ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

NESNESEL PROGRAMLAMA YÖNTEMLERĠ ĠLE YAPI SĠSTEMLERĠNĠN

DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZĠ

DOKTORA TEZĠ

Murat YILMAZ

(501032103)

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 28 Eylül 2009

Tezin Savunulduğu Tarih : 12 Ocak 2010

Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. A. Yalçın AKÖZ (Maltepe Ü.)

Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ġbrahim BAKIRTAġ (ĠTÜ)

Prof. Dr. Surkay AKBAROV (YTÜ)

Prof. Dr. Hasan ENGĠN (ĠTÜ)

Prof. Dr. Semih TEZCAN (BÜ)

OCAK 2010

ii

iii

Kardeşlerim Berna ve Burak’ a

iv

v

ÖNSÖZ

Günümüzde yapı sistemlerinin analizinde sonlu elemanlar yönteminin kullanımı

kaçınılmaz hale gelmiştir. Gelişen ihtiyaçlar dahilinde, analizler karmaşıklaştıkça

yapılan modellemeler ve bu modelleri programlama ortamına aktarmak zorlaşmıştır.

Bilgisayar teknolojileri açısından bakıldığında bir yandan bilgisayarlar hızlanmakta

ve kapasiteleri artmakta olup, diğer yandan programlama teknikleri gelişmektedir.

Programlama tekniklerinin en başarılı ve yaygın kullanılanlarından biri de nesne

yönelimli programlamadır. Bu programlama tekniği doğal yapısı itibari ile sonlu

eleman yöntemindeki mevcut kavramlarla büyük bir uyum sağlamaktadır.

Bu teknik ile sonlu eleman programlamak için, modellemede kullanılan tüm araçları

birer nesne gibi düşünmek ve bu nesnelerin birbirleri ile iletişimini kurgulamak

gerekmektedir.

Tez kapsamında sonlu eleman geliştiricileri için nesnesel yapıya sahip yeni bir

programlama dili geliştirilmiş (FEMLANG) ve bu dili kullanmanın avantajları ortaya

konulmaya çalışılmıştır.

Sonlu eleman geliştiricileri için gerekli araçlar dilin yapısında olmak durumundadır.

Dilin geliştirme sürecinde bu araçları belirlemek için örnek problemlere ihtiyaç

duyulmuştur. Örnek problem olarak büyük ölçüde çubuk sistemlerin büyük yer

değiştirme hesabı ele alınmış olup ―MyBeam‖ adlı oldukça iyi performanslı yeni bir

çubuk eleman geliştirilmiştir.

Tez bu haliyle bir başlangıç niteliğindedir. Geniş bir konuda çözüm üreten yetenekli

bir programlama dili yazmak ucu daima gelişmeye açık olacak bir konudur. Bu

yüzden tezin bir noktada bitirilmesi zorunlu olmuştur.

Tezin mevcut haline gelmesinde bana en büyük desteği veren sayın danışman hocam

Prof. Dr. Yalçın AKÖZ‘e önemli bir teşekkür borçluyum. Ayrıca tez izleme

komitesindeki sayın hocalarım Prof. Dr. İbrahim BAKIRTAŞ ve Prof. Dr. Surkay

AKBAROV ‗un da eleştirileri sayesinde özellikle tezin teorik çalışmalar içeren

kısımlarının şekillenmesinde önemli katkıları olmuştur. Bu yüzden kendilerine

teşekkür ederim. Ayrıca diğer hocalarıma, aileme ve tüm arkadaşlarıma bana karşı

göstermiş oldukları sabır ve destekten ötürü teşekkür etmek istiyorum.

Ve son olarak TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına üç yıl

boyunca bana vermiş oldukları burs desteği için sonsuz teşekkürlerimi sunmak

istiyorum.

Umarım kendimde bu tezin devamını getirme gücü bulabilirim.

Ocak 2010 Murat YILMAZ

(Yüksek İnşaat Mühendisi)

vi

vii

ĠÇĠNDEKĠLER

Sayfa

ÖNSÖZ........................................................................................................................v

ĠÇĠNDEKĠLER ........................................................................................................ vii

KISALTMALAR....................................................................................................... ix

ÇĠZELGE LĠSTESĠ .................................................................................................. xi

ġEKĠL LĠSTESĠ ...................................................................................................... xiii

SEMBOL LĠSTESĠ .................................................................................................. xv

ÖZET.......................................................................................................................xvii

SUMMARY ............................................................................................................. xix

1. GĠRĠġ.......................................................................................................................1 1.1 Tezin Amacı ....................................................................................................... 1

1.2 Literatür Özeti .................................................................................................... 3

1.3 Yol Haritası ........................................................................................................ 4

2. GEOMETRĠK YADDOĞRUSAL HESAP.......................................................... 5 2.1 Deformasyon Gradyanının Hesaplanması .......................................................... 6

2.2 Diferansiyel Hacim ve Alan Bağıntıları ............................................................. 7

2.3 Green-Lagrange Genleme Tansörü .................................................................... 9

2.3.1 Birim boy değişimleri ................................................................................. 9

2.3.2 Açı değişimleri .......................................................................................... 11

2.4 Cauchy ve Piola-Kirchhoff Gerilme Tansörleri ............................................... 13

2.5 Virtüel İş Denklemi .......................................................................................... 14

2.5.1 Virtüel iş denkleminin başlangıç konumunda ifade edilmesi ................... 15

2.5.2 Virtüel iş denkleminin doğrusallaştırılması .............................................. 16

2.6 Sonlu Elemanlar Formülasyonu ....................................................................... 19

2.7. Sonlu Elemanlarda Newyon-Raphson Yöntemi .............................................. 21

2.7. Yaddoğrusal Hesap Uygulaması ..................................................................... 22

3. ÇUBUK SĠSTEMLER ĠÇĠN BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME HESABI ........... 25 3.1 Sadece Normal Kuvvet Taşıyan Sistemler ....................................................... 25

3.1.1 Şekil değiştirme ölçüsünün seçimi ............................................................ 25

3.1.2 Sürekli ortam formülasyonu (sabit alan) ................................................... 28

3.1.3 Sürekli ortam formülasyonu (sıkışmaz malzeme) .................................... 34

3.1.4 Sonlu eleman denklemlerinin oluşturulması ............................................. 35

3.1.5 Birinci mertebe burkulma yükünün belirlenmesi...................................... 37

3.1.6 Örnek kafes sistem analizleri .................................................................... 39

3.1.6.1 Örnek 1 39

3.1.6.2 Örnek 2 41

3.2 Eğilmeye Çalışan Elemanlar ............................................................................ 43

3.2.1 Kinematik bağıntılar ................................................................................. 43

3.2.2 Sonlu eleman denklem takımının elde edilmesi ....................................... 49

3.2.3 Bünye denklemleri ve iç yük vektörünün elde edilmesi ........................... 51

3.2.4 Örnek problemler ...................................................................................... 53

3.2.4.1 Örnek 1 53

viii

3.2.4.2 Örnek 2 54

3.2.5 Doğrusal burkulma problemi .................................................................... 57

3.2.6 Burkulma problemi ................................................................................... 59

3.2.6.1 Örnek 1 59

3.2.7. Bezier eğrileri ile yaddoğrusal kiriş problemi .......................................... 61

3.2.7.1 Bezier eğrileri 62

3.2.7.2 Sonlu yer değiştirme hesabı 63

3.2.7.3 Virtüel iş teoremi ve yönsel türev 66

3.2.7.4 Yaddoğrusal denklem takımını çözümü 68

3.2.7.5 Dönme sınır koşulunun denklem takımına etkisi 68

3.2.7.6 Sayısal uygulamalar 70

Doğru eksenli ankastre kiriş ........................................................................ 70

Eğri eksenli ankastre kiriş ............................................................................ 71

3.2.8 Malzeme yaddoğrusallığı .......................................................................... 72

3.2.8.1 Düzlem gerilme elemanı 73

3.2.8.2 Doğrusal olmayan bünye bağıntısı 75

3.2.8.3 Hesap algoritması 77

3.2.8.4 Akma yüzeyine taşınma 79

3.2.8.5 Elasto-plastik gerilmelerin hesaplanması 80

3.2.8.6 Örnek 80

4. BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME YAPAN ÇUBUK SĠSTEMLERĠN DĠNAMĠK

ANALĠZĠ ................................................................................................. 83 4.1 İntegrasyon Yönteminin Seçimi ....................................................................... 83

4.2 Dinamik Denge Denklemi ................................................................................ 83

4.3 Açık Dinamik Analiz ........................................................................................ 84

4.3.1 Doğrusal ivme kabulü ............................................................................... 84

4.3.2 Sabit ivme kabulü ...................................................................................... 85

4.4 Kapalı Dinamik Analiz ..................................................................................... 86

4.5 Kütle Matrisinin Elde Edilmesi ........................................................................ 88

4.6 Örnek Problemler ............................................................................................. 89

4.6.1 Örnek 1 ...................................................................................................... 89

4.6.2 Örnek 2 ...................................................................................................... 92

5. SONLU ELEMAN GELĠġTĠRME VE ANALĠZ ÇATISI (SEGAÇ) ............. 93 5.1 Genel Sonlu Eleman Altyapısı (FEMWORKS) ............................................... 96

5.1.1 Düğüm noktası nesnesi (Node) ................................................................. 97

5.1.2 Eleman nesnesi (Element) ......................................................................... 99

5.1.3 Sonlu eleman yapı sisteminin oluşturulması (Structure)......................... 103

5.1.4 Sistem denklem takımının oluşturulması (FEMAssembler) ................... 104

5.1.5 Yaddoğrusal çözücü (Solver) .................................................................. 105

5.2 Yeni Bir Sonlu Eleman Yaratma ve Çözümleme Dili (FEMLANG) ............. 106

5.2.1 Programlama dilinin yapısı ..................................................................... 108

5.2.2 Örnek kafes sistem düğüm noktasının tanımlanması .............................. 108

5.2.3 Örnek kafes elemanın tanımlanması ....................................................... 110

5.2.4 Kafes sistemin yaratılması ...................................................................... 112

5.2.5 Çözücü nesnesinin yaratılması (Solver) .................................................. 114

5.2.6 Sistemin çözümü ve sonuçların görüntülenmesi (Run)........................... 114

5.3 FEMBIND Hakkında ...................................................................................... 115

6. SONUÇLAR ....................................................................................................... 117

KAYNAKLAR ........................................................................................................ 119

EKLER....................................................................................................................123

ix

KISALTMALAR

SEY : Sonlu Elemanlar Yöntemi

NYP : Nesne Yönelimli Programlama

SEGAÇ : Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı

PK : Piola-Kirchhoff

LG : Lagrange-Green

x

xi

ÇĠZELGE LĠSTESĠ

Sayfa

Çizelge 3.1 : Eğri eksenli kiriş ............................................................................... 72

Çizelge A.3.1 : Bezier eğrileri ile konsol kiriş problemi..........................................129

xii

xiii

ġEKĠL LĠSTESĠ

Sayfa

ġekil 1.1 : SEGAÇ temel bileşenleri ........................................................................... 3

ġekil 2.1 : Başlangıç ve güncel konumlarda diferansiyel doğru parçaları .................. 5

ġekil 2.2 : Yer değiştirme vektörü ............................................................................... 9

ġekil 2.3 : Güncel konumda açı değişimi .................................................................. 11

ġekil 3.1 : Kafes eleman uç kuvvetleri ve normal kuvvet ......................................... 25

ġekil 3.2 : Normal kuvvet çubuğunun sürekli ortam modeli ..................................... 28

ġekil 3.3 : İki boyutta normal kuvvet çubuğu............................................................ 29

ġekil 3.4 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta kayma şekil

değiştirmeleri ............................................................................................ 31

ġekil 3.5 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta asal şekil değiştirme .. 32

ġekil 3.6 : İki çubuklu normal kuvvet sistemi ........................................................... 39

ġekil 3.7 : Örnek 1 e ait çeşitli şekil değiştirme ölçüleri için kuvvet-yer değiştirme

grafikleri ................................................................................................... 40

ġekil 3.8 : İki boyutlu kafes sistem ............................................................................ 41

ġekil 3.9 : n6 düğüm noktasının düşey yer değiştirme-kuvvet grafiği ...................... 41

ġekil 3.10 : Stabilite kaybı öncesi kafes sistem yerdeğiştirmesi (A noktası) ............ 42

ġekil 3.11 : Stabilite kaybı sonrası kafes sistem yerdeğiştirmesi (B noktası) ........... 42

ġekil 3.12 : Dönmüş lokal eksen takımında elemanın merkezsel ekseni .................. 43

ġekil 3.13 : Merkezsel eksenin vektörel ifadesi ........................................................ 44

ġekil 3.14 : Eleman kesit koordinat vektörü .............................................................. 46

ġekil 3.15 : Referans sistemde merkezsel eksenin vektörel ifadesi........................... 47

ġekil 3.16 : Eleman uç kuvvetleri ve kesit tesirleri ................................................... 49

ġekil 3.17 : Eleman moment dengesi ........................................................................ 50

ġekil 3.18 : Elemanın açısal bilinmeyenleri .............................................................. 52

ġekil 3.19 : Konsol kiriş örneği ................................................................................. 54

ġekil 3.20 : Konsol kiriş statik analizi : ANSYS, Sap2000 ve MyBeam .................. 54

ġekil 3.21 : Çerçeve statik analizi.............................................................................. 55

ġekil 3.22 : Çerçeve sistem yük-deplasman grafiği (C noktası düşey) ..................... 55

ġekil 3.23 : Çerçeve sistemin eğilme çizimleri ......................................................... 56

ġekil 3.24 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri .......................... 56

ġekil 3.25 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri .......................... 57

ġekil 3.26 : Şekil değiştirmiş elemana ait diferansiyel parçada kesit tesirleri........... 58

ġekil 3.27 : Konsol kiriş hareketli burkulma örneği .................................................. 59

ġekil 3.28 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (stabil durum) ........................ 60

ġekil 3.29 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (burkulma durumu) ............... 60

ġekil 3.30 : Konsol kiriş kritik hareketli burkulma yükü – eleman saysı grafiği ...... 61

ġekil 3.31 : Üçüncü mertebe Bezier eğrisi ve dört kontrol noktası ........................... 62

ġekil 3.32 : Üçüncü mertebe Bernstein polinomları .................................................. 63

ġekil 3.33 : Yer değiştirmiş konum ve referans konum ............................................ 64

ġekil 3.34 : Koordinat parametreleri ......................................................................... 66

ġekil 3.35 : Kontrol noktaları ve uç kuvvetler ........................................................... 66

xiv

ġekil 3.36 : Bezier eğrisi ve kontrol noktaları ........................................................... 69

ġekil 3.37 : Yer değiştirmiş ve referans konumlara ait Bezier eğrileri ...................... 69

ġekil 3.38 : Ankastre mesnetli doğru eksenli kiriş .................................................... 70

ġekil 3.39 : Örnek program çıktısı ............................................................................. 70

ġekil 3.40 : PL2/EI = 2, 10 ve 15 için yer değiştirmiş konumlar ............................... 71

ġekil 3.41 : Konsol kiriş statik analizi Sap2000 ile karşılaştırma ............................. 71

ġekil 3.42 : Ankastre mesnetli eğri eksenli kiriş........................................................ 72

ġekil 3.43 : Bir nolu düğüm noktasında yer değiştirme alanları................................ 73

ġekil 3.44 : Gerilmenin akma yüzeyine taşınması ve elasto plastik gerilmelerin

hesaplanması ............................................................................................ 79

ġekil 3.45 : Akma fonksiyonun ya bağlı noktasal değerleri ................................ 79

ġekil 3.46: Konsol kiriş boyutlar ve yükleme ............................................................ 81

ġekil 3.47: P = 3.3 kN değeri için 10 kat büyütülmüş yer değiştirmeler ve

plastikleşme bölgesi ................................................................................. 81

ġekil 3.48: Çevrimsel yükleme davranışı (konsol serbest uç yer değiştirmesi esas

alınmıştır) ................................................................................................. 82

ġekil 4.1 : Konsol kiriş örneği ................................................................................... 89

ġekil 4.2 : Konsol kiriş ani yükleme .......................................................................... 90

ġekil 4.3 : Düşey yer değiştirme –zaman grafiği (açık şema / 1 eleman / yayılı kütle)

.................................................................................................................. 90

ġekil 4.4 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (MyBeam) ...... 91

ġekil 4.5 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (Sap2000)....... 91

ġekil 4.6 : Serbest çerçeve dinamik analizi ............................................................... 92

ġekil 4.7 : Serbest çerçeve anlık yükleme ................................................................. 92

ġekil 5.1 : SEGAÇ temel bileşenleri ......................................................................... 94

ġekil 5.2 : Düğüm noktası nesnesi ve örnek kod yapısı ............................................ 94

ġekil 5.3 : Nesne yapısı .............................................................................................. 95

ġekil 5.4 : SEGAÇ‘ ın çalışma şekli .......................................................................... 96

ġekil 5.5: Düğüm noktalarında tanımlanan yapılar ................................................... 98

ġekil 5.6 : Düğüm noktası nesnesi yapısı .................................................................. 99

ġekil 5.7 : Eleman nesnesi ....................................................................................... 102

ġekil 5.8 : Structure nesnesi ..................................................................................... 104

ġekil 5.9 : FEMAssembler nesnesi .......................................................................... 105

ġekil 5.10 : Solver nesnesi ....................................................................................... 106

ġekil 5.11 : İki boyutlu kafes nesnesi ...................................................................... 107

ġekil 5.12 : İki boyutlu kafes düğüm noktası nesnesi .............................................. 108

ġekil 5.13 : İki boyutlu kafes eleman nesnesi .......................................................... 110

ġekil 5.14 : İki boyutlu kafes sistem ........................................................................ 112

ġekil 5.15 : İki boyutlu kafes sistemin yaratılması .................................................. 112

ġekil 5.16 : Çözücü parametrelerinin ayarlanması .................................................. 114

ġekil 5.17 : Analiz ve çıktıların görüntülenmesi ..................................................... 114

ġekil A.1 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.1) .............................................. 124

ġekil A.2 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.2) .............................................. 124

ġekil A.3 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.4) .............................................. 125

ġekil A.4 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 1.0) .............................................. 125

ġekil A.5 : Mesnet Momenti (P = 1.0) .................................................................... 126

xv

SEMBOL LĠSTESĠ

F : Deformasyon gradyanı

x : Şekil değiştirmiş konum vektörü 0x : Referans konum vektörü

J : Jacobien matrisi

H : Yer değiştirme gradyanı Ε : Şekil değiştirme tansörü (Langrange-Green)

ζ : Cauchy gerilme tansörü

P : Birinci Piola-Kirchoff gerilme tansörü

S : İkinci Piola-Kirchoff gerilme tansörü

k : İç yük vektörü

q, r : Dış yük vektörleri

K : Teğet rijitlik matrisi GK : Geometrik rijitlik matrisi

C : Elastisite matrisi

pC : Plastisite matrisi

x, d, u : Bilinmeyenler vektörleri

T : Dönüşüm matrisi

M : Kütle matrisi

: Çubuk diferansiyel boyu

: Çubuk boyu

L : Çubuk düğüm noktaları arası mesafe

A : Çubuk kesit alanı

mv : Elastik eğri

: Birim boy kütlesi

EI : Eğilme rijitliği EA : Normal kuvvet rijitliği

v : Poisson oranı

( )Tr A : A Matrisinin izi

a : a Vektörünün boyu

xvi

xvii

NESNESEL PROGRAMLAMA YÖNTEMLERĠ ĠLE YAPI SĠSTEMLERĠNĠN

DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZĠ

ÖZET

Sonlu Elemanlar Yöntemi yapı sistemlerinin modellenmesinde yaygın ve başarılı bir

biçimde kullanılmaktadır. Gelişen ihtiyaçlar dahilinde bir çok problemin çözümünde

hız ve doğruluk büyük önem kazanmıştır. Sonlu eleman geliştiricileri için hem

zaman hem de maliyet açısından en büyük zorluklardan biri, eleman geliştirme

sürecinde yapılan teorik hesaplamaları test etmek üzere elemanı ve bu elemanlardan

oluşan sistemi programlamaktır. Tez kapsamında doğrusal olmayan sistemlerin

hesabı için kullanılmak üzere tasarlanan ―Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı‖

(SEGAÇ) adında yeni bir programlama platformu geliştirilmiştir.

