Uniwersytet WrocławskiWydział Matematyki i Informatyki

Piotr Koczenasz

Podstawy logiki i teorii mnogościw zadaniach

Praca magisterska

napisana pod kierunkiemprof. dr. hab. Leszka Pacholskiego

Wrocław, czerwiec 2004 r.

Słowo wstępne

Dlaczego ludzie uczą się matematyki? Aby nauczać matematyki innych.— H. Steinhaus

Praca niniejsza przeznaczona jest dla studentów I roku Informatyki UniwersytetuWrocławskiego, a w szczególności dla słuchaczy obowiązkowego w pierwszym semestrzewykładu „Logika dla informatyków”. Obejmuje ona większość materiału objętego pro-gramem kursu (za wyjątkiem teorii unifikacji oraz elementów algebry abstrakcyjnej).Pominięcie tych ważnych działów jest wynikiem obserwacji, z których wynika, że obiewymienione wyżej dziedziny pozostają poza zasięgiem percepcji przeciętnego studenta wtrakcie pierwszego semestru studiów, co więcej, zadania ich dotyczące nie pojawiają sięzwykle na egzaminie.

Uwaga studenta musi w głównej mierze skupić się na pozostałych punktach programu,a więc na klasycznym rachunku zdań, rachunku funkcji zdaniowych, teorii zbiorów, teoriimocy oraz zbiorach uporządkowanych. Porusza się przy tym kwestie dość elementarne.Trudność kryje się — zdaniem autora tej pracy — nie w zawiłości omawianych zagadnień,a w swego rodzaju szoku, który doznaje student na widok mnóstwa pojęć, definicji itajemniczych symboli, który znaczenia nie pojmuje. A student, który nie rozumie teorii,nie rozwiąże samodzielnie zadań, ćwiczenia z przedmiotu będą dla niego stratą czasu,nigdy też nie nauczy się ścisłego formułowania myśli, a zdobycie umiejętności poprawnegownioskowania stanie się dla niego nieosiągalne.

Aby zapobiec takiemu biegowi wypadków, w pracy niniejszej można znaleźć dokład-ne, możliwie proste i jasne omówienie symoboliki oraz większości licznych pojęć, z jakimimoże zetknąć się słuczacz wykładu „Logika dla informatyków”. Znakomita większość znich jest zilustrowana przykładem, mającym zobrazować dane pojęcie „w działaniu”. Wpracy tej znaleźć można rozwiązania wielu zadań, które pojawiają się na ćwiczeniach zprzedmiotu. Zostały one tak dobrane, by zilustrować sposób rozwiązywania zadań danegotypu. Rozwiązania często są przesadnie szczegółowe, ale — jak wiadomo — najtrudniejpisze się o rzeczach prostych. Trzeba tutaj przestrzec przed nazbyt pochopnym korzy-staniem na ćwiczeniach z gotowych rozwiązań. W opinii autora taka droga „na skróty”skończyć się może w jeden sposób — oceną niedostateczną z egzaminu semestralnego.

Można tu znaleźć także rozwiązania zadań trudniejszych, wymagających rzetelnegonamysłu i odrobiny wyobraźni. Większość jednak można rozwiązać zupełnie automatycz-nie — korzystając z definicji. Dlatego tak ważne jest, aby je znać i rozumieć.

Zadaniem tej pracy jest to uczynić możliwie łatwym.

Piotr KoczenaszWrocław, czerwiec 2004 r.

4

Spis treści

1 Rachunek zdań 7

1.1 Wartości logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Formuły logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Definicja indukcyjna zbioru formuł rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . 81.4 Wartość logiczna formuł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Reguły wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Funkcje boolowskie i systemy spójników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Rachunek predykatów 19

2.1 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Składnia rachunku kwantyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Zmienne związane i wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Kwantyfikatory o ograniczonym zasięgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Rachunek funkcji zdaniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Zasada indukcji zupełnej 25

3.1 Teoriomnogościowe ujęcie liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Zasada indukcji zupełnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Teoria zbiorów 29

4.1 O potrzebie aksjomatyzacji teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Aksjomaty teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Własności zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Dopełnienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Operacje nieskończone na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Zbiór potęgowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Wzór włączeń i wyłączeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Relacje 39

5.1 Para uporządkowana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Produkt uogólniony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.5 Złożenie relacji. Relacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Rodzaje relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 Funkcje jako relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.8 Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.9 Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 SPIS TREŚCI

5.10 Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję . . . . . . . . . . . . . . 465.11 Relacje równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Teoria mocy 536.1 O nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Równoliczność zbiorów. Liczby kardynalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Funkcja charakterystyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4 Twierdzenie Cantora–Bernsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5 Zbiory skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.6 Zbiory przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.7 Twierdzenie Cantora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.8 Zbiory nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Zbiory uporządkowane 657.1 Relacje częściowo porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Quasi-porządki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3 Diagramy Hassego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Element największy. Element najmniejszy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.5 Elementy maksymalne. Elementy minimalne. . . . . . . . . . . . . . . . . 717.6 Pojęcia dualne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.7 Zbiory liniowo uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.8 Izomorfizm porządkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.9 Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.10 Dobry porządek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.11 Słowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Rozdział 1

Rachunek zdań

Prawda w odróżnieniu od kłamstwa nie musi być prawdopodobna.

— Kumor

1.1 Wartości logiczne

Za zdanie będziemy uważać dowolne stwierdzenie, o którym można powiedzieć, że jestalbo prawdziwe, albo fałszywe, i które nie może być jednocześnie i prawdziwe, i fałszywe.

Powiedzenie „studenci miewają trudności ze zdaniem egzaminu” jest zdaniem (jestbowiem albo prawdziwe, albo nie, i powiedzenie o nim, że jest prawdziwe lub fałszywe,ma sens), natomiast sformułowanie „czy logika jest trudna?” — zdaniem nie jest, bowiemnie można sensownie wypowiedzieć się o prawdziwości pytania.

W zgodzie z intuicją będziemy przypisywać zdaniom wartość logiczną prawdy lubfałszu. System taki nazywamy logiką dwuwartościową.

P r z y k ł a d 1.1. Rozpatrzmy następujące wypowiedzenie „w pewnej wiosce jeden z jejmieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się sami”. Czyto wypowiedzenie (będące w sensie gramatyki języka polskiego zdaniem oznajmującym) jestzdaniem w sensie podanej wyżej definicji? Na pozór tak. Spróbujmy jednak odpowiedzieć napytanie, kto goli owego golarza. Jeżeli goli się on sam, to nie może się sam golić, bo goli ontylko tych, którzy nie golą się sami. Jeśli jednak nie goli się sam, to goli się sam, bo właśniegoli on właśnie tych, którzy nie golą się sami. Rozumowanie to dowodzi tezy, że powyższawypowiedź nie jest ani prawdziwa, ani fałszywa, stwierdzenie to nie jest zdaniem i nie mażadnego sensu.

1.2 Formuły logiczne

Formuły rachunku zdań tworzy się z danych zdań, łącząc je za pomocą spójników zda-niowych „i”, „lub”, „nie”, „jeżeli” oraz „wtedy i tylko wtedy”. Każdy sensowny napis,który da się utworzyć ze zmiennych i spójników będziemy uważać za formułę rachunkuzdań. Formuły będziemy oznaczać literami ϕ,ψ, . . .

Wartość logiczna formuł „nie ϕ”, „ϕ i ψ”, „ϕ lub ψ”, „jeżeli ϕ, to ψ”, „ϕ wtedy itylko wtedy, gdy ψ” zależy tylko od wartości logicznej formuł ϕ i ψ, a nie od ich sensu.

Negacja. Na oznaczenie słowa „nie” przyjmiemy znak negacji ¬. Zgodnie z intuicjąwyrażenie ¬ϕ jest prawdziwe, gdy ϕ jest fałszywe, natomiast jest fałszywe, gdy ϕjest prawdziwe.

8 Rachunek zdań

Koniunkcja. Na oznaczenie słowa „i” przyjmiemy znak koniunkcji ∧. Zgodnie z intuicjąwyrażenie ϕ ∧ ψ (zwane iloczynem logicznym zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdyzarówno ϕ, jak i ψ (zwane czynnikami), są prawdziwe.

Alternatywa. Na oznaczenie słowa „lub” przyjmiemy znak alternatywy ∨. Zgodnie zintuicją wyrażenie ϕ ∨ ψ (zwane sumą logiczną zdań ϕ i ψ) jest prawdziwe, gdy conajmniej jedno ze zdań ϕ, ψ (zwanych składnikami) jest prawdziwe.

Implikacja. Na oznaczenie słowa „jeżeli” przyjęliśmy znak implikacji ⇒. Wyrażenie „je-żeli ϕ, to ψ” jest fałszywe, gdy ϕ (zwane poprzednikiem) jest prawdziwe, a ψ (zwanenastępnikiem) — fałszywe; w pozostałych trzech przypadkach jest prawdziwe. Mó-wimy, że z prawdy tylko prawda wynika, natomiast z fałszu zarówno prawda, jak ifałsz wynika.

Intuicyjnie implikacja jest prawdziwa, gdy poprzednik daje się wywnioskować zpoprzednika. Jednakże implikacja nie jest tożsama z wnioskowaniem. Zdania wcho-dzące w skład implikacji mogą nie mieć ze sobą żadnego związku, ponadto impli-kacja jest prawdziwa nawet wtedy, gdy oba te zdania są fałszywe. Wnioskowanienatomiast polega na wyprowadzeniu nowego zdania prawdziwego z innego zdania,uznanego wcześniej za prawdziwe.

Zapis ϕ ⇒ ψ oznacza, że ϕ jest warunkiem wystarczającym dla ψ, natomiast ψ jestwarunkiem koniecznym dla ϕ.

Równoważność. Na oznaczenie frazy „wtedy i tylko wtedy, gdy” przyjemiemy znakrównoważności ⇔. Zgodnie z intuicją wyrażenie ϕ ⇔ ψ (zwane równoważnościązdań ϕ i ψ) jest prawdziwe wtedy, gdy oba jego człony mają taką samą wartośćlogiczną (tzn. oba równocześnie są prawdziwe lub fałszywe). Zapis ϕ ⇔ ψ oznacza,że ϕ jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla ψ.

1.3 Definicja indukcyjna zbioru formuł rachunku zdań

Nie będziemy obecnie zajmować się zdaniami w rodzaju „Pinokio ma długi nos” czy„obecny król Polski ma sztuczną brodę”. Zastąpimy je zmiennymi zdaniowymi p, q, r,. . . z nieskończonego zbioru V ; zmienne te będą mogły mieć wartość 1 (odpowiadającejprawdzie) lub 0 (odpowiadającej fałszowi).

Wprowadzimy teraz (w miejsce intuicyjnej) formalną definicję indukcyjną zbioru for-muł rachunku zdań. Dostarczy nam ona wygodnego narzędzia służacego do dowodzeniatwierdzeń dotyczących rachunku zdań.

Definicja 1.1. Niech V = p, q, r, . . . będzie nieskończonym zbiorem zmiennych zda-niowych, zaś Σ = ⊥,¬,∧,∨,⇒,⇔ zbiorem spójników. Zbiorem F formuł rachunkuzdań będziemy nazywać najmniejszy zbiór napisów złożony ze zmiennych ze zbioru V ,spójników z Σ i nawiasów, spełniający następujące warunki:

1. V ⊆ F

2. (a) ⊥∈ F ,

(b) jeżeli ϕ ∈ F , to ¬ϕ ∈ F ,

(c) jeżeli ϕ,ψ ∈ F , to każda z formuła postaci ϕ ψ, gdzie ∈ ∧,∨,⇒,⇔,należy do F .

Sens tej definicji jest następujący: z 1. wynika, że napis złożony z pojedynczej zmiennejjest formułą. Zasada wyrażona w punkcie 2. ilustruje sposób budowania formuły złożonej

1.4 Wartość logiczna formuł 9

z jednej lub dwóch formuł oraz wybranego spójnika logicznego; dodatkowo twierdzi się,że napis złożony ze spójnika fałszu ⊥ jest formułą.

P r z y k ł a d 1.2. Niech V = p, q, r, . . .. W zgodzie z punktem 1 powyższej definicjitwierdzimy, że wyrażenia p, q, r są formułami rachunku zdań. Z 2b wynika, że zapis ¬q jestforumułą. Korzystając z 2c stwierdzamy, że również napis p ∧ (¬q) jest formułą. Stosującponownie 2c otrzymujemy kolejne formuły: (p ∧ (¬q)) ⇒ r lub np. (p ∧ (¬q)) ⇔⊥ itd.

W powyższym przykładzie musieliśmy zastosować nawiasy, celem uniknięcia niejed-noznaczności w sposobie rozbioru formuły. Niekiedy nawiasy opuszczamy, zakładając na-stępującą kolejność wiązania (od najsilniejszego do najsłabszego): ¬,∧,∨,⇒,⇔ i przyj-mując, że ∧ i ∨ łączą w lewo (tj. p ∨ q ∨ s znaczy (p ∨ q) ∨ s), zaś ⇒ i ⇔ łączą w prawo(tj. p ⇒ q ⇒ s znaczy p ⇒ (q ⇒ s). Powiedzenie, że dany spójnik łączy w lewo (w pra-wo) można zrozumieć w ten sposób, że mając ciąg zdań połączonych danym spójnikiemzdaniowym nawiasy należy zacząć stawiać od lewej (prawej) strony.

P r z y k ł a d 1.3. Niech ϕ oznacza formułę p∨¬q∨r∧s. Negacja wiąże najsilniej, możemywięc zapisać tę formułę w następujący sposób: p ∨ (¬q) ∨ r ∧ s. Drugim co do siły wiązaniaspójnikiem jest funktor koniunkcji — otrzymujemy (p ∨ (¬q) ∨ r) ∧ s. Funktor alternatywyłączy w lewo, zatem ostatecznie ϕ jest równoważne ((p ∨ (¬q)) ∨ r) ∧ s.

1.4 Wartość logiczna formuł

Definicja 1.2. Zbiór wartości logicznych B = 0, 1 zawiera dwa elementy: 0 — na okre-ślenie fałszu i 1 — na określenie prawdy. Wartościowanie zmiennych to funkcja σ: V → B.

Intuicyjnie — wartościowanie to przypisanie wartości logicznych (0 lub 1) poszczegól-nym zmiennym.

Zdefiniujemy obecnie funkcję wσ przyporządkowującą formułom, dla danego warto-ściowania zmiennych σ, jedną z wartości logicznych prawdy lub fałszu. Jeżeli wartościo-wanie zmiennych jest ustalone w danym kontekście i taki zapis nie prowadzi do nieporo-zumień, będziemy pomijać symbol σ i zamiast wσ pisać w.

Definicja funkcji w będzie przypominać sposób konstrukcji zbioru formuł r. z. NiechV oznacza zbiór zmiennych występujących w formule, natomiast σ niech będzie warto-ściowaniem tych zmiennych. Oczywiście dla każdej zmiennej v ∈ V zachodzi w(v) = σ(v).Nie jest także zaskoczeniem, że dla każdego wartościowania σ mamy w(⊥) = 0.

Sposób obliczania wartości logicznej formuł złożonych obrazuje poniższa tabela:

w(⊥) = 0w(ϕ) w(¬ϕ)

0 11 0

w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ∧ ψ)0 0 00 1 01 0 01 1 1

w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ∨ ψ)0 0 00 1 11 0 11 1 1

w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ⇒ ψ)0 0 10 1 11 0 01 1 1

w(ϕ) w(ψ) w(ϕ ⇔ ψ)0 0 10 1 01 0 01 1 1

10 Rachunek zdań

Zauważmy, że jeśli symbole 0 i 1 potraktować jako liczby naturalne, to

w(¬ϕ) = 1 −w(ϕ)

w(ϕ ∧ ψ) = w(ϕ) · w(ψ)

w(ϕ ∨ ψ) = w(ϕ) + w(ψ)

gdzie + oznacza symbol dodawania tożsamy ze „zwykłym” dodawaniem, za wyjątkiemsumy 1 + 1, która uznajemy za równą 1.Obserwacja ta pozwala zrozumieć genezę nazw iloczynu i sumy logicznej.

Formuła jest:

• spełniona, jeżeli, dla danego wartościowania zmiennych, ma wartość logiczną 1,

• spełnialna, jeżeli istnieje wartościowanie, przy którym ma wartość logiczną 1,

• tautologią, jeśli ma wartość 1 dla każdego wartościowania zmiennych (lub — co najedno wychodzi — nie istnieje wartościowanie, dla którego ma wartość 0)

• fałszywa, jeżeli ma wartość 0 dla każdego wartościowania.

O formule spełnionej przez dane wartościowanie będziemy niekiedy mówić, że jestprawdziwa przy tym wartościowaniu, natomiast formuła nie spełniona będzie fałszywa.

1.5 Metoda zerojedynkowa sprawdzania tautologii

Istnieje nieskończenie wiele tautologii, z których wiele znano już w czasach starożytnych.Stanowią one w logice odpowiednik np. tożsamości arytmetycznych czy trygonometrycz-nych, znanych z matematyki.

Aby dowieść, że dana formuła jest tautologią, można poddać ją sprawdzeniu metodązerojedynkową. W tym celu należy sprawdzić, czy wartość logiczna badanej formuły jestrówna 1 dla każdego możliwego wartościowania zmiennych w niej występujących.

P r z y k ł a d 1.4. Rozważmy następującą tautologię

(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

opisującą związek równoważności z implikacją.

1 2 3 4 5 6 7p q p ⇔ q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))

0 0 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 11 1 1 1 1 1 1

Pierwsze dwie kolumny tabeli zawierają wszystkie możliwe wartości logiczne zmiennych pi q. Korzystając z zamieszczonych wcześniej tabel opisujących znaczenie spójników logicznychwyznaczamy wartości w pozostałych kolumnach (kolumnę trzecią wyznaczamy korzystając ztabelki dla równoważności, czwartą i piątą — implikacji, szóstą na podstawie kolumn 4 i 5oraz tabelki dla iloczynu logicznego, natomiast siódmą na podstawie kolumn 3 i 6 oraz tabelkidla równoważności). Badana formuła znajduje się w kolumnie 7. W kolumnie tej znajdują sięsame jedynki; oznacza to, że dla dowolnie obranej wartości zmiennych logicznych zmiennychwystępujących w tej formule ma ona wartość 1, a więc jest tautologią.

Sprawdzenie, czy dana formuła jest tautologią, w podany wyżej sposób co prawda jestproste i zawsze prowadzi do celu, ale jest procesem żmudnym. Dlatego zamiast pracowicie

1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań 11

sprawdzać wartość logiczną formuły dla każdego wartościowania zmiennych, korzystniejjest rozważyć takie wartościowania, dla których formuła staje się fałszywa. Jeśli takie war-tościowania istnieją, badana formuła w oczywisty sposób nie jest tautologią. Natomiastjeśli założenie istnienia wartościowania, dla którego formuła jest fałszywa, prowadzi dosprzeczności, stwierdzamy, że takie wartościowanie nie istnieje, a zatem badana formułajest tautologią.

P r z y k ł a d 1.5. Rozważmy następującą formułę [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q. Załóżmy, że istniejewartościowanie σ, dla którego formuła ta jest fałszywa. Ponieważ ma ona charakter implikacji,jest to możliwe tylko wówczas, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Zatemw(q) = 0 (skąd σ(q) = 0) oraz w((p ∨ q) ∧ ¬p) = 1. Ale — wobec σ(q) = 0 — p ∨ q jestrównoważne p i poprzednik przyjmuje postać koniunkcji p∧ ¬p, która jest fałszywa dla każdejwartości p. Założyliśmy jednak uprzednio, że poprzednik jest prawdziwy. Nie może on byćjednak przy tym samym wartościowaniu zmiennych i prawdziwy, i fałszywy.

Przekonaliśmy się, że założenie istnienia wartościowania, dla którego badana formuła jestfałszywa, prowadzi do sprzeczności. Zatem wartościowanie takie nie może istnieć i formułajest tautologią.

1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań

Jak już wcześniej zauważyliśmy, definicja zbioru F formuł r. z. jest definicją indukcyjną.Pociąga to za sobą natychmiast fakt, że w zbiorze tym prawdziwa jest następująca zasadaindukcji:

Twierdzenie 1.3. Niech własność φ będzie określona dla formuł rachunku zdań ze zbio-rem zmiennych V . Jeżeli

1. zachodzi φ(v) dla każdej zmiennej v ∈ V

2. (a) zachodzi φ(⊥)

(b) dla dowolnej formuły ϕ prawdziwość φ(ϕ) implikuje φ(¬ϕ)

(c) dla dowolnych formuł ϕ i ψ prawdziwość φ(ϕ) i φ(ψ) implikuje φ(ϕ ∧ ψ),φ(ϕ ∨ ψ), φ(ϕ ⇒ ψ) oraz φ(ϕ ⇔ ψ)

wówczas własność φ przysługuje wszystkim formułom rachunku zdań.

P r z y k ł a d 1.6. Posługując się powyższa zasadą indukcji udowodnimy, że zdefiniowanawcześniej funkcja w przyporządkowuje każdej formule rachunku zdań wartość logiczną (co byćmoże wydaje się oczywiste).

Niech σ będzie danym wartościowaniem zmiennych ze zbioru V , natomiast φ(ϕ) będzieprawdziwe, jeśli funkcja w nadaje formule ϕ jakąś wartość logiczną. Zgodnie z definicją w(v) =σ(v), zatem φ(v) zachodzi dla każdej zmiennej v ∈ V i warunek 1 jest spełniony.

Warunek 2a jest w sposób trywialny spełniony, bowiem w definicji w założono wprost, żew(⊥) = 0.

Weźmy teraz dowolną formułę ϕ i załóżmy, że zachodzi φ(ϕ). Oznacza to, że funkcjaw określa wartość logiczną dla tej formuły. Jeśli w(ϕ) = 0, to — zgodnie z definicją w —w(¬ϕ) = 1, natomiast w przypadku przeciwnym (tj. gdy w(ϕ) = 1) w(¬ϕ) = 0. Zatem zzałożenia prawdziwości φ(ϕ) wynika prawdziwość φ(¬ϕ), co dowodzi warunku 2b.

Dla dowodu 2c weźmy dowolne formuły ϕ i ψ i załóżmy, że zachodzi φ(ϕ) i φ(ψ). Oznaczato, że funkcja w określa wartość logiczną formuł ϕ i ψ. Podobnie jak wyżej, na podstawieznajomości w(ϕ) i w(ψ) potrafimy określić wartość w(ϕ∧ψ), w(ϕ∨ψ), w(ϕ ⇒ ψ), w(ϕ ⇔ψ). Zatem z założenia prawdziwości w(φ(ϕ)) i w(φ(ψ)) wynika prawdziwość φ(ϕ∧ψ), φ(ϕ∨

12 Rachunek zdań

(¬¬p) ⇔ p podwójne przeczenie

p∨ ⊥⇔ pp∨ 6⊥⇔6⊥p∧ ⊥⇔⊥p∧ 6⊥⇔ p (6⊥ oznacza zdanie prawdziwe)

p ∨ ¬p ⇔6⊥p ∧ ¬p ⇔⊥

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) przemienność(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)(p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)

[(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)] łączność[(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ (q ∧ r)]

[p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] rozdzielność[p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q) prawa De Morgana¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)

p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬pp ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q

[(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∨ q) ⇒ r][(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] ⇔ [(p ⇒ (q ∧ r)]

(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] zamiana równoważności na implikacje

(p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒⊥] sprowadzenie do sprzeczności

Tabela 1.1: Tautologie rachunku zdań

ψ), φ(ϕ ⇒ ψ) oraz φ(ϕ ⇔ ψ), co kończy dowód, pokazując, że własność φ przysługujewszystkim formułom rachunku zdań, co jest równoważne ze stwierdzeniem, że funkcja wokreślona jak wyżej przyporządkowuje wartość logiczną każdej formule rachunku zdań.

P r z y k ł a d 1.7. Pokazać przez indukcję, że dla każdej formuły ϕ, zbudowanej ze zmiennychp, q oraz spójnika ⇒, można wybrać ze zbioru

1, p, q, (p ⇒ q), (q ⇒ p), (p ∨ q) (1)

taką formułę ψ, że ϕ ⇔ ψ jest tautologią.Niech f(ϕ), gdzie ϕ jest formułą zbudowaną ze zmiennych p, q oraz spójnika ⇒, oznacza

taką formułę ze zbioru (1), że ϕ ⇔ f(ϕ) jest tautologią.Rozważmy dowolną formułę ϕ niezawierającą spójnika ⇒. Ma ona postać p lub q. W

sposób trywialny f(ϕ) = p lub, odpowiednio, f(ϕ) = q.Weźmy teraz dowolne formuły ϕ1, ϕ2, o których wiemy, że można wybrać ze zbioru (1)

takie formuły ψ1, ψ2, że ϕ1 ⇔ ψ1 i ϕ2 ⇔ ψ2 są tautologiami. Pokażemy, że można wybrać ze

1.6 Zasada indukcji dla formuł rachunku zdań 13

zbioru (1) taką formułę ϕ, że (ϕ1 ⇒ ϕ2) ⇔ ϕ jest tautologią (innymi słowy — zdefiniujemyf(ϕ)).

1. f(ϕ1) = 1.Wówczas ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne ϕ2 i f(ϕ) = f(ϕ2) (f(ϕ2) znamy z założenia).

2. f(ϕ2) = 1.Wówczas ϕ1 ⇒ ϕ2 jest tautologią i f(ϕ) = 1.

3. f(ϕ1) = p.Wówczas:

(a) jeżeli f(ϕ2) = p, to ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne p ⇒ p i f(ϕ) = 1

(b) jeżeli f(ϕ2) = q, to ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne p ⇒ q i f(ϕ) = (p ⇒ q)

(c) jeżeli f(ϕ2) = (p ⇒ q), to ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne p ⇒ (p ⇒ q) i f(ϕ) =(p ⇒ q)

(d) jeżeli f(ϕ2) = (q ⇒ p), to ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne p ⇒ (q ⇒ p) i f(ϕ) = 1

(e) jeżeli f(ϕ2) = (p ∨ q), to ϕ1 ⇒ ϕ2 jest równoważne p ⇒ (p ∨ q) i f(ϕ) = 1

Rozpatrzenie pozostałych 4 przypadków pozostawiamy czytelnikowi.

p ⇒ (p ∨ q)

(p ∧ q) ⇒ p

(p ⇒⊥) ⇒ ¬p sprowadzenie do sprzeczności

[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q modus ponendo ponens[(p ⇒ q) ∧ ¬q)] ⇒ ¬p modus tollendo tollens[(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q modus ponendo tollens

[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) przechodniość[(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r)

(p ⇒ q) ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)](p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)](p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)]

Tabela 1.2: Implikacje logiczne

P r z y k ł a d 1.8. Pokazać, że dla każdej formuły zdaniowej zbudowanej ze zmiennychzdaniowych oraz spójników ∧, ∨, ⇒, ¬, liczba wystąpień zmiennych jest o 1 większa od liczbywystąpień binarnych spójników zdaniowych.

Jest to oczywiście prawdą dla formuły zbudowanej z pojedynczej zmiennej. Jeżeli liczbawystąpień zmiennych w formule ϕ jest o 1 większa od liczby wystąpień w tej formule binarnychspójników zdaniowych, to własność taka przysługuje także formule ¬ϕ, ponieważ po dodaniudo formuły ϕ spójnika negacji nie zmienia się ani liczba wystąpień zmiennych, ani liczbawystąpień binarnych spójników zdaniowych.

Niech z(ϕ) oznacza liczbę wystąpień zmiennych w formule ϕ, a s(ϕ) — liczbę wystąpieńbinarnych spójników zdaniowych w tej formule.

14 Rachunek zdań

Niech teraz formuły ϕ i ψ będa takie, że liczba wystąpień zmiennych w każdej z nich jesto 1 większa od liczby wystąpień w nich binarnych spójników zdaniowych, tj. z(ϕ) = s(ϕ) + 1oraz z(ψ) = s(ψ) + 1. Rozważmy formułę ϕ ψ, gdzie ∈ ∧,∨,⇒. Widać, że z(ϕ ψ) =z(ϕ) + z(ψ) = s(ϕ) + 1 + s(ψ) + 1, natomiast s(ϕ ψ) = s(ϕ) + 1 + s(ψ). Ostateczniez(ϕ ψ) = (s(ϕ) + 1 + s(ψ)) + 1 = s(ϕ ψ) + 1.

Na mocy zasady indukcji w zbiorze formuł rachunku zdań stwierdzamy, że rozważanawłasność przysługuje wszystkim formułom rachunku zdań.

1.7 Reguły wnioskowania

Twierdzenia matematyczne mają na ogół postać implikacji. Dowodzi się ich następująco:mając pewien zbiór zdań, zwanych założeniami lub przesłankami

p1, p2, . . . , pn

uznaje się je za prawdziwe i dołącza do nich nowe zdanie

q

zwane wnioskiem lub konkluzją, które wynika z nich zgodnie z prawami logiki.Reguła wnioskowania

p1, p2, . . . , pn

q

jest poprawna wtedy i tylko wtedy, gdy formuła

p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn ⇒ q

jest tautologią.Najbardziej podstawową regułą dowodzenia jest następująca reguła:

p, p ⇒ q

q

zwana regułą odrywania (modus ponens). Sens jej jest następujący: jeżeli uznajemyza prawdziwe zdanie p oraz implikację p ⇒ q, to możemy też uznać za prawdziwe zdanieq.

