plan des cours et des travaux pratiques

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    PLAN DES COURS

    ET DES TRAVAUX PRATIQUES

    COURS DE MATHMATIQUES (1" anne)

    M. CARTAN, Professeur.

    52 leons.

    ALGBRE

    Rvision des proprits des dterminants ; multiplication des dterminants. Equations linaires, quations homognes. Notions sur les formes linaires. Applications au volume d'un parallpipde, l'aire d'un paralllogramme ; conditions pour que trois vecteurs soient coplanaires.

    Nombres complexes : Oprations. Formule de Moivre. Racine carre. Rsolution de l'quation du second degr. Equations binmes. Rsolutions de l'quation du troisime degr : formule de Cardan ; cas irrductible.

    Thorme de d'Alembert (sans dmonstration). Racines multiples. Relations entre les coefficients et les racines. Somme des puissances semblables des racines : formule de Newton. Fonctions symtriques des racines ; produit des carrs des diffrences des racines.

    Elimination ; rsultant ; thorme de Bezout.

    Equations coefficients rels : Thorme des substitutions. Spa-ration des racines : suite de Rolle. Thorme de Descartes. Limite suprieure des racines.

    Rvision des mthodes d'approximation de Newton et des parties proportionnelles : calcul de la limite suprieure de l'erreur commise. Notions sur les mthodes graphiques de rsolution des quations.

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    Formule d'interpolation de Lagrange. Rvision de la thorie des sries termes constants. Sries dont

    les termes sont des fonctions continues ; continuit ; drivation. Sries entires, leurs proprits. Application au dveloppement de ex , ax , sin x, cos x, log (1+x). Fonctions hyperboliques et leurs inverses.

    GOMTRIE

    Rapport anharmonique ; notions sur l'homographie et l'involution ; divisions homographiques et faisceaux homographiques.

    Courbes du second degr. Rduction de l'quation du second degr. Classification des coniques. Centres, diamtres, axes. Thormes d'Ap-pollonius dans le cas de l'ellipse. Ples et polaires. Foyers, proprits du foyer et de la directrice.

    Tangente aux courbes planes ; cas d'une courbe y = f (x) ; cas d'une courbe f (x, yj = o ; cas d'une courbe dfinie paramtriquement. Concavit et convexit ; points d'inflexion.

    Asymptotes.

    Points doubles ; points de rebroussement. Coordonnes polaires : tg V ; concavit, points d'inflexion. Cons-

    truction des courbes en coordonnes polaires. Equation focale des coniques.

    Enveloppes des courbes planes. Dveloppes.

    Contact des courbes planes ; cercle osculateur. Longueur d'un arc de courbe ; courbure, calcul du rayon de

    courbure. Dveloppe comme lieu du centre de courbure ; dvelop-pante.

    Etude de quelques courbes remarquables : cyclode, chanette.

    Courbes gauches : tangente, plan osculateur. Surfaces : plan tangent ; tangente une courbe dfinie par l'inter-

    section de deux surfaces. Enveloppe d'une famille de surfaces dpendant d'un paramtre

    de deux paramtres. Enveloppe d'une famille de courbes dpendant d'un paramtre. Surfaces focales d'une congruence de courbes, d'une congruence de droites.

    Surfaces dveloppables, arte de rebroussement. Courbure et torsion des courbes gauches : formules de Frenet.

    Hlices. Dveloppes et dveloppantes. Classification des quadriques sur leurs quations rduites. Dia-

    mtres, plans diamtraux : axes, plans principaux. Dterminer les

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    axes d'une quadrique rapporte son centre. Sections circulaires de l'ellipsode. Gnratrices rectilignes de l'hyperbolode une nappe et du parabolode hyperbolique.

    Surfaces rgles : point central ; paramtre de distribution. Ligne de striction.

    Courbure des sections normales d'une surface. Courbure des courbes traces sur une surface. Thorme de Mesnier ; indicatrice de Dupin. Rayons de courbure principaux.

    Lignes asymptotiques, lignes conjugues; lignes decourbure; surfa-ces focales. Congruence des normales une surface: thorme de Malus.

    Lignes godsiques. Notions sommaires sur l'application des surfaces et la reprsen-

    tation conforme : cas de la sphre.

  • MCANIQUE RATIONNELLE (2e Anne)

    M. CARTAN, Professeur. 36 leons.

    I. CINMATIQUE Cinmatique du point. Mouvement rectiligne et mouvement

    curviligne ; vitesse et acclration ; acclration tangentielle et acc-lration normale. Mouvement vibratoire simple. Composition des vitesses ; composition des acclrations.

    Cinmatique du solide. Mouvement de translation ; mouvement de rotation, mouvement hlicodal. Champ des vitesses dans le mouvement le plus gnral d'un corps solide ; mouvement instan-tan.

    Etude particulire du mouvement d'une figure plane de forme invariable. Centre instantan de rotation : ses proprits ; cyclode, picyclode et hypocyclode. Base et roulette. Cne de base et cne roulant dans le mouvement d'un corps solide ayant un point fixe.

