PITANJA IZ PREDMETA MATEMATSKE METODE U EKONOMIJI

1. Mrežno planiranje

1. Koje su osnovne osobine mrežnog planiranja?

Prednost u odnosu na sve metode koje cjelovito sagledavaju proces realizacije projekra imaju metode mrežnog planiranja. Metode mrežnog planiranja osiguravaju:

- dovoljno jasan pregled realizacije čitavog posla,- jednoznačan prikaz logičkog odvijanja i međusobnih ovisnosti dijelova procesa,- preciznije i tačnije utvrđivanje rokova dijelova procesa i procesa u cjelini,- saznanje o vremenski najopterećenijem toku,- pravovremeno uočavanje faktora koji mogu utjecati na planirani tok odvijanja poslova

i pravovremeni završetak cijelog projekta,- utvrđivanje varijanti plana uz relativno mala naprezanja i sredstva i rasterećenje od

rutinskih poslova s obzirom na mogućnost upotrebe elektronskih računara.

U stvari to su metode koje omogućavaju planiranje, koordinaciju i kontrolu kompleksnih procesa kod kojih je neophodno vremenski međusobno uskladiti veliki broj djelomičnih poslova radi ostvarivanja cijelog poslovnog zadatka u određenom roku, uz minimalna opterećenja faktora koji sudjeluju u realizaciji.

Prednost koju imaju metode mrežnog planiranja u odnosu na druge metode planiranja je mogućnost potpunog razdvajanja ne strogo zasebnih, metodoloških cjelina koje sačinjavaju mrežno planiranje:

1) analize strukture,2) analize vremena,3) analize troškova i4) analize resursa kao zasebnih metoda.

Drugim riješima, tehnika mrežnog planiranja je naučna disciplina koja se zasniva na primjeni teorije grafova, algebre i matematičke statistike. Predstavlja osnovu za upravljanje svakim projektom i sadrži sljedeće faze: analiza strukture projekta, analiza vremena projekta, analiza resursa projekta, analiza troškova projekta.

2. Šta je projekt?

Projekt, u smislu mrežnog planiranja, svaki je pothvat, proces ili posao koji predstavlja objekt planiranja. To je bilo koji poslovni zadatak koji se može izraziti skupom ekonomskih, organizacionih, tehničkih i drugih poslova usmjerenih na izvršavanje nekog složenog zadatka.

3. Kako se može definirati aktivnost?

Aktivnost je dio projekta koja se može posmatrati kao zasebna cjelina s izvedbenog i ekonomskog stajališta. Ona mora biti tako definisano da joj se može odrediti početak, vrijeme trajanja i završetak, kao i količina činilaca za njeno izvršenje.

1

4. Šta je događaj?

Događaj je vremenski trenutak početka ili završetka jedne ili više aktivnosti ili cijelog projekta. Svaka aktivnost i cijeli projekt imaju početni i završni događaj.

5. Šta je karakteristično za početni i završni događaj projekta?

Svaka aktivnost i cijeli projekt imaju početni i završni događaj.

Početni događaj je stanje koje kazuje da aktivnost (ili projekt) može otpočeti (npr. otpočinjanje armiranja temelja).

Završni događaj predstavlja trenutak završetka aktivnosti (ili projekta) (npr. završetak armiranja temelja).

6. Šta obuhvata analiza strukture projekta?

Analiza strukture projekta, u planiranju projekta, obuhvata ispitivanje i utvrđivanje redosljeda i međusobnih ovisnosti aktivnosti projekta. Za dati projekt utvrđuje se aktivnosti i sastavlja se njihov popis.

Kvalitativnom analizom strukture projekta potvrđuju se međusobne zavisnosti aktivnosti. U razmatranju projekta posebno se mora paziti da se ispravno utvrde prethodne i naredne aktivnosti kako se u daljnjoj analizi ne bi pojavile ovisnosti koje u stvarnosti ne postoje. Iskazivanje aktivnosti, njihovog redoslijeda i ovisnosti možemo vršiti pomoću tabele popisa aktivnosti i mrežnog dijagrama. Tabela popisa aktivnosti ima dvije kolone. U prvoj koloni nalazi se popis svih aktivnosti a u drugoj se navode prethodne aktivnosti, one koje moraju biti izvršene prije početka aktivnosti navedene u prvoj koloni. Takav prikaz aktivnosti može poslužiti za lakšu izradu mrežnog dijagrama.

7. Kako se može definirati mrežni dijagram?

Mrežni dijagram predstavlja grafički prikaz projekta. To je matematički model projekta pomoću kojeg možemo analizirati i objasniti rezultate posmatranog poslovnog zadatka. Mrežni dijagram (model) projekta odražava redosljed izvršavanja aktivnosti.

Aktivnost se grafički prikazuje usmjerenom duži (strelicom), s tim što dulja strelica ne odražava mjeru aktivnosti.

Umjetne aktivnosti se prikazuju isprekidanom strelicom.

Događaj se grafički prikazuje kružnicom. Kako svaka aktivnost ima početni i završni događaj, svaka strelica ima na početku i na kraju kružnicu. Tako možemo reći da mrežni dijagram ima izgled niza strelica koje su povezane kružnicama.

2

8. Koja su pravila crtanja mrežnog dijagrama?

Pravila crtanja mrežnog dijagrama su:

1) svaka aktivnost ima početni i završni događaj

2) ovisnost dviju aktivnosti se prikazuje strelicama koje slijede jedna iza druge. Tako, npr. aktivnost B može da počne tek kad se završi aktivnost A

3) aktivnost C može da počne tek kad završi aktivnost A i B

4) aktivnosti B i C mogu da počnu tek kad završi aktivnost A

5) aktivnost B i C mogu da počnu tek kad završi aktivnost A, a aktivnost D može početi kad završe aktivnosti B i C, tada aktivnosti B i C imaju iste početne i završne događaje.