Definicja 1.4. Załóżmy, że dany jest pewien zbiór założeń oraz wniosek q. Dowodemformalnym zdania q jest ciąg p1, p2, . . . , pn, q, składający się ze zdań, z których każde jestzałożeniem, tautologią lub wnioskiem z poprzednich wyrazów, powstałym przy użyciujednej z reguł wnioskowania.

P r z y k ł a d 1.9. W półgodzinnym programie publicystycznym „Minuta prawdy” odbyłasię debata z udziałem polityków na temat bieżącej sytuacji społeczno–gospodarczej.

Przedstawiciel jednej z partii stwierdził, że albo Polska nie wejdzie do Unii Europejskiej,albo — jeżeli cukier będzie na kartki — Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce (na hodowlęeksportowego buraka cukrowego). W połowie zdania przerwał mu zwolennik UE, który stwier-dził, że jeśli Polska wejdzie do Unii, to cukier na pewno nie będzie na kartki. Jeszcze niezamknął ust, kiedy grono jego przeciwników zgodnym chórem oznajmiło, że jeśli Niemcy wy-kupią ziemię w Polsce, to cukier z całą pewnością będzie na kartki. Na koniec przedstawicielkoalicji rządzącej zapowiedział, że jeśli cukier nie będzie na kartki, to Niemcy wykupią całąziemię w Polsce, gdyż w wyniku nadprodukcji polskim rolnikom nie opłaci się jej obsiewać.

1.7 Reguły wnioskowania 15

Co zdezorientowany widz może wywnioskować z tego programu? Otóż, jeśli oglądani poli-tycy mieli racje, to Polska nie wejdzie do UE, a cukier będzie na kartki (jak widać, politycy niezawsze mają rację). Zagadką natomiast pozostaje, czy Niemcy wykupią całą ziemię w Polsce.

Przeprowadzimy teraz formalny dowód tego stwierdzenia. Oznaczmy przez p zdanie „Pol-ska wejdzie do UE”, przez q zdanie „cukier będzie na kartki”, przez r zdanie „Niemcy wykupiącałą ziemię w Polsce”.

Przyjmiemy następujący zbiór założeń p1, p2, p3, p4 (wynikający z treści zadania):

p1: ¬p ∨ (q ⇒ r)

p2: p ⇒ ¬qp3: r ⇒ q

p4: ¬q ⇒ r

Wiadomo, że formuła [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c) jest tautologią, skąd

[(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)]a ⇒ c

jest regułą dowodzenia. Na jej mocy, z p2 i p4 wnioskujemy

p5: p ⇒ r.

Na mocy tej samej reguły, p5 i p3 wnioskujemy

p6: p ⇒ q.

Otrzymujemy p ⇒ q i p ⇒ ¬q. Zauważmy, że schemat

p ⇒ q ∧ p ⇒ ¬qp ⇔⊥

jest regułą dowodzenia (jeżeli p jest prawdziwe, to któraś z implikacji p ⇒ q, p ⇒ ¬q mapostać, w której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, a więc jest fałszywa; jeślip uznajemy za fałszywe, poprzedniki obu implikacje są fałszywe, tak więc same implikacje sąprawdziwe). Stwierdzamy

p7: p ⇔⊥ .

Stosując ponownie pierwszą z podanych reguł wnioskowania do p4 i p3, otrzymujemy

p8: ¬q ⇒ q,

skąd, na mocy reguły wnioskowania

¬q ⇒ q

q ⇔6⊥

wartością logiczną q jest 1:

p9: q ⇔6⊥ .

Zauważmy teraz, że przy otrzymanym wartościowaniu zmiennych p i q każda z formuł p1, p2,p3, p4 jest prawdziwa, niezależnie od wartościowania r. Oznacza to, że wartość logiczna tychformuł nie zależy od r i wartościowanie r nie może zostać z nich wywnioskowane.

16 Rachunek zdań

1.8 Funkcje boolowskie i systemy spójników

Niech B = 0, 1 będzie zbiorem wartości logicznych.

Definicja 1.5. Funkcję f : Bn → B (n ­ 0) nazywamy n-argumentową funkcją boolow-ską.

P r z y k ł a d 1.10. Zapis f : Bn → B oznacza, że zarówno n argumentów funkcji f, jak i jejwartość zwracana pochodzą ze zbioru B. Funkcje takie można opisywać za pomocą formułzdaniowych, np.

f(p, q) ⇔ (p ⇒ q)

oznacza 2-argumentową funkcję B2 → B, której wartością jest 0 dla p = 1, q = 0 i równą 1dla każdej innej wartości argumentów p i q.

Definicja 1.6. Zbiór spójników logicznych jest zupełny , jeżeli dowolną funkcję boolowskąmożna opisać za pomocą formuły zdaniowej zawierającej jedynie spójniki z tego zbiorui zmienne (oraz nawiasy). Zbiór spójników jest 2-zupełny , jeśli każdą co najwyżej 2-elementową funkcję boolowską można opisać za pomocą formuły zdaniowej zawierającejjedynie spójniki z tego zbioru i zmienne (oraz nawiasy).

P r z y k ł a d 1.11. Wykażemy, że zbiór ∧,∨ nie jest zupełny, bowiem wykorzystującjedynie spójniki z tego zbioru nie da się opisać negacji. Niech wp=a(ϕ) oznacza wartośćlogiczną formuły ϕ przy wartościowaniu p równym a. Niech p będzie dowolną zmienną, aφ(ϕ) oznacza, że nie zachodzi jednocześnie wp=0(ϕ) = 1 i wp=1(ϕ) = 0. Pokażemy, że φ(ϕ)zachodzi dla każdej formuły rachunku zdań, zbudowanej jedynie ze zmiennych i spójników∧,∨.D o w ó d (indukcyjny):

Rozważmy dowolną formułę ϕ nie zawierającą spójnika. Może ona być zbudowana jedyniez pojedynczej zmiennej. Jeśli zmienną tą jest p, to wp=0(ϕ) = 0 6= 1 i φ(ϕ) zachodzi. Wprzeciwnym przypadku wartość w(ϕ) nie zależy od p i wp=0(ϕ) = wp=1(ϕ) i φ(ϕ) równieżzachodzi.

Weźmy teraz dowolne formuły ϕ i ψ, dla których zachodzi φ(ϕ) i φ(ψ). Możliwe są 3przypadki:

1. wp=0(ϕ) = 0 i wp=1(ϕ) = 0

2. wp=0(ϕ) = 0 i wp=1(ϕ) = 1

3. wp=0(ϕ) = 1 i wp=1(ϕ) = 1

(przypadek wp=0(ϕ) = 1 i wp=1(ϕ) = 0 wykluczamy z założenia prawdziwości φ(ϕ) — formułaϕ nie może opisywać negacji zmiennej p).Ad 1. Jeśli wp=0(ϕ) = 0, to wp=0(ϕ ∧ ψ) = 0 6= 1, a w konsekwencji φ(ϕ ∧ ψ). Natomiastwp=0(ϕ∨ψ) = wp=0(ψ) i wp=1(ϕ∨ψ) = wp=1(ψ), co oznacza, że w(ϕ∨ψ) = w(ψ). Wobeczałożonej prawdziwości φ(ψ) stwierdzamy φ(ϕ ∨ ψ).Ad 2. Jeśli wp=0(ϕ) = 0 i wp=1(ϕ) = 1, to wp=0(ϕ∧ψ) = 0 6= 1, a w konsekwencji φ(ϕ∧ψ).Natomiast wp=1(ϕ ∨ ψ) = 1 6= 0. Zachodzi zatem φ(ϕ ∨ ψ).Ad 3. Jeśli wp=0(ϕ) = 1 i wp=1(ϕ) = 1, to wp=0(ϕ∧ψ) = wp=0(ψ) i wp=1(ϕ∧ψ) = wp=1(ψ),co oznacza, że w(ϕ∧ψ) = w(ψ). Wobec założonej prawdziwości φ(ψ) stwierdzamy φ(ϕ∧ψ).Natomiast wp=1(ϕ ∨ ψ) = 1 6= 0. Zachodzi zatem także φ(ϕ ∨ ψ).

Pokazaliśmy, że, dla dowolnych formuł ϕ i ψ, jeśli tylko φ(ϕ) i φ(ψ) jest prawdziwe, toprawdziwe jest także φ(ϕ ∧ ψ) i φ(ϕ ∨ ψ), co kończy dowód.

1.8 Funkcje boolowskie i systemy spójników 17

Twierdzenie 1.7. Każdy zbiór spójników 2-zupełny jest zupełny.

Dowód: Pokażemy, że możemy zapisać dowolną n-argumentową funkcję boolowską, uży-wając 2-zupełnego zbioru spójników. Dla n ¬ 2 teza jest prawdziwa w trywialny sposób.

Niech więc n > 2. Musimy pokazać, jak obliczyć f(x1, x2, . . . , xn), gdzie f jest dowolnąn–argumentową funkcją boolowską, a x1, x2, . . . , xn są zmiennymi logicznymi .

Możliwe są 2 przypadki: albo xn jest równe 0, albo 1. Jeżeli xn jest równe 0, totrzeba obliczyć f(x1, x2, . . . , xn−1, 0). Zauważmy, że wówczas f zależy istotnie od n − 1argumentów, czyli jest tożsama z pewną n-1–argumentową funkcją f0, którą — z założeniaindukcyjnego — potrafimy zapisać używając 2-zupełnego zbioru spójników. Podobnie, dlaxn = 1, f(x1, x2, . . . , xn−1, 1) jest tożsama z pewną n-1–argumentową funkcją f1, którą —z założenia indukcyjnego — potrafimy zapisać używając 2-zupełnego zbioru spójników.Dysponując 2-zupełnym zbiorem składników możemy w szczególności używać funktorówiloczynu i sumy logicznej oraz negacji. Ostatecznie:

f(x1, x2, . . . , xn) = (f(x1, x2, . . . , xn−1, 0) ∧ ¬xn) ∨ (f(x1, x2, . . . , xn−1, 1) ∧ xn)

= (f0(x1, x2, . . . , xn−1) ∧ ¬xn) ∨ (f1(x1, x2, . . . , xn−1) ∧ xn) (2)

Równość (2) została zapisana przy użyciu 2-zupełnego zbioru spójników, co dowodzitezy.

18 Rachunek zdań

Rozdział 2

Rachunek predykatów

Prawda istnieje. Wymyśla się kłamstwo.

— Georges Braque

2.1 Funkcje zdaniowe jednej zmiennej

Definicja 2.1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcją zdaniową jednej zmiennejx, której zakresem zmienności jest przestrzeń X, nazywamy wyrażenie ϕ(x), w którymwystępuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejscetej zmiennej wstawimy dowolny element ze zbioru X. Mówimy, ze element x ∈ X spełniafunkcję zdaniową ϕ(x), jeżeli zdanie ϕ(x) jest prawdziwe.

P r z y k ł a d 2.1. Wyrażenie

x2 > 0, x ∈ R (1)

jest przykładem funkcji zdaniowej zmiennej x o zakresie zmienności R. Liczba 1 ∈ Rspełnia funkcję zdaniową (1) (gdyż zdanie 12 > 0 jest prawdziwe), natomiast 0 ∈ R niespełnia tej funkcji (gdyż zdanie 02 > 1 jest fałszywe).

Zbiór wszystkich wartości x ∈ X, dla których funkcja zdaniowa ϕ(x), x ∈ X, jestzdaniem prawdziwym oznaczamy

x ∈ X: ϕ(x) (2)

Zatem

a ∈ x ∈ X: ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(a) (3)

P r z y k ł a d 2.2.

x ∈ R: x2 > 0 = R \ 0

ponieważ funkcję zdaniową (1) spełnia każda liczba rzeczywista różna od 0.

Dla każdej funkcji zdaniowej ϕ(x), x ∈ X, zbiór tych wartości x, dla których ϕ(x) jestprawdziwe wyznacza pewien podzbiór zbioru X. Możemy powiedzieć, że elementy tegozbioru mają własność ϕ i żadne inne elementy przestrzeni X tej własności nie mają.

20 Rachunek predykatów

2.2 Kwantyfikatory

Rozpatrzmy pewną funkcję zdaniową ϕ(x) o zakresie zmienności X. Załóżmy, że udałonam się udowodnić, że ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla każdego x ∈ X. Zapisując totwierdzenie moglibyśmy napisać

ϕ(x1) ∧ ϕ(x2) ∧ . . . (4)

gdzie x1, x2, . . . ∈ X. Powyższy zapis nie jest formułą rachunku zdań, ponieważ występujew nim niedozwolony symbol wielokropka. Jeśli zbiór X jest skończony, możemy napisaćϕ(x) dla każdego elementu zbioru X (np. dla zbioru X = x1, x2, x3 formuła taka mapostać ϕ(x1) ∧ ϕ(x2) ∧ ϕ(x3)).

Sytuacja komplikuje się w przypadku, gdy zbiór X jest nieskończony. Zauważmy, żenapis skończonej długości postaci (4) może opisywać własność ϕ dla skończonej liczbyelementów zbioru X. Bezpośrednio z definicji rachunku zdań wynika, że formuły r. z.mają skończoną długość. Zatem mogą one opisać własność ϕ jedynie dla skończonej liczbyelementów rozważanego zbioru, a nie całego, nieskończonego, zbioru X.

Podobnie — gdybyśmy wiedzieli, że ϕ(x) jest prawdziwe dla pewnego x ∈ X, mogli-byśmy napisać

ϕ(x1) ∨ ϕ(x2) ∨ . . . (5)

gdzie x1, x2, . . . ∈ X. Powyższy zapis nie jest formułą rachunku zdań, ponieważ występujew nim niedozwolony symbol wielokropka. Jeśli zbiór X jest skończony, możemy napisaćϕ(x) dla każdego elementu zbioru X (np. dla zbioru X = x1, x2, x3 formuła taka mapostać ϕ(x1) ∨ ϕ(x2) ∨ ϕ(x3)).

W przypadku, gdy zbiór X jest nieskończony, z tych samych powodów, co wyżej,każda formuła, którą napiszemy może opisać sytuację, w której własność ϕ zachodzi dla conajmniej jednego elementu skończonego podzbioru zbioruX, a nie całego, nieskończonego,zbioru X.

Potrzebujemy czegoś więcej niż rachunek zdań. Rozszerzymy zatem rachunek zdań odwa nowe funktory zdaniotwórcze:

• kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny) ∃,

• kwantyfikator ogólny ∀,

otrzymując w ten sposób system zwany rachunkiem predykatów. Znaczenie wprowadzo-nych funktorów jest następujące: jeśli funkcja zdaniowa ϕ(x) jest zdaniem prawdziwymdla każdego x, piszemy

∀x. ϕ(x)

i czytamy: „dla każdego x zachodzi ϕ(x)”; natomiast jeśli istnieje co najmniej jedenelement x, dla którego ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym, piszemy

∃x. ϕ(x)

i czytamy: „istnieje x, takie że ϕ(x)”.

2.3 Składnia rachunku kwantyfikatorów

Definicja 2.2. Niech x, y, z, x1, x2, . . . będzie nieskończonym zbiorem tzw. zmiennychindywiduowych, p, q, p1, p2, . . . zbiorem symboli relacji, zaś Σ = ¬,∧,∨,⇒,⇔,∃,∀zbiorem spójników.

2.4 Zmienne związane i wolne 21

Formułą atomową będziemy nazywać każdy napis postaci f(x1, x2, . . . , xn), gdzie f jestn–argumentowym symbolem relacji (n ­ 0), a x1, x2, . . . , xn są zmiennymi.Zbiorem Q formuł rachunku kwantyfikatorów będziemy nazywać najmniejszy zbiór na-pisów złożony z formuł atomowych, spójników z Σ i nawiasów, spełniający następującewarunki:

1. jeżeli ϕ jest formułą atomową, to ϕ ∈ Q

2. (a) jeżeli ϕ ∈ Q, to ¬ϕ ∈ Q,

(b) jeżeli ϕ,ψ ∈ Q, to każda formuła postaci ϕψ, gdzie ∈ ∧,∨,⇒,⇔, należydo Q.

(c) jeżeli ϕ ∈ Q, to ∀x. ϕ ∈ Q i ∃x. ϕ ∈ Q.

Sens tej definicji jest następujący: formułami rachunku kwantyfikatorów będziemy nazy-wać zbiór złożony z formuł atomowych, połączonych ze sobą w określony sposób spójni-kami logicznymi oraz symbolami kwantyfikatorów.

P r z y k ł a d 2.3. Niech p będzie symbolem relacji 2-argumentowej, a q 3-argumentowej. For-muły p(x, y) i q(x, x1, x2) są atomowe, a więc są i formułami rachunku kwantyfikatorów. Także¬p(x, y), p(x, y)∧q(x, x1, x2) są formułami r. k. Wreszcie ∃x. p(x, y), ∀x ∃x1 ∀x2. p(x, y) ⇒q(x, x1, x2) są formułami r. k.

2.4 Zmienne związane i wolne

Zgodnie z definicją funkcji zdaniowej zmienna x występująca w wyrażeniu ϕ(x) możezostać zastąpiona dowolnym elementem x1 ze zbioru zmienności tej zmiennej, w wynikuczego otrzymujemy zdanie ϕ(x1), prawdziwe lub nie, w zależności od znaczenia funkcjizdaniowej ϕ oraz wartości x1. W wyrażeniu tym x jest zmienną swobodną (inaczej wolnąalbo niezwiązaną).

Definicja 2.3. Wyrażenie, w którym występuje przynajmniej jedna zmienna wolna na-zywamy predykatem.

W wyrażeniu ∀x. ϕ(x) zmienna x występuje w podobnym kontekście, ale tym razemnie można jej zastąpić żadnym elementem ze zbioru zmienności tej zmiennej. Jest onabowiem związana z kwantyfikatorem, inaczej mówiąc — znajduje się w jego zasięgu.Przyjmuje się, że kwantyfikator obejmuje swoim zasięgiem najbliższą funkcję zdaniowąstojącą za nim. W razie potrzeby otaczamy ją nawiasami.

P r z y k ł a d 2.4. W formule∃x. x > y ∨ x < 0

zmienna y jest wolna. Zmienna x występująca przed znakiem alternatywy jest związana kwan-tyfikatorem ogólnym, podczas gdy druga zmienna x, występująca po znaku alternatywy, jestzmienną wolną (gdyż nie jest objęta zasięgiem żadnego kwantyfikatora) i nie ma nic wspólne-go ze zmienną x sprzed tego znaku. W formule z dodanymi nawiasami ∃x. (x > y ∨ x < 0),w której kwantyfikator ogólny obejmuje swoim zasięgiem oba wystąpienia zmiennej x, jedynązmienna wolną jest y.

Zmienne związane i swobodne występują nie tylko w logice. W wyrażeniu arytme-tycznym 1

xzmienna x jest swobodna (i może być zastąpiona dowolną liczbą różną od 0),

natomiast w wyrażeniu∫ 1

xdx — nie (gdyż jest zmienną całkowania).

22 Rachunek predykatów

Formalnie zbiór zmiennych wolnych formuły definiujemy następująco:

FV (p(x1, x2, . . . , xn)) = x1, x2, . . . , xn, dla każdej n-argumentowej formuły p

FV (¬ϕ) = FV (ϕ)

FV (ϕ ψ) = FV (ϕ) ∪ FV (ψ), gdzie ∈ ∨,∧,⇒,⇔FV (∀x. ϕ) = FV (ϕ) \ xFV (∃x. ϕ) = FV (ϕ) \ x

P r z y k ł a d 2.5. Spróbujmy zdefiniować zbiór BV zmiennych związanych formuły .Podobnie jak wcześniej FV , zdefiniujemy go przez indukcję. Formuły atomowe nie zawierajązmiennych związanych, tak więc dla każdej n-argumentowej formuły atomowej p mamy

BV (p(x1, x2, . . . , xn)) = ∅

Jest oczywiste, że

BV (¬ϕ) = BV (ϕ)

BV (ϕ ψ) = BV (ϕ) ∪BV (ψ), gdzie ∈ ∨,∧,⇒,⇔

Na koniec

BV (∀x. ϕ) = BV (ϕ) ∪ xBV (∃x. ϕ) = BV (ϕ) ∪ x

P r z y k ł a d 2.6.

FV (∃x. p(x, y) ∨ q(z)) = FV (∃x. p(x, y)) ∪ FV (q(z)) =

= (FV (p(x, y)) \ x) ∪ z =

= (x, y \ x) ∪ z =

= y ∪ z = y, z

BV (∃x. p(x, y) ∨ q(z)) = BV (∃x. p(x, y)) ∪BV (q(z)) =

= (BV (p(x, y)) ∪ x) ∪ ∅ =

= ∅ ∪ x = x

2.5 Kwantyfikatory o ograniczonym zasięgu

Często zdarza się, że orzekamy jakąś własność nie dla całego zakresu zakresu zmiennościzmiennej znajdującej się w zasięgu kwantyfikatora, lecz dla pewnego podzbioru tego za-kresu, ograniczonego pewnym warunkiem. Wówczas warunek ten zapisujemy pod znakiemkwantyfikatora, np.:

∃(x < 0). x3 < 0

Trzeba jednak pamiętać, że w świetle przedstawionej wyżej formalnej definicji napistaki nie jest formułą rachunku kwantyfikatorów! Jest on w istocie skrótem notacyjnym,właściwie należałoby napisać

∃x. (x < 0 ∧ x3 < 0)

2.6 Rachunek funkcji zdaniowych 23

Podobnie, zapis∀(x < 0). x3 < 0

traktujemy jak∀x. (x < 0 ⇒ x3 < 0)

P r z y k ł a d 2.7. Rozważmy następującą definicję: podzbiór A zbioru liczb naturalnych Nnazwiemy nieskończonym, jeżeli dla każdego elementu x tego zbioru istnieje w tym zbiorzeelementy większy, tj.:

∀x ∈ A. (∃y ∈ A. y > x). (6)

Czy to dobra definicja? Na pozór tak, jeśli bowiem weżmiemy dowolne x1 ∈ A, to musi istniećx2 ∈ A większe od x1, x3 większe od x2 itd., skąd wnosimy, że zbiór A jest nieskończony.Zauważmy jednak, że formuła (6) jest równoważna następującej formule rachunku funkcjizdaniowych:

∀x.[(x ∈ A) ⇒ (∃y ∈ A. y > x)].

Jeżeli zbiór A jest pusty, to poprzednik implikacji jest zawsze fałszywy, a sama implikacjajest zdaniem prawdziwym. Nasza definicja zmusza nas do twierdzenia, że zbiór pusty jestnieskończony, a więc jest błędna (nie możemy w żadnym przypadku uznać, że zbiór pusty jestnieskończony, gdyż po dołożeniu do niego 1 elementu ze zbioru nieskończonego otrzymaliby-śmy skończony, przez co z kolei musielibyśmy uznać, że zbiór skończony może mieć więcejelementów niż nieskończony, co jest absurdem).

2.6 Rachunek funkcji zdaniowych

W rachunku predykatów, podobnie jak w rachunku zdań, określa się działania, tautologiei reguły wnioskowania. Poniższe dwie tautologie, zwane prawami de Morgana, są bardzoużyteczne:

¬(∀x. ϕ(x)) ⇔ ∃x. ¬ϕ(x) (7)

¬(∃x. ϕ(x)) ⇔ ∀x. ¬ϕ(x) (8)

Na ich podstawie stwierdzamy, że kwantyfikatory ∀ i ∃ są dualne, co oznacza, że dowolnąformułę rachunku kwantyfikatorów możemy zapisać używając co najwyżej jednego z nich.

Równoważność (7) stwierdza, że nie jest prawdą, że wszystkie elementy rozważanejprzestrzeni mają własność ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (co najmniej jeden) element,który jej nie ma. Aby więc wykazać, że nie wszystkie elementy danego zbioru mają pewnąwłasność ϕ, wystarczy wskazać tzw. kontrprzykład, tj. taki element x, który nie mawłasności ϕ (czyli taki, dla którego formuła ϕ(x) jest zdaniem fałszywym). Równoważność(8) mówi, że wszystkie elementy danego zbioru nie mają własnośći ϕ wtedy i tylko wtedy,gdy nie ma jej żaden z nich.

Podajemy jeszcze kilka innych pożytecznych tautologii rachunku funkcji zdaniowych(przy milczącym założeniu, że zakres zmienności zmiennej x jest dla funkcji ϕ i ψ tensam) :

∃x. (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ ∃x. ϕ(x) ∨ ∃x. ψ(x) (9)

∃x. (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ ∃x. ϕ(x) ∧ ∃x. ψ(x) (10)

∀x. (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ ∀x. ϕ(x) ∧ ∀x. ψ(x) (11)

∀x. ϕ(x) ∨ ∀x. ψ(x)) ⇒ ∀x. (ϕ(x) ∨ ψ(x)) (12)

24 Rachunek predykatów

oraz następujące prawa przestawiania kwantyfikatorów :

∀x. ∀y. ϕ(x, y) ⇔ ∀y. ∀x. ϕ(x, y) (13)

∃x. ∃y. ϕ(x, y) ⇔ ∃y. ∃x. ϕ(x, y) (14)

∃x. ∀y. ϕ(x, y) ⇒ ∀y. ∃x. ϕ(x, y) (15)

P r z y k ł a d 2.8. Rozważmy formułę (10):

∃x. (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ ∃x. ϕ(x) ∧ ∃x. ψ(x).

Pokażemy, że jest ona tautologią. Formuła ta staje się fałszywa, gdy poprzednik ∃x. (ϕ(x) ∧ψ(x)) jest prawdziwy, a następnik ∃x. ϕ(x) ∧ ∃x. ψ(x) – fałszywy. Jeżeli jednak poprzednikjest prawdziwy, to istnieje pewne x1, takie że

ϕ(x1) ∧ ψ(x1).

Na mocy reguły wnioskowania

p ∧ q

p

stwierdzamy, że prawdziwe jest ϕ(x1) (biorąc za p wyrażenie ϕ(x1), a za q wyrażenie ψ(x1));podobnie stwierdzamy, że prawdziwe jest ψ(x1). Istnieje zatem pewno x, mianowicie x1, takieże ϕ(x) jest prawdziwe:

∃x. ϕ(x) (16)

Podobnie istnieje pewno x, mianowcie x1, takie że ψ(x) jest prawdziwe:

∃x. ψ(x) (17)

Założyliśmy, że następnik implikacji (10) jest fałszywy, czyli że poniższa formuła jest praw-dziwa:

¬(∃x. ϕ(x) ∧ ∃x. ψ(x)).

Korzystając z praw de Morgana dla koniunkcji, otrzymujemy alternatywę

[¬(∃x. ϕ(x))] ∨ [¬(∃x. ϕ(x))],

której oba składniki na mocy (16) i (17) są fałszywe, a więc i ona sama jest fałszywa (wbrewzałożeniu). Stąd formuła (10) jest tautologią.

Zauważmy, że nie możemy w formule (10) zastąpić implikacji równoważnością. Formuła

∃x. ϕ(x) ∧ ∃x. ψ(x) ⇒ ∃x. (ϕ(x) ∧ ψ(x)) (18)

nie jest bowiem tautologią (pamiętamy, że (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]). Dla dowodurozważmy formuły ϕ i ψ takie, że dla x ∈ N wyrażenie ϕ(x) jest prawdziwe, jeśli x jestparzyste, natomiast ψ(x) jest prawdziwe dla x nieparzystego. Zdanie ∃x. ϕ(x) jest prawdziwe(gdyż istnieje takie x, równe np. 2, że ϕ(x) = ϕ(2) jest prawdziwe), podobnie prawdziwe jestzdanie ∃x. ψ(x) (ψ(x) jest prawdziwe np. dla x = 3 ). Poprzednik implikacji (18) jest zatemprawdziwy. Natomiast jej następnik prawdziwy oczywiście nie jest (nie istnieje bowiem liczbajednocześnie i parzysta, i nieparzysta). A zatem rozważana implikacja jest fałszywa.

Rozdział 3

Zasada indukcji zupełnej

Co trzeba robić, aby zasłużyć na order? Nic, ale za to bardzo długo.

— H. Steinhaus

3.1 Teoriomnogościowe ujęcie liczb naturalnych

Zbiór liczb naturalnych N można wprowadzić do matematyki na wiele sposobów. W uję-ciu teoriomnogościowym wprowadza się pojęcie następnika S(A) zbioru A (jego istnieniewymaga przyjęcia dodatkowego aksjomatu) kładąc S(A) = A ∪ A. Następnie, startu-jąc od zbioru pustego ∅ i biorąc kolejne następniki, otrzymujemy zbiory S(∅), S(S(∅)),S(S(S(∅))), . . ., czyli

∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, . . .

