Podvorbeni sustav je sustav koji se sastoji od: korisnika ,repa, posluzitelja i zbirke pothvata povezanih sa omogućavanjem posluzivanja dolazećeg korisnika . Bitna značajka ps je čekanje.Podvorba i čekanje su važni problemi koji nas sve pogađaju bilo posredno ili neposredno, a mogu se rijesiti ili ublaziti.Područje primjene podvorbenih sustava :- telekomunikacijski sustavi

-telekomunikacijski ili informacijski promet (analogna i digitalna mreza)- oblikovanje računalnih sustava

-Kapaciteti računalne opreme-Određivanje kapaciteta spremnika-Rad mreže računala

- transport fizičkih dobara (cestovni, zeljeznički, zračni, pomorski promet)- primjena u industriji (odrzavanje sustava, baratanje zalihama.)- biološke znanosti (širenje epidemija, razvoj populacija živih bića)- repovi za očiglednu podvorbu-spremnici, bazeni, akumulacijska jezera (organizacija pražnjenja sabirnih jezera, pročišćavanje otpadnih voda)Slučajni proces1939. god Feller detalno opisao slučajni proces rađanja i umiranja, koji je postao temelj za kasnije modele.Slučajni proces (Sp) je pojava koja se od trenutka do trenutka ponaša barem donekle nepredvidivo.Glavne značajke SPa) prostor ili skup stanja, Sb) prostor ili skup parametara, Tc) međuovisnosti slučajnih varijabli Xt

Tablica: podjela Markovljevih procesa

Diskretni skup parametara T Kontinuirani skup parametra T

Diskretni skup stanja S Markovljev lanac s diskretnim skupom parametara (MLDV) Markovljev lanac s kontinuiranim skupom parametara (MLKV)

Kontinuirani skup stanja S Markovljev lanac s diskretnim skupom parametra Markovljev lanac s kontinuiranim skupom parametra

Brojidbena funkcija N(t). (t>0) predstavlja broj događaja koji su se zbili nakon trenutka t=0 , ali ne kasnije od trenutka t , tj. u vremenskom odsječku t=(0,t].Brojidbeni proces {N(t),(t>0)} se naziva Poissonovim slučajnim procesom s brzinom odvijanja λ ako su točne ove 4 tvrdnje:-proces ima neovisne priraste (ako su događaji u nepreklapajućim vremenskim razdobljima međusobno neovisni)-proces ima stacionarne priraste-vjerojatnost pojave jednog događaja u malom vremenskom razdoblju-vjerojatnost pojave više od jednog događaja u malom vremenskom odsječku

Poučak 1.: Neka je ,tN 0t Poissonov proces s brzinom odvijanja . Tada je «SV Y», (broj događanja u bilo kojem razdoblju duljine 0 ), ima Poissonovu razdiobu s parametrom

:

e

!kkYP

k

, k 0, 1, 2, 3,4… To znači da je prosječan broj događanja unutar bilo kojeg razdoblja duljine jednak .;

Poučak 2 .: Neka je ,tN 0t Poissonov proces s brzinom odvijanja i neka su ...ttt0 321 susljedni trenutci u kojima se pojavljuju događaji. ,0t11 ,tt 122 …,

.tt 1kkk Ovaj poučak izriče ovo: međudolazna vremena n su međusobno neovisne identično raspodijeljene slučajne varijable s prosječnom vrijednosti 1 .;

1

Slučajni proces rađanja i umiranjaSlučajni proces je pojava koja se od trenutka do trenutka ponaša barem donekle nepredvidljivo. Slučajni proces s kontinuranim parametrima (vrijeme) i diskretnim stanjima (brojem korisnika) opisuje stanje PS. Slučajni proces Rađanja i umiranja ima kontinurani parametar i diskretna stanja te ne-negativne brzine rađanja (dolazak n; n = 0,1,2….)i ne negativne brzine umiranja ( n; n= 0,1,2….) koje zadovoljavaju određene postupke.Slučajni proces {X(t); t≥0} je proces rađanja i umiranja (RIU)sa skupom stanja S i

vjerojatnosti prijelaza

Korisnik, dolazno pučanstvo, ulazni procesKorisnik je osoba ili stvar koja zahtijeva podvorbu.Ulazni proces je vjerojatnosni zakon vremenskog redosljeda dolaska korisnika pred PS. Kada je korisničko pučanstvo beskonačno veliko, potrebno je odrediti razdiobu međudolaznih vremena (razdoblja između dolazaka dvaju susjednih korisnika). Međudolazna vremena mogu biti slučajne ili neslučajne veličine. Ako su slučajne razdioba može biti diskretna ili kontinuirana, a može se i mjenjati u vremenu.Poslužiteljsko mjesto je dio podvorbenog sustava gdje se nalaze poslužitelji koji obavljaju podvorbu.Poslužitelj može biti osoba (npr. Blagajnica) ili stvar (npr. Telekomunikacijski organ ili kanal).Za poslužiteljsko mjesto je važno utvrditi broj poslužitelja i način rada.Organizacija rada poslužitelja je raznovrsna:-broj poslužitelja može biti od 1 do beskonačno-broj poslužitelja je promjenjiv ili se može mijenjati-poslužitelji su poredani paralelno tj. isti su rade istovrsne poslove istodobno.-poslužitelji su poredani serijski tj. isti su i rade različite poslove istodobno.-svi korisnici ne moraju imati istu razdiobu posluživanja.Proces posluživanja je vjerojatnosni zakon vremenskog redoslijeda posluživanja korisnika. Trajanje posluzivanja je vremenski odsječak tijekom kojeg korisnik boravi kod poslužitelja. Proces posluživanja može imati razne oblike:-konstantno vrijeme posluživanja (neslučajna veličina)-vrijeme posluživanja ovisi o korisniku ili vrsti korisnika-korisnici se poslužuju u grupama (skupna podvorba) npr. Prolaz auta na semaforu.-vrijeme posluživanja ovisi o ovisi o dobi dana, tjedna i slično.-pristupom korisnika poslužitelju upravlja se pomoću brane ili vrata.

Rep, podvorbena stegaREP je grupa ili skup korisnika koji čekaju na podvorbu. Rep ne mora biti uobičajeni uočljivi poredak, a ne mora biti vidljiv. To je skup korisnika koji postavljaju podvorbene zahtjeve ili donose poslove ili teret, ali još nisu obavili posluživanje. Podvorbeni zahtjev se može očitovati na razne načine: fizičkim dolaskom u rep, telefonskim pozivom i sl. Najvažnija značajka repa je podvorbena stega.Podvorbena stega je način na koji korisnici ulaze u rep, kako se ponašaju u repu i kako odlaze iz repa poslužitelju.Podvorbena stega sastoji se od 3 dijela:a) pravilo ulaska u rep: određuje način na koji korisnik ulazi u rep.Najvažnije varijante ovog pravila su:-sustav sa gubitcima: ne postoji ili je ograničena mogućnost stvaranja repa, tako da razlikujemo temeljni sustav s gubicima (TSG) i opći sustav s gubicima (OSG) -sustav sa čekanjem : čekanje i veličina repa bez ograničenja-odstupanje od ulaska u rep: korisnici odbijaju ući u rep zbog njegove duljine-korisnik dolazi pred rep: ne ulazi u njega, odlazi i nakon nekog vremena se vraća.b) pravilo boravka u repuVarijante boravka u repu:

2

-odustajanje od čekanja (korisnik ulazi u rep, čeka određeno vrijeme pa ako nije poslužen odlazi)-korisnici formiraju zajednički rep iz kojeg odlaze poslužiteljima ili pred svakim poslužiteljem stvaraju zasebni rep.-ako ima više repova korisnici mogu prelaziti iz jednog u drugi-konačna čekaonica - rep je ograničen konačnim brojem korisnika koji čekaju-ograničeno vrijeme čekanja - rep je ograničen s obzirom na duljinu čekanjac) pravilo izlaska iz repa govori o načinu na koji korisnici izlaze iz repa i započinju posluživanje kod poslužitelja .Ovdje postoje sljedeće mogućnosti :-korisnici odlaze poslužitelju pojedinačno ili skupno (skupno posluživanje).-ako je posluživanje skupno , broj korisnika u skupu može biti slučajan i neslučajan a može ovisiti o broju korisnika podvorbenog sustava.-poredak izlaženja iz repa može biti :1.prvi došao-prvi poslužen (FCFS)2.zadnji došao-prvi poslužen (LCFS)3.posluživanje po slučajnom odabiru (SRO) – slučajni izbor između onih koji čekaju ili: Posluživanje prema slučajnom rasporedu4.najprije se poslužuje korisnik koji donosi najmanje posla (SPT)5.korisnici su svrstani u prednosne razine (PRI). Najveću razinu imaju korisnici iz prve razine. Temeljna pojava ili pojam kod prednosnog posluživanja je prekid posluživanja korisnika iz niže prednosne razine. Prednosno posluživanje s odgodivim prekidima: korisnik iz više prednosne razine pri ulasku u rep odmah staje na njegovo čelo i čeka završetak posluživanja korisnika koji se u tom trenutku nalazi kod poslužitelja, a zatim odmah odlazi poslužitelju. Prednosno posluživanje s neodgodivim prekidima: korisnik iz više prednosne razine pri dolasku u rep dolazi odmah na čelo repa, trenutačno prekida posluživanje korisnika iz niže prednosne razine koji se u tom trenutku nalazi kod poslužitelja i ulazi poslužitelju.6.zajednička oznaka za sve vrste poredaka izlaženja iz repa (GD)7.svaki korisnik zadržava poslužitelja neko vrijeme, ako je obavio posaoodlazi a ako nije ponovo čeka (RR)

Kendalove oznakeSkraćeni način opisivanja obilježja podvorbenog sustava prvi je predložio Kendall.On ima ovakav oblik: A ; B ; C ; Kq ; Ki ; P.SA - oznaka za razdiobu međudolaznih vremena. Vrste razdioba:-eksponencijalna M, erlangova k-tog reda Ek, konstantna D, opća tj. bilo koja G, hipereksponencijalna Hk, Bernulijeva, eksponencijalna sa grupnim dolaskomB - oznaka za razdiobu trajanja posluľivanja. Vrste razdioba istu su kao za međudolazna vremena.C - broj poslužiteljac- broj istovrsnih paralelnih poslužiteljac(k) - serijski spojeni poslužitelji u k koraka ili stadijaKq - kapacitet sustava (tj. najveći dozvoljeni broj korisnika podvorbenog sustava)Ki - kapacitet izvora (tj. najveći dozvoljeni broj korisnika u izvoru)P.S - podvorbena stega. Oznake su:OU- odustajanje od ulaska u repOČ- odustajanje od čekanjaT- čekanje ograničeno na T vremenskih jedinica

Primjena podvorbenih sustava na stvarne podvorbene situacijeIdentificirati podvorbeni sustav u promatranoj situaciji znači prepoznati korisnike, poslužitelje, rep i poslužiteljsko mjesto.Identificirani podvorbeni sustav nazivamo podvorbeni model promatrane stvarne situacije. Postupak pronalaženja modela nazivamo modeliranjem.

