poglavje11 statistiˇcnaﬁzikatine/statfiz.pdfpoglavje11 statistiˇcnaﬁzika...

Poglavje 11

Statisticna fizika

V makroskopskem kosu snovi - plina, tekocine ali trdne snovi - je steviloatomov ali molekul zelo veliko. V enem kilomolu jih je Avogadrovostevilo NA = 6 · 1026. Zato je nemogoce opistai stanje snovi tako, dabi v klasicnem opisu navedli za vsak delec v vsakem trenutku njegovpolozaj in hitrost ali v kvantnem primeru valovno funkcijo za vse delce,ki bi tako bila funkcija koordinat vseh delcev. Tak opis bi bil ne leprakitcno nemogoc, bil bi tudi povsem nekoristen. Za sistem velikegastevila enakih delcev zelimo poznati predvsem makroskopsko merljivekolicine, ki so povprecja mikroskopskih kolicin, povezanih s posamezn-imi delci. To so na primer notranja energija, gostota pri danem tlakuin temperaturi, specificna toplota, entropija, elektricna polarizacija vdanem zunanejm elektricnem polju, ...Kako iz mikroskopskih lastnostidelcev dobimo makroskopske kolicine, je naloga statisticne fizike.

Povprecja racunamo iz ustreznih verjetnosti. Tako na primer znamoizracunati notranjo energijo snovi, ce poznamo verjetnostno porazdelitevza energijo posameznih delcev v snovi. Kako izracunati take verjentosti,je prvo vprasanje statisticne fizike.

1

2 POGLAVJE 11. STATISTICNA FIZIKA

11.1 Klasicni idealni plin

Kot primer, ki nam je ze nekoliko poznan, se spomnimo se nekaterihlastnosti klasicnega enoatomnega idealnega plina. Velja plinska enacba

pV =m

MRT

Ker je NAm/M stevilo vseh delcev v plinu in je R/NA = kB Boltzman-nova konstanta, lahko plinsko enacbo zapisemo v obliki

p = nkBT

kjer je n gostota atomov. Tlak je posledica trkov atomov ob steno in ceizracunamo povprecni prenos gibalne kolicine atomov pri trkih s stenoin rezultat primerjamo s plinsko encbo (glej Strnad, Fizika,...), dobimo,da je povprecna kineticna energija atoma v plinu w = 3/2 kBT . Toje poseben primer ekviparticijskega izreka, ki pravi, da je povprecnatermicna energija na vsak clen v izrazu za energijo, v katerem nastopakoordinata ali hitrost v kvadratu, 1/2 kBT.

Za idealni plin je znacilno, da je medsebojna potencialna energijamed delci zanemarljiva, zato je notranja energija idealnega plina levsota kineticnih energije vseh atomov in je odvisna le od temperature:Wn = 3/2 (m/M)RT . Od tod sledi se, da je specificna toplota nakilomol pri konstantnem volumnu cV = 3/2R, na posamezen atom pa3/2 kB.

Vec lahko izvemo iz porazdelitvene funkcije atomov po hitrostih, toje verjetnostne gostote, ki pove, koliksna je verjetnost dP , da ima atomhitrost med v in v+dv:

dP = f (vx, vy, vz) dvxdvydvz

Porazdelitevno funkcijo f je prvi izracunal Maxwell. Ima obliko

f (vx, vy, vz) =m

2πkBT

3/2

e−m(v2x+v2y+v2z)/(2kBT ) =

=m

2πkBT

3/2

e−w/kBT

kjer je w kineticna energija atomov. Izraz pred eksponentno funkcijoposkrbi, da je ∞

−∞∞−∞

∞−∞ f (vx, vy, vz) dvxdvydvz = 1, to je, da je vsota

11.2. KANONICNA PORAZDELITEV 3

vseh verjetnosti 1. Maxwellovo porazdelitev bomo izpeljali v nadalje-vanju. Sedaj si poglejmo le, kako z njeno pomocjo racunamo povprecja.

Izracunajmo povprecni kvadrat hitrosti v2 = v2x+v2y+v2z . Ocitno sovsa tri povprecja kvadratov komponent hitrosti enaka, zato je dovolj,da izracunamo v2x :

v2x = v2xf (vx, vy, vz) dvxdvydvz =

=m

2πkBT

3/2 ∞

−∞v2xe

−mv2x/(2kBT )dvx∞

−∞e−mv2y/(2kBT )dvy

∞

−∞e−mv2z/(2kBT )dvz

Z uvedbo nove spremenljivke u = vy m/kBT vidimo, da sta zadnja

dva integrala enaka 2πkBT/m, z enako substitucijo pa se, da je prvi

integral√2π (kBT/m)3/2. (Spomnimo se, da je ∞

−∞ ex2/2dx =

√2π in

∞−∞ x2ex

2/2dx =√2π .) Tako je

v2x =kBT

m

Rezultat je seveda ze znan, ker vemo, da je 1/2mv2x = 1/2 kBT. Takoje

v2 = 3kBT

m

Ta rezultat lahko dobimo tudi tako, da obravnavamo f kot funkcijole velikosti hitrosti. Pri tem moramo paziti, da pri integraciji upora-bimo ustrezen element volumna v prostoru hitrosti. Namesto dvxdvydvzmoramo vzeti volumen tanke krogelne lupine z radijem v, torej 4πv2dv.Tako na primer lahko izracunamo povprecno velikost hitrosti

v =m

2πkBT

3/2

4π∞

0v e−mv2/2kBTv2dv =

8kBT

πm

11.2 Kanonicna porazdelitev

Lotimo se tegale vprasanja. Imamo N enakih kvantnih fizikalnih siste-mov, ki ima vsak m lastnih stanj energije. Zanima nas verjetnost, da seizbrani sistem nahaja v k-tem lastnem stanju energije. Stevilo sistemovN naj bo zelo veliko in sistemi naj med seboj le toliko interagirajo, da


se med njimi lahko vzpostavi toplotno ravnovesje, sicer pa je energijanjihove medsebojne interakcije zanemarljiva. Odgovor na zastavljenovprasanje je osnovni rezultat statisitcne fizike.

Za zacetek vzemimo, da je m = 3 in N = 6. Energijski nivojinaj bodo razmaknjeni za eno enoto energije. Recimo, da je energijaskupnega sistema 2. To lahko dosezemo ali tako, da je energija enegasistema 2, preostalih pa 0, ali pa da je energija dveh sistemov 1, ostalihpa 0. Prvo stanje lahko dobimo na 6 nacinov, drugo pa 6·5/2 = 15.Stanjem, kjer natanko vemo, kateri sistem ima koliko energije, recimomikrostanje. Tako je na primer eno mikrostanje, ce je energija prvegasistema 2, ostalih pa 0. Stanju, kjer vemo le, da imata katerakoli dvasistema energijo 1, ostali pa 0, pa recimo makrostanje. V mikrostanjuimamo podrobno informacijo o vseh sistemih, v makrostanju pa ne.Ocitno lahko isto makrostanje dobimo z vec mikrostanji. Vsa mikrostanjaza dano makrostanje so povsem enakovredna, zato je smiselna pred-postavka, da so vsa mikrostanja, ki tvorijo dano makrostanje, enakoverjetna. Ta predpostavka je osnova statisticne fizike. Iz nje sledi, daje verjetnost za izbrano makrostanje sorazmerna s stevilom mikrostanj,ki to makrostanje tvorijo. V nasem primeru je torej verjetnost, da seenergija enega sistema 2, ostalih pa nic, enaka 6/ (6 + 15) = 2/7.

