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1 IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Marcel Bertoni

Área/Disciplina: Matemática

Professor orientador: Valdeni Soliani Franco

IES vinculada: Universidade Estadual de Maringá- UEM

NRE: Maringá

Escola de Implementação: Colégio Estadual Alberto Jackson Byington Júnior – Ens.

Fundamental e Médio

Público Objeto da Intervenção: Alunos 8ª séries

TEMA DE ESTUDO PROFESSOR PDE

O uso de softwares como auxiliar para a implementação da tendência da Educação

Matemática: Resolução de Problemas.

TÍTULO

A Resolução de Problemas como metodologia de ensino da Geometria Euclidiana

Plana: uma proposta utilizando software Geogebra.

1

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E AMBIENTAÇÃO AO SOFTWARE

OBJETIVOS:

Conhecer o software Geogebra e sua disponibilidade de download;

Referenciar geometria dinâmica;

Ambientar ao software, conhecendo seus comandos e ferramentas.

METODOLOGIA/AÇÃO:

Aula expositiva: explanação e objetivos do projeto.

Exploração do software com auxílio da projeção dos textos e imagens via TV

pendrive como monitor ou projetor multimídia, possibilitando ao professor mostrar os

conteúdos com clareza.

Lembrar o fato que este software é de uso livre, já instalado nos laboratórios de

informática das escolas públicas do Paraná Digital, e maiores referências, inclusive

baixar o instalador no site http://www.geogebra.org/cms.

2.1 GEOGEBRA

GeoGebra é um programa livre de geometria dinâmica criado por Markus

Hohenwarter para ser utilizado em ambientes de sala de aula. Seu criador iniciou o

projeto em 2001 na University of Salzburg e continuado o desenvolvimento na

Flórida Atlantic University. O GeoGebra é escrito em Java e assim está disponível

em múltiplas plataformas.

Geometria Dinâmica

“O ambiente dinâmico e interativo também entendido como o ambiente do computador formado pelos softwares que possibilitam trabalhar com a geometria explorando, principalmente, o movimento e a manipulação, e no qual os usuários desses softwares podem mover dinamicamente partes e, quando necessário, o todo da figura construída. Isso faz com que eles sejam estimulados a explorar a geometria de forma a ver a Matemática não como uma coleção de regras formais e acabadas em si mesmas, mas como uma ciência dinâmica e passível de manipulação”. (AMORIM, 2003).

O GeoGebra é um software de geometria, álgebra e introdução ao cálculo

diferencial e integral, e serve como uma ferramenta que permite ao usuário construir

2

http://www.geogebra.org/cms

e manipular, dinamicamente, as figuras construídas, criando assim, condições para

que o conhecimento possa ser construído. A idéia do movimento é uma diversidade

considerável que permite a análise da figura, sob vários pontos de vista (visual).

Computadores e softwares compõem-se de um poderoso ambiente de

aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a

construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação

Matemática. Para Vygotski (1994, p.73), “o uso de meios artificiais – a transição para

a atividade mediada – muda, fundamentalmente todas as operações psicológicas,

assim como o uso de instrumentos amplia de forma ilimitada a gama de atividades

em cujo interior as novas funções psicológicas podem operar”. São as ferramentas

computacionais, que reincide sobre ensino da matemática e proporciona maior

interação, troca comunicação e ações para se buscar uma resposta, ou seja, a ação

do aluno se encontra descentralizada por conta dos processos com ambientes

dinâmicos e interativos.

Por meio de suas ferramentas é possível, com o GeoGebra, realizar

construções utilizando pontos, vetores, segmentos, retas, ângulos, polígonos,

círculos entre outros, bem como trabalhar com gráficos de funções. Uma das

grandes vantagens da utilização dos softwares dinâmicos é a possibilidade de

alterar todos os objetos construídos a qualquer momento que desejar, sem perder os

vínculos das construções. Deste modo, o programa reúne as ferramentas

tradicionais de geometria, com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo. Por

isso, o GeoGebra tem a primazia didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas

representações diferentes de um mesmo objeto que interage entre si: sua

representação geométrica e sua representação algébrica.

Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas

dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em

qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente

criados.

Computadores e softwares compõem-se de um poderoso ambiente de

aprendizagem, no qual é possível trabalhar com uma perspectiva que possibilita a

construção de conhecimentos relacionados a conteúdos específicos da Educação

Matemática.

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2.2 FERRAMENTAS GEOGEBRA

Ao iniciar o programa Geogebra, o usuário verá a interface de trabalho,

composta e dois campos: no lado esquerdo a coluna algébrica e à direita geométrica

(plano cartesiano “área de desenho”). O menu principal, apresenta acesso às

ferramentas para tratamento de arquivo, ferramentas de edição, de exibição etc. Ao

clicar sobre cada uma dessas opções, aparecerá uma paleta contendo novos

comandos a serem escolhidos.

A coluna algébrica pode ser fechada, clicando com o botão esquerdo do

mouse, no x que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-lo

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novamente, clique em Exibir (menu principal) e selecione com o mouse janela de

álgebra.

Além disso, em Exibir, verifique que a opção eixos está acionada e aparecem

os eixos cartesianos na coluna geométrica. Para remover basta desativar essa

opção. Se quiser que a coluna geométrica permaneça quadriculada (xadrez), acione

Malha. Essa opção pode ser feita também clicando com o botão direito do mouse

sobre a coluna geométrica, abrirá uma caixa com as opções, conforme figura:

Em baixo do menu principal existem onze botões de desenho. Cada um

deles, quando selecionado em seu respectivo canto inferior direito, dá acesso a um

grupo de ferramentas de desenho.

Ao lado dos botões de desenho aparece um campo que mostra qual é

ferramenta selecionada e uma breve descrição dela.

O grupo de o botão Mover dá acesso às ferramentas Mover, Girar em torno

de um ponto e Gravar para a planilha de cálculo.

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O grupo do botão Novo ponto da acesso às ferramentas Novo Ponto,

Interseção de dois Objetos e Ponto Médio ou Centro.

O grupo do botão Reta Definida por Dois Pontos dá acesso às ferramentas

Reta Definida por Dois Pontos, Segmento definido por Dois Pontos, Segmento

com Comprimento Fixo, Simerreta definida por Dois Pontos, Vetor definido por

Dois Pontos e Vetor a Partir de um Ponto.

O grupo do botão Reta Perpendicular dá acesso às ferramentas Reta

Perpendicular, Reta Paralela, Mediatriz, Bissetriz, Tangentes, Reta Polar ou

Diametral, Reta de Regressão Linear e Lugar Geométrico.

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O grupo do botão Polígono dá acesso às ferramentas Polígono e Polígono

Regular.

O grupo do botão Círculo definido pelo centro e um de seus pontos dá

acesso às ferramentas Círculo definido pelo Centro e um de seus Pontos,

Círculo dados Centro e Raio, Compasso, Círculo definido por Três Pontos,

Semicírculo Definido por Dois Pontos, Arco Circular dados o Centro e dois

Pontos, Arco Circuncircular dados Três Pontos, Setor Circular dado o Centro e

dois Pontos e Setor Circuncircular dados Três Pontos.

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O grupo do botão Elipse dá acesso dá acesso às ferramentas Elipse,

Hipérbole, Parábola e Cônica Definida por Cinco Pontos.

O grupo do botão Ângulo dá acesso às ferramentas Ângulo, Ângulo com

Amplitude fixa, Distância, Comprimento ou Perímetro, Área e Inclinação.

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O grupo do botão com Relação a uma Reta dá acesso às ferramentas

Reflexão com Relação a Uma Reta, Reflexão com Relação a um Ponto, Girar

em Torno de Um Ponto por um Ângulo, Transladar Objeto por Um Vetor e

Ampliar ou Reduzir Objeto dados Centro e Fator da Homotetia.

O grupo do botão Seletor dá origem às ferramentas Seletor, Caixa para

Exibir/Esconder Objetos, Inserir Texto, Incluir Imagens e Relação entre Dois

Objetos.

O grupo de o botão Deslocar Eixos dá acesso às ferramentas Deslocar

Eixos, Ampliar, Reduzir, Exibir/Esconder Objetos, Exibir/Esconder Rótulo,

Copiar Estilo Visual e Apagar Objetos.

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À direita do campo de mensagens, existem dois botões para Desfazer

(CTRL+Z) e Refaze Ações.

O software contém no menu superior a opção Ajuda que pode orientar muito

sobre a utilização dos comandos.

2.3 ATIVIDADES/ AMBIENTAÇÃO ÀS FERRAMENTAS DO

GEOGEBRA

As descrições acerca da utilização das ferramentas do Geogebra estão em

algumas atividades básicas indicadas

Atividade1:

Abra um arquivo novo.

Crie um ponto e renomeie por P. Modifique a cor para verde e seu estilo para

tamanho “5”.

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Para fazer isso, escolha a ferramenta Novo Ponto e clique sobre qualquer

local da área de desenho. Automaticamente, o Geogebra marcará um ponto com o

nome de A na cor azul e estilo 3.

Para alterar o aspecto do ponto, clique com o botão direito do mouse, escolha

Propriedades:

Escolha a paleta Básico, você pode apagar o nome A e renomear para P.

Escolha a paleta COR, clique na cor verde.

