plagiat merupakan tindakan tidak terpujirepository.usd.ac.id/9175/1/123114008_full.pdf · gelombang...
TRANSCRIPT
i
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
NONLINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE
DEKOMPOSISI ADOMIAN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Maria Febronia Sedho Dheno
NIM: 123114008
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SOLUTIONS TO NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL
EQUATIONS BY THE ADOMIAN DECOMPOSITION
METHOD
A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by :
Maria Febronia Sedho Dheno
Student ID: 123114008
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tugas akhir saya persembahkan untuk orang-orang terkasih:
Orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam
daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 25 Januari 2017
Maria Febronia Sedho Dheno
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial terdiri dari persamaan diferensial parsial linear
dan nonlinear. Beberapa model persamaan diferensial parsial nonlinear antara lain
adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal (PGAD), persamaan
gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan
menjadi lebih cepat dan sederhana, PGAD kemudian disederhanakan ke dalam
model lain yang salah satunya adalah persamaan gelombang gravitasi dan
persamaan gelombang kinematik.
Dalam tugas akhir ini, keempat model persamaan diferensial parsial
nonlinear di atas diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi
Adomian (MDA). Dengan menggunakan MDA, solusi persamaan diferensial
diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan
polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku
nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial harus
disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial tersebut dapat
diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap
solusi yang didapatkan.
Sebagai tindak lanjut dari penggunaan konsep MDA dalam keempat
persamaan diferensial parsial nonlinear di atas adalah jika terdapat solusi eksak
eksplisit dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat
cepat ke solusi tersebut. Solusi pendekatan MDA merupakan solusi yang berasal
dari deret terpotong yaitu yang biasanya melibatkan beberapa suku saja. Secara
eksplisit, solusi pendekatan tersebut bergantung pada variabel ruang dan waktu.
Penelitian ini menerapkan konsep MDA ke dalam persamaan Burger,
PGAD, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik.
Perhitungan dilakukan dengan bantuan program komputer yaitu MAPLE.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Partial differential equations are of linear and nonlinear. Some models of
nonlinear partial differential equations, are Burger equation, Shallow Water
Equation (SWE), gravity wave equation, and kinematic wave equation. In order to
make the calculation becomes faster and simpler, SWE is simplified into other
models, which are gravity wave equation and kinematic wave equation.
In this thesis, the four models of nonlinear partial differential equations are
solved by using Adomian Decomposition Method (ADM). By using this method,
the solution of differential equation is assumed as the sum of functions or infinite
series of functions with the help of Adomian polynomials. Adomian polynomial is
used for solving the nonlinear term in the differential equation. The differential
equation must be accompanied by an initial condition so that the differential
equation can be solved. The initial condition which is given greatly affects the
obtained solution.
As the follow-up of the use of the ADM in the four nonlinear partial
differential equations above is that if there is an explicit exact solution of the
problem, the series converges quickly into the solution. The approximate solution
is the solution derived from a truncated series which is usually involving only
several terms. Explicitly, the approximate solution depends on the space and time
variables.
This research applies ADM concept into the Burger equation, SWE, gravity
wave equation, and kinematic wave equation. The calculation is done by the aid
of the MAPLE computer software.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Maria Febronia Sedho Dheno
NIM : 123114008
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Nonlinear dengan Menggunakan
Metode Dekomposisi Adomian
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam
bentuk media lain, mengelolanya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara
terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan
akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada
saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tangggal 25 Januari 2017
Yang menyatakan
Maria Febronia Sedho Dheno
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan
penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat
diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan
sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan
tugas akhir ini.
2. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Kepala Program Studi
Matematika.
3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Kedua orang tuaku, Melkhior Dheno dan Rosalina Bate, serta kedua
adikku Maria Theresia Wua Dheno dan Gregorius Hermanus Resi Dheno
yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan masukkan
positif kepadaku.
5. Frederikus Yasman yang telah memberikan semangat dan dukungan
kepadaku dengan penuh kasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
6. Teman-teman seperjuangan prodi Matematika yaitu Ilga, Happy, Ajeng,
Bobi, Rian, Budi, Ega, Amanda, Anggun, Dewi, Lia, Arum, Noni, Putri,
Sila, Juli, Risma, Tika, dan Auxi yang selalu membantuku saat aku
kesulitan dalam belajar dan dalam penyusunan tugas akhir ini.
7. Teman-teman dan kakak-kakak kece personil Wisma Goreti yaitu, kak
Oppy, kak Orry, kak Cici, ka Lenny, Yanzher, dan Elsa yang selalu
mendukung dan membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.
Yogyakarta, 25 Januari 2017
Penulis,
Maria Febronia Sedho Dheno
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi
ABSTRAK .......................................................................................................... vii
ABSTRACT ....................................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................... x
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1
A. Latar Belakang ......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................... 6
C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 6
D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 6
E. Metode Penulisan ..................................................................................... 7
F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 7
G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ........................................................... 9
A. Turunan Fungsi ......................................................................................... 9
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial .......................................................... 13
C. Integral .................................................................................................... 16
D. Barisan..................................................................................................... 20
E. Deret ........................................................................................................ 20
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .......................................................... 22
G. Konvergensi Deret Taylor ....................................................................... 23
BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ......................................... 29
A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Nonlinear
................................................................................................................. 29
B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger ...................... 39
C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air Dangkal
................................................................................................................. 43
D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi
................................................................................................................. 54
E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang KInematik
................................................................................................................. 62
BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN ........... 66
A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian ................... 66
B. Teorema Konvergensi ............................................................................. 67
C. Kecepatan Konvergensi .......................................................................... 69
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB V PENUTUP ............................................................................................. 71
A. Kesimpulan ............................................................................................ 71
B. Saran ........................................................................................................ 72
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 73
LAMPIRAN ....................................................................................................... 74
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penulisan, manfaaat penulisan, dan sistematika penulisan.
A. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari
satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel
bebas (Ross, 1984). Permasalahan yang berhubungan dengan persamaan
diferensial sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan tersebut
seperti dalam bidang sains dan teknik. Klasifikasi persamaan diferensial bisa di
dasarkan pada: banyaknya variabel yang terlibat, derajat persamaan diferensial,
linear atau nonlinear, dan homogen atau nonhomogen. Beberapa model dalam
bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsial.
Terdapat dua bentuk persamaan diferensial parsial yaitu persamaan
diferensial parsial linear dan nonlinear. Model umum persamaan diferensial
parsial yang sering kita jumpai sehari-hari adalah model arus lalu lintas di jalan
yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis, dan gelombang
kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan hidrolik (Wazwaz,
2009).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Model-model lain dari persamaan diferensial parsial yaitu seperti persamaan
Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan
persamaan gelombang kinematik. Persamaan Burger, persamaan gelombang
gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik merupakan model khusus dari
persamaan gelombang air dangkal. Dalam tugas akhir ini dipandang empat model
di atas dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan
metode dekomposisi Adomian (MDA).
