Einheit? b) Wie viele Meterentsprechen einem Parsec? c) Wie viele Meter umfasst einLichtjahr? d) Wie viele astronomische Einheiten enthält einLichtjahr? e) Wie viele Lichtjahre bilden ein Parsec?

1.20 Zu Aufgabe 1.24.

1.25 •• In der folgenden Tabelle stehen die UmlaufzeitenT und die Radien r der Umlaufbahnen für die Bewegungenvon vier Satelliten, die einen schweren Asteroiden mithoher Dichte umkreisen. a) Die Daten lassen sich durchdie Formel T = C rn beschreiben. Ermitteln Sie die Werteder Konstanten C und n. b) Es wird ein fünfter Satellit miteiner Umlaufzeit von 6,20 a entdeckt. Bestimmen Sie aus-gehend von der Formel den Radius der Umlaufbahn diesesSatelliten.

Umlaufzeit T , a 0,44 1,61 3,88 7,89Radius r , Gm 0,088 0,208 0,374 0,600

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30 1 MESSUNG UND VEKTOREN

1.26 ••• Die Schwingungsdauer T eines mathematischenPendels hängt von seiner Länge l und von der Erdbeschleuni-gung g (Dimension l/T 2) ab. a) Ermitteln Sie eine einfacheKombination von l und g, die die Dimension der Zeit hat.b) Überprüfen Sie durch Messen der Schwingungsdauer(der Dauer für ein vollständiges Hin- und Herschwingen)eines Pendels mit zwei verschiedenen Pendellängen l dieAbhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Länge l .c) Die richtige Formel für T , l und g enthält eine Kon-stante, die ein Vielfaches von π ist und sich nicht aus derDimensionsbetrachtung in Aufgabe a ergibt. Sie kann aberexperimentell wie in Teilaufgabe b ermittelt werden, wenng bekannt ist. Berechnen Sie für g = 9,81 m/s2 und mit

Hilfe Ihrer experimentellen Ergebnisse aus Teilaufgabe bdie genaue Beziehung zwischen T , l und g.

1.27 ••• Sie erblicken ein Flugzeug, das in einer Höhe von5,0 km über Ihrem Standort in einer Entfernung von 1,50 kmnach Norden und 2,5 km nach Osten fliegt. a) Wie weit istdas Flugzeug von Ihnen entfernt? b) Welchen Winkel bildetIhre Blickrichtung (in der horizontalen Ebene) mit der Nord-richtung? c) Drücken Sie den Ortsvektor des Flugzeugs (vonIhrem Ort aus) durch die Einheitsvektoren aus, wobei x nachOsten, y nach Norden und z vertikal nach oben zeigen soll.d) Unter welchem Höhenwinkel (gegenüber der horizontalenErdoberfläche) sehen Sie das Flugzeug?

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