pokročilé programovanie ii - uniba.skdavinci.fmph.uniba.sk/~markos3/prednasky/pp-4-fraktaly.pdfmay...
TRANSCRIPT
Pokročilé programovanie IINelineárne iteračné schémy, chaos, fraktály
Peter Markoš
Katedra experimentálnej fyziky F2-253
Letný semester 2017/2018
Obsah
I Logistická mapa - May
I Period doubling, podivný atraktor, fraktál
I Iné typy diferenčných schém
I Intermitencia, phase locking
MayNajjednoduchšia diferenčná schéma:
xn+1 = f (xn) = λxn(1− xn)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
xn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xn+1
λ = 1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
xn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
xn+1
λ = 2.5
Pre λ > 1 existuje stabilný pevný bod x = 1− λ−1 ktorý je riešenímrovnice
x = f (x)
Ale . . .
May
Podmienka stability:∣∣∣∣∂f∂x∣∣∣∣x=x
< 1
Pevný bod sa stane nestabilným, ak λ > 3 lebo
∂f
∂x
∣∣∣∣∣x=x
= 2− λ
Vzniknú miesto neho dva nové sta-bilné body
xn+2 = f (f (xn)) = f (2)(xn)
nastal period doubling(vidličková bifurkácia)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
λ = 3.2
May
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
λ = 3.2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+2
λ = 3.2
Dva stabilné pevné body, medzi nimi jeden nestabilný.Kritérium stability:∣∣∣∣∂F (x = x)
∂x
∣∣∣∣ < 1
MayĎalší nárast parametra λ spôsobí nárast periódy:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+4
λ = 3.53
0,75 0,8 0,85 0,9
xn
0,8
0,85
0,9
xn+4
λ = 3.53
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
λ = 3.5699
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
xn
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
λ = 3.97
MayFeigenbaum:
I séria kritických hodnôt λn v ktorých dochádza k zdvojnásobeniuperiódy (period doubling)
I univerzálne škálovanie:
αn =λn−1 − λn−2
λn − λn−1
n perioda λn αn
1 2 3 ¯2 4 3.4494897 ¯3 8 3.5440903 4.75144 16 3.5644073 4.65625 32 3.5687594 4.66836 64 3.5696916 4.66867 128 3.5698913 4.66928 256 3.5699340 4.6694
https://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum constants
May
Zostrojme pravdepodobnostné rozdelenie hodnôt xn (n < N) Ak1 < λ < 3 tak
p((xn) = Nδxn,x
Pre periodický dej s periódou P iteračná schéma prechádza bodmix1, x2, . . . xP a
p(x) =P∑i
N
Pδx,xi
May
Existujú hodnoty λ, pre ktoré nenájdeme periodický režim. Napr. pre
λ∗ = 3.56995
Pozorujeme deterministický chaos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 10
1e+06
2e+06
3e+06
Pravdepodobnostné rozdelenie p(x) po N = 109 iteráciách.
MayPostup (Algoritmus výpočtu pravdep. rozdelenia).
I rozdeľ interval (0, 1) na M dielov (napr. M = 5 000 000)deklaruj pole h(M) = 0 a ∆ = M−1
I iteruj N iterácií xi = f (xi−1), i = 1, 2, . . .N (N ≥ 109)po každej iterácii počítajindex = INT(xi ∗M) +1h(index) = h(index)+1
I po skončení iterácii vypíš výsledok:pre i=1,Mak h(i)>0 tak print i/M, h(i)
I Normovanie:
h(index)→ 1N∆
h(index)
Normovanie potrebujeme, aby platilo∫p(x)dx =
N∑i
∆p(xi ) =N∑i
hi = 1
V našom prípade ho môžeme preskočiť.
May: self-similarity
0 0,2 0,4 0,6 0,8 10
1e+06
2e+06
3e+06
0,8 0,85 0,90
1e+06
2e+06
3e+06
May: self-similarity
0,8 0,85 0,90
1e+06
2e+06
3e+06
0,83 0,835 0,840
5e+05
1e+06
Typická vlastnosť fraktálnej množiny.
Cantorova množinaAlgoritmus: nekonečný počet iterácií:
Fraktál s fraktálnou dimenziou
df =ln 2ln 3
Pretože: ak meriam jeho “hmotnosť” M meradlom dĺžky ∆, dostanem
M = ∆−df ×∆
Obyčajná úsečka má samozrejme df = 1, pretože získaná hmotnosťnezávisí od delenia.
Fraktálna dimenziaAk vyplníme len intervaly, v ktorých h(i) 6= 0, dostaneme fraktálnumnožinu:
Nájdeme jej fraktálnu dimenziu:
I zvolím m = 2, 3, . . . a rozdelím interval (0,1) na 2m dielikov
I nájdem N(m) - počet dielikov, v ktorých leží časť nášho fraktálu
I urobím log-log plot Nm vs ln 2m a nájdem df zo smernice
Diskusia:
Interval som rozdelil na M = 2m dielikov.
I veľmi malé m - nedôveryhodnévýsledky
I veľké m - df → 1 pretože smefraktál zostrojili len zkonečného počtu intervalov.
I Záver: fraktál vidíme len voblasti, kde M > 2m.
0 5 10 15
ln 2m
0
5
10
ln N
(m)
0.5970.967
Úlohy
1. Napíšte program pre nelineárnu schému (May). Presvedčte sa, žezmenou parametra λ zmeníte periódu deja.
2. Pre λ = 3.56995 iterujte nelinárnu schému (aspoň 109 iterácií.Zostrojte pravdepodobnostné rozdelenie p(x) ukážte jehoself-podobnosť.
3. Nájdite fraktálnu dimenziu.
Iná nelineárna schéma - phase locking
Nelineárny iteračný proces (má základ vo fyzikálnych dejoch)
xn+1 = xn + Ω− k
2πsin(2πxn) (mod 1)
k . . . koeficient nelinearity
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
Omega=0.5, k=0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
Omega=0.5, k=0.5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
Omega=0.51, k=0.95
Phase locking - proces je periodický aj keď Ω 6= p/q.
Intermittencia
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
Omega=0.08, k=0.44
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1x
n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn+1
Omega=0.08, k=0.44
0 20 40n
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xn
Pre niektoré hodnoty parametrov systém veľmi dlho zotrvá v blízkostinejakých hodnôt, a potom sa prudko v krátkom období zmení. Ukážka,ako nelinearita ovplyvňuje stabilitu systému.