3

6) ako u jednom događaju počinje i završava veći broj aktivnosti, a koje nisu sve međusobno zavisne, onda se te zavisnosti moraju prikazati pomoću fiktivnih aktivnosti; aktivnost D može da počne tek kad se završe aktivnosti A i B, a aktivnost E kada se završe aktivnosti A, B i C

7) u nizu realnih aktivnosti može se uvrstiti i fiktivna aktivnost, kako se ne bi narušila pravila za crtanje mrežnog dijagrama

8) jedna aktivnost se može podijeliti u dvije aktivnosti i da iz tog srednjeg događaja izlazi još jedna aktivnost

9) pojam petlja (zatvorena kontura) u mrežnom dijagramu nije dozvoljena. To znači da se u mrežnom dijagramu bilo koja aktivnost može vremenski samo jednom odigrati. Sama pojava petlje u mrežnom dijagramu je znak na postojanje greške koja se mora otkloniti.

10) svaki događaj u mrežnom dijagramu, osim početnog i završnog, mora imati bar jednu ulaznu i jednu izlaznu aktivnost

4

9. Koje uvjete mora zadovoljavati mrežni dijagram?

Mrežni dijagram projekta odražava redoslijed održavanja aktivnosti. Aktivnost se grafički prikazuje usmjerenom duži (strelicom). Umjetne(fiktivne) aktivnosti se prikazuju isprekidanom strelicom. Događaj se prikazuje kružnicom. Kako svaka aktivnost ima početni i završni događaj, svaka strelica ima na početku i na kraju kružnicu. Kada nacrtamo mrežni dijagram vršimo numerisanje događaja. Svakom događaju (kružnici) pridružujemo jedan broj. Početni događaj projekta numerišemo sa 1, a završni sa n. Ostali događaji dobivaju prirodne brojeve iz razmaka (1,n), ali tako da bude ispunjen uslov i<j. i- početni događaj jedne aktivnosti; j- završni događaj te aktivnosti; Aij- aktivnost koja ima početni događaj i, završni j

Mrežni dijagram mora ispunjavati sljedeće uvjete:

1) ima samo jedan početni i završni događaj (kružnicu),2) postoji barem jedan put od početnog do završnog događaja projekta,3) iz svakog događaja (kružnice) postoji put do završnog događaja projekta,4) nije dozvoljeno postojanje petlje.

10. Šta sačinjava analizu vremena u mrežnom programiranju?

Analiza vremena u mrežnom planiranju obuhvaća:

1) utvrđivanje vremenskih parametara aktivnosti (utvrđivanje vremena trajanja svake aktivnosti),2) izračunavanje vremena trajanja (izvršenja) projekta

Analiza vremena projekta je druga faza u primjeni mrežnog planiranja i ona se izvodi potpuno odvojeno od druge faze, iako je uslovljena predhodnim izvršenjem analize strukture projekta.

Vrijeme trajanja aktivnosti se utvrđuje na temelju opisa aktivnosti i raspoloživih činilaca koji obavljaju aktivnost. Vrijeme trajanja svih aktivnosti jednog projekta mora biti dato u istim vremenskim jedinicama, a to su obično: sati, sedmice, mjeseci. Vrijeme trajanja aktivnosti može biti dato, ovisno o karakteru posla koji aktovnost predstavlja, deterministički (precizno normirano) i stohastički (poznat zakon vjerojatnosti vremena trajanja aktivnosti). Ta činjenica rezultira dvije osnovne metode analize vremena u mrežnom planiranju:

a) metoda kritičnog puta (CPM) ib) metoda ocjene i revizije programa (PERT).

11. Koje faze sačinjavaju CPM?

Analiza vremena metodom kritičnog puta (CPM) se sastoji od određivanja:

1) vremena trajanja aktivnosti,2) vremena zbivanja događaja,3) vremena trajanja projekta.

Vrijeme trajanja aktivnosti je tačno određeno u nekoj jedinici vremena, označava se sa tij.

5

Vrijeme zbivanja događaja možemo računati kada smo utvrdili t ij i izgradili mrežni dijagram projekta. Za svaku aktivnost vezana su četiri vremena zbivanja događaja: najraniji početak aktivnosti, najraniji završetak aktivnosti, najkasniji početak aktivnosti, najkasniji završetak aktivnosti.

Vrijeme trajanja projekta jednako je vremenu kritičnog puta.

12. Koja vremena zbivanja događaja postoje?

Vrijeme zbivanja događaja možemo računati kada smo utvrdili t ij i izgradili mrežni dijagram projekta.

Za svaku aktivnost vezana su četiri vremena zbivanja događaja:

1) najraniji početak aktivnosti ti(0),

2) najraniji završetak aktivnosti tj(0),

3) najkasniji početak aktivnosti ti(1),

4) najkasniji završetak aktivnosti tj(1).

Postupak izračunavanja četiri vremena zbivanja događaja, odvija se na način da se prvo odrede vremena najranijeg početka ti

(0) i najranijeg završetka tj(0) aktivnosti, a sam postupak

počinje od početnog događaja projekta i odvija se prema izvršenom numerisanju događaja.

Za sve aktivnosti koje polaze iz početnog događaja 1 usvaja se da je vrijeme najranijeg početka 0 tj. t1

0=0 a vrijeme najranijeg završetka tj0= ti

0+ tij.

Ako je neki događaj j zavisni događaj sa više aktivnosti, pri čemu sve te aktivnosti nemaju isto trajanje, u tom slučaju taj događaj može nastupiti tek poslije nastupanja aktivnosti s najdužim vremenom trajanja u tom slučaju tj

(0)= ti0+ tij treba prilagoditi na tj

0= maks (ti0+ tij).

Kada se pomoću tj0= maks (ti

0+ tij) odredi i vrijeme nastupanja završnog događaja projekta, dobije se podatak o najranijem završetku projekta. tn

0=tn1

Ovim počinje postupak izračunavanja vremena najkasnijih završetaka i početaka aktivnosti. Ovaj postupak teče suprotno od prethodnog jer se polazi od završnog događaja. Vrijeme kada aktivnost Aij najkasnije mora početi da bi se završila do najkasnijeg završetka dobije se kada se od vremena najkasnijeg završetka oduzme vrijeme trajanja te aktivnosti: ti

1= min (tj1- tij)

13. Kako možemo definirati najraniji i najkasniji početak aktivnosti?

Najraniji početak aktivnosti - ti(0) je vrijeme kada najranije može početi određena aktivnosti.

