pog-2 dimenzioniranje prz

Osnove drvenih konstrukcija Ak. 2011/2012

POGLAVLJE 2

P R O R A Č U N D R V E N I H K O N S T R U K C I J A P R E M A D O P U Š T E N I M N A P O N I M A


UVOD Osnova proračuna:

- teorijska

- eksperimantalna

Element konstrukcije ima dovoljnu stabilnost ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

stv stv stv stv

stv dop

( ) ( )f fσ τ ≤ σ τ

≤

stv stv( )σ τ - stvarni naponi od utjecaja najnepovoljnijeg opterećenja

stvf - stvarna deformacija od utjecaja najnepovoljnijeg opterećenja

dop dop( )σ τ - dopušteni naponi

dopf - dopuštena deformacija


Konstrukcija (konstruktivni element) je neuporabljiva kada nastupi:

- gubitak statičke ravnoteže konstrukcije (elementa) kao krutog tijela (prevrtanje);

- lom kritičnog presjeka zbog prekoračenja čvrstoće ugrađenog gradiva ili

prekoračenja deformacija;

- gubitak stabilnosti zbog izvijanja pojedinih elemenata konstrukcije;

- nekontrolirani pomak konstrukcije kao cjeline ili elementa konstrukcije.

Također, konstrukcija je neuporabljiva kada nastupe:

- prevelike deformacije koje nepovoljno utječu na efikasnu uporabu konstrukcije,

njen izgled ili izgled pojedinih elemenata;

- pretjerane vibracije koje otežavaju normalnu uporabu konstrukcije (elemenata);

- lokalna oštećenja koja umanjuju trajnost, efikasnost i oblikovne vrijednosti

konstrukcije ili njenih elemenata;

- lokalna izbočavanja bez loma (npr. kod tankih ploča);

- pretjerano gnječenje pri tlačnom naprezanju upravno na vlakna bez obzira na

iskorištenu čvrstoću.


OPTEREĆENJA Dokaz napona i deformacija sprovodi se za sve moguće kombinacije opterećenja.

Kombinacija opterećenja je zajedničko djelovanje više opterećenja, koja mogu da djeluju

istodobno.

Mogući utjecaji na konstrukciju su:

- utjecaji od stalnog opterećenja;

- utjecaji od korisnog opterećenja:

- u trajanju do 3 mjeseca

- u trajanju preko 3 mjeseca

- klimatski utjecaji:

- utjecaj vjetra

- utjecaj snijega:

- utjecaj snijega u trajanju do 3 mjeseca

- utjecaj snijega u trajanju preko 3 mjeseca,

- utjecaji od temperaturnih promjena (ukoliko su bitni);


- seizmički utjecaji.

Sva opterećenja dijele se u tri grupe:

- osnovna opterećenja

- dopunska opterećenja

- naročita opterećenja

U osnovna opterećenja spadaju:

- stalno opterećenje

- korisno opterećenje

- snijeg

- vjetar (kada djeluje kao samostalno opterećenje)

U dopunska opterećenja spadaju:

- vjetar (kada ne djeluje kao samostalno opterećenje)

- opterećenje skela i oplata (za beton)

- opterećenje privremenih konstrukcija


- trenje na ležajima

- sile kočenja od vozila

- temperaturne promjene

- skupljanje i bubrenje drva

U naročita opterećenja spadaju:

- seizmika

- razmicanje (primicanje) oslonaca

- utjecaj leda

- požarno opterećenje u trajanju do 30 min

Moguće kombinacije opterećenja pri dimenzioniranju:

- Kombinacija opterećenja I – osnovno opterećenje

- Kombinacija opterećenja II – osnovno + dopunsko opterećenje

- Kombinacija opterećenja III – osnovno + dopunsko + naročito opterećenje


Računska zapreminska masa drva pri normalnoj vlažnosti (kg/m3)

Računska zapreminska masa za svježe oboreno drvo

- četinari i meki listari 900 kg/m3

- tvrdi listari 1000 kg/m3

Korisna opterećenja – propisi za opterećenje objekata visokogradnje i mostova.


OPTEREĆENJE SNIJEGOM Osnovno opterećenje snijegom kod ravnih ili blago nagnutih krovnih površina (α ≤ 20°)

s = 0,75 kN/m2 (osnove krova)

Osnovno opterećenje snijegom kod većih nagiba krovnih površina (α > 20°)

U planinskim područjima s većim snježnim padavinama uzima se u obzir povećano

opterećenje snijegom, ovisno o lokalnim uvjetima, s tim da maksimalno opterećenje za

krovove nagiba α ≤ 20° ne prelazi vrijednost:

( )22

A 500 kNs 75 10 osnove krovam4−−⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

A – nadmorska visina (m)

Za nagibe krova α > 20° opterećenje se koriguje prema prethodnoj tabeli.


U krajevima bez snježnih padavina u račun se uzima minimalno zamjenjujuće

opterećenje snijegom s = 0,35 kN/m2 (osnove krova).

Kod dvovodnih krovova, pri iznalaženju najnepovoljnijih utjecaja, uzimaju se dva slučaja

opterećenja snijegom:

- simetrično opterećenje snijegom (puni snijeg (s) na obje strane krova)

- nesimetrično opterećenje snijegom (puni snijeg s jedne strane krova (s), pola

opterećenja snijegom (s/2) s druge strane krova).

Mjestimična nagomilavanja snijega na krovovima (uvale na krovu i sl.) moraju se

posebno računski tretirati.


