planaritätsalgorithmus nach demoucron, malgrange und pertuiset

Planaritätsalgorithmus nach Demoucron, Malgrange und Pertuiset

Seminar Fortgeschrittene Konzepte der ProgrammierungSS 2008, Universität Bayreuth

Vortrag am 23.06.2008Martin Klinke

Inhalt

1.Was bedeutet Planarität anschaulich?

2.Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?

3.Kriterien für Planarität

4.Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen

21 2 3 4

Was bedeutet Planarität anschaulich?

1 2 3 4

Ein planarer Graph...

... lässt sich in der Ebene zeichnen, ohne dass sich Kanten überschneiden.

41 2 3 4

[2]

Nicht-planare Graphen...

... lassen sich dagegen nicht ohne Überschneidungen in der Ebene zeichnen.

51 2 3 4

[2]

Motivation: Warum mit Planarität beschäftigen?

1 2 3 4

Anwendungen von Planarität

71 2 3 4

[3]

[4]


•Entwurf elektrischer Schaltkreise

71 2 3 4

[3]

[4]


•Entwurf elektrischer Schaltkreise

•Übersichtliche Darstellung von Abläufen, z.B. Programmen, Projektaufgaben

71 2 3 4

[3]

[4]


81 2 3 4

Häuser

Gas Wasser Strom


•Menschen zu beschäftigen: Verbinde jedes Haus mit Gas, Wasser und Strom, ohne dass sich die Leitungen kreuzen...

81 2 3 4

Häuser

Gas Wasser Strom

Kriterien für Planarität

1 2 3 4

Definition: Graph

•Ein Graph G wird durch zwei Mengen beschrieben [5]:

•Knotenmenge V = {v1, v2, ..., vn}

•Kantenmenge E ⊆ V2

•Hier nur Betrachtung von

•schlichten ungerichteten und

•zweifach zusammenhängenden Graphen

101 2 3 4

Definition: Inzidenz, Adjazenz

•Ein Knoten v und eine Kante e = (u, v) sind zueinander inzident.

•Zwei Kanten e = (u, v) und f = (v, w) sind zueinander adjazent.

•Zwei Knoten u, v sind zueinander adjazent, wenn die Kante (u,v) existiert.

111 2 3 4

Definition: Einbettung

•Nach [1]: Ein Graph G ist einbettbar in einen Raum L, wenn eine Abbildung der Knoten und Kanten von G auf Punkte und Jordan-Kurven von L existiert, so dass gilt:• verschiedene Knoten werden auf verschiedene Punkte

abgebildet;•wenn ein Knoten inzident zu einer Kante ist, dann ist das

Abbild des Knotens ein Endpunkt des Abbildes der Kante;

•nicht-adjazente Kanten von G werden auf Kurven abgebildet, die sich nicht schneiden;

•adjazente Kanten werden auf Kurven abgebildet, die sich nur in einem Punkt schneiden; dieser Punkt entspricht dem Knoten, der Teil beider Kanten ist.

121 2 3 4

Stereographische Projektion

•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann.

131 2 3 4

[1]

Stereographische Projektion

•Ein Graph ist genau dann planar, wenn er in eine Kugeloberfläche eingebettet werden kann.

131 2 3 4

N

v

v‘

[1]

Euler-Formel - 1

•Nach Eulers Theorem (1758) [1] gilt für jeden zusammenhängenden planaren Graphen die Formeln - m + f = 2.

•n: Anzahl Knoten

•m: Anzahl Kanten

•f: Anzahl Flächen

141 2 3 4

Euler-Formel - 2

•Für jeden zusammenhängenden planaren (n,m)-Graphen G mit n ≥ 3 gilt die Ungleichungm ≤ 3n - 6.

151 2 3 4

K5

161 2 3 4

K5

K5

•K5 ist nicht planar

161 2 3 4

K5

K5

•K5 ist nicht planar

•n=5, m=10m ≤ 3n - 610 ≤ 9 ✘

161 2 3 4

K5

K3,3

171 2 3 4

K3,3

K3,3

•K3,3 ist nicht planar

171 2 3 4

K3,3

K3,3

•K3,3 ist nicht planar•n=6, m=9

m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔⇒ f = 5

171 2 3 4

K3,3

K3,3

•K3,3 ist nicht planar•n=6, m=9

m ≤ 3n - 6 bzw. 9 ≤ 12 ✔⇒ f = 5

•Bipartit ⇒ jede

Fläche muss von mind. 4 Kanten berandet sein ⇒ 2m ≥ 4f

bzw. 18 ≥ 20 ✘

171 2 3 4

K3,3

Algorithmus zur Erkennung und Einbettung von planaren Graphen

1 2 3 4

BegrifflichkeitenEin Graph G und seine Fragmente S1 bis S6 bzgl. eines Subgraphen G‘

191 2 3 4

[1]


321 54

9 10 11

678

G

191 2 3 4

[1]


321 54

678

F2

F1

G‘321 54

9 10 11

678

G

191 2 3 4

[1]


321 54

678

F2

F1

G‘321 54

9 10 11

678

G

321 4

9 10

S1

11

3S2

5 6

2

S3

8

1

S4

7

2

S5

6

4

S6

6

191 2 3 4

[1]

Definition: Fragment

•Nach [1]: Als Fragment S bzgl. G‘ bezeichnet man einen Subgraphen von G, bei dem es sich um einen der beiden folgenden Typen handelt:

•Eine Kante e = (u, v) ∈ E(G), so dass e ∉ E(G‘) und u, v ∈ V(G‘).

