INTRODUCCINEl objetivo del trabajo es estudiar tres fenmenos piezoelctricos: la deformacin que, sin esfuerzo mecnico, experimenta un cristal cuando se le aplica un campo elctrico. la polarizacin que aparece en un bloque de material piezoelctrico (detectada en forma de carga acumulada en las armaduras del condensador en cortocircuito) cuando se le aplica un esfuerzo mecnico y siendo nulo el campo elctrico aplicado. la observacin y medida de los diferentes modos de resonancia piezoelctrica en una muestra monocristalina.

FUNDAMENTO TERICOEl fenmeno piezoeltrico Un fenmeno fsico observado de forma general en los slidos consiste en que, cuando se les aplica un esfuerzo (compresin, torsin, esfuerzo cortante...), experimentan cierta deformacin. El tensor que describe el esfuerzo aplicado, T (fuerza por unidad de superficie), y el que describe la deformacin relativa que experimenta el slido, S, estn relacionados por los coeficientes de rigidez, c (tambin con estructura matemtica de tensor), los cuales son propios del slido (tanto de su naturaleza como de su forma):

(1) La misma relacin puede ponerse de la siguiente forma: (2) donde s = c-1 es el tensor de coeficientes de elasticidad. Por otra parte, el comportamiento dielctrico de un slido lineal est descrito por su tensor permitividad elctrica, , el cual relaciona el vector campo elctrico, E, con el vector desplazamiento, D, que da cuenta de como se polariza el slido:

(3) Los materiales piezoelctricos presentan una relacin causa-efecto entre los fenmenos mecnicos y los fenmenos elctricos, de forma que la polarizacin que presenta el slido es funcin del campo elctrico aplicado y tambin de los esfuerzos mecnicos. As el vector D viene dado por

(4) donde d es el tensor de coeficientes piezoelctricos. Por otra parte, tambin se da el fenmeno inverso: la deformacin es funcin tanto de los esfuerzos mecnicos como del campo elctrico aplicado. Es decir: (5) donde d* es el tensor del efecto piezoelctrico inverso (NO es el inverso del tensor d) y s es el tensor de elasticidad (el inverso del tensor de rigidez, c). Tambin, como consecuencia de la fuerte conexin entre las propiedades mecnicas y las dielctricas, los slidos piezoelctricos pueden resonar a ciertas frecuencias que dependen de la naturaleza del piezoelctrico y de la forma geomtrica del resonador. La interpretacin fsica del fenmeno piezoelctrico est relacionada con la deformacin que se produce a nivel atmico (desplazamientos de los iones que conforman la estructura cristalina) como consecuencia de los esfuerzos mecnicos y/o los campos elctricos aplicados.

El efecto piezoelctrico es anistropo, es decir, depende de la direccin espacial en relacin con los ejes del cristal. Para que una estructura cristalina sea susceptible de efecto piezoelctrico, tiene que presentar como mnimo un eje polar, es decir, el cristal no tiene que poseer ningn centro de simetra. Esta condicin la cumplen 20 clases de cristales, pero en muchos de ellos el efecto es demasiado pequeo para que pueda medirse experimentalmente. Efecto piezoelctrico en el cuarzo El cuarzo es un material cristalino con simetra trigonal (que cristalogrficamente se describe mediante una celda hexagonal), donde el eje polar es el eje del hexgono. Su matriz de coeficientes piezoelctricos tiene muchos coeficientes nulos y, de los no nulos, slo dos son independientes, de forma que

(6) donde el valor numrico de los coeficientes d es:

Resonancias piezoelctricas Debido al acoplamiento entre las magnitudes mecnicas y elctricas, un condensador piezoelctrico en forma de barra (una de sus dimensiones muy superior a las otras dos) se comporta como un oscilador electromecnico, con unas frecuencias propias de resonancia que valen:

(7) donde el entero n es el orden de la resonancia, la densidad msica del cristal, l la longitud de la barra, y s 11 el coeficiente de elasticidad entre las deformaciones y las tensiones mecnicas aplicadas a lo largo de la muestra. La expresin (7) permite determinar s11 a partir de la medida de las frecuencias piezoelctricas. Cermicas piezoelctricas Aunque el fenmeno piezoelctrico es cristalinamente anistropo, una muestra policristalina (que en principio no tendra que presentar el fenmeno ya que sus momentos dipolares estn orientados al azar) puede presentar piezoelectricidad si es sometida a un tratamiento adecuado. Este es el caso de los condensadores de PZT (Titanato Zirconato de Plomo) policristalino que se utilizan, por ejemplo, para el aviso acstico en aparatos electrnicos (relojes, alarmas, ordenadores, telfonos mviles...). Un posible proceso tecnolgico para conseguir piezoelectricidad en cermicas policristalinas puede consistir en aplicar un fuerte campo elctrico, que oriente los dipolos de la muestra, a una temperatura ligeramente inferior a la temperatura de Curie (ver prctica 6). Las cermicas piezoelctricas pueden presentar efectos piezoelctricos ms intensos que los materiales monocristalinos.

REALIZACIN Deformaciones geomtricas de una cermica debidas al campo elctricoDispositivo experimental

EXPERIMENTAL:

Pera observar las deformaciones de un piezoelctrico al aplicar un campo elctrico utilizaremos una cermica piezoelctrica montada en un soporte de la forma que se muestra en el esquema de la figura 1. Las dimensiones de la cermica son 12 mm de largo, con una seccin cuadrada de 5x5 mm2. La cermica est acoplada a un micrmetro no graduado que debe ajustarse para que el extremo de la cermica (pequea bola que sobresale) toque la palanca que muestra la figura 1 pero sin efectuar ninguna presin sobre ella. Adems, el aparato consta de un segundo micrmetro graduado (no

mostrado en la figura 1) utilizado para desplazar la palanca y provocar la deformacin del piezoelctrico (apartado 5.4) que, para las medidas del presente estudio, debemos asegurarnos que no toque la palanca.

Figura 1 Al aplicar una tensin elctrica el piezoelctrico se dilatar en la direccin longitudinal y provoca la flexin de la palanca. Mediremos este desplazamiento en funcin del voltaje aplicado. De (5): (8) Como el desplazamiento es muy pequeo (mximo 15 micras) para medirlo necesitamos un sistema amplificador de dicho desplazamiento. Esto lo conseguimos mediante la reflexin de un haz de luz lser en un espejo montado sobre la palanca (ver figura 1). Procedimiento experimental Se han de medir las variaciones de la posicin del lser al hacer un ciclo completo de potencial. Para ello han de seguirse los siguientes pasos: Colocar el montaje con el lser de forma conveniente para que el haz se refleje en el espejo de la palanca e incida en la regla graduada de la pared. Conectar el piezoelctrico a la fuente de tensin asegurndose que tiene el botn del potencimetro en la posicin de cero voltios (ver la lectura del voltmetro). Comenzar por V=0 e ir midiendo y anotando las variaciones x de la posicin del haz lser sin retroceder en el voltaje hasta llegar al mximo de la fuente (aprox. 160 V). Una vez alcanzada la mxima tensin, ir disminuyendo de nuevo el potencial hasta llegar otra vez a cero voltios, tomando medidas como en el caso anterior. Al llegar a V=0, intercambiar los cables que van a la fuente para invertir el signo de la polarizacin aplicada al piezoelctrico y volver a subir el potencial hasta el mximo tomando medidas. Igual que antes, volver a bajar otra vez a cero anotando las lecturas. Finalmente, para cerrar el ciclo, volver a cambiar la polarizacin y medir aumentando el voltaje hasta el mximo. Presentacin de resultados Representar la grfica de x en funcin de la tensin aplicada obteniendo, as, el ciclo de histresis que sigue el piezoelctrico. Esta histresis es debida a que la cermica utilizada, adems de piezoelctrica, es tambin ferroelctrica. Representar la correspondiente grfica de S en funcin del campo elctrico aplicado ( E = V/d ). Comparar el resultado con la expresin (8). Determinar el potencial de despolarizacin.

REALIZACIN Medida de la polarizacin producida por una deformacin mecnica

EXPERIMENTAL:

Utilizando la misma cermica que en el caso anterior, se trata de observar el efecto inverso, es decir, la polarizacin del piezoelctrico producida por la deformacin del material. De (4): (9) En la prctica, esta polarizacin se detecta como una acumulacin de cargas en las armaduras del condensador. Procedimiento experimental Para hacer las medidas utilizamos el montaje de la figura 2.

