planifica seminario ii (2)

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Planificación: Función Polinómica. Función Racional. Casos particulares: Función lineal. Análisis y Representación Gráfica.

Dirigido a alumnos de 3° año de Educación Secundaria, Ciclo Básico (1er año de Polimodal).

Objetivo General:

Como objetivo general se pretende que los alumnos puedan reconocer la expresión de una función polinómica, de una función racional e identificar la expresión funcional de una función lineal o función polinómica de grado 1, sus elementos característicos, las diferentes expresiones de una función lineal y la representación gráfica de la misma.

Objetivos Específicos:

Como objetivos específicos se pretende que los alumnos sean capaces de distinguir una función polinómica de un polinomio, comprendiendo la diferencia entre ambos objetos matemáticos y poder individualizarlos, comprender la forma de una función racional, modelar situaciones problemáticas aplicando la función lineal, determinar analítica y gráficamente las características de una función lineal y analizar situaciones problemáticas en función de la representación gráfica de la función lineal.

Contenidos Previos:

Números Reales. Propiedades y Operaciones. Concepto de Función. Dominio e Imagen. Operaciones con funciones. Polinomios a coeficientes reales. Operaciones con polinomios. Coeficiente y grado de

polinomios. Factorización de polinomios: Factor común. Diferencia de cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto. Teorema fundamental de la Aritmética (T.F.A). Especialización o valor numérico de un polinomio. Raíces de un polinomio a coeficientes reales. Orden de Multiplicidad de las raíces. Regla de Ruffini. Teorema de Gauss.

Expresiones Algebraicas. Representación de funciones por medio de tablas. Proporcionalidad. Escala. Representación de coordenadas cartesianas. Intersecciones con los ejes coordenados. Noción intuitiva de punto, recta.

Contenidos Conceptuales:

Función Polinómica. Definición. Diferenciación con polinomios. Forma general. Análisis de gráficos de funciones polinómicas. Intersección con los ejes

coordenados.

Ganga Leonel, Pazcel Ana Laura Página 1

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Reconocimiento y utilización de la información explícita e implícita en la expresión de la función polinómica a la hora de realizar la gráfica. Aplicación de las cuatro operaciones en polinomios.

Función racional. Definición. Función Lineal. Definición. Elementos que caracterizan una función lineal. Representación gráfica de una función lineal. Ecuación explícita de la recta. Determinación de la gráfica mediante la identificación de la pendiente y la ordenada al

origen.

Contenidos Procedimentales:

Correcta interpretación de enunciados y modelización de situaciones problemáticas. Traducción de enunciados del lenguaje coloquial al simbólico. Representación gráfica de funciones lineales. Determinación, gráfica y analítica, de los elementos más importantes de una función

lineal. Resolución, analítica y gráfica, de ecuaciones de 1° grado. Diferente interpretación y representación de funciones lineales.

Contenidos Actitudinales:

Disposición hacia el trabajo grupal e individual, con disciplina y prolijidad. Participación y respeto hacia opiniones ajenas. Valoración de la aplicabilidad del concepto de función polinómica, racional y lineal y

aprecio por la utilización de vocabulario adecuado.

Bibliografía:

Canals Frau, Cristina. Lógica y Teoría de Conjuntos – Introducción a la Matemática, Apuntes de Cátedra, Lic. Y Prof. De Matemática. Funciones. Año 2007.

Berman, Andrea; López, Alicia y otros. Matemática III, Santillana Prácticas. Editorial Santillana. Páginas 60-73. Año 2010.

Berio, Adriana; D’Albano Carina y otros. Matemática 9, En Estudio. Editorial Puerto de Palos. Páginas 58-63. Año 2005.

Salpeter, Claudio. Pitágoras 8, Educando en valores del área. Editorial SM. Páginas 108-113. Año 2005.

Turano, Claudio; Abdala, Carlos y otros. Carpeta de Matemática IV, Cuadernillo 1. Editorial Aique. Páginas 19-26. Año 2008

Spivak, Laura; Latorre María Laura y otros. Matemática 8 EGB. Editorial Santillana. Páginas 88-90. Año 1998.


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Gestión de la Clase:

Se comenzará la clase estableciendo la relación existente entre polinomios y función polinómica y marcando sus diferencias. Para ello el docente introducirá este último tema de la siguiente manera:

D:- Hasta el momento hemos estado trabajando con todo lo referido a polinomios y a sus características.

Ahora vamos a definir una función cuya expresión algebraica es un polinomio. Entonces podríamos decir que todo polinomio tiene asociada una función, esto es:

Si p (t )=an tn+an−1 t

n−1+...+a1 t+a0 f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+...+a1 x+a0 donde ahora

llamaremos variable de la función a la indeterminada del polinomio asociado, y esta tomará valores en el cuerpo en el que se trabajó con polinomios; esto es: Si trabajamos con polinomios a coeficientes en el cuerpo de los reales, entonces f estará definida de los reales en los reales.

A este tipo de función, la llamaremos “función polinómica de grado n”, donde n es el grado del polinomio asociado.