•Eine Zusammenhangskomponente von G - G‘ die durch alle Kanten (und ihre Enden) von G, die die Komponente mit G verbinden, erweitert wird.

201 2 3 4

Definition: Kontaktknoten

•Nach [1]: Ein Knoten v eines Fragments S bzgl. G‘ wird als Kontaktknoten bezeichnet, wenn v ∈ V(G‘).

321 54

678

G‘

211 2 3 4

321 4

9 10

S

Definition: α-Pfad

•Nach [1]: Einfacher Pfad L des Fragments S,

•der zwei verschiedene Kontaktknoten verbindet und

•keine weiteren Kontaktknoten enthält.

221 2 3 4

321 4

9 10

S

Definition: Zulässige Fläche

•Nach [1]: Eine zulässige Fläche für ein Fragment S bzgl. G‘ ist eine Fläche von G‘, die alle Kontaktknoten von S enthält.

•F(S): Menge aller zulässigen Flächen für S

231 2 3 4

321 54

678

F2

F1

G‘

11

321 4

9 10

S

F3

F4

Konkurrierende Fragmente

•Nach [1]: Zwei Fragmente S1 und S2 werden als konkurrierend bezeichnet, wenn

•θ = F(S1) ∩ F(S2) ≠ ∅ und

•zwei α-Pfade L1 ∈ S1, L2 ∈ S2 existieren, die nicht gleichzeitig in jede Fläche aus θ eingebettet werden können.

241 2 3 4

Der Algorithmus...

•basiert auf den Ideen von Demoucron, Malgrange und Pertuiset von 1964

•kann nicht nur auf Planarität testen, sondern liefert eine planare Einbettung, falls möglich

•arbeitet inkrementell

251 2 3 4

Algorithmus nach Demoucron [1]

261 2 3 4

1.Wähle einfachen Kreis C aus G und bette ihn in die Ebene ein, setze G‘ = C


261 2 3 4


2.Suche Flächen von G‘ und Fragmente bzgl. G‘. Wenn keine Fragmente vorhanden, dann G‘ ≅ G, d.h. G eingebettet ⇒ Ende


261 2 3 4



3.Existiert ein Fragment S ohne zulässige Fläche, dann ist G nicht-planar ⇒ Ende


261 2 3 4




4.Existiert ein Fragment S mit einer einzigen zulässigen Fläche F, dann zu Schritt 6, ansonsten zu Schritt 5


261 2 3 4





5.Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F


261 2 3 4





5.Wähle ein beliebiges Fragment S und davon eine beliebige zulässige Fläche F

6.Bette einen beliebigen α-Pfad L von S in F ein und ersetze G‘ durch G‘ ∪ L; gehe zu Schritt 2


261 2 3 4

Beispiel

271 2 3 4

4

65

1 2

3

•Durchlauf des Algorithmus anhand des dargestellten Ausgangsgraphen G

•Das Format für die Darstellung der Zwischenschritte stammt aus [6].

G

281 2 3 4

G‘ Flächen Fragmentezulässige Flächen

F1={∞, 456}F2={456}

F(S1)={F1, F2}F(S2)={F1, F2}

F1={∞, 456}F2={1456}F3={164}

F(S1)={F1, F2}

4

65 4

61

5

32

6

4

651

5

32

6

291 2 3 4

G‘ Flächen Fragmentezulässige Flächen

F1={∞, 2654}F2={265}F3={1465}F4={164}

F(S1)={F1, F2}

5

32

4

651

2

4

651

23

Aufwand

•Der Algorithmus nach Demoucron kann bestenfalls mit quadratischer Zeitkomplexität (O(n2)) implementiert werden. [5]

•Es existieren andere Algorithmen, die das Problem mit linearem Aufwand lösen.

301 2 3 4

Quellen

1.Lectures on Graph Theory, O. Melnikov, BI Wissenschaftsverlag 1994

2.http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/507planar.html, letzter Abruf: 08.06.2008

3.http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/, letzter Abruf: 08.06.2008

4.http://blog.keelit.com/2007/04/12/, letzter Abruf: 08.06.2008

5.http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008

6.http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf, letzter Abruf: 22.06.2008

311 2 3 4

http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/cs507/Projects/2004/Andrew-King/507planar.html




http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/

http://flickr.com/photos/hinkelstone/2435823037/

http://blog.keelit.com/2007/04/12/

http://blog.keelit.com/2007/04/12/

http://www.user.fh-stralsund.de/~pscheff/KonflikteVermeiden.pdf




http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf

http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/EWS/demoucron.pdf

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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