Menurut Wazwaz (2009), persamaan Burger adalah persamaan diferensial
parsial fundamental dalam mekanika fluida. Persamaan ini pertama kali
dikenalkan oleh Johannes Martinus Burger (1895-1981). Persamaan Burger dapat
dirumuskan sebagai berikut:
(1.1)
dengan adalah kecepatan aliran dan variabel independen dan secara berturut-
turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu
Menurut Dawson dan Mirabito (2008), persamaan gelombang air dangkal
adalah sistem persamaan diferensial parsial hiperbolik yang mengatur aliran zat
cair di lautan, daerah pesisir, muara, sungai, dan saluran air. Karakteristik umum
dari aliran air dangkal adalah dimensi vertikalnya lebih kecil daripada skala
horizontalnya. Dalam hal ini, kita dapat mengambil rata-rata kedalaman sebagai
pengganti dimensi vertikal. Persamaan gelombang air dangkal dapat digunakan
untuk memprediksi pasang surut, gelombang badai dan tingkat perubahan garis
pantai dari badai, serta arus laut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Secara matematis, seperti ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004)
persamaan gelombang air dangkal (PGAD) dapat dirumuskan sebagai berikut
(
)
(
) (
) (1.2)
dengan , dan memenuhi kondisi awal sebagai berikut:
(
) (
) (1.3)
dengan adalah kedalaman air dari permukaan air hingga dasar tanah,
adalah kecepatan fluida, dan adalah kedalaman air dari permukaan
air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan
secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Ilustrasi
aliran air dinyatakan dalam Gambar 1.1.
Gambar 1.1 Ilustrasi aliran air.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
R. Martins, J. Leandro, dan S. Djordjević memperkenalkan persamaan
Saint-Venant (PSV), sebagai bentuk lain dari PGAD. Persamaan ini sering
disederhanakan sehingga menjadi sangat praktis, menjadikan perhitungan yang
sangat cepat, atau untuk representasi fisis. Untuk mengurangi waktu perhitungan
atau meningkatkan stabilitas, PSV sering disederhanakan ke dalam model lain
seperti persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang difusif, dan
persamaan gelombang gravitasi. Model persamaan gelombang gravitasi adalah
sebagai berikut:
(1.4)
dengan adalah kedalaman air, adalah debit air dan adalah percepatan
gravitasi. Dan model persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:
(1.5)
dengan adalah ketinggian air dan variabel independen dan secara berturut-
turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.
Dalam tulisan ini, metode yang digunakan adalah metode dekomposisi
Adomian. Metode ini diperkenalkan oleh seorang ahli yang bernama G. Adomian.
Metode dekomposisi Adomian (MDA) merupakan metode yang dapat
menyelesaikan persamaan fungsional nonlinear dengan berbagai jenis misalnya:
aljabar, diferensial, diferensial parsial, integral, dan lain-lain dengan kondisi awal
dan kondisi batas tanpa diskretisasi domain. Dalam tugas akhir ini diambil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
persamaan diferensial parsial yang diselesaikan dengan MDA. Dalam MDA,
solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak
hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian
digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial
tersebut. Polinomial Adomian dibentuk menggunakan ekspansi deret Taylor pada
fungsi tertentu, yang diasumsikan sebagai fungsi analitik. Persamaan diferensial
harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial dapat diselesaikan.
Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang
didapatkan (Adomian,1994).
Banyak peneliti mengungkapkan bahwa jika terdapat solusi eksak dari
masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi
tersebut. Konsep konvergensi dari deret dekomposisi telah didiskusikan oleh
banyak peneliti untuk menjelaskan konvergensi yang cepat dari deret yang
dihasilkan tersebut. Cherruault telah memperkenalkan mengenai konsep
konvergensi metode Adomian dalam makalahnya. Selain itu, Cherruault dan
Adomian juga menyajikan bukti konvergensi baru dari metode Adomian tersebut.
Bukti konvergensi inilah yang digunakan penulis dalam menyelidiki konvergensi
dari MDA.
Jadi, secara umum solusi MDA adalah solusi analitis pendekatan dari solusi
eksaknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
B. Rumusan Masalah
Tugas akhir ini terdiri dari beberapan rumusan-rumusan masalah yang
terlihat seperti di bawah ini:
1. Bagaimana menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan
MDA?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan Burger dengan MDA?
3. Bagaimana menyelesaikan PGAD dengan MDA?
4. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan
MDA?
5. Bagaimana menyelesaikan persamaan gelombang kinematik dengan
MDA?
6. Bagaimana konvergensi dari MDA ?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada
menyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial dengan MDA, yang meliputi:
persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, persamaan
gelombang kinematik. Selain itu, akan dibahas juga tentang konvergensi dari
MDA.
D. Tujuan Penulisan
Tugas akhir ini terdiri dari beberapa tujuan pokok dalam penyelesaiannya
yaitu sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
1. Menerapkan MDA untuk memperoleh solusi eksplisit pendekatan
untuk persamaan diferensial parsial dengan suku sumber.
2. Menggambarkan bagaimana metode dekomposisi dapat membantu
untuk memperoleh solusi yang akurat dan konvergensi yang cepat
mengenai hukum konservasi dengan suku sumber.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan
jurnal serta praktek simulasi dengan bantuan komputer.
F. Manfaat Penulisan
Dengan menerapkan MDA pada persamaan diferensial, diperoleh suatu
penyelesaian yang merupakan suatu fungsi eksplisit terhadap variabel bebas.
Dengan demikian, jika diberikan sebarang nilai variabel bebas, maka penyelesaian
di titik variabel bebas itu dapat dihitung dengan cepat. Perhitungan ini dilakukan
tanpa diskretisasi numeris dari domain.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari lima bab yaitu sebagai
berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
C. Batasan Masalah
D. Metode Penulisan
E. Tujuan Penulisan
F. Manfaat Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Turunan Fungsi
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
C. Integral
D. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
E. Konvergensi Deret Taylor
BAB III METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial
Nonlinear
B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger
C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air
Dangkal.
D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang
Gravitasi.
E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang
Kinematik
BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
A. Teorema Konvergensi
B. Kecepatan Konvergensi
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan ditulis mengenai konsep-konsep dasar atau teori-teori
dasar dalam penyelesaian tugas akhir ini. Teori-teori dasar tersebut meliputi:
turunan fungsi, klasifikasi persamaan diferensial, integral, barisan, deret, deret
Taylor, deret Maclaurin dan konvergensi deret Taylor.
A. Turunan Fungsi
Pada subbab ini akan dibahas mengenai turunan fungsi yang meliputi
turunan fungsi satu variabel dan turunan fungsi dua variabel. Berikut akan
dijelaskan definisi untuk turunan fungsi.
Definisi 2.1
Turunan fungsi didefinisikan sebagai:
( )
( ) ( )
di setiap titik sehingga limit di atas ada dan hingga. Dan jika ( ) ada maka
fungsi dikatakan terdiferensial atau mempunyai turunan di .
Turunan Fungsi Eksplisit
Fungsi ( ) disebut fungsi eksplisit sebab hubungan antara variabel
bebas dengan variabel takbebas diberikan secara eksplisit melalui rumus
fungsi .
Contoh 2.1
Tentukan turunan dari fungsi ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Penyelesaian:
Fungsi di atas bukan merupakan fungsi linear, maka dengan menggunakan
definisi 2.1, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
( )
( ) ( )
( ( ) ) ( )
( ( ) )
( )
( )
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi ( ) dikatakan fungsi implisit sebab hubungan antara
variabel bebas dan variabel takbebas diberikan secara tidak eksplisit. Dalam
mencari turunan untuk fungsi implisit, maka dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu
dengan mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi ekplisit dan dengan
menggunakan metode penurunan implisit.
