Podstawy Fizyki

Wykład 2

Opis ruchu

Czym jest mechanika?Mechanika jest działem fizyki zajmującym się opisem ruchu i odkształceń ciał materialnych na skutek ich wzajemnych oddziaływań. Mechanika bada też stan równowagi pomiędzy ciałami materialnymi. Mechanikę dzielimy na:

•kinematykę,

•dynamikę.

2

Kinematyka zajmuje się badaniem (opisem) geometrycznych własności ruchu ciał bez uwzględnienia ich cech fizycznych oraz działających na nie sił.

Dynamika zajmuje się opisem ruchu ciał materialnych pod wpływem działających na nie sił.

3

Układ odniesienia, układy współrzędnych

Układem odniesienia nazywamy ciało lub układ ciał, względem którego dokonujemy określenia położenia innych ciał.

Jeżeli położenie badanego ciała zmienia się w czasie względem układu odniesienia, mówimy że ciało to jest w ruchu względem tego układu.

Jeżeli położenie badanego ciała nie zmienia się w czasie względem układu odniesienia, mówimy że ciało to jest w spoczynku względem tego układu. 4

Wybór układu odniesienia jest koniecznym warunkiem opisu ruchu lub spoczynku ciała.

Zarówno ruch jak i spoczynek są pojęciami względnymi.

Przejście od opisu ruchu w jednym układzie odniesienia do opisu tego ruchu w innym

układzie jest możliwe dzięki zastosowaniu tzw. transformacji współrzędnych.

5

Z ciałami będącymi układem odniesienia bardzo często wiążemy układ współrzędnych.

W zagadnieniach mechaniki bardzo często stosujemy kartezjański (prostoliniowy) układ współrzędnych prostokątnych.

Inne układy współrzędnych to m.in.: •układ sferyczny;•układ cylindryczny.

6

Inne układy współrzędnych:

7

Układ sferyczny Układ cylindryczny

Opis punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych

8

P

x

y

z

Oxp

zp

yp

P(xp,yp,zp)

W mechanice bardzo często stosuje się uproszczenie polegające na zastąpieniu ciał rozciągłych przez punkty. Wiąże się to z tym, że położenie punktu możemy opisać najprościej, tzn. podając tylko trzy jego współrzędne.

Punktem materialnym nazywamy ciało obdarzone masą, ale mające rozmiary tak małe, że jego położenie można opisać bez znaczącego błędu jako położenie punktu geometrycznego.

9

Pojęcie punktu materialnego jest pojęciem względnym. I tak np. przy opisie ruchu samochodu podczas wjazdu „do koperty”, nie możemy traktować go jako punkt materialny. Możemy natomiast tak postąpić przy opisie jego ruchu z Rzeszowa do Gdańska.

Ciała rzeczywiste nie są punktami. Dla ruchu translacyjnego (postępowego) ciała można założyć, że odpowiada mu punkt materialny będący cząstką o masie równej masie obiektu umieszczonej w centrum jego masy.

10

Położenie i tor ciałaObierając konkretny układ współrzędnych obserwator może opisać jednoznacznie położenie badanego punktu materialnego wprowadzając tzw. wektor położenia (wektor promienia wodzącego), którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych a koniec w badanym punkcie.

Promień wodzący można określić matematycznie w różny sposób.

11

12

P

x

y

z

O

r

zyxr ˆˆˆ zyx

xx

yy

zz

zzyyxx ,, cos,sinsin,cossin rzryrx

Ruch ciała – jest to wzajemne przemieszczenie się w przestrzeni w miarę upływu czasu, jednych ciał względem drugich. Ruch jest zjawiskiem względnym. Opisujemy go podając położenie ciała w każdej chwili czasu względem ciała (układu) odniesienia

x

yr(t)

O

Torem – nazywamy krzywą lub prostą utworzoną przez punkty określające kolejne położenia ciała w przestrzeni

x

y

r

P

y

x

z

z

Oxi

yi

zi

Jeżeli w odpowiednim układzie współrzędnych chcemy podać położenie punktu to możemy to uczynić definiując tzw. wektor wodzący, albo też wektor położenia.

zyxr

zyx izziyyixx

,,

zyx iziyixr

222 zyxr

Położenie punku materialnego

Układ kartezjański

Przemieszczenie

x

y

z

r1→

r(t)→

r12

→

r2

→zyx iziyixr

1111 Położenie początkowe

zyx iziyixr

2222 Położenie końcowe

212

212

2121212 )()()( zzyyxxrr

Interwał przestrzenny

zyx izziyyixxrrr

)()()( 1212121212

Przemieszczenie

Przemieszczenie elementarne

zyx idzidyidxrd

Tor

Torem (trajektorią) nazywamy linię zakreślaną przez cząstkę podczas ruchu

r(t)→

Równanie toru

zyx itzityitxtrr

)()()()(

)(

)(

)(

tzz

tyy

txx

0),,( zyx

Parametryczne równanie toru

Postać jawna równania toru

Wektorowe równanie toru

r1→

r12

→

r2

→

s12

Droga

Drogą nazywamy długość przebytego przez cząstkę odcinka toru 12

2

1

2

1

rddss

Dla współrzędnych kartezjańskich

dtdt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dtdzdydxs

2

1

2222

1

222

Kierunek tej prędkości jest zgodny z kierunkiem wektora r .