Redoslijed rješavanja zadaća pomoću podvorbenih modela:

3

1.identifikacija podvorbenog sustava2.formuliranje zadaće: (ulazne veličine)-kratki opis modela, Kendalove oznake.3.rješavanje zadaće (izlazne veličine) - traženje istog podvorbenog modela i prepisivanje ili postavljanje jednadžbi i njihova analiza i simulacija.4.Provjera modela: uspoređivanje izlaznih veličina modela sa stvarnim podvorbenim situacijama koristeći statističku analizu.

Ulazne veličineUlazni proces-dolazak korisnika grupno ili pojedinačnoProces posluživanja-organizacija posluživanja ovisi o broju poslužitelja i načinu njihovog rada. B(t)=P[τs<=t];t>0;b(t)=dB(t)/dtIzlazne veličine nazivamo mjerilima izvedbe jer opisuju izvedbu podvorbenog sustava: [kvaliteta=izvedba+trajnost+ekonomičnost], [izvedba=djelotvornost ostvarivanja namijenjene svrhe]Najčešće izlazne veličine:-funkcija razdiobe vremena čekanja: W(t)=P[τw<=t]-funkcija razdiobe vremena boravka u sustavu: Q(t)=P[τq<=t] -prosječno vrijeme čekanja Tw=E{τw}-funkcija gustoće vjerojatnosti broja korisnika u repu: Wi=P[nw=i-funkcija gustoće vjerojatnosti broja korisnika u sustavu: Qi=P[nq=i]-prosječna vrijednost broja korisnika u poslužiteljskom mjestu: Ls=E{ns}-vjerojatnost da dolazeći korisnik mora čekati, koja je jednaka vjerojatnosti da su u trenutku njegovog dolaska pred PS svi poslužitelji zaposleni: P[nw>0]. Ako se radi o PS s c paralelnih poslužitelja, vjerojatnost je: P[nq>=c]-u temeljnom sustavu s gubitcima vjerojatnost gubitka je P[nq=c], a u općem sustavu s gubicima P[nq=Kq]-funkcija razdiobe razdoblja zaposlenosti: C(t)=P[τc<=t]-prosječna vrijednost razdoblja zaposlenosti: Tc=E{τc}

Svojstva općih slučajnih varijabli u PSa) nq,t=nw,t+ns,t --broj korisnika u trenutku t Lq=Lw+Ls --prosječne vrijednosti SV=broj korisnikab) τq,n=τw,n+τs,n --vrijeme boravka n-tog korisnika Tq=Tw+Ts --prosječne vrijednosti SV=vrijeme boravkac)Littleova formula: L=λ ×T, a odnosi se na rep, poslužiteljsko mjesto i cijeli PS.L - prosječna vrijednost broja korisnika u repu kod posluľivanja ili usustavu.λ - prosječna veličina brzine ulazaka u sustav.T - prosječna vrijednost duljine boravka u repu, kod poslužitelja ili usustavu.Littleova formula je korisna i zbog toga što povezuje količinske (L) i vremenske (T) značajke PS.

Uporaba koeficijenta varijacijeKoeficijent varijacije,Vx, kontinuirane slučajne varijable je omjer standardne devijacije i matematičkog očekivanja.

Prometna mjerila podvorbenih sustavaa)Ponuđeni promet je jednak prosječnom broju korisnika ponuđenih podvorbenom sustavu tijekom razdoblja koje je jednako prosječnoj vrijednosti trajanja posluživanja jednog korisnika. Ponuđeni korisnici su oni koji dolaze pred PS. a= λ/µ= λxTs=Ts/TaJedinica za mjerenje ponuđenog prometa je 1 Erlang.b)Jakost prometa ili iskoristivost poslužitelja je ponuđeni promet po jednom poslužitelju ili dio vremena unutar kojeg je poslužitelj zauzet р=a/c= λ/c x µc)Obavljeni promet je onaj dio ponuđenog prometa koji se gubi na ulazu u podvorbeni sustav. To je, dakle, mjera broja korisnika koji su posluženi u PS. Ako je B(a) vjerojatnost da će dolazeći korisnik u sustavu s ponuđenim prometom a biti spriječen ući i neće moći biti

4

poslužen, stanje korisnika se naziva blokadom, a B(a) vjerojatnost gubitka, pa će obavljeni promet biti: a'=a[1-B(a)].d)Faktor iskoristivosti je obavljeni promet na jednom poslužitelju u stacionarnom stanju sustava. Za c paralelnih poslužitelja imamo: р'=a'/cTijekom razdoblja T[s] jedan poslužitelj obradi prosječno (λ' x T/c) korisnika. Kako jedan korisnik zahtijeva u prosjeku posluživanje duljine 1/µ[s], ukupno trajanje zaposlenosti jednog poslužitelja tijekom T[s] iznosi (λ' x T/c x 1/µ)[s]

Primjena TPS na telekomunikacijski prometU telekomunikacijskoj mreži treba razlikovati tri vrste korisnika. Nazvati ćemo ih primarnim, sekundarnim i tercijarnim. Primarni korisnici su izvori prometa, tj. sve vrste terminala uključujući čovjeka. Sekundarni korisnici su svežnjevi informacija: poruke, paketi, ćelije i sl, koje primarni korisnici šalju u mrežu. Tercijarni korisnici su bitovi informacija od kojih su sastavljeni sekundarni korisnici.Podvorbeni zahtjev = količina posluživanja/sekundarni korisnik=broj jedinica posluživanja/jedan sekundarni korisnik.

Kapacitet poslužitelja je brzina kojom poslužitelj obrađuje jedinice posluživanja (tercijarne korisnike) konkretnog fizički definiranoga sekundarnog korisnika.Brzina posluživanja sekundarnih korisnika jednaka je broju posluženih fizički određenih sekundarnih korisnika u jedinici vremena i nosi naziv brzina obrade ili propusnost.Oznaka za kapacitet poslužitelja neka bude K, a dimenzija je:[K]=jedinica posluživanja/jedinica vremena ili K=broj jedinica posluživanja/jedinica vremenaZa podvorbeni zahtjev S, imamo slično: S=broj jedinica posluživanja/sekundarni korisnikAko je poslužitelj procesor, jedinica za kapacitet je [naredba/s]. Ako je poslužitelj telekomunikacijski kanal, jedinica za mjerenje kapaciteta je [bit/s], a njegovo fizičko značenje je identično sa Shannonovim pojmom kapaciteta kanala kao najveće moguće brzine prijenosa s obzirom na razdiobu dolazećih informacija: C1=lim max fsignal(x)[1/T x I(X;Y)]=2BD[bit/s] gdje je: širina pojasa B=[0,fg], dinamika D=ld√1+б²signal/б²šum

Poissonov-PS kod kojih je proces dolazaka i posluživanja Poissonovi SP.Najjednostavniji je M/M/1/∞/∞FCFS s funkcijom razdiobe međuodlaznih vremena A(t)=1-e^(-⋋t)i funkcijom razdiobe trajanja posluživanja B(t)=1-e^(-μt). Stanje sust se može opisati pomoću SP RIU s brzinama odvijanja ʎn=ʎ i µn=µ za sve n:On se nalazi u stanju En u trenutku t ako je broj

korisnika u sustavu jednak .Dolazak korisnika u sust je „rođenje“,a odlazak nakon

posluživanja „umiranje“.STACIONARNO STANJE:Prema poučku o svojstvima Poissonova SP vjerojatnost dolaska unutar malenog vremenskog odsječka duljine h>o:

za k=1 se dobiva ,λn=0,1,2..Brzina rađanja je

konstanta. Za proces posluživanja: :vjerojatnost završetka

posluživanja unutar malog odsječka duljine h će biti: ,tj.µn=µ;

n=0,1,2...pa je brzina umiranja također konstanta.M/M/1/∞/∞/FCFS: POISSONOVSKI PS:su oni u kojima su ulazni proces i proces posluživanja Poissonovi slučajni procesi,a koji se

opisuju pomoću SP RIU. -> Ta=1/λ i -> Ts=1/µ. Qn je izraz za GUSTOĆU

vjerojatnosti stacionarnog stanja PS M/M/1/∞/∞/FCFS, nq ima geom. razdiobu s p=1-a i

q=a. U RJEŠAVANJU poiss.podv.modela 1.je korak

izračunavanje razdiobe stanja sust,2.izračunavanje onih mjerila izvedbe koja se izračunavaju s pomoću ove razdiobe(Lw,Lq,Tw,Tq),a 3.izračunavanje razdioba vremena čekanja i boravka

5

u sustavu te njihovih prosječnih vrijednosti uz koju se računa i varijanca(izračunava se pomoću očekivanja,tj.početnog momenta).Mjerila izvedbe su izlazne veličine koje opisjuju kvalitetu->izvedba+ekonomičnost+ trajnost.Prosječan br korisnika u repu,Lw-u repu se

nalazi „i“ korisnika,i traži se funkcija gustoće diskretne :“br korisnika u repu“:

, pa se prosječan br korisnika u repu računa:

Vjerojatnost da u repu ne bude nijednoga

korisnika jednaka je zbroju vjerojatnosti da se u sust nalazi 0 korisnika ili 1 korisnik-> „Nula korisnika u repu“=“Nula korisnika u sust“U“Jedan korisnik u sustavu“.... „Jedan korisnik u repu“=“Dva korisnika u sust“,itd.(Wo=Qo+Q1, W1=Q2,...,Wi=Qi+1).Temeljna pretpostavka rada PS-a je međusobna neovisnost procesa posluživanja i proc.čekanja. Ako na br korisnika

primjenimo slučajne varijable: Iskoristivost

poslužitelja:Obavljeni prom u ovom slučaju ima i značenje Poslužitelj je nezaposlen ako u sustavu nema niti jednog korisnika. P[„Poslužitelj je zaposlen“]=1-P[„Poslužitelj je nezaposlen“].P[„Poslužitelj je zaposlen“]=1-P[na=0]=a[%].Razdioba vremena čekanja: ukupno vrijeme koje korisnik provede u sust sastoji se od čekanja i posluživanja:

... Vjerojatnost duljine čekanja(pomoću Laplaceove

transformacije zbroja neovisnih SV):boravak u repu je mješovita SV,tj.najvećim djelom je kontinuirana ali ima jedan manji diskretni dodatak koji se odnosi na korisnike koji uopće ne

čekaju.Iz τw<0 ne

postoji jer duljina ček.ne može biti negativna,pa je W(0)=P[τw=0] =P[Dolazeći korisnik nalazi

sust prazan]=Qo=1-a.Prosječna vrijednost opsega vremena čekanja: ...Tq=Tw+Ts

što znači da korisnici koji svakako moraju čekati prosječno borave u repu za jednu prosječnu vrijednost trajanja posluživanja dulje od općeg prosjeka.