OPTEREĆENJE VJETROM U statičkom proračunu uzima se djelovanje vjetra u bilo kom horizontalnom pravcu.

U posebnim slučajevima uzima se i djelovanje vjetra s otklonom od horizontale ± 15°.

Faktori koji utječu na intenzitet djelovanja vjetra su:

1. Brzina i pravac vjetra, udarno djelovanje vjetra,

2. Konfiguracija terena, zemljopisni položaj, zaštićenost objekta u odnosu na okolinu i

sl.,

3. Oblik i dimenzije elemenata odnosno konstrukcije, položaj elementa u odnosu na

konstrukciju i na pravac vjetra.

Faktori 1. i 2. uzimaju se u obzir izborom osnovnog opterećenja vjetrom (wo), a faktori 3.

uzimaju se u obzir izborom koeficijenta oblika (c).

Opterećenje vjetrom na konstrukciju:

( )2okNw w c upravno na krovnu površinum= ⋅


Osnovno opterećenje vjetrom wo

( )2kN vertikalne projekcijem

2 2

ov vw2 16

= ρ ⋅ ≈

ρ- odnos specifične težine zraka pri temperaturi od 15 ° C i barometarskom tlaku od 760 mm

prema ubrzanju sile teže,

v – brzina vjetra ovisno o zemljopisnoj zoni, visini objekta, lokalnom položaju objekta i njegovoj

zaštićenosti od djelovanja vjetra.

Osnovno opterećenje vjetrom


Prikaz vjetrovnih zona za područje bivše SFRJ


Vjetrovna zona I – zona umjerenih vjetrova

Vjetrovna zona II – zona jake košave i vardarca

Vjetrovna zona III – zona jake bure

Prema stupnju zaštićenosti objekti se svrstavaju u tri grupe:

- Objekti zaštićeni od djelovanja vjetra (objekti visine do 10 m u naseljima između

zgrada ili zidova, u gustim visokim šumama, objekti stalno i potpuno zaštićeni od

jakog vjetra);

- Objekti poluzaštićeni (djelomično zaštićeni) od djelovanja vjetra (objekti visine do

30 m u naseljima, šumama i kotlinama koji su zaštićeni od najjačih udara vjetra);

- Objekti izloženi djelovanju vjetra (objekti koji su u potpunosti izloženi direktnom

djelovanju vjetra iz kojeg pravca i jačine).


Shematski prikaz stupnja zaštićenosti objekta


Pri proračunu djelovanja vjetra na objekte treba razlikovati:

- zatvoreni objekti (zgrade bez otvora ili s malim, ravnomjerno raspoređenim

otvorima);

- djelomično otvoreni objekti (objekti koji su s jedne ili više strana potpuno otvoreni

ili mogu biti otvoreni, zgrade koje imaju jedan ili više otvora, ali najmanje veličine

1/3 površine strane);

- potpuno otvoreni objekti (objekti koji su otvoreni sa svih strana, npr. peronski

krovovi).

Utjecaj vjetra (koeficijent oblika (c)) na zatvorene i djelomično otvorene objekte

C = ±0,3 – koeficijent oblika za unutrašnje djelovanje vjetra


Djelimično otvoreni objekti – utjecaj vjetra na unutrašnje površine izložene djelovanju

vjetra (zbog otvorenosti) c = +0,8.

Utjecaj vjetra (koeficijent oblika (c)) na potpuno otvorene objekte

(visina objekta manja od širine)

a) Dvovodni krovovi

a.1) 1. slučaj opterećenja

a.1.1) Vanjska strana krova

Krovna površina AB: 1,30 c 0,5 0,8030⋅ α⎛ ⎞≤ = − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

Krovna površina BC: 1,3c 0,5030⋅ α

= ≥ −


a.1.2) Unutrašnja strana krova

0 30≤ α ≤ ° → c 0,5 130α⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ - srednja vrijednost koeficijenta oblika c.

Koeficijent oblika c se linearno mijenja tako da na rubu A ima 2-struku vrijednost u

odnosu na srednju, a na rubu B c = 0.

30 90≤ α ≤ ° → c 0,5 1 0,530α⎛ ⎞= ⋅ − ≥ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ - koeficijent oblika c ima konstantnu

vrijednost i odnosi se na sisajuće djelovanje vjetra.

a.2) 2. slučaj opterećenja

c = ±0,5 – dodatni tlak na unutrašnjoj strani krova.


b) Jednovodni krovovi

b.1) Vanjska strana krova neposredno izložena djelovanju vjetra

1,30 c 0,5 0,830⋅ α⎛ ⎞≤ = − ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

b.2) Unutrašnja strana krova posredno izložena djelovanju vjetra

b.2.1) 0 30≤ α ≤ ° → c 0,5= − - srednja vrijednost koeficijenta oblika c (koeficijent c

linearno se mijenja po strani AC; c = -1 na rubu A; c = 0 na rubu C).

b.2.2) 30 90° ≤ α ≤ ° → koeficijenta oblika c određen prema b.2.1) uveća se za:

rub A: c 0,25 1,030α⎛ ⎞= + ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

rub B: c 0,25 1,030α⎛ ⎞= − ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠


Tangencijalno djelovanje vjetra:

0,1wo (kN/m2) krovne površine

Djelovanje vjetra na cilindrične konstrukcije

ow c wα= ⋅


DOPUŠTENI NAPONI U DRVENIM KONSTRUKCIJAMA

Ld n

σσ =

dσ - dopušteni napon

Lσ - slomna čvrstoća drva

n – koeficijent sigurnosti

Koeficijentom sigurnosti n obuhvaćeni su: moguće pogreške drva, eventualne pogreške

u radu konstrukcije, razlike u vrsti drva i sl.

n = 2 ÷ 4 (ovisno od vrste naprezanja, opterećenja i slomne čvrstoće).

