Tema IEl Plano Coordenado

Precálculo

Objetivos

• Localizar puntos en el plano coordenado.

• Crear un diagrama de puntos y una gráfica de línea de un conjunto de datos.

• Determinar la distancia entre dos puntos en el plano.

• Encontrar el punto medio de un segmento.

• Entender la relación entre ecuaciones y sus gráficas.

• Encontrar los interceptos de una gráfica.

• Encontrar la ecuación de un círculo.

• Identificar ecuaciones cuyas gráficas son círculos.

Plano Cartesiano

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

origen

CUADRANTE ICUADRANTE II

CUADRANTE III CUADRANTE IV

Plano Cartesiano

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y A

B

C

D

E

Da las coordenadas de los puntos marcados en el siguiente plano cartesiano.

Plano Cartesiano

• La siguiente tabla, del Departamento de Educación de EEUU muestra el máximo otorgado en Beca Pell para estudiantes universitarios en diferentes años.

Utilizando esta información dibuja un diagrama de puntos y una gráfica de línea.

Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004

Cantidad 2300 2400 2300 2470 3000 3300 4000 4050

2 4 6 8 10 12 14

10

20

30

40

x

y

2 4 6 8 10 12 14

10

20

30

40

x

y

La Fórmula de Distancia

1 1 2 2

2 2

1 2 1 2

La distancia entre los puntos , y , esx y x y

d x x y y

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

x

y

Encuentra la distancia entre los dos puntos marcados en el siguiente eje cartesiano.

Formula de Distancia

• En un juego de los Cubs en Wrigley Field, un guardabosque captura la pelota cerca de la esquina del jardín derecho y la lanza a segunda base. La esquina del jardín derecho está a 353 pies del home, a lo largo de la línea del foul. Si el guardabosque está a 5 píes de la pared del outfield y a 5 pies de la linéa del foul, ¿cuán lejos lanzo la pelota?

Formula de Distancia

• Encuentra la distancia desde (a, b) y (2a, -b), donde a y b son números reales fijos.

Fórmula de Punto Medio

1 1 2 2

1 2 1 2

El punto medio del segmento que une los puntos

, y , esta dado por:

,2 2

x y x y

x x y y

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

x

yEncuentra el punto medio de los puntos dados.

Fórmula de Punto Medio

• Las ganancias anuales de la compañía Dell fueron 31.2 billones en el 2002 y 55.9 billones en el 2006. Asumiendo que la ganancia fue aumentando linealmente, estima la ganancia en el 2004.

Gráficas

• Una gráfica es un conjunto de puntos en el plano.

• Una solución de una ecuación en variables x & yes un par de números tal que la sustitución del primer número por x y del segundo número por yproduce un enunciado cierto.– Ejemplo

• 5x + 7y = 1, (3, -2), (-2, 3)

• La gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son solución de la ecuación.

Gráficas

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(-1,2)

(0,-1)

(1.5,-1.75)

2Se muestra la gráfica de 2 1.y x x

Gráficas

• El intercepto en x es la coordenada x del punto donde la gráfica interseca el eje de x.

• El intercepto en y es la coordenada y del punto donde la gráfica interseca el eje de y.

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

4

6

x

y

-4 -2 2 4

2

4

6

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-2

2

4

x

y

Gráficas

2

Encuentra los interceptos en & de la gráfica de

2 1.

x y

y x x

El proceso de encontrar interceptos en x & y se puede resumir de la siguiente forma.Para encontrar el intercepto en x:1) Cambia y por 0.2) Resuelve por x.Para encontrar el intercepto en y:1) Cambia x por 0.2) Resuelve por y.

Gráficas

• Cesar tiene una hipoteca de 30 años en la cual su pago mensual es $850. En el siguiente eje coordenado se muestra la porción de cada pago va para intereses y la porción de cada pago que va para el principal.

60 120 180 240 300 360

100

200

300

400

500

600

700

800

x

y

A

B

Gráficas

• ¿Cuál gráfica es la porción del interés y cuál es la porción del principal?

• Al cabo de 10 años (120 meses), ¿cuánto del pago va para intereses y cuanto para el principal?

60 120 180 240 300 360

100

200

300

400

500

600

700

800

x

y

A

B

Círculos

• Si (c, d) es un punto en el plano y r es un número positivo, entonces el círculo con centro (c, d) y radio rconsiste de todos los puntos (x, y) que descansan runidades de (c, d)

(x, y)

r

(c, d)

Círculos

2 2 2

El círculo con centro , y radio es la gráfica dec d r

x c y d r

(x, y)

r

(c, d)

Círculos

• Identifica la gráfica de la ecuación (x – 4)2 + (y – 2)2 = 9.

• Encuentra la ecuación del círculo con centro (-3, 2) y radio 2 y grafícalo.

• Encuentra la ecuación del círculo con centro (3, -1) que pasa por (2, 4).

• Muestra que la gráfica de 3x2 + 3y2 – 12x – 30y + 45 = 0

Círculos

2 2 2

El círculo con centro 0,0 y radio es la gráfica der

x y r

Si hacemos que r = 1, tenemos entonces que x2 + y2 = 1 es el círculo de radio 1 con centro en el origen. Este círculo es llamadoel círculo unitario.

-1 1

x

y

Ejercicios Recomendados

• Libro “Contemporary Precalculus: A Graphing Approach”, páginas 48 – 53, ejercicios 1 – 6, 11, 15, 18, 19, 24, 30, 33, 37 – 46, 49, 55 – 77 (impares)