W ten sposób można zdefiniować zbiór liczb naturalnych odwołując się jedynie do pojęćteorii mnogości (przyjmując, że zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszą rodziną zbio-rów zawierającą zbiór pusty i taką, że wraz z każdym zbiorem zawiera ona jego następnik).Zbiór pusty odpowiada więc liczbie 0, ∅ — liczbie 1, ∅, ∅ — liczbie 2 itd.

3.2 Aksjomatyczne ujęcie liczb naturalnych

W dalszym ciągu będziemy się posługiwać następującym aksjomatycznym ujęciem liczbnaturalnych. Za pojęcia pierwotne uważać będziemy N, 0 oraz pojęcie następnika.

Przyjmiemy następujący układ 5 aksjomatów:

1. 0 ∈ N

2. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej

3. dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jedna liczba naturalna, która jest jejnastępnikiem

4. jeżeli liczba m jest następnikiem liczb n i k, to n = k.

5. (Zasada indukcji) jeżeli A ⊆ N i

(a) 0 ∈ A

(b) dla każdej liczb naturalnej prawdziwa jest implikacja n ∈ A ⇒ n′ ∈ A,

to A = N,

gdzie n′ oznacza następnik liczby naturalnej n.

26 Zasada indukcji zupełnej

3.3 Zasada indukcji zupełnej

Wśród wymienionych aksjomatów szczególną wagę ma aksjomat piąty, za pomocą któregodowodzi się większości twierdzeń o zbiorze N. Dowód taki składa się z dwóch kroków:podstawy indukcji , czyli stwierdzenia 0 ∈ A i kroku indukcyjnego, w którym pokazuje się,że dla dowolnie wybranego n z prawdziwości n ∈ A wynika prawdziwość n′ ∈ A.

Z pomocą podanych wyżej aksjomatów wprowadza się dalsze pojęcia występujące warytmetyce liczb naturalnych, w szczególności dodawanie, przyjmując

n+ 0 = n,

n+m′ = (n+m)′,

dla dowolnych n,m ∈ N. Korzystając z zasady indukcji można w łatwy sposób wykazać,że tak określona suma n+m jest zdefiniowana dla każdych dwóch liczb naturalnych n,m.

Przyjmijmy oznaczenie 1 = 0′. Zauważmy, że n + 1 = n + 0′ równe jest z definicji(n+ 0)′, czyli n′. Zamiast n′ będziemy zatem pisać n+ 1.

Zasadę indukcji stosuje się najczęściej w jednej z 2 następujących postaci:

Twierdzenie 3.1. Jeżeli ϕ jest własnością określoną w zbiorze N, taką że

1. ϕ(0) (0 ma własność ϕ),

2. dla każdego n naturalnego prawdziwa jest implikacja ϕ(n) ⇒ ϕ(n+ 1) (jeżeli n mawłasność ϕ, to ma ją także n+ 1),

to każda liczba naturalna ma własność ϕ.

P r z y k ł a d 3.1. Pokazać, że obszary wyznaczone przed dowolną skończoną liczbę prostychna płaszczyźnie można pokolorować dwoma kolorami tak, by żadne dwa obszary o tym samymkolorze nie miały wspólnego boku.

Dowód przeprowadzimy przez indukcję po liczbie prostych.

1. Podstawa indukcji. Przypadek n = 0 jest trywialny — całą przestrzeń malujemy jednymkolorem.

2. Krok indukcyjny. Załóżmy, że obszary wyznaczone przez n prostych daje się odpowiedniopokolorować. Wykonujemy to kolorowanie i rysujemy na płaszczyźnie n+ 1-szą prostą.Jeżeli pokrywa się ona z którąś z dotychczasowych, odpowiednie kolorowanie mamydane. W przeciwnym przypadku wyróżniamy obszar znajdujący się po jednej stronieprostej i zmieniamy w nim kolorowanie na przeciwne (kolor pierwszy zastępujemy drugimi odwrotnie).

3.3 Zasada indukcji zupełnej 27

I

II

I

I −> II

II

II −> I

I−> II

Jest jasne, że w po obu stronach dodanej prostej nie ma obszarów o tym samym kolorzestykających się bokami. Jeżeli więc na płaszczyźnie istnieją 2 obszary o wspólnym bokui tym samym kolorze, to musza ona leżeć po przeciwnych stronach dodanej prostej,a wspólny bok musi leżeć na tej prostej. Obszary takie jednak mają przeciwne kolory(gdyż zmieniliśmy je po jednej stronie prostej).

P r z y k ł a d 3.2. Pokazać, że n prostych przecina się na płaszczyźnie w co najwyżej n(n−1)2

punktach.

1. Podstawa indukcji. Dwie proste przecinają się w co najwyżej 1 punkcie (1 = 2(2−1)2 ).

2. Krok indukcyjny. Załóżmy teraz, że n−1 prostych przecina się w co najwyżej (n−1)(n−2)2

punktach. Rysujemy n-ta prostą. Nowe przecięcia mogły powstać tylko w tych punktach,w których nowa prosta przecięła się z pozostałymi. Tak więc n prostych przecina się wco najwyżej

(n− 1)(n − 2)2

+n−1 =(n− 1)(n − 2) + 2(n − 1)

2=

(n− 1)(n − 2 + 2)2

=(n− 1)n

2

punktach.

Jak widzimy z ostatniego przykładu za podstawę indukcji możemy wziąć liczbę awiększą od 0. Wówczas dowodzone twierdzenie jest prawdziwe z zbiorze N \0, 1, . . . , a−1 = a, a+ 1, a+ 2, . . ..

Twierdzenie 3.2. Jeżeli ϕ jest własnością określoną w zbiorze N, taką że

1. ϕ(0) (0 na własność ϕ),

2. dla każdej liczby naturalnej n z prawdziwości ϕ(k) dla wszystkich k ¬ n wynikaϕ(n + 1),

to każda liczba naturalna ma własność ϕ.

P r z y k ł a d 3.3. Dany jest ciąg (an) taki, że a0 = 2, a1 = 3, an+1 = 3an − 2an−1 orazbn = 2n + 1. Pokazać, że dla każdego n naturalnego zachodzi an = bn.

28 Zasada indukcji zupełnej

1. Podstawa indukcji. Łatwo sprawdzić, że a0 = b0 i a1 = b1.

2. Krok indukcyjny. Załóżmy, że odpowiednie wyrazy ciągów (an) i (bn) o indeksach nie-większych od n są równe, tzn. ai = bi dla i ¬ n. Pokażemy, że wynika z tego, żean+1 = bn+1. Istotnie,

an+1def.= 3an − 2an−1

ind.= 3bn − 2bn−1def.= 3(2n + 1) − 2(2n−1 + 1) =

= 3 · 2n + 3 − 2n − 2 = 2 · 2n + 1 = 2n+1 + 1 =

= bn+1.

Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy równość ciągów (an) i (bn).Zauważmy, że dla dowodu nie wystarcza twierdzenie 3.2. W kroku indukcyjnym odwołu-

jemy się bowiem do wszystkich wyrazów ciągów o indeksach mniejszych od n+ 1, a nie tylkodo wyrazu o indeksie n.

P r z y k ł a d 3.4. Wykazać, że formuła (. . . ((p1 ⇒ p2) ⇒ p3) ⇒ . . . ⇒ pn−1) ⇒ pn jestfałszywa dla dokładnie

2n − (−1)n

3wartościowań zmiennych p1, p2, . . . pn.

Dla n = 1 rozważana formuła ma postać p1 i jest fałszywa dla 1 = 21−(−1)1

3 wartościowańzmiennych (mianowicie dla takiego wartościowania, które przypisuje zmiennej p1 wartość 0).Załóżmy zatem, że formuła (. . . ((p1 ⇒ p2) ⇒ p3) ⇒ . . . ⇒ pn−2) ⇒ pn−1 jest fałszywa dladokładnie

2n−1 − (−1)n−1

3wartościowań zmiennych p1, p2, . . . pn−1. Zauważmy, że implikacja

[(. . . ((p1 ⇒ p2) ⇒ p3) ⇒ . . . ⇒ pn−1)] ⇒ pn

jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.Poprzednik jest prawdziwy dla tych wartościowań zmiennych p1, p2, . . . pn−1, dla których niejest fałszywy, następnik zaś jest fałszywy, gdy pn jest wartościowane na 0, a więc dla jednegowartościowania. Rozważana formuła jest więc fałszywa dla

1 ·(

2n−1 − 2n−1 − (−1)n−1

3

)

=3 · 2n−1 − 2n−1 − (−1)(−1)n−1

3=

2n − (−1)n

3

wartościowań zmiennych p1, p2, . . . pn, co należało pokazać.

Z zasadą indukcji równoważna jest następująca

Twierdzenie 3.3 (Zasada minimum). W każdym niepustym zbiorze liczb natural-nych istnieje element najmniejszy.

Rozdział 4

Teoria zbiorów

Oj, czemu to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje.Oj byłby to hałas spory, gdyby zebrać wszystkie zbiory.

— Jan Alboszta

4.1 O potrzebie aksjomatyzacji teorii mnogości

Teoria mnogości zajmuje się ogólnymi własnościami zbiorów, bez wnikania w istotę ele-mentów, z których się one składają. W początkowym okresie swojego rozwoju teoria mno-gości posługiwała się bliżej nie sprecyzowanym, intuicyjnym pojęciem zbioru. Wkrótcejednak okazało się, że brak należytych podstaw teorii mnogości prowadzi do powstaniatzw. antynomii , tj. sprzeczności, których na gruncie przyjętej ówcześnie teorii nie potra-fiono wytłumczyć.

W szczególności uważano, że dla każdej własności ϕ istnieje zbiór, składający się ztych i tylko tych obiektów, które tę własność mają.

Rozważmy zbiór, którego elementami są wszystkie zbiory nie będące swoimi elemen-tami:

Z = A:A /∈ A.

Z określenia zbioru Z wynika, że

Z ∈ Z ⇔ Z /∈ Z.

Określenie zbioru Z prowadzi do sprzeczności. Jej usunięcie możliwe było dopiero nagruncie aksjomatycznej teorii mnogości.

4.2 Aksjomaty teorii mnogości

Za pojęcia pierwotne przyjmujemy pojęcie zbioru oraz przynależności elementu do zbioru.

Aksjomat równości zbiorów. Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to zbiory Ai B są równe.

A = B ⇔ ∀x. x ∈ A ⇔ x ∈ B

Aksjomat sumy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami sąwszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B, i który nie zawierainnych elementów.

∀x. x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

30 Teoria zbiorów

Aksjomat różnicy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami sąte elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B, i który nie zawiera innychelementów.

∀x. x ∈ A \B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B

Aksjomat istnienia. Istnieje co najmniej jeden zbiór.

Aksjomat wyróżniania. Dla dowolnego zbioru A i formuły zdaniowej ϕ istnieje zbiórelementów A, które spełniają tę formułę:

x ∈ A:ϕ(x).

Powyższy zbiór aksjomatów nie wystarcza dla potrzeb teorii mnogości. Nie będziemyjednak wnikać z aksjomatykę teorii mnogości, dla potrzeb rozważań w tej pracy podanyzbiór aksjomatów (uzupełniony w dalszych rodziałach o 2 następne) jest bowiem wystar-czający.

4.3 Własności zbiorów

Korzystając z podanych aksjomatów możemy zdefiniować pojęcie zawierania zbiorów.

Definicja 4.1. (Zawieranie zbiorów) Dla dowolnych zbiorów A,B:

A ⊆ B ⇔ A ∪B = B.

System aksjomatów definiuje się tak, by był on jak najmniejszy. Z związku z tym de-finicje opierające się bezpośrednio na aksjomatach są nieczytelne i niepraktyczne. Niedo-godnośc tę wyeliminujemy wyprowadzając z aksjomatów wszystkie potrzebne zależności.

Na początek zauważmy, że

A ∪B = B ⇔ ∀x. [x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ B]

⇔ ∀x. [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇔ x ∈ B]

⇔ ∀x. ¬(x ∈ A ∧ x /∈ B)

⇔ ∀x. [x /∈ A ∨ x ∈ B]

⇔ ∀x. [x ∈ A ⇒ x ∈ B],

skąd:

A ⊆ B ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B). (1)

Niech A ⊆ B i B ⊆ A. Na mocy (1) założenie to jest równoważne formule

∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A)] ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B)

⇔ A = B

Tak więc dwa zbiory są równe wtedy, gdy są nawzajem swoimi podzbiorami:

A = B ⇔ A ⊆ B ∧B ⊆ A

Definicja 4.2. (Iloczyn zbiorów) Iloczynem zbiorów A, B będziemy nazywać zbiór A ∩B = A \ (A \B).

Łatwo dowieść, że∀x. [x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B]

4.3 Własności zbiorów 31

Definicja 4.3. (Zbiór pusty) Zbiorem pustym ∅ będziemy nazywać zbiór A \ A dla wy-branego zbioru A.

Aksjomat istnienia stwierdza, że istnieje co najmniej jeden zbiór. Nazwijmy go A. Wobecaksjomatu różnicy istnieje zbiór A \A, spełniający warunek:

∀x. x ∈ A \ A ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ A

Prawy człon powyższej równoważności jest zdaniem fałszywym dla każdego x, zatemzastępując zapis A \ A symbolem ∅ otrzymujemy

∀x. x /∈ ∅

Jeżeli A ∩B = ∅ mówimy, że zbiory A i B są rozłączne.

P r z y k ł a d 4.1. Rozważmy następujące zadanie: rozwiązać równanie

x2 + 1 = 0.

Co robi przeciętny licealista? Oblicza wyróżnik ∆ trójmianu x2 + 1, stwierdza, że jest onujemny, tak więc zbiór rozwiązań równania jest pusty, po czym formułuje odpowiedź: x ∈ ∅.Czy podał poprawną odpowiedź? Nie! Jakkolwiek równanie to w istocie nie ma pierwiastkówrzeczywistych, odpowiedź taka jest błędna, ponieważ jest zdaniem fałszywym. Istotnie, wświetle tego, cośmy wyżej zauważyli, dla każdego x zdanie

x ∈ ∅

jest zdaniem fałszywym.

Zbiory mają wiele ciekawych własności.

P r z y k ł a d 4.2. Dla dowolnego zbioru A

∅ ⊆ A

Istotnie, z własności (1)∅ ⊆ A ⇔ ∀x. x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A.

Poprzednik implikacji x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A jest zawsze fałszywy, tak więc implikacja ta jestprawdziwa dla dowolnego x, wobec czego zachodzi teza.

P r z y k ł a d 4.3. Wykażemy, że

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C).

Na mocy aksjomatu równości zbiorów wystarczy pokazać, że

∀x. [x ∈ A \ (B ∩ C) ⇔ x ∈ (A \B) ∪ (A \ C)]

Z definicji różnicy i właności iloczynu zbiorów:

x ∈ A \ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ (B ∩ C)) ⇔ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∧ x ∈ C)

Z prawa de Morgana ¬(a ∧ b) ⇔ ¬a ∨ ¬b:

x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x /∈ C),

następnie z rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:

x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x /∈ C) ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ C),

32 Teoria zbiorów

z definicji różnicy

(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ⇔ (x ∈ A \B) ∨ (x ∈ A \ C)

i sumy zbiorów

(x ∈ A \B) ∨ (x ∈ A \ C) ⇔ x ∈ (A \B) ∪ (A \ C)

Przechodząc od x ∈ A\(B∩C) przez ciąg równoważności doszliśmy do x ∈ (A\B)∪(A\C),nie zakładając niczego o x. Pokazaliśmy zatem, że dla dowolnego x formuły te są równoważne,co kończy dowód.

4.4 Dopełnienie zbioru

Ograniczymy się do rozważania takich zbiorów, które są podzbiorami pewnego ustalonegozbioru, zwanego przestrzenią.

Aksjomat wyróżniania Dla dowolnego zbioru A i każdej funkcji zdaniowej ϕ, którejzakresem zmienności jest A, istnieje zbiór tych i tylko tych elementów A, którespełniają tę funkcję zdaniową:

x ∈ A:ϕ(x)

Definicja 4.4. Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni X (A ⊆ X) nazywamy zbiór X \Ai oznaczamy symbolem A′.

A

A’

X

P r z y k ł a d 4.4. Rozważmy przestrzeń liczb rzeczywistych. Dopełnieniem zbioru Qliczb wymiernych jest zbiór liczb niewymiernych IQ = R \ Q. Dopełnieniem zbioru 1, 2 wprzestrzeni 1, 2, 3, 4, 5 jest zbiór 3, 4, 5 = 1, 2, 3, 4, 5 \ 1, 2.

4.5 Operacje nieskończone na zbiorach

Definicja 4.5. Niech X 6= ∅ będzie dowolną przestrzenią, R — rodziną wszystkich pod-zbiorów przestrzeni X (rodzina zbiorów to nic innego jak zbiór zbiorów; określenie takiewprowadza się z powodów językowych), a S 6= ∅ — dowolnym zbiorem. Funkcję f : S → R

będziemy nazywać indeksowaną rodziną zbiorów .

Zbiór S może być nieskończony. Niech As = f(s) dla s ∈ S. Funkcję f będziemy oznaczaćsymbolem (As)s∈S .

P r z y k ł a d 4.5. Weźmy zbiór S = 2, 3, 5, 7. Niech R będzie rodziną wszystkichpodzbiorów zbioru N liczb naturalnych oraz f :S → R niech będzie dana wzorem

f(s) = As = n ∈ N: s|n.

4.5 Operacje nieskończone na zbiorach 33

Wówczas (As)s∈S jest (skończoną) rodziną indeksowaną następujących zbiorów:

A2 = 2, 4, 6, 8, . . .A3 = 3, 6, 9, 12, . . .A5 = 5, 10, 15, 20, . . .A7 = 7, 14, 21, 28, . . .

P r z y k ł a d 4.6. Weźmy S = N. Niech R będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru

R liczb rzeczywistych oraz f :S → R niech będzie dana wzorem

f(s) = As = x ∈ R: x2 < s.

Wówczas (As)s∈S jest (nieskończoną) rodziną indeksowaną podzbiorów zbioru liczb rze-czywistych:

A1 = x ∈ R: x2 < 1 = (−1, 1)

A2 = x ∈ R: x2 < 2 = (−√

2,√

2)...

Definicja 4.6. Niech (As)s∈S będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów prze-strzeni X. Sumą zbiorów As, s ∈ S, nazywamy zbiór

⋃

s∈S As, do którego należy każdyelement przestrzeni X należący do przynajmniej jednego ze zbiorów As, s ∈ S.

Symbolicznie:x ∈

⋃

s∈S

As ⇔ ∃s. x ∈ As

W przypadku S = N,

zamiast⋃

n∈N

An piszemy∞⋃

n=0

As.

Jeżeli S = 1, 2, . . . , n, to rodzina (As)s∈S jest równa A1, A2, . . . , An, a suma⋃

s∈S As jest równa sumie A1∪A2∪· · ·∪An, gdzie ∪ jest „zwykłym” symbolem dodawaniazbiorów. Tak więc pojęcie sumy indeksowanej rodziny zbiorów jest rozszerzeniem pojęcia„zwykłej” sumy zbiorów na przypadek, gdy dodajemy nieskończenie wiele zbiorów.

P r z y k ł a d 4.7. Niech (As)s∈S będzie indeksowaną rodziną zbiorów z przykładu (4.5).Wówczas

⋃

s∈S

As = A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4 = n ∈ N: n dzieli się przez 2, 3, 5 lub 7

Dla rodziny zdefiniowanej w przykładzie (4.6) mamy

⋃

s∈S

As = R

34 Teoria zbiorów

Definicja 4.7. Niech (As)s∈S będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów prze-strzeni X. Iloczynem zbiorów As, s ∈ S, nazywamy zbiór

⋂

s∈S As, do którego należykażdy element przestrzeni X należący do każdego ze zbiorów As, s ∈ S.

Symbolicznie:x ∈

⋂

s∈S

As ⇔ ∃s. x ∈ As

W przypadku S = N,

zamiast⋂

n∈N

An piszemy∞⋂

n=0

As.

Jeżeli S = 1, 2, . . . , n, to rodzina (As)s∈S jest równa A1, A2, . . . , An, iloczyn⋂

s∈S As jest równy iloczynowi A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An, gdzie ∩ jest „zwykłym” symbolemiloczynu zbiorów. Tak więc pojęcie iloczynu indeksowanego rodziny zbiorów jest rozsze-rzeniem pojęcia „zwykłego” iloczynu zbiorów na przypadek, gdy mnożymy nieskończeniewiele zbiorów.

P r z y k ł a d 4.8. Niech (As)s∈S będzie indeksowaną rodziną zbiorów z przykładu (4.5).Wówczas

⋂

s∈S

As = A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 = n ∈ N: n dzieli się przez 2, 3, 5 i 7

Dla rodziny zdefiniowanej w przykładzie (4.6) mamy⋂

s∈S

As = (−1, 1)

P r z y k ł a d 4.9. Wykazać, że jeśli A0 ⊇ A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . i B0 ⊇ B1 ⊇ . . . ⊇ Bn ⊇ . . .,czyli (An)n∈N i (Bn)n∈N są zstępującymi ciągami zbiorów, to

∞⋂

n=0

(An ∪Bn) =∞⋂

n=0

An ∪∞⋂

n=0

Bn

Niech L oznacza lewą, a P prawą stronę powyższej równości. Pokażemy, że L ⊆ P iP ⊆ L (a więc L=P ).

1. P ⊆ L ⇔ ∀x. x ∈ P ⇒ x ∈ L.

x ∈ P ⇔ x ∈∞⋂

n=0

An ∪∞⋂

n=0

Bn ⇔ x ∈∞⋂

n=0

An ∨ x ∈∞⋂

n=0

Bn ⇔

⇔ (∀n ∈ N. x ∈ An) ∨ (∀n ∈ N. x ∈ Bn) ⇒⇒ (∀n ∈ N. x ∈ An ∨ x ∈ Bn) ⇔ ∀n ∈ N. x ∈ (An ∪Bn) ⇔

⇔ x ∈∞⋂

n=0

An ∪Bn ⇔ x ∈ L

2. L ⊆ P ⇔ ∀x. x ∈ L ⇒ x ∈ P .

x ∈ L ⇔ x ∈∞⋂

n=0

(An ∪Bn) ⇔ ∀n ∈ N. x ∈ An ∪Bn

⇔ ∀n ∈ N. (x ∈ An ∨ x ∈ Bn) (2)

4.5 Operacje nieskończone na zbiorach 35

Rozpatrzmy teraz 2 przypadki:a) ∀n ∈ N. x ∈ An; wówczas x ∈ ⋂∞

n=0An, na mocy A ⊆ A∪B mamy x ∈ ⋂∞n=0 An ∪

⋂∞n=0Bn, skąd x ∈ P ,

b) ∃n0 ∈ N. x /∈ An0; ponieważ (An)n∈N jest zstępującą rodziną zbiorów mamy

∀n > n0. x /∈ An

(gdyby istniało n1 > n0 takie, że x /∈ An0i x ∈ An1

, to An0+ An1

i rodzina (An)n∈N niebyłaby zstępująca); wobec (2) musi być

∀n > n0. x ∈ Bn;

ponieważ Bn0⊆ Bn0−1 ⊆ . . . ⊆ B1, zachodzi

∀n ∈ N. x ∈ Bn ⇔ x ∈∞⋂

n=0

Bn ⇒ x ∈∞⋂

n=0

Bn ∪∞⋂

n=0

An ⇔

⇔ x ∈ P

Stwierdzenie to kończy dowód. Zauważmy, że w punkcie 1. nie korzystaliśmy z faktu,że dane są zstępujące ciągi zbiorów. Tak więc dla dowolnych rodzin zbiorów (An)n∈N i(Bn)n∈N zachodzi:

∞⋂

n=0

An ∪∞⋂

n=0

Bn ⊆∞⋂

n=0

(An ∪Bn)

P r z y k ł a d 4.10. Niech 〈An: n ∈ N〉 będzie ciągiem skończonych podzbiorów zbioru Xtakim, że An1

∩ · · · ∩Ank6= ∅ dla dowolnych n1, . . . , nk ∈ N. Pokazać, że

∞⋂

i=0

Ai 6= ∅.

D o w ó d (nie wprost): Możemy przyjąć, ze zbiory Ai (i ∈ N) są niepuste (w przeciwnymwypadku

⋂∞i=0 Ai = ∅). Załóżmy nie wprost, że

∞⋂

i=0

Ai = ∅.

Wówczas

∀x ∈ X. x /∈∞⋂

i=0

Ai ⇔ ∀x ∈ X. ∃i ∈ N. x /∈ Ai

co oznacza, że dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje co najmniej jeden zbiór Ai

(i ∈ N), do którego element ten nie należy. Będziemy oznaczać go Ax.Weźmy dowolny spośród zbiorów Ai, np. Aj (j ∈ N). Zbiór ten jest skończony, zatem

Aj = xj1, xj2

, . . . , xjnZgodnie z tym, co zauważyliśmy wcześniej, istnieje zbiór Axj1

taki, że xj1/∈ Axj1

, Axj2taki,

że xj2/∈ Axj2

itd. Rozważmy teraz następujący przekrój:

A = Aj ∩Axj1∩Axj2

· · · ∩Axjn

Jeśli x należy do zbioru A, to należy do każdego ze zbiorów Aj , Axj1, Axj2

, . . . , Axjn, w

szczególności zaś do Aj :

x ∈ A ⇒ x ∈ Aj ⇒ (x = xj1∨ x = xj2

∨ . . . ∨ x = xjn)

Ale xji/∈ Axji

(dla i = 1, 2, . . . , n). Oznacza to, że nie istnieje element przestrzeni X nale-żący do każdego spośród krojonych zbiorów, tak więc przekrój A jest zbiorem pustym, co jestsprzeczne z niepustością An1

∩ · · · ∩Ankdla dowolnych n1, . . . , nk ∈ N. Otrzymana sprzecz-

ność wynika z założenia⋂∞

i=0 Ai = ∅. Musimy je zatem odrzucić jako fałszywe, dowodząctym samym tezy.

36 Teoria zbiorów

4.6 Zbiór potęgowy

Aksjomat zbioru potęgowego Dla każdego zbioru X istnieje rodzina zbiorów, którejelementami są wszystkie podzbiory zbioru X i tylko one. Nazywamy ją zbiorempotęgowym zbioru X i oznaczamy przez P(X) (rzadziej 2X).

P(X) = A: A ⊆ X

4.7 Wzór włączeń i wyłączeń

A B\ A

B

A∩B

B = (B \ A) ∪ (B ∩A). Zbiory (B \ A) i (A ∩B) są rozłączne. Zatem

|B| = |B \A| + |A ∩B| (3)

|A ∪B| = |A ∪ (B \ A)|= |A| + |B \ A| (zbiory A i (B \ A) są rozłączne) (4)

= |A| + |B| − |A ∩B| (z równości (3))

|A ∪B ∪ C| = |A ∪ (B ∪ C)|= |A| + |B ∪ C| − |A ∩ (B ∪ C)| z (4)= |A| + |B| + |C| − |B ∩C| − |(A ∩B) ∪ (A ∩C)| z (4)= |A| + |B| + |C| − |B ∩C| − (|A ∩B| + |A ∩C| − |A ∩B ∩ C|) z (4)= |A| + |B| + |C| − |A ∩B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩B ∩ C|)

Powyższe równości pozwalają obliczać moc przecięcia dwóch lub trzech zbiorów. Roz-szerzymy je teraz na przypadek n zbiorów.

Niech n oznacza zbiór 1, 2, . . . , n. Weźmy dowolny podzbiór zbioru 2n+1 wszystkichpodzbiorów zbioru n+ 1. Możliwe są 2 przypadki: podzbiór ten albo zawiera n+ 1, albonie. Niech zatem P1 oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów 2n+1 niezawierających n+1,a P2 — rodzinę wszystkich podzbiorów 2n+1 zawierających n+ 1. Mamy:

2n+1 = P1 ∪ P2,

gdzie P1 ∩ P2 = ∅.Zauważmy, że każdy zbiór A ∈ P2 jest postaci A1 ∪ n+ 1, gdzie A1 ∈ P1.Dowiedziemy teraz następującej zasady włączeń-wyłączeń:

|n⋃

i=1

Ai| =n∑

j=1

∑

I=1,2,...,n

|I|=j

(−1)j+1|⋂

i∈I

Ai|

Dla studenta pierwszego roku zapis ten zwykle jest szokujący. Spróbujmy nieco go roz-jaśnić. Rozpatrzmy w tym celu część wspólną pewnej liczby zbiorów spośródA1, A2, . . . , An.Niech to będzie np. A1 ∩A2 ∩A5. Załóżmy, że chcielibyśmy zapisać ten przekrój w prost-szej postaci, bez użycia symbolu iloczynu zbiorów. Można to zrobić np. wypisując indeksy

4.7 Wzór włączeń i wyłączeń 37

zbiorów stanowiących czynniki iloczynu; w naszym przykładzie otrzymamy 1, 2, 5. Za-uważmy, że każdemu iloczynowi odpowiada dokładnie jeden taki zbiór oraz każdemu zbio-rowi odpowiada dokładnie jeden iloczyn (z dokładnością do kolejności czynników). Jeślirozpatrzymy więc wszystkie podzbioru zbioru 1, 2, . . . , n i odpowiadające im przekroje,mamy pewność, że nie opuściliśmy żadnego przekroju. I to właśnie oznacza powyższy za-pis: bierzemy po kolei podzbiory zbioru n mające 1 element, 2 elementy itd. i rozważamyodpowiadające im przekroje mające 1 czynnik, 2 czynniki itd. Podzbioru mającego 0 ele-mentów, a więc zbioru pustego, nie rozważamy, bo jego wkład do sumy wynosi 0. Zasadawłączeń i wyłączeń mówi więc, że aby obliczyć moc przekroju n zbiorów, należy dodaćmoce wszystkich możliwych przekrojów tych zbiorów, przy czym jeżeli liczba czynnikówprzekroju jest parzysta należy wziąć jego moc ze znakiem ujemnym (co jeszcze inaczejmożna wysłowić mówiąc, że należy dodać do siebie moce przekrojów o nieparzystej liczbieczynników, a od otrzymanej sumy odjąć moce przekrojów o parzystej liczbie czynników).