Dopušteni naponi, koje koristimo prilikom dimenzioniranja odnosno kontrole napona u

drvenim konstrukcijama, razlikuju se prema:

- botaničkoj vrsti drva

- vrsti naprezanja

- kvalitetnoj klasi drva

- % vlažnosti građe


Osnovni dopušteni naponi za monolitno i lamelirano ljepljeno drvo

( )c c d c d c d sinα ⊥σ = σ − σ − σ ⋅ α

α - pravac sile u odnosu na pravac vlakana drva


Osnovni dopušteni naponi ↔ osnovna opterećenja

(Osnovni dopušteni naponi) x 1,15 ↔ osnovna + dopunska opterećenja

(Osnovni dopušteni naponi) x 1,50 ↔ osnovna + dopunska + naročita opterećenja

Prema važećim standardima (JUS U.C9.200/300) osnovni dopušteni naponi se

reduciraju ovisno o:

- procentu vlažnosti drva

- stupnju zaštite drva

- duljini trajanja opterećenja

- intenzitetu održavanja

Osnovna dopuštena opterećenja se reduciraju faktorom kd = 0,9 za objekte kod kojih:

- puno računsko opterećenje traje stalno,

- korisno opterećenje ili snijeg djeluje dulje od 3 mjeseca.


Faktori korekcije osnovnih dopuštenih napona ovisno o vlažnosti drva

Ovisno o intenzitetu održavanja odnosno stupnju zaštite konstrukcije, osnovne

dopuštene napone treba reducirati sljedećim faktorima:

1. Za glavne nosive elemente

- potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni, izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj

trajnoj vlažnosti zraka u zatvorenom prostoru: kat = 0,85 (nendgledani i

neodržavani objekti); kat = 0,95 (nadgledani i održavani objekti);


- djelimično otvoreni objekti najmanje s jedne bočne strane, nezaštićeni i djelimično

izloženi atmosferilijama: kat = 0,90 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 0,95

(nadgledani i održavani objekti);

2. Za sekundarne nosive elemente

- potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni, izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj

trajnoj vlažnosti zraka u zatvorenom prostoru: kat = 0,90 (nendgledani i

neodržavani objekti); kat = 1,0 (nadgledani i održavani objekti);

- djelimično otvoreni objekti najmanje s jedne bočne strane, nezaštićeni i djelimično

izloženi atmosferilijama: kat = 0,95 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 1,0

(nadgledani i održavani objekti);

Ukoliko je izvršena zaštita glavnih nosivih elemenata protiv atmosferilija,

impregniranjem ili nekim drugim postupkom, dopušta se povećanje naprijed navedenih

koeficijenata za 10%, s tim da je kat,max =1,0.


Procent vlažnosti drva ovisno o ambijentu u kojem se nalazi


Dopušteni procenti vlažnosti drvene građe


PLOČASTI PROIZVODI NA BAZI DRVA

Pločaste proizvode od drva sortiramo na:

- furnirske ploče (''šperploče''),

- lamelirane građevinske ploče

- ploče vlaknatice (''lesonit'' ploče) i

- ploče iverice.

Furnirske ploče ili ''šperploče'' izrađuju se u sljedećim dimenzijama:

- debljina: 6, 8,10, 12, 15, 20, 22 i 25 mm

- širina: 1220, 1500, 1700 i 1800 mm

- duljina: 200, 2100, 2200, 2500, 2800 i 3100 mm.

Ploče vlaknatice (''lesonit'' ploče) izrađuju se u debljinama 2,5; 3,3 i 4 mm … do 50

mm (s prirastom 1 mm).

Ploče iverice se rade u debljinama preko 3 mm (s prirastom od 1 mm).


ČELIČNI ELEMENTI U DRVENIM KONSTRUKCIJAMA

Dopušteni naponi za elemente od čelika

Čelični elementi u drvenim konstrukcijama dimenzioniraju se u svemu prema pravilima

i principima metalnih konstrukcija, s tim da se koriste 10% umanjeni osnovni dopušteni

naponi.

Za čelične elemente koji kvalitetom ne odgovaraju važećim standardima za čelik,

dopušteni naponi na savijanje i vlak za kombinaciju opterećenja osnovno + dopunsko i

kombinaciju osnovno + dopunsko + naročito opterećenje iznose 11000 N/cm2.

Za čelične elemente sa navojnicom čija kvaliteta ne odgovara standardima za čelik,

dopušta se proračun nosivosti s max. vlačnim naponom 10000 N/cm2.


DIMENZIONIRANJE PRESJEKA - Ispitivanje presjeka

Poznato: statički utjecaji (M, N, T) i dimenzije presjeka (A)

Nepoznato: stvarni naponi (σstv) i deformacije (fstv) i usporedba istih s dopuštenim

vrijednostima (σd, fd).

- Dimenzioniranje presjeka

Poznato: statički utjecaji (M, N, T) i kvalitet gradiva (σd, E)

Nepoznato: dimenzije presjeka (A)

Minimalni presjeci elemenata (neovisno o veličini napona i deformacije) iznose:

- Kod monolitnih presjeka 40 cm2, s tim da je manja dimenzija presjeka ≥ 4 cm

(izuzetak su krovne letve),

- Kod složenih presjeka i krovnih konstrukcija 18 cm2, s tim da je manja strana

presjeka ≥ 2,4 cm.