Contoh 2.2
Tentukan
apabila .
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Cara 1 Penurunan Eksplisit Dengan mengubah menjadi fungsi eksplisit, yaitu
sebagai berikut:
atau
( )
atau
Dengan menggunakan Definisi 2.1, kita peroleh:
( )
Cara 2 Penurunan Implisit Dengan menurunan kedua ruas terhadap , maka:
( )
( )
atau
atau
atau
( )
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Solusi yang dihasilkan oleh kedua cara di atas terlihat berbeda. Solusi yang
diberikan oleh Cara 1 hanya melibatkan , sedangkan solusi yang diberikan oleh
Cara 2 melibatkan dan . Namun, ingat bahwa dalam Cara 1 telah diubah fungsi
semula ke dalam fungsi eksplisit yaitu dengan mengubah fungsi dalam bentuk
dan diperoleh ( ). Lalu dengan mensubsitusikan ( ) ke
dalam bentuk
pada solusi yang dihasilkan oleh Cara 2, maka diperoleh:
.
/
atau
atau
( )
Sekarang dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan oleh Cara 1 dan Cara 2
sudah terlihat sama.
Yang harus diperhatikan adalah untuk menentukan turunan dari suatu fungsi
tidak harus dikerjakan dengan 2 cara di atas karena tidak semua fungsi dapat di
ubah ke dalam bentuk fungsi eksplisit misalnya . Sehingga
untuk menentukan turunannya langsung dikerjakan dengan menggunakan
penurunan implisit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Pada bagian ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial yang
meliputi contoh dan definisi persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa,
persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial, dan kelinearan
persamaan diferensial.
Definisi 2.2
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari
satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel
bebas.
Contoh 2.2
Contoh persamaan diferensial adalah sebagai berikut:
(
)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Definisi 2.3
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu
variabel bebas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.3
Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.1) dan (2.2) adalah
persamaan diferensial biasa. Dalam persamaan (2.1) variabel adalah satu-
satunya variabel bebas, dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.2)
variabel bebasnya adalah , dengan adalah variabel terikat.
Definisi 2.4
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan
lebih dari satu variabel bebas.
Contoh 2.4
Pada Contoh 2.2 dapat dilihat bahwa persamaan (2.3) dan (2.4) adalah
persamaan diferensial parsial. Dalam persamaan (2.3) variabel dan adalah
variabel bebas dan adalah variabel terikat. Dan dalam persamaan (2.4) terdapat
tiga variabel bebas yaitu , , dan sedangkan adalah variabel terikat.
Definisi 2.5
Orde atau derajat dari persamaan diferensial adalah orde atau tingkat
tertinggi dari turunan yang terlibat dalam suatu persamaan diferensial.
Contoh 2.5
Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua,
karena turunan tertinggi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan (2.2)
adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan diferensial parsial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
(2.3) dan (2.4) secara berturut-turut adalah persamaan diferensial orde pertama
dan kedua.
Definisi 2.6
Suatu persamaan diferensial biasa linear orde , dengan variabel terikat
dan variabel bebas , dapat dinyatakan dalam bentuk
( )
( )
( )
( ) ( ) (2.6)
dengan tidak sama dengan nol.
Contoh 2.7
Kedua persamaan diferensial biasa berikut adalah persamaan diferensial
biasa linear. Pada kedua persamaan tersebut, variabel adalah variabel terikat.
Perhatikan bahwa dan turunan-turunannya terjadi dengan pangkat pertama saja
dan tidak ada perkalian dari dan/atau turunan dari .
(2.7)
(2.8)
Definisi 2.8
Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah suatu persamaan diferensial
biasa yang tidak linear. Persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk seperti
persamaaan (2.6) dikatakan persamaan diferensial biasa nonlinear.
Contoh 2.8
Contoh persamaan diferensial biasa nonlinear adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
(2.9)
(
)
(2.10)
(2.11)
Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial biasa nonlinear karena variabel
terikat terdapat pada derajat kedua dalam bentuk . Persamaan (2.10) juga
merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear karena terdapat bentuk
.
/
yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertamanya. Persamaan (2.11)
juga nonlinear karena pada bentuk
melibatkan perkalian terhadap variabel
terikat dan turunan pertamanya.
C. Integral
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi integral dan contoh-
contohnya dari integral tentu.
Definisi 2.9
Suatu fungsi ( ) disebut anti turunan dari fungsi ( ) pada selang jika
( ) ( ) untuk suatu . Dengan kata lain ( ) ( ).
Contoh 2.9
Carilah anti turunan dari fungsi ( ) pada interval ( ).
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Nilai anti turunan dari fungsi di atas bukan ( ) sebab turunannya
adalah . Dan nilai anti turunan yang memenuhi adalah ( ) karena
turunannya adalah ( ) . Dengan demikian, anti turunan dari
adalah .
Suatu anti turunan atau pengintegralan fungsi ( ) terhadap dapat dinotasikan
sebagai berikut:
∫ ( ) ( ) (2.12)
dengan ∫ , ( ) merupakan fungsi integran, ( )
merupakan fungsi integral umum yang bersifat ( ) ( ) dan merupakan
konstanta.
Integral Tentu
Definisi 2.10
Misalkan suatu fungsi pada interval tertutup , -, maka ∫ ( )
yang
disebut integral tentu (atau integral Riemann) dari sampai diberikan oleh:
∫ ( )
∑ ( ̅ )
‖ ‖
∑ ( ̅ )
dengan ̅ , - dan ‖ ‖ adalah .
Untuk menghitung luasan di bawah kurva suatu fungsi ( ) pada
interval tertutup , -, seperti pada gambar di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel.
maka akan dibuat titik-titik dengan dan . Ini
menunjukan bahwa interval tertutup , - tersebut akan dipartisi menjadi
subinterval yaitu , - , - , - , - Dari setiap subinterval
akan diambil sembarang titik ̅ dan yang merupakan panjang interval dengan
. Disini . Seperti contoh .
Cara lain untuk menghitung adalah dengan menggunakan rumus sebagai
berikut:
Rumus integral tentu pada Definisi 2.10 diperoleh dengan terlebih dahulu
menentukan nilai Jumlahan Riemann atau jumlah luas persegi panjang. Nilai
hampiran luas persegi panjang diperoleh dari definisi dasar luas persegi panjang
yaitu dengan ketentuan panjangnya merupakan
( ̅ ) dan lebarnya merupakan . Sehingga untuk menghitung hampiran luas
persegi panjang grafik ( ) diatas adalah ( ̅ ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Luas daerah di bawah kurva diaproksimasikan dengan total hampiran luas persegi
panjang masing-masing subinterval yang dibentuk tersebut, sehingga aproksimasi
luas di bawah kurva adalah Hal ini berarti bahwa total
hampiran luas persegi panjang atau jumlahan Riemann fungsi pada interval
, - sebagai hampiran luas daerah di bawah kurva ( ) dan di atas sumbu
dapat ditulis sebagai berikut:
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ ) ∑ ( ̅ )
Jika ‖ ‖ diperkecil pada interval tertutup , -, maka jumlah subinterval atau
akan bertambah. Dengan kata lain, jika ‖ ‖ maka .
Jika semakin membesar maka dan berarti bahwa semakin baik
pula aproksimasi luasan dan semakin dekat dengan luasan yang sebenarnya.