Niech Φ(n) oznacza, że dowodzona zasada włączeń-wyłączeń jest prawdziwa dla do-wolnych n zbiorów. Pokażemy teraz indukcyjnie, że Φ(n) jest prawdziwe dla każdegon ∈ N.

1. Φ(1)∑n

j=1

∑

I=1,2,...,n

|I|=j

(−1)j+1|⋂i∈I Ai| = (−1)2 · |A1| = |A1| = |⋃1i=1Ai|

2. Φ(n) ⇒ Φ(n+ 1)

|n+1⋃

i=1

Ai| = |(

n⋃

i=1

Ai

)

∪An+1| = |n⋃

i=1

Ai| + |An+1| − |(

n⋃

i=1

Ai

)

∩An+1| =

= |n⋃

i=1

Ai| + |An+1| − |n⋃

i=1

(Ai ∩An+1)|

Korzystając z założenia indukcyjnego i faktu |∅| = 0:

|n+1⋃

i=1

Ai| = |∅| +n∑

j=1

∑

I=1,2,...,n

|I|=j

(−1)j+1|⋂

i∈I

Ai|+

︸ ︷︷ ︸

P1

+ |An+1| +n∑

j=1

∑

I=1,2,...,n

|I|=j

(−1)j |⋂

i∈I

Ai ∩An+1|

︸ ︷︷ ︸

P2

=

=n+1∑

j=1

∑

I=1,2,...,n+1

|I|=j

(−1)j+1|⋂

i∈I

Ai|

Zauważmy, że dwa pierwsze wyrazy powyższej sumy pochodzą z sumowania mo-cy wszystkich przekrojów nie zawierających An+1, natomiast pozostałe dwa — zsumowania mocy przekrojów zawierających An+1. Odpowiada to zbiorom P1 i P2

opisanym wyżej i dowodzi, że sumujemy moce wszystkich możliwych przekrojówzbiorów A1, A2, . . . , An, An+1 (z właściwym znakiem). Stwierdzenie to kończy do-wód.

38 Teoria zbiorów

Rozdział 5

Relacje

5.1 Para uporządkowana

Definicja 5.1. Mając dane a i b możemy utworzyć parę 〈a, b〉, o poprzedniku a i następ-niku b. Dwie pary są równe, wtedy, gdy maja równe poprzedniki i równe następniki:

〈a, b〉 = 〈c, d〉 ⇔ (a = c) ∧ (b = d) (1)

Para tym różni się od zbioru 2-elementowego, że jest uporządkowana, tj. wiadomo, ja-ka jest kolejność jej składników, czego nie można powiedzieć o zbiorze. Można jednakzdefiniować parę w języku teorii zbiorów, przyjmując

〈a, b〉 = a, a, b.

Para taka spełnia warunek (1), ponadto nie wymaga wprowadzania nowego pojęcia.

5.2 Iloczyn kartezjański

Definicja 5.2. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór X × Y wszyst-kich par uporządkowanych 〈x, y〉, takich że x ∈ X i y ∈ Y :

X × Y = 〈x, y〉: x ∈ X ∧ y ∈ Y

P r z y k ł a d 5.1. Niech X = 1, 2 i Y = a, b, c.

X × Y = 〈1, a〉, 〈1, b〉, 〈1, c〉, 〈2, a〉, 〈2, b〉, 〈2, c〉

Zbiór liczb wymiernych Q jest podzbiorem produktu Z × N (nie jest mu równy, gdyż 11 = 2

2 ,a 〈1, 1〉 6= 〈2, 2〉). Zbiór liczb zespolonych C jest produktem R × R.

5.3 Produkt uogólniony

Produkt kartezjański dwóch zbiorów w sposób naturalny rozszerza się na produkt dowol-nej rodziny zbiorów (As)s∈S . Dla naszych potrzeb wystarcza ograniczyć się do przypadku,gdy S = 1, 2, . . . , n.

Pojęcie pary uogólnimy na ciągi dowolnej, skończonej długości. Założymy, że n−tkauporządkowana 〈a1, a2, . . . , an〉 jest pojęcie pierwotnym oraz przyjmiemy:

〈a1, a2, . . . , an〉 = 〈b1, b2, . . . , bn〉 ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ . . . ∧ an = bn.

40 Relacje

Łatwo już teraz podać definicję pojęcia produktu n zbiorów :

X1 ×X2 × . . .×Xn = 〈x1, x2, . . . , xn〉: x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn.Zauważmy jeszcze, że n-tkę uporządkowaną można zdefiniować za pomocą pojęcia pary:krotka dwuelementowa jest parą, natomiast krotka n+1-elementowa jest parą złożoną zpierwszego elementu i krotki n-elementowej:

〈x1, x2〉 = 〈x1, x2〉〈x1, x2, . . . xn+1〉︸ ︷︷ ︸

n+1−tka

= 〈x1, 〈x2, . . . xn+1〉︸ ︷︷ ︸

n−tka

〉

P r z y k ł a d 5.2. Przestrzeń euklidesowa jest produktem R3.

5.4 Relacje

Definicja 5.3. Dowolny podzbiór R ⊆ X1 × X2 × . . . × Xn iloczynu kartezjańskiegozbiorów X1, X2, . . ., Xn nazywamy relacją n-argumentową. Dowolny podzbiór iloczynukartezjańskiego dwóch zbiorów nazywamy relacją binarną.

Jeśli 〈a, b〉 ∈ R, to mówimy, że elementy a i b są ze soba w relacji R. Zamiast pisać〈a, b〉 ∈ R, piszemy też niekiedy aRb. Podzbiory A2 są binarnymi relacjami na zbiorze A.

P r z y k ł a d 5.3. Jedną z podstawowych własności liczb naturalnych jest własność bycialiczba pierwszą. Jeżeli p i p + 2 są liczbami pierwszymi, to liczby p i p + 2 są bliźniacze.Tak więc bliźniacze są liczby 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13 itd. Własność bycia liczbami bliźniaczymiprzysługuje zatem następującym parom

〈3, 5〉, 〈5, 7〉, 〈11, 13〉, . . .Ogólnie — własność bycia liczbami bliźniaczymi przysługuje każdej parze liczb naturalnych〈p, p+2〉, takiej że p i p+2 są liczbami pierwszymi. Relacja ta jest zatem własnością elementówproduktu kartezjańskiego N × N.

Definicja 5.4. Zbiór poprzedników par uporządkowanych 〈x, y〉 należących do relacjibinarnej R nazywamy dziedziną tej relacji i oznaczamy symbolem Dom(R). Symbolicznie,dla x ∈ X, R ⊆ (X × Y ):

x ∈ Dom(R) ⇔ ∃y ∈ Y. xRy,

Przeciwdziedziną relacji R ∈ X × Y nazywamy zbiór następników par uporządkowanychtworzących tę relację i oznaczamy symbolem Dom∗(R). Symbolicznie, dla x ∈ X, R ⊆(X × Y ):

y ∈ Dom∗(R) ⇔ ∃x ∈ X. xRy.

P r z y k ł a d 5.4. Niech A = 2, 3, 5, B = 4, 6, 7 i dla relacji R ⊆ A × B niechspełniony będzie warunek

〈a, b〉 ∈ R ⇔ a|b i a ∈ A, b ∈ B.

Wówczas

Dom(R) = 2, 3Dom∗(R) = 4, 6

5.5 Złożenie relacji. Relacja odwrotna 41

5.5 Złożenie relacji. Relacja odwrotna

Definicja 5.5. Dane są relacje P ⊆ A×B i Q ⊆ B × C. Relacja

PQ = 〈a, c〉 : ∃b. ∈ B (aRb ∧ bRc) ⊆ A× C

gdzie a ∈ A, c ∈ C, nazywa się złożeniem relacji P i Q.

P r z y k ł a d 5.5. Niech A = 1, 2, 3, B = 2, 6, C = 2, 3, 4, P ⊆ A×B = 〈a, b〉: b =2a, Q ⊆ B × C = 〈b, c〉: c|b. Wówczas PQ = 〈1, 2〉, 〈3, 2〉, 〈3, 3〉. Przykładowo, para〈1, 2〉 należy do PQ, ponieważ dla b = 2 ∈ B mamy 〈1, b〉 = 〈1, 2〉 ∈ P i 〈b, 2〉 = 〈2, 2〉 ∈ Q.

Definicja 5.6. Relacja

P−1 = 〈b, a〉: 〈a, b〉 ∈ P ⊆ B ×A

gdzie P ⊆ A×B, a ∈ A, b ∈ B, nazywa się relacją odwrotną do P .

P r z y k ł a d 5.6. Rozważmy relacje z przykładu (5.5):

P = 〈1, 2〉, 〈1, 3〉 skąd P−1 = 〈2, 1〉, 〈3, 1〉,Q = 〈2, 2〉, 〈2, 6〉, 〈3, 6〉 skąd Q−1 = 〈2, 2〉, 〈6, 2〉, 〈6, 3〉.

Twierdzenie 5.7. Dla dowolnych relacji T ⊆ A×B, S ⊆ B×C i R ⊆ C ×D zachodzi:

T (SR) = (TS)R (2)

(SR)−1 = R−1S−1 (3)

Udowodnimy równość (3). Niech a ∈ A, c ∈ C.

〈c, a〉 ∈ S−1R−1 ⇔ ∃b ∈ B. 〈c, b〉 ∈ S−1 ∧ 〈b, a〉 ∈ R−1 ⇔⇔ ∃b ∈ B. 〈b, c〉 ∈ S ∧ 〈a, b〉 ∈ R ⇔⇔ ∃b ∈ B. 〈a, b〉 ∈ R ∧ 〈b, c〉 ∈ S ⇔⇔ 〈a, c〉 ∈ RS ⇔ 〈c, a〉 ∈ (RS)−1

Na mocy zasady ekstensjonalności stwierdzamy (SR)−1 = R−1S−1.

5.6 Rodzaje relacji

Definicja 5.8. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy zwrotną, jeśli

∀x ∈ X. xRx.

P r z y k ł a d 5.7. Relacja identyczności = na dowolnym, niepustym zbiorze X jest relacjązwrotną, każdy bowiem element x jest tożsamy sam ze sobą:

∀x ∈ X. x = x.

Relacja podzielności | w zbiorze liczb naturalnych jest relacją zwrotną, bowiem każdaliczba naturalna dzieli sama siebie:

∀n ∈ N. n|n.

42 Relacje

Definicja 5.9. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy przeciwzwrotną, jeśli

∀x ∈ X. ¬(xRx).

P r z y k ł a d 5.8. Relacja mniejszości < w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacją przeciw-zwrotną, bowiem żadna liczba nie jest mniejsza od samej siebie:

∀n ∈ N. ¬(n < n).

Definicja 5.10. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy symetryczną, jeśli

∀x, y ∈ X. xRy ⇒ yRx.

P r z y k ł a d 5.9. Relacja identyczności = na dowolnym, niepustym zbiorze X jest relacjąsymetryczną, mamy bowiem

∀x, y ∈ X. x = y ⇒ y = x.

Definicja 5.11. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy przeciwsymetryczną, jeśli

∀x, y ∈ X. xRy ⇒ ¬(yRx).

P r z y k ł a d 5.10. Relacja mniejszości < w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacjąprzeciwsymetryczną, bowiem warunki x < y i y < x wzajemnie się wykluczają:

∀x, y ∈ N. x < y ⇒ ¬(y < x).

Definicja 5.12. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy słabo antysymetryczną, jeśli

∀x, y ∈ X. (xRy ∧ yRx) ⇒ x = y

P r z y k ł a d 5.11. Relacja niewiększości ¬ w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacją słaboantysymetryczną:

∀x, y ∈ N. x ¬ y ∧ x ¬ y ⇒ x = y.

Definicja 5.13. Relację binarną R ⊆ X ×X nazywamy przechodnią, jeśli

∀x, y, z ∈ X. (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz

P r z y k ł a d 5.12. Relacja identyczności = na dowolnym, niepustym zbiorze X jest relacjąprzechodnią, mamy bowiem

∀x, y, z ∈ X. (x = y ∧ y = z) ⇒ x = z.

Relacja podzielności | w zbiorze liczb naturalnych jest relacją przechodnią, gdyż dla do-wolnych liczb naturalnych p, q, r jeżeli p dzieli q, a q dzieli r, to także p dzieli r:

∀p, q, r ∈ N. p|q ∧ q|r ⇒ p|r.

Rozważania w tym paragrafie podsumowuje tabela 5.1.

5.7 Funkcje jako relacje 43

Nazwa relacji warunek (R ⊆ X ×X)

zwrotna ∀x. xRxprzeciwzwrotna ∀x. ¬(xRx)symetryczna ∀x, y ∈ X. xRy ⇒ yRxprzeciwsymetryczna ∀x, y ∈ X. xRy ⇒ ¬(yRx)słabo antysymetryczna ∀x, y ∈ X. (xRy ∧ yRx) ⇒ x = yprzechodnia ∀x, y, z ∈ X. (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz

Tabela 5.1: Rodzaje relacji

5.7 Funkcje jako relacje

Definicja 5.14. Relację f ⊆ X×Y nazywamy funkcją, jeżeli dla każdego x ∈ X istniejedokładnie jeden element y, taki że 〈x, y〉 ∈ f , tj.:

∀x ∈ X. ∃y ∈ Y. 〈x, y〉 ∈ f (4)

∀x ∈ X. ∀y1, y2 ∈ Y. 〈x, y1〉 ∈ f ∧ 〈x, y2〉 ∈ f ⇒ y1 = y2 (5)

Warunek (4) zapewnia, że wartości funkcji jest określona dla każdego elementu x ∈ X (awięc X jest dziedziną relacji f), natomiast równość (5) gwarantuje, że dowolny elementx dziedziny X jest w relacji f z co najwyżej jednym elementem y zbioru Y .

Często zamiast f ⊆ X × Y piszemy f : X → Y , zaś jeśli para 〈x, y〉 ∈ f , mówimy, żey jest wartością funkcji f dla argumentu x i piszemy y = f(x). Zbiór wszystkich funkcjize zbioru X w Y oznaczamy Y X . Symbolicznie

Y X = f takich że f :X → Y .

P r z y k ł a d 5.13. Niech X,Y = 1, 2, 3, 4, 5, a relacja Ri ⊆ X × Y , i ∈ 1, 2, 3,niech będzie określona za pomocą następujących tabelek (para 〈x, y〉 jest w relacji Ri, jeślina skrzyżowaniu wiersza x i kolumny y w tabeli i występuje krzyżyk):

R1 1 2 3 4 51 ×2 ×3 ×45 ×

Relacja R1 nie jest funkcją, bo nie istnieje y ∈ Y , takie że 〈4, y〉 ∈ R1 (innymi słowy niejest określona wartości funkcji dla argumentu 4).

R2 1 2 3 4 51 ×2 × ×3 ×4 ×5 ×

Relacja R2 nie jest funkcją, bo istnieją x ∈ X, y1, y2 ∈ Y (równe odpowiednio 2, 3 i 5),takie że 〈x, y1〉 ∈ R2, 〈x, y2〉 ∈ R2 i y1 6= y2 (mówiąc nieściśle relacja R2 ma dwie wartościdla argumentu równego 2).

Jeżeli usuniemy krzyżyk z przecięcia drugiego wiersza i piątej kolumny (czyli usuniemyparę 〈2, 5〉 z relacji R2), otrzymamy relację R3 będącą funkcją.

44 Relacje

R3 1 2 3 4 51 ×2 ×3 ×4 ×5 ×

Definicja 5.15. Relację f ∈ X×Y spełniającą jedynie drugi warunek z definicji funkcji,tj. taką że

∀x ∈ X. ∀y1, y2 ∈ Y. 〈x, y1〉 ∈ f ∧ 〈x, y2〉 ∈ f ⇒ y1 = y2

nazywamy funkcją częściową.

P r z y k ł a d 5.14. Relacja R1 z przykładu (5.13) jest funkcją częściową, gdyż — mówiącnieściśle — co prawda nie przyporządkowuje wartości każdemu elementowi x ∈ X, ale jeżelijuż przyporządkowuje, to jest to dokładnie jedna wartość.

5.8 Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne

Definicja 5.16. Funkcja f :X → Y jest różnowartościowa (jest injekcją), jeżeli

∀x1, x2 ∈ X. f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 (6)

Definicja 5.17. Funkcja f :X → Y jest „na” (jest surjekcją), jeżeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X. y = f(x) (7)

Definicja 5.18. Funkcja jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (jest bijekcją),jeżeli jest różnowartościowa i „na”.

P r z y k ł a d 5.15. Funkcja f : N → N, dana wzorem

f(n) = 2n

jest różnowartościowa oraz jest „na” zbiór liczb parzystych (nie jest „na” zbiór liczb natu-ralnych). Dla dowodu różnowartościowości weźmy dowolne n1, n2 ∈ N i załóżmy f(n1) =f(n2) ⇒ 2n1 = 2n2 ⇒ n1 = n2. Funkcja jest „na” zbiór liczb parzystych, gdyż dla każ-dej liczby parzystej, a więc postaci 2n potrafimy wskazać argument x taki, że f(x) = 2n(f(x) = 2n ⇔ 2x = 2n ⇔ x = n ∈ N). Funkcja nie jest „na” zbiór N, bo np. nie istniejetakie x ∈ N, by f(x) = 5 ⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5

2 /∈ N.Wniosek: funkcja f jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru liczb natural-

nych na parzyste.

5.9 Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna.

Twierdzenie 5.19. Jeśli f :X → Y oraz g:Y → Z są funkcjami, to relacja gf ⊆ X ×Z— będąca ich złożeniem i zwana superpozycją funkcji f i g — jest funkcją z X w Z. Dlax ∈ X

(gf)(x) = g(f(x)).

Superpozycję (złożenie) funkcji f i g oznaczamy również symbolem g f .Jeżeli funkcje f i g są różnowartościowe, to funkcja gf jest różnowartościowa. Jeżeli

f i g są „na”, to funkcja gf jest „na”.

5.9 Złożenie funkcji. Funkcja odwrotna. 45

Twierdzenie 5.20. Składanie funkcji jest działaniem łącznym, tj. dla dowolnych funkcjif :X → Y , g:Y → Z i h:Z → W :

h (g f) = (h g) f.

Twierdzenie to wynika z faktu, że składanie relacji jest działaniem łacznym.Relację odwrotną do funkcji (relacji) f oznaczamy f−1. Zauważmy, że relacja f−1 nie

musi być funkcją!

Twierdzenie 5.21. Relacja odwrotna f−1 jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy f jestbijekcją.

Dowód:

1. f−1 jest funkcją ⇒ f jest różnowartościowa i „na”

Załóżmy nie wprost, że f nie jest różnowartościowa. Wówczas istnieją x1, x2, y takieże x1 6= x2 i

〈x1, y〉 ∈ f ∧ 〈x2, y〉 ∈ f.

Wówczas〈y, x1〉 ∈ f−1 ∧ 〈y, x2〉 ∈ f−1.

Ponieważ x1 6= x2, relacja f−1 nie spełnia warunku (5) definicji funkcji, co stoi wsprzeczności z założeniem, że f−1 jest funkcją. Do sprzeczności tej doprowadziłozałożenie, że f nie jest różnowartościowa. Zatem f musi być różnowartościowa.

Podobnie załóżmy, że f nie jest „na”. Wówczas istnieje y, takie że

∀x. 〈x, y〉 /∈ f

Wówczas∀x. 〈y, x〉 /∈ f−1

A zatem nie jest określona wartości funkcji f−1 dla argumentu y, relacja f−1 niespełnia warunku (4) definicji funkcji, co stoi w sprzeczności z założeniem, że f−1

jest funkcją. Do sprzeczności tej doprowadziło założenie, że f nie jest „na”. Zatemf musi być „na”.

2. f jest różnowartościowa i „na” ⇒ f−1 jest funkcją

Można pokazać, że

• jeżeli f jest „na”, to f−1 spełnia pierwszy warunek definicji funkcji,

• jeżeli f jest różnowartościowa, to f−1 spełnia drugi warunek definicji funkcji.

Dowód ze względu na jego elementarny charakter oraz bliźniacze podobieństwo zprzedstawionym wyżej pomijamy.

Twierdzenie 5.22. Funkcja f−1 odwrotna do f (jeżeli istnieje) jest różnowartościowa i„na”.

Dla dowodu załóżmy, że f−1 nie jest różnowartościowa. Wówczas

∃y1, y2 ∈ Y ∃x ∈ X. y1 6= y2 ∧ 〈y1, x〉 ∈ f−1 ∧ 〈y2, x〉 ∈ f−1

m∃y1, y2 ∈ Y ∃x ∈ X. y1 6= y2 ∧ 〈x, y1〉 ∈ f ∧ 〈x, y2〉 ∈ f.

46 Relacje

Otrzymana sprzeczność z drugim warunkiem definicji funkcji (f jest funkcją!) dowodzitezy.

Podobnie, załóżmy, że f−1 nie jest „na”. Wówczas

∃x ∈ X∀y ∈ Y. 〈y, x〉 /∈ f−1

m∃x ∈ X∀y ∈ Y. 〈x, y〉 /∈ f

Otrzymana sprzeczność z pierwszym warunkiem definicji funkcji (f jest funkcją!) dowodzitezy.

Definicja 5.23. Funkcją identycznościową na zbiorze X nazywany funkcję IX spełnia-jącą warunek

IX(x) = x

dla każdego x ∈ X.

Twierdzenie 5.24. Dla każdej funkcji różnowartościowej ze zbioru X „na” zbiór Y

f−1 f = IX i f f−1 = IY ,

gdzie IX jest funkcją identycznościową na zbiorze X, a IY — na zbiorze Y .

Twierdzenie 5.25. Złożenie funkcji „na” jest „na”. Złożenie funkcji różnowartościo-wych jest różnowartościowe. Dokładniej: niech f :X → Y i g:Y → Z. Wówczas:

• jeżeli f i g są „na”, to i g f jest „na”,

• jeżeli f i g są różnowartościowe, to i g f jest różnowartościowa.

5.10 Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję

Definicja 5.26. Niech dana będzie funkcja f :X → Y oraz A ⊆ X. Obrazem zbioruA w odwzorowaniu f nazywamy zbiór wartości funkcji f dla argumentów ze zbioru A ioznaczamy f(A). Symbolicznie

f(A) = y ∈ Y : ∃x ∈ A. y = f(x).

Niech teraz B ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru B w odwzorowaniu f nazywamy zbiór tychargumentów x ∈ X funkcji f , dla których wartość tej funkcji stanowi element zbioru B.Symbolicznie

f−1(B) = x ∈ X: f(x) ∈ B.

P r z y k ł a d 5.16. Niech f(x) = log2(x), x ∈ R i A = [1,∞) ⊆ R. Wówczas f(A) =[0,∞), f−1([4, 16]) = [2, 4].

P r z y k ł a d 5.17. Funkcja Dirichleta f jest zdefiniowana następująco:

f(x) =

1 dla x ∈ Q0 dla x ∈ R \ Q

Łatwo zauważyć, że f(Q) = 1, f(R \ Q) = 0, f−1(1) = Q, f−1(2) = ∅.

5.10 Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję 47

Twierdzenie 5.27. Niech f :X → Y i niech (At)t∈T będzie indeksowaną rodziną pod-zbiorów X. Wówczas

f(⋃

t∈T

At) =⋃

t∈T

f(At) (8)

f(⋂

t∈T

At) ⊆⋂

t∈T

f(At) (9)

Jeżeli f jest funkcją różnowartościową, to symbol ⊆ we wzorze (9) można zastąpić znakiemrówności.

P r z y k ł a d 5.18. Udowodnimy równość (8). Niech y ∈ f(⋃

t∈T At). Z definicji obrazufunkcji

∃x. x ∈⋃

t∈T

At ∧ f(x) = y,

z definicji sumy ugólnionej zbiorów

∃x∃t ∈ T. x ∈ At ∧ f(x) = y,

po przestawieniu kwantyfikatorów

∃t ∈ T. (∃x. x ∈ At ∧ f(x) = y),

z definicji obrazu funkcji

∃t ∈ T. y ∈ f(At),

i ponownie z definicji sumy ugólnionej zbiorów, otrzymujemy

y ∈⋃

t∈T

f(At)

Wykazaliśmy, że

f(⋃

t∈T

At) ⊆⋃

t∈T

f(At) (10)

Analogiczne rozumowanie dowodzi, że

⋃

t∈T

f(At) ⊆ f(⋃

t∈T

At) (11)

Równości (10) i (11) dają razem (8).

Twierdzenie 5.28. Niech f :X → Y i niech (At)t∈T będzie indeksowaną rodziną po-dziorów X. Wówczas

f−1(⋃

t∈T

At) =⋃

t∈T

f−1(At)

f−1(⋂

t∈T

At) =⋂

t∈T

f−1(At)

Niech A, B ⊆ Y .f−1(A \B) = f−1(A) \ f−1(B)

Jeżeli A ⊆ B, tof−1(A) ⊆ f−1(B)

48 Relacje

5.11 Relacje równoważności

Definicja 5.29. Relację binarną R na zbiorze X (R ⊆ X × X) nazywamy relacją rów-noważności , jeżeli jest:

– zwrotna∀x ∈ X. xRx,

– symetryczna∀x, y ∈ X. xRy ⇒ yRx,

– przechodnia∀x, y, z ∈ X. xRy ∧ yRz ⇒ xRz.

Relację równoważności oznacza się zazwyczaj symbolem ∼.

P r z y k ł a d 5.19. Niech relacja ∼ określona na zbiorze liczb naturalnych N będzieokreślona następująco:

∀x, y ∈ N. x ∼ y ⇔ 2|(x+ y)

Relacja ∼ jest relacją równoważności. Relacja ta

– jest zwrotna, gdyż dla dowolnego x naturalnego 2(x+ x) = 2x, a więc x ∼ x,

– jest symetryczna, gdyż dla dowolnych naturalnych x, y, jeżeli x ∼ y, to 2|(x+ y), skąd2|(y + x), a więc y ∼ x

– jest przechodnia, gdyż dla dowolnych naturalnych x, y, z, jeżeli x ∼ y i y ∼ z, to2|(x+ y) i 2|(y + z), skąd 2|(x+ y + y + z) ⇒ 2|(x+ z + 2y). Liczba x+ z musi byćparzysta, w przeciwnym razie (x+y)+2z jest nieparzyste, jako suma liczby nieparzysteji parzystej. Skoro zaś 2|(x+ z), to x ∼ z.

P r z y k ł a d 5.20. Niech O będzie zbiorem okręgów na płaszczyźnie R2. Okręgi o1, o2 będaw relacji ∼, jeżeli ich promienie sa równe. Relacja ∼ jest relacją równoważności, gdyż każdyokrąg ma taki sam promień jak on sam, jeżeli okrąg o1 ma taki sam promień jak o2, to i o2

ma taki sam promień jak o1, w końcu jeżeli okręgi o1 i o2 oraz o2 i o3 mają taki sam promień,to i okręgi o1 i o3 mają ten sam promień. Zależności te oznaczają, ze ∼ jest odpowiednio:zwrotna, symetryczna i przechodnia.

W dowodzie tym korzystamy z założenia, że promień okręgu jest liczbą rzeczywistą orazz faktu, że relacja równości = na zbiorze R jest zwrotna, symetryczna i przechodnia (a więcjest relacją równoważności).

Definicja 5.30. Niech ∼ będzie dowolną relacją równoważności na zbiorze X 6= ∅. Dlakażdego x ∈ X, zbiór wszystkich elementów y ∈ X pozostających z x w relacji ∼ nazywa-my klasą abstrakcji lub klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x]∼. Symbolicznie

[x]∼ = y ∈ X: x ∼ y.

P r z y k ł a d 5.21. Rozpatrzmy relację ∼ z przykładu (5.19). Niech 0 ∈ N. Zauważmy, że0 ∼ 0 (gdyż 2|(0 + 0), poza tym relacja ∼ jest zwrotna) i nie zachodzi 1 ∼ 0 (gdyż 2 - 1).Podobnie 0 ∼ 2, ¬(0 ∼ 3), 0 ∼ 4, ¬(0 ∼ 5), itd. Klasą abstrakcji [0]∼ jest więc zbiór liczbparzystych. Podobnie klasą abstracji [1]∼ jest zbiór liczb nieparzystych.