Vrnimo se k splosnemu primeru. Vsako makrostanje je doloceno znaborom stevil nk, kjer vsak nk pove, koliko sistemov je v stanju k.Ocitno mora veljati

nk = N . (11.1)

Poleg tega predpisimo, da je skupna energija vseh sistemov W . Veljatimora

W = Wknk , (11.2)

kjer je Wk energija k-tega stanja vsakega sistema. Presteti moramo, skoliko mikrostanji, to je stanji, kjer natnako vemo, v katerem stanjuje kateri sistem, lahko dobimo izbrano makrostanje nk . Naj bo tostevilo P (nk). Dobimo ga takole: n1 sistemov lahko postavimo vstanje 1 na P1 nacinov, kjer je

P1 =N !

n1! (N − n1)!

11.2. KANONICNA PORAZDELITEV 5

Nato lahko n2 sistemov od preostalih N − n1 postavimo v stanje 2 na

P2 =(N − n1)!

n2! (N − n1 − n2)!

nacinov. Naslednjih n3 sistemov od (N − n1 − n2) preostalih lahkopostavimo v stanje 3 na

P3 =(N − n1 − n2)!

n2! (N − n1 − n2 − n3)!

nacinov in tako naprej. P (nk) je produkt P1P2P3..., torej

P (nk) = N !

n1!n2!n3!...

Ce ne bi bilo pogojev 11.1 in 11.2, bi bil to ze zeljeni rezultat, oba pogojapa delo otezita. Razmislimo takole. Zelimo izracunati verjetnost, da seposamezen sistem nahaja v stanju k, pri cemer morata biti izpolnjenaoba pogoja. To dobimo, ce povprecje nk po vseh makrostanjih delimo zN . Stevilo N je zelo veliko, zato so velika tudi stevila nk. Tedaj pa imastevilo mikrostanj P (nk) izrazit maksimum okoli najverejtnejsegamakrostanja. Zato so povprecja nk zelo blizu tistemu makrostanjunk, pri katerem ima P (nk) maksimum.

Namesto da poiscemo maksimum P (nk) , je lazje poiskati maksi-mum lnP (nk), ki je zaradi monotonosti logaritemske funkcije pri is-tem makrostanju. Oba pogoja 11.1 in 11.2 upostevamo tako, da iscemovezan ekstrem. Poiskati moramo torej ekstrem funkcije spremenljivknk

Φ = lnP (nk)− α nk −N − β Wknk −W

kjer sta α in β Lagrangeova multiplikatorja, katerih vrednosti moramona koncu izracunati tako, da sta oba pogoja izpolnjena.

Ker so vsa stevila nk velika, pri racunu uporabimo Stirlnigov pri-blizek za fakulteto: x! xxe−x in je priblizno

Φ = N lnN−1− nk (lnnk − 1)−α nk −N −β Wknk −W


Pogoj za ekstrem je

∂Φ

∂nk= 0

0 = lnnk + α+ βWk

Tako imamo za najverjetnejse nk, za katere smo rekli, da so zelo blizupopvrecnim,

nk = e−α e−βWk

Verjetnost, da se izbrani sistem nahaj v stanju k, je potem

Pk =nk

N=

e−α

Ne−βWk =

1

Ze−βWk (11.3)

Namesto konstante e−αN

smo vpeljali novo konstanto 1/Z, ki jo moramoizracunati tako, da je

m

k=1

Pk = 1

torej

Z =m

k=1

e−βWk

Dobljena verjetnost se imenuje kanonicna porazdelitev in je osnovnaverjetnostna porazdelitev v statisticni fiziki. Nic nismo rekli, kaksenmora biti posamezen sistem, tako da formula 11.3 velja za vsak sistemv ravnovesju z rezervoarjem drugih sistemov. V racunu nismo prav nicpotrebovali, koliko je vseh stanj energije posameznega sistema, tako daje m lahko tudi neskoncno.

Dolociti moramo se konstanto β. Dolociti bi jo morali tako, da jeskupna enenrgija vseh sistemov W . Vendar navadno tega ne naredimo,ker je β povezan s pomembno drugo kolicino. Parameter β je tudi enakza vse sisteme, ki os med seboj v ravnovesju. Po nictem zakonu ter-modinamike ima to lastnost temperatura, torej mora biti β zvezan sT . Iz izraza 11.3 vidimo, da je verjetnost, da je nek sistem v stanju zvisoko energijo, tem manjsa, cim vecji je β, zato mora biti ta obratnosorazmeren s temperaturo. Primerjava z izrazom za Maxwellovo po-razdelitev hitrosti nam pove se, da je sorazmernostna konstanta kB,tako da je

β =1

kBT

11.3. VIBRACIJA IN ROTACIJA MOLEKUL 7

11.3 Vibracija in rotacija molekul

Kanonicno porazdelitev lahko takoj uporabimo za racun prispevka en-ergije nihanja in vrtenja k notranji energiji in specificni toploti dvoatom-nega plina. Ce vzamemo za sistem posamezne molekule v plinu, sopredpostavke, s katerimi smo izpeljali kaonoicno porazdelitev, izpol-njene. Molekule si med seboj s trki le izmenjujejo energijo, v redkemplinu pa je sicer njihova medsebojna interakcijska energija zanemarljiva.

11.3.1 Vibracije

Lotimo se najprej nihanja. Lastne vrednosti energije nihanja dvoatomnemolekule so

Wn = hω0 n+1

2

Energijo osnovnega stanja 1/2hω0 lahko izpustimo, ker le spremeni nor-malizacijsko konstanto 1/Z. Verjetnost, da ima molekula pri tempera-turi T eneregijo Wn je po formuli 11.3

Pn =1

Ze− hω0

kBTn

Da bo Pn = 1, mora biti

Z =∞

n=0

e− hω0

kBTn

Ta izraz je geometrijska vrsta, zato je

Z =1

1− e− hω0

kBT

Povprecna energija molekule zaradi nihanja je

W vib = WnPn =1

Z

∞

n=0

hω0n e− hω0

kBTn

To vrsto zlahka izracunamo z majhnim trikom. Dobimo jo, ce vrsto zaZ odvajamo po β :

W vib = − 1

Z

dZ

dβ= 1− e−βhω0

d

dβ

1

1− e−βhω0=


= 1− e−βhω0hω0e

−βhω0

(1− e−βhω0)2=

=hω0

ehω0kBT − 1

Prispevek k notranji energiji plina je seveda NW vib, kjer je N stevilo

vseh molekul v plinu. Faktor 1/ ehω0kBT − 1 = n pove povprecno vzbu-

jenost molekule. Ker je hω0 reda velikosti 0.1 eV in je pri sobni tem-peraturi kBT = 0.025 eV, je n = 0.02, kar pomeni, da so skoraj vsemolekule v osnovnem stanju in je prispevek k notranji energiji plina prisobni temperaturi majhen.