ŞEGAÇ, yeni sonlu eleman türetmek ve bu elemanlardan oluşan sistemlerin çözümü

için özel olarak tasarlanmış genişletilebilir araçlar içermektedir. SEGAÇ ın en

önemli bileşeni FEMLANG adı ile geliştirilmiş nesne yönelimli yeni bir

programlama dilidir. Öğrenmesi ve kullanımı oldukça kolay olan bu dil sayesinde

SEGAÇ içerisindeki tüm araçlara erişilebilmektedir. SEGAÇ ‗ın en büyük avantajı

eleman geliştirme ve problem çözme sürecini herhangi bir programlama

platformundan çok daha hızlı bir şekilde gerçekleştirme olanağı sunmasıdır.

SEGAÇ yaratılırken çubuk sistemlerin büyük yer değiştirme hesabına yönelik

uygulamalar üzerine yoğunlaşılmıştır. Bu yeni programlama ortamının sunduğu

avantajlardan faydalanılarak ―MyBeam‖ adlı yeni bir sonlu eleman geliştirilmiştir.

MyBeam, iki boyutlu çubuk sistemlerin büyük yerdeğiştirme kabulü ile elastik

çözümlemesini yüksek performanslı bir şekilde yapabilmektedir. Bu elemanın statik,

dinamik ve burkulma analizleri çeşitli örnek problemlerle test edilmiştir.

SEGAÇ ın gelişim süreci sürmektedir. Bu yüzden sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili

daha pek çok konunun incelenerek platformun eksiklerinin ortaya konması ve

güncellenmesi gerekmektedir. Gelecekte çubuk sistemlerin dışında iki ve üç boyutlu

sistemlerin çözülmesi, malzeme yaddoğrusallığı için araçlar ve otomatik sistem

türetme ve çıktıları görüntülemek için çeşitli araçların SEGAÇ bünyesine katılarak

daha kullanışlı bir platform yaratılması hedeflenmektedir.

xviii

xix

NONLINEAR ANALYSIS OF STRUCTURAL SYSTEMS WITH OBJECT

ORIENTED PROGRAMMING TECHNIQUES

SUMMARY

The Finite Element Method is widely used for modeling of structural systems and

gained a great success. Within the evolving needs, speed and accuracy in the solution

of the problem has gained importance. One of the biggest challenges for finite

element developers are both time and cost of element development process,

especially to write a computer program to test the theoretical calculations for creation

of elements. In the context of this thesis, a new programming platform has been

designed and developed for the solution of nonlinear systems called "Finite Element

Development and Analysis Framework" (FEDAF).

FEDAF is composed of special, extensible tools to derive new finite elements for the

solution of structural systems. The most important component of FEDAF is the new

programming language developed in object oriented architecture called FEMLANG

This is a quite easy to learn and easy to use language accessing all the tools available

within FEDAF. FEDAF 's biggest advantage is, it offers a very quick way to perform

problem-solving process when compared with other programming platforms.

During the creation period of FEDAF, big deformation of elastic beams is considered

of importance as a good sample problem. With the benefits offered by this new

programming environment a new finite element called "MyBeam" has been

developed. MyBeam has the capability to perform two-dimensional elastic analysis

large displacements included with a very high performance compared with its

counterparts. Static, dynamic and buckling analysis have been included for testing

purposes.

Development process of FEDAF continues. Therefore, many other issues related to

the finite element method must be examined to complete the missing parts of

FEDAF. For the future development, two and three dimensional systems, material

nonlinearities, tools for atomatic mesh generation and other stuff is going to be

considered for a complete finite element framework.

xx

1

1. GĠRĠġ

1.1 Tezin Amacı

Bu tezde yapı sistemlerinin yaddoğrusal (doğrusal olmayan) analizlerini

gerçekleştirmek üzere Sonlu Elemanlar Yöntemlerini uygulayan modern

programlama araçları ve yüksek performanslı elemanlar geliştirilmiştir. Geliştirilen

araçlarla düzlem çerçeve sistemlerin ve kafes sistemlerin büyük yer değiştirmeleri

dikkate alınarak statik, dinamik ve burkulma hesapları yapılmıştır. Sayısal yöntem

olarak Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) kullanılmıştır. Geliştirilen çubuk

elemanlarda:

Bilinmeyenler deplasman tipi seçilmiştir.

Şekil değiştirmelerin küçük, bünye bağıntılarının doğrusal olduğu

varsayılmıştır.

Eğilmede Bernoulli-Navier hipotezinin geçerli olduğu varsayılmış ve kayma

gerilmelerinden kaynaklanan etkiler göz ardı edilmiştir.

Ayrıca iki boyutlu düzlem gerilme elemanları için küçük yerdeğiştirme kabulü ile

plastik hesap incelenmiş ve dönme serbestliği bulunan bir düzlem gerilme elemanı

geliştirilmiştir.

Statik problemlerde oluşturulan yaddoğrusal denklem takımı Newton-Rapson

yöntemi ile sabit yük adımlaması uygulanarak çözülmüştür. Dinamik problemler

zaman tanım alanında sabit ivme ve değişken ivme kabullerine göre açık (explicit) ve

kapalı (implicit) ilerleme şemaları kullanılarak çözülmüştür. Burkulma problemi

yaddoğrusal burkulma ve doğrusal burkulma olarak iki ayrı başlıkta incelenmiştir.

Günümüz bilgisayar teknolojisindeki gelişmelerle doğru orantılı olarak yapı

sistemlerinin hesabında Sonlu Elemanlar Yönteminin kullanım alanı yaygınlaşmıştır.

Gerek doğrusal gerekse yaddoğrusal hesaplamalar için oldukça başarılı çözümler

sunan bir çok yazılım, uygulamacılar tarafından kullanılmaktadır. Bununla beraber

artan teknolojik ihtiyaçlar doğrultusunda yapılan modellemelerin karmaşıklığı ve

bilgisayarlara getirdiği yük sürekli artmaktadır. Artan bu ihtiyacı karşılamak üzere;

2

Bilgisayarların sürekli hızlanması ve kapasitelerinin artması

Denklem takımı çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi ve paralelleştirilmesi

Az serbestlik derecesi ile yüksek çözüm doğruluğu sunan yeni elemanların

geliştirilmesi

gerekmektedir. Tez kapsamında geliştirilen MyBeam elemanı çubuk sistemlerin

büyük yer değiştirme hesabı için oldukça yüksek doğruluk sunmaktadır. Bu elemanla

yapılan hesaplamalar literaratürde sıklıkla rastlanan ve güvenilirlikleri bir çok

araştırmacı tarafından test edilmiş olan ANSYS ve SAP2000 programları ile

karşılaştırılmış ve oldukça başarılı sonuçlar elde edilmiştir.

Paket programlar kullanıcıya, uzman teorisyenler tarafından oluşturulmuş birçok

sonlu eleman modeli ve bu elemanlardan oluşan sistemleri oluşturmak, çözmek ve

çözümleri değerlendirmek için güçlü araçlar sunmaktadır. Bununla birlikte kendi

sonlu elemanını geliştirmek ve paket programa dahil etmek isteyen kullanıcılara

(teorisyen kullanıcı) yönelik yapıları sunmakta yetersiz kalmaktadırlar. Sonlu

Eleman geliştiricileri teorilerini test etmek üzere bir programlama dili öğrenerek,

kendi programlarını yazmak veya mevcut açık kaynak kodlarını çözümleyip

değiştirmek zorunda kalmaktadırlar. Her iki durumda da harcanacak emek ve zaman

oldukça dikkate değerdir.

Bu tez kapsamında Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı (SEGAÇ) adı altında

bahsedilen yöntemler, işaret edilen bu probleme çözüm üretmek amacıyla

geliştirilmiştir. SEGAÇ genel anlamda, Sonlu Eleman geliştiricilerine yardımcı

olmak üzere Nesne Yönelimli Programlama (NYP) teknikleri kullanılarak yazılmış

gelişkin araçlardan oluşan bir paket olarak algılanabilir. Bu paket

Rutin matematik ve SEY işlemlerini yürüten temel programlar

(FEMWORKS)

Kullanıcı özel sonlu eleman yaratmak üzere geliştirilmiş yeni bir

programlama dili (FEMLANG)

Kullanıcı elemanları ve SEGAÇ yapısını birleştiren bir geliştirme ortamı

(FEMBIND)

şeklinde üç ana bileşen içermektedir (Şekil 1.1).

3

ġekil 1.1 : SEGAÇ temel bileşenleri.

Bu bağlamda sonlu elemanlar teorisine hem geliştirilen elemanlar ile hem de

kullanılan programlama teknikleri ve geliştirilen programlama dili ile katkı sağlaması

tezin temel amacıdır.

1.2 Literatür Özeti

Yaddoğrusal sonlu elemanlar problemleri ilk olarak doğrusal burkulma

hesaplamaları ile gündeme gelmiştir. Daha sonra büyük yer değiştirme hesaplamaları

için geometrik rijitlik matrisi kullanımı ve artımsal formülasyon teknikleri

geliştirilmiştir [1, 2]. Artımsal tenkniklerle yapılan hesaplamalarda hata birikiminin

fazla olması nedeni ile iteratif bir teknik olan Newton-Raphson yöntemleri Mallet,

Marshal, Oden ve diğer araştırmacılar tarafından uygulanmaya başlanmıştır [3-5].

Newton-Raphson yönteminde zaman içerisinde iterasyonun hızlandırılması amacıyla

modifiye edilmiş ve teğet rijitlik matrislerinin güncellenmesini denetleyen Modifiye

Newton-Raphson metotları Oden ve Zienkiewicz tarafından kullanılmıştır [6, 7].

Bir çok araştırmacı yaddoğrusal sonlu elemanlar üzerine sayısız makale ve kitaplar

yayımlamışlardır. Bunlardan bazıları çubuk teorileri üzerine yoğunlaşmış olup

diğerleri sürekli ortamlar için yaddoğrusal yöntemleri incelemiştir [8-20].

Sonlu elemanlar teorisi yapı sistemlerinin bilgisayarla analizini oldukça uygun hale

getirmektedir. Teorik çalışmaların yanında sonlu eleman programlama üzerine de

yoğunlaşan yine birçok araştırmacı mevcuttur [21-26].

FEMWORKS

Sonlu Eleman GeliĢtirme

ve

Analiz Çatısı

FEMLANG

FEMBINDER

4

Zaman içerisinde programlama tekniklerinin gelişmesi ile nesnesel programlama

yöntemleri sonlu eleman programcıları tarafından kullanılmaya başlanmıştır.

Nesnesel programlamanın doğal yapısının sonlu elemanlar teorisi ile son derece

uyumlu olması bu çalışmaları hızlandırmış ve bir çok değerli çalışma gündeme

gelmiştir [27-35].

Nesnesel programlama yöntemleri kullanılarak yazılmış bir çok açık ve kapalı kodlu

uygulama mevcuttur. Bunlar arasında KASKADE, FEMSTER, FER System,

SIFFEA, MEF, FrameView, MODIFY, OSW, MUIApp, FEMLIB, ALAMODE,

FEView, FELyX sayılabilir.

Yaddoğrusal problemlerin dinamik analizlerinin yapılabilmesi için doğrudan

integrasyon yöntemleri Wilson ve Newmark tarafından önerilmiş ve birçok

araştırmacı tarafından geliştirilmiştir [36-44].

1.3 Yol Haritası

Geometri bakımından büyük yerdeğiştirmlerin hesabı büyük ölçüde sürekli ortam

mekaniği kavramlarına dayanmaktadır. Bu bakımdan tezin başlangıcı, sürekli ortam

mekaniği kavramlarının özet tanıtımına ayrılmıştır. Tez kapsamında kullanılan veya

geliştirilen yaddoğrusal elemanların davranış modelini ortaya koyan sürekli ortam

mekaniği kavramları (deformasyon gradyanı, kullanılan şekil değiştirme ölçüleri

vb...) detaylı bir şeklide örneklerle açıklanmıştır. Bu açıklamalardaki temel hedef

sürekli ortam mekaniğindeki tıkız (kompakt) formülasyonları uygulamada açık

halleri ile göstererek tezden faydalanmak isteyen araştırmacılara ek bir görüş

sağlamaktır.

Yapılan sayısal hesaplamalarda kullanılan tekniklerin açıklanması tezin bütünlüğü

açısından gerekli görülmüştür. Statik, dinamik ve burkulma hesaplarında kullanılan

yöntemler detaylı şekilde açıklanmıştır.

5

2. GEOMETRĠK YADDOĞRUSAL HESAP

Yer değiştirmelerin büyük olduğu durumda çeşitli büyüklüklerin ifade edildiği

referans koordinat sistemi büyük önem kazanır. Hesaplar Maddesel (Lagrangian)

koordinat takımında yapılmıştır. Şekil 2.1 cismin başlangıç durumu ve güncel

durumunu göstermektedir. Başlangıç durumuna ait büyüklükler ―0‖ üst indisi ile

gösterilmiştir.

ġekil 2.1 : Başlangıç ve güncel konumlarda diferansiyel doğru parçaları.

Güncel durum üzerindeki herhangi bir p noktası maddesel koordinatlar cinsinden

(2.1) ile ifade edilir.

0( ) ( 1,2,3)i i i ix x i 0 0 0x x x x e x e (2.1)

p noktasına komşu q noktası dx diferansiyel vektörü yardımıyla tarif edilir.

Maddesel koordinatlar cinsinden dx vektörü (2.2) ile ifade edilir.

0

0

0

ii j

j

iij

j

xdx dx

x

d d

xF

x

0x F x (2.2)

0x

d 0x

dx x

1x 1e

2x 2e

3x 3e

0p 0q

p

q

6

Burada F matrisi deformasyon gradyanı adını alır. Deformasyon gradyanı başlangıç

durumundaki bir diferansiyel doğru parçasının güncel duruma geçişini

sağlamaktadır.

2.1 Deformasyon Gradyanının Hesaplanması

Herhangi bir deformasyon durumu için güncel koordinatlar, başlangıç

koordinatlarının fonksiyonu şeklinde verildiği durumda deformasyon gradyanı

kolaylıkla hesaplanabilir. Fakat genellikle sonlu elemanlar formülasyonunda durum

böyle değildir. Formülasyonda sadece elemanın başlangıç ve güncel durumuna ait

düğüm noktası (nod) koordinatları mevcuttur. Uygun yaklaşım fonksiyonları

kullanarak başlangıç ve güncel durum koordinatları, nodal koordinatlar cinsinden

(2.3) deki gibi ifade edilebilir.

0 0( ) ( )

( ) ( ) ( , 1,2,3) ( 1,2,..., NS) NS:

i j k j ik

i j k j ik

x N x

x N x i j k Nod Sayısı

(2.3)

Burada ―ikx ‖ k numaralı nodun

ix koordinatını temsil etmektedir. Başlangıç

koordinatlarında diferansiyel doğru parçası;

00 ii j

j

xdx d d d

0 0x J ξ (2.4)

Güncel koordinatlarda diferansiyel doğru parçası;

ii j

j

xdx d d d

x J ξ (2.5)

şeklinde tanımlanır. (2.4) denklemi (2.2) de yerine yazılarak (2.6) elde edilir.

d d 0x FJ ξ (2.6)

(2.6) ile (2.5) karşılaştırıldığında (2.7) eşitliği bulunur.

0FJ J (2.7)

(2.7) eşitliğinin her iki tarafı sağdan 0J matrisinin tersiyle çarpılarak deformasyon

gradyanı

7

1[ ] 0F J J (2.8)

şeklinde hesaplanır.

2.2 Diferansiyel Hacim ve Alan Bağıntıları

Bir A matrisinin determinantı ijke permütasyon sembolü olmak üzere indis

notasyonu kullanılarak (2.9) ile hesaplanır.

1det( ) det( )

6ijk lmn li mj nk lmn ijk li mj nke e A A A e e A A A A A (2.9)

Aynı zamanda a ve b ile gösterilen iki vektörün vektörel ve skaler çarpımları indis

notasyonuyla (2.10) ile hesaplanır.

.

i ijk j k

i j ij

c e a b

d d a b

c a b

a b (2.10)

Başlangıç ve güncel durumda diferansiyel hacimler

0

1 2 3

1 2 3

( ).

( ).

dV d d d

dV d d d

0 0 0x x x

x x x (2.11)

şeklinde üç farklı doğrultuda seçilen diferansiyel doğru parçaları cinsinden (2.11) ile

ifade edilir. (2.11) ifadeleri (2.10) da belirlenen şekilde indis notasyonuyla yazılırsa

0 0 0 0

1 2 3ijk j k m imdV e dx dx dx (2.12a)

1 2 3ijk j k m imdV e dx dx dx (2.12b)

eşitlikleri elde edilir. Başlangıç ve güncel diferansiyel hacimleri arasındaki bağıntıyı

bulmak için (2.2) bağıntısından faydalanarak diferansiyel doğru parçaları arasında

(2.13) bağıntıları yazılabilir.