P r z y k ł a d 5.22. Klasami abstrakcji relacji ∼ z przykładu (5.20) są zbiory okręgów otym samym promieniu.

5.11 Relacje równoważności 49

Definicja 5.31. Mówimy, że rodzina (As)s∈S pokrywa zbiór X, jeżeli⋃

s∈S

As = X.

P r z y k ł a d 5.23. Rodzina zbiorów 0, 1, 1, 0, 2 pokrywa zbiór 0, 1, 2 i niepokrywa zbioru 0, 1, 2, 3.

Definicja 5.32. Podziałem zbioru X nazywamy dowolną rodzinę parami rozłącznychniepustych zbiorów pokrywających X.

P r z y k ł a d 5.24. Podziałem zbioru X = 1, 2, 3 są następujące rodziny zbiorów:1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 itd.

Przypomnijmy relację ∼ z przykladu (19), gdzie x ∼ y ⇔ 2|(x + y) dla x, y ∈ N.Pokazaliśmy, że klasą abstrakcji [0]∼ jest zbiór liczb parzystych, a klasą abstrakcji [1]∼— zbiór liczb nieparzystych. Zauważmy, że 0 ∈ [0]∼ oraz 1 ∈ [1]∼.

Nietrudno wykazać, że [0]∼ = [2]∼ = [4]∼ = . . . Podobnie [1]∼ = [3]∼ = [5]∼ = . . .W istocie relacja ∼ podzieliła więc zbiór N na dwa rozłączne podzbiory: pierwszy

składający się z liczb parzystych, a drugi — z nieparzystych. Każda liczba naturalnanależy do ktoregoś z tych zbiorów, żadna jednak nie należy od obu. Poniższe twierdzeniepokazuje, że to nie przypadek.

Twierdzenie 5.33 (Zasada abstrakcji). Klasy abstrakcji dowolnej relacji równoważ-ności ∼ w zbiorze X 6= ∅ ustalają podział tego zbioru (na rozłączne, niepuste podzbiorypokrywające X).

Dla każdego podziału zbioru istnieje dokładnie jedna relacja równoważności, którejklasy abstrakcji ustalają ten podział.

Dla dowodu zauważmy, że każdy element x ∈ X należy do jakiejś klasy abstrakcji,mianowicie do swojej własnej:

∀x ∈ X. x ∈ [x]∼ (12)

Wynika to z faktu, że relacja ∼ jako relacja równoważności jest zwrotna, tak więc dlakażdego x ∈ X zachodzi x ∼ x, skąd x ∈ [x]∼.

Ponadto klasy abstrakcji dwóch elementów są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są onew relacji ∼

∀x1, x2 ∈ X. [x1]∼ = [x2]∼ ⇔ x1 ∼ x2. (13)

Istotnie, z (12) i założenia [x1]∼ = [x2]∼ wynika, że x1 ∈ [x2]∼, skąd z definicji klasyabstrakcji otrzymujemy x1 ∼ x2.

Niech teraz, że x1 ∼ x2. Załóżmy nie wprost, że [x1]∼ 6= [x2]∼. Musi wówczas istniećtakie x, które nie należy do jednego ze zbiorów [x1]∼, [x2]∼, ale należy do drugiego.Załóżmy, że x /∈ [x1]∼ i x ∈ [x2]∼. Wówczas x ∼ x2. Ponieważ założyliśmy, że x1 ∼ x2,a relacja ∼ jest symetryczna i przechodnia, to x ∼ x1, skąd x ∈ [x1]∼. Alternatywnezałożenie x ∈ [x1]∼ i x /∈ [x2]∼ w podobny sposób prowadzi do sprzeczności.

Pokażemy teraz, że jeżeli dwie klasy równoważności są różne, to są rozłączne, tj. że

∀x1, x2 ∈ X. [x1]∼ 6= [x2]∼ ⇒ [x1]∼ ∩ [x2]∼ = ∅ (14)

W tym celu załóżmy, że klasy [x1]∼ i [x2]∼ nie są rozłączne. Wówczas istnieje x, takie,że x ∈ [x1]∼ i x ∈ [x2]∼, skąd x ∼ x1 i x ∼ x2. Relacja ∼ jako relacja równoważności jestsymetryczna i przechodnia, tak więc x1 ∼ x i w konsekwencji x1 ∼ x2. Ale wobec (13)daje to [x1]∼ = [x2]∼. Otrzymana sprzeczność dowodzi (14) i kończy dowód twierdzenia5.33.

50 Relacje

Warunek (12) zapewnia nas, że klasy abstrakcji dowolnej relacji równoważności do-wolnym niepustym zbiorze X stanowią pokrycie tego zbioru, warunek (13) zapewnią, żeelementy równoważne wpadają do tej samej klasy abstrakcji, natomiast warunek (14)daje gwarancję, że różne klasy abstrakcji są rozłączne.

P r z y k ł a d 5.25. Niech R ⊆ A2 będzie pewną relacją binarną na zbiorze A. Niech Tbędzie zbiorem wszystkich relacji przechodnich S na A takich, że R ⊆ S. Oznaczmy przez Rrelację

⋂

S∈T S.Pokażemy, że R ⊆ R, co zachodzi, gdy

∀x. x ∈ R ⇒ x ∈ R.

Z definicji zbioru T mamy∀S ∈ T . R ⊆ S,

skąd∀S ∈ T . (∀x. x ∈ R ⇒ x ∈ S),

przesuwając kwantyfikator ogólny

∀x. x ∈ R ⇒ (∀S ∈ T . x ∈ S),

z definicji iloczynu uogólnionego zbiorów

∀x. x ∈ R ⇒ x ∈⋂

S∈T

S,

skądR ⊆

⋂

S∈T

S = R,

co należało pokazać.Pokażemy teraz, że jeśli X jest relacją przechodnią taką, że R ⊆ X, to R ⊆ X. Niech

R ⊆ X (skąd, wobec faktu, że X jest przechodnia, X ∈ T ) i niech x ∈ R. Wówczas

x ∈⋂

S∈T

S,

skąd, z defincji iloczynu uogólnionego zbiorów,

∀S ∈ T . x ∈ S.

Skoro x należy do każdego ze zbiorów z rodziny T , to należy również do X. Zatem

∀x. x ∈ R ⇒ x ∈ X,

skądR ⊆ X.

Na koniec zauważmy, że relacja R jest przechodnia. Dla dowodu weźmy dowolne a, b, c ∈A, takie że

〈a, b〉 ∈ R ∧ 〈b, c〉 ∈ R.

Z defnicji zbioru R〈a, b〉 ∈

⋂

S∈T

S ∧ 〈b, c〉 ∈⋂

S∈T

S,

z defincji iloczynu uogólnionego zbiorów

(∀S ∈ T . 〈a, b〉 ∈ S) ∧ (∀S ∈ T . 〈b, c〉 ∈ S),

5.11 Relacje równoważności 51

skąd∀S ∈ T . 〈a, b〉 ∈ S ∧ 〈b, c〉 ∈ S.

Ponieważ T jest zbiorem relacji przechodnich i S ∈ T , więc

∀S ∈ T . 〈a, c〉 ∈ S,

z defincji iloczynu uogólnionego zbiorów

〈a, c〉 ∈⋂

S∈T

S = R,

co należało pokazać.Relacja R jest w konsekwencji najmniejszą relacją przechodnią zawierającą R. Relację R

o tej własności nazywamy tranzytywnym domknięciem R.

P r z y k ł a d 5.26.Niech Q ⊆ A2 będzie dowolną relacją, Q1 = Q i niech Qn+1 = QnQ dla n ­ 1. Kładziemy

Q∞ =⋃∞

n=1Qn. Wykazać, że Q∞ jest relacją przechodnią.

Pokażemy najpierw, że dla dowolnych naturalnych m,n > 0 zachodzi QnQm = Qn+m.

Dla m = 1 mamy QnQm = QnQdef.= Qn+1 = Qn+m. Załóżmy teraz, że QnQm−1 =

Qn+m−1. Pokażemy, że wynika z tego QnQm = Qn+m. Istotnie, QnQm def.= QnQm−1Q. Skła-

danie relacji jest działaniem łącznym, zatem QnQm−1Q = (QnQm−1)Q ind.= Qn+m−1Qdef.=

Qn+m−1+1 = Qn+m.Weźmy teraz dowolne a, b, c ∈ A takie, że

〈a, b〉 ∈ Q∞ i 〈b, c〉 ∈ Q∞.

Z definicji Q∞ dostajemy

〈a, b〉 ∈∞⋃

n=1

Qn i 〈b, c〉 ∈∞⋃

n=1

Qn,

następnie z definicji sumy uogólnionej zbiorów

∃i. 〈a, b〉 ∈ Qi i ∃j. 〈b, c〉 ∈ Qj.

Z dowiedzionego wyżej faktu i definicji złożenia relacji wynika, że 〈a, c〉 ∈ QiQj = Qi+j ∈⋃∞

n=1Qn = Q∞. Relacja Q∞ jest więc przechodnia.

Rozwiązanie to można „zobaczyć” startując od formuły

∃i. 〈a, b〉 ∈ Qi i ∃j. 〈b, c〉 ∈ Qj

i zauważając że skoro 〈b, c〉 ∈ Qj = Qj−1Q, to istnieje x1 takie, że

〈b, x1〉 ∈ Qj−1 i 〈x1, c〉 ∈ Q.

Następnie z 〈b, x1〉 ∈ Qj−1 = Qj−2Q wynika, że istnieje x2 takie, że

〈b, x2〉 ∈ Qj−2 i 〈x2, x1〉 ∈ Q,

i tak dalej, aż w końcu

〈b, xj−1〉 ∈ Q1 = Q i 〈xj−1, xj−2〉 ∈ Q.

52 Relacje

Para 〈a, b〉 ∈ Qi i 〈b, xj−1〉 ∈ Q, zatem 〈a, xj−1〉 ∈ Qi+1. Korzystając z faktu 〈xj−1, xj−2〉 ∈Q stwierdzamy 〈a, xj−2〉 ∈ Qi+2. Następnie, korzystając z prawych składników dowiedzio-nych wyżej koniunkcji z formuł, wnioskujemy, że 〈a, xj−3〉 ∈ Qi+3, . . ., 〈a, x1〉 ∈ Qi+j−1 iostatecznie, wobec faktu 〈x1, c〉 ∈ Q, stwierdzamy 〈a, c〉 ∈ Qi+j.

P r z y k ł a d 5.27. Pokazać, że Q∞ jest przechodnim domknięciem relacji Q, tj. przekrojemwszystkich relacji przechodnich zawierających Q.

Łatwo zauważyć, że Q ⊆ Q∞ =⋃∞

n=1 Qn = Q ∪ ⋃∞

n=2Qn. Z przykładu 5.26 i faktu,

że Q∞ jest relacją przechodnią, wynika, że⋂

S∈T S ⊆ Q∞, gdzie T jest zbiorem wszystkichrelacji przechodnich S zawierających Q.

Musimy zatem pokazać, że Q∞ ⊆ ⋃

S∈T S. Zauważmy, że wystarczy pokazać Qn ⊆⋃

S∈T S dla każdego n ­ 1. Dla n = 1 mamy Qn = Q1 = Q. Z przykładu 5.26 wiadomo, żeQ ⊆ ⋂

S∈T S.Załóżmy teraz, że Qn ⊆ ⋂

S∈T S oraz niech 〈a, c〉 będzie dowolną parą z Qn+1 = QnQ.Wówczas istnieje b takie, że 〈a, b〉 ∈ Qn i 〈b, c〉 ∈ Q. Z założenia indukcyjnego wynika, że〈a, b〉 ∈ ⋂

S∈T S i 〈b, c〉 ∈ ⋂

S∈T S. Ponieważ relacja⋂

S∈T S jest przechodnia, to 〈a, c〉 ∈⋂

S∈T S, skąd Qn+1 ⊆ ⋂

S∈T S, co należało pokazać.

Rozdział 6

Teoria mocy

„Tylachny wór przebrać! Piasek osobno... mak osobno (...)”Tysiące i tysiące... mnogość nieprzeliczona!

— J. Porazińska, Szewczyk Dratewka

6.1 O nieskończoności

Szczególną rolę w teorii mnogości odgrywa teoria zbiorów nieskończonych. Związane jestto z rozmiatymi problemami, jakie stwarza samo pojęcie nieskończoności i paradoksy znim związane. Pierwsze z nich rozważano już w starożytnej Grecji. Wiązały się one zpodziałem na nieskończenie wiele części i sumowanie nieskończenie wielu elementów.

Rozważmy dla przykładu tzw. paradoks lecącej strzały . Otóż lecąca strzała albo znaj-duje się w tym miejscu, w którym właśnie jest, albo w innym. Jeżeli przyjmiemy pierwsząmożliwość, musimy stwierdzić, że lecąca strzała spoczywa (skoro bowiem jest w jednymmiejscu, to z całą pewnością nie porusza się). Druga możliwość jest absurdalna. Tak wła-śnie rozumuje Zenon z Elei dowodząc nieistnienia ruchu. Zauważmy, że sensowność tegoparadoksu opiera się na koncepcji przestrzeni podzielnej w nieskończoność (a więc sumynieskończonej liczby punktów).

Zauważono także, że zbiory nieskończone mają pewną paradoksalną własność: otóżpodzbiór właściwy (a więc różny od danego) zbioru nieskończonego może mieć tyle sa-mo elementów co sam zbiór. Diadochus (410-485 r.) pisał: „Średnica dzieli koło na dwierówne części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstaja dwa półkola i jeżeli prze-prowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże się, że półkoli będzie dwarazy więcej niż nieskończenie wiele”.

Podobnie można pokazać, że liczb parzystych jest tyle samo co parzystych i niepa-rzystych razem wziętych. Powyższe przykłady świadczą o tym, że musimy ściśle określić,co właściwie rozumiemy przez powiedzenie, że dwa zbiory mają tyle samo elementów. Wprzypadku zbiorów skończonych można zwyczajnie zliczyć ich elementy (pomijając fakt,że może trwać to bardzo długo). W przypadku zbiorów nieskończonych jest to oczywiścieniemożliwe nawet w zasadzie. Dlatego wprowadza się pojęcie tzw. równoliczności.

6.2 Równoliczność zbiorów. Liczby kardynalne

Definicja 6.1. Mówimy, że zbiory X i Y są równoliczne, jeżeli istnieje funkcja różno-wartościowa z X „na” Y. Piszemy wówczas X ∼ Y .

Pamiętamy, że funkcję różnowartościową i „na” nazywamy odwzorowaniem wzajemniejednoznacznym. Dwa zbiory są zatem równoliczne, jeśli istnieje odwzorowanie wzajemniejednoznaczne między elementami tego zbioru.

54 Teoria mocy

P r z y k ł a d 6.1. Funkcja f(n) = 2n, n ∈ N ustala równoliczność zbioru liczb parzystychi zbioru liczb naturalnych.

Twierdzenie 6.2. Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z, zachodzi;

X ∼ X,

X ∼ Y ⇒ Y ∼ X,

(X ∼ Y ) ∧ (Y ∼ Z) ⇒ X ∼ Z.

Dowód: Równoliczność zbioru X ze samym sobą ustala funkcja identycznościowa IX .Załóżmy teraz X ∼ Y . Wówczas z definicji istnieje funkcja f :X → Y różnowarto-

ściowa i „na”. Z twierdzeń 5.21 i 5.22 wynika istnienie funkcji f−1 różnowartościowej zezbioru Y „na” X. Ustala ona równoliczność zbiorów Y i X.

Niech w końcu X ∼ Y i Y ∼ Z. Z definicji symbolu ∼ istnieją funkcje f : X → Y ig: Y → Z różnowartościowe i „na”. Z twierdzenia 5.25 wynika, że funkcja g f : X → Zjest różnowartościowa i „na”, ustala zatem równoliczność zbiorów X i Z.

Wskazane wyżej własności odpowiadają zwrotności, symetryczności i przechodniości.Jakkolwiek równoliczność nie jest relacją równoważności w sensie przyjętej przez nasdefinicji (nie jest bowiem określona w żadnym zbiorze), pozwala dokonać klasyfikacjizbiorów ze względu na ich liczność.

W tym celu rozszerzymy nasz układ aksjomatów teorii mnogości i przypiszemy każde-mu zbiorowi pewien obiekt, zwany liczbą kardynalną lub mocą zbioru, spełniający poniższązależność:

Definicja 6.3. Dwa zbiory X, Y są równej mocy, jeżeli X jest równoliczny z Y .

Moc zbioru X oznaczamy |X|. Symbolicznie:

|X| = |Y | ⇔ X ∼ Y

P r z y k ł a d 6.2. Wykazać, że R ∼ R \ N. W tym celu wystarczy skonstruować bijekcjęz R na R \ N. Niech

f(x) =

1/(2x + 1) x ∈ N1/2x dla x postaci 1/n, n ∈ Nx w p.p.

Funkcja ta jest różnowartościowa. Dla argumentów naturalnych x wartoścą funkcji jest licz-ba postaci 1/(2x + 1), a więc ułamek o liczniku 1 i mianowniku nieparzystym. Dla ułamkówo liczniku równym 1 — ułamek o takim samym liczniku i mianowniku parzystym. Dla pozo-stałych wartości x wartość funkcji nie jest ułamkiem o liczniku równym 1. Ponadto wyrażenieokreślające wartość funkcji w każdym przypadku jest złożeniem funkcji różnowartościowych.

Funkcja ta jest również typu „na”. Niech y ∈ R \ N. Dla y postaci 1/2n, n ∈ N mamyf−1(y) = 1/n, dla y postaci 1/(2n + 1), n ∈ N mamy f−1(y) = n, dla pozostałych y jestf−1(y) = y. Tak więc funkcja f ustala równoliczność zbiorów R i R \ N.

Sposób konstrukcji funkcji f można obrazowo opisać mówiąc, że robimy miejsce dla argu-mentów naturalnych rozsuwając ułamki o liczniku 1 i odwzorowując liczby naturalne pomiędzynie.

P r z y k ł a d 6.3. Wykażemy w elementarny sposób, że

0, 1N ∼ NN.

6.3 Funkcja charakterystyczna 55

Zapis 0, 1N oznacza zbiór funkcji przekształcających zbiór liczb naturalnych w zbiór dwu-elementowy 0, 1, a więc w istocie zbiór wszystkich ciągów zerojedynkowych. Podobnie zapisNN oznacza zbiór wszystkich ciągów o wartościach naturalnych.

Zdefiniujemy teraz funkcję f : NN → 0, 1N, różnowartościową i „na”. Niech 〈a1, a2, . . .〉będzie dowolnym ciągiem o wyrazach naturalnych. Obrazem takiego ciągu w przekształceniuf będzie ciąg:

〈δ(a1) ⊕ δ(a2) ⊕ . . . ⊕ δ(an) ⊕ . . .〉gdzie:

– symbol ⊕ oznacza konkatenację (czyli sklejenie) ciągów (np. 〈0, 1, 0, 1〉 ⊕ 〈1, 1〉 =〈0, 1, 0, 1, 1, 1〉),

– δ(n), n ∈ N oznacza ciąg zerojedynkowy utworzony z zapisu liczby n w systemie binar-nym w ten sposób, że przed każdym elementem tego ciągu poza ostatnim umieszczamy0, przed nim zaś umieszczamy 1 (np. δ(5) = δ(1012) = 〈0, 1, 0, 0, 1, 1〉); łatwo zauwa-żyć, że przekształcenie δ jest różnowartościowe.

Wykażemy teraz, że przekształcenie f jest różnowartościowe. Niech 〈a1, a2, . . .〉 i 〈b1, b2, . . .〉będą dwoma ciągami o wartościach naturalnych. Jeżeli ciągi te są różne, to istnieje indeksi taki, że ai 6= bi. Jeżeli f(〈a1, . . . , ai−1〉) 6= f(〈b1, . . . , bi−1〉), to ciągi f(〈a1, . . . , ai, . . .〉) if(〈b1, . . . , bi, . . .〉) są różne. Załóżmy wiec, że f(〈a1, . . . , ai−1〉) = f(〈b1, . . . , bi−1〉).

Z definicji f wynika, że:

f(〈a1, . . . , ai−1, ai〉) = f(〈a1, . . . , ai−1〉) ⊕ δ(ai).

Natomiast

f(〈b1, . . . , bi−1, bi〉) = f(〈b1, . . . , bi−1〉) ⊕ δ(bi) = f(〈a1, . . . , ai−1〉) ⊕ δ(bi).

Ponieważ przekształcenie δ jest równowartościowe i ai 6= bi, to δ(ai) 6= δ(bi), skąd

f(〈a1, . . . , ai−1, ai〉) 6= f(〈b1, . . . , bi−1, bi〉),

a więc ciągi f(〈a1, . . . , ai, . . .〉) i f(〈b1, . . . , bi, . . .〉) są różne.Podobnie łatwo wykazać, że funkcja f jest „na”. Z każdego ciągu zerojedynkowego może-

my utworzyć ciąg o wyrazach naturalnych taki, że jego obrazem w przekształceniu f będzie ówciąg zerojedynkowy. Kolejne wyrazy ciągu o wyrazach naturalnych znajdują się na parzystychpozycjach pomiędzy miejscami sklejania (konkatenacji), które wyznaczają jedynki stojące nanieparzystych pozycjach. Szczegółowe uzasadnienie pozostawiamy Czytelnikowi.

6.3 Funkcja charakterystyczna

Definicja 6.4. Funkcją charakterystyczną zbioruX nazywamy następującą funkcję f : X →0, 1:

f(x) =

1 , x ∈ X0 , x /∈ X

Jak pamiętamy, zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru X (zbiór potęgowy zbioruX) oznaczamy symbolem P(X).

Twierdzenie 6.5. Dla każdego zbioru X zachodzi

0, 1X ∼ P(X).

56 Teoria mocy

Innymi słowy: podzbiorów danego zbioru jest tyle samo, ile funkcji charakterystycznychtego zbioru. Każdemu podzbiorowi A ⊆ X odpowiada dokładnie jedna funkcja charakte-rystyczna fA, taka że

fA(x) =

1 , x ∈ A0 , x /∈ A

,

przy czym dwóm różnych podzbiorom odpowiadają dwie różne funkcje charakterystyczne.Przekształcenie podzbioru na funkcję charakterystyczną jest więc różnowartościowe.

Ponadto dla każdej funkcji charakterystycznej istnieje podzbiór A ⊆ X, złożony z tychelementów x ∈ X, dla których wartość tej funkcji jest równa 1. Przekształcenie podzbioruna funkcję charakterystyczną jest więc „na”. Dowodzi to tezy.

6.4 Twierdzenie Cantora–Bernsteina

Definicja 6.6. Mówimy, że zbiór X jest mocy niewiększej niż Y i piszemy |X| ¬ |Y |,jeżeli istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru X w zbiór Y .

P r z y k ł a d 6.4. Zbiór 1, 2 jest mocy niewiększej niż zbiór 1, 2, 3, 4, 5, gdyż funkcjaf : 1, 2 → 1, 2, 3, 4, 5 taka, że f(1) = 1, f(2) = 4, jest różnowartościowa.

Chociaż pojęcie „niewiększości mocy” nie jest relacją (relacja musi być bowiem okre-ślona na zbiorze, a zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje), to jednak zachowuje się tak,jak gdyby była relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią:

Twierdzenie 6.7 (Cantor-Bernstein). Dla każdych trzech zbiorów X, Y , Z zachodzi:

1. |X| ¬ |X|

2. (|X| ¬ |Y | ∧ |Y | ¬ |X|) ⇒ |X| = |Y |

3. (|X| ¬ |Y | ∧ |Y | ¬ |Z|) ⇒ |X| ¬ |Z|.

Dla dowodu 1. zauważmy, że funkcja identycznościowa IX : X → X jest różnowarto-ściowa.

Z definicji pojęcia niewiększości wynika istnienie równowartościowych funkcji f : X →Y i g: Y → Z. Funkcja g f : X → Z jest — jako złożenie funkcji różnowartościowych— różnowartościowa. Jej istnienie dowodzi 3.

Dowód 2 pomijamy ze względu na elementarny charakter tej pracy. Można go znaleźćw [5]. Tutaj zauważmy tylko, że dówód tw. Cantora-Bernsteina jest przykładem na to,jakiego wysiłku wymaga czasem udowodnienie tak oczywistego, zdawałoby się, twierdze-nia.

6.5 Zbiory skończone

Symbol n = 0, 1, . . . , n− 1 oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych niż n.

Definicja 6.8. Zbiór X jest zbiorem skończonym, jeśli istnieje taka liczba naturalna n,że A ∼ n. Mówimy wówczas, że zbiór X ma n elementów.

P r z y k ł a d 6.5. Zbiór X = 1, 3, 5, 7, 9 ∼ 5. Funkcją ustalającą równoliczność X z 5jest f(n) = (n− 1)/2.

Twierdzenie 6.9.

6.6 Zbiory przeliczalne 57

1. Dla każdego n ∈ N nie istnieje funkcja różnowartościowa z n+ 1 w n.

2. Jeżeli istnieje funkcja różnowartościowa z m w n, to m ¬ n.

3. Jeżeli m ∼ n, to m = n.

4. Dla każdego m ∈ N, m N.

6.6 Zbiory przeliczalne

Definicja 6.10. Zbiorem przeliczalnym nazywamy zbiór skończony lub zbiór równolicznyz N.

Moc zbioru N (a więc i każdego zbioru przeliczalnego nieskończonego) oznaczamyliterą alfabetu hebrajskiego ℵ z indeksem zero – ℵ0 (alef zero).

Twierdzenie 6.11. Zbiór X jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcjaf przekształcająca zbiór N „na” zbiór X.

Dowód:

(⇒) Załóżmy, że zbiór X jest przeliczalny.

1. Jeżeli X jest skończony i X = x0, x1, . . . , xn, to funkcja g o argumentachnaturalnych określona następująco:

f(i) =

xi, i < nxn, i ­ n

przekształca N „na” X.

2. Jeżeli X jest nieskończony, to skoro jest przeliczalny, a nie jest skończony,zachodzi X ∼ N, a zatem z definicji równoliczności istnieje funkcja ze zbioruN „na” X.

(⇐) 1. Jeżeli X jest skończony, to z definicji jest przeliczalny.

2. Niech zatem X będzie nieskończony. Załóżmy, że istnieje funkcja f ze zbioruN „na” zbiór X. Zdefiniujemy różnowartościową funkcję g ze zbioru N „na”X. Niech

g(0) = f(0)

oraz dla n > 0

g(n) = f(m), gdzie m = minj: f(j) /∈ g(0), g(1), . . . , g(n − 1).

Nf

X Ng

X

0 x 0 x1 y 1 y2 23 p 3 p4...

z 4...

z

58 Teoria mocy

Funkcja g jest równowartościowa i „na” zbiór X, ustala zatem równolicznośćX i N, co należało pokazać.

Twierdzenie 6.12. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

Dowód: Niech X będzie danym zbiorem przeliczalnym i niech A ⊆ X. Jeżeli A jest zbioremskończonym, to jest z definicji zbiorem przeliczanym. Niech zatem A będzie zbioremnieskończonym. Pokażemy, że N ∼ A określając funkcję g ustalającą równoliczność N zA.

Zbiór X jest przeliczalny, zatem istnieje funkcja różnowartościowa f z N „na” X.Niech

k0 = minn ∈ N: f(n) ∈ A

oraz dla n > 0

kn = minn ∈ N: f(n) ∈ A ∧ n /∈ k0, k1, . . . , kn−1

X A

f(0)

f(1) g(0) k0=1

f(2)

f(3) g(1) k1=3

f(4)...

g(2) k2=4

elementyzbioru X

Szukaną funkcję g otrzymamy kładąc:

g(n) = f(kn)

Różnowartościowość i bycie „na” g wynika z różnowartościowości i bycia „na” funkcji foraz faktu, że zarówno zbiór X, jak i A ⊆ X, są nieskończone.

Twierdzenie 6.13. Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

6.6 Zbiory przeliczalne 59

Dowód: niech zbiory X, Y będą przeliczalne, a funkcje f : N → X i g: N → Y usta-lają równoliczność odpowiednio X i Y ze zbiorem N. Niech funkcja h będzie określonanastępująco:

h(k) =

f(k2 ), k parzyste,

g(k−12 ), k nieparzyste.

Funkcja ta przekształca zbiór liczb naturalnych N „na” zbiór X ∪ Y . Zgodnie z tw. 6.11oznacza to, że zbiory te sa równoliczne, skąd X ∪ Y jest zbiorem przeliczalnym.

Z twierdzenia powyższego wynika, że także suma 3 zbiorów przeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym. Istotnie, ponieważ X ∪ Y ∪ Z = (X ∪ Y ) ∪ Z, to X ∪ Y jest zbioremprzeliczalnym jako suma dwóch zbiorów przeliczalnych, a (X ∪ Y ) ∪ Z jest przeliczalnejako suma dwóch przeliczalnych zbiorów X ∪ Y i Z. Z rozumowania tego wynika przezindukcję następujące twierdzenie:

Twierdzenie 6.14. Suma skończonej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeli-czalnym.

