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Píldora de evaluación estadística de ajuste de curvas
Files con las tablas:
T_tables.pdf
F_tables.pdf
Descargadas desde http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/tables.html
Ver también “A complete guide to nonlinear regression”
http://www.curvefit.com/
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Tenemos una tabla con los resultados experimentales de una variable dependiente y en función de varias variables independientes x1, x2, x3 … La tabla contiene NOBS filas en que las primeras columnas son las variables independientes y la última los valores observados de la variable dependiente y(obs)Producimos una función que suponemos que describe bien los datos experimentales. Esta función depende de las variables independientes (x1, x2, x3) y un conjunto de NPAR parámetros a1, a2, a3… .aNPAR
Usamos un programa de ajuste no lineal para encontrar los NPAR parámetros. Por ejemplo Solver de Excel.
Solver nos entrega los parámetros encontrados más una lista de NOBS filas con valores calculados para la función para cada conjunto de variables independientes. Esto son los y(cal) . Un gráfico en que se muestren los valores y(obs) e y(cal) de una impresión visual de la calidad del ajuste.
Ver archivo AjusteExcel.xls
Coeficiente de correlación r2
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Coeficiente de correlación r2
NOBSj
j
NOBSj
j
obsyobsy
calyobsyr
1
2
1
2
2
)()(
)()(1
http://www.curvefit.com/goodness_of_fit.htm
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r2=0.01195 r2=0.95742
y = -0.0028x + 0.5714
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
y = 0.0247x + 0.0571
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Con el coeficiente de correlación se evalúa el significado estadístico del ajuste usando el Student’s test.
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Con el coeficiente de correlación se evalúa el significado estadístico del ajuste usando el Student’s test.
21
1
r
NPARNOBSrt
1.. NPARNOBSdflibertaddegrados
Se compara el valor calculado de t con el de la tabla de ttabla, para comprobar la hipótesis que dice que la función describe los datos por azar. Si t < ttabla la hipótesis es verdadera. El ajuste no es significativo.Si t > ttabla la hipótesis es falsa. El ajuste sí es significativo.
La tabla del Student’s test.
Tablas estadisticashttp://www.statsoft.com/textbook/sttable.html#t
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y = -0.0028x + 0.5714
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
y = 0.0247x + 0.0571
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
r2 0.01195449
df 37
t 0.66907983
r2 0.95742213
df 37
t 28.8443418
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t = 0.066 < t.05,37
La hipótesis es verdad. No hay correlación
t = 28.8 > t.05,37
La hipótesis es falsa. Hay correlación
Table of t-statistics
dfP =
0.05 P =
0.01 P =
0.001
1 12.71 63.66 636.61
2 4.30 9.92 31.60
3 3.18 5.84 12.92
4 2.78 4.60 8.61
5 2.57 4.03 6.87
6 2.45 3.71 5.96
7 2.36 3.5 5.41
8 2.31 3.36 5.04
9 2.26 3.25 4.78
10 2.23 3.17 4.59
20 2.09 2.85 3.85
30 2.04 2.75 3.65
40 2.02 2.7 3.55
100 1.98 2.63 3.39
http://fsweb.berry.edu/academic/education/vbissonnette/tables/t.pdf
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Evaluación de un ajuste al mismo set de datos usando dos modelos diferentes.
Un modelo con más parámetros que el otro
Ejemplos de Fabián López
Modelo 1 : una curva de Gauss
vs
Modelo 2 suma de dos curvas de Gauss
http://curvefit.com/2_models__1_dataset.htm
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0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
r2 0.88072097
df 395
t 54.0052101
t = 54 > t.05,395
La hipótesis es falsa. Hay correlación
20 )(
5.0
b
xx
aey
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r2 0.91058948
df 392
t 63.1844257
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
2
2
022
1
01 )(5.0
2
)(5.0
1
b
xx
b
xx
eaeay
¿Es estadísticamente mejor este ajuste?
http://curvefit.com/2_models__1_dataset.htm
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NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
Al poner más parámetros la curva va a pasar más cerca de los puntos experimentales por lo tanto la suma de cuadrados de los residuos, SS, va a disminuir.
El ajuste mejora si el cambio relativo de SS es mayor que el cambio relativo del número de grados de libertad .
21221221 // dfdfdfdfdfSSSSSS
El modelo 1 (simple) tiene menos parámetros que el modelo 2 (complicado). Por lo tanto df1 > df2 y SS1 > SS2. .