0

1 1

0

2 2

0

3 3

j js s

k kt t

m mn n

dx F dx

dx F dx

dx F dx

(2.13)

Bu bağıntılar (2.12b) de yerlerine yazılırsa

8

0 0 0

1 2 3ijk js kt mn s t n imdV e F F F dx dx dx (2.14)

elde edilir. (2.14) eşitliğinin indisleri düzenlenirse

0 0 0

3 1 2ijk in js kt n s tdV e F F F dx dx dx (2.15)

olduğu kolaylıkla görülebilir. (2.9) bağıntıları göz önüne alındığında

0 0 0

3 1 2det( )nst n s tdV e dx dx dx TF (2.16)

ve son olarak (2.12a) eşitliği indisleri değiştirerek (2.16) da yerine yazıldığında

0det( )dV dV TF (2.17)

sonucuna ulaşılmış olur.

Başlangıç ve güncel duruma ait diferansiyel alanlara ilişkin bağıntıyı elde etmek

üzere diferansiyel alanlar (2.18) deki gibi tarif edilirse

0

1 2

1 2

dA d d

dA d d

0 0x x

x x (2.18)

diferansiyel hacimler (2.19) şeklinde ifade edilirler.

0 0

3

3

dV dA d

dV dA d

0 0n x

n x (2.19)

n vektörü diferansiyel alanlara dik birim vektörleri göstermekte olup (2.20)

bağıntıları ile tanımlanmışlardır.

1 2

1 2

1 2

1 2

d d

d d

d d

d d

0 00

0 0

x xn

x x

x xn

x x

(2.20)

(2.19) bağıntıları (2.17) de yerlerine yazılarak

0

3 3det( ) ( )dA d dA d T T 0 T 0n x F n x (2.21)

eşitliği elde edilmiş olur. (2.2) bağıntısı (2.21) de kullanılır ve gerekli düzenlemeler

yapılırsa

9

0

3 3

0

3 3

0

( ) det( ) ( )

( ) det( ) ( )

det( )

dA d dA d

dA d dA d

dA dA

T 0 T 0 T 0

T 0 T 0 T 0

T T 0

n F x F n x

F n x F n x

F n F n

(2.22a)

Eşitliği elde edilir. (2.22a) nın her iki tarafı soldan 1[ ]TF ile çarpılarak düzenlenirse

1 0det( )[ ]dA dA T T 0n F F n (2.22b)

sonucuna ulaşılır.

2.3 Green-Lagrange Genleme Tansörü

2.3.1 Birim boy değiĢimleri

Başlangıç ve güncel koordinatlar Şekil 2.2 deki gibi göz önüne alındığında 0p

noktasının p ye hareketi u yer değiştirme vektörüyle gösterilebilir.

ġekil 2.2 : Yer değiştirme vektörü.

Yer değiştirme vektörü (2.23) şeklinde tanımlanır.

0u x x (2.23)

0p a komşu 0q noktasının yer değiştirmesi

( ) ( )d d d d d d 0 0 0u u x x x x u x x (2.24)

olduğu görülmektedir. (2.2) ifadesi (2.24) de kullanılırsa

( )d d d d d 0 0 0u F x x u F I x (2.25)

0x

d 0x

dx

du u

1x 1e

2x 2e

3x 3e

0p

0q

p

q

u

x

10

ifadesi elde edilir. Burada I 3 3 lük birim matristir. Yer değiştirme vektörünün tam

diferansiyeli başlangıç koordinatları türünden

0

i ij jdu H dx d d 0u H x (2.26)

şeklinde yazılabilir. Burada H matrisi yer değiştirme gradyanı adını alır. (2.25) ile

(2.26) ifadeleri karşılaştırıldığında

H F I F H I (2.27)

olduğu görülmektedir.

Keyfi bir d 0x doğrultusundaki genleme (birim boy değiştirme) (2.28) ile

tanımlanabilir.

1d

d dd d

d d d

0

0

x 0 0 0

x xu x

x x x (2.28)

(2.28) ifadesindeki sabit terim ―1‖ sol tarafa geçirilip eşitliğin her iki tarafının

kareleri alındığında

2( 1)d

d d

d d 0x 0 0

x x

x x (2.29)

olduğu görülür. (2.29) da soldaki terim açık yazılarak

2( ) 2 1d d

d d

d d 0 0x x 0 0

x x

x x (2.30)

(2.30) eşitliğinin solundaki terimler incelendiğinde boy değiştirmenin karesinin 1 in

yanında çok küçük olduğu durumda eşitlik aşağıdaki gibi yeniden düzenlenirse

2 1( ) 0 2 1

2d d d

d d d dd d

d d d d

0 0 0

0 0

x x x0 0 0 0

x x x xx x

x x x x (2.31)

şeklinde bulunur. Burada d

0x ifadesi d 0

x yönündeki Lagrange-Green genlemesi

olarak bilinir. (2.31) vektörel formda yazılırsa

2 2

2

1 ( ) ( )

2 ( )d

d d

d

0

0

0x

x x

x (2.32)

11

elde edilir. (2.32) indis notasyonunda

0 2

0 2

( )1( 1,2,3)

2 ( )

j k jk

d

dx dx dxk

dx

0

i

i i i

xi

(2.33)

(2.31) de i indisi seçilen genleme doğrultusunu göstermektedir. (2.2) bağıntısı

(2.33) de kullanıldığında

0 0 0 2

0 2

( )1

2 ( )

j k jk

d

F dx F dx dx

dx

0

i

i i i i i

xi

(2.34)

(2.34) düzenlenerek sadeleştirilirse

1( 1) ( 1,2,3)

2

T

k kdF F k 0

ii ix

(2.35)

ifadesine ulaşılmış olur.

2.3.2 Açı değiĢimleri

Küçük genleme durumunda başlangıçta birbirine dik iki diferansiyel doğru parçası

arasındaki açı değişimini ifade etmek üzere Şekil 2.3 den

ġekil 2.3 : Güncel konumda açı değişimi.

sin( ) sin( ) cos( )2

a b a b c c

ij (2.36)

şeklinde yazılabilir. (2.36) ifadesi güncel durumdaki diferansiyel doğru parçaları

cinsinden

cos( )dd

cd d

ji

i j

xx

x x (2.37)

skaler çarpımıyla ifade edilebilir. (2.37) de paydadaki ifadeler (2.28) eşitliğinden

d 0

ix

d 0

jx

d ix

d jx

a

b

c

12

(1 )

(1 )

d

d

d d

d d

0i

0j

0

i ix

0

j jx

x x

x x (2.38)

şeklinde hesaplanabilir. (2.38) ve (2.2) ifadeleri (2.37) de yerlerine yazılır ve indis

notasyonu kullanılırsa

0 0

cos( )(1 )(1 ) (1 )(1 )

k s ks k k

d d d d

d d F F dx dxc

d d d d

0 0 0 0i j i j

i j i j i j

0 0 0 0

i j i jx x x x

x x

x x x x (2.39)

elde edilir. Açı ve boy değişimlerinin küçük olduğu göz önünde bulundurulursa

, 1 T

k kd dF F 0 0

i jij i jx x

(2.40)

bağıntısı elde edilmiş olur. Nihayet Green-Lagrange genleme tansörü (2.35) ve (2.40)

bağıntıları göz önüne alındığında

1( )

2 T

Ε F F I (2.41)

şeklinde tanımlanır ve bu durumda genleme ve açı değiştirme bileşenleri (2.41) in

elemanları cinsinden

( 1,2,3) ( , 1,2,3 )ii d ii ij ij jie i ve i j i j ix

(2.42)

şeklinde gösterilebilir. (2.27) ifadesi (2.41) de kullanılarak

1 1

( ) ( )2 2

T T TΕ H I H I I H H H H (2.43)

genleme-yer değiştirme bağıntıları elde edilir. (2.43) de

1

2 T

H H (2.44)

terimi doğrusal olup

1

2

TH H (2.45)

terimi yaddoğrusal genleme-yer değiştirme ifadelerini temsil etmektedir.

13

2.4 Cauchy ve Piola-Kirchhoff Gerilme Tansörleri

Büyük yer değiştirme durumunda gerilmeyi tarif ederken cismin başlangıç ve güncel

durumu arasındaki farkı gözetmek gerekmektedir. Cismin güncel konumunda tarif

edilen gerilme bileşenleri (2.46) Cauchy gerilme tansörüyle gösterilir.

2 3

12 22 23

3 23 33

ζ (2.46)

Güncel konumda n normalli diferansiyel bir alana etkiyen kuvvet vektörü

d dA dA n nf t ζ n (2.47)

şeklinde ifade edilir. (2.47) de nt güncel konumdaki gerilme vektörüdür. (2.22)

ifadesi (2.47) de kullanılırsa

1 0det( ) [ ]dA dA T T

n 0t F ζ F n (2.48)

elde edilir. 0n vektörü başlangıç duruma ait diferansiyel alan normalidir. Başlangıç

ve güncel konumda gerilme vektörleri arasında

0

0 1

d dA dA d

dA dA

0 0

0

n n n n

n n

f t F t F f

t F t (2.49)

ilişkisi olduğu kabulüyle (2.48) ve (2.49) bağıntıları bir arada düşünüldüğünde

0 1 0det( ) [ ]dA dA 0

T T

n 0F t F ζ F n (2.50)

ifadesi bulunur. (2.49) ifadesi incelendiğinde başlangıç konumunda tarif edilen

kuvvet vektörünün de aynen sürekli ortamdaki herhangi bir diferansiyel doğru

parçası gibi deformasyon gradyanı ile güncel konumdaki kuvvet vektörüne

dönüştüğü kabulünün yapıldığı görülmektedir. Nihayet (2.50) bağıntısından birinci

Piola-Kirchhoff gerilme tansörü (2.50) eşitliğinden

1det( ) [ ] T TP F ζ F (2.51)

14

şeklinde tanımlanır. (2.51) tansörü simetrik yapıda değildir. Bu tansör deformasyon

gradyanının tersiyle çarpılarak simetrik yapılabilir. Bu işlem sonucunda oluşan

simetrik tansöre ikinci Piola-Kirchhoff gerilme tansörü adı verilir.

1 1 1det( ) [ ] T TS F P F F ζ F (2.52)

(2.52) tansörü (2.47) ile benzer olarak başlangıç konumda

0 0dA dA 0n 0t S n (2.53)

bağıntısını kurar. Piola-Kirchhoff gerilme tansörleri matematiksel dönüşümlerle elde

edilmiş büyüklüklerdir. Güncel konumdaki gerçek gerilme bileşenleri sadece Cauchy

tansörü ile ifade edilir. Piola-Kirchhoff gerilme tansörlerinden Cauchy gerilmelerine

geçiş aşağıdaki dönüşümlerle yapılabilir.

1

det( ) T

Tζ P F

F (2.54a)

1

det( ) T

Tζ F S F

F (2.54b)

2.5 Virtüel ĠĢ Denklemi

Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda başlangıç ve güncel durum

arasındaki fark önem kazanır. Kuvvetler etkisi altındaki cisim güncel konumda

dengede olmak durumundadır. (2.46) ile tanımlanan Cauchy gerilme tansörü

bileşenleri cinsinden güncel konumda denge denklemi

0 ( 1,2,3)ij

i

j

b ix

(2.55)

şeklindedir. Burada ib hacim kuvvetlerinin bileşenlerini temsil etmektedir. (2.55)

denklemleri sınır koşullarıyla uyumlu (kabul edilebilir), küçük ve keyfi (virtüel,

sanal) yer değiştirme alanları ile çarpılarak tüm hacim boyunca integre edilirse

( ) 0ij

i i i

jV

u b u dVx

(2.56)

15

eşitliğinin sağlanması cismin dengede olması durumunda mümkündür. Green-Gauss

teoremi kullanılarak (2.26) ifadesi

( ) 0iij j i ij i i

jS V

un u dS b u dV

x

(2.57)

şeklinde yazılabilir. Cisim sınırlarındaki dış kuvvet vektörü q ile gösterilirse

ij j in q (2.58)

olduğuna göre (2.57) nin son hali

ij ij i i i i

V S V

e dV q u dS b u dV (2.59)

olacaktır. Burada ije (2.26) ya benzer biçimde, güncel konumda tanımlanan virtüel

yer değiştirme gradyanının bileşenlerini temsil etmektedir. (2.59) da eşitliğin

solundaki terim iç kuvvetlerin virtüel işi, sağdaki terim ise dış kuvvetlerin virtüel

işidir. (2.60) tanımları yapılarak

11 22 33 12 12 21 23 23 32 13 13 31

22 33 2 23 13

{ , , , , , }

{ , , , , , }

e e e e e e e e e

T

T

e

ζ (2.60)

(2.59) denklemi vektörel formda

. . .V S V

dV dS dV T T T

e ζ u q u b (2.61)

yazılabilir. Yapılan hesaplarda hacim kuvvetlerinin sıfır olduğu kabul edilmiştir.

2.5.1 Virtüel iĢ denkleminin baĢlangıç konumunda ifade edilmesi

Virtüel iş denklemi güncel konumda geçerlidir. Fakat cismin güncel konumu

bilinmemektedir. Bu sebeple (2.61) denkleminin başlangıç konumunda ifade etmek

gerekecektir. İlk adımda yüzey kuvvetlerini içeren terim ele alınırsa

1 0 0det( )[ ]dS dS dS dS T T 0 0q ζ n ζ F F n P n (2.62)

şeklinde yazılabilir. (2.63) tanımı yapılarak

0dS 0 0q P n (2.63)

16

yüzey kuvvetleri

0

0

. .S S

dS dS T T 0

u q u q (2.64)

şeklinde başlangıç konumunda ifade edilmiş olur. (2.61) de virtüel iç iş terimi

tansörel formda

:iç

V

W dV e ζ (2.65)

şeklinde yazılabilir. ―:‖ sembolü (2.66) şeklinde tanımlanır.

: ( )Tr Te ζ e ζ (2.66)

(2.65) ifadesi başlangıç koordinatlarında (2.41) ve (2.53) ifadelerinden yararlanarak

0

0:iç

V

W dV E S (2.67)

şeklinde ifade edilebilir.

2.5.2 Virtüel iĢ denkleminin doğrusallaĢtırılması

(2.67) ifadesi yer değiştirmeler cinsinden yaddoğrusal türdendir. İkinci Piola-

Kirchhoff tansörü, Green-Lagrange şekil değiştirme tansörünün fonksiyonu olarak

yazılabilir ve bu tansör de (2.43) ifadesi incelendiğinde yer değiştirmelerin

yaddoğrusal fonksiyonudur.

0

0( ) : ( ( ))iç

V

W dV E u S E u (2.68)

Yer değiştirme vektöründeki değişim u ile gösterilirse (2.68) in u yönündeki

yönsel türevi sembolik olarak

0

0{ ( ) : ( ( )) ( ) : ( ( ))}iç

V

D W D D dV u u uE u S E u E u S E u (2.69)

şeklinde yazılabilir. E terimine Lagrange-Green tansörünün varyasyonu olarak

bakılabilir. Bu durumda (2.41) den yararlanılarak

1( )

2 T T

E F F F F (2.70)

17

şeklinde ifade edilebilir. (2.27) bağıntısından yararlanarak

F = H+I F H (2.71)

olduğu görülebilir. Nihayet (2.70) ifadesi yer değiştirme gradyanın fonksiyonu olarak

1( ( ) ( ) )

2 T T

E H H I H I H (2.72)

şeklinde belirlenir. (2.72) nin yönsel türevi

0

1( ( ) ( ) )

2 h

dD h h

dh

T T

u E H H H I H H I H (2.73)

şeklinde hesaplanarak

1( )

2D T T

u E H H H H (2.74)

ifadesine ulaşılmış olur. Burada

0

0

( )

( )

iij

j

iij

j

uH

x

uH

x

(2.75)

şeklinde tanımlıdır. İkinci Piola-Kirchhoff tansörünün yönsel türevi zincir kuralı ile

sembolik olarak

( ( )) : :D D D

u u u

SS E u E C E

E (2.76)

şeklinde ifade edilir. (2.76) daki sembolik kısmi türev ikinci Piola-Kirchhoff

tansörünün tüm elemanlarının Lagrange-Green tansörünün tüm elemanlarına göre

kısmi türevini ifade etmektedir. Bu türevler indis notasyonunda

ij

ijkl

kl

SC

(2.77)

şeklinde tanımlanabilir. Burada C dördüncü mertebeden bir tansördür ve Elastisite

Tansörü adını alır. (2.76) daki Lagrange-Green tansörünün yönsel türevi (2.43)

ifadesinden faydalanarak

18

0

1( ) ( ) ( ) ( )

2 h

dD h h h h

dh

T T

uE H H H H H H H H (2.78)

şeklinde alınarak düzenleme yapıldığında

1

2D T T

uE H F F H (2.79)

elde edilir. Hesaplanan yönsel türev ifadeleri (2.69) da yerlerine yazılarak virtüel iç

iş ifadesinin yönsel türevi

0

01 1 1{ ( ) : ( ) : : }2 2 2

iç

V

D W dV T T T T T T

u H H H H S H F F H C H F F H (2.80)

bulunur. (2.80) ifadesi düzenlenirse

0

0{ : : : }iç

V

D W dV T T

u H HS F H C F H (2.81)

sonucuna ulaşılır. Virtüel iş teoremi hatırlanacak olursa

iç dışW W (2.82)

ifadesinin yönsel türevi alarak

iç iç dış dışW D W W D W u u (2.83)

yazılabilir. Dış kuvvetlerin yer değiştirmelerden bağımsız olduğu kabulu ile

0dışD W u (2.84)

dış kuvvetlerin virtüel işinin yönsel türevi sıfır olur. Bu durumda yönetici ifade

iç dış içD W W W u (2.85)

olacaktır. (2.68) ve (2.81) bağıntıları (2.85) de yerlerine yazılarak

0 0

0 0{ : : : } :dış

V V

dV W dV T T

H HS F H C F H E S (2.86)

yönetici denklemine ulaşılır.

19

2.6 Sonlu Elemanlar Formülasyonu

(2.81) ifadesindeki tansörel işlemleri bilgisayarda hesaplayabilmek için ifadelerin

açılarak matris formda yazılması gerekmektedir. S için (2.87) tanımı yapılarak

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S

S S S

S (2.87)

(2.86) da ikinci Piola-Kirchhoff tansörünü içeren terim

: TH HS H S H (2.88)

şeklinde yazılabilir. Burada yer değiştirme gradyanı tansörü vektörel formda

11 12 13 21 22 23 31 32 33{ , , , , , , , , }TH H H H H H H H HH (2.89)

şeklinde ifade edilmiştir. (2.81) de elastisite tansörünü içeren terimi hesaplamak

üzere

11 21 31

12 22 32

13 23 33

12 11 22 21 32 31

13 12 23 22 33 32

13 11 23 21 33 31

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

F F F

F F F

F F F

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

F (2.90)

tanımı yapılarak (2.81) ifadesi matris formda

0

0{ }iç

V

D W dV T T T

u H S H H F CF H (2.91)

şeklinde yazılır. Yer değiştirme artımları uygun yaklaşım fonksiyonları ile ifade

edilebilir.