Pri visokih temperaturah, kBT >> hω0 lahko eksponentno funkcijorazvijemo in je

W vib hω01

1 + hω0kBT− 1

= kBT

kar je rezultat, ki ga pricakujemo po klasicnem ekviparticijskem izreku,ker imamo v izrazu za energijo nihala dva kvadratna clena: W =1/2Kx2 + 1/2mv2. No, pogoj kBT >> hω0 je izpolnjen pri temperat-urah, pri katerih molekule ze razpadejo, tako da prakticno te limite nimogoce opaziti.

Prispevek k specificni toploti na molekulo dobimo takole:

cV vib =dW vib

dT= kB

hω0

kBT

21

ehω0kBT − 1

2

Zaradi velikega eksponentnega faktorja je pri sobni temperaturi ta prispevekzelo majhen in ga navadno zanemarimo, le pri nekaterih tez”jih dvoatom-nih plinih, na primer pri I2 ga lahko opazimo pri nekoliko povisanitemperaturi. Za molekulo I2 je hω0 = 0.027 eV, tako da je pri sobnitemperaturi cV vib 0.28 kB ali priblizno cetrtino klasicne vrednosti.

11.3. VIBRACIJA IN ROTACIJA MOLEKUL 9

11.3.2 Rotacija

Povprecno energijo rotacije molekul in ustrezni prispevek k specificnitoploti dobimo na podoben nacin. Energija rotacijskih stanj je

Wl =h2

2Jl (l + 1)

kjer je l = 0, 1, 2..., J pa vztrajnostni moment molekule. Pri zapisuverjetnosti, da je molekula v stanju z danim l, moramo upostevati se,da so ta stanja degenerirana in jih je 2l + 1, zato je

Pl =1

Z(2l + 1) e−βWl

Z =l

(2l + 1) e−βWl

W rot =1

Z l

Wl (2l + 1) e−βWl

= − 1

Z

dZ

dβ

Poglejmo najprej nizke temperature, ko je torej kBT << h2

2J. V

prejsnjem poglavju smo videli, da je h2

2J∼ 0.001 eV, zato je ta pri-

blizek dober le pri zelo nizkih temperaturah, pri katerih se vecinaplinov utekocini. Vodikova molekula ima zaradi majhne mase h2

2J=

7, 6 · 10−3eV in se utekocini pri 21 K in je tako za vodik ta priblizekuporaben, za druge pline pa ne. Pri nizkih temperaturah, to je velikihvrednostih β h2

2J, cleni v vrsti za Z hitro padajo in lahko obdrzimo le

prva dva clena:

Z = 1 + 3e−βh2

J

Potem je

W rot =3 h2

Je−β

h2

J

1 + 3e−βh2

J

= 3h2

Je− h2

J kBT

Zanemarili smo se drugi clen v imenovalcu, ker da prispevek visjega

reda v e−βh2

J . Spet vidimo, da je verjetnost za zasedenost vzbujenihstanj pri nizkih temperaturah eksponentno majhna.

10 POGLAVJE 11. STATISTI”CNA FIZIKA

Rotacijski del specificne toplota na molekulo je

cV rot =dW rot

dT= 3kB

h2

J kBT

2

e− h2

J kBT

V nasprotni limiti, ko je kBT >> h2

2Jse zaporedni cleni v vrsti za Z

le pocasi spreminjajo. Zato lahko vsoto nadomestimo z integralom:

Z =∞

0(2x+ 1) e−β

h2

2Jx(x+1)dx

Vpeljimo novo stpremenljivko u = β h2

2Jx (x+ 1). Potem je du = β h2

2J(2x+ 1) dx

in je

Z =2J

βh2∞

0e−udu =

2J

βh2

Povprecna energija je

W rot = − 1

Z

dZ

dβ=

βh2

2J

2J

β2h2= kBT

Ta rezultat je spet v skladu z ekviparticijskim izrekom, ker se klasicnomolekula lahko vrti okoli dveh pravokotnih osi in imamo zato v izrazu zarotacijsko kineticno energijo dva clena, ki vsakemu pripada povprecnaenergija 1

2kBT .

Rotacijski del specificne toplote na molekulo je

cV rot = kB

Specificno toploto na kilomol dobimo tako, da mnozimo ta rezultat zAvogadrovim stevilom in dobimo, da je rotacijski prispevek NAkB = R,na kilogram pa tako, da delimo se z maso kilomola.

Sedaj znamo opisati obnasanje specificne toplote dvoatomnega plinapri vseh temperaturah. Kaze ga spodnja slika.

11.4. KVANTNI IDEALNI PLIN 11

cV/mol.[kB]

Log(T/ Tsobna )

cV/mol.[kB]

Log(T/ Tsobna )

Odvisnost priblizno ustreza molekulam vodika. Pri najnizjih tem-peraturah prispevajo le translacijske prostostne stopnje 3/2 kB. Nato sevzbudijo roatcijska stanja in pri sobni temperaturi je cV = 5/2 kB. Pritemperaturah okoli 1000 K pa zacnejo prispevati tudi vibracijska stanjain pri dovolj visoki temperaturi bi bila cV = 7/2 kB. Pri tej temperaturiso molekule ze blizu razpada. Za vecino drugih plinov je temperatura,pri kateri se zacnejo vzbujati rotacijska stanja, precej pod vreliscem prinormalnem tlaku in je zato spodnjo stopnico tezko opaziti.

11.4 Kvantni idealni plin

Videli smo, da za porazdelitev po hitrostih delcev v klasicnem plinuvelja Maxwellova porazdelitev. Ta je kar poseben primer kanonicne,verjetnost, da ima molekula translacijsko kineticno energijo wkin, je so-razmerna z e−wkin/kBT . V nekaterih pomembnih primerih pa je potrebnodelce obravnavati kvantno, na primer elektrone v kovini. Tedaj delcitudi ob predpostavki, da je njihova medsebojna potencialna energijazanemarljiva, niso vec med seboj neodvisni, ker moramo za enake delceupostevati, da so ali fermioni (imajo polovicen spin) ali bosoni (imajocelostevilcen spin), torej, da mora biti mnogodelcna valovna funkcijaali antisimetricna ali simetricna na zamenjavo dveh delcev. Zahteva,


da mora biti valovna funkcija fermionov antisimetricna, nam je dalaPaulijevo izkljucitveno nacelo.

