platten ss 2016 [kompatibilitätsmodus] · 2016. 8. 12. · • tabellen nach stiglat-wippel...
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baustatik III – SS 2016
3. Platten
3.1 Scheiben und Platten 3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Platentheorie3.3 Schnittgrößen in Platten3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
3.4.1 Einfeldplatten3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten (MARCUS-Verfahren, Tabellen nach STIGLAT/WIPPEL)
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten (CZERNY-Tafeln, Tabellen nach HAHN)3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte (Einzugsflächen-
Verfahren)3.4.2 Durchlaufende Platten (Verfahren nach Pieper/Martens)
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Sceiben: Voraussetzungen
Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken parallel zur Scheibenebene
Keine Verkrümmung der Scheibenebene!
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Platten: Voraussetzungen
Voraussetzungen: Dicke viel kleiner als die Seitenlängen Lasten wirken quer zur Plattenebene
Verkrümmung der Plattenebene!
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Scheiben
x
y
z
xσ
yσ
xyτ
yxτhAnnahme:
Ebener Spannungszustand (ESZ)
yz
xy
= =0
, , 0z xz
x y
σ τ τσ σ τ
=
≠
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Scheiben
x
y
z
xσ
yσ
xyτ
yxτh
Annahme:Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t , da h sehr klein ist!
Spannungen
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Scheiben
Scheibenkräfte
h
y
zx
yxn
xn
xyn
yn
( )
Normalkräfte in x-Richtung: Normalkräfte in y-Richtung:
Schubkräfte:
wobei , da
x x
y y
xy xy xy
xy yx xy yx
n hn h
n h h
n n
σσσ τ
τ τ
= ⋅= ⋅
= ⋅ = ⋅
= =
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Platten
xσyσ
xyτyxτ
x
y
zh
yzτ xzτ
SpannungenPlattenmittelebene
• Normalspannungen: ,x yσ σ
• Schubspannungen: , ,xy yx xz yzτ τ τ τ=
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Platten
Schnittgrößen Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
• Biegemomente: ,x ym m
• Querkräfte: ,x yq q
• Drillmoment: xy yxm m=
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).
Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!
Normale
zw
P
P
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3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie
( ) ( ),, 0Z
w x yw w x y
zε
∂= = =
∂
( )0 Schubverzerrungxz yzγ γ= =
Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.
Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.
0zσ = (Ebener Spannungszustand)
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3.3 Schnittgrößen in Platten
xσyσ
xyτyxτ
x
y
zh
yzτ xzτ
SpannungenPlattenmittelebene
• Normalspannungen: ,x yσ σ
• Schubspannungen: , ,xy yx xz yzτ τ τ τ=
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3.3 Schnittgrößen in Platten
Schnittgrößen Plattenmittelebene
x
y
zh
xymyxm
xqyqxm
ym
• Biegemomente: ,x ym m
• Querkräfte: ,x yq q
• Drillmoment: xy yxm m=
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3.3 Schnittgrößen in Platten
Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:
h
2hz =
2hz = −
z
2
2
wobei: h
hx x x xxm z dz m mσ
−
= ⋅ ⋅ =2
2
wobei: h
hy y y yym z dz m mσ
−
= ⋅ ⋅ =
• Biegemomente:
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3.3 Schnittgrößen in Platten
• Drillmoment2
2
h
hxy xym z dzτ
−
= ⋅ ⋅ ( )xy yxm m=
• Querkräfte
2
2
h
hx xzq dzτ
−
= ⋅ (qx = resultierende Kraft von τxz )
2
2
h
hy yzq dzτ
−
= ⋅ (qy = resultierende Kraft von τyz)
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3.3 Schnittgrößen in Platten
Hauptmomente:
( )1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m
22
1,2 2 2x y x y
xy
m m m mm m
+ − = ± +
( ) 2tan 2 xy
x y
mm m
ϕ =−
ϕ
2m
1m
yxm
ym
xym
xm
x
y
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Bemerkungen:
Die Hauptmomente und die Hauptrichtungen können auch mit dem Mohrschen Kreis bestimmt werden.
Vorgehensweise zur Konstruktion des Mohrschen Kreises: Siehe Mohrscher Spannungskreis oder Mohrscher Dehnungskreis!
3.3 Schnittgrößen in Platten
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Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast
1xm m=
2ym m=
2m1m
+
−
−
2
27,2pl2
21,6xyplm = 2m
1 2 xym m m= − =
x
y
auf der -Achsexm xmax. xm
+
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Eckkräfte in der Platte
Bei manchen Auflagerbedibgungen sind Eckkräfte vorhanden, die abhebend sind!
Maßnahmen gegen Abheben:1) durch Auflast in der Ecke,2) durch Verankerung,3) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder
benachbarter Platte.
Quelle: Prof. J. Hegger: Vorlesung Massivbau II, RWTH Aachen.
