physique 3 vibrations linéaires et ondes mécaniques leçon n°5 : les oscillations libres amorties...

Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°5 :

Les oscillations libres amorties

et non-amorties

Introduction (1)Je vous souhaite la bienvenue à cette cinquième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « oscillations libres des systèmes non-amortis et amortis à un degré de liberté ». Cette leçon marque le début du deuxième chapitre de ce cours dont le thème est les oscillations à un degré de liberté en général. L’étude des systèmes à un degré de liberté en général. L’étude des systèmes à un degré de liberté est importantes car tous les systèmes mécaniques et toutes les structures qui oscillent peuvent être idéalisées comme de simples systèmes à un degré de liberté. Nous avons vu dans les leçons précédentes le moteur avec arbre à cames en tête ou un building à un ou plusieurs étages que l’on peut idéaliser par des systèmes à un degré de liberté, ce qui nous donne une première approximation à l’analyse des vibrations de notre système.

Dans ces systèmes, seulement une coordonnée est suffisante pour spécifier la position de la masse de notre corps, à laquelle aucune force extérieure n’est appliquée dans le cadre de la leçon d’aujourd’hui. Si il y’a aucune dissipations d’énergie durant le nouveau de la masse, nous l’avons déjà vu, nous avons un système non-amortis et l’amplitude du mouvement est constante dans le temps.

Introduction (2)En pratique, sauf dans le vide, l'amplitude des vibrations libres diminue graduellement avec le temps à cause de la résistance du milieu environnant. Ces vibrations sont dites amorties.

Cette leçon commence par les oscillations libres non amortis que nous revoyons avec des exemples de la vie courante tels que les oscillations d'un château d'eau, les vibrations résultant d'un impact d'un système de poulies. Nous aborderons par la suite les oscillations libres avec amortissement visqueux en posant l'équation du mouvement. Nous verrons que les solutions de cette équation offrent trois possibilités. La première qu'on appelle l'amortissement sous-critique est la plus intéressante pour ce cours car elle donne lieu à des oscillations. La deuxième qu'on appelle l'amortissement critique fait que la masse retourne à sa position d'équilibre dans le temps le plus cours. Cette solution a aussi des applications pratiques. La troisième solution qu'on l'approximation sur-critique montre que le mouvement de la masse diminue exponentiellement avec le temps. Nous verrons des notions utiles telles que le décrément logarithmiques pour l'interprétation des courbes expérimentables et l'énergie dissipée dans un amortissement visqueux.

Introduction (3)Des exemples pratiques de la vie courante seront là aussi résolus tels que la réponse de l'enclume d'un marteau-pilon qui sont des machines utilisées par les forgerons, la conception d'un amortisseur de vélomoteur ou de voiture et l'amortissement d'un canon ou de voiture et l'amortissement d'un canon avec son mécanisme de rappel qui doit le ramener, pour des raisons évidentes, à une position fixe dans le temps le plus court et sans oscillations.

La troisième partie de cette leçon détaillera la théorie des oscillations libres avec amortissement sec aussi appelé amortissement de Coulomb. Nous verrons que dans ce cas, l'amplitude diminue de façon linéaire, c'est-à-dire que l'enveloppe des oscillations est droite alors que pour l'amortissement que l'amortissement visqueux, l'enveloppe des oscillations est une exponentielle négative.

Finalement, en dernière partie de cette leçon, nous utiliserons MATLAB pour trouver des solutions numériques pour les différentes notions que nous aurons à développer dans cette leçon, c'est-à-dire les oscillations libres non amorties, les oscillations amorties avec amorties visqueux et les oscillations amorties avec amortissement

Idéalisation d’une structure à un étage

• Les systèmes mécaniques ou structurels peuvent être idéalisés comme de simples systèmes à un degré de liberté.

x(t)

Étage

Masse m x(t)

Colonnes élastiques

Masse négligeable

(a) Ossature de la structure (b) Système masse-ressort équivalent

x(t)

k

m

Equation du mouvement par application du principe de Newton

Procédure à suivre :1. Sélectionner la coordonnée appropriée pour décrire le système .2. Déterminer la position d'équilibre statique du système et mesurer le

déplacement de la masse à partir de cette position d'équilibre statique.

3. Dessiner un diagramme des forces de la masse lorsque un déplacement et une vitesse positive lui sont données. Indiquer les forces actives et réactives qui agissent sur la masse.