Preden nadaljujemo, se pojasnilo. Tudi za plin fermionov ali bosonovvelja kanonicna porazdelitev, tezava je, da bi za to, da jo lahko upora-bimo, morali poznati lastna stanja skupne energije vseh delcev v plinuin njihovo stopnjo degeneracije. Da se temu izognemo, uberemo drugopot, ki je tudi bolj nazorna.

11.4.1 Fermi-Diracova statistika

Lotimo se najprej plina fermionov. Zamislimo si, da imamo v pra-vokotni posodi N fermionov, ki so med seboj enaki. V kolikor so tifermioni neenostavni delci, na primer atomi s polovicno skupno vrtilnokolicino, so enaki, ce so z ozirom na notranje prostostne stopnje vsi vistem stanju, to je v osnovnem elektronskem stanju. V nadaljevanjubomo obravnavali predvsem plin elektronov, ki notranje strukture ni-majo.

Stanje posameznega delca v posodi opisemo kot stojece valovanje zdoloceno energijoWk. Ker obravnavamo fermione s spinom 1/2, lahkov vsako stanje postavimo le en delec. Naj bo skupna energija (to jenotranja energija plina) vseh delcev Wn. Zanima nas, kaksna je verjet-nost, da je izbrano enodelcno stanje zasedeno.

Opomba: na prvi pogled se zdi, da je vprasanje enako kot pri izpel-javi kanonicne porazdelitve. Vendar je bistvena razlika v tem, da jeenergija plina vsota energij vseh zasedenih enodelcnih stanj. Verjet-nost, da ima ves plin v posodi energijo W , je kanonicna, vendar s temse ne vemo, kaks”na je verjetnost za zasedenost enodelcnih stanj.

Postopamo takole. Ker je stevilo delcev N zelo veliko in obrav-navamo fermione, ki so lahko samo po en v enodelcnem stanju, jetudi pri zelo nizkih energijah zasedenih zelo veliko enodelcnih stanjz energijami Wk. Razdelimo enodelcne energije na intervale, tako dabo v vsakem intervalu gj stanj. Stevila gj naj so dovolj velika, pricemer pa naj imajo vsa stanja v izbranem intervalu se vedno skorajenako energijo Wj. Ce ugotovimo, koliko stanj v danem intervaluje v povprecju zasedenih, lahko izracunamo verjetnost za zasedenostposameznega stanja.

Naj so makrostanja, recimo jim tudi konfiguracije, dolocena z mnozico


stevil Nj, ki povedo, kako je vseh N delcev porazdeljenih po inter-valih energije gj. Posamezno konfiguracijo lahko dobimo z razlicnimirazporeditvami delcev znotraj posameznih intervalov, to je, z razlicnimimikrostanji. Vsa mikrostanja, ki dajo enako konfiguracijo Nj, soenako verjetna, zato bo naverjetnejsa tista kofiguracija, ki jo tvori na-jvec mikrostanj. Najti moramo torej stevilo P (Nj) mikrostanj, kitvorijo izbrano konfiguracijo.

V posameznem intervalu z gj stanji lahko Nj delcev razporedimona toliko nacinov, kolikor je kombinacij Nj elementov iz mnozice z gjelementi, to je gj!/Nj! (gj −Nj)!. Stevilo vseh mikrostanj je produktstevila razporeditev po posameznih intervalih:

P (Nj) =g1!

N1! (g1 −N1)!

g2!

N2! (g2 −N2)!... =

=j

gj!

Nj! (gj −Nj)!

Upostevati moramo se, da je stevilo vseh delcev N :

j

Nj = N

in da je skupna energija Wn

j

NjWj = Wn

Ker je stevilo vseh delcev zelo veliko, lahko spet namesto popvrecnekonfiguracije poiscemo najbolj verjetno, to je tisto, za katero je pri obehpogojih P (Nj) najvecje. Spet raje iscimo maksimum lnP (Nj), obpogoja pa upos”tevajmo z vezanim ekstremom. Poiskati moramo torejekstrem po spremenljivkah Nj funckije

Φ = lnj

gj!

Nj! (gj −Nj)!− α

j

Nj −N

− β

j

NjWj −Wn

kjer sta α in β Lagrangeova multiplikatorja, ki ju moramo na koncudolociti tako, da sta izpolnjena oba pogoja. Uporabimo Stirlingov pri-blizek:

Φ =j

gj (ln gj − 1)−j

Nj (lnNj − 1)−j

(gj −Nj) (ln (gj −Nj)− 1)


−α

j

Nj −N

− β

j

NjWj −Wn

Pogoji za ekstrem so

∂Φ

∂Nj= 0

− lnNj + ln (gj −Nj)− α− βWj = 0

Od tod dobimo za najverjetnejse vrednosti Nj

gj −Nj

Nj= eα+βWj

inNj =

gjeα+βWj + 1

Verjetnost za zasedenost posameznega stanja z energijo W znotraj in-tervala gj je

f (W ) =Nj

gj=

1

eα+βW + 1

Paramter α moramo dolociti tako, da bo vsota f po vseh energijahenaka N , parameter β pa tako, da bo skupna energija vseh delcev Wn.Vendar spet z enako utemeljitvijo kot pri kanonicni porazdelitvi veljaβ = 1/kBT . Skoraj vedno imamo podano temperaturo in ne natancnevrednosti energije, tako da nam obicajno β niti ni treba dolocati. V za-pisu f smo tudi izpustili indeks energije. Enodelcne energije so namrecza skoraj vsa zasedena stanja zelo blizu skupaj, ker je N zelo velik,tako da lahko f obravnavamo kot zvezno funkcijo W. Prepisimo je se vnekoliko drugacno obliko:

f (W ) =1

e(W−WF )/kBT + 1(11.4)

Namesto α smo uvedli Fermijevo energijo WF = −α/β. Funkciji 11.4pravimo Fermi-Diracova porazdelitev. Ponovimo se enkrat njen pomen:je verjetnost, da je enodelcno stanje z energijo W zasedeno. Fermi-Diracovo funkcijo pri nekaj temperaturah kaze naslednja slika.


Pri nizkih temperaturah, kBT << WF , je f (W ) ostra stopnica priWF , ki postane pri visjih temeperaturah bolj postopna. To obnasanjepricakujemo, saj mora biti pri T = 0 zasedenih N najnizjih enodelcnastanja, vsa visja stanja pa so prazna. Sirina obmocja prehoda okoli WF

je reda velikosti kBT .Notranja energija plina fermionov je vsota energij enodelcnih stanj,

pomnozenih z verjetnostjo, da je stanje zasedeno:

Wn = Wf (W )

Se”tevati moramo po vseh enodelcnih stanjih. Ker je teh zelo veliko inso njihove energije zelo blizu skupaj, je treba vsoto preoblikovati v inte-gral. Preden pogledamo, kako to naredimo, poiscimo se porazdelitvenofunkcijo za bosone.