Escolha paleta Estilo, deslize o controle da posição “3” para a posição “5”.

Feche a janela Propriedades e confira as modificações.

Outra opção para renomear clique com o botão direito mouse sobre o ponto,

escolha Renomear, apague o nome A e digite o nome P.

Atividade2:


Crie uma reta que passe pelos pontos A e B, renomei-a por r e modifique sua

cor para vermelho e estilo para tracejado de espessura “4”.

Para fazer isso, escolha a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos, e

clique sobre qualquer local da área do plano, mova o cursor e verifique uma posição

para reta e clique novamente com o botão esquerdo mouse, para determinar um

segundo ponto da reta.

O Geogebra por padrão nomeará o primeiro ponto escolhido como A

e o segundo de B e nomeará a reta de “a”.

Par modificar essas atribuições, clique com o botão direito sobre a reta e

escolha Propriedades:

Escolha a paleta Básico, renomeie de “a” para “r”.

Escolha a paleta Cor, clique na cor vermelho.

Escolha a paleta Estilo, deslize o controle da Espessura da Reta até a

posição “4”, e na opção Estilo das Linhas, escolha um padrão tracejado.


Atividade3:


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Construa um Segmento definido por Dois Pontos na cor vermelha,

espessura “4”, marque o ponto médio desse segmento e calcule a distâncias ,

e .

Use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos e clique sobre em

dois locais do plano. Por padrão, software atribui os nomes A e B aos extremos e

atribui o nome “a” ao próprio segmento AB. Tome a ferramenta Ponto médio ou

Centro e clique sobre o segmento AB. O Geogebra marcará o ponto médio, e lhe

atribuirá o nome C. Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que

se encontra no grupo de ferramentas Ângulo e calcule o comprimento dos

segmentos AB, AC e CB. Para calcular o segmento AB, clique primeiro em A depois

em B, para calcular AC, clique em A depois em C e para calcular CB, clique em C

depois em B, o Geogebra coloca a notação e escreve o valor dos segmentos.

Par modificar essas atribuições, clique com o botão direito sobre o segmento

e escolha Propriedades:

Escolha a paleta COR, clique na cor vermelha.

Escolha paleta Estilo, deslize o controle Espessura da linha para a

posição “4”.


Clique com o botão direito mouse sobre o ponto médio C, escolha

Renomear, apague o nome C e digite o nome M e tecle Enter.

Tente movimentar o ponto M, você consegue? Por quê?

Mova os pontos A e B. O que acontece com os comprimentos AB, AM

e MB?

Atividade4:

Crie um arquivo novo.

Crie uma reta r qualquer.

Crie um ponto fora da reta e nomeie de P.

Construa uma reta paralela a reta r passando por P.

Para fazer isso, escolha a ferramenta Reta Paralela, clique primeiro no ponto

depois na reta.

Movimente o ponto A, B e P e observar as modificações.

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Atividade5:

Crie um arquivo novo

Construa uma circunferência circunscrita a um triângulo.

Para fazer isso, escolha a ferramenta Polígono e clique em três pontos

diferentes no plano e volte ao ponto de origem, criando triângulo ABC ou polígono1.

Com a ferramenta Mediatriz na quarta paleta de desenho, trace a mediatriz

dos três lados, clique sobre cada um dos lados.

Com a ferramenta Interseção de Dois objetos segunda paleta de desenho,

clique em dois objetos “mediatriz” e ele nomeará ponto D de interseção das

mediatrizes “circuncentro”

Trace a circunferência, com centro em D, na qual ABC está inscrito. Com a

ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus Pontos na sexta paleta,

clique sobre o ponto D arraste o mouse e clique sobre o ponto A.

Calcule as medidas dos ângulos Â, e , para isso com a ferramenta

Ângulo clique em dois segmentos no sentido horário, por exemplo: AB e AC, AC e

CB e CB e AB.

Movimente os pontos A, B e C. Verifique que o circuncentro pode estar dentro

da região triangular ou fora da mesma. Levante conclusões sobre os ângulos do

triângulo.

Atividade6:


Construir quatro pontos no plano não colineares A, B, C e D.

Construir o quadrilátero ABCD. Calcule a medida dos seus segmentos,

perímetro e sua área.

Para fazer isso, use a ferramenta Polígono e clique nos pontos A, B, C, D e

volte ao ponto de origem A, criando quadrilátero ABCD ou polígono1.

Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra

no grupo de ferramentas Ângulo e clique sobre os segmentos AB, BC, CD e DA. O

Geogebra mostrará as medidas dos segmentos, você pode conferi-las na coluna

algébrica.

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Tome a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra

no grupo de ferramentas Ângulo e clique sobre qualquer ponto da região do

polígono. O Geogebra mostrará o perímetro do polígono.

No mesmo grupo de ferramentas Ângulo, clique sobre a ferramenta Área e

clique sobre qualquer ponto da região delimitada pelo polígono. Você pode conferir

também o valor na coluna algébrica.

Arreste os vértices do polígono. Verifique a variação das medidas dos

segmentos, perímetro e área.

Atividade7:


Crie um hexágono regular.

Use a ferramenta Polígono Regular, clique sobre qualquer ponto do plano

para que seja demarcado um vértice. Por padrão o Geogebra nomeará esse vértice

como A. Clique em outro local do plano para que seja demarcado um segundo

vértice B.

O polígono terá lados de medida igual à de AB.

Aparecerá uma janela na qual deverá ser escrita a quantidade de lados.

Escreva “6” e clique em OK. O Geogebra desenhar um polígono regular de seis

lados de medida AB.

Use a ferramenta Área que está no grupo de ferramentas Ângulos e clique

sobre qualquer ponto da região delimitada pelo polígono.

Movimente os vértices A e B do polígono. Verifique a variação da área.

Altere a quantidade de lados do polígono, clique com o botão direito do

mouse sobre a região do polígono, escolha Propriedades, procure a paleta Básico,

observe o campo Definição. Esse objeto é um polígono com vértices iniciais A e B e

com seis lados. Altere o número 6 por 10 e feche a janela.

Movimente os vértices e observe as variações.

Atividade8:

Abra um arquivo novo

Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois Pontos crie duas semirretas

com a mesma origem. Clique no plano, por padrão o Geogebra nomeará o vértice de

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origem como A, mova o mouse e clique no plano e o Geogebra nomeará o ponto B e

a primeira semirreta como “a”. Clique sobre A e mova o mouse e clique no plano, o

Geogebra nomeará o ponto C e a segunda reta como “b”.

Assim você terá construído o ângulo BÂC.

Para registrar o ângulo como elemento construído no Geogebra, tome a

ferramenta Ângulo e clique sequencialmente em B, A e C (três pontos). Se nesse

sentido do giro for horário, o Geogebra marcará o menor ângulo. Inverta a sequência

para C, A e B, observe as mudanças, inclusive na coluna algébrica.

Movimente os pontos A, B e C e verifique as mudanças.

Atividade 9:


Construa um polígono de três lados no plano.

Para fazer isso, use a ferramenta Polígono, clique no plano, mova o cursor e

construa os pontos A, B e C, volte ao ponto de origem A, criando polígono ABC.

Marque um ponto D fora do triângulo e logo após, crie retas que passe por um

dos vértices do triângulo e pelo ponto D.

Tome a ferramenta Homotetia de Um ponto por um Fator, que se encontra

na paleta do grupo de ferramentas Reflexão e clique sobre qualquer ponto da região

interior do polígono e depois no ponto D. O Geogebra abrirá uma caixa, pedindo o

fator de Ampliação ou Redução. Digite 1.5 depois OK; repita a operação e digite

0.5. Um novo polígono será criado a partir do polígono ABC. O Geogebra nomeará

de A’B’C’.

Movimente os vértices do polígono ABC e ponto D. Qual a relação entre os

polígonos? Movimente os vértices A’, B’ e C’. É possível movê-los? Por quê?

Atividade 10:


Construa um polígono de três lados no plano.

Para fazer isso, use a ferramenta Polígono, clique no plano, mova o cursor e

construa os pontos A, B e C, volte ao ponto de origem A, criando polígono ABC.

Crie uma reta (eixo) definida por dois pontos em relação ao polígono.

Selecione a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos. Clique sobre no

plano, mova o cursor definindo a reta em relação ao polígono.

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Com a ferramenta Reflexão com Relação a Uma Reta, clique primeiro no

objeto (polígono), depois, na reta (eixo) de reflexão.

Movimente os vértices do polígono, o eixo de simetria. O que você observou?

Meça as distâncias dos vértices dos polígonos até o eixo. Tome a ferramenta

Distância, Comprimento ou Perímetro, que se encontra no grupo de ferramentas

Ângulo e clique sobre o vértice do polígono e sobre e a reta (eixo). Movimente

novamente os vértices, o eixo e observe as distâncias. É possível movimentar o

polígono A’, B’ e C’? Qual a relação entre os polígonos? Podemos comparar o eixo

com qual objeto?

2.4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Ao ter como primazia a construção do conhecimento pelo produzir e pensar, a

função da resolução de problemas é essencial para incentivar o aluno na construção

dos significados da linguagem matemática, formalizada através de expressões

algébricas, algoritmos, gráficos, operações e signos (símbolos matemáticos).

Segundo Onuchic (1999), problema: “[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer,

mas que está interessado em resolver” (p.215).