Razdoblje zaposlenostiKorisnik koji ulazi u PS može naići na slobodnog ili zauzetog poslužitelja. Da bi PS radio korisno, mora biti ispunjen uvjet µ>λ' ili, što je isto, a'=λ'/µ<1, što se u PS s čekanjem svodi na a' = a < 1, a to je ujedno uvjet ergodičnosti ili postojanja stacionarnog stanja. Ocjenjujemo li PS s stajališta poslužitelja, on uz ove uvjete (a' < 1) mora uvijek moći završiti sav ponuđeni posao(promet). Ako je bez posla, tada dolaskom jednoga korisnika poslužitelj započinje rad. Dok ga poslužuje, mogu dolaziti i drugi korisnici, koje on poslužuje odmah nakon što završi posao s prvim. Kako mu je brzina rada, µ, uvijek veća od brzine dolazaka, λ, on opte jednom mora doći u stanje kada je slobodan, tj. bez posla. U takvom stanju ostaje neko (slučajno!) vrijeme, dok se opet ne pojavi novi korisnik, čime cijeli proces započinje ponovo. Drukčije se to kaže na sljedeći način: proces se obnavlja, trenutak u kojemu se to događa je trenutak obnavljanja, a cijeli proces je slučajni proces obnavljanja.Def.: Razdoblje zaposlenosti je vremenski odsječak između trenutaka kada dolaskom korisnika poslužitelj prestaje biti slobodan i započinje neprekinuti rad sve do trenutka kada opet postane slobodan jer nakon završetka posluživanja zadnjega korisnika u sustavu više nema ni jednoga drugoga. To je, dakle, razdoblje tijekom kojega je korisnik neprekidno zaposlen posluživanjem više korisnika.

6

Može se reći da svaki korisnik započinje svoje razdoblje zaposlenosti koje se stoga naziva početnim. Duljina razdoblja zaposlenosti je SV-slučajna varijabla. Niz razdoblja zaposlenosti može imati isto toliko SV.M|M|c|∞|∞|FCFSOvaj model ima sljedeća svojstva:a)korisnici dolaze na idealno slučajan način brzinom λ. Ulazni proces je, dakle, Poissonov slučajni procesb)u poslužiteljskom mjestu se nalazi c identičnih, paralelnih poslužiteljac)razdioba trajanja posluživanja jednog poslužitelja je eksponencijalna s parametrom µd)poslužitelji uvijek poslužuju samo jednog korisnika koji im je dodijeljen, tj. ne postoji mogućnost da jednoga korisnika poslužuje više poslužitelja istodobno. Takav način posluživanja se katkada naziva nesuradnjom i uvijek se podrazumijeva ako se ne kaže drukčije.e)prilikom dolaska korisnici neposredno ulaze najbližem slobodnom poslužitelju. Kada su svi poslužitelji zaposleni, dolazeći korisnici formiraju jedan zajednički rep bez ograničenja na njegovu duljinu. Pravilo izlaska iz repa je FCFSZbog c poslužitelja, ponuđeni se promet: a = λ / µ razlikuje od jakosti prometaρ = a / c = λ / c*µSustav nema gubitaka što znači da je obavljeni promet, a', jednak ponuđenom, a, i faktor iskoristivosti, ρ', jednak jakosti prometa ρ.Opće jednadžbe toga modela možemo napisati postupkom jednakim za SP RIU s brzinama odvijanja:λi = λ; n = 0,1,2...

µi =

Stacionarno rješenjeZa vjerojatnost stanja PS M|M|c|∞|∞|FCFS najjednostavnije je računati s pomoću gotovih rezultata za stacionarni slučaj slučajnog procesa RIU:Qn = Cn *Q0; Q0 = 1/ S; S =1 + C1 + C2 + ... < ∞Uvrštenjem λn i µn u te izraze dobiva se :Za n = 1, 2, ..., c: Cn =an / n!; a = λ/µKonačni rezultat je:

Qn =

Q0-1 =

Izlazne veličine

Prosječna vrijednost broja korisnika u sustavu i u repu

=Lw+a

7

Uporabom dobiva se neposredno:

Prijeđemo li na vjeojatnost tih događaja a traženu vjerojatnost označimo s ,

dobivamo:

Jer je

Erlangova formula daje vjerojatnost čekanja P( ).

Erlanogovu formulu za čekanje možemo koristiti za projektiranje, tj. za procjenu broja uređaja, c, ako je poznat ponuđeni promet, a, i ako smo odredili iznos zahtijevane

vjerojatnosti čekanja Erlangova formula za čekanje je prilično nezgodna za

izračunavanje što se vidi iz njenog sljedećeg oblika:

Formula vrijedi ako je ispunjeno M|M|C| | |FCFS

U izrazima Lqi Lw sada možemo prepoznati

Funkcija razdiobe vremena čekanja Dolazeći korisnik mora čekati samo onda ako je u trenutku njegova dolaska pred PS broj

korisnika u sustavu jednak: Poslužiteljsko mjesto u tom slučaju radi

maksimalnom brzinom, tj. tako da je trajanje posluživanja svakog korisnika eksponencijalna SV s očekivanjem (1/cµ). Ako postoji rep, u poslužiteljskom mjestu se nalazi c korisnika a u repu (nq-c), gdje je nq broj korisnika u PS. novopridošli korisnik mora čekati na posluživanje tako dugo dok se ne posluži (nq-c+1) korisnika prije njega.

W(t) = P [ ] = 1 - , t

Dio funkcije gustoće u ishodištu potjeće od djela korisnika koji uopće ne čekaju. Prosječna vrijednost Tw odnosi se na obje skupine korisnika: koji svako čekaju i koji uopće ne čekaju.

8

Prosječno vrijeme čekanja za one koji svakako čekaju nazvati prosječnom vrijednošču zastoja Td;

M | M | c | c | ∞ | FCFS Ulazne veličine

Ovaj PS se razliku je od MIMIcICI I I FCFS po tome što ne postoji mogučnost stvaranja

repa jer za njega nema mjesta. To je temeljni PS s gubitcima. PS s gubitcima je takav kod kojeg korisinici , koji u trenutku dolaska pred PS nailaze na sve poslužitelje (uključujuci i konacni rep) zauzete, nepovratno odlaze iz sustava.Korisinike koji nailaze na sve poslužitelje zaposlene nazivamo ´´blokiranim´´.U temeljnom sustavu s gubitcima su blokirani korisnici gubitak, a u općem sustavu s gubitcima, gdje postoji vremenski ili prostorno ograničen rep, blokirani mogu stati u rep, a gubitak su oni koji nailaze na istodobno popunjene poslužiteljsko mjesto i konačni rep. Ulazne veličine ovog modela su:

A(t) = 1 -

B(t) = 1 -

Prometne veličine i rješenje modela- Ponuđeni promet - Jakost prometa - Iskoristivost poslužitelja

Parametri odgovarajućeg SP RIU su:

Opće rješenje je:

I konačno:

Izlazne veličine Prosječni broj korisnika u sustavu jednak je prosječnom broju zaposlenih poslužitelja, a taj je opet jednak obavljenom prometu.

gdje smo s (a) označili vjerojatnost P[nq=c]. Ta vjerojatnost se odnosi na događaj:

dolazeći korisnik nailazi na zaposlene sve poslužitelje, a kako ju je prvi izveo Erlang, naziva se Erlangovom formulom za gubitke:

9

P[ ] =

Čekanja nema pa je = 0; =0

Već je Erlang pokazao, što su drugi kasnije potvrdili, da svi rezultati koje se dobiva za MMcc∞FCFS vrijede i za MGcc∞FCFS, tj. za opis procesa posluživanja je dovoljno poznavati prosječnu vrijednost duljine posluživanja!Erlangova formula za gubitke je vjerojatnost da su svi poslužitelji zaoposleni i da dolazeći korisnik naiđe na sve poslužitelje zaposlene i ne može biti poslužen. To su dvije situacije ili dvije vjerojatnosti koje su jednake samo kada se radi o poissonovom SP. Zbog razlikovanja tih dviju situacija u TK prometu se razlikuju dvije vrste gubitaka:

- Vremenska zakrčenost (time congestion) koja se količinski izražava s pomoću vjerojatnosti blokade

- Pozivska zakrčenost (call congestion) koja se količinski izražava s pomoću vjerojatnosti gubitka

Ovo je model u kojemu dolazećim korisnicima uvjek stoji na raspolaganju barem jedan poslužitelj bez obzira na to koliko ima korisnika, parametri odgovarajuček SP RIU su:

Prema rješenju za SP RIU dobivamo:

I konačno:

Temeljni ne-poissonovski podvorbeni sustaviTemeljni ne-Poissonovski PS su: M|G|1|∞|∞|FCFS i G|M|1|∞|∞|FCFS. Njihova zajednička značajka je da proces posluživanja ili dolaska više nije Poissonov što znači da se u rješavanju tih modela ne može rabiti svojstvo zaboravljivosti eksponencijalne razdiobe. Trenutci prijelaza među stanjima ne čine Markovljev proces jer ne ovise samo o sadašnjem nego i o prethodnim stanjima. Trenutci obnavljanja: u M|G|1|∞|∞|FCFS su to trenutci odlazaka korisnika iz PS, a u G|M|1|∞|∞|FCFS trenutci dolazaka korisnika u PS. U oba slučaja koristimo svojstvo zaboravljivosti eksponencijalne razdiobe: broj korisnika koji je došao ili koji je poslužen u sljedećem razdoblju ovisi samo o duljini tog razdoblja, a ne ovisi o prethodnom razdoblju.