11.4.2 Bose-Einsteinova statistika

Pri bosonih, to je delcih s celostevilcnim spinom, ni omejitev, kolikodelcev je lahko v enem enodelcnem stanju. Kljub temu pa delci medseboj niso neodvisni, ker mora biti skupna valovna funkcija simetricnaglede na zamenajvo delcev. Videli bomo, da je zaradi te zahteve celovec bosonov v istem stanju, kot bi jih bilo, ce bi bili med seboj povsemneodvisni.

Postopajmo podobno kot pri fermionih. Energije enodelcnih stanjgrupirajmo v intervale s po gj stanji. Makrostanje sistema - konfigu-racija - je podano z mnozico stevil Nj, ki povedo, koliko delcev je v


intervalu j. Spet lahko vsako konfiguracijo dobimo na mnogo nacinov,ki so vsi enako verjetni, zato je verjetnost izbrane konfiguracije podanas stevilom nacinov - mikrostanj, ki jo tvorijo. Ker je stevilo delcevzelo veliko, lahko namesto povprecne konfiguracije vzamemo najboljverjetno, to je tisto, ki jo tvori najvec mikrostanj.

gj-1+Nj elementovgj-1+Nj elementov

Da prestejemo vse nacine, kako lahko porazdelimo delce po stan-jih v intervalih, vzemimo, da je v posameznem intervalu gj − 1 + Nj

elementov, ki so ali meje med stanji ali delci. Na sliki imamo tako raz-poreditev, ko je v 6 stanjih 9 delcev in sicer tako, da je v prvem stanju1 delec, v drugem 0, v tretjem 3, v cetrtem 2, v petem 1 in v sestem2. Vsa mozna mikrostanja v enem intervalu dobimo kot stevilo vsehkombinacij, kako iz gj − 1+Nj elementov (mej in delcev) izberemo Nj

elementov (delcev), to je

(gj − 1 +Nj)!

Nj! (gj − 1)!

Ce so gj dovolj velika stevila, lahko enice izpustimo. S tem, da smosteli le vse mozne kombinacije, smo ze upostevali, da so bosoni medseboj nelocljivi in je zato vseeno, v kaksnem vrstnem redu nastopajo.

Stevilo vseh mikrostanj P (Nj), ki tvorijo dano makrostanje, jeprodukt vseh stevil razporeditev v posameznih intervalih:

P (Nj) =j

(gj +Nj)!

Nj!gj!

Iscemo maksimum logaritma tega stevila pri pogojih, da je stevilo vsehdelcev N in da je njihova skupna energija Wn, torej ekstrem funkcije

Φ (Nj) =j

(gj +Nj) [ln (gj +Nj)− 1]−Nj (lnNj − 1)− gj (ln gj − 1) −

−α

j

Nj −N

− β

j

WjNj −Wn


Spet smo uporabili Stirlingov priblizek. Za ekstrem mora veljati

∂Φ

∂Nj= 0

ln (gj +Nj)− lnNj − α− βWj = 0

Ot tod je

gj +Nj

Nj= eα+βWj

Nj =gj

eα+βWj − 1

Zanima nas povprecna zasedenost posameznega enodelcnega stanja nj =Nj/gj

nj =1

eα+βWj − 1(11.5)

Dobljeni porazdelitvi povprecne zasedenosti, ki je lahko vecja od 1,pravimo Bose-Einsteinova porazdelitev. Lagrangeov multiplikator αdolocimo tako, da je nj = N , drugi multiplikator pa je spet povezans temperaturo:

β =1

kBT

Spet lahko ugotovimo, da za velike W zasedenost pada eksponentno,pri nizkih energijah pa je zasedenost vecja kot bi bila po eksponentniporazdelitvi, torej taki, pri kateri so delci neodvisni.

0 20

2

n

W/kT


Razliko med ekpsonentno in Bose-Einsteinovo porazdelitvijo kazeslika.

11.4.3 Gostota stanj

Da bomo lahko izracunali povprecja fizikalnih kolicin, na primer en-ergije plina, moramo izracunati vsote oblike

N =j

f (Wj)

Wn =j

Wjf (Wj)

kjer sestevamo po vseh energijah enodelcnih stanj. Ta stanja in njihoveenergije poznamo. Delci (fermioni ali bosoni) so zaprti v votlini v oblikikocke s togimi stenami, ki jo lahko obravnavamo kot tridimenzionalnoneskoncno globoko potencialno jamo. Naj bo dolzina roba L. Stanja vjami so stojeci ravni valovi, doloceni z valovnim vektorjem

k =π

L(nx, ny, nz) (11.6)

kjer so (nx, ny, nz)poljubna pozitivna cela stevila. Ustrezne energije so

Wk =h2k2

2m=

h2

2m

π2

L2n2x + n2y + n2z (11.7)

Pri racunanju povprecij bi morali tako sestevati po (nx, ny, nz), karje tezavno. Ker je delcev v plinu veliko in ker ima posoda obicajnomakrosopske razseznosti, so za veliko vecino zasedenih stanj stevila(nx, ny, nz) zelo velika, zaporedne energije pa zelo blizu skupaj, zatozelimo vsoto preoblikovati v integral. Pri tem pa moramo upostevati,da pri vseh energijah stanja niso enako gosta. Naj bo v okolici energijeW stevilo stanj dg. Potem je

j

f (Wj) = f (W ) dg

Ugotoviti moramo, kako se izraza dg.Zacnimo tako, da prestejemo, koliko je enodelcnih stanj - stojecih

valov - z velikostjo valovnega vektorja med k in k + dk.


Volmen take krogelne lupine v pozitivnem oktantu je

1

84πk2dk

Mozni valovni vektorji tvorijo v prostoru (kx, ky, kz) mrezo, v kateriso po enacbi 11.6 tocke razmaknjene za π

L, zato pripada enemu stanju

volumen πL

3. Stevilo stanj v lupini med k in k+ dk je tedaj razmerje

med volumnom lupine in volumnom, ki pripada enemu stanju:

dg =L3

π3π

2k2dk

V kolikor imamo opravka z elektroni, moramo upostevati se, da imavsak elektron lahko dve projekciji spina, zaradi cesar moramo dg pomnozitise z 2 in imamo

dg =V

π2k2dk (11.8)

kjer je V = L3 volumen posode. S tem smo gostoto stanj izrazili zvelikostjo valovnega vektorja. Obe porazdelitveni funkciji sta funkcijienergije, zato dg raje izrazimo z energijo, ki je funkcija velikosti val-ovnega vektorja:

W =h2k2

2m


k =1

h

√2mW

dk =

√m

h√2

dW√W

k2dk =1

2h3(2m)3/2

√W dW

Tako imamo gostoto stanj

dg =4πV (2m)3/2

h3

√W dW = ρ (W ) dW (11.9)

Tako lahko na primer izrazimo stevilo vseh delcev

N =j

f (Wj) =∞

0f (W ) ρ (W ) dW =

=4πV (2m)3/2

h3

∞

0

√W dW

e(W−WF )/kBT + 1

Ker ne poznamo WF , stevilo delcev pa je predpisano, je to enacba, skatero izracunamo Fermijevo energijo WF .