4. Appliquer la deuxième loi de Newton qui dit que la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement est égale à la résultante des forces qui agissent sur la masse, si m est constant:

xmdt

xdm

dt

dxm

dt

dtF

2

2

Système masse-ressort

0kx-xm

-kxxm

0kxxm

x-kxm st

Equation du mouvement par application de la conservation de l’énergie ou de l’équation de Lagrange

0kxxm0kx2

1xm

2

1

dt

d

0VTdt

dcteVT

22

0kxxmkx2

1xm

2

1L

0x

L

x

L

dt

dV-TL

22

1.

2.

Oscillations libres non-amortis

•

•

•

•

•

n

2/12st i

m

kis0kmsCetx;0xkxm

tsinAtcosAeCeCtx n2n1ti

2ti

1nn

tsinx

tcosxtxxA0txetxA0tx nn

0n002n01

n0

01

1

21

21

2

n

020

2/122

21

n2

1

x

xtg

A

Atg;

xxAAAavec

tcosAtxsinAA

cosAA

0

n010

21

2

n

0200

0002

01

x

xtg;et

xxAAavec

tsinAtxcosAA

sinAA

Exemple 1 : Réponse harmonique d’un château d’eau

La colonne d'un château d'eau a une hauteur de 90 m et est faite de béton armée avec une section tubulaire de diamètre intérieur de 2,4 m et de diamètre extérieur de 3 m. Le réservoir plein d'eau pèse 2J,7.105 kg. En négligeant la masse de la colonne et en supposant que le module d'Young pour du béton armé est de 2,7.1010 N/m2, déterminer :1. La fréquence naturelle et la période des

vibrations transversales du réservoir,2. La réponse vibratoire du réservoir suite à un

déplacement initial de 25 cm,3. La valeur maximale de la vitesse et de

1’accélération à laquelle est soumis le réservoir.

Exemple 1 : Réponse harmonique d’un château d’eau, solution

1.

2.

3.

sec4,72

s/rd85,01075,2

102

m

k

m

N102

90

34,21075,23k

m34,24,2364

dd64

I,m

N1075,2E,m90

4

r

4

rrdr2

2

rds

2

rdm

2

rI,

EI3pk;

EI3

p

nn

5

5

n5

3

10

444i

402

10

d

d

4r

r

4222

3

3 out

in

out

in

cmt85,0cos252

t85,0sin25tx

20

xtan;cm25x

xxAavectsinAtx n01

0

2/12

n

0200n0

222

n0max

n0max

s/cm06,1885,025Ax

s/cm25,2185,025Ax

Exemple 2 : Oscillations libre résultante d’un impact

Une poutre supporte une masse M à son extrémité libre. Une masse m tombe sur la masse M d'une hauteur h et adhère à la masse M sans rebondir. Déterminer la vibration transversale résultante de la poutre :

Exemple 2 : Oscillation libre résultante d’un impact, Solution

•

• Les conditions initiales du problème :

•

•

gh2mM

m

mM

mvxxmMmv;gh2V m

00mm

gh2mM

mx;

k

mgx 00

tcosAtx n

mM

EI3

mM

k;

x

xtan;

xxA

3nn0

01

2/12

n

020

Exemple 3 : Fréquence naturelle d’un système de poulies

Énoncé : Déterminez la fréquence naturelle du système de la figure, on négligera les frottements et on supposera que la masse des poulies est négligeable.

Exemple 3 : Fréquence naturelle d’un système de poulies, solution

•

•

•

21

12

21

211

2

11

2122112211

kk

k

2

xx;

kk

k

2

xxx

k

kx2x

xx2x;xkxkp2xk;p2xk

21

21eq

2

21

21

2

21

12

2

21

21

2eq

222

211

kk4

kkkx

kk4

kk

2

1

kk

k

2

xk

2

1

kk

k

2

xk

2

1V;xk

2

1xk

2

1xk

2

1V

s/cycleskkm

kk

4

1

2f

s/radkkm4

kk

m

k0xkxm

2/1

21

21nn

2/1

21

21

2/1

eqneq

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire

•

•

3

mJavecJ

2

1T

2

02

0

cos

2

lmgsink

2

12V 22

•

•

• Pour les petites oscillations :

•

• La solution de l’équation dépend du signe de (12Kℓ2 – 3 mgℓ)

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire (suite)

0m2

mg3K122

2

cos2

mgsinKJ

2

1VTL 222

0

0sin2

mgcossinK2J 2

02

mgK2

3

m 22

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire (suite)

Si

Cas n°1

Cas n°2

Cas n°3

Si

(t) croit exponentiellement avec le temps, le mouvement est instable.