Element konstrukcije je dovoljno siguran pri zadanom (najnepovoljnijem) opterećenju

ako su stvarni naponi i deformacije manji od dopuštenih.

( ) ( )stv dσ τ ≤ σ τ

Tablica dopuštenih napona za klasično drvo (vlažnost 18 %) – N/cm2


stv df f≤

Osnovne računske vrijednosti modula elastičnosti i posmika (kN/cm2)


CENTRIČNI VLAK

t t tA

N dA const. N A= σ → σ = → = σ ⋅ →∫

Monolitni (prosti) presjek – neoslabljen

tNA

σ =

Monolitni (prosti) presjek – simetrično oslabljen

tn

NA

σ =


Monolitni (prosti) presjek – nesimetrično oslabljen

Utjecaji u presjeku

N ; M N e= ⋅ → ekscentrični vlak

Prema važećim propisima centrično zategnuti štapovi se dimenzioniraju prema:

t t dn

NA

σ = ≤ σ

tσ - normalni vlačni napon u presjeku u pravcu vlakana

t dσ - dopušteni normalni vlačni napon

N – vlačna sila u presjeku

An – neto (oslabljena) površina presjeka


Potrebna površina presjeka (dimenzije presjeka): nt d

NA =σ

Nosivost centrično zategnutog štapa: dop n t dN A= ⋅ σ

Deformacija (izduženje) centrično zategnutog štapa, računa se prema:

N LLA E⋅

Δ =⋅

N – vlačna sila

L – duljina štapa

A – bruto (ukupna) površina presjeka

EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana drva.

- U statičkom računu, utjecaj oslabljenja presjeka izazvanog fitiološkim razvojem

drva ili fizičkim i mehaničkim oštećenjima, uzet je u obzir preko koeficijenata

sigurnosti unutar dopuštenog napona.

- U procesu deformacije – izduženja štapa angažira se čitav štap tako da lokalne

pogreške i lokalna slabljenja presjeka bitno ne utječu na veličinu izduženja.


- Pri dimenzioniranju presjeka uvijek je mjerodavan uvjet iskorištenja dopuštenog

napona (nosivost), a uvjet ograničenja deformacija (uporabljivost) se ne postavlja.

Primjer proračuna neto površine poprečnog presjeka

Bruto (ukupna) površina presjeka - A b h= ⋅

Površina slabljenja presjeka - ( )A 2 a c b 2c dΔ = ⋅ ⋅ + − ⋅

Neto (smanjena) površina presjeka - nA A A= − Δ


CENTRIČNI TLAK

Normalni tlačni napon u pravcu vlakana, pod uvjetom da prava os štapa i pod

opterećenjem ostaje prava, iznosi:

cNA

σ =

cσ - normalni tlačni napon u presjeku u pravcu vlakana

N – tlačna sila u presjeku



Prema važećim propisima centrično pritisnuti štapovi, pod uvjetom da prava os štapa i

pod opterećenjem ostaje prava, tj. da se ne dešava efekt ''izvijanja'' štapa, se

dimenzioniraju prema:

c c dNA

σ = ≤ σ

t dσ - dopušteni normalni tlačni napon u pravcu vlakana

Deformacija (skraćenje) centrično pritisnutog štapa, računa se prema:

N LLA E⋅

Δ =⋅

N – tlačna sila

L – duljina štapa


EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana drva.


IZVIJANJE ŠTAPA

Euler-ova kritična sila

min2i 2

i

E .IN

L= π

Imin – minimalni moment tromosti presjeka

Li – duljina izvijanja štapa

min2i 2

i

E .IN / A

L= π ÷

min2i2i

E .INA L A

= π⋅


minmin

IiA

= - radijus tromosti presjeka, tj.

2 minmin

IiA

=

min2 2 2 2 2imin 22 2 2

ii i max2min

E .I E E EN iLA L A L

i

= π → π ⋅ = π = π⋅ λ

imax

min

Li

λ = - maksimalna vitkost štapa

ii

NA

= σ - Eulor-ov napon na izvijanje

2i 2

max

Eσ = π

λ

c L

i

σ= ω

σ - koeficijent izvijanja

c Lσ - granična (lomna) čvrstoća drva na tlak


c Li / n

σσ = ÷

ω

c Li 1n n

σσ= ⋅

ω

iidn

σ= σ - dopušteni napon na izvijanje štapa

c Lc dn

σ= σ - dopušteni tlačni napon

c did c d

N NA A

σσ = = → σ = ω

ω

Odnosno, napon u jednom štapu opterećenom na izvijanje, dobija se prema:

c stv c dNA

σ = ω⋅ ≤ σ

''ω'' – postupak za dimenzioniranje centrično pritisnutih štapova

Potrebna površina poprečnog presjeka: potc d

NA = ω⋅σ


Nosivost centrično pritisnutog štapa: c ddop

AN

⋅ σ=

ω

Za ω = 1 → c c dNA

σ = ≤ σ - ''kratki'' štapovi (λ ≤ 10).

