planejamento e otimização de experimentos - prof. anselmo · • selecionar um número fixo de...
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Planejamento e Otimização
de Experimentos Planejamentos Fatoriais
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
Fatores e Níves
Fatores ou Variáveis
• Temperatura
• Pressão
• Concentração
• Tempo
• Solvente
• Fluxo/Vazão
• Agitação/Rotação
• Catalisador
Níveis
• 25 e 50 oC
• 1, 5 e 10 atm
• ppm, % e m/v
• 1 min, 2 e 6 h
• Puro ou mistura
• 10 e 20 mL/h
• 100 e 200 rpm
• A, B, ...
• Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores)
• Experimentos com todas as combinações possíveis
– Exemplo
• n1 = 2
• n2 = 3
• n3 = 5
Fatorial 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 = 2 × 3 × 5 = 30 experimentos
𝑛1 = 𝑛2 = 𝑛3 = 2 Fatorial 23 = 8 experimentos
Exemplo: planta piloto
Variáveis Quantitativas
• Temperatura, T 160 oC (-)
180 oC (+)
• Concentração, C 20% (-)
40% (+)
Variáveis Qualitativas
• Catalisador, K A (-)
B (+)
• Resposta Rendimento químico
Variáveis
• T /oC • C /% • K
-
• 160 • 20 • A
+
• 180 • 40 • B
Níveis
• Fatorial 2N, com N o número de variáveis N = 3 Fatorial 23 8 experimentos
• Matriz de Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 160 20 A 60
2 180 20 A 72
3 160 40 A 54
4 180 40 A 68
5 160 20 B 52
6 180 20 B 83
7 160 40 B 45
8 180 40 B 80
• Distribuição Normal
– Amostra • aleatória
• representativa
• Planejamento Fatorial
• aleatoriedade
– experimentos realizados de modo aleatório
• representatividade
– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores
Matriz de Contrastes do Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
Rendimento 𝒚 /g
(1) 60
a 72
b 54
ab 68
c 52
ac 83
bc 45
abc 80
existem quatro medidas dos efeitos da temperatura
Efeitos Principais: Temperatura
Efeito de uma fator é a mudança na resposta quando passamos no nível - para o nível + desse fator
experimento C K 𝒚
- -
- -
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
T
-
+
1
2
diferença nos rendimentos depende apenas da temperatura
60
72
• Medidas individuais dos efeitos quando a temperatura muda de 160 para 180 oC
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
72 – 60 = 12
68 – 54 = 14
83 – 52 = 31
80 – 45 = 35
• Efeito principal da temperatura
aumentando a temperatura de 160 para 180 oC, o rendimento da reação aumenta 23 g, em média
𝑇 = 23
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
efeito mais acentuado
O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador
Sinergismo
Efeitos Principais: Concentração
• Medidas individuais dos efeitos quando a concentração muda de 20 para 40%
existem quatro medidas dos efeitos da concentração
experimento T K 𝒚
- -
2 + - - 72
- -
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
C
-
+
1
3
diferença nos rendimentos depende apenas da concentração
60
54
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔
𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒
𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕
𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑
• Efeito principal da concentração
aumentando a concentração de 20 para 40%, o rendimento da reação diminui 5 g, em média
𝑪 = −𝟓
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
−𝟔
−𝟒
−𝟕
−𝟑
os efeitos individuais da concentração não indicam efeito sinérgico
Efeitos Principais: Catalisador
• Medidas individuais dos efeitos quando o catalisador muda de A para B
existem quatro medidas dos efeitos do catalisador
experimento T C 𝒚
- -
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
- -
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
K
-
+
1
5
diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador
60
52
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖
𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏
𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗
𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = +𝟏𝟐
• Efeito principal do catalisador
a mudança do catalisador de A para B aumenta o rendimento da reação em 1,5 g, em média
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito sinérgico com a temperatura
-8
+11