Assim, em síntese a resolução de problemas significa envolver-se em um

lavor, cujo processo de solução desconhecido, requer busca de informações

diferentes e, em geral, novas para tentar resolvê-lo.

Para encontrar uma solução, os alunos devem empregar seus cognoscere

prévios e por meio desses procedimentos, eles poderão construir ou adquirir novos

conhecimentos matemáticos. Solucionar problemas não é apenas procurar aprender

matemática e sim fazê-la. Os estudantes deveriam ter oportunidades frequentes

para construir, tentar e solucionar problemas que requerem uma quantidade

significativa de esforço, e deveriam então, ser estimulados a refletir sobre seus

conhecimentos.

“Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de

aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a

resolver a questão proposta” (DANTE, 2003).

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O trabalho cotidiano nas aulas de Matemática vem sendo efetuado na sua

maioria de forma rotineira, onde os conteúdos trabalhados são aqueles presentes no

livro didático e o método se restringe a aulas expositivas e a exercícios de fixação ou

de aprendizagem. Essa prática faz com que os alunos entendam o processo como

sendo mera memorização, desestimulando dessa forma, a busca por atividades

mais elaboradas que envolvam o raciocínio. A resolução de problemas vem sendo

indicada como uma metodologia que pode contribuir para minimizar problemas

relacionados ao processo de ensino e de aprendizagem, proporcionando aos alunos

uma forma diferenciada de construir o conhecimento matemático.

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores

matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a

capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim os

alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e

procedimentos matemáticos bem como ampliar a visão que tem dos problemas, da

matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (BRASIL, 1998,

p.40).

Adquirir conhecimentos matemáticos por meio de resolução de problemas é

desenvolver maneiras de pensar, praxe de persistência e curiosidade, bem como

autonomia em situações não familiares, é o centro do trabalho na matemática, a

criança constrói e vê significado no aprendizado, valorizando o uso social da

matemática (dia-a-dia).

Segue alguns procedimentos para melhor atingir essa metodologia.

Os objetivos têm por meta:

fazer o aluno pensar;

desenvolver o raciocínio lógico do aluno;

ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

levar o aluno a conhecer as primeiras aplicações da Matemática;

tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.

As etapas que o aluno deve adotar na resolução de um problema:

Compreensão do problema:

Leitura e interpretação cuidadosa do problema.

Buscar os dados do problema.

Entender o que se pede e o que se pergunta no problema.

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Tentar se possível, fazer um diagrama ou figura que o ilustra.

Elaboração de um plano de solução:

Qual seu plano, estratégia para desenvolver o problema?

Você conhece algum problema semelhante que possa ajudá-lo a

resolver este problema?

Organize os dados.

Tente resolver o problema por partes.

Execução do plano:

Execute o plano elaborado.

Execute as estratégias pensadas

Efetue os cálculos indicados no plano.

Verificação ou retrospectiva:

Você leu e interpretou corretamente o problema?

Executou com precisão o que foi planejado?

Conferiu os cálculos?

Há maneira de tirar a prova para verificar o acerto?

A solução está correta?

É possível usar a estratégia empregada para resolver problemas

semelhantes?

Emissão da resposta:

A resposta é compatível com a pergunta?

Considerando a integração das Mídias Tecnológicas com a Resolução de

Problemas, o uso do computador é como um instrumento de apoio à descoberta de

conceitos e à resolução de problemas, e o uso da capacidade de resolução de

problemas apresentados pelos computadores é uma forma de ampliar as

abordagens tradicionais de resolução e implementação de novas estratégias de

interação e simulação.

2.5 GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA

A construção do saber geométrico Euclidiano tem sido uma grande

dificuldade para os educadores, não somente pela quantidade de conceitos

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envolvidos, mas pela busca em torná-los claros e coesos para o aluno, bem como,

aplicáveis a problemas.

O estudo da Geometria Euclidiana Plana objetivando a resolução de

problemas numa proposta com softwares exige do professor grande habilidade

pedagógica que envolve o conhecimento sobre o que expor, que conteúdos

apresentar aos estudantes, em que sequência expor os conteúdos selecionados,

como expor para tornar significativa aprendizagem de cada um destes conteúdos

expostos.

A Geometria Euclidiana, denominada assim pela literatura matemática por

estar sistematizada e fundamentada nos postulados de Euclides.

O ramo da Matemática conhecido como geometria tem suas origens no antigo Egito e na Babilônia. Naquela época, o conhecimento geométrico era composto por regra práticas advindas de experimentações. O caráter lógico-dedutivo da geometria iniciou-se muito tempo depois, na Antiga Grécia, com Tales de Mileto (624-547 a.C.) e Pitágoras (569-475 a. C.). Mas a obra sobre Geometria, mais famosa e citada até hoje é Elementos, cujo autor foi um professor da biblioteca de Alexandria chamado Euclides (325-265 a.C.) (GERÔNIMO; BARROS; FRANCO, 2010, p.11, introdução).

Em Elementos, a geometria apresenta-se como um sistema axiomático,

deduzido a partir de afirmações evidentes por si mesmas (axiomas) e intuitivas não

demonstradas (postulados), atualmente usa-se indistintamente os termos, como

proposições admitidas sem demonstrações. A contribuição de Euclides para o

conhecimento matemático inicia com definições fundamentais, porém existem as

noções primitivas, como Ponto, Reta e Plano, que devem ser aceitas sem

definições, que são objetos básicos da geometria Euclidiana.

A partir desses conceitos, realiza-se uma sistematização geométrica por meio

de cinco axiomas ou postulados que constituem o fundamento de toda a sua obra:

1.° - Dois pontos distintos determinam uma reta.

2.° - A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível marcar um

segmento de comprimento arbitrário.

3.° - É possível obter uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.

4.° - Todos os ângulos retos são iguais.

5.° - Dadas duas retas num plano, se uma terceira reta transversal fizer

com elas ângulos internos do mesmo lado com soma inferior a dois retos, então as

duas primeiras retas caso prolongadas indefinidamente, intersectam-se desse lado.

19

A Geometria Euclidiana Plana faz parte do currículo de ensino fundamental,

tem espaço como referência, hoje dentre várias funções, além de familiarizar o aluno

com linguagem formal da matemática, a geometria euclidiana desenvolve a

capacidade de redigir demonstrações de resultados teóricos; facilita a visualização

de objetos geométricos e a interpretação de resultados; possibilita o reconhecimento

e a aplicabilidade desses mesmos resultados, tanto em situações abstratas de

teorias matemáticas quanto em resolução de problemas da vida real; favorece a

aquisição de um sólido conhecimento de resultados, inclusive aqueles consagrados

por Euclides; e ainda, produz uma postura crítica durante a utilização da geometria

em problemas diários.

Neste nível de ensino os alunos devem compreender os conceitos

geométricos necessários para operar eficientemente no mundo a três dimensões.

Devem conhecer conceitos como paralelismo, perpendicularismo, congruência,

semelhança, simetria, associar e conhecer medidas, propriedades dos objetos

geométricos, como comprimento, perímetro, área e volume, conceitos que devem

ser explorados em contextos que envolvam a resolução de problemas sociais (dia-a-

dia).

3 TEOREMAS E DEFINIÇÕES A PARTIR DE CONSTRUÇÕES

GEOMÉTRICAS NO GEOGEBRA

3.1 ATIVIDADES/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

OBJETIVO:

Desenvolver o pensamento e o raciocínio geométrico por meio da resolução de

problemas com flexibilidade ao ambiente interativo dinâmico GeoGebra.

METODOLOGIA/AÇÃO:

Aula expositiva, enunciar teoremas a partir de construções geométricas, fazer

conjecturas

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O programa será explorado, com uso da projeção dos textos e imagens via TV

pendrive como monitor e ou data show, possibilitando ao professor demonstrar os

conteúdos com clareza.

Lembrar da disponibilidade que este software é de uso livre, já instalado nos

laboratórios de informática das escolas públicas do Paraná Digital, e maiores

referências, inclusive baixar o instalador no site http://www.geogebra.org/cms

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E O TEOREMA DE TALES

Intuitivamente, duas figuras geométricas são semelhantes se tiverem

exatamente a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Atividade11:


Com a ferramenta Polígono, crie um polígono qualquer numa região central

da área de desenho.

Marque um ponto P interior ao polígono.

Tome a ferramenta Seletor, clique na área superior da área de desenho.

Aparecerá uma janela com vários campos que o configuram. Altere nome

para n, intervalo min:2, máx:10 e Aplicar

Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de

Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que

aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um

polígono obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.

Altere o valor de n no controle deslizante e observe a posição do novo

polígono. Atribua valores negativos para n e observe o efeito. Para isso clique com

botão direito do mouse em cima do seletor e selecione propriedades, altere min: –5

e max:5.

Movimente o seletor e perceba que todos os polígonos obtidos por homotetia

são semelhantes ao primeiro, isto é, têm a mesma geometria, diferem apenas pelo

tamanho. Você pode mover os vértices do primeiro polígono e observar que o

segundo respeita essas novas proporções.

Considere mais alguns exemplos de semelhança como quaisquer: duas

circunferências, dois quadrados, dois triângulos eqüiláteros. Outra maneira de

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expressar duas figuras semelhantes se uma delas é, em escala, um modelo da

outra. Procedimentos esses usados na confecção de mapas, maquetes, plantas.