Dengan demikian,
∑ ( ̅ )
D. Barisan
Pada subbab mengenai konsep barisan ini, hanya dibatasi pada konsep
barisan konvergen dan divergen beserta contohnya.
Definisi 2.11
Suatu barisan * + dikatakan kovergen ke suatu bilangan jika untuk setiap
bilang posistif terdapat suatu bilang bulat sedemikian sehingga untuk semua
| |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Jika tidak terdapat bilang , maka barisan * + tersebut dikatakan barisan
divergen.
Jika * + konvergen ke , maka , atau secara sederhana
. Dan merupakan limit dari barisan.
Contoh 2.10
Tunjukkan bahwa
.
Penyelesaian
Misalkan Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan bulat
sedemikian hingga untuk semua ,
|
|
Bentuk implikasi di atas terpenuhi jika
atau
. Jika adalah sebarang
bilangan bulat yang lebih besar dari
, maka bentuk implikasi di atas terpenuhi
untuk semua . Sehingga terbukti bahwa
E. Deret
Pada subbab ini hanya dibatasi pada konsep deret konvergen dan divergen
beserta contohnya.
Definisi 2.12
Diberikan suatu barisan bilangan * +, suatu ekspresi dalam bentuk
dikatakan deret takhingga. Bilangan merupakan suku ke- dari deret. Barisan
* + didefinisikan oleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∑
adalah barisan jumlah parsial dari deret, dengan adalah jumlah parsial ke- .
Jika barisan jumlah parsial konvergen ke limit , maka deret tersebut konvergen
dan jumlahannya adalah . Dalam kasus ini, akan dituliskan sebagai berikut:
∑
Jika barisan jumlah parsial dari suatu deret tidak konvergen, maka deret tersebut
dikatakan deret divergen.
Contoh 2.11
Selidiki kekonvergenan dari deret dibawah ini:
Penyelesaian
Jika diperhatikan
(
)
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
sehingga diperoleh jumlah parsial ke- nya adalah:
(
)
dan .
/
Jadi, karena barisan jumlah-jumlah
parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.
F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh-contoh deret
Taylor dan deret Maclaurin.
Definisi 2.13
Misalkan adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan-turunan dari semua
tingkat pada interval tertentu dengan adalah titik interior. Maka deret Taylor
yang diberikan oleh di sekitar adalah:
∑ ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
Deret Maclaurin yang diberikan oleh adalah
∑ ( )( )
( ) ( )
( )
( )
yaitu deret Taylor yang diberikan oleh di sekitar .
Contoh 2.12
Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh ( )
di sekitar .
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Akan dicari ( ) ( ) ( ) . Dengan turunan maka diperoleh
( ) , ( ) , ( ) , dan seterusnya maka ( )
( ) ( ), sedemikian sehingga
( )
( )
( )
( )
( )
Deret Taylornya adalah:
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Dan ini merupakan deret geometri dengan suku pertama
dan rasio
.
G. Konvergensi Deret Taylor
Dalam subbab ini akan dibahas mengenai deret Taylor suatu fungsi yang
konvergen ke fungsi itu sendiri. Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.
Teorema 2.1 Teorema Taylor
Jika dan turunan-turunan pertama hingga ke- ( ) kontinu
pada interval tertutup antara dan , dan ( ) terdiferensial pada interval terbuka
antara dan , maka terdapat bilangan antara dan sedemikian sehingga:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
Bukti
Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa .
Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
dan turunan pertama -nya sesuai dengan fungsi dan turunan pertama -nya
pada . Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku
lain dari bentuk ( ) dengan adalah suatu konsanta, karena suku
tersebut dan turunan pertama -nya semua sama dengan nol pada . Lalu,
didefinisikan fungsi baru yaitu:
( ) ( ) ( )
dengan turunan pertama -nya masih sesuai dengan fungsi dan turunan pertama
-nya pada .
Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari yang membuat kurva
( ) sesuai dengan kurva asli ( ) pada , yaitu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (2.13)
dengan didefinisikan oleh persamaan (2.13), maka fungsi:
( ) ( ) ( )
yang merupakan selisi antara fungsi asli dan fungsi aproksimasi ( ) untuk
setiap di , -.
Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena ( )
( ) dan dan keduanya kontinu pada , -, maka
( ) ( )
Lalu, karena ( ) ( ) dan dan keduanya kontinu pada , -,
maka
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada ( )
yaitu:
( ) sedemikian sehingga ( )
( ) sedemikian sehingga ( )( )
( ) sedemikian sehingga ( )( )
Karena ( ) kontinu pada , - dan terdiferensial pada ( ), dan ( )( )
( )( ) , bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu
bilangan pada ( ) sedemikian sehingga
( )( ) (2.14)
Jika diturunkan ( ) ( ) ( ) ( ) total dari kali, maka
diperoleh:
( )( ) ( )( ) ( ) (2.15)
Berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh:
( )( )
( ) ( ) (2.16)
Dan berdasarkan persamaan (2.13) dan (2.16), diperoleh:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
Maka terbukti.
Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan tetap dan
adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti dengan
. Rumus di bawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah
dengan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Rumus Taylor
Jika mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka
yang memuat , maka untuk setiap bilangan bulat positif dan untuk setiap di
,
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
(2.17)
dengan
( ) ( )( )
( ) ( ) (2.18)
untuk antara dan .
Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa
untuk setiap , maka:
( ) ( ) ( )
Fungsi ( ) ditentukan oleh nilai dari ( ) turunan ke ( ) di titik yang
bergantung pada kedua dan , dan terletak di antara mereka.
Persamaan (2.12) disebut rumus Taylor. Fungsi ( ) disebut suku error
untuk aproksimasi oleh ( ) terhadap interval .
Definisi 2.14
Jika ( ) untuk semua maka deret Taylor yang
dibangun oleh saat pada interval , ditulis sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
( ) ∑ ( )( )
( )
( ) dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai , untuk mengetahuinya
dapat dilihat contoh sebagai berikut.
Contoh 2.13
Tunjukkan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh ( ) saat
konvergen ke ( ) untuk setiap .
Penyelesaian:
Fungsi ( ) mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval
( ). Persamaan (2.12) dan (2.13) dengan ( ) dan , maka:
( )
dan
( )
( )
untuk antara dan .
Karena adalah fungsi naik, maka berada di antara dan . Ketika
nilai maka nilai dan . Ketika nilai maka nilai
dan ( ) . Dan ketika nilai maka dan . Maka,
| ( )| | |
( )
saat , dan
| ( )|
( )
saat . Lalu, karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
( )
untuk setiap ,
( ) dan deret konvergen untuk setiap , maka:
∑
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
BAB III
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode dekomposisi Adomian
(MDA) dan penyelesaian beberapa persamaan diferensial parsial baik linear
maupun nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Beberapa
persamaan diferensial parsial tersebut adalah persamaan Burger, persamaan
gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan
gelombang kinematik.
A. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Diferensial Parsial
Nonlinear
Dalam bagian ini akan dibahas mengenai penerapan metode dekomposisi
Adomian dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear yang akan
diawali dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial orde pertama dengan
menggunakan MDA.
a. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial Linear
Orde Pertama
Untuk memberikan gambaran mengenai metode dekomposisi Adomian,
maka perhatikan persamaan diferensial linear berikut:
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dengan adalah suatu fungsi yang diasumsikan mempunyai invers, adalah
fungsi diferensial linear dan adalah suku sumber. Dengan mensubsitusikan
fungsi invers pada kedua sisi persamaan (3.1), maka diperoleh:
( )
atau
( ) ( )
Lalu dengan mengoperasikan ( ), diperoleh:
( )
atau
( )
Atau
( ) (3.2)
dengan adalah suku yang dihasilkan dari proses pengintegralan terhadap suku
sumber .
