Pithagoreusok, Pithagorasz, Pithagorasz tétele

Önálló tanulásraHarangvirág csoport

Digitális tudásbázis - Eger 2003.

Pithagorasz élete

• Pythagorasz • görög filozofus, Mnesarchos fia,

Szamoszban született valószinüleg Kr. e. 580-570 körül,

• 540-530 körül Olaszországba került, s 500 körül meghalt

• Pythagorasz a Milétoszhoz közeli Szamosz szigetén született. Kezdetben a neves bölcselő, Phereküdész volt a nevelője. Thalesz is tanította és az ő tanácsára az egyiptomi papokhoz utazott. Egyiptomba a szamoszi türannosz ajánlólevelével ment, de nem jutott könnyen az ismeretekhez, ugyanis a heliopoliszi papok a memphisziekhez küldték, azok pedig a thébaiakhoz. Végül Dioszpoliszban kötött ki, ahol a helyi papok nagyon kemény próbatételnek vetették alá az ifjút, aki minden akadályt képes volt leküzdeni, s tudásvágya még a papokat is lenyűgözte, akik ezért hajlandók voltak beavatni a matematikai ismeretekbe. Püthagorasz ezzel azonban még nem érte be, s újabb tanulmányútra indult: a kaldeusoknál csillagászatot tanult, a föníciaiaktól geometriát, a méd Mágusoktól pedig a misztikus szertartások tudományát sajátította el. Egyes híradások szerint még a perzsa vallásalapítóval, Zarathusztrával is találkozott.

• Hazájába visszatérve egy vallásos jellegű politikai célokért is küzdő, ugyanakkor a matematikai tudományokkal (aritmetika, geometria, zene, csillagászat) is foglalkozó, félig-meddig titkos társulatot alapított, amelynek azonban Szamosz szigetéről el kellett távozni, mert összeütközésbe került az ott uralkodó Polükratosz türannosszal. Dél-Itáliába menekült, Krotónba, második hazájába. Itt alapította azt a szövetséget, mely korántsem volt puszta filozofiai iskola, hanem vallás-erkölcsi és politikai egyesület, melynek súlya és hatalma igen nagy lett. A pythagoreusok az arisztokrata alkotmány védői voltak és Kroton meg más városok fölött ők uralkodtak.

• Pythagorasz a fiatalokból idővel vallás-filozófiai szektát hozott létre, melynek szigorú életszabályai voltak. Pl. Ne egyél lóbabot! Ne éleszd a tüzet vassal! Ne egyél szívet! Ne hagyd rajta tested nyomát az ágyadon, amikor felkelsz! Összesen 10-15 ilyen utasítás szabályozta a csoport életét. Vagyonközösségben éltek, s esténként három kérdéssel zárták a napot, s készültek egyúttal a másnapi teendőkre: “Mi rosszat tettem? Mi jót tettem? Mit nem tettem?”Püthagorasz éjszakánként tartotta előadásait, de nem mutatkozott ekkor sem a hallgatóság előtt, hanem egy lepel mögött beszélt, s csak az árnyékát láthatták. Öt évi tanulmány után illette meg a tanítványokat az a jog, hogy láthatták mesterüket.

• Pythagorasz hitt a lélekvándorlásban, s úgy vélte, hogy bölcselő alakjában immáron harmadszor öltött testet. A filozófia kifejezést is ő használta először, a megtisztító tudás szeretetét értette ezen a fogalmon. Úgy vélte, hogy a bölcselkedés a lelket képes megtisztítani a test által okozott sérelmektől.

• A demokrata párt felülkerekedvén, el is űzte P.-t Krotonból, ahonnét azután Metapontumba költözött s itt halt meg. Halála után talán ötven évvel, talán még később (Zeller 440-430) a pythagoreusi szövetség hatalma általában megszünt; a szövetség házát Krotonban elégették s mindenütt üldözték s ölték őket.

• Pythagorasz maga semmit nem írt le tanításaiból és esetleges felfedezéseiből. Tanai, tudományos eredményei elválaszthatatlanul összekeveredtek tanítványai munkáival. A Pitagorasz-tételt, amely leginkább tette ismertté Pythagorasz nevét, nem ő fedezte fel; Babilonban, Egyiptomban, Kínában már előtte is ismerték. A pythagoreusok magát a geometriát nem is értékelték annyira, mint a számok tudományát. Ez megnyilvánult az elnevezésben is. A számelméletet mathémának, tanulmánynak hívták, ebből származik a matematika szó. A geometria pedig hisztorié (tapasztal), tehát kimondottan tapasztalati tudomány volt.

• Pithagorasz élete, linkek

Pithagorasz tétel bizonyításai

Pithagorasz tétel:

A derékszögű háromszög befogói hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével.

A következő oldalakon a tétel többféle bizonyítását találod meg.