Veličina koeficijenta ω određuje se na osnovu deformacija štapa unutar i izvan granice

elastičnosti.


a) c cpσ < σ

2c L c L

22i

2c L

1E E

σ σ λω = = = ⋅

σ ππ ⋅λ σ

c L

Econst. 312= =

σ

2 2

21

312 3100λ λ

ω = ⋅ =π

- koeficijent izvijanja u području elastičnog ponašanja materijala

(tgα = EII = const.)

b) c cpσ > σ ( E tg σ= α =

ε)

Izraz 2

3100λ

ω = može se koristiti i u neelastičnoj oblasti ako se u račun uvede prividan

modul elstičnosti, koji ovisi o obliku odnosno geometriji presjeka, modulu elastičnosti u

elastičnoj oblasti E i modulu elastičnosti Eσ koji se određuje na osnovu dijagrama σ − ε .


Važeći propisi za proračun stabilnosti pritisnutih štapova prihvatili su eksperimentalno

dobiveni obrazac za ω koji je definirao Kočetkov.


Kočetkov izraz za izračun koeficijenta izvijanja u neelastičnom području:

21

1 0,8100

ω =λ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

21 75

31001 0,8

100

λω = = → λ =

λ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

- vitkosti na granici elastičnosti


Koeficijent izvijanja za drvo


Vitkost štapa: iLi

λ =

Li – duljina izvijanja štapa

i – radijus tromosti presjeka

U drvenim konstrukcijama vitkost štapa ograničena je sljedećim vrijednostima:

- λ ≤ 150 za glavne nosive elemente za koje se sa dovoljno sigurnosti može odrediti

duljina izvijanja

- λ ≤ 120 za glavne nosive elemente kod kojih konstrukcija ne omogućava pouzdanu

točnost proračuna vitkosti (λ)

- λ ≤ 175 za sekundarne elemente tj. one elemente čija je stabilnost od sekundarnog

značaja na stabilnost konstrukcije kao cjeline.

Uglavnom, proračun glavnih nosivih elemenata radimo s ograničenjem vitkosti na

λ =gr 120


Radijus tromosti presjeka: =IiA

I – moment tromosti presjeka

A – površina poprečnog presjeka

Kvadratni presjek = = = = = ⋅

4

2

x y 2

aI a12i i 0,289 aA a 12

Kružni presjek

⋅ π

= = = = =⋅ π

4

2

x y 2

dI d d64i i

dA 16 44


Pravokutni presjek ⋅

= = = = ⋅ =⋅

3

2

x max

b hI h12i 0,289 h iA b h 12

⋅

= = = = ⋅ =⋅

3

2

y min

h bI b12i 0,289 b iA b h 12


Duljina izvijanja Li

( )=iL f L,rubni uvjeti nakrajevimaštapa


Duljina izvijanja rešetkastih nosača

a) U ravni rešetke:

- kada se štapovi vezuju čavlima = ⋅iL 0,8 L

- kada se štapovi vezuju vezom na zasjek, moždanicima i vijcima =iL L

- za pojasne štapove =iL L

b) Izvan ravni rešetke:

- za sve štapove ispune =iL L

- za pojasne štapove iL ovisno o razmaku ukrućenja kojima se ukrućuje tlačni pojas


Duljina izvijanja krovnih konstrukcija

a) U ravni vezača

- ≤ ⋅us 0,75 s i sustav pomičan = ⋅is 0,8 s

- > ⋅us 0,75 s i sustav pomičan =is s

- pomični sustavi - =i us s ili =i os s

b) Upravno na ravan vezača – duljine izvijanja jednake su razmacima točaka koje su

poduhvaćene odgovarajućim ukrućenjima.


Dimenzioniranje pritisnutih presjeka

σ = ω⋅ ≤ σc c dNA

→

potc d

NA = ω⋅σ

1. Dimenzioniranje probanjem

Pretpostavimo dimenzije presjeka i vršimo kontrolu napona σ = ω⋅ ≤ σc c dNA

2. Direktno dimenzioniranje

Korištenjem gotove tablice


SAVIJANJE - Čisto savijanje

- Koso savijanje

ČISTO SAVIJANJE


1. Normalno naprezanje σ = ≤ σmaxmmax md

MW

2. Posmično naprezanje ⋅τ = ≤ τ

⋅max

m max m dT S

b I

Za pravokutne presjeke:

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

τ = = = = ⋅ = ⋅ ≤ τ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

2

2maxmax max max max

m max m d3 2 3

b hTT S T 12 b h T T8 1,5 1,5b hb I 8 b h b h Ab12

3. Progib ≤ =max dLf fm

( ) ( ) ( )= + + = + +∫ ∫ ∫ M N TMM NN TTf ds ds k ds f f fEI EA GA

( ) ( ) ( )σ = + = +∫ ∫ M NMM NNf ds ds f fEI EA

( ) ( )τ = =∫ TTTf k ds fGA

; = ∫2

2A Sk dAI b


KOSO SAVIJANJE


1. Normalno naprezanje

σ = σ + σ = + ≤ σyxm mx my md

x y

MMW W

2. Posmično naprezanje

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅τ = τ + τ = + ≤ τ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22y y2 2 x x

m m x m y m dx y

T ST Sb I b I

3. Progib

= + ≤ =2 2x y d

Lf f f fm


EKSCENTRIČNI TLAK (kombinirano djelovanje savijanja i tlačne sile)


PRIBLIŽNA METODA PRORAČUNA EKSCENTRIČNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA

Maksimalni progib u sredini nosača:

= =π

4

o max 4qLf f

EI


= = = ⋅ =π π π

4 2 2max

o max 4 2 2krit

MqL qL Lf fEI EI N

Δ = = ⋅No max

krit krit

M Nf fN N

= + Δ = + ⋅max o o o maxkrit

Nf f f f fN

→

− ⋅ =max max okrit

Nf f fN

→

=−

omax

krit

ff N1N

→


= = =− −−

max max

krit krit maxmax

krit krit

krit krit

M MN N Mf N N N N N1

N N

Izraz za fmax točan je samo za opterećenje po zakonu sinusa, a približno je točan za

sve ostale u praksi moguće sheme opterećenja.