P r z y k ł a d 6.6. Wykażemy, że zbiór liczb całkowitych Z jest przeliczalny. Zauważmy,że zbiór 0,−1,−2, . . . jest przeliczalny (gdyż jest równoliczny z N; równoliczność ustalafunkcja f(n) = −n, n ∈ N). Zbiór liczb całkowitych jest zatem przeliczalny, jako suma tegozbioru i zbioru liczb naturalnych.

Twierdzenie 6.15. Produkt kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbioremprzeliczalnym.

Dowod: Jeżeli jeden ze zbiorów X lub Y jest pusty, to produkt X × Y jest zbiorempustym, a więc przeliczalnym. Przypuśćmy zatem, że oba są niepuste. Z tw. 6.11 wynika,że istnieją funkcje f : N → X i g: N → Y ze zbioru N „na” zbiory X i Y (bez względu nato, czy któryś ze zbiorów X i Y jest skończony). Rozważmy zbiór par uporządkowanychpostaci

〈f(m), g(n)〉gdzie m,n ∈ N, zawierający wszystkie elementy iloczynu X i Y . Zbiór ten da się zapisaćw postaci następującej nieskończonej tablicy:

〈f(0), g(0)〉 〈f(0), g(1)〉 〈f(0), g(2)〉 · · · 〈f(0), g(n)〉 · · ·〈f(1), g(0)〉 〈f(1), g(1)〉 〈f(1), g(2)〉 · · · 〈f(1), g(n)〉 · · ·〈f(2), g(0)〉 〈f(2), g(1)〉 〈f(2), g(2)〉 · · · 〈f(2), g(n)〉 · · ·

......

......

〈f(m), g(0)〉 〈f(m), g(1)〉 〈f(m), g(2)〉 · · · 〈f(m), g(n)〉 · · ·...

......

......

Ustawimy teraz rozważany zbiór par w ciąg nieskończony, wykorzystując tzw. metodęprzekątniową. W tym celu powyższą tablicę dzielimy na przekątne, następnie zaś kolejnymliczbom naturalnym przyporządkowujemy elementy następujących po sobie przekątnych,w obrębie przekątnej biorąc elementy w kolejności wzrastania numeru wiersza.

2 1 3 4 n ... (0) (1) (3) .. (n) ...

(2) (4) (7) ... ...

(5) (8) (12) ... ...

. . . . . .

. . . . . .

numer prz.

60 Teoria mocy

Otrzymamy następujący ciąg:

1. przekątna

〈f(0), g(0)〉

2. przekątna

〈f(0), g(1)〉〈f(1), g(0)〉

3. przekątna

〈f(0), g(2)〉〈f(1), g(1)〉〈f(2), g(0)〉

...

Niech h: N → X×Y i h(0) = 〈f(0), g(0)〉, h(1) = 〈f(0), g(1)〉, h(2) = 〈f(1), g(0)〉, . . ..Funkcja h przekształca zbiór liczb naturalnych N „na” produkt X×Y . Na mocy tw. 6.11stwierdzamy, że zbior X × Y jest przeliczalny.

Twierdzenie 6.16. Produkt n zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym

Twierdzenie 6.17. Suma uogólniona⋃

s∈S As, gdzie zarówno zbiór S, jak i każdy zezbiorów As są przeliczalne, jest zbiorem przeliczalnym

Definicja 6.18. Ciągiem elementów zbioru X nazywamy funkcję f : N → X. Częstozamiast f(0), f(1), . . . będziemy pisać f0, f1 . . .

Intuicyjnie — aby utworzyć ciąg elementów zbioru należy nadać każdemu z nich (inny)numer.

P r z y k ł a d 6.7. Wykazać, że zbiór wszystkich przedziałów położonych w zbiorze liczbrzeczywistych o obu końca wymiernych jest przeliczalny.

W tym celu zauważmy, że z każdym takim przedziałem można związać wzajemnie jedno-znacznie parę liczb wymiernych, z których pierwsza jest mniejsza niż druga. Zbiór takich parjest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego Q × Q, który jest przeliczalny jako produkt 2 zbio-rów przeliczalnych. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. Tak więc zbiórprzedziałów o obu końcach wymiernych na prostej rzeczywistej jest równoliczny ze zbioremprzeliczalnym, a więc sam jest przeliczalny.

6.7 Twierdzenie Cantora

Twierdzenie 6.19 (o przekątnej). Jeżeli zbiór X argumentów funkcji f jest zawartyw A, a wartości funkcji są podzbiorami zbioru A, to zbiór

Z = x ∈ X: x /∈ f(x)

nie jest wartością funkcji f .

Dowód: Zbiór Z nie jest wartością funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takiargument x ∈ X, że

f(x) = Z.

Z określenia zbioru Z:∀x ∈ X. x ∈ Z ⇔ x /∈ f(x).

Gdyby więc istniało takie x, że f(x) = Z, to wówczas

x ∈ Z ⇔ x /∈ Z.

Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.

6.8 Zbiory nieprzeliczalne 61

Twierdzenie 6.20 (Cantor). Zbiór 2X nie jest równoliczny z X ani z żadnym podzbio-rem X.

Gdyby tak było, wówczas istniałaby funkcja, której zbiór argumentów byłby zawartyw X i której zbiorem wartości byłaby rodzina wszystkich podzbiorów X, to jest jednakna mocy tw. o przekątnej niemożliwe. Wynika z niego bowiem istnienie pewnego zbioruZ ⊆ X, który nie jest wartością funkcji f .

Twierdzenie 6.21. Nie istnieje rodzina zbiorów A taka, która by dla każdego zbioru Xzawierała jako element zbiór Y równoliczny z X.

Niech⋃A oznacza sumę rodziny zbiorów A. Na mocy tw. 6.20 zbiór 2

⋃A nie jest

równoliczny z żadnym podzbiorem zbioru⋃A. Ponieważ dla każdego zbioru Y ∈ A

zachodzi Y ⊆ ⋃A, to zbiór 2

⋃A nie może być równoliczny z żadnym zbiorem Y z rodziny

A. Tak więc rodzina A nie zawiera zbioru równolicznego ze zbiorem 2⋃

A.Twierdzenie to wskazuje na fakt, że liczb kardynalnych jest „tak dużo”, że nie można

utworzyć zbioru, który zawierałby co najmniej jednego reprezentanta każdej mocy.Wynika też z niego następujące

Twierdzenie 6.22. Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

W przeciwnym przypadku moglibyśmy przyjąć ten zbiór za A w tw. 6.21.

6.8 Zbiory nieprzeliczalne

Definicja 6.23. Zbiór, który nie jest przeliczalny, nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 6.24. Przedział (0, 1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Dowód można znaleźć w [5].Z tw. 6.20 wynika, że |N| < |P(N)|. Na oznaczenie mocy zbioru P(N) wprowadza się

symbol c (continuum). Liczba kardynalna c (podobnie jak ℵ0) odgrywa szczególną rolę wteorii mnogości.

Twierdzenie 6.25. Przedział (0, 1) jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorówN:

(0, 1) ∼ P(N).

Twierdzenie 6.26. Jeżeli X jest nieprzeliczalny i X ⊆ Y , to Y jest zbiorem nieprzeli-czalnym

Wniosek: Zbiór R ⊇ (0, 1) jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 6.27. Zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z przedziałem (0,1).

Równoliczność ustala funkcja f(x) = 12 + 1

πarctgx.

Wniosek:|R| = |(0, 1)| = |P(N)| = c.

P r z y k ł a d 6.8. Wykazać, że zbiór NN jest nieprzeliczalny.Załóżmy, że zbiór NN jest przeliczalny. Wówczas NN = f0, f1, . . ., gdzie fi (i ∈ N)

jest funkcją N → N . Niech teraz

f(n) = fn(n) + 1, dla n ∈ N.

62 Teoria mocy

Funkcja f nie jest równa f0, gdyż f(0) = f0(0)+1 6= f0(0), podobnie nie jest równa f1, gdyżf(1) = f1(1) + 1 6= f1(1) itd. Ogólnie, dla dowolnego k naturalnego funkcja f nie jest równafk, gdyż f(k) = fk(k) + 1 6= fk(k). Założyliśmy jednak, że zbiór f0, f1, . . . zawiera wszystkiefunkcje N → N. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że jest to niemożliwe, a więc zbiór NN

jest nieprzeliczalny.

P r z y k ł a d 6.9. Mówimy, że ciąg liczb naturalnych b1, b2, . . . rośnie szybciej niż ciąga1, a2, . . ., jeśli

limn→∞

an

bn= 0.

Pokażemy, że

1. dla każdego ciągu istnieje ciąg szybciej od niego rosnący,

2. jeżeli zbiór ciągów Z ma tę własność, że dla każdego ciągu a1, a2, . . . (niekoniecznienależącego do Z) istnieje w tym zbiorze ciąg b1, b2, . . . szybciej rosnący niż a1, a2, . . .,to zbiór Z jest nieprzeliczalny.

Niech więc a1, a2, . . . będzie dowolnym ciągiem liczb naturalnych. Określmy ciąg (bn) wnastępujący sposób:

bn = 1 + nan

Wówczas0 ¬ lim

n→∞

an

bn= lim

n→∞

an

1 + nan.

Ponieważ dla każdego n > 0 jest prawdziwe oszacowanie an

1+nan< 1

n(dla an = 0 mamy

an

1+nan= 0 < 1

n, w przeciwnym przypadku an

1+nan= 1

1

an+n

¬ 11+n

< 1n

) i limn→∞1n

= 0, to

z tw. o trzech ciągach otrzymujemy

limn→∞

an

bn= lim

n→∞

an

1 + nan= 0,

co oznacza, że ciąg b1, b2, . . . jest szybciej rosnący niż a1, a2, . . .

Załóżmy teraz nie wprost, że zbiór Z jest przeliczalny. Wówczas Z = z1, z2, . . . , zn, . . .,gdzie zi jest ciągiem liczb naturalnych zi1, zi2, . . .. Tworzymy nieskończoną tablicę zawierającąwszystkie ciągi ze zbioru Z:

z11 z12 z13 · · · z1n · · ·z21 z22 z23 · · · z2n · · ·z31 z32 z33 · · · z3n · · ·...

......

...zn1 zn2 zn3 · · · znn · · ·...

......

...

Niech teraz si oznacza sumę liczb na i-tej przekątnej tej tablicy, tj.

s1 = z11

s2 = z12 + z21

...

sn =n∑

i=1

zi·n−i+1

Zauważmy, że dla dowolnego zk zachodzi: zk1 ¬ sk, zk2 ¬ sk+1, . . . (ponieważ przekątna k-tazawiera pierwszy wyraz ciągu zk, k+1-sza zawiera drugi wyraz ciągu zk itd.)

6.8 Zbiory nieprzeliczalne 63

Niech w końcu bn = 1 + nsn, dla n = 1, 2, . . . Ciąg bn rośnie szybciej niż każdy z ciągówz1, z2, . . . Istotnie, dla dowolnego ciągu zk ∈ Z:

0 ¬ limn→∞

zkn

bn= lim

n→∞

zkn

bn+k−1¬ lim

n→∞

zkn

1 + nzkn

= 0

Tak więc zbiór Z nie zawiera ciągu rosnącego szybciej niż ciąg (bn), co jest sprzeczne z jegodefinicją (ciągu (bn) nie ma w zbiorze Z, gdyż żaden ciąg nie rośnie szybciej od samegosiebie — limn→∞

bn

bn= 1 6= 0). Do sprzeczności tej doprowadziło założenie, że zbiór Z jest

przeliczalny. W konsekwencji zbiór Z jest nieprzeliczalny.

P r z y k ł a d 6.10. Mówimy, że funkcja f : N → N jest słabo rosnąca, jeśli x < y ⇒f(x) ¬ f(y) dla wszelkich x, y ∈ N. Wykazać że zbiór słabo rosnących funkcji N → N jestnieprzeliczalny.

Niech f będzie funkcją słabo rosnącą N → N i niech dla każdego n będzie g(n) =1 + nf(n) (nie może być g(n) = nf(n), bo dla f ≡ 0 dostajemy g ≡ 0 i limn→∞

f(n)g(n) nie

istnieje).

0 ¬ limn→∞

f(n)g(n)

= limn→∞

f(n)1 + nf(n)

¬ limn→∞

1n

= 0

Funkcja g jest oczywiście słabo rosnąca, ponadto rośnie szybciej niż f . Na mocy twier-dzenia sformułowanego w przykładzie 6.9 zbiór słabo rosnących funkcji N → N jest nieprze-liczalny.

Definicja 6.28. Mówimy, że moc zbioru X jest mniejsza niż Y i piszemy |X| < |Y |,jeżeli X ¬ Y i X Y .

P r z y k ł a d 6.11. Niech a oznacza moc zbioru rosnących ciągów liczb wymiernychzbieżnych do 1. Pokażemy, że a = c.

Wszystkich ciągów liczb wymiernych jest tyle, co wszystkich ciągów liczb naturalnych,czyli tyle, ile funkcji N → N, a więc c. Tak więc a ¬ c. Pokażemy, że c ¬ a. Wówczas, namocy tw. Cantora-Bernsteina, a = c.

Aby wykazać, że c ¬ a, wystarczy wskazać zbiór rosnących ciągów liczb wymiernychzbieżnych do 1 o mocy continuum. W tym celu skonstruujemy funkcję różnowartościową z2N do tego zbioru.

Niech ciąg (qn) dany będzie wzorem

q(n) = 1 − 1n+ 1

,

gdzie n ∈ N. Ciąg ten jest oczywiście ściśle rosnący i zbieżny do 1. Niech teraz (an) będziedowolnym ciągiem zerojedynkowym. Ciąg (qa

n) określimy następująco

qa(n) = q

(n∑

i=0

(an + 1) − 1

)

.

Aby lepiej zrozumieć, jak powstaje ciąg (qan) przypuśćmy, że (an) = 〈0, 0, 1, 1, 0 . . .〉. Wówczas

qa(n) = 〈q0, q1, q3, q5, q6, . . .〉:

(qn) q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6

(an) 0 0 1 1 0

(qan) q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6

64 Teoria mocy

Łatwo zauważyć, że dla każdego (an) ciąg (qan) jest rosnący i zbieżny do 1 (jest zbieżny,

gdyż jest rosnący i ograniczony, natomiast jest zbieżny do 1, bo jest zbieżny do tej samejgranicy co ciąg (gn)). Ponadto przekształcenie ciągu (an) w qa

n jest różnowartościowe (dladwóch różnych ciągów a zbiory wyrazy ciągów (qa) są różne, gdyż wybieramy różne elementyciągu (qn), który jest ściśle rosnący, nie ma więc dwóch równych wyrazów).

P r z y k ł a d 6.12. Wykazać, że

(AY )X ∼ AX×Y

Jak wiadomo, zapis (AY )X oznacza zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X w zbiór funkcji zezbioru Y w A. Określimy teraz funkcję h przyporządkowującą dowolnej funkcji f : X → AY

funkcję hf : X × Y → A, w ten sposób, że

hf (〈x, y〉) = (f(x))(y),

gdzie x ∈ X, y ∈ Y .Funkcja h jest różnowartościowa. Istotnie, weźmy, że dwie różne funkcje f1, f2: X → AY

i załóżmy, że hf1= hf2

. Wówczas:

∀x ∈ X, y ∈ Y. hf1(〈x, y〉) = hf2

(〈x, y〉),a zatem

∀x ∈ X.[∀y ∈ Y. (f1(x))(y) = (f2(x))(y)].

Warunek ujęty w nawiasie klamrowym oznacza, że funkcje f1(x) i f2(x) mają równe wartościdla każdego argumentu, a zatem są równe, skąd

∀x ∈ X. f1(x) = f2(x)

Analogiczne z przedstawionym wyżej rozumowanie prowadzi do wniosku, że funkcje f1 i f2 sąrówne, co jest sprzeczne z założeniem.

Funkcja h jest też „na”. Weźmy dowolną funkcję g: X × Y → A. Pokażemy, że istniejefunkcja f : X → AY taka, że

h(f) = g.

Zachodzi to, gdy∀x ∈ X, y ∈ Y. hf (〈x, y〉) = g(x, y)

Niech gx oznacza zbiór wszystkich par 〈y, g(〈x, y〉)〉. Nietrudno zauważyć, że gx jest funkcjąY → A. Niech więc f = gx. Załóżmy, że a = gx(y). Oznacza to, że para 〈y, a〉 ∈ gx ⇒ a =g(〈x, y〉). Wobec dowolności x, y dowodzi to równości hf = g i pokazuje, że funkcja h jest„na”, co kończy dowód.

P r z y k ł a d 6.13. Wykazać, że zbiór wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych jestrównoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych, tj. że

RN ∼ R.

Jak wiadomo, R ∼ 2N. Na mocy twierdzenia sformułowanego w przykładzie 6.12 stwierdza-my:

RN ∼ (2N)N ∼ 2(N×N) ∼ 2N ∼ R.

W powyższym ciągu przekształceń korzystamy z faktu, że dla dowolnych zbiorów A,B,Xprawdziwe są następujące implikacje:

A ∼ B ⇒ AX ∼ BX

orazA ∼ B ⇒ XA ∼ XB ,

których dowody, ze względu na trywialność, pomijamy.

Rozdział 7

Zbiory uporządkowane

Porządek trzeba robić, nieporządek robi się sam.—

7.1 Relacje częściowo porządkujące

Definicja 7.1. Relację binarnąR na zbiorze X (R ⊆ X×X) nazywamy relacją częściowoporządkującą, jeżeli jest:

– zwrotna∀x ∈ X. xRx,

– przechodnia∀x, y, z ∈ X. xRy ∧ yRz ⇒ xRz.

– słabo antysymetryczna

∀x, y ∈ X. xRy ∧ yRx ⇒ x = y,

Relację częściowo porządkującą oznaczamy często symbolem ¬. Mówimy, że relacja¬ częściowo porządkuje zbiór X, a parę 〈X,¬〉 nazywamy zbiorem częściowo uporządko-wanym.

P r z y k ł a d 7.1. Zbiór 〈R,¬〉, gdzie ¬ oznacza relację niewiększości w zbiorze liczbrzeczywistych, jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Istotnie, jak wiadomo każda liczbarzeczywista jest niewiększa od samej siebie (zwrotność). Jeżeli liczba x jest niewiększa od y, ay niewiększa od z, to x jest niewiększa od z (przechodniość). Na koniec jeśli liczba rzeczywistax jest niewiększa od y, a y niewiększa od x, to liczby te są równe (słaba antysymetria).

P r z y k ł a d 7.2. Zbiór liczb naturalnych N wraz z relacją podzielności | stanowi zbiórczęściowo uporządkowany. Dla dowodu zauważmy, że każda liczba naturalna dzieli samą siebie(zwrotność). Jeżeli n|m i m|k, to m = an i k = bm = (ba)n ⇒ k|n (dla n,m, k, a, b ∈ N)— relacja | jest więc przechodnia. Jeżeli n|m i m|n, to m = an i n = bm = (ba)n. Stądba = 1. Ponieważ liczby b i a są naturalne, więc ich iloczyn jest równy 1 wtedy i tylko wtedy,gdy one same są równe 1. Skoro zaś m = an, a a = 1, to m = n. Relacja | jest więc takżesłabo antysymetryczna, co kończy dowód.

Do każdej relacji częściowego porządku ¬ (podobnie jak dla każdej innej) istniejerelacja odwrotna. Oznaczamy ją najczęściej symbolem ­. Jeśli więc 〈X,¬〉 jest zbioremczęściowo uporządkowanym, to

∀x, y ∈ X. y ­ x ⇔ x ¬ y.

66 Zbiory uporządkowane

Twierdzenie 7.2. Relacja odwrotna do relacji częściowego porządku jest relacją czę-ściowego porządku.

Dowód: Niech 〈X,¬〉 będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Należy pokazać, żerelacja ­ taka, że dla każdego x, y ∈ X y ­ x ⇔ x ¬ y, jest zwrotna, przechodnia i słaboantysymetryczna.

Zauważmy, że x ­ x ⇔ x ¬ x. Dla każdego x mamy x ¬ x, gdyż relacja ¬ jestzwrotna (z definicji). Tak więc dla każdego x relacja zachodzi x ­ x, a więc relacja ­ jestzwrotna.

Niech teraz x, y, z będą dowolnymi elementami zbioru X oraz z ­ y i y ­ x. Z definicjirelacji ­ mamy y ¬ z oraz x ¬ y. Ponieważ (z definicji) relacja ¬ jest przechodnia,zachodzi x ¬ z, skąd otrzymujemy z ­ x. Wobec dowolności x, y, z oznacza to, że relacja­ jest przechodnia.

Podobnie niech x, y będą dowolnymi elementami zbioru X oraz y ­ x i x ­ y. Zdefinicji relacji ­ mamy x ¬ y i y ¬ x. Ponieważ (z definicji) relacja ¬ jest słaboantysymetryczna, zachodzi x = y. Wobec dowolności x, y oznacza to, że relacja ­ jestsłabo antysymetryczna.

Definicja 7.3. Porządek 〈X,­〉 = 〈X,¬−1〉 nazywamy dualnym do 〈X,¬〉.

P r z y k ł a d 7.3. Czy dla danego zbioru X 6= ∅ można tak określić relację R, byrównocześnie

1. zbiór 〈X,R〉 był częściowo uporządkowany,

2. R była relacją równoważności w X ?

Weźmy x, y ∈ X, takie że x 6= y i xRy. Jeżeli R jest relacją równoważności, to jest syme-tryczna, a więc także yRx , skąd na mocy słabej antysymetrii R, dostajemy y = x, wbrewzałożeniu. Żadne 2 różne elementy zbioru X nie mogą więc być w relacji R. Jeśli jednakR = 〈x, x〉:x ∈ X, to — jak łatwo sprawdzić — relacja jest zarówno częściowym porząd-kiem, jak i relacją równoważności.

P r z y k ł a d 7.4. Funkcje f : N → N i g: N → N są równe prawie wszędzie, jeśli zbiór

n ∈ N: f(n) 6= g(n)

jest skończony. Zapis f ≈ g oznacza, że funkcje f i g są równe prawie wszędzie. Pokazać, że≈ jest relacją równoważności.

Relacja ≈ jest:

• zwrotna (ponieważ zbiór n ∈ N: f(n) 6= f(n) jest pusty, a więc skończony),

• symetryczna (jeżeli f(n) = g(n), to również g(n) = f(n), podobnie jeżeli f(n) 6= g(n),to również g(n) 6= f(n), tak więc zbiory n ∈ N: f(n) 6= g(n) i n ∈ N: g(n) 6= f(n)są równe i skoro pierwszy z nich jest skończony, to i drugi)

• przechodnia; niech f, g, h ∈ NN i f ≈ g i g ≈ h oraz niech

Rf,g = n ∈ N: f(n) 6= g(n)

iRg,h = n ∈ N: g(n) 6= h(n);

zauważmy, że jeżeli n /∈ Rf,g ∧ n /∈ Rg,h ⇔ n /∈ Rf,g ∪ Rg,h, to f(n) = g(n) ig(n) = h(n), skąd f(n) = h(n), ponadto zbiór Rf,g ∪ Rg,h jest skończony, tak więcfunkcje f i g mogą się różnić dla co najwyżej skończonej liczby argumentów (którychzbiór jest zawarty w Rf,g ∪Rg,h), co oznacza, że f ≈ h.

7.1 Relacje częściowo porządkujące 67

Pokażemy teraz, że moc każdej klasy abstrakcji relacji ≈ jest równa ℵ0. Niech f ∈ NN.Klasą abstrakcji [f ]≈ jest zbiór wszystkich funkcji g ∈ NN takich, że zbiór

n: f(n) 6= g(n)

jest skończony. Niech więc g będzie taką funkcją oraz niech

Rf,g = n ∈ N: f(n) 6= g(n)

Zbiór Rf,g jest skończony, tak więc Rf,g = n1, n2, n3, . . . , nr. Niech teraz

Vf,g = 〈n1, φ(f(n1) − g(n1)), n2, φ(f(n2) − g(n2)), . . . , nr, φ(f(nr) − g(nr))〉,

gdzie φ jest bijekcja ustalającą równoliczność N ze zbiorem liczb całkowitych Z. Ciąg Vf,g

jest skończonym ciągiem liczb naturalnych, przy czym — przy danej funkcji f — pozwalajednoznacznie wyznaczyć g. Ciągów takich jest ℵ0. Jeżeli f jest reprezentantem jakiejś klasyabstrakcji, to funkcji g będących z f w relacji ≈ jest co najwyżej tyle, ile ciągów Vf,g. Łatwozauważyć przy tym, że jest ich co najmniej ℵ0 (wystarczy przyjąć g = f za wyjątkiem g(1),za które wstawiamy kolejno 1, 2, . . .). Tak więc każda klasa abstrakcji relacji ≈ składa ℵ0

elementów.Wykażemy na koniec, że klas abstrakcji relacji ≈ jest c. Zbiór klas abstrakcji relacji ≈ na

pewno nie jest przeliczalny, wówczas bowiem zbiór NN były przeliczalny jako suma przeli-czalnej ilości zbiór przeliczalnych (pokazaliśmy wyżej, że każda klasa abstrakcji relacji ≈ jestzbiorem przeliczalnym). W tym celu pokażemy, że istnieje c funkcji takich, że dla dowolnychdwóch funkcji f, g z tego zbioru zbiór

n: f(n) = g(n)

jest skończony (wówczas bowiem zbiór n: f(n) 6= g(n) jest nieskończony).Jeżeli 2 nieskończone podzbiory zawarte w N mają skończoną część wspólną, to co naj-

wyżej skończona liczba wyrazów ciągów elementów tych zbiorów o tym samym indeksie jestsobie równa (a ciągi takie są funkcjami N → N). Wystarczy zatem pokazać, że istnieje c

podzbiorów zbioru N, z których każde dwa mają skończoną część wspólną.Niech Qs = qs

n:n ∈ N, gdzie qs jest ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do liczbyniewymiernej s (jak wiadomo, dla każdej liczby niewymiernej ciąg taki istnieje). Pokażemy, żejeżeli s 6= t, to zbiór Qs ∩Qt jest skończony. Niech ε = |s−t|

2 . Z defincji granicy ciągu istniejąliczby naturalne N1, N2, takie że jeśli N jest większą z nich, to

∀n ­ N. |s− qsn| < ε

oraz∀n ­ N. |t − qt

n| < ε.

Zauważmy, ze zbiory x : |s−x| < ε i x : |t−x| < ε są rozłączne. Tak więc dla wszelkichn,m ¬ N mamy qt

n 6= qsm. Jeżeli więc ciągi qt i qs mają jakieś wspólne wyrazy, to są to wyrazy

o indeksach mniejszych od N , których jest skończenie wiele. Ciągów qs jest co najmniej tyle,ile liczb niewymiernych, a więc c. Tak więc moc rodziny As = ϕ(Qs), s ∈ R \ Q, gdzie ϕjest bijekcją ustalającą równoliczność zbioru Q i N, jest równa c.

Definicja 7.4. Funkcja f : N → N majoryzuje funkcję g: N → N, jeśli zbiór

n ∈ N: f(n) < g(n)

jest skończony. Zapis g f oznacza, że funkcja f majoryzuje funkcję g.Na zbiorze F = [f ]≈: f ∈ NN klas abstrakcji relacji ≈ wprowadzamy relację

przyjmując, że[f ]≈ [g]≈ ⇔ f g.

68 Zbiory uporządkowane

P r z y k ł a d 7.5. Wykazać, że definicja relacji na zbiorze F jest poprawna (nie zależyod wyboru reprezentantów klas abstrakcji) i że relacja jest częściowym porządkiem na F .

Aby pokazać, że definicja relacji jest poprawna, należy założyć, że dla pewnych f, g ∈NN zachodzi [f ]≈ [g]≈ (a więc f g) i wykazać, że jeśli f i f1 oraz g i g1 są w tej samejklasie abstrakcji (tzn. f ≈ f1 i g ≈ g1), to również f1 g1.

Niech więc f g, f ≈ f1 i g ≈ g1. Z definicji relacji i ≈ wynika, że zbiory

A = n ∈ N: f(n) < g(n),F = n ∈ N: f(n) 6= f1(n),G = n ∈ N: g(n) 6= g1(n)

są skończone.Chcemy teraz pokazać, że zbiór

n ∈ N: f1(n) < g1(n)

jest skończony. Dla jakich n możliwe jest, że f1(n) < g(n)? Łatwo zauważyć, że n ∈N: f1(n) < g(n) ⊆ A ∪ F (gdyż f1 może być mniejsza od g w tych samych miejscach co foraz w tych w tych miejscach, gdzie jest różna od f ; dla pozostałych n mamy f(n) ­ g(n)i f1(n) = f(n), skąd f1(n) ­ g(n)). Przeprowadzając to samo rozumowanie dla g i g1

dostajemy

n ∈ N: f1(n) < g1(n) ⊆ (A ∪ F ) ∪G.

Suma A∪F ∪G jest skończona (jako suma skończonej liczby zbiorów skończonych), skądf1 g1.

