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  • Physique Numérique

    Badis Ydri

    Departement de Physique, Faculté des Sciences, Université d’Annaba,

    Annaba, Algerie.

  • 2 physique numérique, ydri et al.

  • Contents

    Introduction et Références 3

    Partie I 7

    1 Algorithme d’Euler- Résistance d’Air et Projectiles 7 1.1 Algorithme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Désintégration Radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 La Résistance de l’Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Code de Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Mouvement d’un Projectile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Algorithmes d’Euler-Cromer et de Verlet-Oscillateur Harmonique 17 2.1 Pendule Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Algorithme d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Algoritme d’Euler-Cromer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Algorithme de Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3 Intégration Numérique 21 3.1 Approximation Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Méthode des Trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Approximation Parabolique oú la Régle de Simpson . . . . . . . . . 23 3.4 Erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4 Algorithmes de Newton-Raphson et Interpolation 27 4.1 Méthode de Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Algorithme de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 Méthode Hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Interpolation Spline Cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.6 Méthode des Moindres Carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  • 4 physique numérique, ydri et al.

    5 Travaux Pratiques 35 5.1 Algorithme d’Euler- Resistance d’Air . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Mouvement des Projectiles Sous l’Effet de la Résistance de l’Air . . 36 5.3 Oscillateur Harmonique-Algorithmes d’Euler-Cromer et de Verlet . 37 5.4 Intégration Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.5 Algorithmes de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Partie II 45

    6 Le Systéme Solaire-Les Méthodes de Runge-Kutta 45 6.1 Le Systéme Solaire: Le Probléme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2 Algorithmes de Euler et de Euler-Cromer . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3 L’algorithme de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    6.3.1 La Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3.2 Example 1: L’Oscillateur Harmonique . . . . . . . . . . . . 49 6.3.3 Example 2: Le Systéme Solaire . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6.4 Les lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.5 Loi de l’Inverse Carré et Stabilité des Orbites . . . . . . . . . . . . 53 6.6 Unités Astronomiques et Conditions Initiales . . . . . . . . . . . . . 54 6.7 Précession du Périhélie de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7 Le Chaos: Pendule Chaotique 57 7.1 Equation du Mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Algorithmes Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.3 Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    7.3.1 Effet Papillon:Sensibilité aux Conditions Initiales . . . . . . 61 7.3.2 Section de Poincaré et Attractors . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3.3 Bifurcations: Doublement de Période . . . . . . . . . . . . . 63 7.3.4 Rapport de Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.3.5 Brisure Spontanée de Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    8 Dynamique Moléculaire 67 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2 Le Potentiel de Lennard-Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.3 Unités, Conditions aux Limites et Algorithme de Verlet . . . . . . . 69 8.4 Applications Physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    8.4.1 Gaz Dilué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.4.2 La Transition de Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

  • physique numérique, ydri et al. 5

    9 Travaux Pratiques 75 9.1 Algorithme de Runge-Kutta - Le Systéme Solaire . . . . . . . . . . 76 9.2 La Précession du Périhélie de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.3 Le Pendule Chaotique et l’Effet Papillon . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.4 Sections de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 9.5 Chaos par Doublement de Période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.6 Diagrammes de Bifurcation et Brisure Spontanée de la Symétrie . . 86 9.7 Dynamique Moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    Partie III 93

    10 Nombres (Pseudo) Aléatoires et Marche Au Hasard 93 10.1 Nombres Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    10.1.1 Générateur Congruentiel Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 93 10.1.2 Tests Statistiques des Nombres Aléatoires . . . . . . . . . . 94

    10.2 Systémes Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.2.1 Marches Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2.2 Équation de Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    10.3 Les générateurs des Nombres Aléatoires RAN 0, 1, 2 . . . . . . . . . 101

    11 Intégration Monte Carlo 105 11.1 Intégration Numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    11.1.1 Approximation Rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.1.2 Approximation du Point Médian et Intégrales Multidimen-

    sionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.1.3 Les Sphéres et les Boules dans d Dimensions . . . . . . . . . 108

    11.2 Intégration de Monte Carlo: Échantillonnage Simple . . . . . . . . . 109 11.2.1 La Méthode de Rjet: "Hit or Miss" . . . . . . . . . . . . . . 110 11.2.2 La Méthode de l’Échantillon Moyen . . . . . . . . . . . . . . 110 11.2.3 Echantillon Moyen dans les Dimensions Supérieures . . . . . 110

    11.3 Le Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.4 Erreurs de Monte Carlo et Déviation Standard . . . . . . . . . . . 113 11.5 Distributions de Probabilités Non Uniformes . . . . . . . . . . . . . 116

    11.5.1 La Méthode de Transformation Inverse . . . . . . . . . . . . 116 11.5.2 La Méthode de Rejet de Von Neumann . . . . . . . . . . . . 118

    12 Échantillonnage d’ Importance, Algorithme de Metropolis et Mod- éle d’Ising 119 12.1 L’Ensemble Canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.2 Échantillonnage d’ Importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

  • 6 physique numérique, ydri et al.

    12.3 Le modéle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 12.4 L’Algorithme de Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.5 L’Algorithme de Bain de Chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.6 L’Approximation du Champ Moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.7 Résultats Numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12.8 La Méthode de Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    13 Travaux Pratiques 131 13.1 Nombres Aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 13.2 Marche au Hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.3 Approximation du Point Médian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.4 Approximations de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 13.5 Distributions de Probabilité Non Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 138 13.6 Algorithme de Metropolis et Modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . 140 13.7 Transition de Phase Ferromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . 142 13.8 La Fonction de Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 13.9 Hystérésis et Transition de Phase du Premier Ordre . . . . . . . . . 144

    Appendix 147

    A Éléments de Fortran 147

    B Note sur les Erreurs Numériques 149 B.1 Représentation en Virgule Flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B.2 Epsilon de la Machine et Erreurs d’Arrondi . . . . . . . . . . . . . . 151 B.3 Erreurs Systématiques (algorithmique) . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    C Exercices 155

  • Introduction et Références

  • physique numérique, ydri et al. 3

    • La physique numérique est un sous-domaine de la science numérique et de calcul scientifique.

    • En physique numérique, nous combinons des éléments de la physique (surtout théoriques), des éléments de mathématiques (en particulier les mathéma- tiques appliquées, telles que l’analyse numérique) et des éléments de l’informatique (programmation) dans le but de résoudre un probléme physique.

    • En physique il existe traditionnellement deux approches. 1) L’approche théorique et 2) L’approche expérimentale. L’approche numérique est générale- ment considéré comme un complément á l’approche théorique et parfois comme un pont entre l’approche théorique et l’approche expérimentale. Au- jourd’hui nous pouvons même considérer l’approche numérique comme une troisiéme voie en physique indépendante des deux autre approches.