M | G | 1 | ∞ | ∞ | FCFS Ulazne veličine

10

Vrlo je koristan u primjenama u područjima telekomunikacija i računalstva. Glavna obilježja koja se mogu očitati iz Kendallove oznake su:a) proces dolazaka je Poissonov SP s parametrom λ, a to znači da je broj dolazaka unutar promatranog razdoblja Poissonova SV i da je međudolazno vrijeme eksponencijalna SV:

b) proces posluživanja je neki opći SP s razdiobom bilo kojega oblika, što se izražava slovom G. Za opis te razdiobe dovoljno je poznavati matematičko očekivanje

i varijancu

c) u poslužiteljskom mjestu nalazi se samo jedan poslužitelj koji radi prosječnom brzinom µ[s¯¹]=1/Tsd) duljina repa nema ograničenjae) izbor je beskonačan, tj. korisničko pučanstvo ima beskonačni broj članovaf) pravilo izlaska iz repa poslužitelja je FCFS, LCFS ili SROg) ponuđeni promet a, koji je jednak jakosti prometa i obavljenom prometu, mora biti manji od jedinice jer inače nema stacionarnog stanjaPrometne veličine

- Ponuđeni promet: a=λ/µ=λxTs µ=1/Ts- Jakost prometa je numerički jednaka ponuđenom prometu: ρ =a/1- Nema gubitaka jer je moguć rep bez ograničenja, a to znači da je obavljeni promet

jednak ponuđenom: a'=a= ρ = ρ 'Izlazne veličineLq=Lw+a

L=λxT

Kako je koeficijent varijacije mjera eksponencijalnosti, razmotrit ćemo Pollaczek-Hinčinove formule za dva krajnja slučaja razdiobe posluživanja:a) idealno slučajno posluživanje M|M|1|∞|∞|FCFS Lw=a²/1-ab) idealno neslučajno posluživanje M|D|1|∞|∞|FCFSOvdje je razdioba posluživanja neslučajna veličina: konstantnaDobiveni rezultati se nadopunjuju s još dva koja se odnose na razdoblje zaposlenosti.E{τc}=Ts/1-aE{nc}=1/1-aM|M|1|∞|∞|FCFS i M|D|1|∞|∞|FCFS su granični slučajevi jer predstavljaju idealnu slučajnost i idealnu neslučajnost, što znači da iznos izraza ½{1+Vs²} leži između ½ (za M|D|1|∞|∞|FCFS) i 1 (za M|M|1|∞|∞|FCFS), Vs=0 do 1Primjena Pollaczek-Hinčinovih formula na PS M|Ek|1|∞|∞|FCFSU ovom PS sposobnost se očituje u načinu posluživanja: ono se odvija po Erlangovoj razdiobi

k-tog reda:

E{τs}=1/µ; Var{ τs }=1/Kµ²; V=б/µ=1/√KNejednakosti i aproksimacijeNejednakosti

11

Nejednakosti su izrazi koji sadržavaju granice u kojima se nalazi promatrana veličina. Najčešće se promatra prosječna vrijednost duljine čekanja.Za PS G|G|1|∞|∞|FCFS u stacionarnom stanju su Kingman, Marshall i Marchal dobili sljedeće:

gdje je:бa²=varijanca međudolaznih vremenaбs²=varijanca trajanja posluživanjaa=λ/µ=ponuđeni prometAproksimacijeAproksimacija za jaki promet u G|G|c|∞|∞|FCFS: vrijedi naročito za p>90%, jer je tada

razdioba vremena čekanja približno eksponencijalna:

Allen-Cunneen aproksimacija za GI|G|c|∞|∞|FCFS:

gdje je: E2,c(a)=P[nq>=c]MMc∞∞FCFS, tj. to je poznata Erlangova formula za čekanje koja se izračunava s pomoću Erlangove formule za gubitke, E1,c(a), već navedenim algoritmom: Han-Allen

1.

2. ; n=2,3,...,c

3. ; ρ =λ/µc

Difuzijska aproksimacijaOva vrsta aproksimacije temelji se na ideji da se diskretni SP zamijene kontinuiranim. Primjenjeno na PS, to znači da diskretne slučajne procese koji opisuju broj korisnika u repu ili sustavu aproksimirano kontinuiranim.Mreža podvorbenih sustavaMreža podvorbenih sustava (MPS) je skup međusobno povezanih i međusobno ovisnih PS.MPS je podvorbeni model TK mreže! Korisnici koji čine promet su svežnjevi informacija (sekundarni i tercijarni korisnici). Poslužitelji se nalaze u onim točkama mreže gdje se primaju, usmjeravaju i šalju svežnjevi informacija, a to su čvorovi i grane. Repvi se nalaze na mjestima gdje se nalaze spremnici.Riješiti MPS znači proračunati iznose mjerila izvedbe MPS, tj. količinske i vremenske značajke svih PS u mreži!Osnovna podjela MPS: a)otvorene MPS, b)zatvorene MPSU zatvorenim je broj korisnika neograničen, a u zatvorenim ograničen na one koji se nalaze zarobljeni u mreži. Zatvorene mreže ne komuniciraju s okolinom, tj. korisnici iz okoline mreže ne mogu ući u mrežu, a korisnici iz mreže ne mogu otići u okolinu. Posebno treba naglasiti da su svi procesi u MPS slučajni procesi.Broj korisnika u svim PS u MPS u trenutku t nazivamo stanjem MPS u trenutku t.Promatramo samo stacionarno stanje.

12

Riješiti MPS znači izračunati vjerojatnost stanja mreže, P[nq,1=k1, nq,2=k2,....,nq,M=kM]=P[k1,k2,....,kM] i izračunati brzine dolazaka u sve PS u mreži, λi (i=1,....,M). Ovdje je ki broj korisnika u itom PS, a M broj čvorova u MPS.Rješavanje MPS je vrlo zamršen i velik posao. Zato se nastoji naći model koji je optimalan s obzirom na dva međusobno protivna zahtjeva: točnost modela s obzirom na stvarnost i jednostavnost s obzirom na lakoću izračunavanja značajki MPS. Najjednostavnija MPS koja zadovoljava ta dva zahtjeva je eksponencijalna MPS (EMPS).

Prometni problem u PT sustavima (telekomunikacijska mreža i njeni dijelovi) sastoji se u određivanju prometa u svakoj točki mreže u svakom trenutku životnog ciklusa: u razdoblju projektiranja i u razdoblju rada. Promet se u razdoblju projektiranja određuje s pomoću modela koji se rješavaju analitički ili simulacijski. Promet se u razdoblju rada određuje mjerenjem.Promet u analognoj mreži (“analogni promet“) jest trajanje ukupnog posjedanja mjereno duljinom mjernog razdoblja.Korisnik u analognoj mreži je poziv: sekundarni korisnik koji predstavlja trajanje jednog posjedanja. Ponuđeni promet je prosječna vrijednost broja dolazećih korisnika (poziva) tijekom prosječne vrijednosti vremena posjedanja jednoga poziva: a = λ·Ts; Obavljeni promet je dio ponuđenog koji uđe u telekomunikacijski sustav, a jednak je prosječnom broju posjednutih uređaja u skupini uređaja.Promet u digitalnoj mreži je jednak broju korisnika posluženih tijekom razdoblja zaposlenosti. Korisnik koji se ovdje spominje je sekundarni.Postoje dvije vrste analognih sustava s obzirom na promet:a) sustavi s gubitcimab) sustavi s čekanjem.Postoje dvije vrste sustava s gubicima:a) temeljni ili Erlangov sustav s gubitcima ("proper loss svstem", lost calls cleared" = spriječeni korisnici se odstranjuju)b) opći sustav s gubitcima ("lost calls held" = spriječeni korisnici se zadržavaju"): PS s vremenski ili prostorno ograničenim repom.Razdoblje između dolaska (r-1)-vog i r-toga korisnika je r-to međudolazno vrijeme: (τa,r=tr – tr-1)Trajanje posluživanja, τs,r, međusobno su neovisne i iste SV s funkcijom razdiobe B(t) i funkcijom gustoće b(t). Vremenska zakrčenost, S(t), apsolutna je vjerojatnost da su u trenutku t svi poslužitelji zaposleni.Pozivska zakrčenost, Π(t), uvjetna je vjerojatnost da će u trenutku dolaska korisnika pred PS, t, svi poslužitelji biti zaposleni.Poučak: Ako je proces dolazaka Poissonov SP, vremenska i pozivska zakrčenost su iste.Iskaz: Prosječni broj zaposlenih poslužitelja ili obavljeni promet jednak je prosječnom broju zaposlenih izvora.Sustavi s čekanjem odlikuju se pojavom čekanja. Ako dolazeći korisnik zateče sve poslužitelje zaposlene, on je blokiran (spriječen) ali nije izgubljen i mora stati u rep te će nakon odgovarajućeg čekanja moći pristupiti prvom slobodnom poslužitelju nakon odlaska jednog prethodno posluženoga korisnika. U izvorištu se nalazi N izvora prometa, a poslužiteljsko mjesto ima R paralelnih poslužitelja (N ≥ R). Bilo koji korisnik koji se pojavi pred PS ide neposredno najbližem slobodnom poslužitelju. U analognoj mreži se takva situacija naziva potpunom dostupnošću. Drugim riječima: pretpostavka potpune dostupnosti znači da ne može postojati rep ako postoje slobodni poslužitelji. Blokirani korisnici su oni koji nailaze na

13

zakrčenost. Za razliku od sustava s gubitcima, ovdje blokirani korisnici nisu gubitak nego moraju čekati. Boravak u repu naziva se čekanjem.U komutacijskom sustavu je neposrednom mjerenju dostupan samo obavljeni promet, a'. Svrha mjerenja prometa je višestruka:a) upoznavanje ponašanja čovjeka kao primarnoga korisnikab) stjecanje predodžbe o kvaliteti usluga (službi, podvorbe) kako ih vidikorisnikc) upoznavanje ponašanja mrežed) skupljanje podataka ("statistika") koji se koriste za procjenu količina opreme potrebnih komutacijskom sustavu za održavanje propisane kvalitete usluga u budućnostie) istraživanje djelovanja trenutačnih i abnormalnih prometnih situacija na kvalitetu usluga.

Promet je vrlo promjenjiva veličina. Postoje sljedeće vrste promjenjivosti:a) promjenjivost tijekom danab) promjenjivost položaja GPSc) promjenjivost tijekom tjednad) sezonske promjene (godišnja doba)e) promjenjivost tijekom različitih radnih dana i blagdanaf) stalni porast tijekom godina, uz veće skokove nakon uvođenja novih tehnologija.