Najraniji početak aktivnosti je određen vremenom trajanja one, prethodne aktivnosti za čije izvršavanje je potrebno najduže vrijeme.

Najkasniji početak aktivnosti - ti(1)je vrijeme kada najkasnije može početi određena aktivnost.

Najkasniji početak aktivnosti dobijamo tako što ćemo te veličine izračunavati redom unazad od posljednjeg (n) do prvog (1) događaja projekta.

6

14. Šta je najraniji, a šta najkasniji završetak aktivnosti?

Najraniji završetak aktivnosti - tj(0) je vrijeme kada najranije može završiti određena

aktivnosti; zbrajanjem najranijeg početka aktivnosti i vremena trajanja aktivnosti dobija se najraniji završetak aktivnosti.

Najkasniji završetak aktivnosti - tj(1) je vrijeme kada najkasnije može završiti određena

aktivnost. Najkasniji završetak aktivnosti znači da aktivnost mora biti završena najkasnije u momentu koji osigurava da ne dođe do produžetka vremena izvršavanja projekta.

15. Kako se može definirati kritična aktivnost a kako kritični put?

Put koji ima najveću dužinu trajanja od početnog do završnog događaja naziva se kritični put. Jedan mrežni dijagram može imati više kritičnih puteva, s tim da i vještačke aktivnosti mogu pripadati kritičnom putu.

Jednostavno, kritični put predstavlja najduže vrijeme trajanja realizacije projekta.

Sve aktivnosti koje se nalaze u kritičnom putu nazivaju se kritične aktivnosti.

Kritični put ide samo preko kritičnih događaja, a oni imaju jednaka najranija i najkasnija vremena pa stoga kažemo da za kritični put važi: ti

0=ti1, tj

0=tj1 . Vrijeme trajanja kritičnih

aktivnosti jednaka je maksimalno dozvoljenom trajanju.

16. Koje su osnovne karakteristike PERT?

PERT obuhvaća, kao i CPM, tri dionice: 1) utvrđivanje vremena trajanja aktivnosti, 2) izračunavanje vremena zbivanja događaja i 3) utvrđivanje vremena trajanja projekta. Budući da je razlika u ovim dvjema metodama u prvoj dionici, izvršit ćemo detaljniju obradu te dionice PERT.

Kod PERT metode procjenjuju se 3 različite procjene vremena za svaku aktivnost koje se obuhvataju jednim mrežnim dijagramom:

1) optimističko vrijeme trajanja aktivnosti (aij)2) najvjerojatnije vrijeme trajanja aktivnosti (mij)3) pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti (bij)

Vrijeme trajanja aktivnosti je stohastičko pa se može govoriti o očekivanom vremenu njena izvršavanja. Naime, pozant je vremenski razmak u kojem se aktivnost sa sigurnošću izvršava. Za svaku aktivnost se utvrđuje optimističko, pesimističko i najvjerovatnije vrijeme. Sva vremena zbivanja događaja su očekivane veličine. To su stohastičke veličine te se uzimaju oznake: najraniji očekivani početak, najkasniji očekivani početak, najraniji očekivani završetak i najkasniji očekivani završetak. Očekivano vrijeme trajanja projekta jednako je očekivanom vremenu zbivanja događaja (n). Kako je očekivano vrijeme trajanja projekta stohastička veličina, projekat se može završiti i za kraće i duže vrijeme od očekivanog i tada se govori o vjerovatnosti vremena izvršavanja projekta.

7

17. Kako se može definirati optimističko, najvjerovatnije i pesimistično vrijeme?

Optimističko vrijeme trajanja aktivnosti (aij) je vrijeme koje se može ostvariti pod posebno povoljnim uslovima.

Najvjerojatnije vrijeme trajanja aktivnosti (mij) je vrijeme koje bi se najčešće javljalo kad bi se aktivnost više puta izvršila pod istim uslovima.

Pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti (bij) je vrijeme koje bi bilo potrebno da se aktivnost izvede pod naročito nepovoljnim uslovima i ovo vrijeme predstavlja najduže vrijeme izvršenja određenih aktivnosti.

2. Ekonomske funkcije

1. Koje uvjete treba ispunjavati ekonomska funkcija?

Donošenje poslovnih odluka je sve složeniji i zahtjevniji proces, često u uslovima rizika. Sve se ekonomske pojave i procesi manifestuju u obliku količina, kvantiteta, koje se tokom vremena u procesu privrednog razvoja neprestano mijenjaju, npr: količina proizvodnje, potrošnje, uvoza, izvoza, investicija i sl.

Funkcija ima široku primjenu u analizi i rješavanju ekonomskih problema. Velik broj njih se može istraživati, sagledati pomoću funkcije. Tako, na primjer, postoji međuovisnost:

1) potražnje nekog dobra i njegove cijene,2) ponude jedne robe i njene cijene,3) troškova i broja proizvedenih proizvoda,4) vrijednosti podaje, s jedne strane, i prodate količine i cijene, s druge strane,5) proizvedene količine i utrošenih faktora proizvodnje i dr.

2. Kako se može definirati funkcija potražnje i koje uvjete treba ispuniti?

Pod potražnjom se podrazumjeva količina nekog dobra koja se želi i može platiti u datom vremenu i tržištu. Potražnja ovisi, u općem slučaju, o velikom broju činilaca, ali prvenstveno o cijeni tog dobra, cijena ostalih roba na tržištu i o dohotku potrošača.

Funkcija potražnje je: q=f(p,pi,k,ui) gdje je q – potražnja, p – cijena proizvoda, p i – cijena ostalih proizvoda na tržištu, k – dohodak, ui – ostali faktori. Funkcija potražnje u užem smislu: q=f(p).

