Smantique

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Modle dun langage

Donn un langage des prdicats, un modle de est :Un ensemble appel le domaine.Pour chaque constante un lment Pour chaque fonction n-aire , une application .Pour chaque prdicat n-aire une application .

DL

L

a aDf

: nf D DP

{ }: ;nP Vrai FauxDCopyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Assignation de variables dans un modle

Etant donnes n variables une assignation est la donne de nlments du domaine .

Un atome (par ex. ) prend dans le modle une valeur ou pour chaque assignation de ses variables (valeur dfinie par ).

1 2, ,..., nx x x

1 2, ,..., nX X X D

1 1 2 2; ;...; n nx X x X x X

1 2( ( ), )P f x xVrai Faux

1 2( ( ), )P f X XCop

yright

: Jean

-Philip

pe Pr

aux

Valeur dune FBF pour une assignation

Etant donne une formule invoquant les variables libres , ainsi quune assignation de , on peut valuer ( ou ) la formule

:

Si est un atome il prend naturellement une valeur ou .Les connecteurs logiques sont valus selon les tables de vrit :

1 2( , ,..., )nx x x

1 2, ,..., nx x x1 2, ,..., nx x x

1 2( , ,..., )nx x xVrai Faux

Vrai Faux

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Tables de vrit

P P P

P P

Q Q

Q Q

P Q P QP

F

F F F

FF

F

F

FFF F

F

FF

FF

F

FFF

FFF

VV

V

V VVV

V

V VVVV

VV

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

VF

P Q P Q

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

est si est pour toute assignation de .

est si est pour au moins une assignation de .

Vrai,x P Vrai

VraiVrai,x P

P

P

x

x

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune FBF dans un modle

Une FBF est Vraie dans un modle , si elle est vraie pour toute assignation de ses variables libres. On dit que est un modle de et lon crit :

Une FBF est Fausse si sa ngation est Vraie. On dit que est un contre modle de .

En gnral une FBF nest ni vraie ni fausse !!

M

M

M M

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune FBF close dans un modle

Une FBF close nayant pas de variables libres, sa valeur ne dpend daucune assignation.

En particulier, dans un modle , une FBF close est soit Vraie soit Fausse !!

Soit soit

M

M M

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune FormuleOn se donne un langage et une FBF

est valide si elle est Vraie dans tout modle de . On dit aussi que est une tautologie. On note :

Sinon on dit que est invalide.

L

L

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune FormuleOn se donne un langage et une FBF

est valide si elle est Vraie dans tout modle de . On dit aussi que est une tautologie. On note :

Sinon on dit que est invalide.Les formules valides (ou tautologies) sont

les vrits logiques !!

L

L

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune Formule

est inconsistante si elle est Faussedans tout modle de . On dit aussi que est contradictoire.

Sinon on dit que est consistante.

L

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valeur dune Formule

est inconsistante si elle est Faussedans tout modle de . On dit aussi que est contradictoire.

Sinon on dit que est consistante.

est valide ssi est inconsistante

L

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valides

Inconsistantes

Consistantes & invalides

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valides

Inconsistantes

Consistantes & invalides

Vraies dans tout modle

Fausses dans tout modle

Parfois Vraiesparfois

Fausses

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valides

Inconsistantes

Consistantes & invalides

Vraies dans tout modle

Fausses dans tout modle

Parfois Vraiesparfois

Fausses

P

Q

R

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valides

Inconsistantes

Consistantes & invalides

Vraies dans tout modle

Fausses dans tout modle

Parfois Vraiesparfois

Fausses

P

Q

R

P

R

Q

est valide ssi est inconsistant

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Valides

Inconsistantes

Consistantes & invalides

Vraies dans tout modle

Fausses dans tout modle

est valide ssi est inconsistant

Classes intressantes

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ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

Deux formules et son quivalenteslorsquelles ont mme valeur de vrit dans tout modle. On crit :

Dans ce cas est valide (resp. inconsistante, etc) ssi est valide (resp. inconsistante, etc).

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ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

P P

P Q ( ) ( )P Q Q P P Q P Q P Q Q P (Contraposition)

(A retenir !!)