0mgl3Kl12 2

00 0tet0t

0mgl3Kl12 2

2

1

2

22

0021

ml2

mgl3Kl12

tsintcostsinAtcosAt

t00

t00

t2

t1

21

2

2

ee2

1eBeBt

m2

K12mg3

0021 tCtCt

0mgl3Kl12 2

Oscillations libres avec amortissement visqueux

•

• Pour un système masse-ressort ou équivalent

• L’équation caractéristique

xF

0Kxxxm

m

K

m2m2m2

mK4

0Km22

2,1

2

Oscillations libres avec amortissement visqueux (Suite)

• La solution générale de l’équation est donnée par :

C1 et C2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales.

tm

K

m2m2

2

tm

K

m2m2

1

t2

t1

22

21

eCeC

eCeCtx

Constante d’amortissement critique et rapport d’amortissement

• La valeur particulière c pour laquelle le radical s’annule est appelée constante d’amortissement critique

• On définit le rapport d’amortissement (lire zêta) par :

• Avec ces définitions :

• La solution de l’équation différentielle devient :

c

nc

2

c m2Km2m

Km20

m

K

m2

122,1

t12

t11

22

eCeCtx

Comportement d’un système libre amorti

• Les racines 1,2 et donc le comportement du système dépend de . Pour =0, nous avons des oscillations libres. Si ≠0, il y’a trois comportements possibles

• <1, l’amortissement est sous critique, 2 -1<0

21 1i

22 1i

0

2t0

2t

22

21

t

t1i2

t1i1

t

t1coseX

t1sinXe

t1sin'Ct1cos'Ce

eCeCetx22

L’amortissement sous-critique

Chaque équation contient deux constantes à déterminer à partir des conditions initiales

On trouve

On définit la fréquence des vibrations amorties

Le facteur e-t traduit une diminution exponentielle de l’amplitude des vibrations.

00 x0tx;x0tx

2

00201

1

xx'C,x'C

t1sin

1

xxt1cosxetxet 2

2

0020

t

2a 1

L’amortissement sous-critique (suite)

aXe

L’amortissement critique

2- =1, l’amortissement est dit « critique »

•

•

• Les conditions initiales

•

Cette solution montre que le mouvement est apériodique (non périodique). Ce système possède le plus petit amortissement possible. La masse retourne à sa position d’équilibre dans le temps le plus court. Cette propriété possède divers applications pratiques .

m2c

21

t21 etCCtx

0021 xxC;xC

t000 etxxxtx

L’amortissement sur-critique

1 et 2 sont réelles et distinctes

La solution s’écrit :

avec

Le mouvement est apériodique et diminue exponentiellement avec le temps.

212

22

1 avec,01,01

t1

2

t1

1

22

eCeCtx

12

x1xC;

12

x1xC

2

02

022

02

01

Comparaison de mouvements pour les différents types d’amortissements

Défini comme le logarithme du rapport entre deux amplitudes successives d’un mouvement libre amorti sous-critique :

avec t2=t1+T où = période des oscillations amortis

Pour des petits amortissements, << 1, =2

Décrément logarithmique

2at

1at

2

1

tsinXe

tsinXe

x

x2

1

a

2T

1a2a tsintsin

t

Tt

t

2

1 ee

e

x

x1

1

222

1

1

2

1

2T

x

xln

Energie dissipée dans un amortissement visqueux

• La variation de l’énergie avec le temps est donnée par :

• On suppose un mouvement harmonique :

• L’énergie dissipée pendant un cycle s’écrit :

• On définit l’amortissement spécifique (où W est l’énergie totale) pour comparer la capacité d’amortissement de différents matériaux :

22

dt

dxvFv

dt

dW

tsinXtx a

2

0t

2aaa

2a

22

0t 2

2

XtdtcosXdtdt

xdW a

W

W

42

m2

22

Xm21

X

W

W

a22a

2a

Système de torsion avec amortissement visqueux

• Pour les systèmes de torsion :

• Les résultats présentés pour les vibrations linéaires avec amortissement visqueux peuvent être directement utilisés :

où tc représente la constante d’amortissement critique de torsion.