Ta promjenjivost može biti na način stacionarnoga ili nestacionarnoga slučajnog procesa. Ako se obavljani promet mijenja tako da je barem unutar nekih razdoblja stacionaran, tada u razdoblju stacionarnosti onih 60 minuta u nizu unutar kojih je on najveći, nazivamo glavnim prometnim satom (GPS).Analogni promet napreduje kroz telekomunikacijsku mrežu s komutiranjem kanala prolazeći kroz tzv. prometne stupnjeve (stage: dijelovi komutacijskih sustava koji se nalaze u čvorovima) i kroz grane mreže. Svaki prometni stupanj je potrebno dimenzionirati s pomoću prometnih mjerila izvedbe, koje možemo razvrstati u četiri grupe:a) ulazni procesb) grupiranje u stupnjuc) posjedanje puta kroz komutacijski sustavd) postupak s blokiranim (spriječenim) pozivima.

Ulazni proces-promatra se samo stacionarno stanje.Računa se s 2 gl vrste ulaznog procesa: 1.BERNOULLIJEV ili ENGSETOV- tzv.poluslučajni ulazni proces- M/M/c/c/N/FCFS,uz N>c;broj poziva iz izvorišta prom je ograničen-pa su ovi modeli važni u modeliranju prom procesa u analognim sust jer se koriste za proračun nekih prom stupnjeva.JAKOST ulaznog procesa ili jakost dolaznog prom opada s porastom broja posjedanja- y(p)=(N-p)α[br sekund.korisnika/jedinica vremena]. N=ukupni br izvora koji mogu generirati pozive,p=br zaposlenih poslužitelja,α=prosječan br poziva. 2.POISSONOV: neograničen br sekundarnih korisnika u izvorištu.Jakost pozivanja ne ovisi o broju zaposlenih poslužitelja.Računa se sa 2 razdiobe-ekspotenc. i konstantnom. GRUPIRANJE U STUPNJU:-grupiranje: mogućnost povezivanja ulaza s izlazom.1.grupa s potpunom dostupnošću:sa svakog ulaza može se dosegnuti bilo koji izlaz,2. stupnjevanje-s jednog ulaza može se dosegnuti samo ograničeni broj izlaza,3.sveze-link-povezivanje ulaza s izlazom preko nekoliko grupa. Posjedanje puta kroz sustav-hunting-način na koji se od ulaza traži izlaz.1.sekvencijalno-uvijek se počinje iz istog položaja, a posjeda se prvi slobodni izlaz, 2.slučajno-svaki slobodni izlaz ima istu vjerojatnost posjedanja.Blokirani-spriječeni-pozivi:ako naiđe na sve poslužitelje zaposlene.1.blokirani korisnici se uklanjaju-BCC- (MMcc∞FCFS)-blokirani korisnici se mogu vratiti u sust,2.blokirani korisnici se zadržavaju-BCH-br poslužitelja je konačan,blokirani

14

korisnik želi boraviti u sust neko konačno vrijeme-T-POSJET-nakon toga nepovratno odlazi iz sust.-MMc∞∞FCFS(T), T-ograničeni boravak u repu.3.blokirani korisnici kasne-BCD-ako je korisnik blokiran,ulazi u rep i čeka dok nedođe na red.MMc∞∞FCFS. ATM MREŽA: IZVOR PROM- podsustav koji stvara prom. (primarni korisnici- izvor prom).Promet čine sekund i tercij.korisnici. ZNAČAJKE izvora prom-na makrorazini čine prom značajke izvora i zahtjevi za kvalitetom posluživanja-QOS-koju izvor zahtijeva od mreže.PROM.ZNAČAJKE IZVORA PROM:skup parametara koje izvor prom-prim.korisn.daje upravi mreže da ona može učinkovito upravljati prom-sekund korisn.i postići visoko iskorištenje sredstava mreže.ATM ITU-T:mjerila za opis prom.značajki izvora prom:1. trenutačna vršna brzina ćelije:recipročna vrij.min međudolaznog vremena ćelija u aktivnom razdoblju;2.ukupna vršna brzina ćelija-br ćelija stvoren izvorom tijekom kratkog razdoblja ΔT,podijeljen s ΔT. 3.stvarna prosječna brzina ćelija:br ćelija stvoren ili izmjeren tijekom trajanja spoja podijeljen s duljinom trajanja.4.prosj.brzina ćelija-br ćelija stvoren izvorom tijekom vrlo dugog razdoblja T podijeljen s T; 5.usnopljenost izvora se opisuje sljedećim značajkama:usnopljenost≡ omjer vršne i prosječne brzine bita; prosj.vrijednost duljine snopa≡ prosj.vrij.aktivnog razdoblja tijekom kojega izvor stvar prom vršnom brzinom. Kvadrat koeficj.varijacije međudolaznog vremena: c²=Var{τa}/(E{τa})².GRUPE IZVORA S OBZIROM NA BRZINU STVARANJA PROM: Izvori s nepromjenjivom ili stalnom brz.stvaranja količ.inform.-bit ili tercijalni korisnik:CBR=Constant Bit Rate:izvori nepromjenjive izdašnosti – INI-jer je brzina stvaranja bita izdašnost izvora.INI stvaraju i šalju u mrežu struju ili niz bitova nepromjenjivom brzinom na 2 načina:s pomoću izglađivačkog spremnika-ulaz promjenjiv,izlaz nepromjenjiv i s pomoću upravljanja iznosom izdašnosti.Primjer:telefonija-64kbs¯¹,Hi-fi stereo- 1400,faksimile 14,4-64.......

11.1.2.2 Izvori s promjenjivom brzinom stvaranja količina informacija (bit ili tercijalni korisnik: VBR = Variable Bite Rate)Skraćeni ćemo ih nazivati izvorima promjenjive izdrživosti (IPI). Temeljna značajka IPI je usnopljenost prometa (bursty traffic). Različiti autori ražličito definiraju usnopljenost, aovdje ćemo spomenuti samo dvije definicije:- usnopljenost prema ITU-T je omjer vršne brzine stvaranja inforamacije (vršna BSI) i prosječne vrijednosti brzine stvarnaja informacije (prosječan BSI) [BSI = brzina stvaranja informacije].- usnopljnost je jednaka kvadratu koeficijenta varijacija , v**, međudolaznih vremena ćelija (v = σ / μ).Dalje ćemo pojam usnopljenosti rabiti samo u smislu kako ga definira ITU-T, tj. Kao omjer vršen i prosječne vrijednosti BSI.Izvori promjenjive izdašnosti (IPI) opisuju se s pomoću nekoliko mjerila:Rp = vršna vrijednost brzine stvaranja ćelijaN = prosječan broj ćelija u aktivnom razdobljuTi = prosječna vrijednost duljine radnog ciklusa, tj. od početka aktivnog razdoblja preko duljine pasivnog do početka sljedećeg aktivnog razdoblja ili razmak od početka jednog aktivnog razdoblja do početka slijedećegm = prosječna vrijednost brzine stvaranja ćelijeβ = usnopljenost prometa

= prosječna vrijednost duljine aktivnog razdoblja

= prosječna vrijednost duljine pasivnog razdoblja

T = iznos najmanjeg međudolaznog vremena ćelije za vrijeme aktivnog razdoblja (minimum međudolaznih vremena)- formula 336.

15

Kvaliteta usluge (QoS = Quality of Service) korisnikovo je gledište na uslugu. Propis I.350 (ITU-T) definira kvalitetu usluge ovako:„Kvaliteta usluge je skupni učinak izvedbe usluge kojim je određen stupanj zadovoljstva korisnika uslugom.Mjerila izvedbe ATM mrežeVeć je prije spomenuto da se ATM mreže odlikuju prospajanjem (connection - oriented) i komutiranjem paketa. Zbog toga imaju dvije grupe mjerila, koja opisuju prometne mogućnosti mreže glede ulaza prometa u mrežu.11.2.1 Mjerila upravljanja pozivom (call control)Ovu grupu čine:a. zastoji zbog izgradnje spoja (conection setup delay): to je razdoblje između trenutka slanja poruke o izgradnji poziva (call setup) i trenutka dobivanja potvrde o primitku o tome ( call setup acknowledge), ne uzimajući u obzir trajanje odaziva pozvanog (primarnog) korisnika. On je otprilike jednak u ATM i ISDN mrežama: njegova prosječna vrijednost treba biti manja od 4500[ms], uz 95 % svih tih zastoja manjih od 8350 [ms] ( to je 95%-tni kvantil);b. zastoj zbog raskidanja spoja (connection release delay): to je razdoblje između prijenosa poruke o raskidanju i dolaska poruke o prihvaćanju poruke o raskidanju spoja. Prosječna vrijednost toga zastoja u ATM mrežama treba biti manja od 300[ms], uz 95% svih zastoja manjih od 85o [ms] ( to je 95%-tni kvantil);c. vjerojatnost prihvata spoja: to je dio prihvaćenih poziva unutar dugog vremena promatranja. Ta je veličina jednaka pojmu vjerojatnosti blokade (gubitka) u telefonskim mrežama, i najvažnije je mjerilo za proces dodjele sredstava mreže: brzina prijenosa saveza, topologija mreže i kapacitet komutacije.