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ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

P Q Q P

P Q Q P

P Q Q PAssociativit

Commutativit

( )P Q R ( )P Q R

( )P Q R ( )P Q R Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

( )P Q R

( )P Q R

( )P Q R

( )P Q R

( ) ( )P Q P R

( ) ( )P R Q R

( ) ( )P Q P R

( ) ( )P R Q R

Distributivit

de sur

de sur

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

( )P Q P Q

( )P Q P Q

( , )x P ,x P

( , )x P ,x P

( )P Q P Q

Lois de

De Morgan

Ngation

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

, ( )x P x , ( )y P y

, ( )x P x , ( )y P y

,( ( ) ( ))x P x Q x , ( ) , ( )x P x x Q x

,( ( ) ( ))x P x Q x , ( ) , ( )x P x x Q x

Lois des variables muettes

Quantificateurs

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Formules quivalentes

, ( )x P x RxQ ,( ( ) )x P x RQ

, ( )x P x RxQ ,( ( ) )x P x RQ

,( ( ))x R P xQ, ( )R x P x Q

, ( )R x P x xQ ,( ( ))x R P xQ

Quantificateur

O reprsente nimporte quel quantificateur ouQ et na pas pour variable libreR xCo

pyrigh

t : Jea

n-Phili

ppe P

raux

Thorie, consquence logiqueUne thorie est la donne dun ensemble de FBFs closes .

Une modle de la thorie est un modle de chacune de ses formules.

Une formule est consquence logiquede la thorie si tout modle de la thorie est aussi un modle de . On crit :

{ }1 2, ,..., n

{ }1 2, ,..., n

{ }1 2, ,..., n Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Thorme de la dduction

Thorme :si et seulement si

{ }1 2, ,..., n

1 2( ... )n

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Thorme de la dduction

Thorme :si et seulement si

Consquence : il est pareil de dire que : est consquence logique de est valide est inconsistante

{ }1 2, ,..., n

1 2( ... )n

{ }1 2, ,..., n 1 2( ... )n

1 2 ... n Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Systme axiomatique

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Rgles dinfrence

Une rgle dinfrence est une rgle qui permet de dduire une FBF (conclusion) de une ou plusieurs autres FBFs (prmisses).

On ne considre que des rgles dinfrence saines, cest--dire dont la conclusion est consquence logique des prmisses.Co

pyrigh

t : Jea

n-Phili

ppe P

raux

Rgles dinfrenceExemples :

Le Modus Ponens : dduit partir de et de .Le Modus Tollens :dduit partir de et de .Rgle de gnralisation :dduit partir de .Substitution de termes :dduit partir de .

Q P P Q

P QP Q

, ( )x P x ( )P x

( )P c , ( )x P xCopyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Systme axiomatique

Un systme axiomatique est la donne dune thorie (les axiomes) et dun nombre fini de rgles dinfrence.

Une Preuve est une suite de FBFs, dont chacune est soit un axiome soit dduit des FBFs prcdentes par une rgle dinfrence.

La dernire formule dune preuve est un thorme.Co

pyrigh

t : Jea

n-Phili

ppe P

raux

CompltudeSi un systme axiomatique a pour axiomes des formules valides et pour rgles dinfrence des rgles saines, alors tout thorme de ce systme est une formule valide.

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

CompltudeSi un systme axiomatique a pour axiomes des formules valides et pour rgles dinfrence des rgles saines, alors tout thorme de ce systme est une formule valide.Question : Peut-on trouver un systme axiomatique dont les thormes soient exactement les formules valides ?

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

CompltudeSi un systme axiomatique a pour axiomes des formules valides et pour rgles dinfrence des rgles saines, alors tout thorme de ce systme est une formule valide.Question : Peut-on trouver un systme axiomatique dont les thormes soient exactement les formules valides ?Un tel systme serait dit complet.Co

pyrigh

t : Jea

n-Phili

ppe P

raux

Compltude

Thorme de compltude :Pour tout langage des prdicats , il existe un systme axiomatique , tel que :

Une FBF de est un thorme de si et seulement si cest une formule valide.

est consquence logique de si et seulement si cest un thorme du systme obtenu partir de en lui ajoutant les axiomes .

SL

L S

{ }1 2, ,..., n S

1 2, ,..., n Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Indcidabilit

Existe-t-il un algorithme qui prend en entre une FBF et en sortie rpond par oui ou non la question la formule entre est-elle valide ? ?

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Indcidabilit

Existe-t-il un algorithme qui prend en entre une FBF et en sortie rpond par oui ou non la question la formule entre est-elle valide ? ?Une telle proprit serait une proprit de dcidabilit.

Copyr

ight :

Jean-P

hilipp

e Pra

ux

Indcidabilit

Existe-t-il un algorithme qui prend en entre une FBF et en sortie rpond par oui ou non la question la formule entre est-elle valide ? ?Une telle proprit serait une proprit de dcidabilit.

Thorme dindcidabilit :Un tel algorithme nexiste pas.Co

pyrigh

t : Jea

n-Phili

ppe P

raux