Wykażemy teraz, że relacja jest

• zwrotna; istotnie [f ]≈ [f ]≈ ⇔ f f ⇔ zbiór n: f(n) < f(n) = ∅ jest skończony,co jest prawdą,

• przechodnia; niech [f ]≈ [g]≈ i [g]≈ [h]≈, wówczas f g i g h, a więc zbiory

A = n ∈ N: f(n) < g(n),B = n ∈ N: g(n) < h(n),

są skończone.

Niech n /∈ A∪B. Wówczas f(n) ­ g(n) i g(n) ­ h(n). Na mocy przechodniości relacji­ wnioskujemy f(n) ­ h(n). Zatem zbiór liczb n takich, że f(n) < h(n) zawiera sięw A ∪ B, a więc jest skończony (bo zbiór A ∪B jest zbiorem skończonym, jako sumadwóch zbiorów skończonych). Zachodzi więc f h i [f ]≈ [h]≈.

• symetryczna . Niech [f ]≈ [g]≈ i [g]≈ [f ]≈. Pokażemy, że [f ]≈ = [g]≈ ⇔ f ≈ g. Zzałożenia f g i g f , a więc zbiory

A = n ∈ N: f(n) < g(n),B = n ∈ N: g(n) < f(n),

są skończone. Jeżeli n /∈ A ∪B, to f(n) ­ g(n) ­ f(n), skąd na mocy symetrii relacji­ mamy f(n) = g(n). Zatem zbiór liczb n takich, że f(n) 6= f(g), zawiera się w A∪B,a więc jest skończony, skąd f ≈ g i [f ]≈ = [g]≈.

7.2 Quasi-porządki 69

7.2 Quasi-porządki

Niech 〈X,¬〉 będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Niech dla dowolnego x, y ∈ X:

x < y ⇔ x ¬ y ∧ x 6= y.

Zdefiniowaliśmy w ten sposób nową relację <. Pokażemy teraz, że relacja ta jestprzeciwzwrotna i przechodnia, tj:

∀x ∈ X. ¬(x < x),

oraz∀x, y ∈ X. x < y ∧ y < z ⇒ x < z

Istotnie, załóżmy, że istnieje x ∈ X takie, że x < x. Z definicji relacji < otrzymujemyx ¬ x ∧ x 6= x, a więc sprzeczność (x nie może być bowiem różne od siebie samego).

Weźmy teraz dowolne x, y, z ze zbioru X takie, że x < y i y < z. Z definicji relacji< otrzymujemy x ¬ y ∧ x 6= y oraz y ¬ z ∧ y 6= z. Z przechodniości ¬ wnioskujemyx ¬ z. Pozostaje wykazać, że x 6= z. Załóżmy nie wprost, że x = z. Wobec y ¬ z daje toy ¬ x. Skoro zas x ¬ y i y ¬ x to x = y (relacja ¬ jest słabo antysymetryczna). Jest tosprzeczne z założeniem x < y. Tak więc x 6= z i ostatecznie x < z.

Definicja 7.5. Relację przeciwzrotną i przechodnią nazywamy quasi-porządkiem.

Pokazaliśmy, że każdy porządek częściowy wyznacza pewien quasi-porządek. Zachodziteż sytuacja odwrotna — jeżeli < jest quasi-porządkiem na zbiorze X, to relacja ¬, takaże

x ¬ y ⇔ x < y ∨ x = y,

jest częściowym porządkiem w X. Dowód (analogiczny do powyższych) pomijamy.

7.3 Diagramy Hassego

Skończone zbiory częściowo uporządkowane można przedstawić graficznie w postaci tzw.diagramów Hassego.

Definicja 7.6. Diagram Hassego zbioru uporządkowanego 〈X,¬〉 jest rysunkiem grafuskierowanego, w którym:

1. wierzchołkami są elementy zbioru X

2. krawędź 〈x, y〉 występuje wtedy i tylko wtedy, gdy x ¬ y oraz pomiędzy x a y nieznajduje się żaden element zbioru X, tj.

¬(∃t ∈ X \ x, y. x ¬ t ¬ y)

Diagramy Hassego rysuje się z krawędziami skierowanymi w dół i bez strzałek. Wzwiązku z tym, jeżeli y ¬ x, to x znajduje się na diagramie powyżej y (oraz istniejeścieżka złożona z krawędzi grafu między wierzchołkami x i y).

P r z y k ł a d 7.6. Rozpatrzmy zbiór częściowo uporządkowany 〈1, 2, 3, 4, 12, |〉, gdzie |jest relacją podzielności w zbiorze liczb naturalnych.

Diagram Hassego tego zbioru przedstawia następujący rysunek:Możemy z niego odczytać, że: 1|2, 1|4, 1|3, 1|12, 2|4, 2|12, 4|12 i 3|12 . Relacja | jest

zwrotna, więc także 1|1, 2|2, 3|3, 4|4 oraz 12|12. Ponadto lista ta jest kompletna, tzn. nieistnieją takie dwie liczby x, y ∈ 1, 2, 3, 4, 12, że x|y, a para ta nie została już wypisana.

Twierdzenie 7.7. Dla każdego skończonego zbioru częściowo uporządkowanego istniejejego diagram Hassego.

70 Zbiory uporządkowane

12

4 3

1

2

Rysunek 7.1: Diagram Hassego zbioru 〈1, 2, 3, 4, 12, |〉

7.4 Element największy. Element najmniejszy

Przyglądając się rysunkowi 7.1 łatwo stwierdzić, że element 1 jest mniejszy (w sensierelacji podzielności) od wszystkich pozostałych elementów rozważanego zbioru. Elementtaki nazywamy najmniejszym.

Definicja 7.8. Element t zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy najmniej-szym, jeżeli

∀x ∈ X. t ¬ x.

Podobnie nie jest trudno zauważyć, że element 12 jest większy (w sensie relacji podziel-ności) od wszystkich pozostałych elementów rozważanego zbioru. Element taki nazywamynajwiększym.

Definicja 7.9. Element t zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy najwięk-szym, jeżeli

∀x ∈ X. x ¬ t.

b

c

a

e

d

Rysunek 7.2:

P r z y k ł a d 7.7.W zbiorze częściowo uporządkowanym, którego diagram przestawiono na rysunku 7.2:

– nie ma elementu największego (nie jest nim np. b, bo nie zachodzi e ¬ b)

– a jest elementem najmniejszym.

P r z y k ł a d 7.8.W zbiorze częściowo uporządkowanym, którego diagram przestawiono na rysunku 7.3:

7.5 Elementy maksymalne. Elementy minimalne. 71

b

c

a

e

d

Rysunek 7.3:

– nie ma elementu najmniejszego (nie jest nim np. b, bo nie zachodzi b ¬ e)

– a jest elementem największym.

Uważny czytelnik zauważył zapewne pewien związek pomiędzy diagramami 7.2 i 7.3:pierwszy z nich jest odbiciem w osi poziomej drugiego (i odwrotnie). Pokazuje się, żeodwracając „do góry nogami” diagram zbioru uporządkowanego 〈X,¬〉 otrzymuje siędiagram porządku dualnego 〈X,­〉.

Odnotujmy przy tym, że element największy w pierwszym porządku stał się najmniej-szym w drugim. Wkrótce okaże się, że to nie przypadek.

Twierdzenie 7.10. W danym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje co najwyżejjeden element największy (najmniejszy).

Dowód: Niech 〈X,¬〉 będzie danym zbiorem częściowo uporządkowanym i niech t, sbędą różnymi elementami największymi. Jeżeli t jest element największym, to dla każdegox ∈ X zachodzi x ¬ t. W szczególności s ¬ t. Podobnie, jeżeli s jest element największym,to dla każdego x ∈ X zachodzi x ¬ s. W szczególności t ¬ s. Skoro s ¬ t i t ¬ s, tona mocy słabej antysymetrii relacji ¬ otrzymujemy s = t, w sprzeczności z założeniem.Dowód dla elementów najmniejszych jest analogiczny.

7.5 Elementy maksymalne. Elementy minimalne.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz rysunkowi 7.2. Element b nie jest co prawda największy, ale teżnie ma elementu od niego większego. Podobnie nie ma elementu większego od e. Własnośćte wyrażamy mówiąc, że element jest maksymalny .

Definicja 7.11. Element t zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy mak-symalnym, jeżeli

¬(∃x ∈ X. t < x).

Na rysunku 7.3. Element b nie jest najmniejszy, ale też nie ma elementu od niegomniejszego. Nie ma też elementu mniejszego od e. Własność te wyrażamy mówiąc, żeelement jest minimalny .

Definicja 7.12. Element t zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy mini-malnym, jeżeli

¬(∃x ∈ X. x < t).

72 Zbiory uporządkowane

Jak pokazują powyższe przykłady, dany zbiór może mieć więcej niż jeden elementminimalny (maksymalny).

P r z y k ł a d 7.9. Każdy element zbioru uporządkowanego 〈X, ∅〉, gdzie X jest dowolnymniepustym zbiorem, jest jego elementem minimalnym (i maksymalnym).

P r z y k ł a d 7.10. Znaleźć przykład zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,R〉 takiego, żew zbiorze 〈X,R〉 jest dokładnie jeden element minimalny i nie ma elementu najmniejszego.

Niech X = Z, a porządek R będzie „zwykłą” relacją niewiększości w zbiorze liczb całko-witych zredukowaną do zbioru Z \ 0, tzn. dla dowolnych x, y ∈ Z zachodzi xRy wtedy, gdyx ¬ y ∧ xy 6= 0.

1

2

−2

−1

0

W zbiorze 〈Z,R〉 nie ma elementu najmniejszego (żaden element nie może być najmniejszy,gdyż zero jest porównywalne tylko z samym sobą). Ponadto nie istnieje element x ∈ Z taki, żexR 0. Zero jest więc elementem minimalnym. Co więcej jest jedynym elementem minimalnym,gdyż dla każdego niezerowego x istnieje y ∈ Z takie, że yRx (dla x = 1 można przyjąćy = −1, w pozostałych przypadkach y = x− 1).

7.6 Pojęcia dualne

Jeśli dane jest pojęcie Q dotyczące porządków, to pojęcie Q−1 dualne do niego otrzymu-jemy przez zastąpienie w definicji Q symbolu ¬ przez symbol ¬−1 (­).

Twierdzenie 7.13. Pojęcia minimalny i maksymalny oraz najmniejszy i największy sądualne.

Innymi słowy (przy oznaczeniu ¬−1 przez ­):

• element minimalny w 〈X,¬〉 jest maksymalny w 〈X,­〉

• element maksymalny w 〈X,¬〉 jest minimalny w 〈X,­〉

• element najmniejszy w 〈X,¬〉 jest największy w 〈X,­〉

• element największy w 〈X,¬〉 jest najmniejszy w 〈X,­〉,

Dowód: Niech 〈X,¬〉 będzie danym zbiorem częściowo uporządkowanym z elementemminimalnym t. Pokażemy, że t jest elementem maksymalnym w 〈X,¬−1〉 = 〈X,­〉.

Załóżmy nie wprost, że t nie jest elementem maksymalnym porządku 〈X,­〉, tj. żeistnieje takie x ∈ X, że t > x. Wówczas jednak x < t, co stanowi sprzeczność z założeniem,że t jest elementem minimalnym w porządku 〈X,¬〉.

Pozostałe dowody są analogiczne.

7.7 Zbiory liniowo uporządkowane 73

7.7 Zbiory liniowo uporządkowane

Łatwo zauważyć, że podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest zbiorem częściowouporządkowanym.

Definicja 7.14. Niech 〈X,¬〉 będzie zbiorem częściowo uporządkowanym oraz niech A ⊆X. Relację ¬A, zdefiniowaną następująco

∀x, y ∈ X. x ¬A y ⇔ x ¬ y,

nazywamy relacją ¬ zredukowaną do A.

Inaczej mówiąc, ¬A jest to ta sama relacja co ¬, tylko określona na elementach zbioruA.

Twierdzenie 7.15. Jeżeli 〈X,¬〉 jest zbiorem częściowo uporządkowanym i A ⊆ X, toziór 〈A,¬A〉 jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

W zbiorach częściowo uporządkowanych pewne elementy mogą nie mieć ze sobą żad-nego związku (być nieporównywalne). Dobry (i często podawany) przykład stanowi zbiórP(X) podzbiorów pewnego ustalonego zbioru X 6= ∅ wraz z relacją zawierania (jeśli np.X = 1, 2, 3, 4, A = 1, 2 ⊆ X i B = 1, 3 ⊆ X, to ani A ⊆ B, ani B ⊆ A).

Istnieją jednak zbiory częściowo uporządkowane, w których każde 2 elementy dają sięporównać. Jest tak np. w przypadku zbioru liczb rzeczywistych R ze „zwykłą” relacjąniewiększości ¬. Z każdych dwóch liczb rzeczywistych x, y jedna jest niewiększa od drugiej(tzn. albo x ¬ y, albo y ¬ x). Zbiory takie nazywamy liniowo uporządkowanymi lubłańcuchami . Formalnie

Definicja 7.16. Zbiór częściowo uporządkowany 〈X,¬〉 jest liniowy, jeżeli

∀x, y ∈ X. x ¬ y ∨ y ¬ x.

Twierdzenie 7.17. Jeżli 〈X,¬〉 jest zbiorem liniowo uporządkowanym i A ⊆ X, to zbiórA z relacją ¬A (relacją ¬ zredukowaną do elementów zbioru A) jest również zbioremliniowo uporządkowanym.

Definicja 7.18. Podzbiór A zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy łań-cuchem, jeżeli

∀x, y ∈ A. x ¬ y ∨ y ¬ x,

tzn. wtedy, gdy A jest zbiorem liniowo uporządkowanym.Podzbiór A zbioru częściowo uporządkowanego 〈X,¬〉 nazywamy antyłańcuchem, je-

żeli∀x, y ∈ A. (x ¬ y ∨ y ¬ x) ⇒ x = y

P r z y k ł a d 7.11. Niech oznacza porządek częściowy na liczbach naturalnych. Mówimy,że jest zgodny ze zwykłym porządkiem, gdy

∀n1, n2 ∈ N. n1 n2 ⇒ n1 ¬ n2.

Ile jest porządków częściowych ⊆ N × N zgodnych ze zwykłym porządkiem i takich,że

(a) w każdym antyłańcuchu są co najwyżej 2 elementy?

74 Zbiory uporządkowane

(b) zbiórx ∈ N: ∃y ∈ N. x 6= y ∧ (x y ∨ y x)

jest skończony?

(c) w zbiorze 〈N,〉 istnieje element największy?

(d) w każdym łańcuchu są co najwyżej 2 elementy?

Na początek zauważmy, że aby zdefiniować porządek zgodny z ¬ wystarczy określićpodział zbioru liczb naturalnych N (na rozłączne, niepuste podzbiory). Uporządkowanie ele-mentów w obrębie danego podzbioru wynika z wymogu zgodności ze zwykłym porządkiem ¬na liczbach naturalnych. Elementy znajdujące się w różnych podzbiorach są nieporównywalne.

Ponieważ odwzorowanie rozważanych porządków na podzbiory N jest wzajemnie jedno-znaczne, to porządków tych jest co najwyżej |2N| = c.

Ad (a) Rozważmy taki podział zbioru N na 2 podzbiory X,Y (X∪Y = N, X∩Y = ∅). Wporządku odpowiadającym temu podziałowi każdy antyłańcuch ma co najwyżej 2 elementy.Istotnie, jeżeli x ∈ X, a y ∈ Y to elementy x, y są nieporównywalne i zbiór x, y jestantyłańcuchem (tak więc antyłańcuch mocy 2 istnieje). Antyłańcuch większej mocy nie możeistnieć, gdyż wówczas występują w nim co najmniej 2 elementy z tego samego zbioru, a więcporównywalne. Podziałów N na 2 podzbiory jest tyle samo co podzbiorów N (jeżeli X jestjednym ze zbiorów, to Y jest wyznaczone jednoznacznie równością Y = N \ X), a więc c.Zgodnie z uwagą poczynioną wyżej, więcej nie może być, skąd szukana liczba porządków jestrówna c.

Ad (b) Niech x ∈ N i niech Px oznacza zbiór elementów porównywalnych z x, niezawierający samego x:

Px = y ∈ N. x 6= y ∧ (x y ∨ y x).

Czy zbiór Px może być nieskończony? Nie, gdyż wówczas każdy element y należący do Px jestporównywalny z x, a więc z co najmniej jednym elementem zbioru N różnym od y, i zbiór

y ∈ N: ∃x ∈ N. x 6= y ∧ (y x ∨ x y)

jest nieskończony (wbrew założeniu). Szukanych porządków jest zatem tyle, na ile sposo-bów utworzyć można skończoną liczbę skończonych podzbiorów N. Jest jasne, że jest ichnieskończenie wiele. Pokażemy, że jest ich ℵ0.

Niech A ⊆ N = a1, a2, . . . , an, a1 ¬ a2 ¬ a3 ¬ . . . ¬ an, a funkcja f o wartościachnaturalnych będzie określona następująco:

f(A) = 2a13a25a3 . . . pann ,

gdzie pn jest n-tą liczbą pierwszą.Za pomocą funkcji f możemy związać jednoznacznie każdy skończony podzbiór N z

pewną liczbą naturalną (gwarantuje nam to znane twierdzenie o jednoznaczności rozkładuliczby naturalnej na czynniki pierwsze).

Niech teraz A będzie skończoną rodziną skończonych podzbiorów N. Aplikując f do każ-dego ze zbiorów tworzących tę rodzinę otrzymany za każdym razem inna liczbę naturalną,dostając w sumie pewien skończony zbiór f(A) ⊆ N. Stosując do otrzymanego zbioru prze-kształcenie f jeszcze raz otrzymujemy pewną liczbę f(f(A)) ∈ N. Pamiętając, ze złożeniebijekcji jest bijekcją, zauważamy, że f f odwzorowuje wzajemnie jednoznaczne każdą rodzinęskończonych podzbiorów w podzbiór N. Moc tej rodziny jest zatem niewiększa niż ℵ0. Ponie-waż wcześniej zauważyliśmy już, że jest także niemniejsza niż ℵ0, to z tw. Cantora-Bernsteinawynika, że szukana moc jest równa ℵ0.

7.7 Zbiory liniowo uporządkowane 75

Ad (c) Nie ma takiego porządku, by w zbiorze 〈N,〉 istniał element największy. Istotnie,niech p będzie elementem największym w porządku 〈N,〉. Weźmy dowolną liczbę naturalnąwiększa od p, np. p + 1. Porządek jest zgodny z ¬, tak więc albo p p + 1 albo p ip+ 1 są nieporównywalne. W obu przypadkach nie zachodzi p+ 1 p, a więc p nie może byćelementem największym. Sprzeczność ta, wobec dowolności p, dowodzi tezy.

Ad (d) Pokażemy, że istnieje continuum porządków takich, że każdy łańcuch ma conajwyżej 2 elementy.

Niech N1 = N \1. Weźmy dowolny podzbiór X ⊂ N1. Załóżmy, że w zbiorze X każde2 elementy są nieporównywalne. W zbiorze X ′ = N1 \X określimy porządek zgodny z ¬taki, że każdy łańcuch ma co najwyżej 2 elementy.

Niech s(A) oznacza element najmniejszy w niepustym podzbiorze A zbioru liczb natural-nych N ze zwykłą relacją niewiększości ¬ oraz niech X1 = X ′, Xn+1 = Xn \ s(Xn).

Jeżeli X ′ jest zbiorem nieskończonym lub zbiorem skończonym o parzystej liczbie elemen-tów, to porządek określamy tak, że s(X1) s(X2), s(X3) s(X4) itd. W przeciwnymprzypadku „wyciągamy z rękawa” liczbę 1 /∈ X ′ i dajemy 1 s(X1), s(X2) s(X3) itd.

Łatwo pokazać, że dla dwóch różnych zbiorów X ′ otrzymamy dwa różne porządki (wystar-czy zauważyć, że istnieje najmniejsze x takie, że liczby mniejsze od x albo są w obu zbiorach,albo w żadnym, następnie zaś pokazać, że jest ono w relacji lub w obu porządkach zinną liczbą). Ponadto tak określony porządek jest zgodny z ¬.

Zbiór X ′ jest wyznaczony jednoznacznie przez X. A zbiorów X, czyli podzbiorów N \1jest c.

P r z y k ł a d 7.12. W zbiorze NN wprowadzamy relację R wzorem

aRb ⇔ ∀n ∈ N. an ¬ bn.

1. Pokazać, że zbiór 〈NN, R〉 jest częściowo uporządkowany. Znaleźć elementy minimalne,maksymalne, największy i najmniejszy.

2. Czy zbiór ten jest uporządkowany liniowo?

Ad 1. Relacja R jest

• zwrotna; istotnie, dla dowolnego ciągu a liczb naturalnych mamy ∀n ∈ N. an ¬ an,skąd aRa,

• przechodnia; niech a, b, c będą ciągami liczb naturalnych, aRb i bRc, wówczas

∀n ∈ N. an ¬ bn ∧ bn ¬ cn ⇒ ∀n ∈ N. an ¬ cn ⇒ aRc,

• słabo antysymetryczna; niech a, b będą ciągami liczb naturalnych i aRb i bRa, wówczas

∀n ∈ N. an ¬ bn ∧ bn ¬ an ⇒ ∀n ∈ N. an = bn ⇒ a = b,

jest więc relacją częściowego porządku (zauważmy, że w dowodzie kolejnych własności rela-cji R korzystamy z faktu, że relacja ¬ na liczbach naturalnych jest odpowiednio zwrotna,przechodnia i słabo antysymetryczna).

Ad 2. Relacja R nie jest liniowa. Niech bowiem a = 1, 3, 0, . . . i b = 3, 1, 0, . . . Zauważmy,że nie zachodzi ani aRb, ani bRa (gdyż a1 ¬ b1, ale ¬(a2 ¬ b2) — skąd ¬aRb— i ¬(b1 ¬ a1),skąd ¬bRa).

P r z y k ł a d 7.13. W zbiorze NN wprowadzamy relację S wzorem

aSb ⇔ [∃k. (∀n < k. an = bn) ∧ ak < bk] ∨ (a = b).

76 Zbiory uporządkowane

1. Wykazać, że zbiór 〈NN, S〉 jest liniowo uporządkowany.

2. Wykazać , że aRb ⇒ aSb dla wszelkich a, b ∈ N, gdzie R jest relacją z przykładu 7.12.

Ad 1. Relacja R jest

• zwrotna; istotnie, dla dowolnego ciągu a liczb naturalnych mamy a = a, a więc i aSa,

• przechodnia; niech a, b, c będą ciągami liczb naturalnych, aSb i bSc; jeżeli a = b lubb = c, to natychmiast otrzymujemy aSc, w przeciwnym przypadku istnieje k1 takie, że

(∀n < k1. an = bn) ∧ ak1< bk1

,

oraz k2 takie, że(∀n < k2. bn = cn) ∧ bk2

< ck2;

możliwe są trzy przypadki:

1. jeżeli k1 < k2, to

(∀n < k1. an = bn ∧ bn = cn) ∧ ak1< bk1

∧ bk1= ck1

,

skąd(∀n < k1. an = cn) ∧ ak1

< ck2,

a więc aSc.

2. jeżeli k1 = k2, to

(∀n < k1. an = bn ∧ bn = cn) ∧ ak1< bk1

∧ bk1< ck1

,

skąd

(∀n < k1. an = cn) ∧ ak1< ck1

,

a więc aSc.

3. jeżeli zaś w końcu k1 > k2, to

(∀n < k2. an = bn ∧ bn = cn) ∧ ak2= bk2

∧ bk2< ck2

,

skąd(∀n < k2. an = cn) ∧ ak2

< ck2,

a więc również aSc,

• słabo antysymetryczna; niech a, b będą ciągami liczb naturalnych i aRb i bRa i niecha 6= b; wówczas istnieje k1 takie, że

(∀n < k1. an = bn) ∧ ak1< bk1

,

oraz k2 takie, że

(∀n < k2. an = bn) ∧ bk2< ak2

;

jeżeli k1 = k2, to ak1< bk1

i bk1< ak1

, co stanowi sprzeczność; niech więc k1 6= k2i niech k będzie mniejszą z liczb k1, k2, wówczas równocześnie zachodzi ak = bk orazak < bk lub bk < ak, co jest również niemożliwe; otrzyma sprzeczność wynika z założeniaa 6= b, musimy je zatem odrzucić, skąd a = b i aSb.

7.8 Izomorfizm porządkowy 77

• spójna; niech a, b będą ciągami liczb naturalnych; jeżeli a = b, to aSb; niech więc a, bbędą różnymi ciągami liczb naturalnych, a A będzie zbiorem tych indeksów, którychodpowiadające wyrazy ciągów a i b się różnią:

A = n: an 6= bn,zgodnie z zasadą minimum w zbiorze A istnieje element najmniejszy, oznaczmy go k.Z określenia zbioru A wynika, że

∀n < k. an = bn,

jeżeli teraz ak < bk, to aSb, w przeciwnym przypadku bSa.

Ad 2. Niech a, b będą ciągami liczb naturalnych i aRb. Wówczas

∀n ∈ N. an ¬ bn.

Niech A będzie zbiorem tych indeksów, których odpowiadające wyrazy ciągów a i b się różnią:

A = n: an 6= bn,zgodnie z zasadą minimum w zbiorze A istnieje element najmniejszy, oznaczmy go k. Zokreślenia zbioru A wynika, że

∀n < k. an = bn,

ponadto skoro ak ¬ bk i ak 6= bk, to ak < bk, tak więc aSb.

7.8 Izomorfizm porządkowy

Definicja 7.19. Zbiory uporządkowane 〈A,¬A〉 i 〈B,¬B〉 są izomorficzne, jeżeli istniejebijekcja φ:A → B zachowująca porządek, tzn. taka, że φ(x) ¬B φ(y) wtedy i tylko wtedy,gdy x ¬A y dla wszelkich x, y ∈ A.

P r z y k ł a d 7.14. Pokazać, że zbiory Q ∩ (0, 1) i Q uporządkowane zwykłą relacjąporządku są izomorficzne.

Skonstruujemy najpierw odpowiednią bijekcję. Rozpoczniemy od funkcji f(x) = 1x. Prze-

suwając jej wykres na płaszczyźnie rzeczywistej o wektor [0,−1] otrzymamy wykres funkcjif1(x) = 1

x−1. Następnie „ściskamy go”, otrzymując wykres funkcji f2(x) = f1(2x) = 1

2x−1.

Na koniec odbijamy otrzymany wykres symetrycznie względem osi OX otrzymując wykresfunkcji f3(x) = 1 − 1

2x.

Funkcję f4 otrzymujemy z f2 poprzez odbicie jej względem osi OY i translację o wektor[1, 0], zatem f4(x) = f1(−(x− 1)) = 1

2(1−x) − 1.

1/21/2

y=1/2x−1

y= 1−1/2x

y=1/2(1−x)−1

1

78 Zbiory uporządkowane

Niech teraz φ: (0, 1) → R będzie zdefiniowana następująco:

φ(x) =

f3(x) = 1 − 12x, 0 < x ¬ 1

2f4(x) = 1

2(1−x) − 1, 12 < x < 1

Jak łatwo zauważyć, funkcja φ jest różnowartościowa. Po ograniczeniu dziedziny do zbioruliczb wymiernych w przedziale (0, 1) jest „na” zbiór Q (dla y ¬ 0 odpowiednią wartośćargumentu x otrzymujemy rozwiązując równanie y = 1 − 1

2x, co daje x = 1

2(1−y) , natomiast

dla y > 0 wartość x otrzymujemy z równania y = 1−2(x−1) − 1, skąd y = 1

−2(y+1) + 1).

Funkcja φ jest ściśle rosnąca, zatem φ(x) ¬ φ(y) wtedy i tylko wtedy, gdy x ¬ y dlawszelkich wymiernych x, y w przedziale (0, 1). Obserwacja ta kończy dowód.

7.9 Kresy

Twierdzenie 7.20. Podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest zbiorem częściowouporządkowanym.

Definicja 7.21. Niech A ⊆ X będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego 〈X,¬〉. Ele-ment t ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeżeli

∀x ∈ A. x ¬ t.

Element t ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeżeli

∀x ∈ A. t ¬ x.

P r z y k ł a d 7.15. Ograniczeniem górnym podzbioru a, b, c zbioru częściowo uporząd-kowanego przedstawionego na poniższym rysunku

a

b

f

e

d

c

jest każdy z elementów zbioru d, f. Ograniczeniem dolnym podzbioru d, f jest każdyz elementów zbioru a, b, c, e. Elementy d i f są ograniczeniami górnymi podzbioru b, e.Podzbiór ten nie ma ograniczenia dolnego.

P r z y k ł a d 7.16. Rozpatrzmy zbiór liczb naturalnych z relacją podzielności oraz jegopodzbiór A = 6, 18, 24. Każda z liczb 1, 2, 3 jest ograniczeniem dolnym tego zbioru (jakodzielnik każdej z liczb 6, 18, 24). Każda liczba postaci 72k, k = 0, 1, 2, . . . jest ograniczeniemgórnym tego zbioru (gdyż każda z liczb 6, 18, 24 jest dzielnikiem liczby 72k, k = 0, 1, 2, . . .)