La razón F da una estimación cuantitativa de la mejora del ajuste
0.1
//
21
221
dfdfdfSSSSSS
F
Si el modelo 2 (complicado) es mejor que el modelo 1 (simple) se espera F >1
¿Qué tanto mayor que 1 tiene que ser F para que la mejora sea significativa y no debida al azar?
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Para responder esta pregunta se usa el F test.
21
22
2121 //
dfdfdfSS
dfdfSSSSF
Ajuste2 Ajuste1
nobs 399 399
npar 6 3
df 392 395
SS 0.011932 0.015936
Fcalculado 43.85
FTabla 2.62
La razón F se compara con el valor de F de la tabla en que los grados de libertad de numerador son df1-df2 y los del denominador df2.
El ajusten mejora si tablacalculado FF
Hoja de calculo para F Ftest.xlsTablas estadísticas: http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/tables/f005.html
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dfnumerador
dfdenominadorr
Se cumple que Fcalculado > Ftabla por lo que el ajuste es estadísticamente mejor,
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Evaluación de un ajuste al mismo set de datos usando dos modelos diferentes.
Dos modelos con el mismo número de parámetros.
Ejemplo usando Solver de Excel
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NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
bxay Recta
Ver archivo Recta_Exponencial.xls
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NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
bxay Recta
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NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
bxay Recta
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bxaey / lExponencia
NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
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bxaey / lExponencia
NOBSj
jcalyobsySS
1
2)()(
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Recta SS1 = 5.0828
Exponencial SS2 = 2.5650
Grados de libertad df1 = df2 = 8
2122
11 //
SSSSdfSSdfSS
F
98.1F
F test para evaluar si el ajuste es mejor.
F calculado es menor que el F de tabla. El ajuste exponencial no es significativamente mejor que el lineal.
df numerador
df denominador
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Evaluación del cambio de los parámetros al ajustar dos set de datos usando el mismo modelo.
http://curvefit.com/1_model__2_datasets.htm
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0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
2
2
022
1
01 )(5.0
2
)(5.0
1
b
xx
b
xx
eaeay
r2 = 0.9604a1 0.0361 0.0052a2 0.0274 0.0025b1 3.3377 0.3343b2 11.7151 1.2000x01 4.7719 0.2148x02 10.7239 2.4336
r2 = 0.9853a1 0.0463 0.0036a2 0.0261 0.0013b1 3.6223 0.1771b2 10.3013 0.7142X01 4.6649 0.0881x02 12.6866 1.3459
Valor del parámetro SE, standard error Ajuste hecho con Sigmaplot)
¿Qué parámetros son diferentes en los dos set de datos?
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Para responder esta pregunta se usa el t test.
22
21
21
SESE
aat
Por ejemplo para el parámetro x02
a1=10.7239 SE1= 2.4336 a1 = 12.6866 SD2 = 1.3459 :t = 0.70578
Cada ajuste tiene df grados de libertadLos grados de libertad del t testson df1 + df2.
En estos casos NOBS = 399 NPAR = 6 df1 = df2 = 393, df = 786
Table of t-statistics
df P = 0.05 P = 0.01 P =
0.001
1 12.71 63.66 636.61
2 4.3 9.92 31.6
3 3.18 5.84 12.92
4 2.78 4.6 8.61
5 2.57 4.03 6.87
99 1.98 2.63 3.39
100 1.98 2.63 3.39
tcalculado < ttabla, la diferencia no es significativa.
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a1 se1 a1 se1 t
a1 0.0361 0.0052 0.0463 0.0036 1.6128
a2 0.0274 0.0025 0.0261 0.0013 0.4614
b1 3.3377 0.3343 3.6223 0.1771 0.7523
b2 11.7151 1.2000 10.3013 0.7142 1.0124
x01 4.7719 0.2148 4.6649 0.0881 0.4609
x02 10.7239 2.4336 12.6866 1.3459 0.7058
Todos los tcalculados < ttabla.Ningún cambio es significativo.
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0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 20 40 60 80 1000.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0 20 40 60 80 100
a1 se1 a1 se1 t
a1 0.0361 0.0052 0.0394 0.0005 0.6317
a2 0.0274 0.0025 0.0244 0.0003 1.1915
b1 3.3377 0.3343 3.7948 0.0776 1.3319
b2 11.7151 1.2000 10.6104 0.1482 0.9136
x01 4.7719 0.2148 4.6527 0.0695 0.5280
x02 10.7239 2.4336 40.0273 0.1467 12.0194
ttabla = 1.98. p0.05, df = 786
El único parámetro que cambia significativamente es x02.