11.4.4 Klasicna limita

Pri dovolj visoki temperaturi mora postati obnasanje plina fermionovali bosonov klasicno, to je, porazdelitev delcev po hitrosti mora bitiMaxwellova. Tedaj je verjetnost, da ima delec dano energijo, ekspo-nentna, kot pricakujemo za neodvisne delce. Poglejmo, kako dobimo tolimito iz Fermi-Diracove ali Bose-Einsteinove porazdelitve.

Obe porazdelitve se razlikujeta le za znak v imenovalcu:

fF,B (W ) =1

eα+βW ± 1

Ne vemo se, koliksen je parameter α. Privzemimo, da je α >> 1.Tedajlahko 1 v imenovalcu zanemarimo in ze imamo pricakovani klasicnirezultat. Preveriti moramo se, pri koliksni temperaturi je privzetekizpolnjen. α izracunamo iz pogoja za stevilo delcev

N =4πV (2m)3/2

h3

∞

0

√W dW

eα+βW ± 1(11.10)


=4πV (2m)3/2

h3e−α

∞

0

√We−βWdW =

=4πV (2m)3/2

h3(kBT )

3/2 e−α∞

0βWe−βWdβW =

=2V (2πm)3/2

h3(kBT )

3/2 e−α

Od tod lahko izracunamo eα :

eα =2 (2πm)3/2

h3(kBT )

3/2 V

N

Kolicina h/√2mkBT predstavlja de Broglievo valovno dolzino delca z

energijo kBT in ji recemo tudi termicna valovna dolzina λT . Tako lahkozapisemo

eα = 2π3/2V

Nλ3T

Ce naj bo eα >> 1, mora torej biti volumen na delec dosti vecji od λ3T .Vzemimo za primer He, ki je plin, kjer se kvantni pojavi najbolj

izraziti, ker se utekocini pri najnizji temperaturi, to je pri okoli 4 K.Pri tlaku 1 bar in T = 300 K je λT = 0.08 nm, V/N = kBT/p = 4nm3 inje eα = 3·104. Klasicna limita je v tem primeru popolnoma upravicena.Pri temperaturi 3 K pa je λT = 0.8 nm, V/N = kBT/p = 0, 04 nm3,tako da je eα = 0.3. V resnici postane tekoci He pri 2,7 K superfluiden,to je, njegova viskoznost postane enaka 0, kar je neposredna poseldicatega, da so atomi helija bosoni - imajo celostevilcen spin.

Ko smo v klasicni visokotemperaturni limiti izracunali eα, lahkoizracunamo se notranjo energijo plina

W =4πV (2m)3/2

h3e−α

∞

0W√We−βWdW =

=3

2

2V (2πm)3/2

h3(kBT )

5/2 e−α =

=3

2NkBT

Upostevali smo enacbo 11.10 in da je ∞0 x3/2e−xdx = 3

2

√π2. Rezultat

za W seveda ze poznamo.


11.4.5 Tlak

Delo pri pocasnem stiskanju adiabatno izoliranega plina je enako spre-membi notranje energije plina:

dWn = −pdV

Ce je stiskanje dovolj pocasno, da je reverzibilno, je sprememba en-tropije 0 in je

p = −∂Wn

∂V

Notranjo energijo zapisimo spet kot vsoto po vseh enodelcnih stanjih

Wn = WjfF,B(Wj)

Pri pocasnem reverzibilnem stiskanju plina ostanejo delci na istih stan-jih, to je, v vsoti se fF,B(Wj) ne spremeni. Pac pa so od volumnaposode odvisne lastne vrednosti energije enodelcnih stanj, tako da je

p = − dWj

dVfF,B(Wj)

Energije enodelcnih stanj so

Wj =h2k2j2m

=h2π2

2mL2(n2x + n2y + n2z) =

=h2π2

2m(n2x + n2y + n2z)V

−2/3

tako da je

dWj

dV= −h

2π2

2m(n2x + n2y + n2z)

2

3V −5/3 =

= −23

Wj

V

Tako je tlak

p =2

3

1

VWjfF,B(Wj) =

2

3

Wn

V(11.11)


Ta zveza velja tako za fermione kot za bosone in seveda tudi za klasicniplin, za katerega iz Wn = 3/2NkBT dobimo

p =N

VkBT

Izpeljali smo torej plinsko enacbo.Opomba: Pri izpeljavi enacbe 11.11 smo uporabili nerelativisticno

zvezo med giblano kolicino p= hk in energijo: W = h2k2/2m. Zato jeza plin, v katerem imajo delci relativisticne energije, zveza med tlakomin energijo drugacna, kar ima pomembne posledice za stabilnost zvezd.

11.4.6 Degeneriran Fermijev plin

Obravnavajmo sedaj plin fermionov. Primer takega plina so elektroni vkovini, kjer pozitivni ioni dovolj dobro zsencijo odbojno interakcijo medelektroni, da se ti obnasajo kot skoraj prosti delci in v preporstih kov-inah, kot so na primer alkalni elementi z enim elektronom, je obravnavas Fermijevim plinom zelo dober priblizek.

Da dolocimo vrednost Feremijeve energije WF , moramo izracunatiintegral v zvezi

N = f (W ) ρ (W ) dW =4πV (2m)3/2

h3

∞

0

√W dW

e(W−WF )/kBT + 1

Ta integral ni elementarno izracunljiv, zato napravimo priblizek. PrikBT << WF je Fermijeva funkcija f ostra stopnica pri WF . Pod njo jef = 1, nad njo pa f =0. Zato je priblizno

N =4πV (2m)3/2

h3

WF

0

√WdW =

=8πV (2m)3/2

3h3W

3/2F

Fermijev energija je

WF =3

8π

2/3 h2

2m

N

V

2/3


Vzemimo za primer natrij. V njem je gostota elektronov enaka kotgostota atomov in je priblizno N/V = 25 /nm3. Tako je

WF =3

8π

2/3 12402 (eVnm)2

106eV(25)2/3 nm−2 = 3.3 eV

Torej pri 300 K se zelo dobro velja kBT << WF in je nas priblizek up-ravicen. Dober je tudi se pri precej visjih temperaturah, to je, dokler sokovine sploh trdne ali tekoce, ce nas ne zanima temperaturna odvisnostkake kolicine. Ker smo postavili, da je T = 0, pravimo, da je Fermijevplin degeneriran. V takem plinu so vsa stanja do WF zasedena, vsa nadWF pa prazna.

Ko poznamo WF , lahko izracunamo se notranjo energijo Fermi-jevega plina:

Wn =4πV (2m)3/2

h3

WF

0W√WdW =

=2

5

4πV (2m)3/2

h3W

5/2F =

=3

5N WF

Spet smo namesto integracije s Fermijevo funkcijo od 0 do∞ integriralile do WF . Povprecna energija vseh zasedenih stanj je torej 3/5 WF .