Mjerila prijenosa informacija (information transfer parameters)To su mjerila koja su tipična za mreže s komutiranjem paketa. Ta mjerila zahtijevaju primjene (tj. službe), a rabi ih mreža da bi pomogla odrediti može li se spoj dozvoliti, za pronalaženje staze koja može podržati zahtjev kvalitete posluživanja, itd.Promotrit ćemo ukratko ta mjerila:a. Vjerojatnost pojavljivanja pogrješnih bitova u ćeliji, BER ćelije (Bit Error Ratio)Def. BER ćelije je omjer broja pogrješnih bita i ukupnog broja bita u informacijskom polju ćelije.Red veličine BER za ATM je 6· 10na minus 7 do 10na minus 6. Ako razumno prepostavimo da se pogrješni bitovi pojavljuju slučajno, vjerojatnost da u 48-byte ćeliji ATM (384 bita) nema pogrješnog bita je(1-BER)na 384. To znači da za BER=10 na minus 6 dobivamo vjerojatnost 0,99617, a za BER = 10 na minus 9 vjerojatnost 0,999996. BER ovisi samo o prijenosnom mediju, što znači da je u mrežama s optičkim kabelima najmanja.b. Vjerojatnost gubitka ćelije (CLR = Cell Loss Ratio)To je omjer broja izgubljenih i ukupno poslanih ćelija koje šalje korisnik tijekom promatranog razdoblja. Ćelije se gube zbog dva razlog: popunjeni spremnici (overflow-prelijevanje) i pogrješni bitovi u naslovnici ćelije koji se mogu ustanoviti, ali se ne mogu popraviti. Red veličine CLR je 8 x 10 na minus 7 do 8 x 10 na minus 6. Prosječna vrijednost vremena između gubitka ćelije (ATBCL = Average Time Between Cell Losses) ovisi o CLR ovako:ATBCL = 53 x 8 x10 na minus 7/Brzina kodiranja [mbs na minus 1] x CLR [s]Za CLR = 10?? I brzinu kodiranja 64 kbs na -1 [] dobiva se 662,5[s], a za CLR = 10 na -6 i brzinu kodiranja 155 [kbs na -1] svega 0,274[s]c. Vjerojatnost pogrešnog slanja ćelija (CIR = Cell Insertion Ratio)Omjer broja ćelija poslanih na pogrešnu adresu zbog pogrješnih bita u naslovnici ćelije i ukupnog broja poslanih ćelija. Preporučene vrijednosti su reda veličine 10 na minus 6d. Zastoj zbog prijenosa ćelija (Cell Transfer Delay)

16

To je razdoblje između trenutka odlaska prvog bita ćelije iz promatrane točke i trenutka dolaska (ili prolaza) zadnjeg bita u ćeliji u drugoj promatranoj točki. Ako se radi o prijenosu jednoga kraja mreže na drugi, tada su te dvije točke oba sučelja na oba kraja mreže. Taj zastoj posljedica je nekoliko uzroka:- zastoj zbog konačne brzine kodiranja- zastoj zbog konačnog vremena tvorbe prakse- zastoj zbog konačne brzine širenja- zastoj zbog trajanja prijenosa- zastoj zbog konačnog vremena komutiranja- zastoj zbog čekanja u spremnicima komutacija- zastoj zbog konačnog vremena tvorbe poruke od više ćelija.e. Kolebanje zastoja ćelije (Cell Delay Variation or Jitter -CDW)Zastoj ćelije na putu od jednog kraja mreže do drugog sastoji se od dva djela: D + Wb gdje je D konstantni dio koji sadrži trajanje širenja i prijenosa (plus komutiranje), a Wi slučajna komponenta zastoja zbog uskladištavanaj ćelija u mreži tijekom putovanja od polazišta (jedan kraj) do odredišta (drugi kraj mreže). U literaturi se CDV opisuje na nekoliko načina, ali se uglavnom svodi na varijaciju.E{(Wi - E{Wi})“}Ili standardnu derivacijuNpr., 64[] videokonferencija ima zastoj od 300[ms], a CDV oko 130 [ms].f. Pomak (Skew) To je razlika trenutka pojavljivanja dvaju objekata koji su međusobno pozvani, npr, video i audio niz ćelija. Tzv. Fini pomak označava vrijeme od pomicnaja usana do pojave zvuka. On je reda veličine 20 [ms] za slučaj kada audio prethodi slici te 120 [ms] kada video prethodi zvuku.11.3. Upravljanje prometom u ATM mrežiDef.:Upravljanje prometom u telekomunikacijskoj mreži je skup postupaka kojima je svrha nadzor nad upotrebom sredstava mreže radi sprječavanja pojave uskih grla (Bottleneck), tj. to je upravljanje protjecanjem i zakrečenošću.Iskaz: Općenito postoje dvije grupe postupaka upravljanja prometom u mrežama s komutiranjem paketa:- upravljanje protjecanjem- upravljanej zakrčenosću.

Postupci upravljanja zakrčenošću (congestion control)Za ATM mrežu se mogu razvrstati u dvije grupe:Preventivno upravljanje: ovim postupcima se nastoji spriječiti zakrčenost prije nego se ona pojavi. Općenito se svi slažu da ova grupa postupaka nije dovoljna za potpuno uklanjanje zakrčenostiKorektivno ili reaktivno upravljanje: ovim se postupcima mreža izbavlja iz stanja zakrčenosti. Naime, kada se primjeti ili otkrije zakrčenost, od izvora se zahtijeva usporavanje ili prekid otpreme sve dok zakrčenost ne nestane.Modeliranje prometa u širokopojasnoj mrežiATM mreža se kao cjelina može modelirati s pomoću mreže podvorbenih sustava. To znači da se u svim točkama ATM mreže gdje se procesuiraju ćelije ili posjedanja mogu smjestiti odgovarajući podvorbeni sustavi.Sekundarnih korisnika ima tri vrste:

1. Prvu vrstu čine posjedanja ili pozivi2. Drugu vrstu čine ćelije3. Treću vrstu čine riječi ili okteti

17

Ćelije se pojavljuju na dva načina: Pojedinačno, koje stvaraju izvor nepromjenjive izdašnosti (INI) koji rade

nepromjenjivom brzinom Usnopljeno koje stvaraju izvori promjenjive izdašnosti (IPI), tj. koji rade promjenjivom

brzinomNa temelju opisanog pristupa prometu, on se u ATM mreži, koja je predstavnik širokopojasnih mreža općenito, treba promatrati na tri vremenske razine ili mjerila:

a. razina posjedanja ili pozivab. razina snopa ćelija (paketa)c. razina pojedinačnih ćelija (paketa).

Opći opis procesa dolazakaZadaća modeliranja procesa dolazaka sastoji se od dva dijela:a. modeliranje procesa dolazaka iz pojedinačnih izvora glasa, slike i podatakab. modeliranje zbroja parcijalnih prometa iz večeg broja istovrsnih ili raznovrsnih izvoraOpsežna mjeranja daju sljedeće rezultate:

- Prosječna vrijednost trajanja aktivnog razdoblja : 0,3 do 1,2 [s]- Prosječna vrijednost trajanja pasivnog razdoblja : 0,6 do 1,8 [s]

Razdoblje duljine aktivnog razdoblja vrlo dobro se može predoćiti s pomoću eksponencijalne razdiobe, razdioba duljine pasivnog razdoblja se dosta razlikuje od eksponencijalne.Modeli procesa dolazakaPri tome treba razlikovati dva koraka:a. modeliranje prometa iz jednoga izvorab. modeliranje združenog prometa iz više izvoraUpraksi se rabe tri pristupa:

a. matrični pristup - (matrično-geornetrijske metode): izračunavanje stacionarnih vjerojatnosti za konačne spremnike s pomoću Markovljevih procesab. transformacijski pristup - rješavanje modela u donjem transformacijskom području

i izračunavanje vjerojatnosti iz odgovarajućih funkcijskih jednadžbi;c. difuzijska aproksimacija - diskretni proces dolazaka paketa (ćelija) aproksimira se kontinuiranim koji se opisuje s pomoću skupa linearnih diferencijalnih jednadžbi

Narav prometa u ATM mreži određuju dvije pojave:- ćelije proizvode raznovrsni izvori raznorodnih (heterogenih) značajki: glas, zvuk, slika, podatci itd.- ćelije se multipleksiraju na statistički način (statistički multiplekseri).Istoliki promet (Self-Similar Traffic)Def.: Istolikost ili fraktalnost objekta je sposobnost očuvanja nekog svojstva (slika, vremenski red i si.) unutar različitih vremenskih ili prostornih mjerila.Istolikost ili fraktalnost prometa se u B-ISDN očituje na četiri načina:

a. kroz mjerne rezultate mjerenja prometa u B-ISDN mreži gdje se pokazuje da o mjerilu neovisna usnopljenost postoji u raznim dijelovima mreže;b. kroz tvorbu fizikalnih modela uzroka pojave istolikosti poput dugorepih razdioba i "da-ne" rada izvora prometa;c. u tvorbi podvorbenih modela s fraktalnim ulaznim procesom kojima bi se mogla ocjenjivati izvedba;d. kroz tvorbu djelotvornih načina nadzora prometa i procjene količine potrebnih sredstava gdje se pokazuje presudni utjecaj istolikosti prometa na dimenzioniranje spremnika.

18

Dugosežnost znači postojanost u očuvanju oblika, a to za sobom povlači ne-markovljevski strukturirane slučajne događaje za koje je karakteristično da zbroj autokorelacijskih funkcija teži u beskonačnost:

Stupanj dugosežnosti izražava se i mjeri s pomoću Hurstovog parametra H:

Za kratkosežno ovisne SP je H = 1 / 2.Istoliki slučajni procesi Obavljeni promet u širokopojasnoj TK mreži ima istolika obilježja jer mjerenja pokazuju da ima dugosežne značajke, stupanj usnopljenosti nepromjenjiv s obzirom na vremenska mjerenja, a odgovarajuče razdiobe su dugorepe. Model prometa tih svojstava je istoliki slučajni proces (ISP).Istoliki SP se skraćeno označava kraticom: "H-ss" (H-self similar). Ta definicija znači da za svaki određeni t vrijedi:

Def. Funkcija razdiobe F(t) naziva se dugorepom ako je (1-F(t)) opada sa negativnim

eksponentom Uzroci istolikosti prometa u širokopojasnoj mrežiUzoraka ima mnogo, a ovdje ćemo nabrojati samo najvažnije i one koji su mogli biti uočeni:

a) neke vrste izvora šalju pojedinačno vrlo promjenjivi promet. Primjer prijenos zapisa,promjenjiva slika i sli.

b) Razdioba duljine posjedanja je dugorepa. To znači da je većina posjedanja relativno kratka i ukupnom prometu pridonosi manji dio od manjine vrlo dugih posjedanja

c) Svi izvori prometa rade na način da-ne,s time da su razdiobe aktivnih i pasivnih razdoblja dugorepe.

d) Prijenos zapisa koji imaju dugorepu razdiobu uzrokuju istolikost u točkama multipleksiranja u mrežnom sloju

e) Osnovni uzrok istolikosti prometa je usnopljenost, koja se pojavljuje unutar različitih vremenskih mjerila

Posljedice istolikosti prometa širokopojasne mrežeSpremnici u usmjernicima trebaju biti što manji, a širina pojasa treba što je moguće više povećati.Podvorbeni sustavi s očiglednom podvorbom

Metode upravljenja čekanjem možemo podijeliti u četiri grupe s obzirom na predmet upravljanja:- djelovanje na proces posluživanja- djelovanje na proces dolazaka- izbor podvorbene stege- oblikovanje mjesta čekanja

s obzirom na upravljanje čekanjem, možemo sve probleme u sve s čekanjem u PS s očiglednom podvorbom razvrstati u 3 skupine: - stalni rep - predvidivi rep - slučajni repStalni rep- svi korisnici moraju čekati zbog toga što je kapacitet poslužiteljskog mjesta nedovoljan. Stalni rep treba svakako ukloniti na bilo koji način. Pri stalnom repu poslužitelj uopće ne vodi računa o utrošku vremena korisnika nego mu je jedina briga smanjiti troškove. Rješenje problema stalnog repa je jednostavno:

19

- povećanje kapaciteta poslužitelja - smanjenje brzine dolazaka korisnika

Predvidivi rep – uklanjanje stalnog repa ne znači nestanak repa uopće,jer iako je kapacitet poslužiteljskog mjesta povećan tako da je veći od brzine dolazaka, prometna kolebanja ipak mogu uzrokovati pojavu repova unutar manjih razdoblja, čime se stvaraju predvidivi repovi, a to su oni repovi za koje se zna unaprijed razdoblje u kojem će brzina dolazaka biti veća od brzine posluživanja u onim razdobljima kada se očekuje nagli porast brzine dolazaka.Slučajni rep – uklanjanje predvidivih repova ne znači da više uopće neće biti repova, neho samo da ne ćemo moći predvidjeti razdoblje kada će se repovi pojaviti. Takve repove je najteže ukloniti.Upravljanjem čekanjem djelovanja na proces posluživanjaPostoje dva načina:Poslužitelj treba sve svoje vrijeme posvetiti korisniku koji se nalazi u repu-Katkada se događa da postoji rep, a poslužitelji ne rade. Takve situacije se rješavaju na dva načina:-timski rad- Cilje je višeposlužiteljski PS učiniti takvim da se ponaša kaoučinkovitiji jednoposlužiteljski, tj. PS mora uvijek raditi s maksimalnim kapacitetom bez obzira na to koliko se korisnika u njemu nalazilo.-Prilagodljivi poslužitelji- umjesto da se korisnici prisiljavaju odlaziti određenim poslužiteljima, treba im dopustiti da biraju po svojoj volji. To može biti korisno ako se gleda samo trajanje čekanja ali ne mora biti ako se radi o osobnom izboru.Poslužitelji moraju raditi najvećom učinkovitosti -to se postiže na više načina: - automatiziranje procesa posluživanja - smanivanje trajanja posluživanja zbog izdvajanja poslova poslužitelja koje treba obavljati korisnik - neke djelatnosti poslužitelja premjestiti korisniku - posluživanje istodobno više korisnika - posluživanje korisnika u skupinama - izmjenjivanje vrsta korisnikaSvi ti načini smanjenja čekanja djelovanjem na proces posluživanja mogu se kvantitativno obraditi s pomoću teorije podvorbenih sustava. Zbog kompliciranosti problema, tu se često rabe grafičke metode i aproksimacije.Upravljanje čekanjem djelovanjem na proces dolazakaProblem smanjenja čekanja treba rješavati ovim redosljedom:- najprije treba proućiti mogućnost djelovanja na proces posluživanja tako da postojeći poslužitelji skrate trajanje posluživanja uz zadržanu kvalitetu podvorbe. Ako to nije moguće, treba povećati kapacitet poslužiteljskog mjesta barem za vrijeme kada je čekanje najveći problem -ako djelovanjem na proces posluživanja ne možemo rješiti problem čekanja, može se probati promijeniti proces dolazaka. To se može učiniti na tri načina: - uporabom predbilježba i ugovaranja ili dogovaranja - promjenom tarifiranuja

- promjenom procesa dolazakaPredbilježba i ugovaranje ili dogovaranjeTo su dva naziva za istu ideju:korisnik se dogovara s poslužiteljem kada će doći na posluživanje. Ovaj je način povoljan za PS s vrlo dugačkim trajanjem posluživanja. Predbilježba treba potaknuti korisnike da dolaze konstantnom brzinom. Koja treba biti istog reda veličine kao i brzina podvorbe.taj način najbolje uklanja predvidive repove. Kod ovog načina postoji jedna opasnost: predbilježeni korisnici stvarno čekaju, ali kod kuće, tako da na

20

taj način zapravo pokriva čekanje. To znači da se stvaraju stalni repovi, ali je trošak čekanja manji jer se koristi manji broj poslužitelja nego što je potrebno.Vrste prebilježbi:- predbilježba za PS s neprekidnom podvorbom-ovdje poslužitelji rade bez prekida. Cilj predbilježbe je odrediti vremenski razmak između dolazaka i odrediti broj korisnika koji treba doći u datom trenutku.- Predbilježba za PS u kojem korisnici dolaze usnopljeno-restaurani. Tu korisnici navale za vrijeme objeda. Takve dolaske nazivamo usnopljenim. Prema tom načinu treba poslužiteljsko mjesto oblikovati tako da može poslužiti korisnike za odprilike isto vrijeme u kojem dolaze i ujedino pokušati naći maksimalan broj smjena.-skupna podvorba- pr.transport-ovdje se radi o predbilježbi za putovanje ljudi ili za prijevoz tereta. Predbilježeni trenutci su ovdje oni koje diktira vozni red ili red letenja.Mijenjanje cijene usluge ili posluživanja (tarifiranje)Cijena posluživanja je viša za vrijeme posluživanja koje želi korisnik, a niža za vrijeme posluživanja koje nudi poslužitelj. Taj način upravljanja procesom dolazaka snažno utjeće na korisnike: pogađa siromašne, ali smanjuje čekanje i povećava učinkovitost sustava vlasnika. Temeljno pravilo tarifiranja glasi:''troškovno opterećenje korisnika mora biti jednako marginalnom trošku kojim korisnik opterećuje sustav. Marginalni trošak se definira kao promjena ukupnih troškova zbog dodavanja jednog korisnika sustavu. Načelo marginalnog troška može se izraditi na dva slučaja:

a) izbor repa- u području transporta obično korisnici mogu odabrati između dva repa. To može značiti izbor dužeg čekanja i manjih troškova

b) vremenski ovisna naplata- naplata se može koristiti kao ohrabrenje korisniku za izbor najboljeg poslužitelja ili za dolazak u najpogodnije vrijeme.

Mijenjanje procesa dolazakaOvo je način koji se rabi u javnom prijevozu i tada je poznat po nazivu:''pomicanje početka radnog vremene'', jer se zakrčenost na cestama mogu smanjiti pomicanjem početka rada poduzeća u okoliki.Upravljanje čekanjem izborom podvorbene stegePodvorbena stega ima tri pravila: ulaska, boravka i izlaska iz repa poslužitelju. Podvorbena stega se katkad naziva redoslijedom i to naročito u primjenama na proizvodnju u radionicama. Naziv ''radionica'' ovdje označavamo grupu strojeva ili ljudi koji obavljaju posao izvodeći niz podhvata prema zahtjevanom redoslijedu. Razlikujemo: otvorene radionice u kojima poslovi ili proizvodi dolaze u obliku radnih naloga koji sadrže opis svih podhvata potrebnih za izvođenje posla. Zatvorene radionice su one u kojim se proizvodnja obavlja radi popunjavanja skladišta zaliha, a odatle idu van prema primljenim zahtjevima.Redosljed proizvodnje (redosljediranje) može biti dinamički i statički. Dinamičko redosljediranje je podvorbena stega koje se neprekidno prilagođava pristiglim zahtjevima. Statičko redosljediranje je periodičan proces: u konstantnim razdobljima pregledava se rep i za sljedeće razdoblje određuje se redosljed odlaska poslova iz repa poslužitelju. Značajke korisnika u ovom sustavu see ne mogu uvijek točno odrediti, a uz to i korisnik često nastoji manipulirati značajkama radi što ranijeg dolaska poslužitelju. Zbog toga poslužitelji katkada najprije procjenjuju korisnika da bi potvrdili korisnikove tvrdnje o njegovim značajkama. Taj proces se naziva trijaža, a redovito se koristi u urgentnoj medicini za određivanje redoslijeda pacijenata za vrijeme većih prometnih ili sličnih nesreća. Trijaža je proces dodijele prednosti: zbog toga pripada svakom PS.Podvorbene stege koje ne ovise o trajanju posluživanjaTo su FCFS, LCFS i SRO. Za njih vrijedi pravilo: prosječne vrijednosti vremena boravka u sustavu i vremena boravka u repu ne ovise o podvorbenoj stegi. Premda ovje podvorbena stega ne utječe na prosječnu vrijednost duljine čekanja, ona utječe na varijancu čekanja :

21

podvorbena stega FCFS osigurava minimalni iznos varijance vremena boravka u repu i vremena boravka u sustavu.Podvorbene stege koje ovise o trajanju posluživanja (3)SST (Shortest Service Time) (1)Čim je poslužitelj dostipan, izabire korisnika s najkraćim trajanjem posluživanja. Ako trajanje posluživanja nije unaprijed poznato, ono se mora na neki način procijeniti.Podvorbena stega SST ima ovo važno svojstvo: obrada poslova prema podvorbenoj stegi SST osigurava najmanji iznos očekivanja trajanja boravka u sustavu i trajanje boravka u repu.EED (Earliest Due Date) (2)Korisnik koji ima najraniji zahtijevani trenutak završetka posluživanja ima prednost. EDD je korisna kada se radi o korisnicima (poslovima) koje je teško redosljedirati (npr. ako zahtijevaju vrlo dugo posluživanje ili vrlo točan trenutak završetka podvorbe) : ne bi bilo mudro dati im prednost na štetu ostalih koji bi morali jako zakasniti. EDD upravo to radi: jamči najbolju moguću podvorbu za najteže poslužive poslove. Očekivano zakašnjenje je najmanje sa SST jer minimum očekivanog boravka u sustavu znači minimum očekivanog zakašnjenja.SWST (Shortest Weighted Service Time) (3)Podvorbena stega SWST daje prednost korisnicima koji traže najkraće posluživanje i koji imaju najveću težinu. Dok SST ne uzima u obzir važnost korisnika, podvorbena stega SWST to čini. Ako imamo posla s korisnicima koji zahtijevaju dugo trajanje posluživanja i koji imaju veliku važnost, ne smije se rabiti SST, nego baš SWST.Hibridne podvorbene stege-FCFS/SST: Ako korisnici čekaju dulje od određenog vremena, izabiru se prema FCFS. Ako korisnici čekaju manje od određenog vremena, izabiru se prema SST.-Izmjenična FCFS/SST podvorbena stega: Dio vremena vrijedi SST, a zatim SST. To se izmjenjuje ciklički tijekom rada PS.-Minimalno nekorisno vrijeme: Izabire se korisnik s najmanjim korisnim vremenom.SRST (Shortest Remaining Service Time)Čim je poslužitelj dostupan, izabire korisnika s najmanjim preostalim vremenom posluživanja. To je, dakle, vrsta prednosnog posluživanja s prekidom.RR (Round Robin)Svaki korisnik dobiva kvant vremena. Ako na kraju vremenskog odsječka posao korisnika nije završen, on se stavlja na kraj repa. Korisnik na čelu repa sada ulazi poslužitelju, a svi ostali korisnici se pomiču za jedno mjesto naprijed.Oblikovanje mjesta čekanja ili projektiranje repaProces projektiranja mjesta na kojemu se stvara rep korisnika mora uzeti u obzir ove teme:Stvaranje ugodnog okoliša čekanjaOvdje se prvenstveno misli na ljude kao korisnike. čekanje ne bi trebalo biti dosadno ili zamorno. Ugodni okoliš se može postići na nekoliko načina: a) Gostoljubivost, b) Informiranost, c) Pravednost, d) Ne smije biti previše buke, e) Rasvjeta, f) Ventilacija i klimatizacija, g) ProstranostRaspored mjesta čekanja ili plan repa

- dobar plan ili raspored ima odučujući učinak na nagomilavanje, zakrčenost i učinkovitost poslužitelja. On treba omogućiti glatko protjecanje korisnika kroz područje gdje se čeka, a poslužitelja učiniti vidljivim i lako dostupnim svim korisnicima.