0KJ tt0

0t0tc

0

t

tc

t2

a

JK2J2et

J

K,avec1

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’unmarteau-pilon

L' enclume d'un marteau pilon pèse 5,000 N et est monté sur une fondation de raideur 5xl06 N/m et de coefficient d'amortissement visqueux de 10 000 N.s/m. Durant une opération de forge particulière, le marteau de poids P=1000N est lâché d'une hauteur de 2m sur l'enclume. L'enclume est au repos avant l'impact. On supposera que le coefficient de restitution entre l'enclume et le marteau est de 0,4. Ce coefficient est le rapport des différences de vitesses après et avant la collision.

11

22

me

me

vv

vvr

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’unmarteau-pilon, solution

• Conservation de la quantité du mouvement :

• Le coefficient de restitution

•Solution

Les conditions initiales de l’enclume :

2221

1

11212

meme

m

2mmmee

v0408,102876,638v204,510v261,681,9

10000v

81,9

5000

s/m261,6281,92gh2v

mghmv2

1;vvmvvM

5044,2vv261,60

vv4,0

vv

vvr

22

22

11

22

meme

me

me

s/m0435,1v;s/m4609,1v22 me

s/m4609,1x;0x 00

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’unmarteau-pilon, solution

•

•

s/rad0248,98099,01995,981

s/rad995,98

81,9

5000

105

M

k;099,0

81,9

50001052

1000

kM2

2na

6

n

6

mt0248,98sin0149,0t0248,98cose

tsinxx

tcosetx

799,9

aa

0n0a

tn

Exemple 6 :Conception d’un amortissement de vélomoteur

Enoncé : On veut concevoir un amortisseur pour un vélomoteur de masse m=200kg. Quand l’amortisseur est sujet à une vitesse initiale due à une secousse venant d’une déformation de la route, la courbe déplacement-temps résultante est comme celle indiquée sur la figure.

(a)Trouver la raideur et la constante d’amortissement nécessaire de l’amortisseur si la période de vibration doit être égale à 2 sec et l’amplitude x1 doit être réduite à un quart de l’amplitude initiale en une demi période .

(b) Trouver aussi la vitesse initiale minimale qui donne un déplacement maximum de 250 mm.

4

x5,1x 1

Exemple 6 : Conception d’un amortissement de vélomoteur, solution

(a) Puisque

• Le décrément logarithmique devient :

• La période des oscillations amorties est de 2 sec, donc :

• La constante d’amortissement critique est :

• La constante d’amortissement est donc :

• La raideur est égale à :

,16

x

4

xx,

4

xx 15,1

21

2,1

4037,01

27726,216ln

x

xln

22

1

sec/rad4338,3

4037,012

2

1

222

2n2na

a

m/s.N54,13734338,32002m2 nc

m/s.N4981,55454,13734037,0c

m/N2652,23584338,3200mk 22n

Exemple 6 : Conception d’un amortissement de vélomoteur, solution (suite)

(b)

•

, deux possibilités :

qui correspond à un maximum de x(t)

qui correspond à un minimum de x(t)

•

•

tsinex

tcostsinetx aa

t0

aaant

n

n

2

aaaant

a

0 1ttg0tcostsine

x

dt

tdxn

2a2

1tsintg1

tgsin

tcos,1tsin

tcos,1tsin

a2

a

a2

a

2a2

2

1tsinpour0dt

xd

2a2

2

1tsinpour0dt

xd

sec3678,0

9149,0sint9149,01tsin

1

12

1

s/m4294,1

e4338,325,0exxex

txx 3678,04338,34037,0tn10

n

t0

11n

1n

Exemple 7 : Amortissement d’un canon

Le schéma simplifié d’un grand canon est montré sur la figure. Quand le canon tire un boulet, des gaz de haute pression accélèrent le projectile à l’intérieur d’un baril à une vitesse très élevée. La force de réaction qui en résulte pousse le baril dans la direction opposée du projectile. Puisqu’il est désirable de ramener le baril à la position fixe dans le temps le plus court sans oscillations, on utilise l’amortissement critique d’un système ressort-amortisseur qu’on appelle le mécanisme de rappel.

On supposera que le baril du canon et le mécanisme de rappel ont une masse de 500 kg, et que le ressort à une raideur de 10 000N/m. Le baril recule de 0,4 m après un tir. Trouver :

1- Le coefficient d’amortissement critique de l’amortisseur.