20

1

1

11 1 2 2

12 1 2 3

23 1 1

0 0 0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 0 ...

d

u N N d

u N N d

u N d

Tu N d (2.92)

Burada j

id ifadesi j nolu düğüm noktasının i yönündeki yer değiştirme artımını

ifade etmektedir. yer değiştirme gradyanı vektörel formda

1 1 2

0 0 0

1 1 1

1 1 2

0 0 0

2 2 3

1 1 2

0 0

3 3

2

0

1

2

0

2

2

0

3

3

0

1

3

0

2

3

0

3

( )0 0 0 ...

( )0 0 0 ...

( )0 0

( )

( )

( )

( )

( )

( )

u N N

x x x

u N N

x x x

u N N

x x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

0

3

1 2 1

0 0 1

1 1 1

2

1 2 10 0 32 2 2

11 2

0 0

3 3

1

0

1

1

0

2

1

0

3

0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 ...

0 0 0 0 ...

0 0 0 0 ...

0 0 0 0 ...

x

N Nd

x xd

N Nd

x xd

N N

x x

N

x

N

x

N

x

TH B d

(2.93)

şeklinde hesaplanabilir. yer değiştirme gradyanının varyasyonu

TH B d (2.94)

şeklinde alınarak (2.91) ifadesinde yerine yazılırsa

0

0{ }iç

V

D W dV T T T T

u d BSB BF CFB d (2.95)

halini alır. Hesaplamalarda basitlik olması için sistemde sadece nodal yüklerin

olduğu varsayılırsa (2.86) ifadesi

21

0 0

0 0{ }

V V

dV dV T T T T T T T

dıĢd BSB BF CFB d d r d BF S (2.96)

şeklinde yazılabilir. dıĢr dış kuvvet vektörünü temsil etmektedir. (2.96) da

11 22 33 12 23 13{ , , , , , }TS S S S S SS (2.97)

şeklinde tanımlanmıştır. (2.96) denklem takımı yer değiştirmeler türünden lineerdir.

Bu denklem takımı sembolik olarak

( ) S C dıĢ içK K d r r (2.98)

gösterilebilir. (2.98) de

0

0

0

1 1 1

0

1 2 3

1 1 1

1 1 1

0

1 2 3

1 1 1

1 1 1

0

1 2 3

1 1 1

det( )

det( )

det( )

V

V

V

dV drdr dr

dV drdr dr

dV drdr dr

T T

S

T T T T

C

T T

iç

K BSB BSB J

K BF CFB BF CFB J

r BF S BF S J

(2.99)

2.7. Sonlu Elemanlarda Newyon-Raphson Yöntemi

Büyük yer değiştirme teorisi ile oluşturulan (2.86) yönetici denklemi sonlu eleman

teknikleri kullanılarak seçilen nodal bilinmeyenler cinsinden (2.100) deki gibi

yazılabilir.

( ) EK d r (2.100)

Burada d nodal yer değiştirme vektörü, Er ise dış kuvvet vektörüdür. Newton-

Raphson yöntemi uyarınca nodal yer değiştirmelere id şeklinde bir başlangıç

çözümü önerilerek (2.101) ardışık yaklaşım şeması uyarınca adım adım çözüme

gidilir.

( ) ( ) i 1 i i i

T EK d K d K d r

( ) i i i

T EK d r K d

1 i i id d d (2.101)

22

Burada

( / ) i i

TK K d (2.102)

şeklinde tanımlanır. Elde edilen i 1d nodal büyüklükleri yaddoğrusal denklem

takımında yerlerine yazılarak

( ) i 1 i 1K d r (2.103)

elde edilen i 1r kuvvet vektörü Er dış kuvvet vektörüne belirli bir yakınsaklık ölçütü

uyarınca yakın olana kadar ardışık yaklaşıma devam edilir. Uygulanan yakınsaklık

ölçütü (2.104) de verilmiştir.

2

21

h

i 1

E

E

r r

r (2.104)

Çözülen problemlerde h toleransı 0.01 seçilmiştir. Er vektörünün normunun sıfıra

yakın olması durumunda sıfıra bölmeyi engellemek için paydaya 1 eklenmiştir.

2.7. Yaddoğrusal Hesap Uygulaması

Hesaplar aşağıdaki adımlar ardışık olarak tekrarlayarak yapılır.

1. Problemin sınır koşulları ile uyumlu bir id başlangıç yer değiştirme vektörü

seçilir. Hesaplarda başlangıç yer değiştirme vektörünün tüm bileşenleri sıfır

seçilmiştir.

2. Bu noktada elemanların başlangıç ve güncel konumları bilinmektedir. Her iki

konumda da Jacobian matrisleri bilindiğine göre F deformasyon gradyanı

(2.8) bağıntısından hesaplanabilir.

3. (2.41) bağıntısı kullanılarak Ε Lagrange-Green şekil değiştirme tansörü

hesaplanır.

4. Bünye bağıntıları kullanılarak ikinci Piola-Kirchhoff gerilme tansörü (S )

hesaplanır.

5. Bu aşamada (2.86) yönetici denkleminde yer alan tüm ifadeler bilinmektedir.

(2.100) denklem takımı oluşturularak id yer değiştirme vektörü hesaplanır.

6. i 1 i id d d ile yer değiştirme vektörü güncellenir.

23

7. Güncellenen yer değiştirme vektörü ( i 1d ), (2.103) bağıntısında yerine

yazıldığında i 1

içr vektörü, (2), (3) ve (4) nolu adımlarda belirtilen işlemler

yapılarak hesaplanır.

8. h küçük bir sabit sayı olmak üzere (2.104) yakınsama kriteri sağlanıyorsa

hesap durdurulur. Aksi takdirde (5) nolu adıma dönülerek ardışık hesaba

devam edilir.

24

25

3. ÇUBUK SĠSTEMLER ĠÇĠN BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME HESABI

3.1 Sadece Normal Kuvvet TaĢıyan Sistemler

3.1.1 ġekil değiĢtirme ölçüsünün seçimi

Bir kafes sistem çubuğunun şekil değiştirmeden önceki ve sonraki durumu Şekil 3.1

de verilmektedir.

ġekil 3.1 : Kafes eleman uç kuvvetleri ve normal kuvvet.

Şekil 3.1 dikkate alındığında (3.1) eşitlikleri kolaylıkla yazılabilir

0 0 2 1

0 0 2 1

( ) ( )

( ) ( )

L Cos u u LCos

L Sin w w LSin

(3.1)

Yukarıdaki eşitliklerin kareleri alınıp alt alta toplanarak şekil değiştirmiş konumdaki

çubuk boyu

2 2 2

0 0 2 1 0 0 2 1[ ( ) ] [ ( ) ]L L Cos u u L Sin w w (3.2)

elde edilir. (3.2) de eşitliğin her iki tarafının varyasyonu alınarak

0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1

1 1[ ( ) ]( ) [ ( ) ]( )L L Cos u u u u L Sin w w w w

L L (3.3)

şekil değiştirmiş boyun varyasyonu bulunabilir. (3.1) eşitlikleri (3.3) de yerlerine

yazıldığında

2Q

2P

1Q

1P N N

0

1u

1w

2u

2w

L

2Q

2P

1Q

1P

0L

26

2 1 2 1( )( ) ( )( )L Cos u u Sin w w (3.4)

olduğu görülecektir. Virtüel İş İlkesini uygulayabilmek için uygun bir şekil

değiştirme ölçüsü kullanmak gerekmektedir. Büyük şekil değiştirme durumu için

şekil değiştirme ölçüsü logaritmik genleme olarak alınırsa

log

L

L

(3.5)

olacaktır. Normal kuvvet çubuğunda çubuk üzerinde yükleme olmaması durumunda

Virtüel İş Denklemi şekil değiştirmiş ve değiştirmemiş sistemde alternatif olarak

1 1 2 2 1 1 2 2

0 1 1 2 2 1 1 2 2

dV Q u Q u P w P w

dV Q u Q u P w P w

(3.6a b)

şeklinde yazılabilir. Hangi denklemin kullanılacağı seçilecek virtüel şekil değiştirme

ölçüsüne bağlıdır. (3.6) denkleminin sağ tarafındaki uç kuvvetler Şekil 3.1

gösterildiği gibidir. Şekil değiştirmiş çubukta normal kuvvet Şekil 3.1 den;

1 1

2 2

( ) ( )

( ) ( )

N QCos PSin

N Q Cos P Sin

(3.7)

şeklinde yazılabilir. Aynı zamanda (3.7) eşitlikleri çubuğun denge denklemlerine de

karşı gelmektedir. Şekil değiştirme ölçüsü olarak logaritmik genleme (3.6a) da

yerine yazılarak integral alınırsa

L L LdV dV Ads N ds N L

L L L

(3.8)

elde edilir. Burada gerilme tanım gereği Cauchy gerilmesi olmaktadır.

cauchy

N

A (3.9)

(3.4), (3.6) ve (3.8) kullanılarak virtüel iş denklemi

2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2( )( ) ( )( )NCos u u NSin w w Q u Q u P w P w (3.10)

şekline dönüşmektedir. (3.10) eşitliği aşağıdaki denklem takımına karşı gelmektedir.

27

1

2

1

2

( )

( )

( )

( )

NCos Q

NCos Q

NSin P

NSin P

(3.11)

(3.11) denklem talkımı (3.7) denge denklemlerini otomatik olarak sağlamakla birlikte

uç kuvvetlerin her birinin ayrı ayrı ifadesini vermektedir. Bu noktadan itibaren

normal kuvvet, yer değiştirmeler türünden yazılarak yaddoğrusal eleman denklemi

elde edilebilir. Bunun için bünye bağıntıları ve şekil değiştirme ölçüsü gerekecektir.

Dikkat edilirse (3.11) denklem takımı seçilen virtüel şekil değiştirme ölçüsü ve

integralin alındığı bölgeden bağımsız olarak geçerlidir. Bunu göstermek üzere şekil

değiştirme ölçüsünü Biot genlemesi olarak seçelim. Tanım gereği;

0

0

biot

L L

L

(3.12)

olacaktır. Bu durumda (3.12) nin varyasyonu alındığında

0

L

L

(3.13)

olacaktır. (3.13) ifadesi (3.6b) de yerine yazılarak integral alınırsa;

0 0 0 0

0 0

L LdV A ds N ds N L

L L

(3.14)

olacaktır. (3.14) de gerilme tanım gereği Kirchhoff gerilmesi olmaktadır.

0

kirchhoff

N

A (3.15)

Yine farklı bir uygulama olarak Lagrange-Green genleme ifadesini kullanılabilir.

2 2

0

2

0

1

2LG

L L

L

(3.16)

(3.16) nın varyasyonu;

2

0

LG

L L

L

(3.17)

olacaktır. (3.17) ifadesi (3.6b) de yerine yazılarak integral alınırsa;

28

0 0 0 0 02 2

0 0

L L L LdV A ds A ds N L

L L

(3.18)

şeklinde yazılabilir. (3.18) de gerilme tanım gereği 2.Piola-Kirchhoff gerilmesi

olmaktadır.

02

0 0 0/PK

LN N

A L A L L (3.19)

Görüldüğü üzere kullanılan virtüel şekil değiştirme ölçüsü ve integral bölgesinin

seçimi problemde kullanılan gerilme türünü belirlemektedir. Bu aşamadan itibaren

problemin çözümü için ilgili gerilme-şekil değiştirme tipine uygun bünye

bağıntılarının belirlenmesi gerekecektir.

3.1.2 Sürekli ortam formülasyonu (sabit alan)

Çubuk modelleri, sürekli ortam modellerine çeşitli kinematik ve enerji bazlı

kısıtlamalar getirilerek oluşturulur. Bu bölümde normal kuvvet çubuğuna ilişkin

sürekli ortam modeli oluşturularak literatürdeki çeşitli kavramlar bu model üzerinden

açıklanacaktır. Çubuk ortamını tanımlamak için ilk önce konum vektörleri

tanımlanmalıdır. Hesaplar şekil değiştirmiş çubuk üzerinde gösterilecektir

(Şekil 3.2).

ġekil 3.2 : Normal kuvvet çubuğunun sürekli ortam modeli.

Çubuk merkez ekseni

(1 ) (0 1)r r r m i jx x x (3.20)

1n 3n

2n

y

mx z

x

29

şeklinde yazılabilir. Burada ix ve

jx çubuk uç noktalarının koordinat vektörleridir.

Çubuk üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatı Şekil 3.2 de gösterilen çubuk

lokal ekseni yardımıyla

2 3r r m 2 3x x n n (3.21)

şeklinde yazılabilir.

Hesapları basitleştirmek üzere düzlem çubuk üzerinde işlemler yapılacaktır. Bu

nedenler lokal eksen takımı Şekil 3.3 de gösterildiği üzere

2

3

{ ( ), ( ),0}

{ ( ), ( ),0}

{0,0,1}

Cos Sin

Sin Cos

T

1

T

T

n

n

n

(3.22)

şeklinde seçilmiştir.

ġekil 3.3 : İki boyutta normal kuvvet çubuğu.

Konum vektörünün tam diferansiyeli

2 3dr dr drr

m2 3

xdx n n (3.23)

şeklinde ifade edilebilir. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında matris formda

2

3

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 .

0 0 1

LCos Sin dr

LSin Cos dr

dr

dx J dr (3.24)

yazılabilir. Burada L şekil değiştirmiş çubuk boyudur. Benzer hesaplamalar şekil

değiştirmemiş çubuk için yapıldığında

1n

ix jx mx

x

y

2n

30

0 0 0

0 0 0 2

3

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 .

0 0 1

L Cos Sin dr

L Sin Cos dr

dr

0 0dx J dr (3.25)

sonucu elde edilir. Yukarıdaki sonuçlar elde edilirken 2r ve

3r doğrultularında şekil

değiştirmenin olmadığı var sayılmıştır. Bu durum çubuk kesit alanının sabit

kalmasına karşı gelmektedir. İlerleyen bölümlerde hacmin sabit kalması durumu da

ayrıca incelenecektir. Deformasyon gradyanı (3.24) ve (3.25) ifadeleri kullanılarak

1

.

. .( . )

.

0

0

0

dx F dx

J dr F J dr

F J J

(3.26)

şeklinde hesaplanabilir. İşlemler yapıldığında deformasyon gradyanı

0 00 0

0 0

0 00 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0 1

LCos Cos LCos SinSin Sin Sin Cos

L L

LSin Cos LSin SinCos Sin Cos Cos

L L

F (3.27)

şeklinde bulunur. (3.27) deformasyon gradyanının determinantı

0

det( )L

LF (3.28)

olarak bulunur. (3.28) deki sonuç çubuğun kesit alanının sabit kaldığını

göstermektedir. Deformasyon gradyanını kullanarak çeşitli şekil değiştirme

tansörlerini elde etmek mümkündür. Örneğin (3.27) yi kullanarak Lagrange-Green

şekil değiştirme tansörü hesaplanırsa

2 2 2 220 0

0 0 02 2

0 0

2 2 2 220 0

0 0 02 2

0 0

( ) ( ) ( ) 02 2

1( . ) ( ) ( ) ( ) 0

2 2 2

0 0 0

L L L LCos Sin Cos

L L

L L L LSin Cos Sin

L L

T

LGε F F I (3.29)

31

olarak bulunur. (3.29) şekil değiştirme tansörü, şekil değiştirmelerin Kartezyen eksen

takımındaki bileşenlerini temsil etmektedir. Bu yüzden tansörde hem boy uzaması

hem de kayma şekil değiştirmeleri görülmektedir. Bu durum Şekil 3.4 de

açıklanmıştır.

ġekil 3.4 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta kayma şekil

değiştirmeleri.

İşlemleri kolaylaştırmak için (3.29) tansörünün asal bileşenleri ile çalışmak uygun

olacaktır. Bunun için şekil değiştirmemiş sistem üzerindeki 0 0 0( , , )X Y Z eksen

takımını kullanmak uygun olacaktır.

0 0

0 0

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

0 0 1

Cos Sin

Sin Cos

0T (3.30)

dönüşüm matrisi kullanılarak (3.29) un asal bileşenleri şekil değiştirmemiş sistemin

koordinatlarında

. .0

T

LG 0 LG 0ε T ε T (3.31)

şeklinde hesaplanabilir. İşlemler yapıldığında

0

X

Y

dX

dY

dx

dy

L

0L

0Y

0X

32

2 2 2

0 0( ) / (2 ) 0 0

0 0 0

0 0 0

L L L

0LGε (3.32)

olduğu görülecektir. (3.32) tansöründe görüldüğü üzere sadece eksenel uzama

bileşeni bulunmaktadır. Bu durum Şekil 3.5 de gösterilmiştir.

ġekil 3.5 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta asal şekil değiştirme.

Gerilmelerle ilgili dönüşümler incelenmek istenirse ilk önce Cauchy gerilme

tansörünün tanımlanması gerekecektir. Kartezyen eksen takımında Cauchy gerilme

tansörü

2

2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

0 0 0

Cos Cos Sin

Cos Sin Sin

Cauchyζ (3.33)

şeklinde yazılabilir. (3.33) tansöründeki gerilme Normal kuvvetin şekil değiştirmiş

cismin kesit alanına bölünmesi ile elde edilmiştir. İkinci Piola-Kirchhoff (2. PK)

gerilme tansörü

det( ) . . -1 -T

CauchyS F F ζ F (3.34)

şeklinde tarif edilmektedir. İşlemler yapıldığında Normal kuvvet çubuğunun

kartezyen eksen takımında 2. PK gerilme tansörü

0

X

Y

0dX

dx dy

L

0L

0Y

0X

0dY

33

2

0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0

( ) / ( ) ( ) / 0

( ) ( ) / ( ) / 0

0 0 0

Cos L L Cos Sin L L

Cos Sin L L Sin L L

S (3.35)

olduğu görülecektir. Görüldüğü üzere 2. PK tansörü şekil değiştirmemiş cisim eksen

takımında asal olmaktadır. (3.30) dönüşüm matrisi kullanıldığında 2. PK tansörünün

asal bileşenleri

0 / 0 0

0 0 0

0 0 0

L L

0S (3.36)

olmaktadır. (3.27) deformasyon gradyanı gereği kesit alanının değişmediği aşağıdaki

şekilde gösterilebilir.