Metode Adomian mendefinisikan solusi berdasarkan suatu deret
takhingga seperti yang dituliskan berikut, yaitu:
∑
(3.3)
Selanjutnya, persamaan (3.3) akan disubsitusikan ke persamaan (3.2) dan
diperoleh:
∑
( (∑
))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Atau
( ( )) (3.4)
Sehingga diperoleh skema di bawah ini:
( ( ))
(3.5)
atau
( ( ))
( ( ))
( ( ))
(3.6)
Setelah menentukan lalu akan disubsitusikan ke persamaan
(3.3) untuk memperoleh solusi dalam bentuk deret.
Untuk mempermudah dalam memahami konsep metode ini, maka akan
diperhatikan persamaan diferensial parsial orde pertama nonhomogen berikut,
yaitu:
( ) (3.7)
dengan nilai awal sebagai berikut:
( ) ( ) (3.8)
dan
( ) ( ) (3.9)
Misalkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
(3.10)
dan
(3.11)
Dalam bentuk operator, maka persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:
( ) (3.12)
dengan setiap operator di atas diasumsikan dapat diinverskan dan opeator dan
dimisalkan sebagai berikut:
∫ ( )
(3.13)
dan
∫ ( )
(3.14)
Ini berarti bahwa:
( ) ( ) ( ) (3.15)
Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.12) maka diperoleh:
( )
dengan mengoperasikan , diperoleh:
( ) ( ) ( )
( )
atau
( ) ( ) ( )
( )
atau
( ) ( ) ( )
( ) (3.16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Hasil pada persamaan (3.16) di atas diperoleh dengan menggunakan persamaan
(3.15) dan dengan nilai awal ( ) ( ). Berdasarkan penjelasan sebelumnya
bahwa deret himpunan metode dekomposisi adalah sebagai berikut:
( ) ∑ ( )
(3.17)
Subsitusikan persamaan (3.17) pada kedua sisi persamaan (3.16), sehingga
menghasilkan:
∑ ( )
( ) ( )
( (∑ ( )
)) (3.18)
Atau dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) ( )
( ( )) (3.19)
Adomian mengatakan bahwa suku diidentifikasikan sebagai kondisi awal atau
nilai awal dan ditambah hasil dari ( ) untuk kasus ini, dengan keduanya
diasumsikan diketahui.
Berdasarkan penjelasan dan hasil yang diperoleh di atas, maka solusi untuk
deret dekomposisi adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
(3.20)
Hal ini jelas terlihat bahwa keakuratan pendekatan dapat ditingkatkan secara
signifikan hanya dengan melakukan iterasi berkali-kali. Sehingga pendekatan
suku ke- untuk dapat ditulis sebagai berikut:
∑ ( )
(3.21)
Untuk masalah konkret, dimana solusi eksak tidak dapat diperoleh dengan mudah
maka akan menggunakan deret terpotong (3.21) untuk memperoleh solusi
pendekatan.
Banyak peneliti menunjukkan bahwa jika terdapat solusi eksak dalam
menyelesaikan masalah tertentu maka deret yang diperoleh konvergen sangat
cepat ke solusi eksak tersebut. Mengenai konsep konvergensi akan dibahas di Bab
IV.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
b. MDA untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial
Nonlinear Orde Tinggi
Dalam penjelasan sebelumnya terlihat bahwa MDA diterapkan dalam
persamaan diferensial linear orde pertama. Metode ini diterapkan secara langsung
dan secara mudah untuk masalah nonhomogen. Subbab ini akan menerapkan
MDA untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear. Hal ini sangat
penting karena dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial tidak hanya
terdapat suku linear saja namun terdapat suku nonlinear juga seperti ,
dan lain sebagainya.
Berikut ini akan dijelaskan secara rinci mengenai skema Adomian dalam
menghitung suku nonlinear. Untuk memudahkan, maka penjelasan mengenai
persamaan diferensial parsial nonlinear akan didukung dengan beberapa contoh
ilustratif yang mencakup berbagai bentuk nonlinear.
Telah diketahui bahwa metode dekomposisi Adomian menunjukkan bahwa
fungsi yang tak diketahui dapat diwakili oleh deret dekomposisi berikut:
∑
(3.22)
dengan dapat dihitung dengan cara rekursif. Namun demikian, suku nonlinear
( ) seperti , dan lain-lain bisa dinyatakan dalam deret terbatas yang
disebut polinomial Adomian yang dituliskan sebagai berikut:
( ) ∑ ( )
(3.23)
dengan polinomial Adomian dapat dihitung untuk semua bentuk nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan
menggunakan MDA terdapat beberapa cara. Salah satunya adalah polinomial
Adomian untuk suku nonlinear ( ) dapat didefinisikan dengan menggunakan
formula sebagai berikut:
[ (∑
)]
Namun, dalam tugas akhir ini penulis tidak menggunakan cara di atas, sebab
memerlukan perhitungan yang lebih rumit. Sehingga dalam tugas akhir ini penulis
menggunakan cara lain.
Cara yang akan diperkenalkan selanjutnya ini merupakan cara sederhana
dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian. Cara ini
didasarkan pada aljabar dan identitas trigonometri serta deret Taylor. Cara ini
menggunakan operasi dasar dan tidak memerlukan formula tertentu, yang diambil
dari buku karangan Wazwaz (2009).
Seperti yang didefinisikan oleh metode dekomposisi yaitu cara ini
menunjukkan bahwa mensubsitusi sebagai jumlahan dari dengan . Hal
ini jelas bahwa selalu ditentukan independen dari polinomial lainnya
dengan , dan didefinisikan sebagai berikut:
( ) (3.24)
Cara ini mengasumsikan bahwa pertama memisahkan
( ) untuk setiap suku nonlinear ( ). Dengan melakukan pemisahan ini
maka komponen sisa ( ) dapat diperluas dengan menggunakan operasi aljabar,
identitas trigonometri, dan deret Taylor. Selanjutnya mengumpulkan semua suku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
ekspansi yang dihasilkan sedemikian sehingga jumlah subskrip dari komponen
dalam setiap suku adalah sama. Setelah melakukan pengumpulan suku-suku
tersebut maka perhitungan polinomial Adomian dengan demikian selesai.
Untuk meningkatkan pemahaman mengenai cara ini maka akan
diperkenalkan beberapa contoh berikut.
i. Kasus Polinomial Nonlinear
Misalkan ( ) .
Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu:
∑
(3.25)
Dengan mensubsitusi persamaan (3.25) kedalam ( ) , maka diperoleh:
( ) ( )
( )
(3.26)
Hasil ekspansi dari persamaan (3.26) dapat disusun kembali dengan
mengelompokan semua suku dengan jumlah dari subskrip adalah sama. Ini berarti
bahwa persamaan (3.26) dapat ditulis sebagai berikut:
( )
(3.27)
Maka polinomial Adomian secara lengkap adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
dan seterusnya.
ii. Turunan Nonlinear
Misalkan ( ) .