Uvjete koje treba ispuniti su:

1) da su potražnja i cijena pozitivne (q>0, p>0),2) da zadovoljava zakon potražnje tj. porast cijene nekog proizvoda umanjuje njegovu potražnju (q'<0).

8

3. Kako se može definirati funkcija ponude i koje uvjete treba ispuniti?

Ponuda predstavlja ponuđenu količinu nekog dobra na određenom tržištu u datom vremenu. Ponuda ovisi o više faktora: cijene dobra koje se nudi, cijene drugih proizvoda, troškova proizvodnje, tehnološkog progresa i dr. Funkcija ponude: q̂= f̂ ( p)

Uvjete koje treba ispuniti su:

1) da su ponuda i cijena pozitivne (q̂> 0, p > 0),2) da zadovoljava zakon ponude tj porast cijene nekog proizvoda stimuliše proizvođače da ga što više nude tržištu(q̂ ' > 0).

4. Kako se može definirati funkcija ukupnog prihoda?

Funkcija ukupnog prihoda predstavlja proizvod količine q prodane na tržištu i cijene p u kojoj je jedinica proizvoda prodatih na tržištu. tj P=q*p . Ako funkcija q=f(p) ima inverznu funkciju p=f(q) tada se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promjenjive, količine proizvoda realizovanog na tržištu tj: P=q*f(q). Može biti: predstavljen kao funkcija cijene P=f(p)*p , ili predstavljen kao funkcija realizirane robe na tržištu tj P=q*f(q).

Oblast definisanosti funkcije ukupnog prihoda je određena oblašću definisanosti funkcije potražnje (q>0, p>0,q'<0).

5. Kako se može definirati funkcija graničnog, a kako prosječnog prihoda?

Funkcija graničnog prihoda može se izvesti iz funkcije ukupnog prihoda:

1) ako je ukupan prihod predstavljen kao funkcija cijene P=f(p)*p onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod funkcije ukupnog prihoda po promijenjenoj cijeni P'=dP/dp.2) ako je ukupni prihod predstavljen kao funkcija realizirane robe na tržištu tj P=q*f(q), onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod funkcije ukupnog prihoda po promijenjenoj količini realizovane robe na tržištu tj P'=dP/dq

Funkcija prosječnog prihoda se može definisati kao prihod po jedinici proizvoda. P=P /q

6. Kako se može definirati funkcija ukupnih troškova?

Funkcija ukupnih troškova predstavlja funkcionalnu zavisnost troškova (C) od obima proizvodnje (q) tj. C=f(q).

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova određuje se iz uslova:

1) C>0, q>0 (troškovi proizvodnje i obim proizvodnje moraju biti pozitivni),2) C'=f(q)'>0 (porast proizvodnje povećava ukupne troškove proizvodnje).

Funkcija C=f(q) je pozitivna i rastuća funkcija, može se javljati u različitim oblicima.

9

7. Kako se može definirati proizvodna funkcija?

Proizvodna funkcija matematička je formulacija tehnološkog odnosa promatranog proizvodnog procesa. Daje odnos između količine faktora proizvodnje i količine dobivenih dobara (gotovih proizvoda). Izražava proizvod Q kao funkciju faktora proizvodnje x i

(i=1,2,3,...,n); x1-rad, x2-osnovna sredstva, x3-predmsti rada.

Dakle, to je funkcija koja se može izraziti u obliku: Q=f(x1,x2,x3,...,xn) ; Q>0, x>0.

8. Koje poželjne osobine treba imati proizvodna funkcija? Kako se vrši identifikacija poželjnih osobina?

Poželjne osobine:

a) granični proizvod faktora proizvodnje moraju imati negativne vrijednosti u realnom

intervalu proizvodnje, znači mora biti zadovoljena relacija ∂ Q∂ xi

>0 (i=1,2,...,n)

b) zakon opadajućeg prinosa (matematički se može izraziti kao smanjivanje graničnog proizvoda), a on kaže: ukoliko se utrošak jednog faktora proizvodnje poveća jednakim dozama, a utrošci drugih faktora ostaju nepromijenjeni, iza neke tačke rezultirajući prirast će

se početi smanjivati. ∂Q

∂ x2 i<0

c) poželjno je da granični proizvod ima konačnu graničnu vrijednost, ako se uz zadržavanje

ostalih faktora jedan faktor beskonačno poveća. lim ∂ Q

∂ xi<0

Identifikacija poželjnih osobina se vrši na osnovu grafičkog prikazivanja, polazeći od pretpostavke da se za proizvodnju jednog proizvoda Q angažuju dva faktora R i K proizvodnje. Svi rezultati što ćemo ih dobiti su opšti i vrijede za funkciju od n faktora proizvodnje, Q=f(R,K).

9. Kako se definira granična stopa supstitucije?

Granična stopa supstitucije pokazuje za koliko se treba smanjiti količina utroška jednog faktora (K) ako je došlo do jediničnog povećanja utroška drugog faktora (R) a da se proizvodnja održi na istoj razini (istoj izokvanti). Drugačije rečeno, to je iznos u kome jedan input može biti zamjenjen za drugi bez izmjene autputa. Formula: S=dK/dR=-QR/QK

10. Kako se može definirati funkcija dobiti?

Funkcija dobiti se definira kao razlika između funkcija ukupnog prihoda i ukupnog troška. D=P-C

Oblast definisanosti funkcije dobiti određena je oblašću definisanosti funkcija ukupnih prihoda i ukupnih troškova. Interval rentabilnosti proizvodnje određujemo iz uslova: D=0 ili P=C.

10

11. Šta je elastičnost?

Pojam elastičnost je jedan od najvažnijih pojmova kvantitativne ekonomske analize. Pod elastičnošću se podrazumijeva sposobnost ekonomske veličine da, više ili manje intenzivno, reagira na promjenu neke druge veličine koja je s njom u odnosu međuzavisnosti. Što je ekonomska veličina elastičnija, to je njena reakcija intenzivnija.

Koeficijent relativnih promjena veličina, koji ćemo označiti sa Ey,x pokazat će relativnu promjenu veličine y koja je rezultat relativne promjene x veličine. Elastičnost funkcije y=f(x) u tački x je: koeficijent funkcije y=f(x) u tački x, koji ima izraz:

, zvat ćemo koeficijent elastičnosti veličine y u odnosu na x veličinu.

Ako pretpostavimo da se veličina x promijeni za 1% tada koeficijent elastičnosti ima oblik

obrasca za izračunavanje postotnost.

Elastičnost funkcije je pokazatelj koliko se procenata približno mijenja vrijednost funkcije kada se vrijednost nezavisno promjenjive veličine sa određenog nivoa promijeni za 1%.

1) ako je │Ey,x│ < 1 funkcija je u tački x neelastična, što znači da promjena veličine x za 1% izaziva promjenu funkcije za manje od 1%.

2) ako je │Ey,x│ = 1 kažemo da funkcija u tački x ima jediničnu elastičnost

3) ako je │Ey,x│ > 1 funkcija je u tački x elastična, što znači da promjena veličine x za 1% izaziva promjenu funkcije za više od 1%.

Elastičnost je najpogodnija mjera osjetljivosti ekonomskih veličina: To je (1) relativna veličina (ne ovisi o jedinici mjere) i (2) ima jednostavno tumačenje (postuoak).

12. Kako se elastičnost matematički definira?

Matematički, ovisnost veličine y od veličine x, izražava se ovako: y = f(x).

Matematički, elastičnost funkcije je pokazatelj koliko se procenata približno mijenja vrijednost funkcije kada se vrijednost nezavisno promjenjive veličine sa određenog nivoa promijeni za 1%.

1) ako je │Ey,x│ < 1 funkcija je u tački x neelastična, što znači da promjena veličine x za 1% izaziva promjenu funkcije za manje od 1%.

2) ako je │Ey,x│ = 1 kažemo da funkcija u tački x ima jediničnu elastičnost

3) ako je │Ey,x│ > 1 funkcija je u tački x elastična, što znači da promjena veličine x za 1% izaziva promjenu funkcije za više od 1%.

11

3. Linearno programiranje

1. Koje promjenljive se javljaju u linearnom programiranju?

Model linearnog programiranja se sastoji od funkcije cilja (kriterija) i ograničenja. Funkcija cilja je matematički izraz problema. To je linearna funkcija. Ograničenja definiraju skup mogućih rješenja i data su skupom linearnih nejednadžbi i jednadžbi. Ako veličine koje se pojavljuju u problemu označimo sa xj - varijeble, cj - parametri funkcije cilja, z - finkcija cilja, aij - parametri ograničenja, bi - slobodni članovi linearnih (ne)jednadžbi ograničenja, gdje je i=1,2,..., m a j=1,2,..., n; model linearnog programiranja možemo formulirati na sljedeći način: Treba odrediti vrijednost varijabli x1,x2,...,xn tako da funkcija cilja Z=c1x1 + c2x2 + ... + cnxn uzme ekstremnu vrijednost i odgovaraju uvjetima: A*X <B, x>0 (skraćeni oblik). Formulirani model linearnog programiranja možemo prevesti u ekvivalentni i model koji u ograničenjima aij*xj<bi, i=1,2,..,m odnosno A*X<B ima isključivo jednačine. To postižemo tako što svakoj uvjetnoj nejednačini pripišemo na lijevoj strani jednu varijablu. Njihov broj je jednak broju uvjetnih nejednačina a nazivaju se, za razliku od strukturnih (stvarnih, realnih) varijabli što su predstavljene komponentama vektora x, dopunskim (izravnjavajućim, neiskorištenim, oslabljelim) varijablama.

U linearnom programiranju javljaju se:

1) realne (strukturne/stvarne),2) dopunske i3) umjetne (vještačke) promjenljive varijable.

Realne promjenljive varijable su predstavljene komponentama vektora „x“. Dopunske promjenljive varijable su „u“ i „v“, a umjetne promjenjive varijable su „w“. Zavisno o relacijskom znaku u uvjetima uvodimo dopunske i umjetne varijable:

a) ako je znak ≤, tada je potrebna samo dopunska varijabla „u“, a njen koeficijent je 1,b) ako je znak ≥, tada u uvjetnu nejednačinu ubacujemo dopunsku varijablu „v“ s koeficijentom -1 i umjetnu „w“ s koeficijentom 1,c) ako je znak =, tada uvodimo samo umjetnu varijablu „w“ koja ima koeficijent 1.

U funkciji cilja dopunske varijable imaju koeficijent 0; a umjetne M, s predznakom (-) za maksimum, odnosno (+) za minimum, bez obzira na relacijski znak u uvjetnoj jednačini ili nejednačini.

2. Šta su dopunske promjenljive i kakvu ulogu imaju u linearnom programiranju?

Dopunske promjenljive varijable su „u“ i „v“. Dopunske varijable ispunjavaju uvjet nenegativnosti. One ne smiju utjecati na vrijednost funkcije cilja i zato su koeficjenti dopunskih varijabli u funkciji cilja jednaki nuli.

Uloga dopunskih promjenjivih varijabli je u tome da se one unose prilikom pretvaranja osnovnog oblika uvjeta u kanonski oblik. tj. ako je u uvjetima znak ≤ tada je potrebno uvođenje dopunska varijabla „u“ a njen koeficijent je 1; ako je znak ≥ tada u uvjetnu

12

nejednačinu ubacujemo dopunsku varijablu „v“ s koeficijentom -1 i pored nje umjetnu „w“ s koeficijentom 1. U funkciji cilja dopunske varijable imaju koeficijent 0.

3. Navedite i objasnite osobine skupa mogućih rješenja modela linearnog programiranja.

Skup mogućih rješenja predstavlja presjek skupova točaka koje zadovoljavaju ograničenje. Skup mogućih rješenja predstavlja konveksan, zatvoren i ograničen poliedar u prostoru. Vrhovi poliedra koji se formira sa ograničenjima nazivaju se ekstremne točake.

Rješenja modela linearnog programiranja imaju sljedeće matematičke osobine:

1) skup svih mogućih rješenja je konveksan,2) među ekstremnim tačkama konveksnog skupa mogućih rješenja, postoji, egzistira barem jedna tačka u kojoj funkcija kriterija ima ekstremnu vrijednost,3) ako funkcija kriterija uzima ekstremnu vrijednost u više ekstremnih tačaka konveksnog skupa mogućih rješenja, onda ima ekstremnu vrijednost i u svim tačkama koje su konveksne linearne kombinacije tih ekstremnih tačaka,4) bazično moguće rješenje je ekstremna tačka skupa mogućih rješenja,5) vektori A1, A2, ... , Am koji odgovaraju bazičnom mogućem rješenju (i ekstremnoj tački konveksnog skupa mogućih rješenja) su linearno neovisni.

4. Koje osobine imaju ekstremne tačke u skupu mogućih rješenja?

Vrhovi konveksnog poliedra koji se formira sa ograničenjima nazivaju se ekstremne točake.

X je ekstremna točka konveksnog skupa C ako se X ne može izraziti kao konveksna kombinacija drugih dviju točaka Y i Z iz skupa C (Y ≠ Z ).

Osobine ekstremnih tačaka u modelu linearnog programiranja su:

1) ako je cilj maksimalna vrijednost, to je kut (ili dva kuta) u kojem pravac familije funkcije cilja što je najudaljeniji od koordinatnog početka ima tačku u mnogokutniku; ekstremna tačka koja daje najveću vrijednost funkcije cilja2) ako je cilj minimalna vrijednost, riječ je o kutu (ili dva kuta) u kojem pravac familije funkcije cilja što je najbliži koordinatnom početku ima tačku u mnogokutniku ili neograničenoj ravnini; ekstremna tačka koja rezultira najmanja vrijednost funkcije cilja.

5. Šta su bazna rješenja i koliki je njihov broj?

Općenito, moguće rješenje je bazično ako ima najviše m pozitivnih komponenti u x. Iz uslova nenegativnosti proizilazi da su ostale komponente u x jednake 0.

Bazično rješenje podrazumijeva svako dopustivo (moguće) rješenje koje ne sadrži više od m pozitivnih vrijednosti varijabli (odnosno onoliko koliko ima ograničenja). Dakle broj bazičnih rješenja može biti manji ili jednak broju ograničenja (m).

Ako moguće rješenje ima tačno m pozitivnih komponenti tada se naziva bazično nedegenerirano rješenje. Ako pak, moguće rješenje ima manje od m pozitivnih komponenata

13

tada se naziva bazično degenerirano rješenje. Drugim riječima, bazično rješenje je ono rešenje koje zadovoljava uslov o nenegativnosti i sistem ograničavajućih uslova.

6. Kakve zavisnosti egzistiraju između ograničenja i broja promjenljivih u primarnom i dualnom modelu?

Broj promjenjivih dualnog modela jednak je broju ograničenja primarnog modela; svakom ograničenju primarnog modela (isljučujući uvjete nenegativnosti varijabli) pridružujemo, redom, jednu promjenjivu dualnog modela. Dulani model ima toliko ograničenja koliko primarni ima promjenjivih, svakoj promjenjivoj primarnog modela pridružujemo jednu nejednačinu ograničenja. Slobodni članovi ograničenja primarnog modela uzimaju ulogu koeficijenata u funkciji cilja dualnog modela. Koeficijenti funkcije cilja primarnog modela postaju slobodni članovi nejednačina od ograničenja dualnog modela.

7. Navedite stavove vezane za dualitet u linearnom programiranju.

Za primarni i njegov dualni model linearnog programiranja vrijede tvrdnje:

1) ako bilo koji od ova dva modela ima optimalno rješenje s konačnom vrijednošću funkcije cilja, onda i drugi ima optimalno rješenje, a ekstremne vrijednosti funkcija cilja za optimalna rješenja su jednake;

2) ako jedan od ta dva metoda nema moguće rješenje, onda drugi model nema optimalno rješenje, a ako primarni i dualni model imaju moguće rješenje, tada imaju i optimalna rješenja.

Dulani problem odgovarajućeg zadatka (primarnog problema) linearnog programiranja formira se na sljedeći način:

1) Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja dualnog problema je funkcija minimuma, i obrnuto;

2) U sistemu ograničenja nejednačine dulanog problema su suprotnog znaka od njima odgovarajućih nejednačina primarnog problema;

3) Vrši se transponovanje matrice koeficienata sistema ograničenja primarnog problema, te ako smo u primarnom problemu imali m nejednačina sa n promjenljivih, u dulanom problemu ćemo imati n nejednačina sa m promjenljivih;

4) Koeficijenti uz relane promjenljive u funkciji cilja dualnog problema jednake su slobodnim članovima sistema ograničenja primarnog problema;

5) Slobodni članovi sistema ograničenja dualnog problema jednaki su koeficijentima uzrealne promjenljive u funkciji cilja primarnog problema;

6) Sve pormjenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, pa je i ovo obavezan uslov dulanog problema.

8. Navedite korake procesa optimiranja i primjene simpleks metoda.

14

Simpleks metoda je univerzalna i svaki model linearnog programiranja, koji ima rješenje, može se riješiti primjenom simpleks algoritma. Simpleks metoda spada u iterattivne metode, ona polazi od nekog mogućeg rješenja, pa ga u nizu koraka poboljšava dok ne dođe do optimalnog rješenja. U svakom koraku procedura te metode se ponavlja, zato se metoda lako primjenjuje na računaru.

Koraci procesa optimiranja i primjene simplesk metode:1) prvim korakom određujemo vektor koji ulazi u novu (sljedeću) bazu

2) drugim korakom utvrđujemo vektor koji napušta bazu

3) trećim korakom transformiramo postojeću tabelu u sljedeću tabelu

Detaljniji, koraci simpleks metode:

1) Napisati problem u kanonskom obliku uvođenjem dodatnih varijabli.2) Načiniti početnu tablicu tj. odrediti početno bazično rješenje.3) Izračunati vrijednosti u redu (zj – cj). Ukoliko su sve jednake nuli ili pozitivne, radi se o optimalnom rješenju, u protivnom ići na 4. korak.4) Odrediti ključni stupac – naći najmanju negativnu vrijednost u retku (zj – cj).5) Odrediti ključni element u ključnom stupcu – izračunati testne omjere između elemenata stupca b i odgovarajućih elemenata (pozitivnih) ključnog stupca; izabrati najmanji ( on pripada ključnom retku).6) Formirati novu bazu – vektor u ključnom stupcu ulazi u bazu, a vektor u ključnom retku izlazi iz baze.7) Provesti transformaciju tablice pomoću Gauss-Jordanove eliminacije – ključni element postaje 1, a ostali elementi u ključnom stupcu 0.8) Ići na korak 3.

9. Navedite pravila postavke polazne simpleks tabele.

Pravila su sljedeća:

1) uvode su dopunske promjenjive i njima se nejednačine prevode u jednačine2) uvode se vještačke promjenjive, samo u jednačinama koje su nastale iz nejednačina sa znakom > ili jednako3) odredi se početna baza u koju spadaju dopunske promjenjive i sve vještačke promjenjive4) sastavlja se početna tabela5) u tabeli se izračuna vrsta razlika zj-cj, gdje j zauzima vrijednost od 0 pa do broja koji predstavlja ukupan broj promjenjivih6) odredi se promjenjiva xk koja se uvodi u novu bazu7) odredi se promjenjiva xr koja se odstranjuje iz prvobitne baze8) transformišu se koeficiijenti u početnoj tabeli9) nakon transformacije dobije se nova tabela i njoj odgovarajuće novo moguće rješenje

15

10) ustanovi se da li se novo moguće rješenje može jos poboljšati11) ako je poboljšanje izračunatog mogućeg rješenja moguće radi se nova iteracija, ako poboljšanje nije moguće onda je izračunato moguće rješenje optimalno.

10. Navedite kriterijume optimalnosti polazne simpleks tabele.

Kriteriji optimalnosti polazne simpleks tabele su sljedeći:

1) ustanovimo vektore koji sastavljaju bazu vektorkog prostora. To su jedinični vektori koji odgovaraju pribrojanim dopunskim varijablama i svim umjetnim varijablama2) izračunamo inverznu matricu baze3) iznalazimo bazično moguće rješenje4) utvrđujemo koeficijente vektora koje ne sastavljaju bazu transformirane na utvrđenu Bk bazu5) izračunamo diferencije zj-cj za vektore izvan baze6) utvrđujemo da li se bazično moguće rješenje može poboljšati (u modelu maksimuma još neka od diferencija negativna, u modelu minimuma još neka od diferencija pozitivna)7) ako je poboljšanje moguće postupak nastavljamo, a ako nije moguće, postojeće bazično moguće rješenje je optimalno.

11. Navedite pravila biranja ishodnog elementa kod primarnog simpleks postupka.

Ako je zj>cj nema smisla uvoditi u program vektor Aj. Ako je zj=cj i Aj se uvede u program, taj će se novi program razlikovati od starog ali neće biti ništa bolji. Ako je zj<cj uvođenje vektora Aj u program izmijenit će ga i poboljšati. Prema tome, kriterij za izbor vektora koji će ući u bazu je zj<cj ili zj-cj<0. Ta razlika je zapravo stopa porasta funkcije cilja Z. Zato je razumljivo što će se izabrati ona aktivnost As za koju je stopa porasta funkcije cilja maksimalna /zj – cj/, odnosno Zs – Cs= min (j) (Zj – Cj), Zj-Cj<0. Izbor vektora koji izlazi iz baze u opštem slučaju određuje se ovako: br/ars=min(i) (bi/ais), ais>0. Izabrana kolona je označena sa s, a izabrana vrsta sa r. Na presjeku s-te kolone i r-te vrste je element ars, koji se naziva ključni ili temeljni element.

12. Navedite pravila biranja ishodnog elementa kod dulanog simpleks postupka.

13. Navedite pravila biranja ishodnog elementa kod eliminisanja vještačke promjenljive iz baze.

16

14. Šta je degeneracija primarnog problema i kako utiče na rješenje duala?

Prilikom obavljanja koraka simpleksne metode može se dogoditi da neka varijabla uđe u bazu, ali da njezina vrijednost ostane nula. Tom se iteracijom vrijednost funkcije cilja neće promijeniti. Ova se pojava naziva degeneracijom.

Do slučaja degeneracije dolazi kada nam se za izbor pivot stupca ili pivot reda javi više jednako dobrih elemenata.

a) Dualna degeneracija javlja se kada se između više stupaca s jednakim negativnim vrijednostima u redu funkcije cilja treba odrediti pivot stupac. U tom se slučaju odabire bilo koji stupac po volji.

b) Primarna degeneracija pojavljuje se kada imamo više redova s jednako malim najmanjim pozitivnim kvocijentom elemenata desne strane i elemenata pivot stupca. Tada možemo pokušati s izborom nekog po volji odabranog reda ili izabiremo slijedeći lijevi stupac (od krajnjeg desnog stupca) i dijelimo njegove elemente s elementima pivot stupca. Za pivot red uzimamo red s najmanjim kvocijentom koji samo u ovom posebnom slučaju smije biti i negativan (ili nula).

Ako je optimalno rješenje primara degenerisano, tada optimalno rješenje duala nije jednoznačno.

15. Objasnite alternativni optimum za model linearnog programiranja.

U ovom slučaju, funkcija cilja paralelna je sa jednim od ograničenja, funkcija cilja ne dodiruje dopustivo područje u jednoj točki već po čitavoj dužini između dvaju točaka. Svaka točka na toj dužini ima optimalnu vrijednost funkcije cilja. Prilikom rješavanja linearnog programa simpleksnom metodom može se dogoditi da u retku funkcije cilja u simpleksnoj tablici nema negativnih koeficijenata tj. da je vrijednost funkcije cilja optimalna. Međutim koeficijent uz jednu od nebazičnih varijabli u funkciji cilja je 0. To znači da se ulaskom te varijable u bazu vrijednost funkcije cilja neće promijeniti. Ako se obavi još jedna iteracija simpleksne metode, i ta se varijabla uvede u bazu, dobiti će se još jedna točka u kojoj je funkcija cilja optimalna tj. alternativni optimum.