- Postoje dvoje osnovne vrste organizacije mjesta čekanja:a. posluživanje sa povratkom: nakon posluživanja korisnik okreće leđa poslužitelju i

odlazi iz sustava.b. posluživanje s prolaskom: nakon posluživanja korisnik nastavlja u istom smjeru

22

-osnovna dilema je: jedan zajednički rep ili više posebnih repova. Obično je povoljnije ako postoji jedan zajednički rep.Jedan rep za sve poslužiteljeNajčešće je rješenje. Ovdje je potrebno poboljšati vidljivost svih poslužitelja, a posebno onih u uglovima. To se može postići pomoću zmijskog repa.Zahvati za poboljšanje vidljivostiAko je udaljenost od vrha repa do linije iza koje se nalaze poslužitelji velika, korisnici imaju slabu vidljivost svih poslužitelja tako da ne mogu u svakom trenutku uočiti sve slobodne poslužitelje. Zato se stavljaju obavijesne ploče i indikatori koji pokazuju kada je poslužitelj slobodan.Zahvati zbog smanjenja vremena pomaka i udaljenosti između vrha repa i poslužiteljaVrijeme pomaka je proteklo vrijeme za koje korisnik koji je na redu dođe do svojega poslužitelja. Udaljenost rep – poslužiteljska linija određuje proteklo vrijeme. Ovisnost vremena pomaka o toj udaljenosti je linearna. Mjerenja u jednoj banci dala su ovu ovisnost:t= 0,44 + s[m] / 1,25[m/s] , gdje je t = vrijeme pomaka[s], s = veličina pomaka, tj. udaljenost od kraja repa do poslužitelja [m]Posebni repovi za svakog poslužiteljaOni smanjuju veličinu pomaka i vrijeme pomaka, a to znači povećanje učinkovitosti PS. Ali oni i povećavaju standardnu devijaciju vremena čekanja.Smještaj poslužitelja s obzirom na izvor korisnika

a. korisnik ide poslužitelju: Ako korisnik zahtijeva podvorbu on traži najbliže poslužiteljsko mjesto. Više poslužiteljskih mjesta znači kraće udaljenosti koje treba korisnik prijeći do poslužitelja, a više poslužitelja u svakom poslužiteljskom mjestu znači kraće prosječno vrijeme čekanja.

b. poslužitelj ide korisniku-korisnik telefonira poslužitelju (poduzeću koje pruža usluge), i poslužitelj najbliži korisniku odlazi pružiti uslugu.-korisnici su podijeljeni po područjima, a na poziv korisnika šalje mu se najbliži poslužitelj

23

MM1∞∞FCFS…Lq - prosječan broj korisnika u sustavu

- varijanca broja korisnika u sustavu

Lw – prosječan broj korisnika u repu

Poslužitelj nezaposlen…

Td – prosječna vrijednost zastoja

Razdioba vremena boravka u sustavu, …

,

Razdioba vremena čekanja, …

Vjerojatnost da se mora čekati n ili više poruka…

nC – broj korisnika posluženih tijekom razdoblja zaposlenosti

-----------------------------------------------------------MMCC∞FCFS… Sustav s gubitkom, vrijedi i za model MGCC∞FCFS…Ulazne veličine…

kapacitet PS-a, (rep + poslužiteljsko mjesto) je

c, što znači da ne postoji mogućnost stvaranja repa

Ponuđeni promet…

Jakost prometa ili iskoristivost poslužitelja…

Obavljeni promet…

- vjerojatnost da dolazeći korisnik bude blokiran…

, i

Prosječna vrijednost boravka u sustavu je jednaka prosječnoj vrijednosti kod poslužitelja…

24

,

Tc – razdoblje zaposlenosti

Ta - prosječna vrijednost međudolaznog vremena

Vjerojatnost da se u PS-u nalazi n korisnika…

Vrijeme boravka u sustavu ima istu razdiobu kao vrijeme posluživanja…

MMC∞∞FCFS…Ulazne veličine…

- brzina posluživanja jednog poslužitelja, (samo u ovom slučaju)

Ponuđeni promet…

Jakost prometa ili iskoristivost poslužitelja…

ne može biti veći od 1

Nema gubitaka, pa vrijedi…

Erlangova formula za čekanje…

Prosječne vrijednosti broja korisnika i vremena korisnika u sustavu…

Stvarno vrijeme čekanja…, zastoj…

-------------------------------------------------------------MG1∞∞FCFS…Ponuđeni promet…

Nema gubitaka, pa je:

Koeficijent varijacije…

Pollaczek – Hinčinove jednadžbe…

Razdoblje zaposlenosti…

Td – vrijeme zastoja

Prosječan broj korisnika poslužen za vrijeme zaposlenosti…

25

Razdioba vremena čekanja…

,

Razdioba vremena čekanja za …

Kako je , vjerojatnost da će

čekanje biti dulje od nekog zadanog razdoblja , biti će:

-------------------------------------------------------------Kendallove oznake za podvorbeni sustav: ABCKqKiP.S. A – oznaka za razdiobu međudolaznih vremena. Vrste razdiobe:M – eksponencijalna; Ek – Erlangova k-tog reda; D – konstantna;G – opća, tj. bilo koja; Hk – hipereksponencijalna; B – Bernoullijeva;M(i) – eksponencijalna s grupnim dolascima.; B – oznaka za razdiobu trajanja posluživanja. Vrste razdiobe: iste kao i u međudolaznih vremena.; C – broj poslužitelja: c broj

istovrsnih poslužitelja; serijski spojeni

poslužitelji u k koraka ili stadija. Kq – kapacitet sustava, (najveći broj korisnika u podvorbenom sustavu).;Ki – kapacitet izvora, (najveći dozvoljeni broj korisnika u izvoru).;P.S. – podvorbena stega. Oznake: OU – odustajanje od ulaska u rep; OČ – odustajanje od čekanja; T – čekanje ograničeno na T; FCFS; LCFS; SRO; RR; PS; p1 – prednosti s odgodivim prekidom;p2a – prednosti s neodgodivim prekidom i bez ponavljanja; p2b – prednosti s neodgodivim prekidom i s ponavljanjem; d – vremenski promjenjive prednosti, (dinamički prioriteti). Kendallove oznake su skraćeni način opisivanja glavnih obilježja podvorbenih sustava.

c – broj poslužitelja - brzina dolazaka korisnika, [h-1] - brzina dolazaka korisnika pred podvorbeni sustav, (u slučaju kada je MMCC∞FCFS)' – brzina ulazaka korisnika u podvorbeni sustav, (u slučaju kada je MMCC∞FCFS) - brzina posluživanja, [h-1]a – ponuđeni promet, [Erlang]a' – obavljeni promet, [Erlang] - jakost prometa ili iskoristivost poslužitelja' – faktor iskoristivostiTq – vrijeme boravka u sustavu, [h]Ts – vrijeme posluživanja korisnika, [h]Td – vrijeme zastoja, [h]Tw – vrijeme čekanja, [h]Tc – razdoblje zaposlenosti, [h]Lw – prosječan broj korisnika u repuLq – prosječan broj korisnika u sustavuLs – prosječan broj korisnika u podvorbenom mjestuLc – prosječan broj zaposlenih

- razdioba međudolaznih vremena

- razdioba za posluživanje

, [sekundi]

-------------------------------------------------------------

Svojstva Poissonovog procesa: Poučak 1.: Neka je

Poissonov proces s brzinom odvijanja . Tada je «SV Y», (broj

događanja u bilo kojem razdoblju duljine ), ima Poissonovu

razdiobu s parametrom : , 0,

1, 2, 3,4… To znači da je prosječan broj događanja unutar bilo kojeg

razdoblja duljine jednak .; Poučak 2.: Neka je

Poissonov proces s brzinom odvijanja i neka su

susljedni trenutci u kojima se pojavljuju

događaji. …, Ovaj

poučak izriče ovo: međudolazna vremena su međusobno

neovisne identično raspodijeljene slučajne varijable s prosječnom

vrijednosti .; Poučak 3.: Ako je brojidbeni

proces kojemu su međudolazna vremena međusobno neovisne

identično raspodijeljene eksponencijalne slučajne varijable, svaka s

prosječnom vrijednosti , tada je proces

Poissonov proces s brzinom odvijanja . Ovaj poučak izriče isto što i

Poučak 2., ali obrnutim redoslijedom.; Poučak 4.: Neka je

26

Poissonov slučajni proces i neka se u vremenskom razdoblju

pojavi samo jedan događaj. Ako promatramo «SV Y»,

(veličina duljine vremenskog razdoblja do trenutka pojave (jedinog) događaja), tada on ima kontinuiranu jednoliku razdiobu unutar

vremenskog razdoblja Drugim riječima: za svaki

podinterval od duljine , vjerojatnost da

se u njemu nalazi trenutak u kojemu se pojavljuje ovaj (jedini)

događaj je jednaka .

Granični slučajevi Polaczek-Hinčinovih formula su: MM1∞∞FCFS i MD1∞∞FCFS, jer predstavljaju «idealnu slučajnost» i «idealnu

neslučajnost». To znači da iznos izraza leži

između , (za MM1∞∞FCFS), i 1, (za MD1∞∞FCFS). Ako to

nije slučaj, to je upozorenje projektantu da nešto nije u redu, a to se

događa kada postoji .

27