Akan dimisalkan sebagai berikut, yaitu :
∑
(3.28)
Dengan mensubsitusikan persamaan (3.28) kedalam ( ) maka diperoleh:
( ) (
)
( )
(3.29)
Dengan mengumpulkan suku-suku seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya,
maka diperoleh:
( )
(3.30)
Sehingga polinomial Adomiannya adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dan seterusnya.
B. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Burger
Dipandang persamaan Burger sebagai berikut:
(3.31)
dengan nilai awal,
( )
Persamaan (3.31) di atas akan ditulis dalam bentuk:
(3.32)
Misalkan
dan
. Maka persamaan (3.31) di atas ditulis dalam
bentuk sebagai berikut:
(3.33)
Dengan mensubsitusikan pada kedua sisi persamaan (3.33), diperoleh:
lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )
maka:
( ) ( )
atau
( ) ( )
atau
(3.34)
Misalkan ∑ dan ∑
dengan merupakan bentuk
polinomial Adomian, sehingga persamaan (3.34) ditulis sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
∑
∑
(3.35)
Karena ∑ , dan ∑
, maka
persamaan (3.35) diatas menjadi:
( )
( )
atau
(
)
(
)
atau
Oleh sebab itu diperoleh solusi sebagai berikut:
(3.36)
Diketahui bahwa ∑ maka:
( )(
)
Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
dan sebagainya maka diperoleh:
(3.37)
Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut,yaitu:
∑
(3.38)
Sebagai contoh penerapan MDA pada persamaan Burger maka akan
dipandang nilai awal sebagai berikut:
( )
Dengan menggunakan program MAPLE maka solusi penyelesaian untuk ( )
adalah sebagai berikut:
(3.39)
Karena telah diketahui bahwa ∑ maka solusi pendekatan suku ke-4
( ) adalah . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan
untuk kecepatan aliran ( ) dapat dilihat pada gambar 3.1 dan gambar 3.2 di
bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Gambar 3. 1 Solusi penyelesaian untuk kecepatan aliran ( ).
(a)
(b)
Gambar 3.2 Solusi untuk kecepatan aliran ( ) saat (a) dan saat
(b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Jadi, setiap iterasi pada persamaan (3.39) diatas jika dijumlahkan akan
menghasilkan suatu deret, yaitu:
( ) ( )
atau
atau
( ) (3.40)
Akibatnya, diperoleh solusi eksak sebagai berikut:
(3.41)
dengan | | atau jaminan kekonvergenan solusi eksak tersebut yaitu
.
C. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Air
Dangkal
Dipandang persamaan gelombang air dangkal (PGAD) adalah sebagai
berikut:
(
)
(
) (
) (3.42)
dengan , , dan memenuhi kondisi awal
( ( )
( )) (
( )
( )) (3.43)
dengan ( ) adalah ketinggian air dari permukaan air hingga dasar tanah,
( ) adalah kecepatan fluida, dan ( ) adalah kedalaman air dari permukaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
air hingga dasar tanah saat air dalam keadaan diam. Variabel independen dan
secara berturut-turut menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu.
Persamaan (2.1) dapat ditulis ke bentuk yang lebih sederhana, yaitu:
( ) ( ) ( ) ( ) (3.44)
dengan
( ) ( ( )
( )) ( ) (
) ( ) (
( )) (3.45)
Untuk menyelesaikan PGAD dengan menggunakan MDA, maka persamaan di
atas akan ditulis sebagai berikut:
(3.46)
dan
( ) (3.47)
dengan nilai awal:
( ) ( )
dan
( ) ( )
Misalkan
dan
sehingga persamaan (3.46) dan (3.47) ditulis
sebagai berikut:
dan
( )
Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua sisi persamaan di atas maka
diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
(3.48)
dan
( ) (3.49)
Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )
pada persamaan (3.48) maka
diperoleh:
( ) ( )
atau
( ) ( )
atau
( ) ( ) ( )
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk dan pada persamaan
diatas akan diubah menjadi:
( ) ( ) ( ).
Misalkan ( )dan ( ), sehingga diperoleh:
( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.50)
Selanjutnya, dengan menggunakan operasi ∫ ( )
pada persamaan (3.49)
maka diperoleh:
( ) ( )
( )
atau
( ) ( ) ( )
karena ( ) ( ),maka
( ) ( ) ( ( ) [ ])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
untuk memudahkan perhitungan, maka bentuk pada persamaan diatas akan
diubah menjadi:
( ) ( ) ( ( ) [ ])
Misalkan ( ), maka:
( ) ( ) ( ( ) [ ( )]) (3.51)
Berdasarkan hasil penurunan persamaan (3.46) dan (3.47) dengan MDA
,maka diperoleh:
( ) ( ) [ ( ) ( )] (3.52)
dan
( ) ( ) ( ( ) [ ( )]) (3.53)
dengan:
( )
( )
( )
Misalkan ( ) ∑ ( ) , ( ) ∑ ( )
dan
( ) ∑
( ) ∑
( ) ∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dengan , , dan adalah bentuk polinomial Adomian. Ketiga permisalan
diatas akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.52) dan (3.53) untuk
memperoleh solusi ( ) dan ( ).
Untuk mencari solusi ( ), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan
di atas, sehingga di peroleh:
( ) ( ) [∑
∑
]
Karena ∑ dan ∑
, maka:
( ) ( )
[( )
( )]
Sehingga diperoleh:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Lalu untuk mencari solusi ( ), maka akan disubsitusikan ketiga permisalan di
atas, sehingga di peroleh:
( ) ( ) ( ( ) [ ∑ ( )
∑
])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
karena ∑ dan ∑
, maka:
( ) ( )
( ( )
[ ( ) ( )])
sehingga diperoleh:
( )
( )
( ( ) [ ])
( )
( ( ) [ ])
( )
( ( ) [ ])
( )
( ( ) [ ])
( )
( ( ) [ ])
Diketahui bahwa ( ) ∑ , maka:
( )(
)
Sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Karena diketahui ( ) ∑ , maka:
( )(
)
Sehingga diperoleh:
Dan karena diketahui ( ) ∑ , maka:
( )(
)
Sehingga diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam PGAD, maka diperoleh
penyelesaian sebagai berikut:
( ) ( )
dan
( ( ) [ ])
dengan kondisi awal:
( ) ( )
dan
( ) ( )
Sehingga solusi penyelesaian untuk ( ) dan ( ) adalah sebagai berikut:
( )
dan
( )
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
( ) ∑ ( )
dan
( ) ∑ ( )
Untuk lebih memahami mengenai penerapan MDA dalam PGAD maka
akan diperlihatkan sebuah contoh. Dengan mengacu pada persamaan (3.44) dan
(3.45) maka dipandang
( )
dengan ketinggian awal dan kecepatan awal dari air secara berurut-urut ditentukan
oleh:
( ) ( ) ( )
( )
dan
( ) ( )
Dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk ketinggian air
( ) dan kecepatan fluida ( ) dapat dihitung. Solusi untuk ketinggian air
( ) adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
( )
( ) ( ) (
(
)
( )
( ) ( ))
(
( )) (
( ) ( )
( ) ( ( ) ) )
dan solusi untuk kecepatan fluida ( ) adalah sebagai berikut:
( ) ( )
(
(
)
( ) )
Karena diketahui ( ) ∑ ( ) dan ( ) ∑ ( )
maka
solusi pendekatan suku ke 3 untuk ( ) dan ( ) secara berurut-urut adalah
dan . Sehingga ilustrasi solusi pendekatan
untuk ( ) dan ( ) dapat dilihat pada gambar 3.3, gambar 3.4, dan gambar
3.5 di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
(a)
(b)
Gambar 3. 3 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( ) (a) dan kecepatan
fluida ( ) (b).
