pid szabalyozo

7/25/2019 PID Szabalyozo

1/16

1.PID tpus szablyozk

A PID (Proporcionlis Integrl Derivl) a napjainkban legelterjedtebb irnytsi algoritmusipari szablyozkrkben. Kpes reaglni az aktulis szablyozsi hibra, a mltbeli hibrailletve a jvbeli hibra. A mltbeli hibt a hiba integrljval, a jvbeli hibt a hiba derivltjvaljellemzi. Ennek megfelelen a hibt hrom csatornn keresztl mdostja: proporcionlis,integrl s derivl csatornn.A PID npszersgt annak ksznheti, hogy viszonylag egyszerstruktrja ellenre is az iparialkalmazsok zmben az elrt szablyozsi kvetelmnyeket nagy megbzhatsggal kpesteljesteni.Az algoritmus a folyamat kimenete s az alapjel klnbsgnek fggvnyben szmtja ki abeavatkoz jelet. (lsd 3.1. bra)

1.1 bra: A klasszikus PID szablyoz jellse folyamatmodell brkon

Annak fggvnyben, hogy a hrom csatorna (proporcionlis, integrl, derivl) kzl melyeketalkalmazzuk a szablyozban, a PID-nek tbb kialaktsa van, mint pldul a P, PD, PI, PIDszablyozk.

1.1.A P szablyoz

Az aktulisan mrt hiba fggvnyben szmtja ki a beavatkoz jelet. A beavatkoz jel arnyos amrt hibval. Minl nagyobb az eszablyozsi hiba (a folyamatymrt kimenete minl tvolabbvan az r alapjeltl), annl nagyobb lesz a kiszmtott beavatkoz jel (u). Folytonos idben abeavatkoz jel szmtsa P szablyoz esetn:

0),()( >= PP KteKtu (3.1))()()( tytrte = (3.2)

KPproporcionlis ersts, a szablyoz erstse.A szablyoz tviteli fggvnye megegyezik az idelis ersttviteli fggvnyvel.

)()( seKsu P =

PP Kse

susH ==

)(

)()( (3.3)

Mintavteles megvalstsnl a k-ik mintavtelben mrt alapjel s kimenet alapjn a beavatkozjel szmtsa:


2/16

)( kkPkPk yrKeKu == (3.4)

A szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja a 3.2. brn lthat.

1.2 bra: Az idelis P szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja

1.2.A PD szablyoz

A Proporcionlis - Derivl kialakts figyelembe veszi a hiba vltozst is. A derivl csatorna ahiba vltozsbl kvetkeztet a hiba tendencijra, jvbeli alakulsra s a szablyoz ezt isfigyelembe veszi a beavatkoz jel szmtsnl.A 3.3. bra a szablyozsi hiba (e) lehetsges alakulst szemllteti. Mindkt esetben a t=t1

pillanatban az aktulisan mrt hiba rtke megegyezik, de az els

esetben a folyamat kimenetekzeledik az alapjelhez, a msodik esetben a folyamat kimenete tvolodik az alapjeltl. A PDszablyoz a kt esetben mskpp reagl: a kiszmtott beavatkoz jel nagyobb lesz abban azesetben, amikor a kimenet tvolodik az alapjeltl, figyelembe vve a hibafggvny irnyt azaktulis szablyozsi pillanatban.

1.3 bra: A hiba vltozsa

A beavatkoz jel szmtsnl a hiba tendencijt a hiba derivltjval jellemezzk:

0,,)()( >

+= dPdP TK

dt

deTteKtu (3.5)


3/16

Td>0 paramter a derivlsi id.A szablyoz tviteli fggvnye:

( ))()()( sesTseKsu dP +=

( )sTKse

susH dPPD +== 1

)(

)()( (3.6)

Ltszik, hogy az tviteli fggvny nem kauzlis, gy az idelis folytonos idej PD szablyoznem megvalsthat.A mintavteles kialaktsnl a derivl csatorna megvalstshoz a htratart differenciakzeltst alkalmazhatjuk.