-9
+12
Diferença entre duas médias
Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
• Efeito da temperatura
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
• Efeito da concentração
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
• Efeito do catalisador
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
• Efeitos principais
T = 23
C = -5
K = 1,5
Efeitos de interação
• Entre dois fatores T = 23, porém o efeito da temperatura é muito maior com o catalisador B do que com o A
variáveis temperatura e catalisador não se comportam aditivamente INTERAGEM
INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura com o catalisador A e com o catalisador B
Temperatura Catalisador
• Interação entre a temperatura e o catalisador, TK
experimento T C K
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
• Vimos que um efeito é uma diferença entre médias
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam os mesmos níveis
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam níveis diferentes
Temperatura Concentração
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam níveis diferentes
𝑻𝑪 = 𝟏, 𝟓
Concentração Catalisador
usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam níveis diferentes
𝑪𝑲 = 𝟎
Efeitos de interação
• Efeitos secundários TK = 10 TC = 1,5 CK = 0
efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador
efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador
Interação entre três fatores
• De modo similar ao que pode ser aplicado para o cálculo de qualquer efeito, o nível + para o efeito médio resulta dos produtos dos contrastes de cada fator, em cada experimento, com resultado +
• Idem para o nível –
- - + +
- - - -
• interação entre temperatura, concentração e catalisador
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
Representação Gráfica
+12
-9
+11 -8
-3
-4
-7
-6
+35
+14
+31
+12
(-) (+)
temperatura (oC) 160 180
(+)
(-) A
B
(-)
(+)
con
cen
tra
ção
(%
)
20
40
60 (1)
54 (3)
45 (7) 80 (8)
68 (4)
83 (6)
72 (2)
52 (5)
• Efeitos principais
• Interação entre dois fatores
• Interação entre três fatores
Interpretação dos Resultados
• Média = 64,25
• T = 23
• C = -5
• K = 1,5
• TC = 1,5
• TK = 10
• CK = 0
• TCK = 0,5
o efeito principal de uma variável deve ser interpretado individualmente apenas quando há evidência de que a variável não interage com outras variáveis
o efeito médio da concentração, C, é o de reduzir o rendimento em cerca de 5 g
• Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não podem ser avaliados separadamente devido à grande interação TK (= 10). – Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura
pelos dois catalisadores
(-)
(+)
cata
lisa
do
r
A
B
temperatura (oC)
(-) (+)
160 180
48,5 81,5
57 70 +13
+33
-8,5 +11,5
A troca do catalisador A por B, a 160 oC, levará a conclusões diferentes se esse mesmo experimento for conduzido a 180 oC: • 160 oC: A melhor que B • 180 oC: B melhor que A
• The regression model representation 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝜖
– The variables 𝑥1 and 𝑥2 are defined on a coded scale from −1 to +1 (the low and high level of A and B), and 𝑥1𝑥2 represents the interaction between 𝑥1 and 𝑥2
– The parameter estimates in this regression model turn out to be related to the effect estimates • Ex: A = 21, B = 11, AB = 1, and Mean = 35.5
𝛽 1 = 21/2, 𝛽 2 = 11/2, 𝛽 12 = 1/2 and 𝛽 0 = 35.5 𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2 + 0.5𝑥1𝑥2
Since the interaction coefficient (𝛽 12 = 0.5) is small relative to the main effect coefficients 𝛽 1 and 𝛽 2
𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥1 + 5.5𝑥2
Surface plot Contour plot
>> X1 = -1:.1:1
>> X2 = X1
>> [x1,x2] = meshgrid(X1,X2);
>> y = 35.5 + 10.5*x1 + 5.5*x2;
>> surf(x1,x2,y)
>> xlabel("x1"); ylabel("x2"); zlabel("x3");
>> contour(x1,x2,y)
>> colorbar on
Cálculo dos Erros
• Efeitos significativos
– Variações entre os experimentos realizados nas mesmas condições experimentais
– Variabilidade total que afeta os experimentos realizados em diferentes condições experimentais
– Aleatoriedade da ordem de realização dos experimentos
• Experimento etapas 1
2
3
4 . . .
