Paris 7PH 402–

Physique StatistiqueEXERCICES

Feuille 7 : Statistiques quantiques

1 Gaz de fermions ultra-relativistesOn considere un gaz de fermions libres et independants de masse m et de spin 1/2, enfermes dans uneenceinte de volume V a la temperature T . Aux tres fortes densites, l’energie moyenne d’une particulepeut devenir bien superieure a mc2. On se propose d’etudier les proprietes du gaz dans cette limiteultra-relativiste ou l’energie ε d’une particule est liee a sa quantite de mouvement ~p par la relation dedispersion ε ∼ c|p|.

1. On suppose que le systeme se trouve en contact avec un reservoir de particules de potentiel chimi-que µ.i ) Donner l’expression integrale du nombre moyen N de particules dans le systeme.ii) Donner l’expression integrale du grand potentiel J en fonction des variables T , V et µ.iii) Donner l’expression integrale de l’energie moyenne E en fonction des memes variables.iv) Par une integration par parties, montrer que J = αE et determiner la valeur de α.

2. i ) Exprimer la capacite calorifique a volume constant CV d’un systeme comme une derivee de l’energieen precisant bien les variables maintenues constantes.ii) Exprimer l’entropie S d’un systeme comme une derivee du grand potentiel J en precisant bien lesvariables maintenues constantes.

3. On suppose a present que la temperature est nulle et que le systeme comporte un nombre de particulesdetermine N .i ) Calculer le potentiel chimique µ0 en fonction de N et V .ii) Calculer l’energie E0 du gaz.iii) Calculer la pression p0.

4. Le systeme, toujours constitue d’un nombre determine N de particules, est maintenant a unetemperature T finie, telle que kT ¿ µ0. On rappelle que∫ ∞

0

dε f(ε)nF(ε, T, µ) =

∫ µ

0

dε f(ε) +π2

6k2T 2 f ′(µ) + O(T 4) ,

ou f(ε) est une fonction reguliere de ε, et nF(ε, T, µ) le facteur de Fermi a la temperature T et aupotentiel chimique µ.i ) Calculer le potentiel chimique du gaz en fonction de N , V et T sous forme d’un developpementlimite jusqu’a l’ordre T 2.ii) Calculer l’energie du gaz en fonction de N , V et T au meme ordre.iii) En utilisant l’expression de CV etablie a la question 2, calculer la capacite calorifique a volumeconstant du systeme en fonction des variables V, T , et N (au premier ordre en T ).iv) En utilisant l’expression de S etablie a la question 2 et la relation entre E et J , calculer l’entropieen fonction des variables V , T et µ au premier ordre en T , puis, toujours a cet ordre, en fonction desvariables V, T et N .

5. La temperature est maintenant quelconque.i ) Montrer que J(T,V , µ) = VT 4f(µ/T ), ou f(x) est une fonction bien definie dont on donnera uneexpression integrale.ii) Deduire de la relation precedente les fonctions S(T,V , µ), N (T,V, µ) et p(T,V , µ).iii) Montrer que dans une transformation adiabatique reversible du systeme de N particules ultra-relativistes, la pression, la temperature et le volume sont lies par les relations :

pV4/3 = cte, VT 3 = cte,T 4

p= cte.

2 Condensation de Bose-EinsteinOn considere un gaz parfait de N bosons de masse m enfermes dans une enceinte de volume V encontact avec un thermostat a la temperature T .i ) Determiner la temperature critique Tc en dessous de laquelle se produit la condensation de Bose.ii) On se place a T < Tc. Montrer que l’energie interne du systeme est de la forme E(V, T ) = αVT 5/2

ou α est une constante. Calculer l’energie libre, l’entropie et la pression p du gaz. Tracer le reseaud’isothermes dans le diagramme (p,V).

2 Paris 7, Phy. Stat. 7 : statistiques quantiques.

3 Gaz parfait de bosons a deux dimensionsOn considere un gaz constitue de N bosons independants de masse m et de spin nul, libres maisastreints a se deplacer sur une surface d’aire A.

1. Ecrire la relation qui determine le potentiel chimique µ en fonction de N , A et de la temperature.i ) Montrer que l’integrale qui figure dans cette relation diverge lorsque µ tend vers zero. En deduirequ’il existe, pour toutes valeurs de N/A et de T , une valeur de µ negative verifiant la relation. Enconclure qu’a deux dimensions il ne peut y avoir de phenomene de condensation de Bose.ii) Calculer le potentiel chimique µ en fonction de T et de N/A. Tracer la courbe representant lepotentiel chimique en fonction de T , et comparer avec la courbe correspondante pour un gaz debosons libres a trois dimensions.iii) On pose :

T0 =2πh2

mk

N

A.

Montrer, en comparant la longueur d’onde thermique

Λ =

(2πh2

mkT

)1/2

a la distance moyenne entre particules voisines, que des effets quantiques sont a attendre pour T ≤ T0.iv) Evaluer numeriquement T0 dans le cas de l’helium 4 : ρ = 0,146 g cm−3 et m = 6,65 × 10−27 kg(on peut estimer A/N en prenant la puissance 2/3 du volume par atome dans l’helium 4 liquide).Calculer le nombre moyen d’occupation de l’etat fondamental individuel pour T = 1K ; est-il d’ordremacroscopique comme dans le cas a trois dimensions ?

2. Montrer que l’on a J = −E, ou J est le grand potentiel et E l’energie du gaz, ainsi que

CA =2E

T− Nk

T0

T

1

eT0/T − 1

ou CA est la capacite calorifique a surface et nombre de particules constants.3. Donner des expressions approchees pour l’energie et la capacite calorifique dans chacun des deux

domaines T À T0 et T ¿ T0.

4 Condensation de pairesLes N partiqules de spin 1/2 et de masse m d’un gaz contenu dans un recipient de volume V a latemperature T peuvent se lier deux a deux pour former de nouvelles partiqules : des “paires” de spinnul. Soit ε` l’energie de liaison d’une paire. On neglige toute structure interne (autre que le spin) eton suppose que les partiqules et les paires forment deux gaz parfaits sans interactions.

1. Quelle relation existe-t-il, a l’equilibre, entre les potentiels chimiques des particules elementaires etdes paires ?

2. Montrer que les paires sont susceptibles de se condenser dans l’etat fondamental (condensation deBose) et calculer la temperature de condensation Tc (en supposant kTc ¿ ε`).

5 Condensation de bosons excitablesDans un recipient de volume V est contenu un gaz parfait de N bosons libres possedant des degres deliberte internes. Pour simplifier, on admet que chaque particule a un seul etat d’excitation, d’energie ε1

positive (l’energie de l’etat fondamental etant choisie egale a zero).1. Donner, en fonction de la temperature et du potentiel chimique, les expressions des nombres de

particules qui se trouvent dans l’etat interne fondamental et dans l’etat excite. Ecrire la conditiondeterminant la temperature critique TB de la condensation de Bose.

2. En supposant ε1 >> kTB, montrer que TB est donnee par l’expression

TB = T 0B

(1 − 0,255 e−ε1/kT 0

B),

ou T 0B est la temperature critique calculee sans tenir compte des degres de liberte internes.

On rappelle que ∫ ∞

0

dx

√x

ex − 1≈ 2,612

√π

2.