Npr. = β ⋅ maxo

krit

MfN

→ β = ⋅krito

max

N fM

β = 1 za sinusno opterećenje

Primjer 1

⋅=max

P LM4

; ⋅=

⋅

3

oP Lf48 EI

; = π ⋅2krit 2

EINL

→


π ⋅ πβ = ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅

2 3 2

2EI P L 44 0,823

L P L 48 EI 48

Primjer 2

⋅=

2

maxq LM

8 ; ⋅

= ⋅4

o5 q Lf

384 EI ; = π ⋅2

krit 2EINL

→

⋅ πβ = π ⋅ ⋅ ⋅ = =

⋅

4 22

2 2EI 8 5 q L 40 1,028L q L 384 EI 384

Znači:

β = ⋅krito

max

N fM

β = 1 sinusno opterećenje

< β <0,82 1,23 za ostale u praksi moguće sheme opterećenja


Uz pretpostavku o elastičnom radu materijala sve do sloma, veličina napona u

krajnjim vlaknima ekscentrično pritisnutog štapa dobiva se metodom superpozicije

N,maxmaxc c d

MMNA W W

σ = + ⋅ η + ⋅ η ≤ σ

c d

md

ση =

σ - koeficijent kojim se naponi savijanja reduciraju na napone tlaka.

N,max maxM N f= ⋅ - moment savijanja od utjecaja aksijalne sile N

maxmax

kr

MfN N

=−

- maksimalni progib grede

maxN,max max

kr

MM N f NN N

= ⋅ = ⋅−

kr

N1N

ξ = −

maxc c d

MNA W

ησ = + ⋅ ≤ σ

ξ - ivični napon kod ekscentrično pritisnutog štapa


Progib kod ekscentrično pritisnutog štapa:

maxmax d

kr

M Lf fN N m

= ≤ =−

Moment savijanja od poprečnog opterećenja (Mmax) kod ekscentrično pritisnutih

štapova uzima se u račun samo kada se deformacije od momenta (Mmax) poklapaju sa

izvijanjem od aksijalne sile (N).

Kontrola napona kod ekscentrično pritisnutih štapova se prema važećim propisima za

drvene konstrukcije radi se prema izrazu:

c d maxc c d

md

MNA W

σσ = ω + ⋅ ≤ σ

σ

(1) c c dNA

σ = ω ≤ σ - utjecaj tlačne sile

(2) maxm md

MW

σ = ≤ σ - utjecaj poprečnog opterećenja (momenta savijanja)


(2) maxmd c d

MW

≤ σ ⋅σ → maxc d md c d

MW

σ ⋅ ≤ σ ⋅ σ → maxc d md c d md

M /W

σ ⋅ ≤ σ ⋅ σ σ →

(2) c d maxc d

md

MW

σ⋅ ≤ σ

σ

(1) + (2) → c d maxc c d

md

MNA W

σσ = ω + ⋅ ≤ σ

σ

Također, kontrolira se posmično naprezanje od poprečne sile u mjerodavnom presjeku

prema:

⋅τ = ≤ τ

⋅max

m max m dT S

b I

Odnosno za pravokutne presjeke:

maxm max m d

T1,5A

τ = ⋅ ≤ τ


Progib se kontrolira prema:

max (M)max df f f= ≤

f(M)max - progib od poprečnog opterećenja na gredu.

Progib od normalne sile f(N) ne uzima se u obzir pošto se utjecaj sile uključuje kroz ''ω''-

postupak dimenzioniranja.


Kombinacija kosog savijanja i tlačne sile

Normalno naprezanje dobiva se superpozicijom prema:

ymaxxmaxc c d

x y

MMNA W W

⎛ ⎞ ησ = + + ⋅ ≤ σ⎜ ⎟⎜ ⎟ ξ⎝ ⎠


Odnosno, prema važećim propisima za drvene konstrukcije:

ymaxc d xmaxc c d

md x y

MMNA W W

⎛ ⎞σσ = ω + + ≤ σ⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠

Kontrola posmičnog naprezanja radi se prema:

22

y y2 2 x xm max m x m y m d

x y

T ST Sb I b I

⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅τ = τ + τ = + ≤ τ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2max x y d

Lf f f fm

= + ≤ =


EKSCENTRIČNI VLAK

Normalno naprezanje u presjeku štapa dobiva se prema:

c d c dmaxt t d

n md n md n

MN N fA W W

σ σ ⋅σ = + ⋅ − ⋅ ≤ σ

σ σ


Uz zanemarivanje smanjenja progiba od poprečnog opterećenja usljed djelovanja

vlačne sile dobivamo:

c d maxt t d

n md n

MNA W

σσ = + ⋅ ≤ σ

σ

Posmično naprezanje kontrolira se prema:

⋅τ = ≤ τ

⋅max

m max m dT S

b I


max (M)max dLf f fm

= ≤ =

U slučaju kada ekscentritet vlačne sile N ( NM N e= ⋅ ) povećava progib od

poprečnog opterećenja tada se normalno naprezanje kontrolira prema:

c d c dmaxt t d

n md n md n

MN N eA W W

σ σ ⋅σ = + ⋅ + ⋅ ≤ σ

σ σ


c d

md

σσ

- koeficijent redukcije kojim se naponi od savijanja svode na vlačne napone ( da

bi se moglo superponirati i uspoređivati zajedničko djelovanje savijanja i vlaka.