Repetição de um experimento genuíno
realização de todas as etapas, novamente
experimentos genuínos
n-ésima replicata do experimento i
graus de liberdade
Estimativa conjunta da variância
experimento y1 y2 𝒚 𝒊
1 59 61 60
2 74 70 72
3 50 58 54
4 69 67 68
5 50 54 52
6 81 85 83
7 46 44 45
8 79 81 80
𝒔𝒊𝟐
2
8
32
2
8
8
2
2
𝝂𝒊
1
1
1
1
1
1
1
1
8
𝝂𝒊𝒔𝒊𝟐
2
8
32
2
8
8
2
2
64
64
soma
8
com = 8 graus de liberdade
as replicatas também são realizadas de modo aleatório
𝒔𝟐 =𝟏
𝟖𝟔𝟒 = 𝟖
O que interessa é o erro dos efeitos
Efeito principal = 𝑦 + − 𝑦 −
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
Assumindo que os erros são independentes
• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)
• variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
usando s2 (= 8) como estimativa de s2
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 = 𝒔𝟐 𝒚 + ± 𝒚 − = 𝒔𝟐 𝒚 + + 𝒔𝟐 𝒚 −
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝝈𝟐
𝟖+
𝝈𝟐
𝟖=
𝝈𝟐
𝟒
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝟖
𝟒= 𝟐
Logo, o erro estimado para cada efeito é
Para a média, a variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
N = 8 x 2 = 16
s = s = 2,8 (estimativa conjunta da variância)
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 = 𝟐 = 𝟏, 𝟒
𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂𝟐 =
𝟐, 𝟖
𝟏𝟔→ 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟕
M = 64,25 0,7
T = 23 1,4
C = -5,0 1,4
K = 1,5 1,4
TC = 1,5 1,4
TK = 10,0 1,4
CK = 0,0 1,4
TCK = 0,5 1,4
exceto T, C e TK os outros efeitos podem ser gerados por ruídos
Gráficos Normais
Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of Manufacturing Technology Management, Vol. 16 Iss: 1, pp.18 - 35
Analysis of Variance
Effects
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
(1)
-
-
-
+
+
+
-
a
+
-
-
-
-
+
+
b
-
+
-
-
+
-
+
c
-
-
+
+
-
-
+
ab
+
+
-
+
-
-
-
ac
+
-
+
-
+
-
-
bc
-
+
+
-
-
+
-
abc
+
+
+
+
+
+
+
23 factorial design: 𝑛 replicates
𝐴 =1
4𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
𝐵, 𝐶, …
𝑆𝑆𝐴 =1
8𝑛− 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 2
𝑆𝑆𝐵, 𝑆𝑆𝐶 , …
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙2
𝑛
𝑙=1
2
𝑘=1
2
𝑗=1
2
𝑖=1
−𝑦….
2
8𝑛
𝑆𝑆𝐸 is obtained by subtraction
exp A B C AB AC BC ABC y1 y2 Total 1 (1) -1 -1 -1 1 1 1 -1 59 61 120 2 a 1 -1 -1 -1 -1 1 1 74 70 144 3 b -1 1 -1 -1 1 -1 1 50 58 108 4 ab 1 1 -1 1 -1 -1 -1 69 67 136 5 c -1 -1 1 1 -1 -1 1 50 54 104 6 ac 1 -1 1 -1 1 -1 -1 81 85 166 7 bc -1 1 1 -1 -1 1 -1 46 44 90 8 abc 1 1 1 1 1 1 1 79 81 160
-120 -120 -120 120 120 120 -120 144 -144 -144 -144 -144 144 144 -108 108 -108 -108 108 -108 108 136 136 -136 136 -136 -136 -136 -104 -104 104 104 -104 -104 104 166 -166 166 -166 166 -166 -166 -90 90 90 -90 -90 90 -90 160 160 160 160 160 160 160
effect 23 -5 1.5 1.5 10 0 0.5 Total Error SS 2116 100 9 9 400 0 1 2699 64 DF 1 1 1 1 1 1 1 15 8 MS 2116 100 9 9 400 0 1 8 F 264.5 12.5 1.125 1.125 50 0 0.125
p-value 0.0000 0.00767 0.31981 0.31981 0.00010 0.73281
The Addition of Center Points to the 2k Design
• Assumption of linearity
• Interaction terms represent some curvature in the response function
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗
𝑗𝑖<
+ 𝜖
>> X1=-1:.1:1
>> X2=X1
>> [x1,x2]=meshgrid(X1,X2);
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2;
>> subplot(2,2,1),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x2;
>> subplot(2,2,2),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1;
>> subplot(2,2,3),surf(x1,x2,y)
>> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1-7*x2.*x2;
>> subplot(2,2,4),surf(x1,x2,y)
• When curvature is not adequately modeled by the first-order model
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
+ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗
𝑗𝑖<
+ 𝛽𝑗𝑗𝑥𝑗𝑗2
𝑘
𝑗=1
+ 𝜖
A method that will provide protection against curvature from second-order effect as well as allow an independent estimate of error to be obtained consists of adding center points to the 2k design
(- -) (+ -)
(- +) (+ +)
(0 0)
Suppose that the curvature test is significant so that we will have to assume a second-order model such as 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝛽12𝑥1𝑥2 + 𝛽11𝑥1
2 + 𝛽22𝑥22 + 𝜖
There are six parameters to estimate and the 22 design and center points have only five independent runs ⟹ augment the 2k design with four axial runs
Central Composite Design (CCD)
Blocagem
• Blocking
2 x 4
23 = 8 experimentos mistura homogênea
um reagente/material não é suficiente para a realização dos 8 experimentos
experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-
+
-
+
-
+
-
+
2
-
-
+
+
-
-
+
+
3
-
-
-
-
+
+
+
+
123
-
+
+
-
+
-
-
+
Bloco I 123 = -
experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
Bloco II 123 = +
experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
a idéia é confundir (confounding) a interação entre os três fatores, com a diferença nas misturas
variável 4 Blocagem
123 = 4
Operação Evolucionária (EVOP)
planta piloto
grande escala
condições ótimas
quando as mudanças não são grandes, ou bruscas
EVOP
pequenas mudanças no nível de operação das variáveis
2K pontos (centrado na melhor condição
experimental)
ciclo: após uma medida em cada
ponto vários ciclos
efeitos e interações podem apresentar
um efeito significativo na
resposta
mudar as condições de operação para
melhorar a resposta
fase é completada quando a melhoria
nas condições é completada
Planejamento Fatorial Fracionário
k fatores 2k experimentos
alguns efeitos são desprezíveis
fração dos 2k experimentos
• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou
o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos
principais e de interação
• Pode ser projetado em planejamentos maiores no
subconjunto dos fatores significativos
• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,
planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,
um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e
das combinações de interesse.