1m
2m
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3.4 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen in Platten
Bei komplizierten Plattengeometrien und Belastungen sind analytischeLösungen der Plattengleichung meistens aussichtslos. Vielmehr müssenComputerprogramme (z.B. Finite Elemente Methode bzw. FEM) verwendetwerden. Auch Näherungslösungen oder vereinfachte Methoden in Form vonTabellen und Diagrammen können dafür eingesetzt werden.
3.4.1 Einfeldplatten
xy
a
b
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3.4.1 Einfeldplatten
Einachsig gespannte Platte 2-achsig gespannte Platte
Einachsig gespannte Platten:Lastabtragung nur in einer Richtung
2-achsig gespannte Platten:Lastabtragung in 2 Richtungen
Einfeldplatten
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3.4.1.1 Einachsig gespannte Platten
1m1m Streifen
p
a
Einachsig gespannte Platten:•Bedingung:•Bei einer einachsig gespannter Platte kann ein 1m-Streifen als Balken betrachtet werden.•Beispiel: konstante Flächenlast
2
max. 8x
pam =
max. 2xpaq =
2 !y xl l>
max. y xm mν≅ ⋅
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3.4.1.2 Zweiachsig gespannte Platten
Drillfreie bzw. drillweiche Platten:
Drillsteife Platten:
2-achsig gespannte
Platten
0xym =
0xym ≠
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Drillfreie bzw. drillweiche Platten:• Marcus-Verfahren (Streifenkreuz-Verfahren, Streifenmethode,
Lastaufteilungsverfahren).• Tabellen nach Stiglat-Wippel
Drillsteife Platten:• Czerny-Tafeln:
4- und 3-seitige Lagerung, konstante und dreiecksförmige Belastung.• Hahn:
3-seitige Lagerung, Linienlast am freien Rand.• Bruckner:
4- und 3-seitige Lagerung, Punkt- und Linienlasten.• Stiglat und Wippel, Pucher, Bittner:
Sonderfälle.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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Literatur:Bittner, E.: Platten und Behälter. Springer-Verlag, Wien/New York, 1965.
Bruckner, H.: Elastische Platten. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1977.
Hahn, J.: Durchlaufträger, Rahmen, Platten und Balken auf elastische Bettung.
Werner-Verlag, Düsseldorf, 1981.
Pucher, A.: Einflußfelder elastischer Platten. 5. Auflage, Springer-Verlag, 1977.
Stiglat, K., Wippel, H.: Massive Platten. In: Beton-Kalender, Teil 2, Ernst & Sohn
Verlag, 2000, Seiten 211-290.
Stiglat, K, Wippel, H.: Platten. Ernst & Sohn Verlag, 3. Auflage, 1993.
Czerny, F.: Tafeln für Rechteckplatten. In: Beton-Kalender, Teil 1, Ernst & Sohn
Verlag, 1999, Seiten 277-330.
2-achsig gespannte Platten: Überblick
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3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
xl
yl
1m
1m
p
xp
xl
yl
yp
Lastaufteilung:
x y
x x
y y
p p pp k pp k p
= +
==
1x yk k+ =
und sind von RB abhängig und sie sind tabelliert!x yk k
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
22
max. , max. , 0 8 8
y yx xx y xy
p lp lm m m= = =
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1 4 4
4 4 4 4 4
11 , 1 y xx y x
x y x y
l lk k kl l l lε
− = + = = − == + +
y
x
ll
ε =
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
Aus der nachfolgenden Tabelle abgelesen:
Bemerkung:Die beiden Lastaufteilungsfaktoren können aus der Bedingung der gleichenDurchbiegung der beiden Streifen in der Plattenmitte (Kompatibilitätsbedingung)bestimmt werden.
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerter Platte unter konstanter Flächenlast
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xl
yl
1m
1m
p
xp
xf
yf
yp
44 55 , 384 384
y yx xx y
p lp lf fEI EI
= =
x yf f=
4 4x x y yp l p l=
x yp p p+ =
4
4 4
y
x
x y
k
yl
lp p
l+=
4
4 4 ,
x
y
y
k
xx
ll l
p p+
=
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Streifenkreuz-Verfahren
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Bautabelle Schneider
Drillfreie Platten:
Streifenkreuz-
Verfahren
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3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.
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Alle 4 Ränder eingespannt
3.4.1.2.1 Drillfreie Platten: Tabellen nach Stiglat/Wippel
Stiglat, K., Wippel, H.: Beton-Kalender, 2000.