16. Navedite opšti model transportnog problema.

Poseban slučaj općeg linearnog programiranja je tzv. transportni problem. Prvu strogu postavku transportnog problema dao je Hičkok 1941. godine, pa se zato transportni problem naziva metod Hičkoka i formulisan je na sljedeći način: Dato je m proizvodnih centara (ishodišta - I) koji nude određenu robu u količiniama a1, a2, a3,..., am i n potrošača (odredišta - O) koji potražuju robu u količinama b1, b2, b3,..., bn. Pretpostavlja se da je zbir ponuda jednak zbiru potražnje tj. a1, a2, a3,..., am = b1, b2, b3,..., bn. Dati su brojevi Cij koji označavaju cijene prijevoza jedinice robe od i-tog proizvođača do j-tog potrošača. Treba naći takve veličine

17

Xij≥0 gdje Xij označava količinu tereta koji treba prevesti od i-tog proizvođača do j-tog

potrošača tako da ukupni troškovi transporta budu F=∑i=1

m

∑j=1

n

C ij X ij

OdredišteIshodište

O1 O2 On

Ponudaai

I1

C11

x11

C12

x12

C1n

x1n a1

I2

C21

x21

C22

x22

C2n

x2n a2

.

.

.

.

.

.

Im

Cm1

xm1

Cm2

xm2

Cmn

xmn am

Potražnjabj

b1 b2 bna1, a2,..., am =

b1, b2,..., bn

17. Navedite kriterijume optimalnosti za rešenje transportnog problema.

Transportnim problemom se određuje optimalni plan transporta istovrsne robe ako je poznat:

1) broj ishodišta (proizvodnih centara, skladišta, lokacija pojedinih resursa i dr.)

2) broj odredišta (potrošačkih centara, gradilišta, prerađivačkih centara i dr.)

3) količina tereta u ishodištima

4) količina tereta koje potražuje svako odredište

5) cijene transporta po jedinici tereta od svakog ishodišta do svakog odredišta

Pod optimalnim planom transporta podrazumijeva se onaj plan transporta robe od ishodišta do odredišta koji ima minimalne ukupne troškove transporta.

18. Navedite metode određivanja početnog bazičnog mogućeg rješenja transportnog problema.

Postoji više metoda za određivanje početnog bazičnog rješenja transpoortnog problema:

1) metoda sjeverozapadnog ugla (dijagonalna metoda, metoda lijevi gornji kut) za prvi kriterij uzima x11

2) metoda minimalnih troškova (metoda najmanje jedinične cijene, metoda perifernih tokova ili jediničnih koeficijenata) za kriterij uzima najmanje parametre cij

18

3) vogelova metoda je dosta efikasna procedura za izračunavanje početnog bazičnog rješenja, često bazično rješenje dobijeno ovom metodom je blizu optimalnom rješenju ili je optimalno rješenje; ona prati razliku između dva najmanja koeficjenta cij za svaki red i kolonu.

19. Navedite osobine transportnog modela.

Osobine modela transportnog problema su:

1) matrica troškovnih elemenata se može redukovati, a to ne utiče na optimalno rešenje;2) jedna od ograničavajućih uslova se može izostaviti iz sistema;3) uvijek postoji moguće rešenje;4) svako moguće rešenje ima m x n promjenljivih, od kojih najviše m+n-1 pozitivnih, a ostale promjenljive su nule;5) ako su vrijednosti Si i Dj sve cijelobrojne i rešenje je cijelobrojno;6) uvijek postoji optimalno rješenje.

20. Alternativni optimum u transportnom modelu.

Optimalno rješenje izračunavamo postepenim poboljšavanjem početnog bazičnog rješenja. Postoje dvije osnovne metode za poboljšavanje optimalnog rješenja:

1) metoda skakanja s kamena na kamen ili stepping stonee method2) modificirana ili modi metoda

Optimalno rješenje transportnog problema sadrži relativne troškove s predznakom "+" i s vrijednosti 0. Postojanje nula na nezauzetim poljima matrice transporta ukazuje da za promatrani transportni problem postoji još jedno, alternativno optimalno rješenje.

Alternativna rješenja imaju jednaku vrijednost funkcije kriterija samo se međusobno razlikuju prema rasporedu jedinica u matrici transporta. Iz jednog optimalnog rješenja dobiva se drugo, alternativno rješenje promjenom baze na polju s relativnim troškom 0 na isti način kao i u slučaju najvećega negativnog relativnog troška u apsolutnom smislu.

Drugačije rečeno, alternativni optimum postoji u situaciji kada su sva neprogramirana polja pozitivna, a jedno ili više polja je jednako 0.

21. Šta je degeneracija transportnog problema?

Transportni problem je degenerisan ukoliko bazično rješenje ima manje od m+n-1 pozitivnih varijabli. Degeneracija kod transportnog problema, znači da je broj programiranih mjesta manji od m+n-1, pa se problem rješava dodjeljivanjem fiktivne količine 0 na neku od neprogramiranih polja sa što manjim troškovnim elementom.

22. Šta je zatvoreni odnosno otvoreni transportni model?

19

Ako je zbir ponuda jednak zbiru potražnje; tj. ako je a1, a2, a3,..., an = b1, b2, b3,..., bn tj.

∑i=1

m

ai=∑j=1

n

b j tada se transportni problem naziva zatvoreni.

Ako je zbir ponude veći ili manji od zbira potražnje, tj. ako je ∑i=1

m

ai>∑j=1

n

b j ili ∑i=1

m

ai<∑j=1

n

b j

tada se transportni problem naziva otvoreni.

20