Redundância em um Planejamento
k = 7 27 = 128 experimentos
Quantos efeitos resultam?
combinações simples de n elementos tomados
k a k, sem repetição (elementos distintos)
𝑛𝑘
=𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
média = 1
efeitos principais (n = 7, k = 1)
efeitos secundários (n = 7, k = 2)
efeitos terciários (n = 7, k = 3)
n = 7, k = 4
n = 7, k = 5
n = 7, k = 6
n = 7, k = 7
128 efeitos
71
= 7
72
= 21
73
= 35
74
= 35
.
.
. 77
= 1
Redundância e o Número de Efeitos
• se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à redundância em um fatorial 2k
• Fatorial 23-1
– Três fatores, dois níveis
• 23 = 8 experimentos
– Possível: 4 experimentos
• 23-1 = 4 experimentos
experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-
+
-
+
-
+
-
+
B
-
-
+
+
-
-
+
+
C
-
-
-
-
+
+
+
+
ABC
-
+
+
-
+
-
-
+
I
+
+
+
+
+
+
+
+
experimento ABC
1 -
4 -
6 -
7 -
experimento ABC
2 +
3 +
5 +
8 +
Gerador
ABC gerador
• ABC = +
• ABC = -
• I = ABC : relação de definição
Efeitos p/ gerador I = ABC
efeitos principais
experimento
2 a
3 b
5 c
8 abc
I
+
+
+
+
A
+
-
-
+
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
-
-
+
+
AC
-
+
-
+
BC
+
-
-
+
ABC
+
+
+
+
efeitos de interação
não se pode diferenciar entre
– A e BC
– B e AC
– C e AB
• estimativas
o A = 𝓁A + 𝓁BC
o B = 𝓁B + 𝓁AC
o C = 𝓁C + 𝓁AB
ou
o 𝓁A A + BC
o 𝓁B B + AC
o 𝓁C C + AB
alias
Meia Fração
relação de definição I = ABC
multiplicando por A pela esquerda
A.I = A.ABC
A = A2BC A2 = I
A = BC
a meia fração I = +ABC é a fração principal
Efeitos p/ gerador I = -ABC
calcule os efeitos principais e os de interação
experimento
1 (1)
4 ab
6 ac
7 bc
I
+
+
+
+
A
-
+
+
-
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
+
+
-
-
AC
+
-
+
-
BC
+
-
-
+
ABC
-
-
-
-
Construção das meias frações: 23-1
1. Montar o planejamento completo 2k-1
fatorial 22
experimento A B
1 - -
2 + -
3 - +
4 + +
fatorial 23-1 ; I = ABC
A B C = AB
- - +
+ - -
- + -
+ + +
fatorial 23-1 ; I = -ABC
A B C = -AB
- - -
+ - +
- + +
+ + -
2. Adicionar o k-ésimo fator de
acordo com o gerador
Resolução
I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1
I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1
I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1
...