0 0det( ) . .dA dA dA T -TF n F N (3.37)

olmaktadır. (3.37) de

0 0

{ ( ), ( ),0}

{ ( ), ( ),0}

Cos Sin

Cos Sin

T

T

n

N (3.38)

şeklinde tanımlanan şekil değiştirmiş ve değiştirmemiş çubuktaki alan elemanı

doğrultularıdır. 2.PK tansörü söz konusu olduğunda (3.6b) Virtüel İş Denklemini

kullanmak uygun olacaktır. Tansörel formda Virtüel İş denklemi

0( . ) i iTr L dV Q uL

T LGεS (3.39)

şeklinde yazılabilir. (3.37) eşitliği hatırlanarak işlemler yürütüldüğünde (3.39) ifadesi

i iA L Q u (3.40)

şekline dönüşmektedir. Görüldüğü üzere gerilme tansörü olarak 2. PK tansörü ve

virtüel şekil değiştirme tansörü olarak da Lagrange-Green şekil değiştirme

tansörünün varyasyonu, şekil değiştirmemiş hacim üzerinde integre edildiğinde

normal kuvvet tanımı uygun olmaktadır. Benzer bir tanım Cauchy gerilmesi ile

logaritmik virtüel şekil değiştirmenin kullanılmasıyla da (3.8) ve (3.9) da elde

edilmişti. Böylece

34

0( . )L

dV Tr dVL

T

LGS ε (3.41)

olduğu çubuk problemi için gösterilmiştir.

3.1.3 Sürekli ortam formülasyonu (sıkıĢmaz malzeme)

Şekil değiştirme esnasında çubuk hacminin her noktada sabit kalması durumu için

(3.21) konum vektörü aşağıdaki şekilde yeniden yazılmalıdır.

2 3r r m 2 3x x n n (3.42)

(3.42) de 2 ve 3 doğrultularındaki kesit daralma ve genişlemesini dikkate almak

üzere

(1 )v (3.43)

şeklinde yazılabilir. Burada v Poisson oranıdır. Hacmin sabit kalması için asal şekil

değiştirmeler arasında

1 2 3(1 )(1 )(1 ) 1 (3.44)

bağıntısının gerçekleşmesi gerekmektedir. Bu bağıntı büyük şekil değiştirme durumu

için de geçerlidir. (3.44) bağıntısı normal kuvvet taşıyan çubuk problemi için eksenel

şekil değiştirme cinsinden

2(1 )(1 ) 1v (3.45)

şekline dönüşmektedir. (3.45) yeniden düzenlendiğinde sıkışmaz malzeme için

0

0

0

1 11 /

11

v L LL L

L

(3.46)

olmalıdır. Problemin deformasyon gradyanı

0 00 0

0 0

0 00 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0

LCos Cos LCos SinSin Sin Sin Cos

L L

LSin Cos LSin SinCos Sin Cos Cos

L L

F (3.47)

35

şeklinde hesaplanmaktadır. Alan elemanı

2

0 0det( ) . .dA dA dA T -TF n F N (3.48)

olmaktadır. Yine 2.PK tansörünün asal bileşeni şekil değiştirmemiş cisim eksen

takımında

200

LS

L

(3.49)

olarak hesaplanabilir. (3.39) da verilen Virtüel İş Denklemi uygulandığında

2

0 0( . ) i iTr L dV A L A L Q uL

T LGεS

(3.50)

şeklinde hesaplanır. Görüldüğü üzere bu sonuç (3.40) da elde edilen sonuçla aynıdır.

3.1.4 Sonlu eleman denklemlerinin oluĢturulması

Sonlu eleman denklemlerini oluşturmak üzere (3.11) denlem takımı kullanılabilir.

Normal kuvveti belirlemek için bünye bağıntısı gerekecektir. Normal kuvvet çubuğu

ile ilgili bünye bağıntısı

k (3.51)

şeklinde yazılabilir. Burada gerilme ve şekil değiştirme arasındaki orantılılığın

korunduğu varsayılacaktır. Bu kabul genellikle şekil değiştirmenin küçük olması

durumunda geçerlidir. Ayrıca (3.51) denklemi için gerilme ve şekil değiştirme tipini

seçmek gereklidir. Bu seçim değişik şekillerde yapılabilir. Örneğin

0

0 0

L LN

A L

(3.52)

şeklinde seçildiğinde orantı katsayısı

k E (3.53)

olacaktır. Burada E çubuk malzemesinin elastisite modülüdür. Yaddoğrusal hesap

için Newton-Raphson yöntemi uygulanacaktır. Eleman yük vektörü (3.11) den

36

/

/

/

/

x

x

y

y

L L

L LN

L L

L L

ek (3.54)

şeklinde yazılabilir. Burada xL ve

yL elemanın izdüşüm boylarıdır. (3.54) deki e

indisi eleman anlamına gelmektedir. Bundan sonra yazılacak denklemlere elemana

ait olup bu indis gösterilmeyecektir. Teğet rijitlik matrisi (3.54) ün şekil değiştirmiş

cisim koordinatlarına göre gradyanı alınarak

iij

j

kK

x

(3.55)

bulunabilir. (3.51), (3.52) ve (3.53) bağıntılarını kullanarak normal kuvvet

00

0

L LN EA

L

(3.56)

şeklinde yazılabilir. (3.55) in hesaplanmasını kolaylaştırmak için (3.54) ün türevleri

alınırken zincir kuralı uygulanarak

yi i x iij

j x j y j

Lk k L kLK

L x L x L x

(3.57)

elde edilir. İşlemler yürütüldüğünde teğet rijitlik matrisi

1 1 3 3

1 1 3 3

0

3 3 2 2

3 3 2 2

EA

K (3.58)

şeklinde elde edilir. Burada

2

1

0

2

2

0

3

1 ( )

1 ( )

( ) ( )

Sin

L L

Cos

L L

Sin Cos

L

(3.59)

37

şeklinde hesaplanabilirler. (3.58) ve (3.59) incelendiğinde küçük yer değiştirmeler

durumunda matrisin bilinen doğrusal rijitlik matrisine indirgendiği görülebilir. (3.58)

matrisi hesaplanırken seçilen konum vekörünün yazılışı

1

2

1

2

x

x

y

y

x (3.60)

şeklindedir. Eleman denklemleri birleştirildikten sonra çözüm için ilerleme

algoritması aşağıda verilmiştir.

.i i i

i+1 i i

K Δx = q -k

x = x +Δx (3.61)

(3.61) deki büyüklükler eleman denklemlerinin birleştirilmesi ile oluşan sisteme ait

büyüklüklerdir. Burada q sabit dış yük vektörünü temsil etmektedir. Üst indisler ise

iterasyon numaralarıdır. (3.61) iterasyonu

i+1k Q (3.62)

olana kadar sürdürülür. Yaddoğrusal denklem takımının çözümü ile ilgili geniş bilgi

tez kapsamında ayrıca verilmiştir.

3.1.5 Birinci mertebe burkulma yükünün belirlenmesi

Burkulma yüklerinin belirlenmesi için teğet rijitlik matrisinin doğrusal ve geometrik

rijitlik matrisleri olarak ikiye ayrılması gerekir. Bunun için (3.54) de verilen eleman

yük vektörünün gradyanı alınırken normal kuvvetin korunması gerekir. Eleman yük

vektörünün bir başka yazılışının

( )

( )

( )

( )

Cos

CosN N

Sin

Sin

ek θ (3.63)

olduğu hatırlanarak (3.63) ün tam diferansiyeli

d dN Nd ek θ θ (3.64)

38

şeklinde yazılabilir. (3.64) ün sağındaki ilk terim doğrusal rijitlik matrisini

oluşturacaktır. İkinci terimdeki dθ vektörü ise geometrik teğet rijitlik matrisini

oluşturacaktır. Bu durumda ilgili matrisler

D

ij i

j

G iij

j

NK

x

Kx

(3.65)

şeklinde yazılabilirler. (3.65) matrislerinin belirlenebilmeleri için

D

ij i

j

yG i i x iij

j x j y j

N LK

L x

LLLK

L x L x L x

(3.66)

formunda yazılmaları daha uygundur. İşlemler yapıldığında doğrusal teğet rijitlik

matrisi

2 2

2 2

0

2 20

2 2

c c cs cs

c c cs csEA

L cs cs s s

cs cs s s

DK (3.67)

şeklinde hesaplanır. Geometrik teğet rijitlik matrisi ise

2 2

2 2

2 2

2 2

1

s s cs cs

s s cs cs

L cs cs c c

cs cs c c

GK (3.68)

olarak hesaplanır. (3.67) ve (3.68) de

cos( )

sin( )

c

s

(3.69)

kısaltmaları yapılmıştır. Eleman teğet rijitlik matrisi (3.64) den

N D GK K K (3.70)

39

şeklinde yazılır. Birinci mertebe yaklaşımı gereği sistemin burkulmaya ulaştığı anda

yer değiştirmelerin küçük olduğu varsayılır. Bu durumda şekil değiştirmiş konuma

ait büyüklükler şekil değiştirmemiş konumdaki değerleri ile eşit sayılarak (3.70)

denklemi yeniden yazılır. Verilen dış yüklemeye ait burkulma yükü ve ilgili modu

hesaplamak için ilk önce verilen dış yüklemede sistemin doğrusal analizi yapılarak

çubuklara gelen normal kuvvetler hesaplanır. Bunun için (3.61) iterasyonunun 1.

adımını çözmek yeterlidir. Bu çözümden elde edilen çubuk normal kuvvetleri

kullanılarak (3.70) eleman matrisleri birleştirilerek sisteme ait (3.71) özdeğer

problemi elde edilir.

( ) D GK K Δx = 0 (3.71)

(3.71) denklemini sağlayan değerleri sistemin burkulma çarpanlarıdır. Burkulma

çarpanı burkulma yükünün mevcut yüke oranı olarak tarif edilebilir. Sistemin

burkulma tahkikinde öz değer probleminden elde edilen en küçük pozitif burkulma

çarpanı kullanılmalıdır. Burkulma çarpanı dış yükler ve kritik yük arasında

mincrq q (3.72)

eşitliği yazılabilir.

3.1.6 Örnek kafes sistem analizleri

3.1.6.1 Örnek 1

ġekil 3.6 : İki çubuklu normal kuvvet sistemi.

Şekil 3.6 daki yükleme altındaki sistemde C noktasının düşey yer değiştirmesi

değişik şekil değiştirme ölçüleri için ve sabit alan-hacim durumları için Şekil 3.7 de

verilmiştir.

10

5

P

EA

A B

C

EA

25000EA

40

ġekil 3.7 : Örnek 1 e ait çeşitli şekil değiştirme ölçüleri için kuvvet-yer değiştirme

grafikleri.

Hesaplamalar kuvvet konturollü olduğu üzere yatay eksen kuvvet olacak şekilde

grafikler çizilmiştir. ―A‖ ön adı ile isimlendirilen grafikler sabit alan, ―V‖ ön adı ise

sıkışmaz malzeme (sabit hacim) anlamına gelmektedir.

Örnekte sıkışmaz malzeme ve sabit alan için logaritmik genleme, Lagrange-Green

genlemesi ve Biot genlemesi olmak üzere üç adet genleme için sonuçlar

incelenmiştir. Yapılacak yorumlar için genlemelerin kısa isimleri kullanılacaktır.

Ayrıca yorumlar sadece örnek sistem için geçerli olup yine de genleme kabulleri

hakkında önemli bilgiler açığa çıkarmaktadır.

Genel olarak ilk bakışta sıkışmaz malzeme kabulünün daha rijit bir sistem yarattığı

görülmektedir. Ayrıca genleme türü ne olursa olsun sıkışmaz malzeme kabulü ile

sistemde stabilite kaybı oluşmamaktadır. Bu durum ―CB‖ çubuğundan dolayı

gerçekleşmektedir. Yükün büyüklüğü ne olursa olsun sıkışmaz malzeme kabulü ile

çubuk boyu hiçbir zaman sıfıra ulaşamamaktadır.

Sabit alan kabulüne göre LG ve Biot genlemelerinde stabilite kaybı meydana gelmesi

mümkündür. Bu iki durum için dikey bölgeler kritik nokta sonrası atlamayı

göstermektedir. Kuvvet konturollü yapılan hesaplamalarda bu bölgede çözüm elde

etmek mümkün değildir.

Sabit alan kabulünde logaritmik genlemenin sıkışmaz malzeme kabulüne en yakın

sonucu verdiği gözlenmektedir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

V-Log

V-LG

V-Biot

A-Log

A-LG

A-Biot

V-

A-

A-

A-LG

P/EA

w

A--> Sabit Alan

V--> Sabit

41

Yine sabit alan kabulüne göre LG ve Biot genleme kabullerinin davranışları ilginçtir.

Biot genlemesi kabulü kısalma durumunda (stabilite kaybından önce) LG ye göre

daha rijit bir sistem yaratırken uzama bölgesinde (stabilite kaybından sonra) daha

yumuşak bir sistem oluşturmaktadır.

3.1.6.2 Örnek 2

ġekil 3.8 : İki boyutlu kafes sistem.

Örnekte n6 düğüm noktasına ait düşey yer değiştirme grafiği P nin artan değerleri

için çizilmiştir. Şekil 3.9 daki grafikte 600P de sistemin stabilitesinin kaybolduğu

gözlenmektedir. Grafikteki üç adet kritik nokta için şekil değiştirmiş sistem

görüntüleri Şekil 3.10 ve Şekil 3.11 de verilmiştir.

ġekil 3.9 : n6 düğüm noktasının düşey yer değiştirme-kuvvet grafiği.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

w

P

A

B

C

1.5P

P

5

5

5

3

25000EA

X

Y

1n 4n

5n 6n

7n

1e

2e

3e

4e 5e

6e 7e 8e 9e

10e 11e 2P

P

2n 3n

42

ġekil 3.10 : Stabilite kaybı öncesi kafes sistem yerdeğiştirmesi (A noktası).

Şekil 3.10 da görüldüğü üzere stabilite kaybı 10e ||

7e ve 11e ||

6e elemanları paralel

hale geldiği noktada başlamaktadır.

A ve B noktaları arası ancak deplasman kontrollü bir yaklaşımla izlenebilir.

Sistemin doğrusal burkulma analizi yapıldığında kritik burkulma yükünün

1623crP

olduğu hesaplanmıştır.

ġekil 3.11 : Stabilite kaybı sonrası kafes sistem yerdeğiştirmesi (B noktası).

Bu sonuç Sap2000 programı ile de doğrulanmıştır. Geometrik yaddoğrusallık dikkate

alınarak elde edilen kritik yükün doğrusal burkulma analizine göre elde edilenden

oldukça küçük olduğu görülmektedir. Gerçek bir sistemde örnekte verilen ölçekte

büyük bir yer değiştirme olması plastikleşme olmadan oldukça zordur. Fakat teorik

anlamda bakıldığında bu sonuç oldukça önemlidir zira doğrusal hesaplama ile elde

edilen kritik yük güvensiz bölgede kalmaktadır. Hem doğrusal hem de yaddoğrusal

analizlerde EA rijitliği ile burkulma yükleri arasında doğru orantı olduğu

gözlenmiştir.

43

3.2 Eğilmeye ÇalıĢan Elemanlar

3.2.1 Kinematik bağıntılar

Şekil değiştirmiş cisim üzerinde denge denklemlerini yazabilmek için cismin şekil

değiştirmiş formunu yaklaşık bir fonksiyonla ifade etmek gerekecektir. Bu noktada

elemanın büyük dönme ve ötelemesini ifade etmekte büyük kolaylık sağlayan ve

elemanla birlikte dönen (co-rotational) bir eksen takımı seçilmiştir (Şekil 3.12).

ġekil 3.12 : Dönmüş lokal eksen takımında elemanın merkezsel ekseni.

m-neksen takımı şekil değiştiren elemanla birlikte dönmektedir. Eleman merkezsel

ekseni ( )mv x eğrisi ile tarif edilmiştir. Burada x , elemanın iki düğüm noktası

arasında tanımlanan doğrusal lokal eksen parametresidir. 1

ve 2

ise elemanın uç

noktalarındaki lokal dönme açılarıdır. Eleman düğüm noktalarının toplam dönmesi

açısı yardımıyla hesaplanacaktır. L mesafesi elemanın şekil değiştirmiş konumda iki

düğüm noktası arası mesafe olarak tanımlanmıştır. 1n ve

2n merkezsel ekseni takip

eden hareketli eksen takımıdır. Elemana ait deformasyon gradyanı ve şekil

değiştirme ölçülerinin hesaplanması için hareketli eksen takımının tam olarak

tanımlanması gerekmektedir.

Eğim süreksizliklerini (gradyant eşitsizliği) ortadan kaldırmak üzere merkezsel eksen

eğrisi (3.73) de verilen üçüncü derece Hermit fonksiyonu seçilmiştir.

3 21 2 1 212

2( )m

a a a av x x x a x

L L

(3.73)

X

( )mv x

1n

2n

x

m

n

1

2

Y

merkezsel eksen

L

mds

44

Burada ( )i ia tan şekilinde tanımlanmıştır. Eleman lokal eksen takımı ya bağlı

olarak

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

0 0

n m (3.74)

(3.74) de ki gibi ifade edilebilir. Eleman merkezsel ekseni Şekil 3.13 den görüleceği

üzere lokal eksen takımı ve x koordinatı cinsinden (3.75) ifadesi ile verilebilir.

ġekil 3.13 : Merkezsel eksenin vektörel ifadesi.

mx v m i

x x n m (3.75)

Doğal eksen takımını tarif etmek için (3.75) ün merkezsel eksen yay boyuna göre

türevi alınırsa

1

m

m

dsd d

ds dx dx

m m1

x xn (3.76)

elde edilir. Merkezsel eksenin diferansiyel boyu

2 2

m mds dx dv (3.77)

şeklinde hesaplanabilir. Buradan Yay boyunun x e göre türevi hesaplarda oldukça

önemli bir parametredir ve bu aşamadan itibaren ile gösterilecektir.