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Annahme: 0ν =
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
gelenkig
eingespannt
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Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder gelenkig gelagert
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Czerny-Tafeln
Alle 4 Ränder eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig gelenkig gelagert
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
3-seitig eingespannt
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3.4.1.2.2 Drillsteife Platten: Tabellen nach Hahn
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Bemerkungen:•Bei einigen Tabellen wird vereinfachend ν =0 angenommen (z. B. Czerny-Tafeln, Bittner). Dies ist zulässig im Stahlbetonbau, mit der Ausnahme von Fahrbahnplatten.•Falls die Querkontraktionszahl ν zu berücksichtigen ist, dann erfolgt die folgende Umrechnung:
( ) ( 0) ( 0)
( ) ( 0) ( 0)
( ) (1 ) ( 0)
( ) ( 0)( ) ( 0)
( 0)( ) ( 0) (1 )
( 0)( ) ( 0) (1 )
x x y
y y x
xy xy
x x
y y
xyx x
xyy y
m m mm m mm mq qq q
mq q
ym
q qx
ν ν ν νν ν ν νν ν ν
ν νν ν
νν ν ν
νν ν ν
= = + =
= = + =
= − =
= == =
∂ == = + −
∂∂ =
= = + −∂
Drillsteife Platten
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
Die Auflager- und Eckkräfte können mit der Methode der Einzugsflächenäherungsweise bestimmt werden.
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Bautabelle Schneider
Bestimmung der
Auflager- und
Eckkräfte:
Methode der
Einzugsfläche
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.1.2.3 Bestimmung der Auflager- und Eckkräfte
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xl
yl
p
x
yBeispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
unter konstanter Flächenlast
/ 1,5y xl l =
22
2max
22
22
max
22
0,07313,7
0,073
0,02835,7
0,02934,7
0,06116,3
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xxye x
plm pl
m m plplm pl
plm pl
plm pl
= =
= =
== =
= =
= =
22
2max
22
22
max
0,1287,8
0,128
0,0520
0,0519,9
0
xxm x
x xm x
xym x
xy x
xye
plm pl
m m plplm pl
plm pl
m
= =
= =
== =
= =
=
22
2max
22
2max
0,1048
0,104
0,0468
0,046
0
x xxm x
x xm x
y yym x
y ym x
xye
p lm pl
m m plp l
m pl
m m plm
= =
= =
== =
= =
=
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Czerny-Tafel:Stiglat/Wippel:
Marcus:
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Momente Czerny(drillsteif)
Stiglat/Wippel(drillweich)
Marcus(drillweich)
xmm
maxxm
maxymymm
xyem
20,073 xpl20,073 xpl
20,028 xpl20,029 xpl20,061 xpl
20,128 xpl
20,128 xpl
20,05 xpl20,05 xpl
0
20,104 xpl
20,104 xpl20,046 xpl20,046 xpl
0
Beispiel: 4-seitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte
Bemerkungen: Die maximalen Feldmomente bei der drillsteifen Platte sind kleiner als bei der
drillweichen Platte! Grund: Die 4 Ecken der drillsteifen Platte tragen die Last mit!
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Überblick:
Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)• Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.• Dabei werden die Verkehrslast (veränderliche Last) „schachbrettartig“ so
umgeordnet, dass es jeweils zu max. Feldmomenten und max. Stützmomenten (in Betrag) führt.
• Voraussetzung: min. l / max. l ≥0,75.
Verfahren nach Pieper/Martens• Voraussetzungen: q ≤ 2g, q ≤ 2(g+q)/3 (g: Eigenlast, q: Verkehrslast).• Verfahren beruht auf BU-Verfahren.• Verfahren liefert im Allgemeinen größere Feldmomente als BU-Verfahren
(auf der sicheren Seite).• Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.
3.4.2 Durchlaufende Platten
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Wände
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Schachbrettartige Anordnung der Verkehrslast q
Für max. Feldmoment Für max. Stützmoment (Betrag)
x
y
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Eigenlast : g
Verkehrslast : q
Eigenlast : g
Verkehrslast : / 2q
Verkehrslast : / 2q±
Anordnung der Verkehrslast q
3.3.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
+
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/2g q+
Ersatzsystem für max. Feldmoment
Innenfeld
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
/ 2q±
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Feldmoment
In y-Richtung genauso!
gelenkigeingespannt/2g q+ / 2q
x
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/2g q+
Ersatzsystem für max. Stützmoment
Innenfeld
3.4.2 Durchlaufende Platten: BU-Verfahren
Innenfeld
Ersatzsystem für max. Feldmoment
1.) Belastung aller Felder durch g+q/2 2.) Schachbrettartige Belastung durch g+q/2
Bestimmung von max. Stützmoment (in Betrag)
In x-Richtung wie beim max. Feldmoment!
/ 2q±
eingespannt
gelenkig
y
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
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Bautabelle Schneider
Durchlaufende Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Bautabelle Schneider
Durchlaufende
Platten:
Verfahren nach
Pieper/Martens
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Quelle: Bautabelle Schneider
3.4.2 Durchlaufende Platten: Verfahren nach Pieper/Martens
Wände 4
6
Beispiel