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Evauación de la independencia del los parámetros
Ejemplo una curva normal
Ajuste hecho con LabFit. Wilton Pereira da Silva (Brasil)[email protected] www.labfit.net
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THE CONVERGENCE HAPPENED IN THE ITERATION 5 C_Normal.txt N. 29: Y = A*EXP(((X-B)**2)/C) <--- Gaussian PARAMETERS: Mean UNCERTAINTIES: SD t P(t) A = 0.18648524573E+01 SIGMAA = 0.11884440790E-01 0.156915E+03 0.000 B = 0.47729148665E+01 SIGMAB = 0.15785173528E-02 0.302367E+04 0.000 C = -0.92081840012E-01 SIGMAC = 0.13570209777E-02 -0.678559E+02 0.000
Correlation Coeficient: = 0.9871693E+00Average Absolute Residual:Sum of Absolute Residuals / Number of points =>Res_av = 0.102686E+02 / 201 => Res_av = 0.510874E-01
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COVARIANCE MATRIX 0.141240E-03 -.294458E-09 0.932009E-05 -.294458E-09 0.249172E-05 -.657955E-10 0.932009E-05 -.657955E-10 0.184151E-05
0.011884
0.001579
0.001357
Raíz cuadrada de los elementos de la diagonal
SIGMAA = 0.11884440790E-01SIGMAB = 0.15785173528E-02 SIGMAC = 0.13570209777E-02
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COVARIANCE MATRIX A B CA 0.141240E-03 -.294458E-09 0.932009E-05 B -.294458E-09 0.249172E-05 -.657955E-10 C 0.932009E-05 -.657955E-10 0.184151E-05
Los elementos fuera de la diagonal muestran la interacción entre los parámetros. Tienen que ser menores que los elementos de la diagonal
Diagnóstico: Hay interacción entre A y C. A y C no son independientes.
Efectivamente, la curva normal es así:
2
2
2
2
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Si conoces , ya sabes el factor pre-exponencial,
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Y=(1/(A*(2*3.1416)**0.5))*exp(-0.5*((x-B)/A)**2) PARAMETERS: Mean UNCERTAINTIES: SD t P(t) A = 0.21414195474E+00 SIGMAA = 0.12874464101E-02 0.166331E+03 0.000 B = 0.47729149197E+01 SIGMAB = 0.15754263575E-02 0.302960E+04 0.000 Correlation Coeficient:
R²yy(x) = 0.9872929E+00 adjR²yy(x) = 0.9872290E+00 Ryy(x) = 0.993626E+00 => P(NP,|R|) = 0.300E-07 Average Absolute Residual:Res_av = Sum of Absolute Residuals / Number of points =>Res_av = 0.102755E+02 / 201 => Res_av = 0.511218E-01
COVARIANCE MATRIX 0.165752E-05 0.465531E-10 0.465531E-10 0.248197E-05
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¿Cuál de los dos ajuste es mejor?
21
22
2121 //
dfdfdfSS
dfdfSSSSF
Ajuste2 Ajuste1
nobs 201 201
npar 3 2
df 197 198
SS 0.102686E+02 0.102755E+02
Fcalculado 0.132
FTabla ?
La razón F se compara con el valor de F de la tabla en que los grados de libertad de numerador son df1-df2 y los del denominador df2.
El ajusten mejora si tablacalculado FF
Tablas estadísticas: http://www.ento.vt.edu/~sharov/PopEcol/tables/f005.html
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dfnumerador
dfdenominadorr
Se cumple que Fcalculado > Ftabla por lo que el ajuste es estadísticamente mejor,
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¿Cuál de los dos ajuste es mejor?
21
22
2121 //
dfdfdfSS
dfdfSSSSF
Ajuste2 Ajuste1
nobs 201 201
npar 3 2
df 197 198
SS 0.102686E+02 0.102755E+02
Fcalculado 0.132
FTabla 3.89
La razón F se compara con el valor de F de la tabla en que los grados de libertad de numerador son df1-df2 y los del denominador df2.
El ajusten mejora si tablacalculado FF
El ajuste de 3 parámetros no es mejor que el de 2 parámetros