T

ee

dt

de kk 1 (3.7)

Ta mintavteli peridust jelli.A (3.7) alapjn a beavatkoz jel szmtsa a k-ik mintavtelben:

+=

T

eeTeKu kkdkPk

1 (3.8)

A mintavteles approximci tviteli fggvnynek felrshoz a Z transzformltatalkalmazhatjuk:

11011 +=

+= kkk

dPk

dPk eqeqe

T

TKe

T

TKu

)()()( 110 zezqzeqzu

+=

z

qzq

ze

zuzHPD

10

)(

)()(

+== (3.9)

Ltszik, hogy a mintavteles tviteli fggvny mr kauzlis, mikzben a folytonos nem. Ez azrtlehetsges, mert a mintavteles tvitel nem az idelis PD, hanem a PD szablyozapproximcijt modellezi, a felrshoz a (3.7) approximcit alkalmaztuk.

3.1 Plda:Legyen a mintavtelezett PD szablyoz paramterei: Kp=1, Td=1, T=1.I. eset: ek-1 = 1.1, ek=1, uk=?II. eset: ek-1 = 0.9, ek=1, uk=?

A (3.8) sszefggsbl egyszeren kvetkezik, hogy az I. esetben uk=0.9, a II. esetben uk=1.1.Teht amikor a hiba zr fele tart, a PD szablyoz kisebb beavatkoz jelet szmol ki, mintabban az esetben amikor a hiba tvolodik a zrtl. A (3.4) sszefggs alapjn ltszik, hogy a Pszablyoz mindkt esetben ugyanazt a beavatkoz jelet szmtotta volna.

A folytonos idelis PD szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja a 3.4. brn

ltszik. A derivl csatorna miatt a t=0 id

pillanatban a beavatkoz jel vgtelen nagy rtket vesz


4/16

fel. A Bode diagram alapjn ltszik, hogy a szablyoz a nagyfrekvencis jeleket felersti, anemkauzlis jelleg miatt a nagyfrekvencik tartomnyban az ersts vgtelenl nvekszik.Mivel a zajok ltalban a magas frekvencik tartomnyban jelentkeznek, a PD szablyozzajrzkeny. Ha nagy mrsi zajokkal kell szmolni, nem clszer a derivl csatornt

alkalmazni.

1.4 bra: Az idelis PD szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja

1.3.A PI szablyoz

Figyelembe veszi a szablyozsi hiba mltbeli alakulst is. A mltbeli hiba sszegzett hatstintegrl csatornval szmtjuk. A folytonos idejPI szablyoz esetben a beavatkoz jelet az

albbi formban kapjuk:

0,,)(1

)()(0

>

+= iP

t

iP TKde

TteKtu (3.10)

A Ti>0 paramter az integrlsi id.Az tviteli fggvnyt az albbi formban kapjuk:

+= )(

1)()( se

sTseKsu

i

P

+==

sTK

se

susHi

PPI11

)()()( (3.11)

A PI szablyoz kauzlis, az integrtor csatorna miatt a plusa a zrban van.A szablyoz mintavteles megvalstsnl az integrl tag megkzeltsre a tglalap mdszertlehet alkalmazni, az e(t) hibafggvny alatti terletet Tszlessg tglalapokkal kzeltjk meg(lsd 3.5 bra). Az integrl megkzeltleg egyenl a tglalapok terletnek sszegvel a k-ikmintavtelig:

=

=

k

i

i

T

eTdtte

00

)( (3.12)


5/16

1.5 bra: Az integrl megkzeltse tglalapokkal

Felhasznlva a (3.12) approximcit, a beavatkoz jel szmtsa a k-ik mintavtelben:

+=

=

k

i

i

i

kPk eT

TeKu

0

(3.13)

Egyszerbb implementlsi forma kaphat, ha a beavatkoz jele szmtsa rekurzvan trtnik.Felrva a beavatkoz jelet a ks k-1mintavtelben, majd egymsbl kivonva:

+=

+=

+=

=

=

k

i

kkPkk

k

i

i

i

kPk

k

i

i

i

kPk

eT

TeeKuu

eT

TeKu

eT

TeKu

11

1

011

0

(3.14)

gy beavatkoz jel a k-ik mintavtelben:

++=

k

i

kkPkk eT

TeeKuu 11 (3.15)

Ltszik, hogy a beavatkoz jel rtke mindaddig vltozni fog, amg a szablyozsi hiba nem vliknullv. Ez j szablyozparamter megvlaszts mellett nagy pontossg szablyozst biztost.A mintavteles approximci tviteli fggvnye aZtranszformlt alkalmazsval szmthat:

Pi

Pkkkk KqT

TKqeqequu =+=++=

101101 )1( (3.16)

110

1 )()()()( ++= zzeqzeqzzuzu

1)(

)()( 10

+==

z

qzq

ze

zuzHPI (3.17)


6/16

A PI szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja a 3.6. brn lthat. Mivel azegysgugrs hiba bemenet konstans brmely t>0 pillanatban, a beavatkoz jel az integrl tagmiatt sebessgugrs-szeren nni fog.

1.6 bra: Az idelis PI szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja

1.4.A PID szablyoz

Egyesti mindhrom (proporcionlis, integrl, derivl) csatorna hatst. Ennek megfelelenfolytonos idtartomnyban a beavatkoz jel szmtsa a hiba fggvnyben:

0,,,)(1

)()(

0

>

++= diP

t

i

dP TTKdeTdt

deTteKtu (3.18)

Az tviteli fggvny a derivl csatorna miatt ugyancsak nem kauzlis folytonos idben:

++= )(

1)()()( se

sTsesTseKsu

i

dP

sT

sTsTTK

sTsTK

se

susH

i

idiP

idPPID

111

)(

)()(

2++

=

++== (3.19)

A szablyoz tviteli fggvnynek egy plusa van a nullban (az integrtor csatorna miatt) s

kt zrusa. A zrusok egyszeren szmthatak a (3.19) modell nevezjbl:

012 =++ sTsTT idi

( )

di

diii

TT

TTTTs

2

42,1

= (3.20)

A (3.20) sszefggsbl kiolvashat annak felttele, hogy a zrusok valsak legyenek: TI>4TD.A derivl csatornnl a htratart differencit, az integrl csatornnl a tglalap-megkzeltstalkalmazva a mintavteles felrsnl, a beavatkoz jel szmtsa a k-ik mintavtelben:


7/16

+

+=

=

k

i

i

i

kkdkPk e

T

T

T

eeTeKu

0

1 (3.21)

A mintavteles szablyoz rekurzv formja egyszeren kvetkezik

+

+++=

k

i

kkkdkkPkk e

T

T

T

eeeTeeKuu

2111

2 (3.22)

A mintavteles approximci tviteli fggvnynek szmtshoz vezessk be az albbijellseket:

T

TKq

T

TKq

T

T

T

TKq

eqeqequu

d

P

d

Pi

d

P

kkkkk

=

=

++=

+++=

210

221101

,2

1,1

,

(3.23)

AZtranszformlt alkalmazsval kvetkezik:

( ) ( ) ( )zezqzezqzeqzuzzu 221

101 )()( ++=

zz

qzqzq

ze

zuzHPID

++==

221

20

)(

)()( (3.24)

A folytonos PID szablyoz egysgugrsra adott vlaszbl, valamint a Bode diagramjbl isltszik mindhrom (proporcionlis, integrl, derivl) csatorna hatsa (3.7 bra)

1.7 bra: Az idelis PID szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja

1.5.Mdostott PID szablyozk

A PID s PD szablyozk nem-kauzlis viselkedsnek elkerlsre mdostottszablyozstruktrkat dolgoztak ki. A hiba ugrsszer vltozsa a derivl csatornn vgtelennagy, nem megvalsthat beavatkoz jelhez vezet. Kt megolds elterjedt el: a D csatornabemenetnek modostsa valamint a D csatorna szrse


8/16

1.5.1.

A D csatorna bemenetnek mdostsa

A megolds akkor alkalmazhat, ha az alapjelben ugrsszer vltozsokra szmthatunk s afolyamat kimenete kevsb terhelt mrsi zajokkal. Ebben az esetben clszer, hogy a derivltag ne a szablyozsi hibt, hanem csak a folyamat kimenett mdostsa. Az integrtor s aproporcionlis tag, ami a hibt mdostja, tovbbra is biztostja a szablyozsi pontossgot,ugyanakkor az elrt rtk ugrsszer megvltozsnl nem jelennek meg nagy ugrsok abeavatkoz jelben s nem kvnt tranziensek, tllvsek a folyamat kimenetn. A mdostottszablyoz mintavteles megvalstsa:

+

++=

=

k

i

ii

kkdkPk e

T

T

T

yyTeKu

0

1 (3.25)

1.5.2.

A D csatorna szrse

A szrt PID algoritmus akkor is j eredmnyekkel alkalmazhat, ha a folyamat kimenete mrsizajokkal terhelt. A derivl csatorna kimenett mg egy alultereszt szrvel is mdostjuk.Erre tipikusan elsfok, egysgnyi ersts szrt alkalmazhatunk. A derivl csatornamdostsa:

101

+

N

NT

s

sTsT

d

dd

(3.26)

A sz

r

vgsi frekvencijt meghatroz Td/Nid

llandt gy kell megvlasztani, hogy a sz

rtD csatorna derivl hatsa ersebb legyen, mint a szrhats. Teht azNslyztnyezrtke 1-nl nagyobb kell legyen. A gyakorlat azt mutatja, hogy a szablyoz helyes mkdshez azrtktN=10krl kell megvlasztani.A szrt PID algoritmus tviteli fggvnye teht:

+

+

+==sT

NT

s

sTK

se

susH

id

dPPIDF

1

11

)(

)()( (3.27)

Knnyen belthat, hogy a folytonos szrt PID szablyoz kauzlis rendszer, az tvitel

szmlljnak is, nevezjnek is a fokszma 2.A szrt derivl csatorna mintavteles megvalstsnak meghatrozshoz ttrnkidtartomnyba, majd a htratart differencia alkalmazhat:

NT

s

TsKsD

d

dP

+

=

1)(

)()()( sesTKsususN

TdPdd

d =+

dt

tdeTKtu

dt

tdu

NT

dPddd

)()(

)(=+


9/16

T

eeTKu

T

uu

NT kk

dPkd

kdkdd 11

=+

)( 11 +

++

= kkP

d

dkd

d

dkd

eeKNTT

NTu

NTT

Tu (3.28)

Az integrl s a proporcionlis csatorna kimenetei kln-kln szmthatak:

sT

KsI

i

P=)(

k

i

Pkiki e

T

TKuu +=

1 (3.29)

PKsP =)(

kPpk eKu = (3.30)

A szrt PID szablyoz mintavteles megvalstshoz a hrom csatorna (P, I, szrt D)kiszmtott kimeneteit kell sszeadni:

kdkikpk uuuu ++= (3.31)

A folytonos szrt PID szablyoz egysgugrsra adott vlasza valamint a Bode diagramja a 3.8brn lthat. D tag szrse miatt az egysgugrs-szerhiba bemenetre a 0idpillanatban vgesnagysg ugrsra szmthatunk. A Bode diagram alapjn ltszik, hogy a szablyoz a szrsmiatt a nagyfrekvencis bemenetet nem fogja vgtelenl nvekv erstssel mdostani. Csakvges, a szr paramtervel hangolhat, erstsre szmthatunk a nagyfrekvencis

tartomnyban.

1.8 bra: Szrt PID szablyoz egysgugrsra adott vlasza s Bode diagramja

A 3.8 brn 1Fs 2Fa (3.27) algoritmus kt zrust jelli.

3.2 Plda: Hatrozzuk meg a szrt PID szablyoz ltal kiszmtott beavatkoz jelet a t=0idpillanatban, ha a szablyozsi hiba egysgugrs.


10/16

A PID szablyoz egysgugrsra adott vlasznak meghatrozshoz alkalmazzuk a Laplacetranszformlt albbi tulajdonsgt:

( ) )(limlim0

ssutu

st

= (3.32)

Mivel az egysgugrs Laplace transzformltja 1/s:

( ) ( ) ( )NK

NT

s

sT

sTKsH

sssHssu P

d

d

iP

sC

sC

ss+=

+

+

+===

11

11lim)(lim

1limlim (3.33)

1.6.