Em geral, é o tamanho da menor palavra na
relação de definição
Projeção de frações em fatoriais
Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução
R, contém planejamentos fatoriais completos em
qualquer subconjunto R-1 de fatores
existem vários fatores de interesse
potencial, mas acredita-se que apenas
R-1 desses fatores têm efeitos
importantes
fatorial fracionário de resolução R
Exemplo: velocidade de filtração
A = temperatura
B = pressão
C = concentração de formaldeído
D = taxa de agitação
resposta: velocidade de filtração (gal/h)
fatorial completo 24 = 16 experimentos
experimento 𝒚
(1) 45
a 71
b 48
ab 65
c 68
ac 60
bc 80
abc 65
d 43
ad 100
bd 45
abd 104
cd 75
acd 86
bcd 70
abcd 96
A = 21,625
C = 9,875
D = 14,625
AC = -18,125
AD = 16,625
• Planejamento Fatorial Completo 24
experimento A B C
1 - - -
2 + - -
3 - + -
4 + + -
5 - - +
6 + - +
7 - + +
8 + + +
D = ABC y
- 45 (1)
+ 100 ad
+ 45 bd
- 65 ab
+ 75 cd
- 60 ac
- 80 bc
+ 96 abcd
– efeitos principais
A.I = A.ABCD
A = A2BCD
A = BCD
B.I = B.ABCD
B = AB2CD
B = ACD
C.I = C.ABCD
C = ABC2D
C = ABD
D.I = D.ABCD
D = ABCD2
D = ABC
• 24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
– interações de dois fatores
AB.I = AB.ABCD
AB = A2B2CD
AB = CD
AC.I = AC.ABCD
AC = A2BC2D
AC = BD
AD.I = AD.ABCD
AD = A2BCD2
AD = BC
fatorial 23 = 7 efeitos
o 3 principais
o 3 de 2ª ordem
o 1 de 3ª ordem
fatorial 24-1 = 7 efeitos
o 4 principais
o 3 de 2ª ordem
estimativa do efeito principal A
estimativa do efeito de interação AB
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
𝓁A = 19
𝓁B = 1,5
𝓁C = 14
𝓁D = 16,5
𝓁AB = -1
𝓁AC = -18,5
𝓁AD = 19
como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca interação
entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD
Fatorial 24
• A = 21,625
• C = 9,875
• D = 14,625
• AC = -18,125
• AD = 16,625
Assim, tem-se um fatorial 24-1 projetado em um
fatorial 23, com os fatores A, C e D
(-) (+)
A
(+)
(-)
D (-)
(+)
C
45
80
75 96
60
100
65
45
AC: A(-) A(+)
• C(-) 45 65
• C(+) 80 60
AD: A(-) A(+)
• D(-) 45 65
• D(+) 45 100
com base na tabela do
planejamento, como fica
o cubo de respostas?
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
• Modelo
𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 𝐴𝐴 + 𝛽 𝐶𝐶 + 𝛽 𝐷𝐷 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐶 + 𝛽 𝐴𝐷𝐴𝐷
𝑦 = 𝛽 0 + 𝛽 1𝑥1 + 𝛽 3𝑥3 + 𝛽 4𝑥4 + 𝛽 13𝑥1𝑥3 + 𝛽 14𝑥1𝑥4
𝑦 = 70.75 +19
2𝑥1 +
14
2𝑥3 +
16.5
2𝑥4 −
18.5
2𝑥1𝑥3 +
19
2𝑥1𝑥4
𝑦 = 70.75 + 8.5𝑥1 + 7𝑥3 + 8.25𝑥4 − 9.25𝑥1𝑥3 + 9.5𝑥1𝑥4
>> x1=-1:.1:1;
>> x3=x1; x4=x1;
>> [X1,X3,X4]=meshgrid(x1,x3,x4);
>> Y=70.75+8.5*X1+7*X3+8.25*X4-9.25*X1.*X3+9.5*X1.*X4;
>> slice(X1,X3,X4,Y,[-1. 1.],[-1. 1.],[-1. 1.])
>> xlabel("X1-Temperatura");
>> ylabel("X3-Concentracao Formaldeido");
>> zlabel("X4-Taxa de Agitacao");
>> colorbar on
Velocidade de filtração
(gal/h)
Fatorial Fracionário 2k-p
2k-p experimentos = 1
2𝑝 fração do planejamento 2k
2k-2 experimentos = 1
22=
1
4 fração de 2k
• p geradores independentes
• a relação de definição completa consiste de todas as
colunas que são iguais à coluna identidade, I
ex: k = 6, p = 2 26-2
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF
𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF • para A
A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF
A = A2BCE = ABCDF = A2DEF
A = BCE = ABCDF = DEF
• para AB
AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF
AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF
AB = CE = ACDF = BDEF
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
experimento A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
E = ABC F = BCD
- -
+ -
+ +
- +
Summary tables of useful fractional factorial designs
Geradores