Izracunajmo se tlak degeneriranega Fermijevega plina.

p =2

3

Wn

V=

2

5

NWF

V=

2

5

3

8π

2/3 h2

2m

N

V

5/3

(11.12)

Tlak degeneriranega Fermijevega plina je razlicen od nic, kljub temu,da je T = 0. To seveda razumemo. Zaradi Paulijevega nacela dvafermiona ne moreta biti na istem mestu, ce pa posamezni delec stisnemov manjsi prostor, se mu zaradi Heisenbergovega nacela nedolocenostipoveca kineticna energija. To povecevanje kineticne energije delca prizmanjsevanju volumna seveda da tlak.

Primer: Tlak degeneriranega Fermijevega plina elektronov preprecuje,da bi se razdalja med ioni v kovini zaradi elektrostaticnega privlaka mednjimi in elektroni zmanjsala. Tako je stisljivost elektronskega plina


glavni prispevek k stisljivosti kovin. Stisljivost je dolocena z zvezo

dV

V= −χdp

Z uporabo enacbe 11.12 imamo

dp = −23

3

8π

2/3 h2

2m

N

V

5/3 dV

V=

= −23WF

N

V

dV

V= − 1

χ

dV

V

ali

χ =3

2

V

WFN

Stisljivost je povezana s hitrostjo zvoka v plinu, ki jo lazje merimo kotstisljivost:

vz =1

ρχ=

=2WFN

3ρV

V enoelektronskih kovinah, kot na primer v natriju, je stevilcna gostotaatomov enaka kot stevilcna gostota elektronov, zato je masa atomama = ρV/N in je

vz =2WF

3ma

Za natrij dobimo

vz = c2 · 3.3 eV

3 · 2, 3 · 1010eV = 10−5c = 3000m/s

kar je blizu izmerjene vrednosti.Primer: Tlak degeneriranega Fermijevega plina je pomemben tudi

za ravnotezje nekaterih nebesnih teles. V belih pritlikavkah, to je os-tankih zvezd z maso M < 1, 4Msonca, tlak elektronov vzdrzuje sredizvezde zadosten tlak, da se ta ne sesede zaradi lastne gravitacije. V


nevtronskih zvezdah pa so fermioni, katerih tlak vzdr”uje ravnovesje stezo, nevtroni, ki imajo kot protoni spin 1/2.

Ocenimo, kaksen je radij nevtronske zvezde z M = Msonca. Hidro-staticni tlak sredi zvezde, ki je posledica teze vseh plasti zvezde vlastnem gravitacijskem polju, mora biti enak tlaku Fermijevega plinanevtronov. Predpostavimo, da je gostota nvtronov po vsej zvezdi enaka(glavna poenostavitev). Potem je gravitacijski pospesek na danemradiju znotraj zvezde

g (r) = κ4πρr3

3r2=

4π

3κ ρ r

Sprememba tlaka med r in r − dr je

dp = ρ g (r) dr

tako da je tlak v srediscu zvezde

p (0) =R

0

4πκρ2

3r dr =

2πκρ2

3R2 =

=3

8πκM2

R4

To izenacimo s tlakom Fermijevega plina:

3

8πκM2

R4=

2

5

3

8π

2/3 h2

2mN

3N

4πR3

5/3

Tu jemN masa nevtrona, N pa stevilo vseh nevtronov v zvezdi. Upostevamose, da je M = NmN in dobimo zvezo med radijem in maso zvezde

R =1

5 · 22/33

4π

7/3 h2

κm8/3N M1/3

Numericnega faktorja zaradi predpostavke o konstatni gostoti ne smemovzeti resno. Za M = Msonca = 2 · 1030 kg dobimo R 1 km. Gostotanevtronske zvezde je zelo velika, taka kot gostota atomskega jedra.

11.5. SEVANJE CRNEGA TELESA 27

11.4.7 Toplotna kapaciteta Fermijevega plina

Toplotna kapaciteta je

CV =∂Wn

∂TDa lahko ta odvod izracunamo, moramo poznati vedenje Wn pri koncniT, ne le pri T = 0. Tocen racun prvega popravka Wn za nizke, a koncneT, je dokaj zamuden (glej Strnad, Fizika IV), zato napravimo le oceno.Ce je T = 0 , Fermijeva funkcija ni vec stopnica, temvec se zveznospreminja v obmocju kBT . Tako lahko ocenimo, da delez

δN = NkBT

WF

pridobi termicno energijo kBT . Zato je povecanje notranje energije

δWn = δN kBT = N(kBT )

2

WF

Klasicno bi pricakovali, da je prispevek elektronov k notranji energiji32NkBT , dobili pa smo oceno, da je za faktor kBT/WF 0.01 manjsi.

Toplotna kapaciteta je torej

CV =∂δWn

∂T= N

k2BWF

T

CV ni konstantna, kot za klasicni plin in je spet za faktor kBT/WF

manjsa. Zakaj je prispevek elektronov k specificni toploti kovin takomajhen, je bila do odkritja kvantne statistike uganka.

11.5 Sevanje crnega telesa

Poglejmo sedaj primer plina bosonov, to je fotone. Fotoni - svetloba -v votlini, ki so v ravnovesju pri dani temperaturi, dajo sevanje crnegatelesa, njegov spekter in Stefanov zakon.

Popvrecna zasedenost enodelcnih stanj za bosone je podana z Bose-Einsteinovo porazdelitvijo

n (W ) =1

eα+βW − 1


Lagrangeov multiplikator je potreben, da lahko predpisemo stevilo del-cev v plinu. Fotoni pa so brezmasni delci, katerih stevilo se ne ohranja:lahko imamo na primer dva fotona pri izbrani energiji, ki se pretvoritav en foton pri dvojni energiji. S tem se energija ohrani, stevilo fotonovpa ne. Zato za fotone lahko postavimo α = 0.

Zanima nas skupna notranja energija vse svetlobe v votlini. Ponasih predpisih to dobimo kot vsoto energij vseh enodelcnih stanjih,pomnozenih z zasedenostjo stanj:

Wn =k

Wkn (Wk)

Energije fotonov soWk = hωk = hck

Mozne velikosti valovnega vektorja k so doloc”ene s tem, da mora bitilastno stanje energije stojece valovanje v votlini. Naj ima ta spet oblikokocke z robom L. Tedaj so mozne vrednosti valovnega vektorja

k =π

L(nx, ny, nz)

Vsoto za energijo fotonov v votlini zelimo spet preoblikovati v in-tegral. Zato moramo poznati gostoto stanj na interval energije ali vprimeru fotonov raje frekvence ω:

Wn =∞

0

hω

ehω/kBT − 1dg

Ker so stanja spet stojeci valovi, ki imajo pri danem k lahko dve po-larizaciji, je enako kot za elektrone

dg =V

π2k2 dk

Ker je ω = ck, je gostota stanj na interval frekvence

dg =V

π2c3ω2dω

Tako je energija

Wn =V h

π2c3

∞

0

ω3 dω

ehω/kBT − 1


Iz tega izraza ze lahko izluscimo pomemben rezlutat. Delez energijesevanja na interval frekvence je

dWn

dω=

V h

π2c3ω3

ehω/kBT − 1

Ta kolicina je spekter crnega telesa, ki ga je prvi izracunal Planck. Prinizkih frekvencah ( hω << kBT ) lahko eksponentno funkcijo razvijemodo linearnega clena in vidimo, da spketer narasca kot ω2, pri visokihfrekvencah pa spekter eksponentno pojema, kar je seveda posledicakvantizacije energije. Vrh spektra dobimo s tem, da ugotovimo, kjeima funkcija x3/(ex − 1) maksimum. Z odvajanjem dobimo

3x2(ex − 1)− x3ex

(ex − 1)2= 0

x = 3 1− e−x

Ta transcendentna encba ima resitev x = 2, 82, ki jo lahko dobimoz iteracijo. Ker je x = hω/kBT , dobimo tako Wienov zakon ωmax =2, 82 kBT/h.