Definicja 7.22. Niech 〈X,¬〉 będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i A ⊆ X. Je-żeli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamygo kresem górnym zbioru A i oznaczamy supA lub

∨A.

Analogicznie — jeżeli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element naj-większy, to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A lub

∧A.

7.9 Kresy 79

P r z y k ł a d 7.17. Niech X 6= ∅. Zbiór P(X) wszystkich podzbiorów zbioru X wraz zrelacją zawierania ⊆ stanowi zbiór częściowo uporządkowany. Niech (As)s∈S będzie dowolnąrodziną podzbiorów P(X). Zbiór

⋃

s∈S As jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru(As)s∈S :

sup[(As)s∈S ] =⋃

s∈S

As.

Istotnie, aby zbiór A był ograniczeniem górnym rodziny (As)s∈S , musi zachodzić

∀s ∈ S. As ⊆ A.

Niewątpliwie∀s ∈ S. As ⊆

⋃

s∈S

As.

Pokażemy, że jeżeli A jest ograniczeniem górnym zbioru (As)s∈S , to⋃

s∈S As ⊆ A. W prze-ciwnym przypadku istnieje takie s ∈ S, że As * A. Wówczas jednak A nie jest ograniczeniemgórnym zbioru (As)s∈S (wbrew założeniu).

Skoro więc⋃

s∈S As jest ograniczeniem górnym zbioru (As)s∈S oraz każde ograniczeniegórne zawiera tę sumę, to jest ona najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru, czyli jegokresem górnym.

Podobnie pokazuje się, żeinf[(As)s∈S ] =

⋂

s∈S

As.

Definicja 7.23. Porządek 〈X,¬〉 jest kratą zupełną, jeżeli każdy podzbiór zbioru X makres górny i kres dolny. Porządek 〈X,¬〉 jest kratą, jeżeli każdy skończony podzbiór zbioruX ma kres górny i kres dolny.

Twierdzenie 7.24. Niech 〈X,¬〉 będzie porządkiem. Wtedy następujące warunki sąrównoważne:

1. 〈X,¬〉 jest kratą zupełną.

2. Każdy podzbiór X ma kres górny w 〈X,¬〉.

3. Każdy podzbiór X ma kres dolny w 〈X,¬〉.

Twierdzenie to jest co najmniej zaskakujące. Okazuje się, że wystarczy by każdy pod-zbiór X miał kres górny w 〈X,¬〉, by również każdy podzbiór X miał miał kres dolny wtym samym porządku.

Często wskazuje się rzekomy kontrprzykład na to twierdzenie w postaci zbioru czę-ściowo uporządkowanego, którego diagram przedstawiono poniżej:

a

c

b

Zbiór c nie ma kresu dolnego w tym porządku (gdyż elementy a i b będące ograni-czeniami dolnymi zbioru c są nieporównywalne, ani więc a ¬ b, ani b ¬ a, stąd ani a,ani b nie może być elementem najmniejszym w zbiorze zawierającym podzbiór a,b —zbiór ograniczeń dolnych zbioru c). Wydaje się jednak, że każdy podzbiór tego porząd-ku ma kres górny. Istotnie, supa = a, supb = b, supc = supa, b = supa, c =supb, c = supa, b, c = c. Nie możemy jednak zapominać o zbiorze pustym! Zbiór ∅ niema w przedstawionym porządku kresu górnego (z podobnego powodu, dla którego dlaktórego zbiór c nie ma kresu dolnego).

80 Zbiory uporządkowane

Definicja 7.25. Niech 〈X,¬X〉 oraz 〈Y,¬Y 〉 będą zbiorami częściowo uporządkowanymi.Funkcja f : X → Y jest monotoniczna, jeśli

∀x, y ∈ P. x ¬X y ⇒ f(x) ¬Y f(y).

Definicja 7.26. Funkcja f jest izomorfizmem jeśli jest bijekcją oraz f i f−1 są monoto-niczne.

Twierdzenie 7.27 (Knaster, Tarski). Niech 〈P,¬〉 będzie kratą zupełną i niech f :P → P będzie funkcją monotoniczną. Wtedy istnieje a ∈ P taki, że

1. f(a) = a

2. dla każdego b ∈ P , jeśli f(b) = b, to a ¬ b.

Element a nazywamy najmniejszym punktem stałym funkcji f . Element spełniający tylkowarunek 1 nazywamy punktem stałym.

P r z y k ł a d 7.18. Niech A 6= ∅ i niech f :A → A. Wykazać, że dla dowolnego a ∈ Aistnieje najmniejszy zbiór X ⊆ A taki, że a ∈ X oraz f−1(X) ⊆ X.

Możemy sobie wyobrazić zbiór A w postaci grafu skierowanego o wierzchołkach A, wktórym krawędź 〈x, y〉 między wierzchołkami x, y ∈ A występuje wtedy i tylko wtedy, gdyf(x) = y. Z zadanie wynika, że funkcja odwrotna do f istnieje, zatem f jest bijekcją i dokażdego wierzchołka grafu wchodzi dokładnie jedna krawędź.

Przyjrzyjmy się warunkowi f−1(X) ⊆ X:

f−1(X) ⊆ X ⇔ ∀x ∈ A. x ∈ f−1(X) ⇒ x ∈ X

⇔ ∀x ∈ A. (∃x1 ∈ X. f−1(x1) = x) ⇒ x ∈ X

⇔ ∀x ∈ A. (∃x1 ∈ X. f(x) = x1) ⇒ x ∈ X

⇔ ∀x ∈ A. f(x) ∈ X ⇒ x ∈ X

Wobec powyższego, jeżeli X spełnia warunek f−1(X) ⊆ X i y jest wierzchołkiem z tegozbioru, to w zbiorze X musi istnieć wierzchołek x, z którego wychodzi krawędź do y.

Konstrukcję najmniejszego zbioruX spełniającego warunku zadania rozpoczynamy umiesz-czając w nim wierzchołek a. Następnie do zbioru X dokładamy element, który wskazuje na a(być może samo a). Postępowanie to kontynuujemy do chwili, w której nie będzie już żadnegoelementu do dodania (ten bowiem, który chcielibyśmy dodać, już znajduje się w X). W tejsytuacji utworzony podgraf stanowić będzie cykl.

Formalnie: niech g: 2A → 2A będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

g(B) = x: f(x) ∈ (B ∪ a)

Funkcja g jest monotoniczna, bowiem dla B1, B2 ⊆ A mamy g(B1) ⊆ g(B2). Ponadto zbiór2A jest kratą zupełną. Z twierdzenia o punkcie stałym wynika, że istnieje najmniejszy (wsensie relacji inkluzji) punkt stały funkcji g. Z rozważań wyżej wynika, że jest to zbiór mającyżądane własności.

Definicja 7.28. Niech 〈P,¬〉 będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Wtedy zbiórX 6= ∅ jest zbiorem skierowanym, jeśli

∀x, y ∈ X ∃z ∈ X. (x ¬ z ∧ y ¬ z).

Zbiór 〈P,¬P 〉 jest porządkiem zupełnym, jeśli P ma element najmniejszy oraz każdyskierowany podzbiór X zbioru P ma kres górny.

7.10 Dobry porządek 81

P r z y k ł a d 7.19. Pokazać, że relacja inkluzji na rodzinie skończonych podzbiorów zbioruliczb naturalnych (który oznaczymy tu przez N ) nie jest porządkiem zupełnym.

W zbiorze N istnieje element najmniejszy, mianowicie zbiór pusty. Trzeba zatem pokazać,że nie każdy skierowany podzbiór rodziny N ma w N kres górny.

Jako przykład takiego podzbioru podamy sam zbiór N , jest on bowiem zbiorem skierowa-nym. Istotnie, jeżeli A,B ∈ N , to również suma A∪B ∈ N (gdyż jest zbiorem skończonym) izarówno A ⊆ A∪B, jak i B ⊆ A∪B. Ograniczeniem górnym rodziny N nie może być jednakzbiór skończony, gdyż zawiera ona w szczególności zbiory 1, 2, 3, . . ., więc ograniczenieto musiałoby zawierać każdą liczbę naturalną, a więc być zbiorem nieskończonym.

Definicja 7.29. Niech 〈P,¬P 〉 oraz 〈Q,¬Q〉 będą porządkami zupełnymi. Funkcja f : P →Q jest ciągła, jeśli zachowuje kresy górne, to znaczy, gdy dla dowolnego zbioru skierowa-nego X ⊆ P , ~f(X) ma kres górny oraz f(supX) = sup f(X).

Twierdzenie 7.30. Każda funkcja ciągła jest monotoniczna.

Twierdzenie 7.31. Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciąglą.

Definicja 7.32. Niech 〈P,¬P 〉 będzie porządkiem. Wtedy ⊥ oznacza najmniejszy a >największy element P (jeśli istnieją).

Twierdzenie 7.33. Niech 〈P,¬P 〉 będzie porządkiem zupełnym oraz niech f : P →P będzie funkcją ciągłą. Wtedy element a = supfn(⊥) : n ∈ N jest najmniejszympunktem stałym funkcji f .

7.10 Dobry porządek

Definicja 7.34. Porządek częściowy 〈P,¬〉 jest regularny , jeżeli nie istnieje nieskończonyciąg a0, a1, a2, . . . taki, że ∀i ∈ N: ai+1 < ai. Mówimy, że porządek jest dobry , jeżeli jestliniowy i regularny.

Porządek 〈P,¬〉 jest zatem dobry, jeśli dla każdego niepustego podzbioru A zbioru Pw zbiorze liniowo uporządkowanym 〈A,¬A〉 istnieje element najmniejszy.

P r z y k ł a d 7.20. Zbiór N z relacją niewiększości jest dobrze uporządkowany. Każdypodzbiór N jest bowiem liniowo uporządkowany oraz istnieje w nim element najmniejszy.

Twierdzenie 7.35. Każdy zbiór skończony liniowo uporządkowany jest dobrze uporząd-kowany.

Twierdzenie 7.36. Podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego jest zbiorem dobrze upo-rządkowanym.

Dowód: niech 〈P,¬〉 będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Jeżeli A ⊆ P , to namocy tw. 7.15 ze strony 73, zbiór 〈A,¬A〉 — jako podzbiór zbioru liniowo uporządkowa-nego — jest liniowo uporządkowany. Ponadto z definicji zbioru dobrze uporządkowanegowynika, że istnieje w nim element najmniejszy.

Definicja 7.37. Element y nazywamy następnikiem elementu x w zbiorze częściowo upo-rządkowanym 〈X,¬〉, jeżeli

x ¬ y ∧ ∀t ∈ X. (x ¬ t ∧ t ¬ y) ⇒ (x = t ∨ t = y).

82 Zbiory uporządkowane

Mówiąc nieściśle element y jest następnikiem x, jeżeli pomiędzy nimi nie znajduje siężaden element zbioru X.

Twierdzenie 7.38. W zbiorze dobrze uporządkowanym każdy element (poza co najwy-żej elementem największym) ma następnik.

Dowód: niech 〈P,¬〉 będzie zbiorem dobrze uporządkowanym oraz niech x ∈ X. Jeżeli xnie jest elementem największym, to zbiór

A = y ∈ X:x 6= y ∧ x ¬ y

jest niepusty. Zbiór 〈A,¬A〉 jest, na mocy tw. 7.36, dobrze uporządkowany, zatem istniejew nim element najmniejszy y. Ten właśnie element y jest następnikiem x. Istotnie, x ¬ yoraz gdyby istniał element t taki, że x < t < y, to wówczas t nie byłby elementemnajmniejszym w A.

Zauważmy, że pomimo faktu, że każdy element w zbiorze dobrze uporządkowanymma następnik, to nie każdy element musi być następnikiem. W szczególności element naj-mniejszy nie jest następnikiem żadnego elementu. Istnieją zbiory dobrze uporządkowane,w których istnieją elementy różne od najmniejszego, nie będące następnikami.

P r z y k ł a d 7.21. Jako przykład takiego zbioru podaje się często zbiór liczb postaci 1− 1n

,gdzie n = 1, 2, . . . powiększony o zbiór jednoelementowy 1.

Jest on dobrze uporządkowany przez relację niewiększości ¬. Liczba 1 nie jest elementemnajmniejszym tego zbioru, nie jest też następnikiem żadnego elementu x w tym zbiorze (dlax = 1 − 1

mjest nim liczba 1 − 1

m+1 ).

P r z y k ł a d 7.22. W zbiorze F = NN wprowadzamy relację ¬ kładąc

f ¬ g ⇔ ∀n ∈ N. f(n) ¬ g(n).

Pokażemy, że porządek częściowy 〈F ,¬〉:

1. nie jest kratą,

2. nie jest kratą zupełną,

3. nie jest porządkiem zupełnym,

4. nie jest porządkiem regularnym.

Ad 1, 2. Zbiór pusty ma kres dolny w 〈F ,¬〉, gdy F ma element największy (ponieważ każdyelement zbioru F jest ograniczeniem dolnym zbioru pustego). Jest jednak oczywiste, że w Fnie ma elementu największego (gdyby była nim funkcja f , to f ¬ f ′, gdzie f ′ jest funkcjąrówną f , za wyjątkiem f ′(0) = f(0) + 1).

Tym samym zbiór 〈F ,¬〉 nie jest kratą i — co za tym idzie — kratą zupełną.Ad 3. Niech A = fi: i ∈ N ⊆ F , gdzie

fi(n) =

i dla n = 00 dla n 6= 0

Zbiór A jest skierowany. Istotnie, niech fi, fj ∈ A. Możemy założyć bez zmniejszenia ogólno-ści, że i ¬ j. Oczywiste jest, że fi ¬ fj i fj ¬ fj. Stąd teza. Wynika ona także z faktu, żezbiór A jest łańcuchem.

Zbiór ograniczeń górnych zbioru A jest pusty (bowiem dla każdej funkcji g istnieje wzbiorze A funkcja f taka, że nie jest prawdą, że f ¬ g). Zbiór A nie ma zatem kresu górnego,tak więc nie jest zupełny.

7.11 Słowa 83

Ad 4. Zbiór F jest nie jest regularny. Istnieje bowiem ciąg f0, f1, f2, . . . taki, że ∀i ∈ N: fi+1 <fi. Istotnie, niech f0(n) = 1 dla każdego n ∈ N oraz niech i > 0

fi(n) =

0 dla n < i1 dla n ­ i

Mamyfi+1(n) = fi(n) = 0 dla n < ifi+1(i) = 0 i fi(i) = 1fi+1(n) = fi(n) = 1 dla n > i

f

0

fi

1

i+1

0 i1

i+1

i

i+1

Zatem dla każdego n zachodzi fi+1(n) ¬ fi(n), skąd fi+1 ¬ fi. Jest jasne, że fi+1 6= fi,tak więc dla każdego i mamy fi+1 < fi. Funkcji fi jest tyle co liczb naturalnych, a więcnieskończenie wiele. Zbiór F nie jest zatem regularny.

7.11 Słowa

Definicja 7.39. Niech Σ będzie dowolnym zbiorem. Będziemy nazywać go alfabetem.Słowem nad alfabetem Σ będziemy nazywać dowolny skończony ciąg elementów zbioru Σ.Słowo puste (długości zero) oznaczamy symbolem ε. Przez Σ∗ oznaczamy zbiór wszystkichsłów nad alfabetem Σ.

P r z y k ł a d 7.23. Słowami nad alfabetem Σ = 0, 1 są np. słowa ε, 00, 011, 010101.Symbolicznie

ε ∈ 0, 1∗, 00 ∈ 0, 1∗

itd.

Definicja 7.40. Konkatenacją (złożeniem) słów u, w nazywamy słowo uw, tzn. jeśliu = u1u2 . . . un i v = v1v2 . . . vm, to uw = u1u2 . . . unv1v2 . . . vm.

P r z y k ł a d 7.24. Konkatenacją słów ε i 0101 jest słowo 0101. Konkatenacją 011 i 010101jest słowo 011010101.

Definicja 7.41. Słowo u jest przedrostkiem (prefiksem) słowa w, jeżeli istnieje słowo vtakie, że uv = w. Słowo u jest przyrostkiem (sufiksem) słowa w, jeżeli istnieje słowo vtakie, że vu = w.

P r z y k ł a d 7.25. Sufiksem słowa pustego jest słowo puste. Wynika to z faktu, że εε = ε.Słowo puste jest prefiksem i sufiksem każdego słowa, gdyż uε = u i εu = u. Prefiksami słowa011 są słowa ε, 0, 01, 011.

84 Zbiory uporządkowane

Twierdzenie 7.42. Niech Σ będzie dowolnym alfabetem i niech u ¬ w oznacza, że ujest przedrostkiem w. Wtedy 〈Σ,¬〉 jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

Istotnie, tak określona relacja ¬ jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia.Dla dowodu zwrotności zauważmy, że dla każdego u ∈ Σ∗ zachodzi uε = u, skąd słowo

u jest prefiksem samego siebie i u ¬ u.Niech u,w ∈ Σ∗, u ¬ w i w ¬ u. Z definicji ¬ mamy w = uv1 i u = wv2 i dalej

w = uv1 = wv2v1, skąd v1 = ε, v2 = ε i ostatecznie w = uv1 = uε = u. Relacja ¬ jestzatem słabo antysymetryczna.

Niech teraz u,w, x ∈ Σ∗, u ¬ w i w ¬ x. Z definicji ¬ mamy w = uv1 i x = wv2, skądx = wv2 = uv1v2, co oznacza, że u jest przedrostkiem x i u ¬ x. Relacja ¬ jest zatemprzechodnia.

Definicja 7.43. Niech L będzie językiem nad alfabetem Σ. Mówimy, że słowa u, v ∈0, 1∗ są równoważne względem języka L i piszemy u ∼L v wtedy i tylko wtedy, gdy

∀x ∈ Σ∗. ux ∈ L ⇔ vx ∈ L.

Jeżeli w danym kontekście język jest ustalony, zamiast ∼L będziemy pisać ∼.

P r z y k ł a d 7.26. Niech L oznacza język tych słów nad alfabetem 0,1, które mają tylesamo jedynek co zer i niech dla dowolnego słowa u z 0, 1∗ j(u) oznacza liczbę jedynek, zaśz(u) liczbę zer w tym słowie. Formalnie, dla u ∈ 0, 1∗:

j(ε) = 0

j(u0) = j(u)

j(u1) = 1 + j(u)

Łatwo pokazać przez indukcję, że dla dowolnych u, v ∈ 0, 1∗ zachodzi

j(uv) = j(u) + j(v).

Zdefiniujemy z(u), dla dowolnego u ∈ 0, 1∗, jako |u| − j(u), gdzie |u| oznacza długośćsłowa u (formalnie |ε| = 0 i |u0| = |u1| = |u| + 1, skąd przez indukcje |uv| = |u| + |v|).Łatwo zauważyć i wykazać, że

z(uv) = z(u) + z(v).

dla dowolnych u, v ∈ 0, 1∗. Możemy teraz zdefiniować L następująco

L = u ∈ 0, 1∗: j(u) = z(u).

Rozważmy słowa u = 100 i v = 10010. Zauważmy, że u, v /∈ L. Mimo to u ∼L v. Dladowodu weźmy dowolne słowo x ∈ 0, 1∗:

ux ∈ L ⇔ j(ux) = z(ux) ⇔⇔ j(u) + j(x) = z(u) + z(x) ⇔⇔ j(v) − 1 + j(x) = z(v) − 1 + z(x) ⇔⇔ j(v) + j(x) = z(v) + z(x) ⇔⇔ j(vx) = z(vx) ⇔⇔ vx ∈ L,

co należało pokazać. Można łatwo zauważyć, że dowolne dwa słowa, dla których rożnicamiędzy liczbą jedynek i zer w tych słowach jest równa, tj. takie słowa u, v ∈ 0, 1∗, że

j(u) − z(u) = j(v) − z(v),

7.11 Słowa 85

są równoważne w tym języku i żadne inne słowa nie są względem tego języka równoważne.Niech bowiem u, v ∈ 0, 1∗ i u ∼ v. Wówczas dla każdego x ∈ 0, 1∗ mamy

ux ∈ L ⇔ vx ∈ L,

co zachodzi, gdyj(ux) = z(ux) ⇔ j(vx) = z(vx),

skądj(u) + j(x) = z(u) + z(x) ⇔ j(v) + z(x) = z(v) + z(x)

i dalejj(x) − z(x) = z(u) − j(u) ⇔ j(x) − z(x) = z(v) − j(v),

z czego wnosimy (zauważając, że lewe strony równości są sobie równe)

z(u) − j(u) = z(v) − j(v)

i ostateczniej(u) − z(u) = j(v) − z(v),

co należało pokazać.

P r z y k ł a d 7.27. Pokazać, że jeśli dla pewnych słów w ∈ L i v ∈ 0, 1∗ zachodziwv ∈ [w]∼, to wvn ∈ L dla każdego n ∈ N.

Niech w ∈ L, v ∈ 0, 1∗. Jeżeli wv ∈ [w]∼, to wv ∼ w i

∀x ∈ 0, 1∗. wvx ∈ L ⇔ wx ∈ L. (1)

Dla n = 0 mamy vn = v0 = ε i wvn = w ∈ L. Niech więc wvn ∈ L. Pokażemy, żerównież wvn+1 ∈ L. Przyjmując x = vn i korzystając z (1) otrzymujemy

wvvn = wvn+1 ∈ L ⇔ wvn ∈ L.

i (na mocy założenia indukcyjnego)wvn+1 ∈ L.

P r z y k ł a d 7.28. Dla języka L nad alfabetem 0, 1∗ określamy funkcję f : Q(L)×Q(L) →Q(L), gdzie Q(L) jest rodziną klas abstrakcji relacji ∼L względem języka L, wzorem:

f([u]∼L, [w]∼L

) = [uw]∼L.

Pokazać, że definicja ta jest niepoprawna.Definicja ta jest niepoprawna, gdyż wartość funkcji f zależy od reprezentanta klasy

abstrakcji. Aby to wykazać wskażemy język L i słowa u, u1, w,w1, że u, u1 oraz w, w1

są w tych samych klasach abstrakcji, tj. u ∼L u1 i w ∼L w1 oraz f([u]∼L, [w]∼L

) 6=f([u1]∼L

, [w1]∼L) ⇔ [uw]∼L

6= [u1w1]∼L.

Niech zatem L = 0001, 1001 oraz u = 00, u1 = 10, w = 10, w1 = 11. Zachodziu ∼L u1, gdyż dla x = 01 mamy ux = 0001 ∈ L, u1x = 1001 ∈ L, dla pozostałych zaśx jest ux /∈ L, u1x /∈ L. Zachodzi również w ∼L w1, gdyż dla każdego x ∈ 0, 1∗ mamywx /∈ L, w1x /∈ L.

Pokażemy teraz, że [uw]∼L6= [u1w1]∼L

⇔ [0001]∼L6= [1011]∼L

. Rozpatrzmy słowo0001. Relacja ∼L jest zwrotna, zatem 0001 ∈ [0001]∼L

, ale 0001 /∈ [1011]∼L. W przeciwnym

przypadku, wobec 1011 ∈ [1011]∼L, mamy 0001 ∼L 1011. Nie jest to jednak prawdą, gdyż

dla x = ε mamy 0001x = 0001 ∈ L i 1011x = 1011 /∈ L.

86 Zbiory uporządkowane

P r z y k ł a d 7.29. Dla języka L nad alfabetem 0, 1∗ określamy funkcję g: Q(L)×0, 1 →Q(L), gdzie Q(L) jest rodziną klas abstrakcji relacji ∼L względem języka L, wzorem:

g([u]∼L, a) = [ua]∼L

.

Niech, dla w ∈ 0, 1∗ i a ∈ 0, 1,

g∗(ε) = g([ε]∼L, ε)

g∗(wa) = g(g∗(w), a).

Pokazać, że słowo w ∈ 0, 1∗ należy do języka L wtedy i tylko wtedy, gdy g∗(w) ⊆ L.Wykażemy najpierw, że dla każdego słowa w ∈ 0, 1∗ zachodzi

g∗(w) = [w]∼L. (2)

Istotnie, dla w = ε mamy g∗(w) = g∗(ε) = g([ε]∼L, ε) = [ε]∼L

. Załóżmy, że dla każdegosłowa w o długości niewiększej niż n zachodzi (2). Pokażemy, że g∗(wa) = [wa]∼L

. Z de-finicji g∗(wa) = g(g∗(w), a). Korzystając z założenia indukcyjnego i definicji g dostajemyg(g∗(w), a) = g([w]∼L

), a) = [wa]∼L.

Wystarczy zatem pokazać, że że dla każdego w ∈ 0, 1∗:

w ∈ L ⇔ [w]∼L⊆ L

Zauważmy najpierw, że

[w]∼L⊆ L ⇔ a: a ∼L w ⊆ L

⇔ a: ∀x. ax ∈ L ⇔ wx ∈ L ⊆ L

⇔ ∀a. [(∀x. ax ∈ L ⇔ wx ∈ L) ⇒ a ∈ L]

Trzeba zatem udowodnić, że

w ∈ L ⇔ ∀a. [(∀x. ax ∈ L ⇔ wx ∈ L) ⇒ a ∈ L] (3)

1. Załóżmy, że w ∈ L i prawa strona równoważności (3) jest fałszywa. Wówczas istniejetakie a, że

∀x. ax ∈ L ⇔ wx ∈ L

i a /∈ L. Niech x = ε. Wówczas ax ∈ L ⇔ wx ∈ L jest równoważne a ∈ L ⇔ w ∈ L.Skoro a /∈ L, to i w /∈ L, co jest sprzeczne z założeniem. Tak więc prawa stronarównoważności (3) jest prawdziwa.

2. Załóżmy, że w /∈ L i prawa strona równoważności (3) jest prawdziwa. Niech a = w.Wówczas

[(∀x. wx ∈ L ⇔ wx ∈ L) ⇒ w ∈ L],

skąd wnosimy, w sprzeczności z założeniem, że w ∈ L. Tak więc prawa strona równo-ważności (3) jest fałszywa.

Obserwacja ta kończy dowód.

Alfabet grecki

α A alfaβ B betaγ Γ gammaδ ∆ deltaε, ε E epsilonζ Z zetaη H etaθ, ϑ Θ thetaι I jotaκ K kappaλ Λ lambdaµ M miν N niξ Ξ ksio O omikron

π, $ Π piρ, % P roσ, ς Σ sigmaτ T tauυ Υ ypsilonφ, ϕ Φ fiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega

Wykaz symboli

Rachunek zdań

Symbol Znaczenie Strona¬ negacja (nie) 7∧ koniunkcja (i) 8∨ alternatywa (lub) 8⇒ implikacja (jeżeli) 8⇔ równoważność (wtedy i tylko wtedy) 8⊥ sprzeczność 8p

qreguła wnioskowania 14

Rachunek predykatów

Symbol Znaczenie Strona∃ kwantyfikator szczegółowy (istnieje) 20∀ kwantyfikator ogólny (dla każdego) 20FV zbiór zmiennych wolnych formuły 22BV zbiór zmiennych związanych formuły 22

Teoria zbiorów

Symbol Znaczenie Strona∅ zbiór pusty 31∪ suma zbiorów 29∩ iloczyn zbiorów 30\ różnica zbiorów 30⊆ zawieranie zbiorów 30X ′ dopełnienie zbioru X 32

P(X), 2X zbiór potęgowy zbioru X 36⋃

s∈S As suma uogólniona zbiorów 33⋂

s∈S As iloczyn uogólniony zbiorów 34

Relacje

Symbol Znaczenie Strona〈x, y〉 para uporządkowana 39

× iloczyn kartezjański 39Dom dziedzina relacji 40Dom∗ przeciwdziedzina relacji 40IX funkcja identycznościowa na zbiorze X 46Y X zbiór wszystkich fukcji ze zbioru X w Y 43R−1 relacja odwrotna do R 41

złożenie (superpozycja) funkcji 44∼ relacja równoważności 48

[x]∼ klasa abstrakcji elementu x w relacji ∼ 48

Teoria mocy

Symbol Znaczenie Strona∼ równoliczność zbiorów 53

|X| moc zbioru X 54n zbiór 0, 1, 2, . . . , n− 1 56ℵ0 moc zbioru N 57c continuum (np. moc zbioru R) 61

Porządki

Symbol Znaczenie Strona¬ porządek częściowy 65

¬A relacja zredukowana do A 73sup,

∨kres górny 78

inf,∧

kres dolny 78ε słowo puste 83

Σ∗ zbiór wszystkich słów nad alfabetem Σ 83

Spis literatury

[1] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnictwo Na-ukowe, Warszawa 1977.

[2] K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 1966.

[3] W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadanich, PaństwoweWydawnictwo Naukowe, Warszawa 1999.

[4] L. Pacholski, Logika dla informatyków. Notatki z wykładów,www.ii.uni.wroc.pl/∼pacholsk.

[5] H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 1979.

[6] K. A. Ross, C. Wright, Matematyka dyskretna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,Warszawa 2000.