Entonces escriban ahora la definición formal de función polinómica:

Observación: Será importante que el docente aclare que la relación establecida en la introducción entre polinomios y función no es una correspondencia biunívoca, esto es deberá explicar que no es posible asociar siempre un polinomio a una función cualquiera.

f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+...+a1 x+a0 p (t )=an tn+an−1 t

n−1+...+a1 t+a0

Momento de Formulación y Momento de Acción:

Luego, el docente entregará una actividad a los alumnos para ser trabajada de manera individual o con el compañero, el objetivo de la misma será el de recordar y fijar propiedades de las operaciones entre funciones y descubrir lo que ocurre con el caso particular de las funciones polinómicas.

Actividad 1

En un campo producen manzanas verdes y rojas. La producción total de manzanas de 2008 puede

expresarse con la formula: M (x )=25x3+x , donde M es la cantidad de manzanas (expresada en


“Llamaremos función polinómica de grado n a la función f :R→R definida por:

f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+...+a1 x+a0, donde a i∈R, an≠0 y n∈Z ,n≥0”

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toneladas y x es el tiempo (medido en meses). La producción de manzanas verdes puede

expresarse con la formula: MV ( x )= 110x3+ 1

4x

a) ¿Cuántas toneladas de manzanas rojas y verdes se produjeron en los 5 primeros meses del año 2008?. Completen la tabla con esa información:

Tiempo (meses) Total Manzanas (en toneladas)

Manzanas verdes (en toneladas)

Manzanas rojas (en toneladas)

12345

b) ¿Con qué formula puede expresarse la producción de manzanas rojas? c) En 2009 la producción total de manzanas se duplicó y la de manzanas verdes se redujo a la

mitad de lo producido en 2008. ¿Con qué formula se expresa la reducción de manzanas rojas del año 2009?

Momento de validación:

Se realizará la puesta en común en el pizarrón donde un representante de cada grupo expondrá lo resuelto justificando cada paso.

Momento de Institucionalización:

Finalmente el docente formalizará con la siguiente explicación:

D:- En el ítem a) hemos visto que la producción de manzanas rojas la obtenemos como la diferencia entre la producción total de manzanas y la producción de manzanas verdes, que son los datos que nos proporciona el problema. Entonces esto podríamos expresarlo como:

MR=M−MV

Si evaluamos estas cantidades en el tiempo, será:

MR ( t )=(M−MV )(t)

Pero como M y MV son funciones, entonces por las propiedades de operaciones de las funciones que ya conocemos, podemos escribir:

MR ( t )=M (t )−MV (t)

Luego, reemplazando por sus respectivas fórmulas, vamos a obtener:


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MR ( t )=( 25 x3+x )−( 110 x3+ 14 x )Que no es otra cosa que la resta entre dos polinomios, lo cual ya sabemos resolver.

Por lo tanto, podemos concluir, que operar con funciones polinómicas se reduce a operar con sus respectivos polinomios asociados.

De esta manera, vamos a obtener la formula correspondiente a la producción de manzanas rojas y con esto podremos respondes la pregunta del ítem b).

En forma análoga el docente explicará y justificará el procedimiento realizado por los alumnos para responder el ítem c) utilizando la propiedad del producto de una constante por una función.

Una vez concluida esta actividad, el profesor dará la clasificación de funciones polinómicas según el grado de la función.

D:- Basándonos en lo que les dije al comienzo de la clase sobre el grado de una función, que es el grado del polinomio asociado, quiero que me digan cual sería la expresión de la función si el grado de f es igual a cero.

A:- f ( x )=k

D:- Bien! ¿Adónde pertenece k?

A:- A los reales

D:- ¿Y por qué?

Anticipación de errores:

Se espera que los alumnos respondan a esta pregunta diciendo que k pertenece a los reales porque la función está definida en ese cuerpo. Si no es así, se les deberá recordar la definición de función polinómica.

D:- Muy bien!. A esta función de grado 0 le vamos a llamar función constante. Ahora quiero que me digan que expresión tiene la función si es de grado 1?

A:- f ( x )=a1 x+a0

D:- ¿y a1 y a0 donde pertenecen?

A:- A los reales.

D: Falta una condición más… ¿Qué debe pasar con alguno de los coeficientes?



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Se espera que los alumnos respondan que a1 debe ser distinto de cero. Si no es así, el docente

deberá mostrarles a los alumnos que si a1 es igual a cero, la expresión se reduce a la de una función constante y por lo tanto ya no sería de grado 1, sino de grado 0.

D:- A la función polinómica de grado 1 le vamos a llamar función lineal. Ahora díganme cuál es la expresión de una función de grado 2.

A:- f ( x )=a2 x2+a1 x+a0.

D:- Pero ya pueden decirme las condiciones que se deben cumplir

A:- a2 , a1 , a0∈ R y a2≠0.

D:- Muy bien!. A esta función polinómica de grado 2 le llamamos función cuadrática.

De la misma manera vamos a definir la función polinómica de grado 3 y la llamamos función cúbica, y así siguiendo, vamos a llegar a la expresión de una función polinómica de grado n. ¿Cómo sería?

A:- f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+...+a1 x+a0 ; an , an−1,...a1,a0∈R y an≠0.

D:- Muy bien! Por ahora no vamos a trabajar con alguna de estas funciones en particular. Más adelante nos detendremos a estudiar con detalle la función lineal y la cuadrática.

Ahora vamos a ver cómo representar gráficamente una función polinómica. Quiero que tengan en cuenta que los gráficos que vamos a realizar son gráficos aproximados de la función.

Para graficar vamos a necesitar algunos conceptos previos, como el de raíz de un polinomio.

¿Alguien podría decirme que es una raíz?

A:- Un número es c es raíz del polinomio si p(c)=0.

D:- Bien!. Esa definición que me dieron es análoga para el caso de una función, con la diferencia que vamos a llamar ceros de una función polinómica a las raíces del polinomio asociado.

Entonces finalmente vamos a definir cero de una función a un valor c∈R tal que f ( c )=0.

Entonces, en definitiva, ¿Qué es encontrar los ceros de una función cuando tenemos que graficar?


Se espera que los alumnos respondan que encontrar los ceros de una función determinan los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje x.

Si los alumnos no saben la respuesta, el docente deberá hacerles notar que los ceros de una función son puntos cuyas coordenadas son (x i ,0), siendo x i la coordenada en el eje de las


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abcisas y 0 la coordenada en el eje de las ordenadas (eje Y), por lo tanto son los puntos cuya imagen es cero, luego, serán aquellos puntos de la gráfica que se encuentren sobre el eje X.

D:- También vamos a tener en cuenta para graficar, el orden de multiplicidad de las raíces del polinomio asociado.

Recordemos que el orden de multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que ésta se repite.

Además quiero que tengan en cuenta que cuando el orden de multiplicidad de la raíz es par, por ejemplo (x−a)1 ,(x−a)3 ,…, la gráfica de la función asociada a ese polinomio atraviesa el eje X; y

cuando es par por ejemplo: (x−a)2 ,(x−a)4 ,…, la gráfica solo toca al eje X, no la atraviesa, la gráfica “rebota” en el eje X.

Y por último vamos a necesitar determinar la intersección con el eje Y. ¿Alguien podrá decirme como lo hacíamos?

A:- Reemplazando x por 0.

D:- Bien. Y por qué?


Es probable que los alumnos no sepan justificar su respuesta, entonces, el docente deberá recordarles que la ecuación del eje Y es X=0, y es por eso que al reemplazar en la fórmula de la función x por 0, obtendremos el punto de la forma (0,y), que es el punto de la gráfica que atraviesa el eje Y.

Momento de Formulación, de acción, de validación y de Institucionalización:

Una vez recordados estos conceptos, el docente dará un ejemplo de función para trabajarlo conjuntamente con los alumnos.

D:- Ahora vamos a analizar y graficar la siguiente función:

f ( x )=x3+2 x2−5 x−6

Son tres los pasos que vamos a realizar para obtener la gráfica aproximada de esta función:

1) Encontrar los ceros de la función2) Hallar la intersección con el eje Y. 3) Determinar los intervalos de positividad y negatividad.

En el primer paso el docente pedirá a los alumnos que trabajando individualmente o con el compañero mediante los métodos que ellos conocen para encontrar las raíces de un polinomio, determinen los ceros de la función trabajando con su polinomio asociado.


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Luego, se realizará la puesta en común en la cual los alumnos expondrán las raíces obtenidas junto con el polinomio factorizado, justificando el método con que lo realizaron. Se espera que los resultados obtenidos sean:

f ( x )= (x+3 ) ( x+1 ) (x−2 )

Donde los ceros de esta función son: x1=−3 , x2=−1 , x3=2

En el segundo paso se les pedirá a los alumnos que hallen el punto intersección con el eje Y, para lo cual deberían hacer x=0, esto es:

f (0 )=(0)3+2 (0)2−5 (0 )−6=−6

Observación: El docente hará notar la relación que existe entre el punto intersección con el eje Y y el término independiente de la formula de la función: que son iguales.

Concluido el segundo paso, el docente explicará que son los intervalos de positividad y de negatividad de la siguiente manera:

D:- En el tercer paso tenemos que analizar los intervalos de positividad y negatividad. ¿Qué intervalos son estos?

Los de positividad son aquellos subconjuntos de valores de x para los cuales la imagen es mayor que 0, es decir f(x)>0, y por lo tanto en este intervalo la gráfica se encuentra por encima del eje x. Los intervalos de negatividad son aquellos cuya imagen es menor que 0, es decir f(x)<0, y en consecuencia la gráfica se encuentra por debajo del eje x.


Puede ocurrir que algunos alumnos confundan intervalos de positividad con intervalos de crecimiento, y los de negatividad con los intervalos de decrecimiento. Para ello el docente deberá aclarar su diferencia y decir que para los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deberán primero los puntos máximos y mínimos, lo cual supera el nivel del curso, y es por esto que solo será una aproximación de la gráfica real de la función.

El docente continuará con la clase explicando el procedimiento para hallar dichos intervalos:

D:- Vamos a considerar puntos adicionales entre los ceros de la función obtenidos en el primer paso y también tomaremos puntos menores y mayores a ellos.

Luego de esto calculamos el valor numérico que toma la función en estos valores y observamos su signo. Si es positivo, decimos que en este intervalo la gráfica se encuentra por encima del eje X, en caso contrario, si es negativo, la gráfica se ubicará por debajo del eje X en ese intervalo.

Veamos esto en nuestro ejemplo:


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Los intervalos que quedan determinados por los ceros encontrados son:

(-∞,-3); (-3,-1); (-1,2);(2,+∞).

Entonces ahora tomamos cualquier punto de cada uno de estos intervalos, por ejemplo:

-4∈(-∞,-3);

-2∈(-3,-1);

0∈(-1,2);

3∈(2,+∞);

Luego calculamos el valor numérico de la función en estos valore.

A ver, háganlo ustedes! ¿Cuánto les da?

A:- f (−4 )=18; f (−2 )=12 ;f (0 )=−6; f (3 )=24

D:- Bien!, Ahora observemos los signos que toman estas imágenes. ¿Qué signo tiene f (−4 )?

A:- Negativo.

D:- Entonces, según lo que les dije al principio. ¿Dónde estaría la porción de gráfica que abarca el intervalo (-∞,-3), que es al que pertenece -4?

A:- Debajo del eje X.

D:- Bien!. De la misma manera analizamos los signos del valor numérico en los restantes puntos. ¿Cuál es el signo de f (−2 )?

A:- Positivo.

D:- ¿El de f (0 )?

A:- Negativo.

D:- ¿Y el de f (3 )?

A:- Positivo.

D:- Muy bien!, entonces con todos los datos obtenidos en los tres pasos podemos realizar ahora un gráfico estimativo de la función. Para eso vamos a realizar un sistema de ejes cartesianos y en él marcamos los ceros encontrados en el primer paso, el punto intersección con el eje Y del paso y finalmente vamos a graficar teniendo en cuenta los intervalos de positividad y negatividad del tercer paso.


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El docente pedirá a algún alumno que realice en el pizarrón un sistema de ejes cartesianos y luego marque en él los ceros de la función y el punto intersección con el eje Y. Luego de esto, es el docente quien realizará la gráfica aproximada de la función, con el aporte de los alumnos sobre lo analizado en el tercer paso.

Finalmente, la gráfica quedará de la siguiente manera:

Actividad

Sea f(x)=(2x²+3x-2)(x-k). Si f(1)=18 hallar el valor de k y calcular intervalos de positividad y negatividad de f(x).Graficar la función.

La función polinómica f ( x ) tiene grado 3 y sus ceros son: x=-2, x=0 y x=7. Sabiendo que el intervalo (0,7) es un intervalo de negatividad, indiquen el signo de f(871).

Habiendo finalizado con el tema de función polinómica y su representación gráfica, el docente introducirá el concepto de un nuevo tipo de funciones: “Funciones Racionales”.

D:- Ahora vamos a estudiar otro tipo de funciones para ello haremos la analogía con los números racionales. Quiero que me digan: ¿Qué es un número racional? … Eso ya lo saben…

A:- Es de la forma abcona y b∈ Z ,b≠0.

D:- Bien!. De la misma manera vamos a definir función racional, es decir, diremos que una función racional es el cociente entre dos polinomios en la indeterminada x, en el cual, el denominador debe ser distinto del polinomio nulo.

Por ejemplo:


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f ( x )= 2 x2

x2+ x−6

Ahora quiero que en el cuaderno quede la definición formal que yo voy a escribir en el pizarrón:

Llamaremos “función racional” a toda función f , f : A→B, A⊆R , B⊆R , A ,B≠∅ definida por

f ( x )= P (x)Q(x )

, siendo P ( x ) y Q (x ) polinomios a coeficientes reales en la indeterminada x. y

Q ( x )≠ polinomionulo.

Ahora quiero que analicemos el dominio de esta función, teniendo en cuenta la definición que les di de función racional. ¿Cuándo piensan que va a estar definida esta función?.


Puede ocurrir que algunos alumnos contesten que el polinomio del denominador debe ser distinto del nulo y otros que el denominador tiene que ser distinto de cero.

Ante esta situación el docente deberá explicar que para analizar el dominio de una función particular, no solo se debe verificar que el polinomio del denominador sea distinto del nulo, si9no también encontrar todos aquellos valores de x que anulan el denominador, esto es todos los x tales que P(x)=0; en otras palabras se deberán hallar las raíces del polinomio denominador. Luego, el dominio de la función serán todos los números reales menos el conjunto de raíces de dicho polinomio.

A continuación el docente analizará el dominio de la función que dio como ejemplo:

f ( x )= 2 x2

x2+ x−6

D:- Ahora quiero que me digan cuál es el dominio de la función, basándose en lo que acabamos de decir.

El profesor dejará a los alumnos trabajar solos en la factorización del polinomio denominador.

D:- ¿Qué raíces encontraron?

A:- x1=2 , x2=−3

D:- Bien, ¿Entonces cuál es el dominio de la función?

A:- R−⌊2 ,−3 ⌋

D:-Muy bien. Esto lo vamos a tener en cuenta para graficar una función racional, que es lo que vamos a hacer ahora.


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Para comenzar a graficar una función racional se procede de manera similar al gráfico de una función polinómica, pero antes el docente tendrá que dar un concepto intuitivo de asíntota.

Se dirá que una asíntota es la recta a la cual se aproxima la gráfica al crecer o decrecer indefinidamente x o y, pero nunca la toca.

Luego de esto, dirá que existen asíntotas verticales y horizontales. Las primeras son rectas paralelas al eje Y, por lo tanto su ecuación es de la forma x=k, donde K son los valores para los cuales la función f no está definida, y por lo tanto se obtienen encontrando las raíces del polinomio del denominador.

Dirá también que las asíntotas horizontales son rectas paralelas al eje X, es decir su ecuación es y=h, donde h se obtendrá como sigue:

si f ( x )= y=P(x )Q(x)

=an x

n+an−1 xn−1+...+a1 x+a0

bm xn+bm−1 x

n−1+...+b1 x+b0

Si n>m, f(x) no posee asíntota horizontal.

Si n=m, la asíntota horizontal está dada por la ecuación de la recta y=anbm

Si n<m, la asíntota horizontal es el eje X.

Observación:

Es necesario aclarar que en realidad existen asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, pero estas últimas no serán estudiadas por exceder el nivel del curso.

Una vez que el docente dio el concepto de asíntota y su clasificación, tomará nuevamente el ejemplo de función racional con la que comenzarán a trabajar, esto es:

f ( x )= 2 x2

x2+ x−6

Luego, trabajando conjuntamente docente – alumnos se concluirá en base a lo dicho que las asíntotas verticales son x=2 y x=−3 (rectas paralelas) al eje Y que pasan por los puntos raíces del polinomio denominador).

La asíntota horizontal será y=21=2.

A continuación se procederá a encontrar los ceros de la función f(x) de la siguiente manera:

Sabiendo que c es cero de f(x) entonces f(c)=0 por lo que se debería hacer 2x2

x2+x−6=0, y como

también se sabe que el denominador debe ser distinto de cero, para que esta igualdad se verifique


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deberá ser 2 x2=0, y por lo tanto x=0; es decir encontrar los ceros de la función racional será hallar las raíces del polinomio del numerador.

Además, el docente tendrá que explicar que como el orden de multiplicidad de esta raíz es dos y este número es par, la gráfica de la función no atravesará al eje X en este punto, solo lo tocará.

Finalmente se analizarán los intervalos de positividad y negatividad procediendo en forma análoga al caso de funciones polinómicas. Entonces se tendrán los siguientes puntos adicionales:

-4∈(-∞,-3);

-1∈(-3,0);

1∈(0,2);

3∈(2,+∞);

Y se evaluará el signo de la imagen de los mismos:

sg(f(-4))>0

sg(f(-1))<0

sg(f(1))<0

sg(f(3))>0

y luego marcando todos los datos obtenidos en un sistema de ejes coordenados, la gráfica

aproximada de la función racional f ( x )= 2 x2

x2+ x−6 será:


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El docente abordará el tema siguiente con dos situaciones problemáticas iniciales en las que se pretende que los alumnos por sí solos se aproximen al concepto de función lineal, haciendo uso de algunos conocimientos previos para que luego, con la ayuda del docente este concepto se formalice. A tal efecto el docente les pedirá a los alumnos que se organicen en grupos de 4 personas.

Momento de Acción:

Las situaciones problemáticas iniciales son las siguientes:

Actividad 1

Martín quiere comprar diez CD vírgenes y averigua en Internet que en la página demercado.com, se vende a $8 el lote de diez CD; y allí cobran, además $4 por el envío. Su mamá le aconseja que los compre en el negocio del barrio porque los venden a $1 cada uno, así se ahorra el gasto de envío.

a) ¿Cuál de las dos propuestas es más económica para comprar 10 unidades?b) ¿Cuál de las dos propuestas es más económica si compra 20 CD’S? ¿Y si compra 30?c) La hermana de Martín compró 20 CD’S en rematelibre.com y gastó $20. Esa compra

incluía $5 por gastos de envío. ¿Cuál es el precio de cada CD?d) A partir de c) escriban una expresión del precio en función de la cantidad de CD´S.

Actividad 2

Alicia compra detergente concentrado a granel en “La Marina”, que lo cobra $7 el litro. Se puede comprar la cantidad que uno desee, pero hay que llevar el envase.

a) Completen la tabla de valores correspondientes a la venta de detergente en “La Marina” y vuelquen los datos en un gráfico cartesiano.

Cantidad de Detergente (litros)

0,25 0,5 1,5

Precio ($) 5,25 7

b) Escriban una expresión del precio en función de la cantidad de detergente comprada, para este caso.


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Momento de Formulación:

Se pretende que los alumnos desarrollen las actividades iniciales de la siguiente manera:

Actividad 1

En el caso de esta actividad, para el inciso a) el alumno debería llegar a la conclusión de que es más económico comprar los CD’S en el negocio de su barrio pues, si los compra a través de la página de internet abonará $8 (por los diez CD’S) más $4 de gasto de envío lo que asciende a un total de $12. De la otra manera solo pagará $10 (por los diez CD’S).

Para el inciso b) deberían analizar lo siguiente:

Si son 20 CD’S el costo de cada pieza que contiene 10 CD’S a través de la página de internet es de $8, es decir gastará $16, pero deberá sumarle $4 correspondiente al gasto de envío, por lo que el costo total será de $20.

Si los compra en el negocio de su barrio abonará $20, pues cada paquete de 10 CD’S tiene un costo de $10. En conclusión, podría comprarlo ya sea a través del sitio de internet o en el negocio de su barrio, aunque la decisión más acertada sería esta última, pues se ahorraría el tiempo que demoraría en llegar el envío a su casa.

Si comprará 30 CD’S tendríamos que mediante la página web pagaría $24 (pues cada paquete de 10 CD’S cuestan $8) más $4 de gastos de envío, lo que totaliza un costo de $28.

Si los comprará en el negocio de su barrio pagaría $30. En conclusión en este caso, le conviene comprarlo mediante la página de internet.

En el inciso c) si la hermana de Martín compró 20 CD’S y pagó $20 incluyendo el gasto de envío de $5, entonces el costo de los 20 CD’S es de $15. A partir de aquí utilizando regla de tres simple (o proporcionalidad), tenemos la siguiente situación:

20 CD´S -------$15

1 CD’S -------x= 1C D 'S∗$1520C D' S

=$0,75

El costo de cada CD es de $0,75.

Para este caso la expresión que relaciona el costo en función de la cantidad de CD’S es de la forma: C ( x )=0,75x+5 , donde x es la cantidad de CD’S y 5 representa el costo fijo por el envío de los CD’S.

Actividad 2


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Lo que se pretende que los alumnos realicen en primer lugar es una regla de tres simple directa (o también trabajarlo con proporción), a partir de la relación entre el costo de un litro de detergente y la cantidad de detergente comprada.

Para el primer caso, deberían realizar el siguiente razonamiento:

1 l. de detergente -------$7

0,25 l. -------x= 0,25 l∗$7

1l=$1,75

Para los demás casos el razonamiento es análogo. La tabla debería quedarles de la siguiente manera:

Cantidad de Detergente (litros)

0,25 0,5 0,75 1 1,5

Precio ($) 1.75 3,50 5,25 7 10,50

Para el inciso b) la expresión del precio en función de la cantidad de detergente comprada es de la forma C ( x )=7 x , donde x es la cantidad de detergente (en litros) y C (x) representa el precio en función de la cantidad de detergente comprada.

Momento de Validación:

Posterior a la actividad, se realizará una puesta en común, en donde el docente le pedirá a los alumnos representantes de cada grupo que explique qué estrategias utilizaron para la resolución de las actividades anteriores y en que contenidos previos se basaron estas estrategias. El docente busca a través de esta actividad y en función de las formulas halladas introducir el concepto de función lineal, el cual será formalizado de la siguiente manera:


Definición: Sea f una función definida en ℝ, es decir f:ℝ→ℝ, llamaremos función lineal a toda función de la forma f(x)=ax+b, donde a,b ∈ℝ, a≠0.

Luego de haber definido función lineal el docente les pedirá a los alumnos que identifiquen en las siguientes expresiones funcionales el valor de a y b:

Momento de Acción:

Actividad 3

Identificar en las siguientes expresiones funcionales, el valor de a y b:


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1. y=x−5 a= b=2. y=−4 x a= b=3. y=2x−3 a= b=4. y=−2 a= b=

5. y= 4 x−32

a= b=

6. y=3 x+2 a= b=


Se pretende que el alumno resuelva la actividad anterior de la siguiente manera:

Actividad 3

Identificar en las siguientes expresiones funcionales, el valor de a y b:

1. y=x−5 2. y=−4 x 3. y=2x−3 4. y=−2

5. y= 4 x−32

6. y=3 x+2

El objetivo que se persigue con esta activad es que el alumno identifique por sí solo algunas características como ser, cuando a es positivo, a negativo, b es positivo, b es negativo, b nulo.


Luego de la actividad el docente realizará una puesta en común donde pedirá a los representantes de cada grupo que expliquen en la pizarra como0 lograron identificar el valor de a y b respectivamente. Esta actividad tiene por objetivo poder formalizar a partir de esto lo siguiente:


Definición:


Ítem a b1. 1 -52. -4 03. 2 -34. -2 05. 2 -3/26. 3 2

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Sea f una función de la forma f(x)=ax+b, entonces:

(i) Si a=0 entonces f es una función de la forma f(x)=b, llamada función constante.

(ii) Si a>0 y b=0 entonces f es una función de la forma f(x)=ax, llamada función de proporcionalidad directa, donde a representa la constante de proporcionalidad, este es un caso particular de funciones lineales de la forma f(x)=ax.

Observación: A modo de conocimiento, diremos que la función de la forma f(x)=kx

es una función,

denominada de proporcionalidad inversa, donde k es la constante de proporcionalidad pero que la misma no constituye un modelo lineal, ya que su expresión funcional es de las del tipo de funciones racionales, y su representación gráfica no se condice con la representación gráfica de la función lineal.


Puede ocurrir que los alumnos piensen que toda función de la forma f(x)=ax es una función de proporcionalidad directa, esto no es cierto, ya que solo aquellas funciones en las cuales a>0 son de proporcionalidad directa.

Luego de haber introducido el concepto el docente les pedirá a los alumnos que realicen la siguiente actividad:

Momento de Acción:

¿Cómo es la posición de los puntos que integran los siguientes gráficos?

f(x)=3x+1 f(x)=-x+1

f(x)=2 f(x)=-3x


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Momento de Formulación y Validación:

En este ejercicio sólo se apunta a que los alumnos contesten que en todas las gráficas el patrón general de los puntos es que se encuentran “alineados” sobre la recta que los contiene.

A partir de la actividad realizada anteriormente el docente les comentará a los alumnos que en lo anterior hemos visto que cada gráfico en el cual los puntos están alineados responde a una ecuación de la forma de una función lineal, es decir, que formalizará que la representación gráfica de una función lineal se realiza a partir de una recta cuya ecuación lineal coincide con la expresión de una función lineal:


Definición: Sea f una función lineal de la forma f(x)=ax+b, diremos que su representación gráfica es una recta de ecuación explícita de la forma y=ax+b, a,b ∈ℝ, a≠0.

Definición: En la función lineal el valor b, representa la coordenada en y del punto de corta de la gráfica de la función con el eje y, es decir el punto es de forma (0,b). El valor a es la pendiente.

Momento de Acción:

A partir de lo expuesto anteriormente el docente les pedirá a los alumnos que en función de la actividad anterior, grafiquen las funciones (aunque ya se encuentren graficadas) a través de la identificación de pendiente y ordenada al origen. Los gráficos deberían ser los mismos que los que figuran en la actividad.


En el caso de aquellas funciones lineales cuya pendiente es negativa, los alumnos podrían pensar en que hablamos de aumento solamente y despreciamos el signo negativo, pero en el caso del signo negativo, si bien el concepto sigue siendo el mismo los alumnos deben tener cuidado en el caso de cuando consideran la variación de f(x), ya que no deben desplazarse hacia arriba, sino deben desplazarse hacia abajo, o bien al momento de considerar la variación de x a derecha, deben considerarla a la izquierda y en este caso desplazarse hacia arriba en relación a f(x).


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El docente le pedirá a cada representante de los grupos que pase a la pizarra a explicar cómo realizó la gráfica, identificando el valor de la pendiente, la ordenada al origen y el signo de los mismos, como así también como explica la variación en función del valor de la pendiente.

Momento de Acción:

Actividad 5

Para hacer la fiesta de fin de curso se ofertaron dos salones similares, ambos con capacidad para 300 personas: Casablanca cuesta $1000, más $5 por cada invitado; El Parque cuesta $250, más $10 por cada invitado.

a) Determinar la expresión funcional que caracteriza el costo de cada salón. Identificar en cada caso pendiente y ordenada al origen.

b) Completar la siguiente tabla:

Cantidad de personas 0 50 100 150 200 250 300Costo total de

CasablancaCosto total de El

Parque

c) ¿Que representa la pendiente y la ordenada al origen en el contexto de la situación problemática?

d) ¿Qué representan las variables x e y en las fórmulas anteriores? e) Hallar la raíz de ambas funciones lineales, analítica y gráficamente. ¿Son significativas las

mismas en el contexto de la situación problemática? f) A partir del gráfico responder: Si a la fiesta solo asistirán 100 personas, ¿Qué salón

elegirán? ¿Y si fueran 300?g) ¿Cuántas personas deberían concurrir para que el costo fuese el mismo en ambos

salones?h) A medida que aumenta la cantidad de personas. ¿Cómo se comporta el costo?, ¿Aumenta

o disminuye?

La actividad anterior tiene como objetivo realizar un análisis exhaustivo en función de la forma y la gráfica de la función lineal, como así también despertar cierto interés en el alumno con alguna de las preguntas que se plantean, como por ejemplo como explicar de qué manera se comporta el costo, si el costo aumenta o el costo disminuye, como se dan cuenta de eso?, como lo explican?, que elementos poseen para responder?, es significativa la raíz en el contexto del problema?. Estos interrogantes despiertan en los alumnos un interés para poder ser respondidas y motivan la


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definición de algunos conceptos importantes. La justificación de su aparición lo veremos en la formulación de la siguiente actividad:


En este ejercicio se pretende que los alumnos lo razonen y resuelvan de la siguiente manera;

Para el inciso a) El costo de cada salón estaría dado por las siguientes expresiones funcionales:

o Costo total de Casablanca: C ( x )=1000+5x , donde 1000 representa el costo fijo del salón, x la cantidad de invitados y 5 el costo unitario por invitado.

o Costo total de El Parque : C ( x )=250+10x , donde 250 representa el costo fijo del salón, x la cantidad de invitados y 10 el costo unitario por invitado.

Para el inciso b) la tabla debería quedar completada de la siguiente manera:

Cantidad de personas 0 50 100 150 200 250 300Costo total de

Casablanca1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500

Costo total de El Parque

250 750 1250 1750 2250 2750 3250

En relación a la representación de la pendiente y la ordenada al origen en el contexto de la situación problemática, analizaremos los costos totales de cada salón. (En esta situación solo podrán contestar que la pendiente y la ordenada toman un valor determinado en la gráfica de la función lineal, pero no podrán deducir cuestiones referidas a su variación) En el caso del salón Casablanca la pendiente indica que por cada persona invitada al salón se registra un aumento de $5 en el precio del salón. La ordenada al origen en este caso representa que para ninguna persona el costo del salón es de $1000.

Para el salón El Parque, la pendiente indica que por cada persona invitada al salón se registra un aumento de $10 en el precio del mismo. La ordenada al origen en este caso represente que para ninguna persona invitada el salón tiene un costo de $250.

Las variables x e y representan cantidad de invitados y costo total respectivamente.

En el inciso e) se plantea la necesidad de hallar analítica y gráficamente la raíz de cada función lineal: En el caso del salón Casablanca, se obtiene la raíz haciendo f(x)=0, es decir:

0=1000+5 x

Lo cual se reduce a resolver una ecuación de grado 1 con una incógnita:

−1000=5x


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−10005

=x

−200=x

Este valor representa la abcisa del punto de corte de la gráfica con el eje x es decir es un punto de la forma (−200,0). En el contexto de esta situación problemática no es significativo, por tratarse de que x se refiere a la cantidad de invitados.

La representación gráfica de la función lineal es:

En el caso del salón El Parque, se obtiene la raíz haciendo f(x)=0, es decir:

0=250+10 x

Lo cual se reduce a resolver una ecuación de grado 1 con una incógnita:

−250=10x

−25010

=x

−25=x

Este valor representa la abcisa del punto de corte de la gráfica con el eje x es decir es un punto de la forma (−25,0). En el contexto de esta situación problemática no es significativo, por tratarse de que x se refiere a la cantidad de invitados.


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La representación gráfica de la función lineal es:

Para el inciso f) deberían realizar ambas gráficas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, como se muestra:

En función de lo que se muestra gráficamente para 100 personas es conveniente elegir el salón El Parque, mientras que si son 300 personas el costo nos indica que el salón conveniente es Casablanca. Analíticamente esta conclusión podría haber sido extraída de la tabla que realizaron en el inciso b).

Para que el costo en ambos salones fuera el mismo deberían concurrir 150 personas. Gráficamente es el punto donde se cortan ambas rectas (punto intersección).

El comportamiento a medida que aumenta la cantidad de personas en relación al costo indica que a mayor cantidad de personas el costo aumenta. (Esta conclusión se podría ver empíricamente, ya


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que se sabe que a mayor cantidad de invitados, mayor es el costo, el problema se presentará cuando se deba contestar en relación a la posición de los puntos de la gráfica y como se comportan sus imágenes, si aumentan sus valores o disminuyen, es aquí donde puede surgir el hecho de que los alumnos no puedan contestar de manera correcta).

El texto marcado en rojo, indica la necesidad de definir nuevos conceptos a los ya existentes, pues de lo contrario los alumnos responderán de manera parcial a las consignas planteadas en la actividad. Es por esto que el docente definirá dos conceptos de suma importancia dentro del análisis de la función lineal:


La pendiente está asociada con la inclinación de la recta y representa cuanto varía (en unidades) f(x) por cada unidad que varía x, es decir:

a=variaciónde f (x )variación de x

Sea f una función lineal de la forma f(x)=ax+b, diremos que:

Si a>0 entonces f es una función llamada creciente, es decir a mayores valores de x le corresponden mayores valores de f(x).

Si a<0 entonces f es una función llamada decreciente, es decir a mayores valores de x le corresponden menores valores de f(x).

Si a=0 entonces la función no presenta variación y decimos que es constante, es decir a todos los valores de x le corresponde el mismo valor de f(x).


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Propuesta de Evaluación

La evaluación está concebida desde nuestro punto de vista, como una herramienta de diagnóstico de los alumnos, el diagnóstico debe entenderse en dos sentidos, primero proporcionarle al docente información acerca de los alumnos, en relación a la manera de trabajar y manipular los contenidos que se evalúan, al grado de razonamiento alcanzado en función de las actividades y situaciones problemáticas planteadas y de la adaptación a las situaciones planteadas, segundo para proporcionarle al alumno información acerca de su propio estado en relación a los objetos matemáticos que se abarcan dentro de la evaluación. Es por ello que pensamos en una evaluación sumativa y progresiva, es decir, no alcanza con evaluar actividades “sueltas”, una buena evaluación debe pasar distintas fases o estadios, si bien la evaluación es subjetiva (pues el docente de acuerdo a su criterio califica) debe tratar de serlo lo menos posibles y focalizarse por lograr una buena información acerca del desempeño del alumno.

Nuestra propuesta de evaluación consiste en las siguientes actividades a realizar por los alumnos:

1) Calcular el dominio de las siguientes funciones racionales:

(a) f ( x )=2 x2−3

x2+1

(b) f ( x )=2 x2−3

x2−1

(c) f ( x )= 2 x2−3(x2−9 )(x2−4 )

2) Sin resolver, diga cuál es el intervalo de negatividad de f ( x )=x 4¿3) f(x) es una función de grado 2, cuyo polinomio asociado es primo y mónico. Indiquen si es

cierto que el intervalo de negatividad son todos los reales. Justifiquen. 4) Propongan una función f(x)cuya expresión funcional sea un polinomio mónico, donde sus

únicas raíces sean x=-7 y x=3, sabiendo que f(-8), f(-6), son positivas y que el signo de f(4) es distinto del de f(-6). Grafiquen aproximadamente la función.

5) Se compró una máquina nueva a $10000. El precio se desvaloriza a razón de $500 por año durante los seis primeros años.

(a) Escriban la formula de la función que relaciona el precio a medida que transcurre el tiempo.

(b) ¿Qué nombre recibe la función?

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(a) Escribir la ecuación de una función de proporcionalidad directa que pase por el punto A=(-4,-1). Graficar.

(b) ¿Pueden escribir otra ecuación diferente con esos datos?. ¿Qué más se puede indicar de la recta al saber que corresponde a una función de proporcionalidad directa?.


planifica seminario ii (2)

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