ČISTI POSMIK

dv

F FA L b

τ = = ≤ τ⋅

vminL 6t= - najmanja dopuštena dulina posmika

vL 8t≤ - može se računati sa jednolikom raspodjelom posmičnog napona na cijeloj

posmičnoj površini ( vL b⋅ )


Ako je vL 8t> u račun se umjesto v,stvL uzima v,račL iz sljedeće tabele.


TORZIJA

Iz uvjeta ravnoteže slijedi:

tA

M dA 0ρ− ρ ⋅ τ ⋅ =∫ →

tA

M dAρ= ρ ⋅ τ ⋅∫

Deformacija štapa:

dGdLρ

ϕτ = ⋅ ⋅ ρ →


t t

o oL

M MdL LGI GI

ϕ = = ⋅∫ - relativno obrtanje dva poprečna presjeka koja su na

međusobnom rastojanju L

oGI - torziona krutost štapa

oI - polarni (torzioni) moment inercije

ρτ = τ = ⋅ρt

o

MI

τ =min 0 - u težištu presjeka

τ = ⋅tmax

o

M rI

- na rubu presjeka

=ot

I Wr

τ = ≤ τtmax d

t

MW

ϕ = ⋅tmax max

o

M LGI


Torzija štapova složenog poprečnog presjeka

Raspodjela momenta torzije na elemente složenog presjeka i na cijeli presjek:

= ⋅ = ⋅+ +∑ ∑

oi fsti t ts t

oi fs oi fs

I IM M ; M MI I I I

= =⋅ ++

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2s 1 1

fs s1 1

1 1

I 16a b bhI ; IG e' a h b b1a bcb b


τ = τ + τ ≤ τti ts d

τ = titi

ti

MW

τ = tsts

ts

MW

−

−

⎫= ⎪ −⎬= ⎪⎭

1 1ts 1 12 2ts 1 1

W 8a b bza presjek sa slike

W 8a b h

Deformacija (kut zakretanja) dobija se preko:

( )⋅

ϕ =+ ⋅∑t

oi fs

M LtgI I G


Štapovi izloženi istovremenom djelovanju torzije i savijanja

Napon od savijanja:

σ =mMW

Posmični napon od poprečne sile od savijanja:

⋅τ =

⋅mT Sb I

Napon od torzionog momenta:

τ = tt

t

MW


Glavni normalni naponi dobivaju se prema:

σ σ⎛ ⎞σ = ± + τ⎜ ⎟⎝ ⎠

22m m

1,2 t2 2

Maksimalni napon posmika dobiva se prema:

σ − στ = ≤ τ1 2

max d2


PRITISNUTI ŠTAPOVI SLOŽENOG POPREČNOG PRESJEKA


Materijalna os presjeka – izvijanje oko ove osi ne ovisi o popustljivosti spojnih

sredstava u spojnim ravninama.

Proračun obzirom na ovu os je isti kao i kod prostih štapova.


=

= ∑n

ii 1

A A

=

= ∑n

ii 1

I I

=IiA

λ = → ωiLi

Slobodna os presjeka – izvijanje oko ove osi ovisi o popustljivosti spojnih sredstava u

spojnim ravninama i isti efekt mora se uzeti u račun.


Proračun se radi s računskim momentom tromosti presjeka (umjesto momenta

tromosti krutog monolitnog presjeka):

= =

= + γ ⋅∑ ∑n n

2f i i i

i 1 i 1I I A a

=∑

n

ii 1

I - suma vlastitih momenata tromosti elemenata presjeka

iA - površina presjeka pojedinih elemenata složenog presjeka

γ =+1

1 k - koeficijent popustljivosti spojnih sredstava


Koeficijenti popustljivosti spojnih sredstava


EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana

c – koeficijent iz tablice

e' – prosječni razmak spajala

α = 2,49d ; d – prečnik čavla u cm.


Štapovi složenog presjeka sa kontinuirano vezom elemenata duž štapa

Kontrola dopuštenog razmaka spajala:

( )= s,dop

f,max

N kNe' cm't

s,dopN - dopuštena nosivost spajala

f,maxt - maksimalna posmična sila u spojnoj ravni

( )⋅ γ ⋅= max i

2f,maxf

Q S kNt cmI

= ω⋅ λ ≥max fNQ za 6060

λ= ω⋅ ⋅ ≤ λ ≤f

max fNQ za 30 6060 60

= ω⋅ λ <max fNQ za 30

120

N – tlačna sila


λ = if

f

Li

- računska vitkost štapa

= ff

IiA

- računski radijus tromosti presjeka

= ⋅i i iS A a - statički moment površine presjeka

( )= =

= + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ + γ ⋅ + ⋅∑ ∑2 2n n

2 2 21 2f i i i 1 2 1 1 2 2

i 1 i 1

h hI I A a A A A a A a12 12

=+f

f1 2

IiA A

→ λ = → ω →ixx x

f

Li

σ = ω ⋅ ≤ σ+c x c d

1 2

NA A


Štapovi složenog presjeka sa mjestimično raspoređenim vezama elemenata


Najmanji broj podmetača (veza) je dva.

Maksimalni razmak podmetača (veza) je 1/3 duljine izvijanja štapa.

Štapovi sa podmetačima: a/h1 ≤ 3.

Štapovi sa poprečnim vezama: 3a/h1 ≤ 6.