    Reprsentation du mouvement instantan d'un corps solide par un systme de vecteurs. Rvision de la thorie des moments ; appli-cations cinmatiques.

    II. DYNAMIQUE DU POINT MATRIEL

    Statique du point. Force, composition des forces. Cas du point assujetti rester sur une courbe fixe ou sur une surface fixe, avec ou sans frottement.

    Dynamique du point. Principe fondamental de la dynamique ; loi d'inertie, systmes de rfrence galilens.

    Mouvement des projectiles, 1 sans tenir compte de la rsistance de l'air ; 2 en tenant compte de cette rsistance ; tude quantitative de ce second cas, quand le mouvement est vertical ; tude qualitative dans le cas gnral.

    Mouvement d'un point attir par un centre fixe suivant une force proportionnelle la distance ; cas d'une rsistance proportion-nelle la vitesse; cas d'une force perturbatrice priodique: rsonance.

    Thorme des forces vives. Notion de travail : champs de force ; champs de force conservatifs. Enoncs du thorme des forces vives ; applications.

    Thorme des moments cintiques. Force centrale : loi des aires. Mouvement d'un point attir par un centre fixe suivant une

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    force inversement proportionnelle au carr de la distance. Lois de Kpler.

    Pendule circulaire ; calcul de la dure des oscillations. Mouvement d'un point pesant mobile avec frottement sur un

    plan inclin. Pendule sphrique. Stabilit de l'quilibre : thorme de Lejeune-Dirichlet. Petits

    mouvements autour d'une position d'quilibre stable, par le principe de d'Alembert.

    Mouvement relatif. Force d'inertie d'entranement, force cen-trifuge compose. Equilibre relatif. Problme des deux corps.

    Mcanique terrestre, les axes ayant pour origine le centre de gravit de la Terre et des directions fixes : mares.

    Mcanique terrestre, les axes tant lis la surface terrestre. Dviation du fil plomb. Effets de la force centrifuge compose ; dviation des graves, direction des vents alizs ; pendule de Foucault.

    Stabilit de l'quilibre relatif ; ses proprits caractristiques. Proprits stabilisatrices de la force centrifuge compose.

    III. STATIQUE DES SYSTMES MATRIELS

    Forces de liaison : principe de l'galit de l'action et de la raction. Equations universelles d'quilibre. Liaisons sans frottement, liaisons parfaites. Principe des travaux

    virtuels. Calcul du travail lmentaire total des forces appliques un corps solide, des poids des diffrents points d'un corps pesant. Thorme de Torricelli. Statique du solide libre ou gn. Calcul des ractions. Systmes de corps solides ; mthode gnrale pour trouver les conditions d'quilibre.

    Applications du principe des travaux virtuels des cas o les liaisons ne sont pas parfaites : thorie de la balance.

    Frottement ; quilibre de l'chelle. Notions sommaires sur l'arc-boutement.

    Equilibre des fils flexibles ; tension en un point. Equations d'qui-libre. Chanette. Fil pesant de poids ngligeable ; fil passant sur un tambour fixe rugueux.

    Polygones funiculaires : ponts suspendus.

    IV. DYNAMIQUE DES SYSTMES MATRIELS

    Thorme du mouvement du centre de gravit : applications. Calcul des centres de gravit.

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    Thorme des forces vives. Calcul de la force vive d'un solide. Moments d'inertie ; ellipsode d'inertie. Thorme des forces vives dans le mouvement autour du centre de gravit. Applications la stabilit de l'quilibre. Applications aux systmes liaisons compltes: machine d'Atwood. Solide tournant autour d'un axe fixe sans frot-tement. Pendule compos.

    Applications du thorme du centre de gravit et du thorme des forces vives la dynamique des corps solides deux dimensions.

    Thorme des moments cintiques. Cas du mouvement d'un corps autour de son centre de gravit. Equations gnrales de la dynamique du solide.

    Solide ayant un point fixe ; axes permanents de rotation ; leur stabilit. Cas o l'ellipsode d'inertie relatif au point fixe est une sphre, un ellipsode de rvolution : pendule gyroscopique de Foucault.

    Equations d'Euler. Gyroscope; phnomnes gyroscopiques. Emploi des masses tournantes ; couple gyroscopique : ses proprits stabili-satrices.

    Notions sur le frottement au contact de deux corps ; cas o il y a glissement, cas o il n'y a pas de glissement. Cerceau.

    Notions sur les petits mouvements au voisinage d'une position d'quilibre stable : bipendule.

    Notions sur les percussions et les chocs. Pendule balistique, thorme de Carnot. Choc de deux sphres ; conservation de la force vive quand les sphres sont lastiques. Cas gnral.

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    CALCUL DIFFRENTIEL ET INTGRAL

    \l. LEBESGUE, Professeur.

    36 leons

    l re anne -1 ER semestre

    Nombres, valeurs approches, erreurs ; approximations succes-sives, limites, dveloppements asymptotiques. Infiniment petits et infiniment grands.

    Nombres relatifs des quantits ; fonctions de domaines ; nombres relatifs des qualits : fonctions de points ou de variables. Les deux op

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