Figura 2 Conectar el cable de la cermica a la entrada del electrmetro. Asegurarse, igual que en el apartado anterior, que la pequea bola del piezoelctrico este justo tocando el punto de giro de la palanca pero sin llegar a desplazarla. Si no llega a tocarla, ajustar la posicin del micrmetro no graduado incorporado al piezoelctrico. La cermica piezoelctrica no deformada debe estar descargada. Esto se consigue sencillamente conmutando el electrmetro a la funcin de ampermetro y en la escala de menor sensibilidad. Configurar el electrmetro como columbmetro (rango 10-7) y la sensibilidad a AUTO. Ajustar el aparato a ZERO Coulombs. Se trata de ir variando la posicin del micrmetro graduado desde que entra en contacto con la palanca hasta que esta llega al brazo del soporte metlico de la cermica y medir: a) la carga que se crea en los electrodos de la cermica piezoelctrica y b) el desplazamiento del micrmetro. Despus ha de volverse a aflojar la presin desplazando el micrmetro hacia atrs hasta que deje de tocar la palanca. Presentacin de resultados Representar la carga obtenida en funcin de la posicin del micrmetro. Representar la correspondiente grfica de D en funcin de la tensin mecnica aplicada y comparar el resultado con la expresin (9).

REALIZACIN Oscilaciones y resonancias piezoelctricasDispositivo experimental

EXPERIMENTAL:

El montaje experimental (figura 3) de este apartado permite visualizar en la pantalla de un osciloscopio una grfica de la amplitud de la corriente que circula por un condensador en funcin de la frecuencia de la seal aplicada |IC ()|.

Figura 3 Para ello, la tensin de salida, V1(t), del primer generador G1 (con amplitud V10 y una frecuencia 1 normalmente del orden de 100Hz) se aplica a la entrada VCin del segundo generador G2 (situada en su parte posterior). Esto comporta que G1 hace variar (tcnicamente modula) la frecuencia del segundo generador G2: (10) y que, por lo tanto, la seal de G2 es: (11) donde 2 es el valor de la frecuencia central de G2, que puede leerse en su pantalla. As pues, V2(t) es sinusoidal, con una frecuencia que vara continuamente en el tiempo desde un mnimo de 2-kV10 hasta un mximo de 2+kV10. De cara al manejo del dispositivo, esto implica que, si actuamos sobre el mando de frecuencia de G2 variamos la frecuencia central de ste (2, en el rango 105 Hz), y que, si actuamos sobre el mando de amplitud de G1 (V10) variamos la anchura del intervalo de frecuencias de G2 ( 2). La tensin V2(t), que proporciona G2, se aplica a la conexin en serie del condensador piezoelctrico, C, y una resistencia auxiliar, R, que permite la medida de la corriente IC (procedimiento habitual ya aplicado, por ejemplo, en el laboratori delectromagnetisme). El osciloscopio se configura en modo X-Y, conectando V1(t) al canal X y la tensin en la resistencia en el canal Y. De esta forma, el valor de la coordenada X en la pantalla es proporcional al incremento de frecuencia 2 que G2 aplica en cierto instante a la muestra piezoelctrica, mientras que el valor de la coordenada Y mide |IC|. Cuando el montaje descrito se aplica al estudio de un condensador con un dielctrico lineal no piezoelctrico, la dependencia |IC()| visible en la pantalla del osciloscopio ha de mostrar la proporcionalidad entre I C y , propia del comportamiento capacitivo, ya que |IC|= VC. En el caso de que, debido al comportamiento piezoelctrico, el condensador presente resonancias, estas se visualizan como picos superpuestos a este fondo de tipo capacitivo (ver figura 4).

Figura 4 El montaje puede incorporar un segundo osciloscopio que representa IC(t) en funcin de VC(t), con lo que se visualiza la figura del desfase del condensador. La incorporacin de este segundo osciloscopio pretende poner de manifiesto que, justo a las frecuencias de oscilacin piezoelctrica, el desfase experimenta un cambio brusco. Procedimiento experimental Observar en la pantalla del osciloscopio la representacin |IC()| para un condensador normal y deduzca el valor de su capacidad C. Observar en la pantalla del osciloscopio la representacin |IC()| para el condensador piezoelctrico de cuarzo en forma de barra. Variando 2 y V10 , trate de visualizar cada una de las diferentes oscilaciones piezoelctricas del condensador, y haga la medida de la correspondiente frecuencia de resonancia. Busque relaciones armnicas entre las frecuencias de resonancia medidas, de forma que n=n0 (tenga en cuenta que la amplitud de alguno de estos armnicos puede ser muy pequea). Observe y anote el cambio de desfase cuando tiene lugar una resonancia. OPTATIVO: Observe las curvas de resonancia en funcin de la frecuencia y las elipses de desfase con el resto de dispositivos piezoelctricos. Presentacin de resultados Represente las frecuencias de resonancia (normalmente se encuentran 6 o 7) en funcin del orden n del armnico correspondiente. Determine la frecuencia de resonancia fundamental (n=1) y calcule el coeficiente de elasticidad s 11 del cuarzo, sabiendo que la densidad del cuarzo es de 2.65x103 Kg/m3. Compare este resultado con el valor tabulado (s11 = 1.269x10-11 m2/N).

BIBLIOGRAFA Apuntes de la asignatura. VON HIPPEL, A. Dielectric Materials and Applications. 1995 1. INTRODUCCIN En general, una fuerza externa aplicada a un slido (el estrs) provoca una deformacin proporcional a la materia (la cepa), mdulo de elasticidad relacionados por = Y. La presencia de la piezoelectricidad se corresponde con una carga elctrica adicional, debido a la aplicacin de la fuerza. Este fenmeno se conoce como el efecto piezoelctrico directo, donde la carga es proporcional a la fuerza realizado en el slido (ver Figura 1). En trminos de P polarizacin elctrica y la tensin , se puede escribir: P = d .... (1) Por otra parte, hay un efecto piezoelctrico inverso, que es la aparicin de un

deformacin en el slido debido a la aplicacin de un campo elctrico. Esta deformacin puede ser una expansin o contraccin en funcin de la polaridad del campo aplicado (ver Figura 1). As, la siguiente relacin es vlida entre el campo elctrico E y la deformacin o la tensin (). = dE ....( 2) Figura 1. Representacin esquemtica del efecto piezoelctrico directo e inverso La constante de proporcionalidad que aparece en ambos efectos es el mismo, siendo el coeficiente piezoelctrico. Los valores altos del coeficiente piezoelctrico "d" se materiales tratado de desarrollar movimientos de vibracin, como es el caso de transductores de limpieza por ultrasonidos. Otra constante es de uso frecuente piezoelctricos "g", lo que nos da el valor de campo elctrico producido por el slido, en respuesta a una fuerza externa o el estrs. Este constante puede ser considerado como "d" de la siguiente manera: g =d / K)= d/k'k0 Donde k, k yk ', son la permitividad elctrica en el medio, en el vaco y la relativa , respectivamente. Los valores altos del coeficiente "g" se desean en los materiales destinados a generar una corriente de respuesta al estrs mecnico. Adicionales constantes piezoelctricos, tales como "e", que relaciona el estrs con el campo elctrico E y "h", que relaciona la tensin con el campo E, se utilizan slo en ocasiones especficos. =- eE ....( 4) E =- h ....( 5) La constante piezoelctrica se puede definir como derivadas parciales, que se estima tensin constante (gratis), campo constante (de corte del circuito), el desplazamiento elctrico constante (Circuito abierto) y la tensin constante (fija). E D E d = = ....( 6) =

=D gE D ....( 7) E D E y = = ....( 8) D E D h -= = ....( 9) Hay otra cantidad fsica que nos da un valor a la posibilidad de nuestro material como un factor de acoplamiento piezoelctrico llamado electro-mecnicos K. Este factor corresponde a la fraccin del total de energa elctrica, que se convierte en energa mecnica y viceversa. energa elctrica total K de energa elctrica se convierte en energa mecnica .. .. = 2 .. .. .. .. .. ....( 10) energa mecnica total K energa mecnica se convierte en energa elctrica .. .. = 2 .. .. .. .. .. ....( 11) El factor de la electro-mecnicos de acoplamiento es una cantidad siempre inferior a uno. En tabla de abajo podemos ver algunos valores de esta magnitud para los diferentes materiales.