2

21 1 ( )m mm

ds dvv

dx dx

(3.78)

x

m

n

jx ix

mx

mv

Y

X

45

(3.75) ifadesi x e göre türetilip (3.78) tanımı (3.76) da yerine yazıldığında

m

dv

dx mx

n m (3.79a)

d

dx m

1

xn (3.79b)

ifadeleri elde edilir ve bu ifadeler eşitlenerek 1n doğal eksen vektörü, dönel eksen

takımı bileşenleri cinsinden

1 mv

1n n m (3.80)

şeklinde tarif edilmiş olur. 2n yi tanımlamak üzere sayfa düzlemine dik (0,0,1)3n

vektöründen faydalanılabilir. (3.80) in de yardımıyla

1 mv

2 3 1 3 3n n n n n n m (3.81)

elde edilir. (3.81) ifadesi 3n n m ve 3n m n olduğu göz önünde

bulundurularak sadeleştirilirse

1mv

2n n m (3.82)

şeklinde elde edilmiş olur. Doğal eksen takımı eleman şekil değiştirmesine ilişkin

kinematik koşulları ifade edebilmek için oldukça büyük kolaylık sağlamaktadır.

Elemanın kesiti merkezsel eksenine dik olarak tarif edilirse eleman kesit koordinat

vektörü Şekil 3.14 de görüleceği üzere

2 3r r m 2 3

x x n n (3.83)

şeklinde tarif edilebilir. (3.83) de 2r ve

3r sırayla 2n ve

3n doğrultularında

tanımlanan kesit içi cisim koordinatlarını ifade etmektedirler. Böylece x , 2r ve

3r

parametreleri ile elemanın şekil değiştirmiş konumdaki her noktasına

ulaşılabilmektedir. Son olarak (3.83) ün tam diferansiyeli alınmalıdır.

2 2 3( )d d

d r dx dr drdx dx

m 22 3

x nx n n (3.84)

46

ġekil 3.14 : Eleman kesit koordinat vektörü.

(3.84) ifadesi elemana ait deformasyon gradyanını verecektir. (3.83) de mx ve

2n nin

sadece x e bağlı olduklarına dikkat edilmelidir. Hesapları ilerletebilmek için (3.84)

deki türevleri almak gerekecektir. Bunun için (3.82) ifadesi x e göre türetilirse

2 2

m mv vd

dx

2nn m (3.85)

elde edilir. (3.78) den türev işlemi ile

2 21 ( )mv (3.86a)

m mv v (3.86b)

elde edilir ve (3.86 b) ifadesi (3.85) de yerine yazılarak terimi yok edilirse

3 3

m m mv v vd

dx

2nn m (3.87)

ifadesi elde edilir. (3.87) dikkatle incelendiğinde (3.80) ifadesi yardımıyla

2

mvd

dx

21

nn (3.88)

olduğu kolaylıkla görülebilir. Benzer biçimde 1n vektörünün türevi

2

mvd

dx

12

nn (3.89)

m

n

x

mx

2n

2r

Y

X

47

şeklinde elde edilir. (3.79 b) ve (3.88) ifadeleri (3.84) de yerlerine yazıldığında

konum vektörnün tam diferansiyeli son haliyle elde edilmiş olur.

2 32

mvd dx dr dr

1 2 3x n n n (3.90)

(3.90) matris formda yazıldığında

2

3

223

3

( ) ( )( ( ) ( ) )(1 ) 0

( ) ( )( ( ) ( ))(1 ) 0

0 0 1

r v Cos v SinCos Sin v

A A dxr v Cos Sin v

d Cos v Sin drA A

dr

x (3.91)

olmaktadır. (3.91) ifadesi

.d dx J r (3.92)

şeklinde yazılabilir. Elemanın referans konumunu (şekil değiştirmeden önceki

konum) tarif etmek için benzer şekilde referans konuma ait büyüklükler (merkezsel

eksen, doğal ve lokal eksen) tanımlanmalıdır. Bu tanımlar aynen şekil değiştirmiş

eleman üzerinde yapılan işlemlere benzer şekilde yapılabilir.

ġekil 3.15 : Referans sistemde merkezsel eksenin vektörel ifadesi.

Şekil 3.15 de başlangıçta eğrisel olan bir eleman görülmektedir. Konum vektörü

00 0 2 32

0

mvd dx dr dr

0 10 20 30x n n n (3.93)

0x

0m

0n

j0x i0x

m0x

0mv

0L Y

X

48

şeklinde yazılabilir. Referans konumdaki türevler 0x a göre alınmalıdır. Hesaplar

referans şekli doğrusal olan bir eleman için yapılacaktır. Bu durumda

0 0 0 0m m mv v v ve 0 1 olacaktır. x ve

0x arasındaki bağıntıyı elde etmek

oldukça kolaydır.

0 0

0 1

0 1

x tL t

x tL t

(3.94)

olduğu düşünülürse

00

Ldx dx

L (3.95)

olarak yazılabilir. (3.95) ifadesi (3.93) de yerine yazıldıktan sonra doğrusal elaman

için deformasyon gradyanını

1

.

. .( . )

.

d d

d d

0

0

0

x F x

J r F J r

F J J

(3.96)

şeklinde hesaplanabilir. Son olarak elemana ait Lagrange-Green şekil değiştirme

tansörünün referans konuma ait eksen takımındaki ifadesi elde etmek için

0 0

0 0

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

0 0 1

Cos Sin

Sin Cos

0T (3.97)

dönüşüm matrisinden faydalanılarak

0

1.( . ).

2 T T

LG 0 0ε T F F I T (3.98)

işlemi yapıldığında (3.99) ifadesi elde edilir.

2 2 2 2 22 20

2 22 2 2 4

0 0 0

1 1( ) 0 0

2 2

0 0 0

0 0 0

L L L Lr v r v

L L L

0LGε (3.99)

49

3.2.2 Sonlu eleman denklem takımının elde edilmesi

Sonlu eleman denlem takımını elde etmek üzere enerji yöntemleri veya yönetici

diferansiyel denklemin zayıf formunun kullanılması mümkündür. Tez kapsamında bu

yöntemlerin dışına çıkılarak doğrudan eleman denge denklemleri yazılması yoluna

gidilmiştir. Denge denklemleri şekil değiştirmiş eleman üzerinde sağlanmalıdır.

Elemana ait uç kuvvetler, kesit tesirleri cinsinden Şekil 3.16 dikkate alınarak

belirlenebilir.

ġekil 3.16 : Eleman uç kuvvetleri ve kesit tesirleri.

Şekil 3.16 da her iki parçada yatay denge denklemleri

1 2N T Q Q 1 2

n n i j 0 (3.100a)

4 5N T Q Q 1 2

n n i j 0 (3.100b)

şeklinde yazılabilir. (3.74), (3.80) ve (3.82) ifadeleri (3.100) de yerlerine yazılıp

düzenlendiğinde yatay denge denklemleri

1( ) ( ) ( ) ( )m mN Tv Cos Nv T Sin Q (3.101a)

2( ) ( ) ( ) ( )m mN Tv Sin Nv T Cos Q (3.101b)

4 1Q Q (3.101c)

5 2Q Q (3.101d)

şekline dönüşmektedir. Moment denge denklemi Şekil 3.17 dan

x

m

n

Y

X

L

M

N

T

T

M

3Q 1Q

2Q

4Q

5Q

6Q

mx

1n

2n

50

ġekil 3.17 : Eleman moment dengesi.

3M Q m i i

k k x R x R 0 (3.102)

şeklinde yazılabilir. Yatay ve düşey denge denkleminden

i

R R 0 (3.103)

olduğu bilindiğine göre (3.102)

3 ( )M Q m i

k k x x R 0 (3.104)

şekline dönüşür. Kesit tesirleri ve koordinat vektörleri

N T 1 2

R n n (3.105a)

mx v m i

x x n m (3.105b)

olduğuna göre (3.105) ifadeleri (3.104) de yerlerine yazılırsa

3 m m m mQ M Nv x Tx Nv Tv v (3.106)

elde edilmiş olur. (3.106) ifadesi elde edilirken aşağıdaki bağıntılar kullanılmalıdır.

m mv v

1n n n m k (3.107a)

1 1

2n n n m k (3.107b)

x

m

n

Y

X

L

M

R

T

M

3Q

6Q

mx

1n 2n

R i

R

jR

ix

jx

51

1 1

1m n m n k (3.107c)

m mv v

2m n m n k (3.107d)

6Q uç kuvvetini bulmak için eleman denge denklemlerinden j ucuna göre moment

alınarak

6 3 1 2( ) ( )Q Q Q LSin Q LCos (3.108)

elde edilir.

3.2.3 Bünye denklemleri ve iç yük vektörünün elde edilmesi

Bir sonraki aşama olarak kesit tesirleri ile elastik eğri arasındaki bağıntıları elde

etmek gerekmektedir. Bunun için çubuk bünye denklemlerinden yararlanılacak ve

şekil değiştirmelerin küçük olduğu varsayılacaktır. İlk olarak normal kuvvet için

kesit birim uzaması

0 0

0 0

mm

ds dx dx dx

dx dx

(3.109)

şeklinde tarif edilebilir. (3.95) ifadesi (3.109) da yerine yazılarak

0

1m

L

L

(3.110)

olarak bulunabilir. Normal kuvvet A kesit alanı olmak üzere

mN EA (3.111)

şeklinde hesaplanabilir. Moment için

3/2 321 ( )

m m

m

v vM EI EI EI

v

(3.112)

ifadesi geçerli olmaktadır. Kesme kuvvetini hesaplamak üzere

4 53m m

m m

v vdM dM dx MT EI EI

ds dx ds

(3.113)

52

şeklinde olacaktır. Yapılan hesaplarda Kesme kuvvetinin (3.113) deki gibi

alınmasının hesapları olumsuz etkilediği görülmüştür. Bu durumun sebebi

anlaşılamamış olup kesme kuvveti

4

mvT EI

(3.114)

olarak alındığında hesapların düzeldiği gözlenmiştir. Elemanlar arası süreklilik

koşullarının sağlanması üzerine eleman bilinmeyenlerinin seçilmesi gerekmektedir.

Açı sürekliliğinin sağlanması için eleman uç noktalarının, eleman referans

konumundan itibaren dönmeleri dikkate alınmalıdır. Bu bağlamda elemanın açısal

bilinmeyenleri Şekil 3.18 de gösterilen i ler seçilmelidir.

ġekil 3.18 : Elemanın açısal bilinmeyenleri.

Şekil 3.18 den de görüleceği üzere açısal bilinmeyenler

0i i (3.115)

şeklinde yazılabilirler. Böylece (3.73) elastik eğri ifadesinde kullanılan ia

bilinmeyenleri

0( ) ( )i i ia Tan Tan (3.116)

şeklinde yazılmalıdır. Diğer bilinmeyenler ise elemanın şekil değiştirmiş konumdaki

uç noktalarının koordinatları olarak seçilmiştir. Son olarak elemana ait denklem

takımı seçilen bilinmeyenler cinsinden ifade edilecektir. (3.101), (3.106) ve (3.108)

m

n

1

2

Y

X

0m

0n

0

1 0n

0n

2

n

0

53

denklemleri şekil değiştirmiş konumda x parametresine bağlıdır ve 0 x L

aralığındaki her x için sağlanmalıdır.

Her x değeri için bu denklemleri sağlayacak çözümlerin bulunması oldukça zordur.

Bu durumda ilgili denklemlerin integral anlamda sağlatılması yoluna gidilmiştir.

Şekil değiştirmiş eleman boyu

0

L

dx (3.117)

olmak üzere eleman uç kuvvetleri

1 1 2( ) ( ) /Q I Cos I Sin (3.118a)

2 1 2( ) ( ) /Q I Sin I Cos (3.118b)

3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] /m m m mQ I M I Nv x I Tx I Nv I Tv v (3.118c)

şeklinde hesaplanmıştır. (3.118) deki gösterimde

0[.] (.)

L

I dx (3.119a)

1 [ ] [ ]mI I N I Tv (3.119b)

2 [ ] [ ]mI I Nv I T (3.119c)

şeklinde tanımlanmıştır. (3.118) denklemleri oluşturulurken iQ uç kuvvetlerinin

sabit büyüklükler oldukları ( x den bağımsız oldukları) düşünülmüştür. Ayrıca

integrallerin her terimde için ayrı ayrı alınması eleman performansını ayarlamak

bakımından önemlidir. Yapılan hesaplarda terimler için farklı integrasyon

şemalarının seçiminin sonuçları etkilediği görülmüştür.

3.2.4 Örnek problemler

3.2.4.1 Örnek 1

Geliştirilen elemana ―MyBeam‖ ismi verilmiş ve konsol kiriş probleminde test

edilmiş ve sonuçlar ANSYS ve SAP2000 programları ile karşılaştırılmıştır. Elemanın

özellikleri Şekil 3.19 de verilmiştir.

54

ġekil 3.19 : Konsol kiriş örneği.

Sonuçlar P yükünün çeşitli değerleri ve değişen eleman sayıları için Şekil 3.20 de

ve devamı Ek A.1 de verilmiştir.

ġekil 3.20 : Konsol kiriş statik analizi : ANSYS, Sap2000 ve MyBeam.

Grafiklerde konsolun uç çökmesi ve mesnet momenti verilmiştir. Sonuçlar

incelendiğinde geliştirilen elemanın tek eleman performansının oldukça yüksek

olduğu görülmektedir. Ayrıca konsol kiriş boyunun yarısına varan çökme değerlerini

iki elemanla kesin olarak hesaplayabilmesi de oldukça dikkate değerdir.

3.2.4.2 Örnek 2

İkinci örnek bir çerçeve problemi olarak seçilmiştir. Şekil 3.21 de verilen sistem için

yük-yer değiştirme grafikleri elde edilmiştir.

325

330

335

340

345

350

355

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dü

şey

Yer

Değ

işti

rme

Eleman Sayısı

(L=1000 , P = 0.2)

ANSYS

SAP2000

BEAM#

Teorik

1000L

P

3456E

Kiriş Kesiti

5

5

55

ġekil 3.21 : Çerçeve statik analizi.

Şekil 3.22 de yer değiştirme arttıkça sistemin rijitleştiği görülmektedir. Bu durum

genelde eğilmeye çalışan sistemlerde büyük yer değiştirme durumunda normal

kuvvetlerin devreye girmesi sonucu oluşmaktadır.

ġekil 3.22 : Çerçeve sistem yük-deplasman grafiği (C noktası düşey).

Sistemin değişik P yükleri altında yer değiştirme çizimleri Şekil 3.23 de verilmiştir.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 500 1000 1500 2000 2500

P

P

w

P

,EI EA

,EI EA

L

L

180000EI

86400EA

A

B C

1000L

56

ġekil 3.23 : Çerçeve sistemin eğilme çizimleri.

Şekil 3.24 de 2, 4 ve 16 eleman için ―C‖ noktasına ait düşey yer değiştirme grafikleri

verilmiştir.

ġekil 3.24 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.5 1 1.5 2 2.5

w4x4

w1x1

w2x2

P

w

A

57

Grafiklerden de görüleceği üzere 2x2 eleman için bile oldukça doğru sonuçlar elde

edilmiştir. Bu durum geliştirilen eleman performansının oldukça iyi olduğunu

göstermektedir. Şekil 2.12 deki grafikte işaretlenen ―A‖ noktasına kadar 1x1

elemanın bile oldukça iyi sonuçlar verdiği görülmektedir. A noktasındaki yer

değiştirme değerine dikkat edilirse bir eleman boyunun yaklaşık 1.5 katı olduğu

görülür. Bu derece büyük bir yer değiştirme 1x1 elemanla oldukça doğru

hesaplanmıştır.

ġekil 3.25 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri.

Şekil 3.25 de 2x2 eleman ağı için Sap2000 programı ile ―MyBeam‖ elemanından

elde edilen sonuçlar ―C‖ noktasının çökmesi için karşılaştırılmıştır. Sonuçların

birbirine oldukça yakın oldukları görülmektedir.

3.2.5 Doğrusal burkulma problemi

Burkulma problemi basınç normal kuvveti altındaki sistemlerin kritik yük eşiği

aşıldığında kararlı denge konumundan ayrılıp yeni bir denge konumuna geçmesi

durumu olarak düşünülebilir.

Bu bölümde yapılan hesaplamalarda burkulma esnasında sistemdeki yer

değiştirmelerin küçük olduğu varsayılmıştır. Çubuk eleman boyunca alınan sonsuz

küçük boyunda bir parça üzerinde denge denklemi yazıldığında (Şekil 3.26)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2 4 6 8 10 12

Sap2000

MyBeam

P

w

58

ġekil 3.26 : Şekil değiştirmiş elemana ait diferansiyel parçada kesit tesirleri.

sol kesite göre moment denkleminden limit halde

dM dvT N

dx dx (3.120)

elde edilir. (3.120) denklemi x e göre türetildiğinde

2 2

2 2

d M d vq N

dx dx (3.121)

elde edilir. Klasik olarak bilinen Moment-eğrilik ve eğrilik-elastik eğri bağıntıları

(3.121) de yerine yazıldığında burkulma problemine ilişkin yönetici diferansiyel

denklem rijitliği sabit eleman için

4 2

4 2

d v d vEI N q

dx dx (3.122)

şeklinde elde edilmiş olur. Burada esas amaç burkulma problemini çözmek üzere

diğer kesit tesirlerinin dışında normal kuvvet etkilerini ortaya çıkarmaktır. (3.122)

yönetici denkleminde standart sonlu eleman türetme uygulaması gerçekleştirildiğinde

normal kuvvet içeren terim Geometrik Rijitlik Matrisini vermektedir. Uygulamada

bu matris terimleri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

1P

N

T

T

N

1Q

1M

2P

2Q

2M q

N

N

dx

v v dv T

T dT M

M dM

59

0

( )

L

i i

v vW dx

x x

(3.123a)

(.)(.)i

iu

(3.123b)

G iij

j

WK

u

(3.123c)

Yaklaşım fonksiyonları kübik Hermit fonksiyonları olarak seçildiğinde yerel eksen

takımındaki kütle matrisi

2 2

2 2

36 3 36 3

3 4 31

36 3 36 330

3 3 4

L L

L L L L

L LL

L L L L

GK

(3.124)

şeklinde bulunmaktadır.

3.2.6 Burkulma problemi

Bu çalışma kapsamında çubuk sistemlerin büyük yer değiştirme kabulü ile dinamik

analizleri sunulmuştur. Bu analizler aynı zamanda sistemin burkulma yükünü

belirmek için de kullanılabilir. Verilen yükleme altında sistem davranışınında

burkulma tipi bir davranışın gözlenmesi yeterli olacaktır.

Belirli bazı durumlarda kritik yük aşılmasına rağmen burkulma gözlenmeyecektir.

Bu durumlarda normal kuvvetin eğilmeye olan etkisini ortaya çıkarmak üzere

sisteme ―basit kusur‖ olarak da adlandırılabilecek ön deformasyonlar vermek

gerekecektir.

3.2.6.1 Örnek 1

ġekil 3.27 : Konsol kiriş hareketli burkulma örneği.