2- La vitesse initiale de rappel du canon.

3- Le temps mis par le canon pour retourner à la position égale à 0,1 m de sa position initiale.

Exemple 4 : Amortissement d’un canon (Solution)

1.

2.

3.

m/s.N1,44724721,45002m2

sec/rad1,4472500

10000

M

k

nc

0

s/m8626,47183,24721,44,0exx

e

xe

xetCttxx

1t0Cx

C

C1t0etCCeCtx

xxCetxCoùetCCtx

nmax0

n

01

n

0t121max

n110

2

1

01

t210

t2

0n0201t

21

n

nn

n

s8258,0tet8626,4etC1,0 2t4721,4

2t

2212n

Oscillations libres avec amortissement sec

• Quand deux corps sont en contact, la loi de coulomb sur les frictions sèches dit que la force nécessaire pour qu’il y’ait glissement est proportionnelle à la force normale N agissant sur le plan de contact.

• L’amortissement sec est un amortissement constant car indépendant du déplacement et de la vitesse.

mgNF

Oscillations libres avec amortissement sec, équation du mouvement

• Puisque la friction varie avec la direction de la vitesse, nous devons considérer deux cas :

1.Durant le demi cycle pendant lequel la masse bouge de gauche à droite, la force de friction est négative

la solution de cette équation est :

2- Durant le demi cycle pendant lequel la masse bouge de droite à gauche, la force de friction est positive

la solution de cette équation est :

Nkxxm

k

NtsinAtcosAtx 21

Nkxxm

k

NtsinAtcosAtx 43

Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement

Supposons les conditions initiales

donc le système commence son mouvement avec une vitesse nulle et de droite à gauche. Nous sommes dans le second cas.

• On trouve

• La solution devient

• Cette solution est valable seulement pour un demi cycle, c’est à dire

• Au temps , la masse sera à sa position extrême gauche, son déplacement est donné par

Puisque le mouvement commença au temps t=0 à la position x=x0, au temps t =0 la réduction de la grandeur x est 2 N/k

00tx;x0tx 0

0A,k

NxA 403

k

Ntcos

k

Nxtx 0

k

N2x

k

Ncos

k

Nxtxx 001

t0

Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement (suite)

• Pendant le 2ème cycle, les conditions initiales sont :

• Les constantes d’intégration deviennent :

• La solution complète de l’équation du mouvement pour le deuxième demi-cycle est :

0A,k

N3xA 201

00tx,k

N2xtx 0

k

Ntcos

k

N3xtx 0


• À un temps plus tard, nous aurons :

Qui sont les conditions initiales pour le troisième demi-cycle• Cette procédure peut être continuée jusqu’à l’arrêt de la masse m. Le

mouvement s’arrêtera lorsque

• Le nombre de demi-cycles r qui se seront écoulés satisfait la relation :

Nkx

0tx,k

N4xtxx 202

kN2kN

xr

k

N

k

N2rxk

0

0

t

Mouvement d’une masse avec l’amortissement de Coulomb


• Nous aurons les mêmes équations à chaque demi-cycle

•La fréquence et l’amplitude de mouvement à la fin du cycle r sont :

• Le mouvement cesse quand :

Systèmes de torsion avec amortissement sec,

TkJetTkJ t010

tr

0

tn k

T2r;

J

k0

t

10

kT2

kT

r

Un bloc métallique placé sur une surface rugueuse est attachée à un ressort. On lui donne un déplacement initial de 10 c, à partir de sa position d'équilibre. Après cinq périodes d'oscillation en 2 secondes, la position finale du bloc métallique donne la mesure 1 cm à partir de la position d'équilibre. Trouver le coefficient de friction entre la surface et le bloc métallique.

•

•

Exemple 8 : coefficient de friction à partir de mesures de la position de la masse

s/rad708,154,0

2

m

k,s4,0

5

2nn

1132,0

81,920

708,1509,0

g20

09,0

mg20

k09,0

m09,001,010,0k

mg45

22n

Soit un système masse-ressort avec une masse de 20 kg et une raideur de ressort de 500 kg/s2 et sujet à un déplacement initial de X0=4cm/s. Faire les graphes donnant la variation avec le temps du déplacement de la vitesse et de l'accélération de la masse en utilisant MATLAB.Solution :•

•

•

Exemple 9 : Oscillations libres d’un système masse-ressort non amorti utilisant MATLAB