Prędkość średnia

r1(t) r2(t+t)

r

t

rvśr

Średnią prędkością nazywamy wektor zdefiniowany następująco:

r1

r2

r3

P1

P2

P3P

x

y

z

r r1

r3

r2

Prędkość (prędkość chwilowa)

0 0

lim limdef

t t

r t t r t dr trv

t t dt

zyx idt

tdzi

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

zzyyxx ivivivv

dt

tdzv

dt

tdyv

dt

tdxv zyx

)(,

)(,

)(

v

Dodawanie prędkości

x

yr

→

z

x’

y’

z’

r’→

v'v

u

uvv

'

r0

→

u

prędkość unoszenia

0' rrr

0 0' '

'd r r drdr dr

v v udt dt dt dt

z v1

x

y

tor

P1

P2

v2

vr1

Średnie przyśpieszenie definiujemy jako:

t

vaśr

Przyspieszenie średnie

Przyspieszenie

2

20 0lim lim

def

t t

v t t v tv dv d dr d ra

t t dt dt dt dt

zzyyxxzyx iaiaiaaaaa

W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy napisać wektor przyśpieszenia jako sumę jego składowych:

zydlaitpdt

xd

dt

dva xx ,,

2

2

222zyx aaaa

Przyspieszenie styczne i normalne

dt

ivd

dt

vda t )(

dt

idvi

dt

dva t

t

tt idt

dva

dt

idva t

n

Wiemy, że więc

stąd

Co daje

aan

at

ti

ni

nn

tt

iv

a

idt

dva

2

przyspieszenie styczne

przyspieszenie normalne

Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała

)(

)(

00

00

00

ttvxx

ttvdtvdtvxxt

t

t

t

Ruch jednostajny

,v const%%%%%%%%%%%%%% 0a

: , 0, 0x y zgdy v v v v

x

t

x=x 0 + v(t-t 0

)

t0

x0

Ruch jednostajnie zmienny

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const0.

gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym,

gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

: , 0, 0x y zgdy a a a a

)( 00

00

ttavvdtadv

dtadv

xx

t

t

v

v

x

x

x

dtttadtvxdtttavxxt

t

t

t

xt

t

x )()]([000

000000

20 0 0 0

1( ) ( )

2xx x v t t a t t

,a const%%%%%%%%%%%%%%

a

t

a(t-t0)

t0 t

v

t

v=v 0 + a(t-t 0

)

t0

v0

t

s

Rzut ukośny

Składowe prędkości początkowej wynoszą: sin,cos 0000 vvvv yx

Składowe przyspieszenia: gaa yx ,0

y

x

v0

ymax

g

z

x

v

vx

g

vz

g

vx

vvz

g

vx

v

g

vx

vvz

gtvvvv yx sin,cos 00

Zależność prędkości od czasu

Parametryczne równanie toru

20000 2

1)(,)( tgtvytytvxtx yx

Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości:

1. Zasięg rzutu,2. Maksymalna wysokość

Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0.

2sin

cos2 20

220

max g

v

g

tgvx

Maksymalna wysokość ciała poruszającego się rzutem ukośnym wynosi:

220

max sin2g

vy

Czas trwania rzutu: sin2 0

g

vt

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem płaskiego ruchu krzywoliniowego gdzie r = const

y

x

r s

Ruch ciała określony jest przez funkcję = (t), definiująca tzw. drogę kątową.

Przebyta droga jest równa (def. kąta płaskiego):

s r

rvrdt

d

dt

ds

v oznacza prędkość liniową (transwersalną), a prędkość kątową. Jednostką prędkości kątowej jest s-1.Jeżeli prędkość kątowa =const ruch po okręgu nazywamy jednostajnym.

Różniczkując prędkość v po czasie, otrzymujemy;

rardt

d

dt

dvt

Gdzie at jest liniowym przyśpieszeniem stycznym, a nazywamy przyśpieszeniem kątowym.

Różniczkując drogę s po czasie, otrzymujemy;

a

an

at

r

Zależności wektorowe (informacje dodatkowe)

rv

nt aaadt

rdr

dt

d

dt

vda

rrdt

dat

rrrrvan 2)()()(

r

v

at

Okres – czas potrzebny na przebycie drogi kątowej w ruchu jednostajnym po okregu

T

2 gdzie częstość

jest równa: 21 T

Określanie zwrotu prędkości i przyspieszenia kątowego

PorównaniePorównaniewielkości liniowych i kątowychwielkości liniowych i kątowych

kątowe liniowe

const t 0

200 2

1tt

consta

v v at 0

x x v t at 0 021

2

x = rv = rat = r

klasyfikacja ruchów