Vrnimo se k skupni notranji energiji. V integral vpeljimo novo spre-menljivko x = hω/kBT :

Wn =V

π2c3h3(kBT )

4∞

0

x3 dx

ex − 1

Zadnji integral je le stevilo in je enak π4/15. Energija je tako

Wn =π2

15

V k4Bc3h3

T 4

Ta rezultat je skoraj Stefanov zakon, edina razlika je, da smo dobiliskupno energijo sevanja crnega telesa v votlini, ne pa izsevanega tokana enoto ploskve. Obe kolicini sta seveda sorazmerni. Zvezo med njimadobimo z naslednjim premislekom. V votlini so fotoni enakomerno po-razdeljeni po vseh smereh, zato je gostota toka v izbrani smeri gostotaenergije, pomnozena s hitrostjo svetlobe in razmerjem izbranega pros-torskega kota proti celotnemu prostorskemu kotu:b

dj = wcdΩ

4π


Moc, ki se izseva skozi majhno odprtino povrsine S, dobimo tako, dasestejemo vso gostot toka, ki pade na odprtino iz polovice prostorskegakota, pri cemer moramo upostevati, da se za tok, ki pada na odprtinopod kotom θ, povrsina zmanjsa za faktor cos θ :

P =Swc

4π

π/2

0cos θ 2π d (cos θ) =

=Swc

2

1

0x dx =

S w c

4

Izsevana gostota toka je torej

j∗ =w c

4=

π2

60

k4Bc2h3

T 4

kar je Stefanov zakon. Stefanova konstanta je

σ =π2

60

k4Bc2h3

= 5, 67 · 10−8W/m2K4

11.5.1 Tlak plina fotonov

Fotoni v votlini na stene delujejo s tlakom. Vendar ne smemo uporabitizveze med gostoto energije in tlakom, ki smo jo dobili za nerelativisticnedelce, ker smo tam uporabili zvezo med valovnim vektojem in energijoWk =

h2k2

2m, ki za fotone ne velja. Zanje imamo

Wk = hck =hcπ

Ln2x + n2y + n2z

1/2

Tlak je

p = −∂Wn

∂V= − dWk

dVn (Wk)

Spet smp privzeli, da je sprememba volumna reverzibilna, zato se zasedenoststanj ne spremeni. Ponovno moramo izracunati

dWk

dV=

d

dV

hcπ

V 1/3n2x + n2y + n2z

1/2=

= −13hcπ n2x + n2y + n2z

1/2V −4/3 =

= −13

Wk

V


tako da je tlak

p =1

3

Wk

Vn (Wk) =

1

3

Wn

V

Za plin fotonov je torej tlak le 1/3 gostote energije, ne 2/3 kot zanerelativisticen plin. To velja tudi za druge delce, katerih polna energijaje velika v primerjavi z mirovno. To relativno zmanjsanje tlaka zarelativisticne energije je krivo, da pri preveliki masi bele pritlikavke innevtronske zvezde niso stabilne, temvec se zaradi lastne teze skrcijov crne luknje. To se zgodi, kadar Fermijeva energija elektronov alinevtronov v srediscu zvezde znatno preseze mirovno energijo.

Zanimivo je izracunati, koliksen je tlak svetlobe v srediscu Sonca.Temperatura je T = 3 · 107 K.

p =1

3

Wn

V=

4

3

j∗

c=

4

3

σ

cT 4 = 2 · 1014N/m2

To moramo primerjati s hidrostaticnim tlakom sredi Sonca, ki je redavelikosti (glej primer nevtronske zvezde zgoraj)

pg ∼ 1

8κM2

R4= 1, 4 · 1014N/m2

Svetlobni tlak je torej zadosten za vzdrzevanje ravnovesja v srediscuSonca.

11.5.2 *Bose-Einsteinova kondenzacija

Kot bosoni se obnasajo tudi atomi s celostevilcno skupno vrtilno kolicino.Za razliko od fotonov se seveda stevilo atomov ohranja, zato Lagrangeovegamultiplikatorja α ne moremo postaviti na 0. Pri dovolj nizki temepra-turi pride do zelo zanimivega pojava Bose-Einsteinove kondenzacije.

Da dolocimo α pri znanem stevilu delcev, moramo izpolniti pogoj

N = nk (11.13)

kjer je popvrecna zasedenost stanja k

nk =1

eα+βWk − 1


Naj bo za osnovno stanje W0 = 0. Zasedenost tega stanja je tedaj

n0 =1

eα − 1

Videli smo, da α pada s padajoco temperaturo. Ce postane dovoljmajhen, je stevilo bosonov v osnovnem stanju primerljivo s stevilomvseh delcev N . Tedaj vsote 11.13 ne moremo preprosto pretvoriti vintegral, temvec moramo visoko zasedeno osnovno stanje obravnavatiposebej:

N = n0 +AV∞

0

√WdW

eα+βW − 1

Pri tem je A = 2π(2m)3/2

h3. Ko smo posebej zapisali prispevek osnovnega

stanja, lahko za vsa ostala vsoto prevedemo v integral, kjer se vednolahko integriramo od 0 naprej, ker v integralu posamezno stanje prineseinifnitezimalno malo. V integral uvedemo novo spremenljivko u = βW ,tako da je integral odvisen le se od α :

N = n0 +AV (kBT )3/2G (α)

kjer je

G (α) =∞

0

√udu

eα+u − 1

Ta integral ni elementarno izracunljiv. Njegova vrednost pri 0 je

G (0) = 2, 6 ·√π

2

za α >> 1 pa√π2e−α. Za dovolj nizke temperature je tako

n0 = N −AV (kBT )3/2G (0)

Zasedenost osnovnega stanja je tako primerljiva z N , dokler je n0 >0. Tej veliki zasedenosti osnovnega stanja pravimo Bose-Einsteinovakondenzacija. Pricne se pri temperaturi TBE, ki je dolocena z zvezo

N

V= A (kBTBE)

3/2G (0)

poglavje11 statistiˇcnaﬁzikatine/statfiz.pdfpoglavje11 statistiˇcnaﬁzika...

Documents