0n0 tsinAtx

rad3102,10686,754

53tan

x

xtan

cm1048,3x

xA;s/rad520

500

m

k

1

0

n010

2/12

n

020n

2s/cm3102,1t5sin62,77tx

s/cm3102,1t5cos524,15tx

s/cm3102,1t5sin1048,3tx

Exemple 9 : Oscillations libres d’un système masse-ressort non amorti utilisant MATLAB (suite)

Développer un programme général pour trouver la réponse des oscillations libresd'un système soumis à un amortissement visqueux. Utiliser les valeurs suivantes :

m = 450kg ; k= 26519,2 ; α =1000 ; x0 =0,539657 et

Solution : Le programme a été écrit pour accepter les valeurs suivantes :m= massek= raideur du ressortC=constante d'amortissementx0 =déplacement initialx0 =vitesse initialen = nombre d'incréments de temps pour trouver les x(t)Delt = intervalle de temps t

Le programme donne les outouts suivants : itération i, temps (i), le programme donne aussi un graphe en fonction du temps de

Exemple 10 : Oscillations libres d’un système avec amortissement visqueux utilisant MATLAB

1x0

ix,ix,ix xetx,x

Exemple 10 : Oscillations libres d’un système avec amortissement visqueux utilisant MATLAB (suite)

Trouver la réponse des oscillations libres d'un système masse-ressort sujet à unamortissement de Coulomb pour les valeurs initiales suivantes :

données : m= 10kg , k=200N/m , =0,5

Solution : L'équation du mouvement s'écrit :

On utilise la méthode de Runge Kutta (on lui fait appel) qui demande à ce qu'on réécrive l'équation du mouvement comme deux équations du premier ordre comme suit :

Ces deux équations s'exprime en notation matricielle où

Exemple 11 : Oscillations libres d’un système masse-ressort avec amortissement de Coulomb

00x,m5,0x0

0kxxsgmmgxm

212122

2112121

x,xfxm

kxsgmgx

x,xfxxxxx,xx

xfX

0x

0x0tX,

x,xf

x,xff,

tx

txx

2

1

212

211

2

1

Exemple 11 : Oscillations libres d’un système masse-ressort avec amortissement de Coulomb (suite)

Pour conclure cette leçon où nous avons détaillé les oscillations libres non-amorties et amorties des mouvements à un degré de liberté, il faut rappeler que ce cours a été divisé en quatre parties. Nous avons d'abord traité de nouveau 'les oscillations libres non amorties om notre théorie a été agrémentée par des exemples pratiques tels que les oscillations d'un château d'eau, les oscillations d'un ensemble de poulies et la stabilité des oscillations d'une tige. La deuxième partie de cette leçon a détaillé tout ce qui concerne les oscillations libres avec amortissement visqueux. Trois solutions possibles ressortent de l'équation du mouvement du système. L'amortissement sous critique qui donne lieu a des oscillations et qui est donc le plus intéressant pour ce cours. Nous avons vu que pour cet amortissement l'amplitude diminuait de manière exponentielle. Nous avons défini le décrément logarithmique qui est une notion utile pour interpréter des courbes expérimentales et nous avons calculé l'énergie dissipée dans un amortissement visqueux.La deuxième solution possible est l'amortissement critique où la masse retourne à sa position d'équilibre dans le temps le plus court. La troisième solution est appelée amortissement sur critique. Dans ce cas l'amplitude est une exponentielle négative.Nous avons vu dans cette leçon que pour les système de torsion avec amortissement visqueux, les mêmes résultats que pour les mouvements linéaires peuvent être utilisés.La troisième partie de ce cours a traité la physique des oscillations libres avec amortissement sec, aussi appelé amortissement de Coulomb. Nous avons vu dans ce cas les enveloppes de l(amplitude étaient deux droites donc que celle-ci diminuait de manière linéaire et non exponentielle comme dans le cas de l'amortissement visqueux. Nous avons enfin en dernière partie de cette leçon traité toutes les formes d'oscillations libres amorties et non amorties de manière numérique à travers MATLAB, ce qui ouvre la vois à la résolution d'exercice plus complexe.Je vous donne rendez-vous la prochaine leçon qui traitera des oscillations à un degré de liberté soumis à une force sinusoïdale. A très bientôt.

Conclusion

physique 3 vibrations linéaires et ondes mécaniques leçon n°5 : les oscillations libres amorties...

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