A PID algoritmusok a gyakorlatban

A PID szablyoz ipari alkalmazsnl felmerlt nhny, a szablyozsi minsg romlshozvezet problma. Ezek lekzdsre empirikus, de a gyakorlatban jl bevlt s knnyenmegvalsthat megoldsok szlettek.

1.6.1.

Az anti-windup mdosts

A szablyozt kvet beavatkoz mindig teltssel rendelkezik (lsd 3.9 bra), teht egybizonyos rtknl nagyobb beavatkoz jelet nem kpes reproduklni.

1.9 bra. A PID szablyoz s a teltssel rendelkezbeavatkoz

Az egysgnyi erstsbeavatkoz statikus tvitele, ha a kimenetnek maximlis rtke uMAX, azalbbi mdon rhat le:

uMAX, az integrtor bemenetbl az u-v hibval arnyosan (1/TWerstssel) az integrl csatorna bemenetbl levonunk, ami az integrl csatorna kimenetneknvekedst akadlyozza. Amikor v


12/16

1.6.2.

Kzi-Automata tkapcsols integrl csatorna jelenltben

Kzi zemmdban a folyamatot felgyel szemlyzet mdostja a beavatkoz jelet (u=uMAN).Automata zemmdban a szablyoz az aktulis hiba s az elz llapota (hibartkek,beavatkoz jel rtke az elzmintavtelekben) fggvnyben hatrozza meg a beavatkoz jelet.Az tkapcsolskor a Kzi s Automata zemmd kztt a kt beavatkoz jel rtk kztt jelentsszmottevklnbsg lehet, ami a beavatkoz jel pillanatszerugrshoz vezet, ami nem kvnttranzienseket okozhat az irnytott folyamat kimenetn. Nagy ugrsokra fleg integrtor csatorntis alkalmaz szablyoz esetben szmthatunk. A mintavteles megvalsts esetben azirnytsi algoritmus az albbi ltalnos alakban rhat fel:

( )211 ,, += kkkkk eeefuu (3.35)

Nagysgrendileg a rekurzv sszefggs elstagja dominns a hibtl fgginkremens ltalban

kisebb rtk, mint a beavatkoz jel elzmintavtelbeli rtke. Hogy ennek rtke ne vltozzona Kzi Automata tkapcsolskor csak a beavatkoz jel elzmintavtelbeli rtknek az uMANaktulis rtkt kell megvlasztani. gy, ha a k-ik mintavtelben trtnik meg az tkapcsols:

( )21,, += kkkMANk eeefuu (3.36)

Teht Automata zemmdban a beavatkoz jel rtke a Kzi zemmd utols rtkblkiindulva fog vltozni.

1.6.3. Az ersts mkds kzbeni hangolsa

Nha szksg van a szablyoz paramterek mdostsra anlkl, hogy a szablyozstmeglltannk, teht a zrt rendszernek mkds kzben kell megvltozatni a paramtereit. Aszablyoz erstsnek mdostsa ugyancsak nem kvnt ugrsokhoz vezethet a beavatkozjelben. Integrl csatornt is tartalmaz szablyoz esetben kritikus, hogy az erst blokk azintegrl csatorna eltt vagy utn van elhelyezve (lsd 3.12 bra). Ha az integrl csatorna azersteltt van, mintavteles megvalsts esetben az integrl rsze a beavatkoz jelnek.

)(1 kIkIPkI efuKu += (3.37)

Ha az ersts integrl csatorna bemenetnl helyezkedik el:

)(1 kIPkIkI efKuu += (3.38)

Ltszik, hogy az elsesetben a KPersts megvltoztatsa hatssal van a dominns uIk-1tagra is.Teht az erstshangols nagyobb vltozst okoz a beavatkoz jelben, mint a msodik esetben,amikor csak az inkremenst szorozza KPrtke. Teht az helyes, ha az erstblokk a az integrlcsatorna eltt helyezkedik el.