1000L

P 34560000

Kiriş Kesiti

5

5

P

60

Şekil 3.27 deki sistemde sabit P yükü altında yapılan dinamik hesaplamalarda

düşey deplasman oluşması mümkün değildir. Yükün burkulma yaratıp

yaratmayacağını görmek üzere sistemde çok küçük bir eğilmeye yol açacak bir

kuvvet verilmek suretiyle P yüklemesinin eğilmeyi büyütüp büyütemeyeceği

gözlenerek burkulma yüküne erişilmeye çalışılacaktır. Yapılan çözümlemelerde

burkulma olmaması durumunda konsol kirişin küçük salınımlar yaptığı (Şekil 3.28),

burkulma olması durumunda kontrolsüz bir şekilde büyük eğilme gösterdiği

gözlenmiştir (Şekil 3.29).

ġekil 3.28 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (stabil durum).

Görüldüğü üzere burkulma yükünün altında yapılan yüklemede küçük salınımlar

oluşmaktadır.

ġekil 3.29 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (burkulma durumu).

0

0.00001

0.00002

0.00003

0.00004

0.00005

0.00006

0.00007

0.00008

0.00009

0 1 2 3

w

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5

w

61

Şekil 3.29 da görüldüğü üzere salınım gerçekleşmemekte ve çubuk kütlesine bağlı

olarak belirli bir süre sonra burkulma başlamaktadır. Belirtilen şekilde yapılan

çözümlemelerden ve doğrusal burkulma analizlerinden elde edilen sonuçlar Şekil

3.30 da özetlenmiştir.

ġekil 3.30 : Konsol kiriş kritik hareketli burkulma yükü – eleman saysı grafiği.

Şekil 3.30 da görüldüğü üzere yapılan çözümlemeler sonucunda Euler burkulma

yüküne 8 elemanda ulaşılmıştır. Tek elemanla elde edilen sonuç pek tatmin edici

değildir.

Yapılan çözümlemeler sonucu çubuk kütlesinin ve P yükünün büyüklüğünün

burkulma yükünü etkilemediği görülmüştür.

3.2.7. Bezier eğrileri ile yaddoğrusal kiriĢ problemi

Günümüzün teknolojik gelişmeleri ışığında pek çok alanda, yük etkisi altında büyük

ötelemeler ve dönmeler yapan sistemlerin incelenmesi zorunlu hale gelmiştir.

Özellikle otomatik kontrol sistemleri, nano teknoloji ve tıp alanında karşılaşılan

birçok problemin modellenmesi doğrusal hesaplamalarla mümkün olmamaktadır.

Gelişen bilgisayar ve grafik sistemleri ile birlikte, problemlerin bilgisayar ortamına

aktarılması ve geliştirilen sayısal yöntemler yardımıyla hesaplamalar oldukça

kolaylaşmıştır. Yapılan çözümlerde genel olarak sonlu elemanlar, sonlu farklar veya

sınır eleman yöntemleri kullanılmaktadır. Problemin analizine geçilmeden önce

sistemin geometrisi ve malzeme özelliklerinin yanı sıra etki eden yüklerin de

3700

3800

3900

4000

4100

4200

4300

4400

4500

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Euler

Pcr

Eleman Sayısı

62

belirlenmesi gerekir. Sistem geometrisinin belirlenmesi genellikle grafik ortamda

yapılmaktadır. Günümüz bilgisayarlarında hâlihazırda kullanılan grafik tasarım

programlarının vazgeçilmez bileşenleri Bezier eğrileridir. Bezier eğrileri çeşitli

kontrol noktaları ile tarif edilen ve bu kontrol noktalarının uzaydaki konumlarına

göre oldukça farklı şekiller alabilen parametrik eğrilerdir. Sadece dört kontrol noktası

ile belirlenen üçüncü mertebe eğrilerin alabildiği şekillerin çeşitliliği bu eğrilerin

sonlu yer değiştirme problemlerinin çözümünde uygun biçimde kullanılabileceği

izlenimini vermiştir. Zira büyük yer değişimine maruz kalan sistemlerin geometrisi

çok çeşitli şekiller almaktadır. Tez kapsamında başlangıçta iki boyutlu çubuk

sistemlerin tekil uç kuvvet altında geometrik yad-doğrusal yer değiştirme problemi

Bezier eğrileri kullanılarak çözülmüş ve sonuçlar analitik çözümler ve paket program

çözümleri ile karşılaştırılmıştır. Çözümlerde şekil değiştirmelerin küçük olduğu ve

malzemenin de Hooke yasalarına uyduğu varsayılmıştır.

3.2.7.1 Bezier eğrileri

Bezier eğrileri 1962 yılında Fransız otomotiv mühendisi Pierre Bezier tarafından

bulunmuştur. Bu eğriler ilk olarak otomobil gövde tasarımı için kullanılmıştır. Şekil

3.31 de üçüncü örnek bir Bezier eğrisi ve kontrol noktaları verilmiştir.

ġekil 3.31 : Üçüncü mertebe Bezier eğrisi ve dört kontrol noktası.

n. mertebe Bezier eğrisi n+1 adet kontrol noktasından oluşmakta olup

(3.125)

şeklinde tarif edilir. (3.125) de

!

!( )!

n n

i i n i

(3.126)

1P

0P

2P

3P

63

Binom katsayılarıdır. Örnek olarak üçüncü mertebe Bezier eğrisinin parametrik

denklemi

(3.127)

olmaktadır. Bezier eğrilerinin önemli bir özelliği de ilk iki ve son iki kontrol

noktalarını birleştiren doğrulara teğet olmalarıdır (Şekil 1.1). (3.125) de

(3.128)

polinomları Bernstein polinomları olarak bilinmektedir. için Bernstein

polinomları Şekil 3.32 deki gibidir.

ġekil 3.32 : Üçüncü mertebe Bernstein polinomları.

3.2.7.2 Sonlu yer değiĢtirme hesabı

Büyük kesit dönmeleri ve büyük yer değiştirme hesabı yapmak üzere, kiriş

geometrisi aralığında değişen parametresine bağlı olarak keyfi bir Bezier

eğrisi ile tarif edilecektir. Eğrinin genel formu

(3.129)

şeklinde oluşturulabilir. Burada ve ler Şekil 1.1 de görülen kontrol noktalarıdır.

Bezier eğrilerinin mertebeleri arttıkça kontrol noktalarının sayısı da artmaktadır.

(3.129) da tarif edilen eğrinin adet serbestliği bulunmaktadır. Kiriş

problemine ait yer değiştirmiş konum ve referans konum Bezier eğrileri ile Şekil

3.33 deki gibi belirlenecektir.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

B03

B13

B23

B33

64

ġekil 3.33 : Yer değiştirmiş konum ve referans konum.

Şekil 3.33 de referans konuma ait büyüklükler büyük harflerle gösterilmiştir. Konum

vektörleri Bernoulli-Navier hipotezinin geçerli olduğu varsayılarak yazılacaktır.

Çubuğun kesit ağırlık merkezini takip eden eğriler (3.130) ile tarif edilebilir.

(3.130a)

(3.130b)

Eğrilerin teğet ve normal birim vektörleri

(3.131a)

(3.131b)

şeklinde hesaplanabilir. (3.131) de kullanılan ifadelerde yay boylarının türevleri

(3.132) bağıntıları ile hesaplanmıştır. ifadesi yi ifade etmektedir;

(3.132a b)

Referans ve yer değiştirmiş konum vektörleri

ve (3.133a b)

şeklinde ifade edilebilir. Konum vektörünün değişimini bulmak üzere

65

ve (3.134a b)

olacaktır ve çubuk kesitinin herhangi bir noktasındaki Lagrange-Green genlemesi

(3.134) kullanılarak

1 .( , ) 1

2e t

r r

R .R (3.135)

şeklinde tarif edilebilir. (3.135) genlemesini hesaplayabilmek için (3.131) de ve

vektörlerinin türevlerini hesaplamak gerekecektir. Örnek olarak şekil değiştirmiş

konum için vektörünün türevi

(3.136)

olmaktadır. terimini hesaplamak için

(3.137)

ifadesinde her iki taraf türetilerek sadeleştirmeler yapılırsa

(3.138)

elde edilir. (3.138) ifadesi (3.136) da yerine yazılarak işlemler yürütüldüğünde

(3.139)

şeklinde hesaplanabilmektedir. (3.139) daki tüm terimler Bernstein polinomlarının

türevleri ve kontrol noktalarının koordinatları ile hesaplanabilirler. Referans konum

için de benzer ifadeler bulunur. Çubuk kesitinin dikdörtgen olduğu düşünülerek

(3.140) değişken dönüşümü yapılabilir.

(3.140)

Burada kiriş kesit yüksekliğidir. (3.140) değişken dönüşümü ile kiriş üzerindeki

herhangi bir noktaya ve koordinat parametreleri ile

ulaşılabilmektedir (Şekil 3.34).

(3.130a), (3.134a), (3.139) ve (3.140) ifadeleri kullanılarak konum vektörünün türevi

(3.141)

66

şeklinde hesaplanarak (3.135) de yerine yazılabilir.

ġekil 3.34 : Koordinat parametreleri.

Benzer işlemler referans konum için de düşünülebilir. Böylece Lagrange-Green

genlemesi kirişin her noktasında koordinat parametrelerinin ve kontrol noktalarının

fonksiyonu olarak elde edilmiş olur.

(3.142)

(3.142) genlemesinin Şekil 3.33 de verilen teğet vektörü doğrultusundaki

gerilmeler tarafından oluşturulduğu unutulmamalıdır.

3.2.7.3 Virtüel iĢ teoremi ve yönsel türev

Yer değiştirmiş konumdaki denge denklemleri Virtüel İş Teoremi ile bulunabilir.

ġekil 3.35 : Kontrol noktaları ve uç kuvvetler.

Şekil 3.35 de verilen çubuk kesitinde gerilmelerin (3.131a) da verilen teğet vektörü

doğrultusunda olduğu kabulü ile adet vitüel iş denklemi yazılabilir. Yayılı

yükler olmaması durumunda denklemler

(3.143a)

(3.143b)

67

şeklinde olacaktır. (3.143) de üzerinde toplama yoktur. Bu denklemlerde

ifadesi Lagrange-Green genlemesinin yünündeki türevini ifade etmektedir. Burada

çubuk kontrol noktalarında tanımlanan uç kuvvetlerdir ve ilgili doğrultudaki

İkinci Piola-Kirchhoff gerilmesidir. Çubuk ekseni üzerinde olmayan kontrol

noktalarında alınmalıdır. Bu durumda Bezier eğrilerinin özelliği gereği ancak

çubuk uç noktalarında kuvvet tanımlanabilmektedir. Ara noktalarda tanımlanacak

tekil yükler için virtüel iş denklemi (3.143) deki kadar basit olmayacaktır. Tez

kapsamında kuvvetler çubuk uç noktalarında tanımlanmıştır.

(3.143) denklemi, kontrol noktalarının koordinatları ile yazılmış olduğu için, çubuk

uç noktalarındaki dönme tipinden sınır koşullarının yazılması zorlaşmaktadır. Bu

zorluğu Lagrange çarpanı yöntemiyle aşmak mümkündür.

(3.143) denklem takımında Lagrange-Green genlemesinin yönsel türevleri yaklaşık

olarak aşağıdaki şekilde alınabilir. Örnek olarak koordinatları yönündeki türev

merkez farklar kullanılarak

( ) ( )( )

2i

i i i ix i i

i i

e x p e x pee x x

x p

(3.144)

şeklinde ifade edilebilir. Yapılan çözümlerde merkez farklar ile alınan

varyasyonların ileri ve geri farklara göre çok daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmiştir.

Esasında varyasyonun kesin değeri nin seçiminden bağımsızdır. Fakat sayısal türev

alındığı durumlarda nin seçimi önem kazanmaktadır. Yapılan çözümlerde

olmak üzere

(3.145)

seçilmiştir. nın seçimi ile ilgili yaklaşım ayrı bir inceleme konusu olarak

beklemektedir. İlgili işlemler koordinatları için de benzer şekilde yürütülmelidir.

(3.143) denklem takımı gerilme-genleme bağıntılarının doğrusal olduğu kabulü ile

(3.146)

şeklinde yazılabilir. Burada çubuk malzemesinin elastisite modülüdür. Son olarak

sayısal integrasyon yapmak üzere (3.146) denklemlerinin Şekil 3.34 deki koordinat

takımında ifadesi

68

(3.147)

şeklinde yazılır. (3.147) de çubuk kesit genişliğidir. ise koordinat dönüşüm

Jacobien‘ inin determinantıdır. Koordinat dönüşüm Jacobien‘ i (3.148) ile verilmiştir.

(3.148)

3.2.7.4 Yaddoğrusal denklem takımını çözümü

(3.148) de verilen denklem takımına ait dış yük vektörü bileşenleri

(3.149)

şeklinde yazılabilir. Yaddoğrusal denklem takımı

(3.150)

olmaktadır. (3.150) denklemlerinde ve koordinatlarına ait serbestlikler

birleştirilmiştir. Dış yük vektörüne ait teğet matris, sayısal türev alınarak aşağıdaki

gibi elde edilebilir.

( ) ( )( )

2

j i j iiij

j j

K KKKT

r

r p r pr

p (3.151)

(3.151) de jp vektörü . elemanı ilgili koordinat varyasyonu olan, diğer elemanları

sıfır olarak tanımlanmıştır. Varyasyon (3.145) e benzer şekilde verilmektedir.

(3.150) denklem takımını çözmek üzere Newton-Raphson iterasyonu

(3.152)

şeklinde oluşturulabilir. (3.152) de üzerinde toplama uzlaşımı mevcuttur. (3.152)

iterasyonu

( )

1 ( )

P K r

K r (3.153)

şartı sağlanana kadar devam ettirilmektedir. seçilmiştir.

3.2.7.5 Dönme sınır koĢulunun denklem takımına etkisi

(3.149) denklem takımında dönme türünden serbestlikler yoktur. Denklem takımının

bilinmeyenleri yer değiştirmiş konumu tarif eden Bezier eğrisinin kontrol noktaları

69

koordinatlarıdır. Bu durumda basit mesnet ve kayıcı mesnet koşulları direkt olarak

ilgili serbestlik yok edilerek verilebilmektedir. Ankastre koşulu ise iki yolla

verilebilir. Birinci yol ilgili mesnet noktasında eğrinin eğimini belirleyen kontrol

noktasına ait serbestlikleri de yok etmektir.

ġekil 3.36 : Bezier eğrisi ve kontrol noktaları.

Örnek olarak Şekil 3.36 de noktasında ankastre mesnet tanımı için eğrinin bu

noktadaki eğimini belirleyen noktasına ait serbestlikleri de yok ederek eğrinin bu

noktada eğim değiştirmemesi sağlanabilir. Bu yöntem uygulamada basitlik getirse de

eğrinin serbestlik sayısını gereksiz yere düşürmektedir. ve in tanımladığı

eğimin sabit kalması ile ilgili tek koşul yer değiştirmiş ve referans konumlar göz

önünde bulundurulduğunda

ġekil 3.37 : Yer değiştirmiş ve referans konumlara ait Bezier eğrileri.

Şekil 3.37 deki örnek durum için eğer noktasının ankastre olması isteniyorsa

1 0 1 0

1 0 1 0

X X Y Y

x X y Y

(3.154)

koşulunun sağlanması yeterlidir. (3.154) koşulu denklem formunda

(3.155)

şeklinde yazılabilir. Bu koşul (3.149) denklem takımına Lagrange Çarpanı yöntemi

ile eklenebilir. (3.149) denklem takımının bir fonksiyonelinin minimum olma

koşulu olduğu göz önünde bulundurularak fonksiyonel

70

(3.156)

şeklinde güncellenebilir. (3.156) da

(3.157)

olduğu üzere (3.149) denklem takımı aşağıdaki şekilde güncellenmelidir.

(3.158a,b)

3.2.7.6 Sayısal uygulamalar

Doğru eksenli ankastre kiriĢ

İlk örnek olarak ankastre kiriş ucuna tekil yük uygulaması problemi çözülmüştür

(Şekil 3.38). Elde edilen sonuçlar teorik sonuçlarla ve Sap2000 programı ile

karşılaştırılmıştır.

ġekil 3.38 : Ankastre mesnetli doğru eksenli kiriş.

; ; değerleri için yapılan çözümler Ek A.3 de

verilmiştir. Çözülen problemdeki yer değiştirmelerin mertebesini göstermek üzere

yapılan programdan örnek bir görüntü Şekil 3.39 da verilmiştir.

ġekil 3.39 : Örnek program çıktısı.

Şekil 3.39 da referans konum ve yer değiştirmiş konum birlikte gösterilmiştir.

Konumlar üzerindeki noktalar Bezier eğrilerinin kontrol noktalarıdır. Referans

konumun kontrol noktaları değişmemektedir. Çözüm esnasında yer değiştirmiş

71

konuma ait kontrol noktalarının koordinatları denge denklemleri sağlanacak şekilde

belirlenmektedir. Şekil 3.39 daki eğriler dördüncü derece Bezier eğrileridir. Değişik

yüklemelerde oluşan yer değiştirmiş konumlar Şekil 3.40 de verilmiştir.

ġekil 3.40 : PL2/EI = 2, 10 ve 15 için yer değiştirmiş konumlar.

Sap2000 programı ile yapılan karşılaştırmalı grafikler Şekil 3.41 de .verilmiştir.

ġekil 3.41 : Konsol kiriş statik analizi Sap2000 ile karşılaştırma.

Eğri eksenli ankastre kiriĢ

İkinci örnek olarak ankastre mesnetli eğrisel (parabolik) kiriş ucuna tekil yük

uygulaması problemi çözülmüştür. Elde edilen sonuçlar Sap2000 programı ile

karşılaştırılmıştır. Eğrisel çubuğun geometrisi keyfi kontrol noktaları ile

oluşturulmuştur. Sap2000 programında eğrisel elemanlar mevcut değildir. Bu yüzden

Sap2000 de çubuk geometrisine doğru eksenli çubuklarla yaklaşılmaya çalışılmıştır.

Eğrisel geometriyi tarif edebilmek için birçok çubuk gerektiğinden sonuçları az

sayıda elemanla karşılaştırma şansı yoktur.

0.811

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 5 6 7 8

w/L

Derece

PL2/EI=10 İçin Düşey Yer Değiştirme

Teorik

BEZİER

SAP2000

72

ġekil 3.42 : Ankastre mesnetli eğri eksenli kiriş.

Eğri fonksiyonu belli olan çubukların Bezier eğrileri ile tarif edilmesi gerekmektedir.