Izvijanje oko slobodne osi presjeka (y-os)

Računska vitkost štapa:

λ = λ + ⋅ ⋅ λ2 2f y 1

ms2

λy - vitkost štapa složenog presjeka kao da je monolitan

λ = 11

1

Li

- lokalna vitkost jednog elementa presjeka

= 1y1

1

Ii

A ;

⎧⎪≤ ⎨⎪ ⋅⎩

iy

1

1

LL 3

60 i


Za λ = <11

1

L 30i

u proračun se uzima vrijednost λ =1 30.

s – koeficijent ovisan o vrsti veze i spajalu

Koeficijent s

m – broj elemenata presjeka koji idu cijelom duljinom štapa

λ = λ + ⋅ ⋅ λ → ω2 2f y 1

ms2



Broj spajala za vezu podmetača odnosno poprečnih veza sa uzdužnim elementima

složenog presjeka određuje se prema posmičnoj sili T:

⋅= max 1

1

Q LT2a

Qmax – maksimalna poprečna sila koja se određuje kao kod štapova s kontinuiranim

vezom elemenata;

L1 – lokalna duljina izvijanja štapa

a1 – razmak osi uzdužnih elemenata od težišta složenog presjeka

Dimenzije podmetača (poprečnih veza) treba provjeriti na moment:

⋅= max 1Q LM

2

Za štapove složenog presjeka sa podmetačima kao vezama propisano je:

- minimalan broj čavli u vezi – 4

- minimalan broj vijak (moždanika) u vezi – 2

- kod ljepljenih podmetača duljina podmetača veća od dvostrukog razmaka između

uzdužnih elemenata štapa


Savijanje nosača složenog poprečnog presjeka

Horizontalne spojne ravni

= ⋅1A b t ; ( )= ⋅ −RA d h 2t

= ⋅ o1 1

hS A2

; ( )−

= ⋅2

R

h 2tS d

8

π ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

21

2

E A e'kL c

= + γ ⋅∑ ∑ 2f i i iI I A a → ( )⋅ −⋅ ⎛ ⎞= + + γ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 23

f 1

d h 2tb t hI 2 2 A12 12 2


Kontrola napona radi se prema:

- naprezanje na rubu rebra:

−σ = ± ⋅ ⋅ ≤ σmax R

mR mdf Rn

M Ih 2tI 2 I

- naprezanje na rubu pojasnice (flanše):

⎛ ⎞σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ⎜ ⎟

⎝ ⎠max 1 1

mF 1 mdf 1n 1n

M A ItaI A 2 I

- naprezanje u težištu pritisnute pojasnice:

σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ ≤ σmax 1c 1 c d

f 1n

M AaI A

- naprezanje u težištu zategnute pojasnice:

σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ ≤ σmax 1t 1 c d

f 1n

M AaI A


U slučaju da je: = = = = o1 1n 1 1n R Rn 1

hA A ; I I ; I I ; a 2


−σ = ± ⋅ ≤ σmax

mR mdf

M h 2tI 2


⎛ ⎞σ = ± ⋅ γ ⋅ + ≤ σ⎜ ⎟⎝ ⎠

max omF md

f

M h tI 2 2


σ = ± ⋅ γ ⋅ ≤ σmax oc c d

f

M hI 2


σ = ± ⋅ γ ⋅ ≤ σmax ot c d

f

M hI 2


Posmični napon u neutralnoj osi:

( )τ = γ + ≤ τ⋅

maxm max 1 R m d

f

T S Sd I

= o1 1

hS A2

; −= ⋅R

RA h 2tS2 4

Kontrola razmaka spajala (čavli) za vezu pojasnice i rebra:

- posmična sila po jedinici duljine spojne ravni:

= ⋅ γmax1 1

f

TT SI

=1 1tS A2

- statički moment površine pojasnice u odnosu na spojnu ravan

⋅ = → = 1s1 1s

1

Ne T N eT

N1s – nosivost spajala


Kontrola progiba:

σ τ= + ≤ =max ( )max ( )max dLf f f fm

Npr. statički sustav – prosta greda raspona L opterećena kontinuiranim opterećenjem q

σ

⋅=

⋅

4

( )maxf

5 q Lf384 E I

τ

⋅=

⋅

2

( )maxR

1 q Lf8 G A


Vertikalne spojne ravni

= =11 1

bA 2t tb2

; =RA hd

π ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

21

2

E A e'kL c

; γ =+1

1 k

= + γ ⋅∑ ∑ 2f i i iI I A a → ⎛ ⎞= + + γ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

233o1

f 1hb ddhI 2 A

12 12 2 ; h0 = h - t


Kontrola napona radi se prema:


σ = ± ⋅ ⋅ ≤ σmax RmR md

f Rn

M IhI 2 I


⎛ ⎞σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ + ⋅ ≤ σ⎜ ⎟

⎝ ⎠max o 1 1

mF mdf 1n 1n

M h A ItI 2 A 2 I


σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ ≤ σmax o 1c c d

f 1n

M h AI 2 A


σ = ± ⋅ γ ⋅ ⋅ ≤ σmax o 1t c d

f 1n

M h AI 2 A


Posmični napon u neutralnoj osi:

⎛ ⎞τ = γ ⋅ + ≤ τ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

2max o

m max 1 m df

T h hA dd I 2 8

Kontrola razmaka spajala (čavli) za vezu pojasnice i rebra i kontrola progiba kao i

u slučaju horizontalno spojenih ravni.

pog-2 dimenzioniranje prz

Documents