(a)
(b)
Gambar 3.4 Solusi penyelesaian untuk ketinggian air ( ) saat (a) dan
saat (b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
(a)
(b)
Gambar 3.5 Solusi penyelesaian untuk kecepatan fluida ( ) saat (a) dan
saat (b)
D. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Gravitasi
Dipandang persamaan gelombang gravitasi adalah sebagai berikut:
(3.54)
dengan nilai awal:
( )
dan
( )
dengan merupakan kedalaman air, merupakan debit air, dan merupakan
percepatan gravitasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Untuk menyelesaikan persamaan gelombang gravitasi dengan menggunakan
MDA, maka persamaan (3.54) akan ditulis sebagai berikut:
(3.55)
dan
( ) (3.56)
Misalkan
dan
sehingga persamaan (3.55) dan (3.56) ditulis
sebagai berikut:
dan
( )
Dengan mensubsitusikan operasi pada kedua persamaan di atas maka
diperoleh:
(3.57)
dan
( ) (3.58)
Lalu, dengan menggunakan operasi ∫ ( )
pada persamaan (3.57) maka
diperoleh:
( ) ( )
atau
( ) ( )
karena ( ) , maka:
( ) (3.59)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Dengan langkah yang sama yaitu menggunakan operasi ∫ ( )
pada
persamaan (3.58) maka diperoleh:
( ) ( ) ( )
atau
( ) ( ) ( )
karena ( ) , maka:
( ) ( ) (3.60)
Sehingga diperoleh persamaan baru yaitu sebagai berikut:
( )
( ) ( )
(3.61)
(3.62)
Misalkan:
( ) ∑
( ) ∑
∑
Maka ( ) dan ( ) akan disubsitusikan ke dalam persamaan (3.61),
sehingga diperoleh:
( ) (∑
)
karena ∑ maka diperoleh:
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
atau
( )
karena ( ) ∑ , sehingga diperoleh:
Selanjutnya dengan mensubsitusikan ( ) dan ke dalam persamaan (3.62),
diperoleh:
( ) (∑
)
karena ∑ maka diperoleh:
atau
( )
karena ( ) ∑ maka diperoleh:
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Diketahui bahwa ∑ , sehingga
( )(
)
Maka dapat dihitung sebagai berikut:
Berdasarkan hasil dari penggunaan MDA ke dalam persamaan gelombang
gravitasi, maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut:
(3.63)
Sehingga penyelesaian untuk ( ) dan ( ) adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
( )
( )
dengan
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
Dipandang nilai awal untuk kedalaman air dan debit air secara berturut-turut
adalah sebagai berikut:
( )
( )
dan
( )
Dengan adanya nilai awal, maka pendekatan suku ke- dari kedalaman air dan
debit air dapat ditentukan dengan menggunakan skema persamaan (3.63).
Lalu dengan menggunakan program MAPLE, maka solusi untuk kedalaman air
adalah sebagai berikut:
(
)
( ) ( )
( ) ( ( ) )
Solusi untuk unit-discharge adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
(
)
(
)
( ) ( )( ( ) ( )
( ) ( ( ) ) )
( ) ( ( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ))
Diketahui bahwa ( ) ∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk
kedalaman air adalah dan diketahui bahwa ( )
∑ , sehingga pendekatan suku ke-4 untuk unit-discharge adalah
Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk ( ) dan ( ) dapat
dilihat pada gambar 3.6, gambar 3.7, dan gambar 3.8 di bawah ini
(a)
(b)
Gambar 3. 6 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( ) (a) dan
debit air ( ) (b).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
(a)
(b)
Gambar 3.7 Solusi penyelesaian untuk kedalaman air ( ) saat (a) dan
saat (b).
(a)
(b)
Gambar 3.8 Solusi penyelesaian untuk debit air ( ) saat (a) dan saat
(b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
E. Metode Dekomposisi Adomian untuk Persamaan Gelombang Kinematik
Di pandang persamaan gelombang kinematik adalah sebagai berikut:
(3.64)
dengan nilai awalnya:
( )
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear, dengan
( ) menyatakan ketinggian air dan variabel dan secara berturut-turut
menyatakan jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan mengaplikasikan
MDA ke persamaan ini, maka dengan memisalkan
sehingga persamaan
(3.64) ditulis sebagai berikut:
atau
(3.65)
Dengan mensubsitusikan operasi ke dalam persamaan (3.65), maka
diperoleh:
Lalu dengan menggunakan operasi ∫ ( )
pada persamaan (3.65), maka
diperoleh:
( ) ( )
atau
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
karena ( ) , maka persamaan di atas menjadi:
( )
Misalkan ( ) ∑ dan
∑ , lalu akan disubsitusikan ke
persamaan di atas sehingga diperoleh:
( ) (∑
)
karena ∑ maka diperoleh:
( ) ( )
atau
( )
Karena ( ) ∑ , maka :
Diketahui bahwa
∑ , maka :
(
)(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
sehingga dapat dihitung sebagai berikut:
(3.65)
Dengan menggunakan pendekatan suku ke- , maka dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut,yaitu:
∑
(3.66)
Dengan menggunakan program MAPLE, diperoleh:
Diketahui bahwa ( ) ∑ , sehingga pendekatan suku ke-3 ( )
adalah . Maka ilustrasi solusi pendekatan untuk ( ) dapat
dilihat pada gambar 3.9 dan gambar 3.10 di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Gambar 3.9 Solusi penyelesaian untuk ( ).
(a)
(b)
Gambar 3.10 Solusi penyelesaian untuk ( ) saat (a) dan saat .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
BAB IV
KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
Pada bagian ini akan dibahas mengenai konvergensi metode dekomposisi
Adomian. Yang akan dibahas yaitu mengenai bukti konvergensi baru dari metode
Adomian yang didasarkan pada sifat-sifat deret konvergen. Dan pada akhirnya
akan disimpulkan beberapa hasil kecepatan konvergensi dari metode ini yang
memungkinkan dapat menyelesaikan persamaan nonlinear.
A. Perumuman dan Hipotesis Metode Dekomposisi Adomian
Pertama, akan diingatkan kembali mengenai prinsip utama metode Adomian
yaitu dipandang persamaan fungsional nonlinear umum berikut:
( ) (4.1)
dengan dan secara berturut-turut adalah operator nonlinear dan suatu fungsi
yang diberikan.
Metode Adomian memungkinkan untuk memperoleh solusi dari persamaan
(4.1) sebagai deret berhingga ∑ dengan menggunakan skema berulang
seperti yang ditulis dibawah ini:
( )
( )
(4.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
dengan adalah polinomial Adomian.
Untuk menentukan konvergensi dari metode dekomposisi Adomian adalah
dengan melihat 2 hipotesis berikut, yaitu:
1. Solusi untuk ditentukan sebagai deret fungsi yaitu ∑ .
Selain itu, deret konvergen mutlak yaitu ∑| | .