A legismertebb bizonyítás szemléltető ábrái

A megjelenő web-lapon láthatod, hogy az általad tetszőlegesen beállított derékszögű háromszögekre igaz a tétel. Ehhez mozgasd a bal oldali négyzet határán látható piros karikát.

A megjelenítéshez kattints ide!

Másképp

• Az előbbi tétel így is megfogalmazható:

A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területének összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzet területével.

Nézd meg ennek bizonyítását! Kattints ide!

Egy újabb változat

Vajon milyen gondolatok rejtőznek az alábbi oldalon?

Bizonyítás

A háromszög tetszőleges lehet. A fenti ábrán kétfajtát láthatsz.

Ha ide kattintasz, Te választhatod meg a háromszögeket. A program kiszámolja a területüket, ellenőrizheted, hogy a harmadik háromszög területe az első kettő összege.

Háromszögeket is illeszthetünk az oldalakhoz!

• A tétel érdekes bemutatását láthatod a Csodák Palotájában .

Pithagorasz tételhez kapcsolódó feladatok

• 1. feladat• 2. feladat

Érdekességek

1. feladat

• Egy 6 m hosszú létrát 4,8 m magas falhoz támasztunk. Milyen távol van a faltól a létra alja?

• Megoldás, ellenőrzés:

Vissza a feladatokhoz

1. feladat megoldása• Az ábra alapján:

Helyettesítsük be a kifejezésbe az ismert adatokat (meghatározva a számok négyzetét):

• Vonjunk négyzetgyököt a kapott különbségből:

•A létra alja 3,6 m-re van a faltól. (Az egyenlet negatív megoldása nem értelmezhető.)

Vissza a feladatokhoz

2. feladat

• Hány egység távolságra van egymástól a derékszögű koordináta-rendszerben az A(7;9) és a B(2;-3) pont?

• Megoldás, ellenőrzés

Vissza a feladatokhoz

A 2. feladat megoldása• a = 7 - 2 = 5 (egység)

b = 9 - ( -3) = 12 (egység)Pitagorasz tétele alapján:

• Mivel a c távolság, csak a pozitív megoldásnak van értelme:

• 13 egység távolságra van egymástól az A és a B pont.

Vissza a feladatokhoz

Érdekesség• Mit súgott

Pitagorasz az ökörnek?

• Megtudható egy mondatból, amely a számok előtt álló utolsó betűket kigyűjtve és sorba rakva alakul ki.

• "A görög mitológia csodatárában állandó le32ltári tárgy volt a hitt abban, hogy az áll48atok egym20ással rendesen beszélnek, s bizonyos emberek varázslatok vagy titko47s szerek segítségével ezt a beszédet megérthetik.

• A vak T1eiresziasznak Athéné juttattá az érté15kes adom8ányt, kár21pótlásul a vakságáért. Demokritosz, a bölcs ma38ga talált ki ilye44n csoda40szert. Ismert néhány külön10ös tulajdonságú madarat, s ha ezeknek46 a vérét veszik, s a vért összeke17 verik, a vegyületből23 kígyó fog születni. A kígyót me19g kell enni, s a35 madar27ak t37ársalgása nyomban érth2etővé vá12lik. - De már erre a hiszék25eny Plinius is azt mondta: bolondság. - A görög51 írók nem voltak ilye42n gyanakvóak. Philosztratosz két16elkedés nélkül mon39dja el, hogy amikor egy ízben tanítvá3nyaival49 sétált, megl43áttak egy verebet, am33int az7 nagy sietve leszállt a többi közé, valamit csiripelt, mire mind fölkerekedet és elrepült. A bölcs odafordult taníttványaihoz: » N31a, ez a veréb most azt jel4ezte a többinek, hogy egy ember kölest szállított a szamarán, a szamár eles6ett, a zsák meg30 kirepedt, és a13 föld ter36ítve van kölessel18.« - A tanítványo9k ám45ulva tapasztalták, hogy csakugyan így történt minden.

• Pitagoraszt sem kímélte a legenda. - Ő a mezőn sét34ált, s észrevette, hogy a52 csordás elaludt, az egyik ö24kre pedig a tilosba té50vedt, és az é5rett búzát legelgette. A filozófus felrázta a csordást, és rászólt: "Miért nem hajtja ki az ökröt a tilosból? 53" - A bárdolatlan emberek szokása szerint14 a csordás gorombasággal felelt, mond11ván, hogy ő22 nem tud az állatok nyelvén beszélni, de minthogy az úrnak tudós28 ember formája van, menjen oda és szóljon neki, hogy takarodjé29k onnan. Pitagorasz odament, v41alamit súgott az ökö26r fülébe, mire az szépen kiballagott a búzából."

• [ Ráth-Végh: A könyv komédiája

Helyes megfejtés:

• „Thálész mondá a tételemről ökörség. Nem tartana velem kolléga?”