Diminuir o tamanho do modelo sem perder a proporcionalidade.

Dados dois números x e y, a razão ente x e y é a relação entre x e y, isto é, o

quociente x/y. Dados duas razões x1/y1 e x2 e y2, a igualdade x1/y1 = x2 e y2 é

denominado proporção e as sequências (x1 e x2) e (y1 e y2) são denominadas

proporcionais.

Podemos generalizar esse conceito para uma quantidade qualquer de

números reais.

Definição: Dados duas sequências (x1, x2,...... xn) e (y1,y2,......yn) de números

reais positivos, se x1/y1=x2/y2=........=xn/yn=....., diremos que as sequências são

proporcionais.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Definição: Dois triângulos ABC e DEF são ditos semelhantes, se existir uma

função bijetora f: {A, B, C} {D, E, F}, que leva os vértices de um nos vértices do

outro, de tal modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados

correspondentes formam uma sequência proporcional. Neste caso, denotaremos por

ABC~DEF, em que se lê: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF.

Atividade12:

Crie um triângulo ABC (BC base). Calcule os pontos médios D e E dos lados

AC e AB, respectivamente. Trace o segmento DE.

Considere os triângulos ABC e ADE. Observe que o ângulo Â é comum aos

dois triângulos.

Calcule as medidas dos ângulos A E e A C. Por que elas são iguais?

Calcule as medidas dos ângulos AÊD e AĈB. Por que elas são iguais?

Há uma correspondência entre os vértices dos dois triângulos?

Vejamos a proporcionalidade dos lados correspondentes?

Calcule as medidas dos lados AB, AC, BC, AE, AD e ED. Escreva no campo

de entrada para calcular os seguintes quocientes: AB/AD, AC/AE e BC/ED.

Q1= distânciaAB/distânciaAD e clique Enter

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Q2= distânciaAC/distânciaAE

Q3= distânciaBC/distânciaED

Qual a relação do segmento DE que liga os dois pontos médios dos lados AB

e AC ao terceiro lado.

Movimente os vértices do triângulo ABC. Observe os quocientes ”razões”

expressos na coluna algébrica. As medidas dos lados correspondentes dos

triângulos ABC e ADE formam uma proporção? Qual a relação entre os triângulos

ABC e ADE?

A relação de semelhança no conjunto dos triângulos do plano apresenta as

propriedades: reflexiva: todo triângulo é semelhante a si mesmo; simétrica: se um

triângulo é semelhante a outro, então esse outro é semelhante ao primeiro e

transitiva: se um triângulo é semelhante a outro e esse outro é semelhante a um

terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Atividade13:


Crie um triângulo ABC.

Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.

Trace uma reta r paralela ao lado BC que passe por P e que intercepte o

triângulo. Determine respectivamente os pontos D e E da interseção de r com os

lados AB e AC.

Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as

medidas dos segmentos AD, AB, AE, AC, BC e DE.

Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões

AB/AD e AC/AE. Digite no campo de entrada:

R1= distânciaAB/distânciaAD

R2=distânciaAC/distânciaAE

R3=distânciaBC/distânciaDE

Movimente os vértices do triângulo e a reta r. O que acontece com as razões?

Conjecture o teorema fundamental da semelhança de triângulos.

23

Teorema de Tales: Se três ou mais paralelas são cortadas por duas

transversais, os segmentos determinados numa das transversais são proporcionais

aos segmentos correspondentes determinados na outra transversal.

Atividade14:


Crie uma reta r.

Crie outras duas retas s e t paralelas à r.

Crie duas retas u e v transversais ao feixe de paralelas {r,s,t}. Esconda todos

os pontos das construções.

Determine os pontos A, B e C de interseção de u com r, s e t,

respectivamente.

Determine os pontos A1, B1 e C1 de interseção de v com r, s e t,

respectivamente.


medidas dos segmentos AB, BC, A1 B1, B1C1, AC e A1 C1.


AB/BC, A1 B1/ B1 C1, AC/AB e A1 C1/ A1 B1. Digite no campo de entrada:

R1= distânciaAB/distânciaBC

R2=distânciaA1B1/distânciaB1C1

R3=distânciaAC/distânciaAB

R4=DistânciaA1C1/distânciaA1/B1

Movimente as retas u, v e r. Verifique a veracidade do teorema. As razões são

iguais?

O conceito de triângulos semelhantes fixou as seguintes condições para um

triângulo ABC ser semelhante a outro, A’B’C’.

Â≡Â’, ≡ ’, Ĉ≡ Ĉ’ (ângulos congruentes) e AB/A’B’=AC/A’C’=BC=B’C’

(proporcionalidade dos lados).

Entretanto, essas exigências podem ser reduzidas. Os casos de semelhança

mostram quais as condições mínimas para dois triângulos serem semelhantes.

1° caso:

Atividade15:


24

Crie em uma região afastada do centro da tela uma reta r.

Marque um ponto P na mesma.

Crie mais duas semirretas, partindo de P, ambas num mesmo semiplano

definido por r. Desse modo, teremos três ângulos α, β e γ cuja soma é igual a 180° .

Com a ferramenta Ângulo, calcule as medidas desses ângulos.

Na região central da tela crie dois triângulos ABC e DEF cujos ângulos sejam

os construídos anteriormente, isto é, Â= α, = β, Ĉ= γ, = α, Ê= β e = γ. Para isso,

use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos, crie dois segmentos

arbitrários AB e DE. Selecione a ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa, clique

sobre o ponto A depois sobre o ponto B, o Geogebra abrirá uma caixa, limpe o texto

e digite β e sentido horário. Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois

pontos, una os pontos B e A’. Novamente com a ferramenta Ângulo com

Amplitude Fixa, clique sobre ponto B depois sobre A, limpe o texto da caixa e digite

α e sentido antihorário. Com a ferramenta Semirreta Definida por Dois pontos,

una os pontos A e B’. Com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, encontre o

ponto C das duas semirretas, criando o triângulo ABC. Repita a operação no

segmento DE, criando o triângulo DEF. Com a ferramenta Polígono, defina os

triângulos ABC e DEF. Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro,

calcule as medidas dos lados desses triângulos.

Digite no campo de entrada as razões:

R1=distânciaAB/distânciaDE

R2=distâniaBC/distânciaEF

R3=distânciaAC/distânciaDF

Movimente AB, DE e vértices dos ângulos α, β e γ. Observe as razões.

Porque elas são iguais? O valor do ângulo γ nos dois triângulos é realmente igual?

Por quê?

A partir dos resultados obtidos, conjecture uma condição para que dois

triângulos sejam semelhantes.

2° caso:

Atividade16:


Tome a ferramenta Seletor, clique em algum local da área de desenho.

25


para n, intervalo min: 1, máx:20 e Aplicar.

Crie um segmento AB com comprimento fixo. Para isso, selecione a

ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e digite na caixa n

e Aplicar, o Geogebra nomeará segmento com comprimento fixo AB.

Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC, a partir do segmento AB.

Marque um ponto P externo ao triângulo ABC.

Trace uma reta r paralela ao lado AB que passe por P e que intercepte o

triângulo ABC. Determine respectivamente os pontos D e E da interseção com os

lados AC e BC.

Use a ferramenta Segmento Definido por Dois pontos, una os pontos D e

E. Apague a reta r paralela.

Com a ferramenta Ângulo, calcule a medida do ângulo Ĉ.


medidas dos segmentos AC, DC, BC e EC.


DC/AC e EC/BC. Para isso digite no campo de entrada:

R1= distânciaDC/distânciaAC

R2=distânciaEC/distânciaBC

Movimente o seletor e os vértices do triângulo. Observe as razões na coluna

algébrica. Porque elas são iguais? O valor do ângulo Ĉ é congruente nos triângulos

ABC e DEC? Qual a relação dos ângulos C E e CÂB? Qual a relação das razões

dos lados dos triângulos ABC e DEC com Teorema de Tales? A partir dos

resultados obtidos, conjecture uma condição para que dois triângulos sejam

semelhantes.

3°caso:

Atividade17:


Com a ferramenta Polígono, crie um triângulo ABC qualquer numa região

central da área de desenho.

Marque um ponto P interior ao polígono.

Tome a ferramenta Seletor, clique na parte superior da área de desenho.

26


para n, intervalo min: 1.2 e máx:5 e Aplicar

Escolha a ferramenta Ampliar ou Reduzir Objetos dados Centro e Fator de

Homotetia, clique sobre o polígono, depois clique sobre o ponto P e na janela que

aparecerá para a escolha do fator de homotetia escreva n. Assim, será criado um

triângulo A’B’C’ obtido do primeiro por uma homotetia de centro P e fator n.

Deslize o seletor com mouse e observe a posição e forma do novo triângulo.


medidas dos segmentos AB, A’B’ CB, C’B’, AC e A’C’. (clique em dois pontos

extremos do segmento).


AB/A’B’, CB/C’B’ e AC/A’C’. Para isso digite no campo de entrada:

k1= distânciaAB/distânciaA’B’

k2=distânciaCB/distânciaC’B’

k3=distânciaAC/distânciaA’C’

Movimente o seletor e os vértices do triângulo ABC. Observe as razões na

coluna algébrica. Porque elas são iguais? Qual a relação das razões dos lados dos

triângulos ABC e A’B’C’. A partir dos resultados obtidos, conjecture uma condição

para que dois triângulos sejam semelhantes.

Atividades18:

Faça três construções indicadas abaixo na mesma área de desenho:

a) Construa um triângulo ABC. Determine os pontos D e E,

respectivamente, nos pontos médios de AC e BC. O triângulo CDE

é semelhante ao triângulo BAC?

b) Construa um triângulo FGH. Construa um novo triângulo IJK cujos

vértices são os pontos médios dos lados de FGH. O triângulo IJK é

semelhante ao triângulo FGH?

c) Construa um triângulo isóscele LMP, de base LM e lados

congruentes NO e P o ponto de interseção dos segmentos NO.

Construa um novo triângulo QRS, cujos vértices são os pontos

médios dos lados de LMP. O triângulo QRS é semelhante ao

triângulo LMP?

Conjecture sobre as três situações.

27

Atividades19:

Com a ferramenta Polígono, construa um triângulo ABC. Determine os

pontos D e E, respectivamente dos pontos médios de AC e BC. Com a

ferramenta Polígono construa o triângulo CDE.


medidas AC e DC. Com ferramenta Área calcule a área do triângulo ABC

(polígono 1) e área do triângulo CDE (polígono 2).

Use o campo de entrada e crie objetos numéricos que calculem as razões:

AABC/ACDE e (AC/DC)². Digite no campo de entrada:

R1=polígono1/polígono2

R2=(distânciaAC/distânciaDC)²

Observe as razões calculadas na coluna algébrica. Conjecture a razão de

semelhança das áreas com a razão de dois lados correspondentes dos dois

triângulos.

Atividades20:

A medida do lado de um de dois triângulos semelhantes é o triplo maior que

o lado correspondente do outro. Se a área do triângulo menor é 5cm², qual a área do

maior?

Atividades21:

Seja ABC um triângulo retângulo com ângulo reto em C e seja CD a altura em

relação a AB. Então ΔACD~ΔABC~ΔCBD. Verifique a veracidade da afirmação.

Atividades22:

(Adaptado Matemática e Realidade 9° ano) Supor que um monitor tem 30

polegadas, equivale dizer que sua diagonal tem medida 30 de polegadas. Quantos

monitores de 30 polegadas cabem numa tela de 90 polegadas?

Atividades23:

Os lados de um triângulo tem medidas 4cm; 4,8cm e 6,4cm. Esse triângulo é

semelhante a um triângulo cujo contorno é de 38cm. Determine as medidas dos

lados do segundo triângulo.

Atividades24:

Um agrimensor, situado num ponto num ponto A da margem de um rio,

precisava determinar, sem atravessar o rio, sua distância até uma árvore na outra

margem do rio (C). Para isso, marcou com varetas pontos do lado da margem onde

28

se localizava de tal forma que C, A e D ficaram alinhados entre si e C, B e E também

ficaram alinhados si. Sabendo que AB é paralelo a DE, AB mede 40m, DE vale 64m

e AD vale 42m. Qual a distância determinado pelo agrimensor de A até C na outra

margem?

REGIÕES POLIGONAIS E SUAS ÁREAS

Postulado ou Axioma da Área: A toda região poligonal R corresponde um

número real positivo.

Definição: A área de uma região poligonal R, denotada por A(R) (lê-se área

de R), é o número real dado pelo axioma da área.

Regiões Poligonais

Definição: Dado um triângulo, a região triangular é o conjunto dos pontos do

plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados do

triângulo. O triângulo é chamado fronteira de a região triangular. O conjunto de

pontos de uma região triangular que não pertence a sua fronteira é chamado de

interior da região triangular.

Dessa forma, um triângulo divide o plano em dois conjuntos: os pontos que

pertencem à região triangular e os pontos que não pertencem.

Polígono Convexo

Definição: Um Polígono é convexo quando, para todo lado, o polígono está

contido num dos semiplanos determinados por este lado.

Polígono Regular

Definição: a) é convexo, b) todos os seus ângulos são congruentes, c) todos

os seus lados são congruentes.

Todo polígono regular é inscrito numa circunferência. O centro dessa

circunferência é chamado centro do polígono. Ao conectarmos o centro do polígono

com todos os seus vértices, estaremos construindo um triângulo isósceles

congruentes de base In .

Utilize o Geogebra e explore as seguintes situações:

Atividades25:

1 ) Calculando área, perímetro e apótema de um polígono regular.

29

Num arquivo novo use a ferramenta Polígono Regular e crie um hexágono

regular.

Calcule a área do polígono, para isso use a ferramenta Área clique sobre

qualquer ponto da região limitada pelo polígono.

Calcule a medida do segmento AB. Use a ferramenta Distância,

Comprimento ou Perímetro, clique sobre os pontos A e B.

Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:

perímetro=6*(distânciaAB)

semiperímetro=perímetro/2

Calcule a medida do apótema do polígono (altura do polígono “segmento de

reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus

lados). Para isso, será necessário descobrir a mediatriz dos lados AB e BC. Use a

ferramenta Mediatriz e clique sobre os segmentos AB e BC. Nomeie G o ponto de

interseção dessas perpendiculares (mediatrizes), H e I os pontos de interseção das

perpendiculares com os segmentos AB e BC. Com a ferramenta Segmento

Definido por Dois Pontos, trace os segmentos que ligam o centro de interseção G

ao pé das perpendiculares H e I, sendo GH e GI o apótema. Com a ferramenta

Segmento Definido por Dois Pontos trace segmentos que ligam o centro de

interseção G aos vértices A, B e C de maneira que sejam visíveis os triângulos

isósceles da decomposição do hexágono. Apague as mediatrizes.

Digite no campo de entrada o texto dinâmico:

apótema=distânciaGH

Verifique a igualdade das medidas mostradas na coluna algébrica e

conjecture a relação do apótema, semiperímetro com a área do polígono regular.

Atividades26:

Dados três polígonos regulares com 3 lados, 4 lados e 6 lados com o mesmo

perímetro, que é 32,4cm. Qual tem a maior área? E a menor?

Atividades27:

Se duplicarmos, triplicarmos a medida do lado de um polígono regular, de

quanto aumento sua área? Transforme esses aumentos em porcentagem.

Estabelecido que a uma região poligonal está associado um número real

positivo. Precisamos estabelecer como calcular a área de uma região. Para isso

30

http://pt.wikipedia.org/wiki/Perpendicular

será preciso fixar o valor de uma região poligonal inicial, para a partir dessa área,

contabilizar áreas de outras regiões. Por praticidade, a melhor região para ter sua

área definida é o quadrado.

Axioma: A área de uma região quadrada é o quadrado do comprimento do

seu lado.


Atividades28:

Construção de quadrados usando a ferramenta Polígonos Regulares:

Num arquivo novo selecione a ferramenta Polígono Regular. Clique no plano

deslize ou mouse e clique novamente e aparecerá uma caixa, digite 4, criando um

quadrado qualquer. Com a ferramenta Área clique sobre qualquer ponto da região

limitada pelo polígono. Observe o valor na coluna algébrica (polígono1).

Sugiro outra maneira de construção.

No mesmo plano, na área central, construa dois segmentos com comprimento

fixo: Para isso selecione a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique

no plano e o Geogebra abrirá uma caixa, digite 2a “dobro do segmento a”, o

Gegebra nomeará o segmento de EF, repita o processo, digitando na caixa 3a, o

segmento será nomeado de GH.

Selecione a ferramenta Polígono Regular e clique nos extremos do

segmento EF e digite “4” na caixa “número de lados”, repita o mesmo no segmento

GH.

Com a ferramenta Área clique sobre qualquer ponto da região limitada pelos

polígonos 2 e 3. Calcule as medidas dos segmentos AB, EF e GH. Para isso

selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os

pontos A e B, E e F e G e H nos três polígonos.


Área1=distânciaAB*distânciaAB

Área2=distânciaEF*distânciaEF

Área3=distânciaGH*distânciaGH

Movimente os vértice A e B do polígono1 e observe os resultados obtidos na

coluna algébrica. Conjecture a relação da medida do lado do quadrado com sua

área? Por que não é possível movimentar EF e GH?

Atividades29:

31

Como muda a área de um quadrado se seu lado é duplicado? Triplicado?

Dividido por 2?

Atividades30:

(Readaptado Matemática e Realidade 9°ano) De quanto por cento aumenta a

área de um quadrado quando a medida do seu lado é aumentada em 25%?

Atividades31:

(Vunesp-SP) O menor país do mundo em extensão é o Estado do vaticano,

com uma área de 0,4km². Se o território do Vaticano tivesse forma de um quadrado,

então a medida de seus lados estaria entre quantos metros inteiros?

Atividades32:

ABCD são os vértices de um quadrado. E é ponto médio de AD, F é ponto

médio de AB, G é ponto médio de BC e H é ponto médio de DC. A interseção dos

segmentos AH, FC, EB e DG forma um novo quadrado IJKL. Qual a razão entre

área de quadrado IJKL e área do quadrado ABCD?

Teorema: A área de um retângulo é o produto de sua base pela sua altura.

Demonstração: Considere a figura à abaixo:

AR denota a área do retângulo. As áreas dos dois quadrados são b² e h², pelo

axioma da área do quadrado; e a área da figura total é (b+h)². Portanto, através do

axioma da Adição de Áreas:

b² + 2AR+ h² = (b+h)²

b² + 2AR + h² = b² +2bh + h²

2AR = 2bh

AR = bh


32

Atividades33:


Crie dois segmentos AB e CD de mesmo comprimento. Selecione a paleta

Segmento Definido por Dois Pontos, clique em dois pontos no plano e o

Geogebra criará o segmento AB. Com a ferramenta Segmento com Comprimento

Fixo, clique em outra região do plano e aparecerá uma caixa e digite “a”. O

Geogebra apresentará o segmento CD de mesma medida AB. Crie duas retas

perpendiculares ao segmento AB, uma passando por A e outra passando por B.

Repita a operação no outro segmento CD. Marque um ponto E na perpendicular (c).

Marque outro ponto F na perpendicular (e), que esteja no mesmo semiplano de E

em relação ao segmento (a), mas com distância diferente de E em relação (a). Crie

duas paralelas, uma passando por E relação a AB e outra passando por F em

relação a CD. Obtenha os pontos de interseção G e H dessas com as

perpendiculares. Com a ferramenta Polígono, clique nos vértices ABGE, para definir

o polígono ABGE, repita a operação no outro polígono CDHF. O Geogebra denota

esses polígonos por Polígono1 e Polígono2. Esconda todas as perpendiculares e

as paralelas.

Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre

todos os segmentos dos dois polígonos. Observe a coluna algébrica ao nome de

cada um deles.

Digite no campo de entrada um campo de texto dinâmico e calcule o

quociente da área de ABGE pela área CDHF. Escreva “áreaABGE por áreaCDHF=”

+ (polígono1/polígono2), e clique enter.

Crie outro campo de texto dinâmico e calcule o quociente da medida AE pela

medida CF. Digite no campo de entrada “altura AE por altura CF=” +

(nome1/nome2). Utilize os nomes dados pelo Geogebra às alturas na coluna

algébrica.

Movimente o ponto A, B, E e F observando as razões. Conjecture a relação

da razão das áreas com alturas dos retângulos.

Atividades34:

Um quadrado e um retângulo têm áreas iguais. Se o retângulo mede 9m por

4m, quanto mede um lado do quadrado?

Atividades35:

33

Se a altura de um retângulo é duplicada enquanto a base permanece a

mesma, como muda a área?

Atividades36:

Se a base de um retângulo é duplicada enquanto a altura permanece a

mesma, como muda a área?

Atividades37:

Se a base e altura de um retângulo são duplicadas, como muda a área?

Atividades38:

Encontre o retângulo que tem o mesmo perímetro e a mesma área.


Clique na paleta Seletor, o Geogebra abrirá uma caixa e digite nome “C”,

intervalo mínimo 0, máximo 10 e incremento 0,001 e aplicar. Crie outro Seletor com

nome “L”, intervalo mínimo 0, máximo 10 e incremento 0,001 e aplicar. Crie um

segmento com comprimento fixo. Selecione a ferramenta Segmento com

Comprimento Fixo e clique sobre o plano e o Geogebra abrirá uma caixa e digite

“C” e ok. Trace por A uma reta perpendicular que passe pelo segmento AB. Repita o

processo por B.

Selecione ferramenta Círculo Dados Centro e Raio e clique sobre o ponto A

e digite na caixa “L”. Repita o mesmo processo no ponto B. Com a ferramenta

Interseção de Dois Objetos determine ponto D de interseção do círculo “d” e a

perpendicular “b”. Selecione ferramenta Círculo Dados Centro e Raio e clique

sobre o ponto D e digite na caixa “C”. Com a ferramenta Interseção de Dois

Objetos determine ponto E de interseção do círculo “f” a perpendicular “c”. Com a

ferramenta Polígono defina o retângulo ABED. Esconda todos os círculos e as

retas. Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os

segmentos do retângulo. Digite no campo de entrada os textos dinâmicos:

“perímetroABED =2C+2L” clique enter.

“perímetroABED=” + (2*C+2*L) clique enter.

“áreaABED =CL” clique enter,

“áreaABDC=” + (C*L), e clique enter.

No menu principal acione a tecla Opções e selecione Arredondamento 1

casa decimal.

Movimente os seletores e verifique a solução do problema.

34

TEOREMA: A área de um triângulo retângulo é o semiproduto de seus

catetos.

Atividades39:


Crie uma reta r e, por um ponto A na mesma trace, uma reta s perpendicular à

r.

Marque um ponto C em s e um ponto B em r.

Com a ferramenta Polígono crie um triângulo ABC.

Trace uma reta t paralela à r, passando por C.

Trace uma reta u paralela à s, passando por B.

Marque o ponto D de interseção de t e u. Observe que, por construção, ABDC

é um retângulo.

Calcule a medida de AB e AC. Observe atentamente na coluna algébrica o

nome que o Geogebra dá a esses elementos.

No campo de entrada crie um campo de texto dinâmico que calcule a área de

ABDC. Digite:

áreaABDC=” + (nome*nome2), colocando os nomes de AB e AC

registrados na coluna algébrica.

Calcule as medidas dos ângulos AĈB e . Essas medidas são iguais

porque os ângulos são alternos internos da transversal CB nas paralelas s e u.

Como Â e são retos e o lado CB é comum aos triângulos ABC e CBD,

estes são congruentes pelo caso LAAo. Se dois triângulos são congruentes, então

as regiões triangulares determinadas por eles têm a mesma área.

Portanto, a área de ABDC é igual ao dobro da área de ABC.

Logo deduzimos que:

A (ΔABC) = ½ (AB).(AC)

No campo de entrada crie um texto dinâmico “área ABC =” +

(nome1*nome)/2. Demonstração: Sejam b e h a base e altura dadas e seja A

área. Há três casos a considerar:

35

1) Triângulo ABC que seja acutângulo tal que o pé da altura está entre as

extremidades da base, então a altura divide o triângulo em dois outros com bases b 1

e b2 e b1 + b2 = b.

Pelo teorema precedente, as áreas destes novos triângulos são ½ b1h e ½

b2h. Pelo axioma da adição de áreas:

A= ½ b1h + ½ b2h

A= ½( b1+b2 )h

A= ½ bh

2) Triângulo ABC que seja retângulo tal que o pé da altura é uma extremidade

da base, então o triângulo é retângulo e A = ½ bh, pelo teorema precedente.

3) Triângulo ABC que seja obtusângulo tal que o pé da altura está fora da

base, temos

½ b1h + A = ½ (b1 + b)h

A = ½ bh

Teorema: A área de qualquer triângulo é o semiproduto da medida de

qualquer base pela medida da altura correspondente.


Atividades40:


Com a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos crie uma reta r que passe

por A e B. Deixe os pontos A e B bem próximos da lateral da área do desenho.

Trace uma perpendicular s à reta r, passando pelo ponto A.

Marque um ponto C sobre s. Calcule a medida de AC.

36

Trace uma paralela t à reta r, passando por C.

Marque em r dois pontos D e E. Marque em t um ponto F. Com a ferramenta

Polígono crie o triângulo DEF. Por padrão o Geogebra nomeia este elemento como

“polígono 1”.

Marque em r outros dois pontos G e H. Marque em t um ponto I. Com a

ferramenta Polígono crie o triângulo GHI. Por padrão o Geogebra nomeia este

elemento de “polígono 2”.

Selecione a ferramenta Área e calcule as áreas de DEF e GHI.

Calcule as medidas das bases DE e GH. Por padrão o Geogebra denota

esses elementos como “distância DE” e “distância GH”. No campo de entrada digite

um texto dinâmico que calcule o quociente da área de DEF por área de GHI:

“razão das áreas=” + (polígono1/polígono2).

Digite um campo de texto dinâmico que calcule o quociente da base de DEF

pela base de GHI.

“razão das bases=” + (distânciaDE/distânciaGH).

Movimente a reta t e verifique os valores das razões calculadas.

Movimente os vértices Fe I e observe os valores das razões calculadas.

Movimente os vértices das bases dos dois triângulos e verifique os valores

das razões. Conjecture a relação da razão das áreas com relação razão das bases.

As bissetrizes, as alturas, as medianas e as mediatrizes são objetos

especiais num triângulo. Uma mediana qualquer de um triângulo separa o mesmo

em dois novos triângulos. Qual será a relação entre as áreas destes últimos?

Atividades41:


Com a ferramenta Polígono crie um triângulo ABC.

Trace uma mediana AM. Por exemplo, a que liga o vértice A ao ponto médio

M de BC.

Calcule a altura h relativa ao lado BC. Para isso trace uma perpendicular do

vértice A ao lado oposto BC. Com a ferramenta Interseção de dois objetos marque

um ponto D de interseção perpendicular com lado BC. Com a ferramenta Segmento

Definida por Dois Pontos una vértice A ao ponto D, ou seja, altura h desejada.

37

Com a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de

BM e MC.

Use a ferramenta Polígono e defina os dois novos triângulos ABM e AMC.

Coloque em cores diferentes. Calcule as áreas dos triângulos ABM e AMC.

Selecione a ferramenta Área, de um clique sobre cada uma das regiões.

Movimente os vértices A, B, e C. Conjecture a relação das áreas

determinadas.

Atividades42:

(Adaptado- A Conquista da Matemática) Um engenheiro agrônomo mapeou a

área de plantio (AP) de cana-de-açúcar de um fazenda, conforme formato e medidas

indicadas na figura. Sabe-se que a área de corte diária de cada trabalhador é de

0,001km², enquanto uma colheitadeira colhe por dia, uma área correspondente a

0,06km².

Use malha do Geogebra conforme pontos da figura. Defina os polígonos com

a ferramenta Polígono. Com a ferramenta Área clique sobre cada um dos polígonos

para calcular suas áreas. Área total terreno é igual soma de todas as áreas.

Sabendo área total responda os itens a e b.

Em quantos dias se faria a colheita total do terreno se:

a) Fossem admitidos 300 trabalhadores para esse serviço?

38

b) Fossem usadas 20 colheitadeiras?

Atividades43:

A base BC de um triângulo ABC, de base b e altura h, foi dividida em oito

partes congruentes:

a) Calcule as áreas dos triângulos ABC, ABD e ACD.

b) Qual a razão entre as áreas do triângulo ABE e do triângulo ABG?

c) Os triângulos ABD, ADE, AEF, AFG, AGH, AHI, AIJ e AJC têm a mesma?

Por quê?

Definição: Uma altura de um trapézio é qualquer segmento com extremos

nas bases e perpendicular a elas.

Atividade44:


Crie uma reta r e marque dois pontos A e B pertencentes a ela.

Por um ponto C fora de r trace uma reta s paralela à r.

Marque um ponto D em s distinto de C. Com A ferramenta Polígono crie o

trapézio ABDC.

Trace pelo ponto C uma reta t perpendicular à r.

Determine o ponto M de interseção de r e t.

Esconda as retas r, s e t.

Crie o segmento MC com estilo tracejado.


medida de AB, CD e MC. Essas medidas são suficientes para o cálculo da áreas de

ABC e CBD. (Diga de que maneira).

Com a ferramenta Polígono crie os triângulos ABC e CBD. Deixe-os de

cores diferentes.

Use a ferramenta Área e calcule as áreas de ABC e BCD.

A área do trapézio ABCD é a soma das áreas dos triângulos ABC CBD,

nomeados pelo Geogebra polígono2 e polígono3. Podemos adicionar esses dois

valores. Digite no campo de entrada:

“Área do trapézio ABDC=” + (polígono2 + polígono3) e tecle enter.

Conjecture uma fórmula para o cálculo da área do trapézio.

39

Teorema: A área de trapézio é a metade do produto da medida da altura pela

soma das medidas das bases.

Outra representação:

Área trapézio = área ΔABC + ΔADC

Área trapézio = ½ b1h + ½ b2h

Área trapézio = ½ (b1 + b2)h

Base média de um trapézio é o segmento de reta que une os pontos médios

dos lados não paralelos. A base média é paralela às bases do trapézio e seu valor é

igual à média aritmética das medidas das bases.

Atividade45:


Crie uma reta r passando por A e B. Para isso clique no plano mova o mouse

e clique novamente no plano e o Geogebra criará reta r passando por A e B.

Trace uma reta s perpendicular à reta r, passando por A.

Marque um ponto C sobre a reta s.

Trace uma reta t, paralela a r, passando por C.

Marque um ponto D sobre a reta t, à direita de C.

Com a ferramenta Polígono, defina o polígono ABDC.

Com a ferramenta Ponto Médio clique sobre o segmento AC, determinando

ponto E. Repita a operação no segmento BD, determinando o ponto F. Com a

ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos una os pontos E e F. Com a

ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre os segmentos AB,

CD e EF.

40

Crie um campo de texto dinâmico no campo de entrada. Digite:

“(AB + CD)/2=” + (distânciaAB+distânciaCD)/2

Movimente os vértices do polígono. Conjecture a relação entre a expressão

das bases do trapézio e o segmento EF (base média do trapézio). Salve a atividade,

como Atividade1. ggb .

Atividade46:

Use a atividade anterior

Trace uma reta u perpendicular por F em relação ao segmento AB. Com a

ferramenta Interseção de Dois Objetos marque ponto G de interseção da reta

paralela t com interseção da perpendicular u e ponto H da interseção da reta u

perpendicular com segmento AB. Observe que os dois triângulos FGD e FHB são

congruentes pela caso LAL. Confira as medidas com a ferramenta Distância,

Comprimento ou Perímetro, clicando sobre segmentos DG, GF, HB e HF. Com a

ferramenta Ângulo, calcule o ângulo formado entre os segmentos dados e confira a

congruência. Observe o polígono EFGC é um retângulo. Sabe-se que a área de um

retângulo é bh e área do trapézio (½ (b1 + b2)h.

Conjecture sobre a área limitada por um trapézio de base média e altura h.

Teorema: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer base pela

altura correspondente.

Demonstração: Todo paralelogramo é um trapézio com b1=b2=b, assim

temos que a área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela sua

altura.

A(P)= ½ (b +b)h

A(P)= bh

41

Utilize o Geogebra e explore as seguintes atividades:

Atividades47:

Um triângulo e um paralelogramo têm áreas e bases iguais? Qual a relação

entre as suas alturas?


Construa um triângulo e um paralelogramo de bases iguais.

Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e

abrirá uma caixa e digite 3 e o Geogebra exibirá segmento AB de medida 3. Com a

ferramenta Polígono construa um triângulo ABC

Crie uma perpendicular que passe por C em relação AB. Selecione a paleta

Interseção de Dois objetos e determine o ponto H de interseção da perpendicular

com AB. Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos clique em C

depois em H, mude o estilo para pontilhado. Com a ferramenta Distância,

Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de AB, CH. Com a ferramenta

Área, clique na região do polígono para calcular sua área.

Com a ferramenta Segmento com Comprimento Fixo, clique no plano e

abrirá uma caixa digite 3 e o Geogebra exibirá segmento DE de medida 3. Crie um

ponto F fora do segmento DE. Crie uma reta paralela r que passe por F em relação à

DE. Com a ferramenta “Compasso” ou Circulo Dado Centro e Raio clique sobre

os pontos D e E, transporte com centro em F e determine ponto G de interseção do

círculo com a paralela r. Com a ferramenta Polígono, defina o paralelogramo DEGF.

Crie uma perpendicular que passe por F em relação DE. Selecione a paleta

Interseção de Dois objetos e determine o ponto I de interseção da perpendicular

com DE. Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos clique em F

depois em I, mude o estilo para pontilhado. Com a ferramenta Distância,

Comprimento ou Perímetro, calcule as medidas de DE e FI. Com a ferramenta

Área clique na região do polígono para calcular sua área. Mova as alturas e

observe os valores das áreas, bases e alturas.

Então qual a relação entre as alturas do triângulo e do paralelogramo para

que as áreas ambos sejam iguais?

Atividades48:

Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente,

indicadas por b e h. Se construirmos outro paralelogramo que tem o triplo da base e

42

o triplo da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos

paralelogramos?

Losango: Cálculo da área quando são fornecidas, não as medidas de seus

lados, mas sim as medidas de suas diagonais.

Como calcular a área de um quadrilátero convexo cujas diagonais são

perpendiculares entre si.

Atividade49:


Construa um círculo definido por dois pontos com centro em A e raio AB.

Selecione a ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus

Pontos, clique no plano (ponto A) e deslize o mouse e clique novamente (ponto B).

Trace outro círculo com centro em B e raio BA.

Marque C e D a interseção entre os dois círculos

Com a ferramenta Polígono construa o polígono ACBD, o Geogebra nomeará

de polígono1. Use a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos e trace o

segmento AB.

Marque o ponto médio do segmento AB, o Geogebra nomeará de ponto E.

Trace o segmento CD passando por E.

Com a ferramenta Polígono defina os triângulos ACE, BCE, ADE e BDE.

Por padrão, o Geogebra os nomeia como polígono2, polígono3, polígono4 e

polígono5. Mude a cor de cada um deles, par isso observe na coluna algébrica os

polígonos 2, 3, 4 e 5 e clique com botão direito sobre o polígono2, selecione

propriedades, paleta cor e muda cor. Repita para todos os triângulos.

Os quatro triângulos são triângulos retângulos?

Com a ferramenta Área, calcule a medida das áreas, clicando sobre cada um

dos polígonos 2, 3, 4 e 5.

A área do losango é igual a soma das áreas dos triângulos. Digite no campo

de entrada um texto dinâmico:

“área losango=” + (polígono2 + polígono3 + polígono4 + polígono5) e

tecle “enter”.

Compare a soma com valor do polígono 1 na coluna algébrica.


medidas das diagonais AB e CD. Escreva no campo de entrada um texto dinâmico:

43

“(AB * CD)/2=” + (distânciaAB*distânciaCD)/2. Compare esse valor

com polígono 1 na coluna algébrica ou área do losango.

Movimente os vértices A e B. Conjecture qual a relação da área com as

diagonais do losango?

Outra representação:

A área do losango é quatro vezes a área de um triângulo retângulo de catetos

D/2 e d/2.

Atividade50:


Construa uma reta r passando por A e B. Para isso selecione a ferramenta

Reta Definida por Dois Pontos, clique no plano e deslize o mouse, o Geogebra

criará uma reta passando pelos pontos A e B.

Construa uma reta s perpendicular a r, passando por B.

Marque um ponto C sobre a reta s não coincidente com ponto B.

Construa uma reta t paralela a r, passando por C.

Construa uma reta u paralela a s, passando por A.

Com a ferramenta Interseção de Dois Objetos, nomeie o ponto D de

interseção entre as retas u e t.

44

Selecione a ferramenta Polígono e construa o polígono ABCD.

Com a ferramenta Ponto Médio ou Centro, clique sobre os segmentos AB,

BC, CD e AD e o Geogebra nomeará os pontos de F, G, E e H. Com a Ferramenta

Segmento Definido por Dois Pontos, crie os segmentos FG, GE, EH e HF.

Com a ferramenta Polígono, defina o polígono EGFH. Mude a cor de EGFH.

Com a ferramenta Área, calcule a área do polígono 1 (retângulo ABCD) e

polígono2 (losango EGFH). Digite no campo de entrada um texto dinâmico:

“áreaABCD/áreaEGFH=” + (polígono1/polígono2).

Movimente os vértices A, B e C e conjecture a razão da área do retângulo

ABCD pela área do losango EGFH. Conjecture características do losango.

Atividade51:

Qual é o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um

losango? Conjecture sobre esse quadrilátero. Determine qual a razão entre as

áreas do losango e do quadrilátero. Qual a relação das áreas dos triângulos da

decomposição do quadrilátero formada pelas suas diagonais. Todos são

congruentes ou são equivalentes?

Definição: Uma corda de uma circunferência é um segmento cujas

extremidades estão na circunferência. Uma reta que intercepta a circunferência em

dois pontos é chamada secante.

Definição: Um diâmetro de uma circunferência é uma corda que contém o

centro. Um raio de uma circunferência é um segmento cujas extremidades são o

centro e um ponto sobre a circunferência.

Teorema: Se X é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares inscritos

e Y é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares circunscritos numa

circunferência qualquer, então o par (X,Y) é de classes vizinhas.

Definição: Denomina-se comprimento da circunferência ou perímetro da

circunferência ao número real obtido pelo par de classes vizinhas (X,Y), dado pelo

teorema acima.

Lema: A razão entre o comprimento de qualquer circunferência e a medida de

seu diâmetro é um número constante.

Essa razão constante é designada por π.

45

Atividade52:

Crie uma circunferência c com a ferramenta Círculo Definida pelo Centro e

Um de seus Pontos. Com a ferramenta Reta Definida por Dois Pontos, trace uma

reta r passando por A e B. Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos e

marque ponto C de interseção da reta r com circunferência c. Com a ferramenta

Segmento Definido por Dois pontos crie segmento CB passando por A (centro).

Calcule o perímetro da circunferência c e a medida do segmento CB. Para

isso, selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro, clique sobre a

circunferência c e sobre os pontos C e B.

Digite no campo de entrada um campo de texto dinâmico:

“perímetroc/diâmetroCB=” + (perímetroc/distânciaCB).

Movimente os pontos A e B. Verifique o valor encontrado para a constante π.

Atividade53:

O perímetro da circunferência de uma tora é 125,6cm. Qual é o comprimento

do lado de uma seção da maior viga quadrangular que pode ser obtida da tora? Qual

a medida do contorno da tora quadrangular?

46

Definição: A área de um círculo é igual ao supremo do conjunto das áreas

poligonais correspondentes a polígonos regulares inscritos na circunferência

adjacente ao círculo.

Teorema: A área do círculo cuja circunferência subjacente tem raio r é igual a

πr².

Atividade54:


Com a ferramenta Círculo Definido pelo Centro e Um de seus Pontos, crie

uma circunferência C de centro O. Crie um ponto A em C.



para n, intervalo min: 3, Max:300 e incremento 1 e Aplicar.

Calcule a divisão de 360 por n. Para fazer isso, escreva no campo de entrada:

ang=360/n e tecle Enter. Observe na coluna algébrica o objeto numérico ang

assume o valor 120.

Tome a ferramenta Girar em Torno de Um Ponto por Um Ângulo, clique em

A e depois no centro O. Aparecerá uma janela e escreva no campo ângulo: ang°

(mantenha o símbolo graus”°”) e escolha o sentido anti-horário e clicar OK. O

Geogebra marcará um ponto A’ em C, obtido por rotação de A ao redor de O com

um ângulo de 120°.

Use a ferramenta Polígono Regular e clique primeiramente em A, depois em

A’. Aparecerá uma janela na qual deverá inserir a quantidade de pontos, ou seja

vértices, digite n e clique OK. O Geogebra mostrará um triângulo eqüilátero inscrito

em S.

Com a ferramenta Segmento Definido por Dois Pontos crie os segmentos

AO e A’O. Com a ferramenta Ponto Médio ou Centro clique sobre o segmento AA’.

O Geogebra nomeará esse ponto médio de C. Com a ferramenta Segmento

Definido por Dois Pontos crie os segmentos OC, o apótema do polígono. Deslize

o seletor e observe as mudanças.

Selecione ferramenta a Distância, Comprimento ou Perímetro, calcule as

medidas AA”, OC e AO.


“ladoAA’=” + nome (nome ladoAA’ na coluna algébrica)

47

“apótemaOC=” + nome (nome apótema OC na coluna algébrica)

“raioOA=” + nome (nome raio OA na coluna algébrica)

pp=n*nome (nome ladoAA’ na coluna algébica) (pp= perímetro

polígono)

pc=2*π*nome (nome raioOA na coluna algébrica) (pc= perímetro

círculo)

“Superfície polígono=” + (pp*nome)/2 (nome do apótema na coluna

algébrica).

“Superfície círculo=” + (π*nome²) (nome do raio do polígono na coluna

algébrica).

Deslize o seletor com o mouse, movimente o ponto A, observe os valores dos

perímetros e superfícies e conjecture qual a relação da área e do perímetro dos

polígonos regulares com área e perímetro do círculo. Por que no seletor usamos n

(nº lados) mín: 3?

Atividade55:

O comprimento de uma circunferência C1 vale duas vezes o comprimento de

uma circunferência C2. Qual a relação entre as áreas dos círculos que tem C1 e C2

com as fronteiras?

Atividade56:

(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tambores

cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2m de lado. Conforme figura. Para 1

tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 pequenas.

As sobras do material da produção diária das tampas grandes, médias e

pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III,

para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, podemos

afirmar que:

48

a ) a entidade I recebe mais material do que a intidade II.

b) a entidade I metade do material do que a entidade III.

c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.

d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.

e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

Atividade 57:



para n, intervalo min: 2 e max:5 e Aplicar. Crie outro seletor, altere nome para m

intervalo min:3 e max:7 e Aplicar.

Crie 2 círculos um em cada lado da área de desenho. Selecione a ferramenta

Círculo dado Centro e Raio, clique no plano e aparecerá uma caixa digite n e tecle

OK. Repita a operação para outro círculo e digite na caixa m e tecle OK.

Com a ferramenta Área, calcule a área de C1 e C2, clicando nas fronteiras

dos círculos C1 e C2.

No campo de entrada digite os textos dinâmicos:

“áreac1/áreac2=” + (nome1/nome2) (nome1 e nome2, observar

na coluna algébrica, área de C1 e área de C2).

“(raioc1/raioc2)²=” + (n/m)² (n e m são os seletores que

indicam o raio de c1 e c2 na coluna algébrica).

Movimente os seletores e observe os textos dinâmicos. Conjecture sobre o

teorema da relação razão das áreas com raios dos círculos C1 e C2.

Atividade58:

Dois círculos tem raios 3 e 12 respectivamente. Qual a razão de suas áreas.

Atividade59:

O perímetro de um quadrado é igual ao comprimento de uma circunferência.

Qual determina uma área maior? Qual a razão entre a área do quadrado e a área do

círculo?

4 REFERÊNCIAS

Dante, Luiz Roberto. Tudo é matemática 8ª série. São Paulo: Editora Ática, 2002.

49

Gerônimo, João Roberto, Rui Marcos de Oliveira, Valdeni Soliani Franco. Geometria Euclidiana Plana: um estudo com Software Geogebra. Maringá: Eduem, 2010.

Lezzi, Gelson, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. Matemática e realidade 9° ano. São Paulo: Atual Editora, 2009.

MOISE, Edwin E., Floyd L. Downs Jr. Geometria Moderna Parte I, Tradutores: Renate G. Watanabe, Dorival A. Mello. São Paulo, SP: Editora Edgard Blucher Ltda, 1971.

http://www.geogebra.org/cms acesso em 13/07/11

http://profpereira.com.sapo.pt/icemcn/geo_area.html acesso 13/07/11

http://pt.scribd.com/doc/2972270/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Geometria-Areas-I acesso em 13/07/11

50

http://pt.scribd.com/doc/2972270/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Geometria-Areas-I%20acesso%20em%2013/07/11

http://pt.scribd.com/doc/2972270/Matematica-Exercicios-Resolvidos-Geometria-Areas-I%20acesso%20em%2013/07/11

http://profpereira.com.sapo.pt/icemcn/geo_area.html


plano de aÇÃo docente - diaadiaeducacao.pr.gov.br · por meio de suas ferramentas é possível,...

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