2. Fungsi nonlinear ( ) terdapat dalam setiap deret dengan radius
konvergensi sama dengan infinity. Dengan kata lain:
( ) ∑ ( )( )
| | (4.3)
Hipotesis ini hampir selalu memenuhi dalam masalah fisis yang konkret.
B. Teorema Konvergensi
Pada bagian ini akan dibahas mengenai teorema konvergensi dan
pembuktiannya.
Teorema 4.1
Berdasarkan hipotesis 1 dan 2, deret Adomian ∑ merupakan
solusi untuk persamaan (4.1) dan memenuhi persamaan (4.2).
Bukti
Hipotesis 2 menjamin bahwa deret ∑ ( )( )( ) konvergen untuk
sembarang . Lalu, diketahui bahwa ∑ konvergen mutlak dan oleh
karena itu, dapat disubsitusikan dalam ∑ ( )( )( ). Sehingga diperoleh:
( ) ∑ [ ( )( )(∑
)
]
(4.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Karena ∑ | | berkonvergensi mutlak, maka ( ) dapat ditulis
kembali dalam bentuk ∑ . Dan karena ∑ konvergen mutlak, maka
diperoleh:
(∑
)
∑ ( )
dengan hanya bergantung pada . Selain itu, diperoleh bahwa
∑ | |
.
Deret pada persamaan (4.4) adalah konvergen mutlak karena:
( ) ∑[ ( )( )
∑ ( )
] ∑∑ ( )( )
(4.5)
Dengan mengambil nilai mutlak untuk ( ), maka:
| ( )| ∑ | ( )( )
|
dengan deret ∑ |( ( )( )) | konvergen yang disebabkan oleh hipotesis 2.
Berdasarkan penjelasan diatas maka deret ganda ( ) konvergen mutlak
dan dengan demikian deret pada persamaan (4.5) dapat dibentuk kembali.
Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan bahwa:
∑ ( ) ∑( )
( )( ) ( )
(4.6)
yang membuktikan bahwa deret Adomian ∑ merupakan perumuman dari deret
Taylor. Hal ini membuktikan bahwa memenuhi persamaan (4.2) diatas.
Dengan mensubsitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.1) maka
diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
∑ ∑
(4.7)
Persamaan (4.7) di atas dipenuhi jika . Hal ini
mengakibatkan adanya hubungan Adomian dalam persamaan (4.2). Teorema
terbukti.
C. Kecepatan Konvergensi
Untuk menunjukkan kecepatan konvergensi dari MDA adalah dengan
menggunakan lemma beserta buktinya di bawah ini.
Lemma 4.1
‖ ‖ dan ‖ ( )( )‖ dengan suatu variabel bebas, maka ∑
merupakan suatu solusi pendekatan persamaan fungsional. Jika deret lengkap
diganti dengan deret terpotong yang melibatkan suku ( ), maka galatnya
sama dengan .
Bukti
Metode Adomian memberikan hasil yang sangat baik bahkan jika diambil
deret terpotong dengan banyaknya suku yang sedikit. Hasil tersebut diperoleh dari
analogi deret Adomian dan deret Taylor. Sehingga, diperoleh:
∑ ∑ ∑ ( )( )
(∑
)
(4.8)
Dipandang deret terpotong (∑ ) untuk solusi pendekatan (
∑ ), maka untuk menghitung galat adalah dengan menggunakan bentuk
dibawah ini, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
|∑
∑
| | ∑
| |∑
| |∑ ( )( )
(∑
)
|
∑ | ( )( )
(∑
)
|
∑| ( )( )|
|∑
|
∑| ( )( )|
(∑| |
)
∑| ( )( )|
(4.9)
dengan ∑ | | .
Misalkan bahwa ( )( ) dibatasi dalam norm oleh suatu konstanta ,
variabel bebas , dan bahwa juga dibatasi dalam norm oleh suatu , maka galat
yang diberikan dibatasi oleh:
(4.10)
dengan dan secara beturut-turut adalah suatu konstanta posisitif dan suatu
bilangan bulat positif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
BAB V
PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan mengenai pembahasan pada bab-bab
sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Telah dilihat bahwa metode dekomposisi yang ditulis oleh G. Adomian dapat
menyelesaikan persamaan nonlinear. Dalam tugas akhir ini penulis menyelesaikan
persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA tersebut.
Penyelesaian dengan menggunakan MDA ini didukung dengan teori-teori dasar
seperti persamaan diferensial, turunan, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin
serta konsep konvergensi deret Taylor.
Dalam tugas akhir ini terlihat bahwa MDA dapat menyelesaikan persamaan
Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan
persamaan gelombang kinematik. Metode ini merupakan metode yang sangat
sederhana dengan bantuan polinomial Adomian. Dalam tugas akhir ini penulis
menggunakan cara yang sangat sederhana dan dapat mempermudah dalam
menghitung polinomial Adomian yang didasarkan pada aljabar, identitas
trigonometri, dan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi
yang eksak sebagai deret takhingga dari fungsi. Cara termudah dalam mencari
solusi eksak adalah dengan menggunakan deret terpotong. Deret terpotong yang
dihasilkan tersebut merupakan solusi pendekatannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Terlihat bahwa penggunaan MDA pada keempat persamaan di atas
memperoleh solusi eksak sehingga deret yang diperoleh konvergen sangat cepat
ke solusi eksak tersebut dan galat pemotongannya dapat dihitung. Sehingga, deret
terpotong yang biasanya melibatkan beberapa suku merupakan solusi pendekatan.
Solusi pendekatan ini secara eksplisit bergantung pada variabel ruang dan waktu.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas mengenai penyelesaian
MDA untuk persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Penulis berharap
kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini dengan menggunakan metode lain
yang mungkin memberikan hasil yang lebih baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
DAFTAR PUSTAKA
Adomian, G. (1988). A review of the decomposition method in applied mathematics.
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 135 (2): 501-544.
Adomian, G. (1998). Solution of nonlinear partial diferential equations.
Applied Mathematics Letters, 11 (3): 121-123.
Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). Construction of solutions for the shallow water
equations by the decomposition method. Mathematics and Computers in
Simulation, 66 (6): 479-486.
Bermudes, A. Dan Vasquez, E.M. (1994). Upwind methods for hyperbolic conservation
laws with source terms. Computation Fluids, 23 (8): 1049-1071.
Cherruault, Y. and Adomian, G. (1993). Decomposition methods: a new proof of
convergence, Mathl. Comput. Modelling, 18 (12): 103-106.
Dawson, C. dan Mirabito, M.C. (2008). “The Shallow Water Equations”.
http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/dawson_v2.pdf/
Diakses tanggal 28 September 2015.
Dispini, M. and Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the
shallow water equations, AIP Conference Proceedings, 1746: 020055.
Martins, R., Leandro, J. and Djordjevic, S. (2016). Analytical solution of the classical
dam-break problem for the gravity wave-model equations, Journal of
Hydraulic Engineering, 142 (4): 06016003.
Mungkasi, S dan Dheno, M. F. S. (2016). Adomian decomposition method used to
solve the gravity wave equations. International Conference on Engineering,
Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceeding.
Ross, S.L. (1984). Differential Equations. New Delhi: John Wiley and Sons, Inc.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Person
Education.
Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equation Method and Applications.
Berlin : Springer.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Lampiran
Berikut ini adalah code program MAPLE untuk perhitungan persamaan
gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan
MDA.
1. Perhitungan untuk persamaan Burger
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD)
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
>
3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik
>
>
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI