Pitanja za 2 parcijalu math za ekonomiste :D <3

A1

5. a) (3) Pojam prvog parcijalnog izvoda funkcije dvije promjenljive i njegova primjena u

ekonomiji.

Definicija 3.3.1. (prvog parcijalnog izvoda po varijabli x )

Ukoliko limes (3.3.1) postoji i konačan je, tada je po definiciji taj limes

jednak prvom parcijalnom izvodu funkcije z f (x, y) (ili parcijalnom

izvodu prvog reda) po varijabli x u tački 0 0 (x , y ) i pišemo

Definicija 3.3.2. (prvog parcijalnog izvoda po varijabli y )

Ukoliko limes (3.3.2) postoji i konačan je, tada je po definiciji taj limes

jednak prvom parcijalnom izvodu funkcije z f (x, y) po varijabli y u

tački 0 0 (x , y ) i pišemo

c) (3) Napisati potrebne i dovoljne uslove za lokalni ekstrem funkcije dvije promjenljive.

VIII.2.1. Metod supstitucije za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive.

Pretpostavimo da tražimo ekstrem funkcije f ( x, y) uz uslov g (x, y) = 0 . U zavisnosti od

prirode uslova, iz jednačine g (x, y) = 0 je nekada moguće na jednoznačan način izraziti

jednu promjenljivu ( x ili y ) kao funkciju druge promjenljive. U tom slučaju uslovni ekstrem

funkcije možemo odrediti metodom supstitucije (zamjene) koja se sastoji u slijedećem:

Ukoliko je moguće izraziti promjenljivu y , to znači da uslov g (x, y) = 0 možemo pisati u

obliku y = h1( x) , za neku realnu funkciju h1 . U tom slučaju funkciju f ( x, y) možemo

posmatrati kao funkciju jedne promjenljive, tj. funkciju od x , koja je jednaka f (x,h1,( x)) i

možemo odrediti ekstrem ove funkcije kao funkcije jedne promjenljive. Taj ekstrem (ukoliko

postoji) će ujedno biti uslovni ekstrem funkcije f ( x, y) uz uslov g (x, y) = 0 .

Analogno, ukoliko je moguće izraziti promjenljivu x , tj. uslov g ( x, y) = 0 pisati u obliku

x = h2( y) , za neku realnu funkciju h2 , tada funkciju f (x, y) možemo posmatrati kao funkciju

jedne promjenljive (u ovom slučaju, to je y ) i odrediti njen ekstrem onako kako smo

određivali ekstrem realne funkcije jedne realne promjenljive.

VIII.2.2. Lagrangeov metod za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive

Lagrangeov metod za određivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive koristimo u

slučajevima u kojima nije moguće iz uslova na jedinstven način izraziti x ili y . Na primjer,

ukoliko je uslov g (x, y) = x2 + y2 −1 = 0 , tada je y = ± 1− x2 , pa varijablu y ne možemo

na jedinstven način izraziti preko x . Analogno, ni varijablu x ne možemo iz ovog uslova na

jedinstven način izraziti preko y . U tom slučaju koristimo Lagrangeov metod.

Napomenimo da je Lagrangeov metod moguće koristiti i u slučajevima kada je moguće jednu

varijablu jednoznačno izraziti pomoću druge varijable, ali je tada metod supstitucije

jednostavniji.

6. a) (3) Pojam neodrenenog integrala i njegova primjena u ekonomiji.

IX.1.1. Definicija i osnovne osobine neodređenog integrala

Neka su funkcije f i F definisane na nekom intervalu (a,b) . Ukoliko je funkcija F

diferencijabilna na tom intervalu i ukoliko za sve x (∈ a,b) vrijedi F′( x) = f ( x) tada je za

funkciju F kažemo da je primitivna funkcija funkcije f . Imajući u vidu da je, za neku

konstantu C

(F ( x) +C)′ = F′( x) = f ( x)

vidimo da je i funkcija F ( x) +C također primitivna funkcija funkcije f .

Skup svih primitivnih funkcija funkcije f na intervalu (a,b) zovemo neodređenim

integralom funkcije f i u ovom slučaju pišemo:

∫ f (x)dx = F(x) +C,

gdje je C proizvoljna konstanta iz skupa realnih brojeva.

IX.1.2. Primjena neodređenog integrala u ekonomiji

Integrali imaju svoju primjenu u ekonomiji, o kojoj ćemo nešto više govoriti kada budemo

govorili o određenom integralu. Napomenimo da integrale u ekonomiji možemo primijeniti za

određivanje nepoznate ekonomske funkcije ukoliko je poznata marginalna funkcija te

funkcije uz neki početni (ili neki drugi) uslov. Početni uslov nam je neophodan kako bismo na

jedinstven način odredili nepoznatu ekonomsku funkciju, jer neodređeni integral nije

jedinstvena funkcija, tako da moramo jednoznačno odrediti konstantu koja se u njemu javlja.

6) Ako je funkcija marginalnih troškova proizvodnje data sa MC(Q) = QlnQ i ukoliko

troškovi proizvodnje jednog proizvoda iznose 10, odrediti funkciju ukupnih troškova

proizvodnje.

(Uputa: koristiti metoda parcijalne integracije)

A2

5. a) (3) Odrenivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive Lagrangeovim

metodom.imamo to gore

b) (6) Koristeći Lagrangeov metod odrediti maksimalnu vrijednost funkcije zadovoljstva

u(x, y) = (2x +1)( y + 2) , pri budžetu od 120 novčanih jedinica, ako cijene dobara x i y

iznose 8 i 4.

6. a) (2) Primjena odrenenog integrala u ekonomiji.

Primjena u ekonomiji

U ekonomiji je od interesa posmatrati količinu investicija kao akumulirani kapital tokom

vremena. Kapital kojim neka kompanija raspolaže u određenom vremenskom trenutku t

označit ćemo sa K (t ) . Ukoliko sa I (t ) označimo brzinu pristizanja investicija u

vremenskom trenutku t , tada je, ako se prisjetimo činjenice da je brzina promjene neke

ekonomske funkcije zapravo izvod te funkcije, očigledno da je I (t ) = K '(t ) . Odavde je

K( t) = K (0)+ ∫ ( t) dt ,

gdje smo sa K (0) označili početni kapital.

b) (7) Ako je brzina pristizanja investicija tokom vremena data funkcijom

I (t) = 1000 × (t +10)e0,05×t , te ako početni kapital iznosi 10.000 novčanih jedinica,

odrediti

ukupan akumulirani kapital tokom 5 godina.

(Uputa: koristiti metodu parcijalne integracije)

B1

5. a) (2) Odrenivanje uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive metodom supstitucije.

b) (7) Data je funkcija zadovoljstva potrošača dobrima x i y , čije cijene su 3 i 6 redom sa

u(x, y) = (x + 2) (2y + 5) . Odrediti minimalan budžet pri kojem se potrošač nalazi na nivou

zadovoljstva 100.

6. a) (3) Pojam Bernoulli-eve diferencijalne jednačine i način njenog rješavanja.

XI.3. Bernoullieva diferencijalna jednačina.

Jednačinu oblika

y' + P(x)y = Q(x)y n , n∈, n ≠ 0 , n ≠1 (1)

gdje su P(x) i Q(x) date funkcije neprekidne na nekom intervalu, nazivamo Bernoulli-evom

diferencijalnom jednačinom.

Ukoliko je n = 0 jednačina postaje linearna, dok za n =1 postaje jednačina u kojoj se

promjenljive mogu razdvojiti.

Datu jednačinu oblika (1) podijelimo sa y n . Dobijamo jednačinu

b) (6) Naći opšte rješenje Bernoulli-eve diferencijalne jednačine 2 1

y ' y y

x

+ = , za x > 0.

B2

5. a) (2) Primjena prvog parcijalnog izvoda funkcije dvije promjenljive u ekonomiji. Pojam

marginalne produktivnosti i marginalnog proizvoda.

VII. 4. Značenje parcijalnog izvoda funkcije više promjenljivih u ekonomiji. Marginalna

(granična) produktivnost i marginalni (granični) proizvod.

Vidjeli smo da prvi izvod funkcije jedne promjenljive u ekonomiji predstavlja tzv. graničnu ili

marginalnu funkciju date ekonomske funkcije. Analogno tome, ukoliko imamo neku

ekonomsku funkciju dvije promjenljive (npr. količinu proizvodnje kao funkciju rada i kapitala

ili ukupan prihod kao funkciju troškova proizvodnje i količine proizvodnje) tada možemo

smatrati da se jedna promjenljiva nalazi na istom nivou i posmatrati kako se mijenja naša

funkcija s promjenom druge promjenljive. Brzina te promjene je marginalna funkcija date

funkcije, a ona zapravo predstavlja prvi parcijalni izvod te funkcije po posmatranoj

promjenljivoj. To ćemo detaljnije objasniti na primjeru Cobb-Douglasove funkcije

proizvodnje Q = Q(L,K ) = Ax Lα xK1−α .

Ukoliko pretpostavimo da je u nekom kraćem vremenskom intervalu uloženi kapital

K = const , povećanje rada za neko ΔL dovest će do povećanja proizvodnje za neku količinu

b) (4) Data je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje sa

1 1

Q(L,K) = 4L3K 4 . Odrediti

marginalnu produktivnost i marginalni proizvod za K = 16 i L = 8 .

c) (3) Napisati jednačinu prave ekspanzije za Cobb-Douglasovu funkciju iz b) ako cijene

jedinica rada i kapitala iznose 5 i 4 redom.

6. a) (3) Pojam neodrenenog integrala i njegova primjena u ekonomiji.

b) (6) Odrediti funkciju ukupnih troškova proizvodnje ako je funkcija marginalnih troškova

data sa

A

5. (4) Primjena neodređenog integrala u ekonomiji. Ako je funkcija marginalnig troškova

proizvodnje , a fiksni troškovi proizvodnje iznose 14, odredi funkciju

ukupnih troškova proizvodnje.

6. (4) Homogene diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

B

5. Pojam uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive. Lagrangeov metod za određivanje

uslovnog ekstrema funkcije dvije promjenljive.

6. (4) Primjena određenog integrala u ekonomiji. Ako je brzina akumulacije investicija

tokom jedne godine data sa , odredi ukupnu količinu akumuliranih

investicija u periodu od 4 godine.

C

2. (4) Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje. Nivo linije Cobb-Douglasove funkcije.

Marginalna produktivnost i marginalni proizvod.

6. (4) Bernoullieva diferencijalna jednačina.

D

(4) Određivanje ekstrema funkcije tri promjenljive.

(4) Homogene diferencijalne jednačine prvog reda.

E

5. (4) Pojam prvog parcijalnog izvoda funkcije dvije promjenljive i njegovo ekonomsko

značenje. Izračunati prve parcijalne izvode funkcije .

6. (4) Primjena određenog i neodređenog integrala u ekonomiji.

F

5. (4) Pojam neodređenog integrala i njegova primjena u ekonomiji

6. (4) Homogena diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.