13/16

I. II.

1.12 bra: Az integrl s az erstrelatv elhelyezse szablyozkban

1.7.PID tpus szablyozk megvalstsa analg ramkrkkel

Habr a PID szablyozk zme mintavteles formban kerl megvalstsra, nhnyalkalmazsnl rdemes olcs, analg kialaktst alkalmazni. Analg megvalsts pldul akkoralkalmazhat, hogy ha analg ramkrn bell egy feszltsg- vagy ramrtket kell konstans

szinten tartani vltoz terhels mellett. A kialaktshoz mveleti erstket alkalmazhatunk.Kzismert, hogy a negatvan visszacsatolt mveleti erst(3.13 bra) tvitele:

)(

)(

)(

)()(

1

2

sZ

sZ

su

susH

IN

OUTC == (3.39)

1.13 bra: Mveleti erstnegatv visszacsatolssal

Az uIN feszltsgbemenet a szablyozsi hiba, az uOUT kimeneti feszltsg a beavatkoz jel.Mivel a negatvan visszacsatolt mveleti erst tvitelben megjelenZ2(s)/Z1(s) arny negatveljellel jelenik meg (lsd (3.39) sszefggs) a bemenetre mg egy -1 ersts (fzisfordt)tagot is el kell helyezni, msklnben a beavatkoz jelet negatv eljellel kapjuk. A visszacsatolilletve elrecsatol gban ellenllsokat, kondenztorokat helyezhetnk el, a kvntszablyozstruktra s szablyozparamterek fggvnyben. A szablyoz paramtereinekhangolst vltoztathat rtkellenllssal lehet megoldani.P szablyoz esetben mind az elrecsatol mind a visszacsatol gban ellenllst kellelhelyezni, gy a proporcionlis ersts rtke: KP=R2/R1.PI szablyozmegvalstshoz a visszacsatol gban az ellenllssal sorosan kondenztort kellelhelyezni (lsd 3.14 bra).


14/16

1.14 bra: Analg PI szablyoz

Az gy kapott szablyoz tvitele:

+=

+

=CsRR

RR

CsR

sHC21

2

1

2 11

1

)( (3.40)

A (3.11) sszefggs alapjn a szablyoz paramterei:

CRTR

RK iP 2

1

2== (3.41)

PD szablyoz megvalstshoz az elrecsatol gban szksges kondenztort elhelyezni azellenllssal prhuzamosan (lsd 3.15 bra).

1.15 bra: Analg PD szablyoz

Az gy kapott szablyoz tvitele:

( )CsRR

R

CsR

CsR

RsHC 1

1

2

1

1

2 1

1

1)( +=

+

= (3.42)

A (3.6) sszefggs alapjn a szablyoz paramterei:


15/16

CRTR

RK dp 1

1

2== (3.43)

PID szablyozesetben rdemes a hrom csatornt kln-kln kialaktani s a hrom csatornakimenett sszegezni, analg sszegzvel (lsd 3.16 bra).

1.16 bra: Analg PID blokkrajza

Ebben az esetben ngy mveleti erstre van szksg: idelis erst, integrtor, derivl ssszegz(lsd 3.17 bra).

1.17 bra: Analg PID szablyoz elemei

(proporcionlis erst, integrl elem, derivl elem, sszegz)

A kialakts elnye, hogy a szablyoz paramterek (ersts, integrlsi s derivlsi id)egymstl fggetlenl hangolhatak, mdosthatak. A bemutatott analg PD szablyozesetben pldul az R1 ellenlls rtknek mdostsa mind a kt szablyoz-paramtermdostshoz vezet.A szablyoz tviteli fggvnynek felrshoz meg kell hatrozni a csatornk tviteleit:


16/16

1

2)(R

RsHP = sRC

sC

RsH DD

D

DD == 1

)( sRCR

sCsH

III

II

1

1

)( == (3.44)

sszegezve a hrom csatorna jeleit a 3.16 brn lthat blokkrajz alapjn kapjuk:

++=

sCRsCR

R

RsH

IIDDC

11)(

1

2 (3.45)

A (3.45) alapjn a PID szablyoz paramterei:

DDdIIiP CRTCRTR

RK ===

1

2 (3.46)

A bemutatott ramkrk az analg szablyozk megvalstsnak elveit mutatjk be. Gyakorlatikialaktsnl, akrcsak a mintavteles szablyozsoknl, szksg van addicionlis elemekbeptsre is a szablyozkba (szrramkrk, kalibrls, vdelem stb.).

pid szabalyozo

Documents