Seçilen örnek çubuğun geometrisi Şekil 3.42 deki gibidir. Ek A.3 de verilen

çözümler ; ; değerleri için yapılmıştır. Çözümler

altıncı derece Bezier eğrileri ile yapılmıştır. Sonuçlar Çizelge 3.1 de özetlenmiştir.

Çizelge 3.1 : Eğri eksenli kiriş.

Eğri eksenli Kiriş

Derece P

Top

lam

İte

rasy

on

Bezier Sap2000

w u w u Fark%

w Fark%

u

3 10 17 156.18 -23.02 176.64 -37.96 11.58 39.36 4 10 25 185.09 -33.40 189.54 -40.29 2.35 17.09 5 10 27 197.78 -42.55 197.53 -41.95 -0.13 -1.44 6 10 31 202.65 -42.91 202.95 -43.11 0.15 0.48

7 10 35 206.81 -43.94 206.86 -43.98 0.02 0.09

3.2.8 Malzeme yaddoğrusallığı

Malzeme yaddoğrusallığının az sayıda sonlu elemanla modellenebilmesi için,

gerilme alanının büyük bir doğrulukla hesaplayabilmesi gerekmektedir. Klasik

düzlem gerilme elemanları düğüm noktası başına iki adet öteleme serbestliğine sahip

olup düzlem gerilme alanını az sayıda elemanla ifade etmekte zorlanmaktadırlar. Bu

çalışma kapsamında her düğüm noktasında iki öteleme ve bir de düzleme dik dönme

serbestliği bulunan özel bir sonlu elaman geliştirilmiştir.

Küçük yer değiştirme kabulü altında geliştirilen dört nodlu dikdörtgen sonlu

elemanın, Von-Misses akma kriteri uyarınca plastikleşmesi incelenmiş ve örnek

/2

73

problemler çözülerek teorik çözümler ve ticari sonlu eleman paket programları

çözümleri ile kıyaslamalar sunulmuştur.

3.2.8.1 Düzlem gerilme elemanı

Düzlem elemanlarda oluşan yer değiştirme alanı yaklaşım fonksiyonları yardımı ile

nodal büyüklükler cinsinden (3.159) daki gibi ifade edilebilir. Yaddoğrusal hesap

sözkonusu olduğu üzere artımsal büyüklükler kullanılmıştır.

u

L i i

v

L i i

u U

v V

(3.159)

Burada nodal yer değiştirme artımları büyük harfle gösterilmiştir. ―L‖ alt indisi

öteleme kaynaklı yer değiştirme alanını göstermektedir. Düğüm noktalarında

düzleme dik dönmeler olması halinde bu dönmelerden kaynaklanacak olan yer

değiştirme alanı (3.160) ile tariflenmiş ve (3.159) ifadeleri ile süperpoze edilerek yer

değiştirme alanı elde edilmiştir.

u

T i i

v

T i i

u T

v T

(3.160)

Toplam yer değiştirme alanı

L T

L T

u u u

v v v

(3.161)

şeklinde yazılabilir. Öteleme ve dönme yer değiştirme alanları Şekil 3.43 de

gösterilmiştir.

ġekil 3.43 : Bir nolu düğüm noktasında yer değiştirme alanları.

Küçük şekil değiştirmeler, yer değiştirme alanı yardımıyla

1T

1V 1T

1U

74

x

y

xy

u

x

v

y

u v

y x

Δε (3.162)

hesaplanabilir. Nodal büyüklükler türünden genlemeler

TΔε = B ΔU (3.163)

şeklinde yazılır. Malzeme bakımından yaddoğrusal hesap için teğetsel bünye matrisi

kullanılarak gerilme artımı

T

T TΔζ C Δε C B ΔU (3.164)

şeklinde hesaplanabilir. Yayılı yük ve bünye kuvvetlerinin olmaması durumunda

Virtüel Yer Değiştirme teoreminin

i i

V

W dV P u T

δε ζ (3.165)

olduğu hatırlanarak (3.165) in yönsel türevi

V

D W dV T

Δu δε Δζ (3.166)

şeklinde alınabilir.

( ) 0W D W Δuu (3.167)

olmak üzere

i i

V V

dV P u dV T T

δε Δζ δε ζ (3.168)

yazılır ve

T Tδε = B (3.169)

olduğu hatırlanarak (3.164) ve (3.169) ifadeleri (3.168) de yerlerine yazılırsa sonlu

elemanlar yapısı

75

V V

dV dV T

T EBC B ΔU R Bζ (3.170)

şeklinde elde edilmiş olur.

3.2.8.2 Doğrusal olmayan bünye bağıntısı

(3.164) ifadesinde ele alınan TC teğet bünye matrisi diferansiyel formda

d d Tζ C ε (3.171)

bağıntısını gerçeklemektedir. Akma yüzeyi içinde kalan gerilme durumları için teğet

bünye matrisi, elastik bünye matrisi olarak alınır. Fakat akma bölgesinde gerilme-

şekil değiştirme arasındaki ilişki malzeme sabitlerine ve gerilmenin büyüklüğüne

bağlı olarak değişmektedir. Akma yüzeyinde teğet bünye matrisini hesaplamak üzere

ilk önce akma yüzeyi tanımlanmalıdır. Genel formda akma yüzeyi pekleşme

olmaması durumunda

( ) ( ) 0YF ζ ζ (3.172)

şeklinde bir skaler fonksiyon olarak tanımlanır. Burada Y malzemenin akma

gerilmesine karşı gelmektedir. Akma yüzeyi dışında herhangi bir gerilme durumu

mevcut olamaz. Akma yüzeyi

( ) 0F ζ (3.173)

olacak şekilde belirlenir. 0F ise elastik hesap yürütülecek demektir. 0F

durumunda yani akma yüzeyi üzerindeki bir gerilme durumu için iki alternatif söz

konusudur. Birinci alternatifte yükleme ve plastik şekil değiştirme birikimi devam

eder. Bu durumda 0dF dır. Yani gerilme durumu akma yüzeyi üzerinde

hareketine devam etmektedir. İkinci alternatif ise boşalma durumudur. 0dF

olduğu bu durumda elastik boşalma söz konusu olacaktır. Özetle

0

00

0

F Elastik Hesap

dF Akma devamediyorF

dF Elastik boşalma

durumları söz konusu olabilir.

76

Akma fonksiyonu sadece sınır durumu belirlemektedir. Akma başladığı durumda

yükleme devam ederken gerilmelerin değişimini belirlemek için bir takım kabuller

yapmak gerekmektedir. Bu noktada iki önemli kabul söz konusudur. Birincisi toplam

şekil değiştirmenin elastik ve plastik şekil değiştirmelerin toplamı şeklinde iki

parçadan oluştuğudur.

e pd d d ε ε ε (3.174)

İkinci kabul ise plastik şekil değiştirmelerin bir gerilme potansiyelinden

türetilebileceğidir.

p Qd

ε

ζ (3.175)

Burada Q fonksiyonuna plastik potansiyei denir ve orantı sabitidir. Elastik

bölgede plastik şekil değiştirmeler olmadığından 0 dır. Burada plastik potansiyel

fonksiyonu malzeme yapısına göre özelleştirilebilir. Bu çalışma kapsamında plastik

potansiyeli akma fonksiyonuna eşit alınmıştır.

F Q (3.176)

Gerilmedeki artışın elastik şekil değiştirmeden kaynaklandığı göz önüne alınırsa

ed dζ C ε (3.177)

eşitliği yazılabilir. Gerilme artımını toplam şekil değiştirme cinsinden ifade etmek

üzere (3.174) bağıntısı (3.177) de yerine yazılırsa

( )pd d d ζ C ε ε (3.178)

olmaktadır. Akma durumunda yüklemenin devam etmesi halinde 0dF koşulu

geçerlidir.

0

TF

dF d

ζζ

(3.179)

şeklinde yazılarak (3.175) ve (3.178) ifadeleri (3.179) da yerlerine yazılırsa

( ) ( ) 0

T T

pF F FdF d d d

C ε ε C ε

ζ ζ ζ (3.180)

77

denklemi elde edilir. Bu denklemden çözülürek

T

T

Fd

F F

C εζ

Cζ ζ

(3.181)

şeklinde hesaplanır. Plastik durumda yüklemenin devam etmesi halinde plastik şekil

değiştirmeler (3.175) den hesaplanabilir. Nihai olarak akma yüzeyinde gerilmelerin

değişimi (3.178) den hesaplanabilir.

Alternatif olarak ifadesi (3.178) de yerine yazılarak işlemler yürütülürse

( )d d d p Tζ C C ε C ε (3.182)

şeklinde de yazılabilir. Burada pC matrisi

T

T

F F

F F

p

C Cζ ζ

C

Cζ ζ

(3.183)

ile tanımlanmıştır.

3.2.8.3 Hesap algoritması

Hesaplar (3.170) denklem takımının uygun biçimde oluşturulması esasına dayanır.

Burada her gauss noktasında plastikleşme kontrolü yapılarak elastik ve plastik durum

göz önünde bulundurularak her adımda uygun teğet bünye matrisinin oluşturulması

gerekmektedir. Denklem takımı çözülerek yer değiştirme artımları elde edilir.

Buradan şekil değiştirme artımları ve nihayet gerilme artımları hesaplanarak iç

kuvvet vektörü bulunur ve denge sağlanana dek ardışık yaklaşıma devam edilir. Ara

işlemlerle ilgili detaylı açıklama verilmiştir.

1. Artımsal şekil değiştirmelerin hesabı için başlangıçta doğrusal davranış kabulü

yapılır ve bulunan gerilme artışı bir önceki adım gerilmesi ile toplanarak s gerilmesi

hesaplanır.

s C ε

s ζ s (3.184)

78

2. ( )F s akma fonksiyonu hesaplanarak Gauss noktasının bir önceki adımdaki

durumuna göre iki farklı yol izlenir. Eğer bir önceki adımda gauss noktası elastik

durumda ise 3. adımdan devam edirlir. Eğer bir önceki adımda gauss noktasında

akma gerçekleşmiş ise 4. adımdan hesaba devam edilir.

3. Elastik durumdaki gauss noktası için iki alternatif durum söz konusudur.

a) Eğer ( ) 0F s ise gauss noktası elastik kalacaktır. Burada yeniζ s olarak

alınır.

b) Eğer ( ) 0F s ise akma gerçekleşecek demektir. İlk önce s gerilmesinin

akma yüzeyi üzerine taşınması gerekmektedir. Bu işlem için

( ) 0F ζ s (3.185)

yaddoğrusal denklemi çözülmelidir. (3.185) nin çözümü için ayrıntılı bilgi ―Akma

yüzeyine taşınma‖ başlığı altında verilmiştir. hesaplandıktan sonra geriye kalan

(1 ) ε şekil değiştirmesi sonucu oluşan gerilmeler gesaplanmalıdır (Şekil 3.44).

4. Bir önceki adımda akma gerçekleşmiş bir gauss noktası için iki alternatif durum

söz konusudur.

a) 0

TF

F

sζ

ise akma devam edecektir ve hesaba 3b adımından devam

edilir.

b) 0

TF

F

sζ

ise elastik geri yükleme gerçekleşmiştir. Bu noktada iki farklı

durum söz konusu olabilir

i) ( ) 0F s ise elastik geri yükleme gerçekleşmiş ve nokta elastik bölgede

kalmış demektir. yeniζ s olarak hesaplanabilir.

ii) ( ) 0F s ise elastik geri yükleme gerçekleşmiş ve hemen akabinde plastik

bölgeye tekrar geçilmiş demektir. Bu durumda hesaba 3b adımından devam

edilir.

79

ġekil 3.44 : Gerilmenin akma yüzeyine taşınması ve elasto plastik gerilmelerin

hesaplanması.

3.2.8.4 Akma yüzeyine taĢınma

Gerilmelerin akma yüzeyine taşınması için (3.185) denkleminin sağlanması

gerekmektedir. Akma yüzeyinin nın fonksiyonu olduğu düşünülerek Şekil 3.45

deki noktalar göz önünde bulundurulursa

ġekil 3.45 : Akma fonksiyonun ya bağlı noktasal değerleri.

aşağıdaki ilerleme şeması kurulabilir.

11

1

( ) 0i ii i i

i i

F FF

(3.186)

Buradan 1i hesaplanırsa

F

1i i

1i

1( )iF ζ s ( )iF ζ s

1( )iF ζ s

Elastik

bölge

ζ

2

s

s

yeniζ

80

1

1

( )ii i i i

i i

F

F F

(3.187)

şeklinde bulunur. Burada başlangıç için

1 0

1

i

i

(3.188)

alınabilir.

3.2.8.5 Elasto-plastik gerilmelerin hesaplanması

Gerilme durumunu akma bölgesine taşıdıktan sonra arta kalan (1 ) ε şekil

değiştirmelerinden oluşan yeni gerilme durumunu bulmak üzere aşağıdaki yöntem

izlenebilir. Bu noktadan itibaren doğrusal olmayan bünye bağıntısı geçerlidir. Basitçe

artık şekil değiştirmeyi N adet parçaya bölüp bu şekil değiştirme artımlarından

oluşacak gerilme artımları bulunabilir.

(1 )d

N

εe (3.189)

gerilmenin bir önceki değeri bilindiği üzere yeni değerler kolaylıkla hesaplanabilir.

T

ii T

i i

Fd

F F

C eζ

Cζ ζ

(3.190)

1i i i

i

Fd

ζ ζ C e

ζ (3.191)

Bu yöntem oldukça basit olmasına karşın hata biriktirme olasılığı vardır. Ayrıca

adım sayısının ne olması gerektiği konusunda herhangi bişey söylenemez.

Hesaplarda adım sayısı 10N olarak seçilmiştir. Ayrıca son adımda bulunan

gerilmelerin akma yüzeyinde olması garanti edilemez. Bu konuyla ilgili olarak

alternatif yöntemler tez kapsamında incelenmemiştir.

3.2.8.6 Örnek

Örnek problem olarak konsol kirişim çevrimsel ideal elasto-plastik davranışı ele

alınmıştır (Şekil 3.46).

81

Genişlik : 60 cm

Yükseklik : 6 cm

Kalınlık : 1 cm

Akma Gerilmesi : 22 kN/cm2

Elastisite Modülü : 20000 kN/cm2

Akma Yükü : Py =2.2 kN

Teorik En Büyük Yük : Pu : 3.3 kN

ġekil 3.46: Konsol kiriş boyutlar ve yükleme.

Şekil 3.47 de plastikleşme hesaplarda belirlenen plastikleşme bölgesinin şekli

verilmiştir. Çubuk teorisi gereğince düşünülenin aksine ankastre mesnet noktasının

merkezinde plastikleşme oluşmamaktadır. Şekil 3.47 den anlaşıldığı üzere tüm

kesitin plastikleşmesi durumu ankastre mesnetin biraz ötesinde gerçekleşecektir.

ġekil 3.47: P = 3.3 kN değeri için 10 kat büyütülmüş yer değiştirmeler ve

plastikleşme bölgesi.

Şekil 3.48 de verilen grafikte konsol kirişin bilinen plastikleşme davranışına ait yük –

yer değiştirme grafiği verilmiştir.

60cm

6cm

P

82

ġekil 3.48: Çevrimsel yükleme davranışı (konsol serbest uç yer değiştirmesi esas

alınmıştır).

83

4. BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME YAPAN ÇUBUK SĠSTEMLERĠN DĠNAMĠK

ANALĠZĠ

4.1 Ġntegrasyon Yönteminin Seçimi

Yapı sistemlerini dinamik analizini yapmak üzere doğrudan integrasyon yöntemi

tercih edilmiştir. Bu yöntemde, ele alınan sistemin seçilen küçük zaman aralıklarında

statik yükleme altında olduğu düşünülmekte ve zaman üzerinde denklemler integre

edilerek ilerlenmektedir. Bu noktada denge denklemlerinin zaman aralığının hangi

bölgesinde sağlanması gerektiği sorusu ortaya çıkmaktadır. Sistem denge

denklemleri belirlenen zaman aralığının başında sağlatılıyor ise ilerleme şeması açık

(explicit), diğer herhangi bir noktada sağlatılıyor ise örtülü (implicit) olmaktadır.

Her iki durumda da zamanda ilerlemek söz konusudur ancak açık şema

kullanıldığında hesap zaman adımında iteratif çözüm yapmaya gerek kalmamaktadır.

Ancak açık şemaların en önemli dez avantajı seçilmesi gereken zaman aralığının

örtülü şemalara göre daha küçük olması ve seçilen her zaman aralığı için stabil

çözüm üretememeleridir. Buna karşılık örtülü şemalar hesap zaman aralığında

iterasyon gerektirmelerine karşın daha büyük zaman aralıklarında stabil sonuçlar

vermektedirler. Tez kapsamında her iki durum için de çözümler sunulmuştur.

4.2 Dinamik Denge Denklemi

Büyük yer değiştirme yapan sisteme ait genel yönetici denklem

( ) ( ( )) ( )t t t Mx k x p (4.1)

şeklinde yazılabilir. Burada M kütle matrisidir. ( ( ))tk x ise yaddoğrusal sisteme ait

iç yük vektörüdür. ( )tp zamana bağlı dış yükleri göstermektedir. Zamana göre

türevler nokta ile gösterilmiştir. Analizler yapılırken tez kapsamında geliştirilen

elemanlara ait iç yük vektörleri (denge denklemleri) aynen kullanılacaktır.

Bu noktada kütle matrisinin oluşturulması büyük önem taşır. Kütlelerin sistem

düğüm noktalarında yoğunlaştığı düşünüldüğünde, kütle matrisi diagonal olmaktadır

84

ve analizler oldukça kolaylaşacaktır. Ancak ilgili elemanın gerçek dinamik tepkisini

ortaya koymak için kütlenin yayılı olduğu düşünülmelidir.

4.3 Açık Dinamik Analiz

4.3.1 Doğrusal ivme kabulü

Belirli bir t zaman aralığında sistem ivmesinin doğrusal değiştiği düşünülürse ivme

vektörü

t i i

x x x (4.2)

şeklinde yazılabilir. Burada i indisi ilgili büyüklüğün herhangi bir it zamanındaki

değerini ifade etmektedir. ise zamanı göstermekte olup t zaman aralığında

dolaşabilmek için

0t t t i (4.3)

şeklinde tanımlanmıştır. Dikkat edilirse (4.2) ifadesinde sadece it anındaki

büyüklükler kullanılmıştır. Bu durum ilerleme şemasının açık olmasını sağlayacaktır.

Konum vektörünün zamana göre 3. türevini elde etmek için (4.1) ifadesinin zamana

göre türevi alınarak

( )

-1 ii i i

kx M p x

x (4.4)

elde edilebilir. Bu noktadan itibaren (4.2) ifadesi t aralığında integre edilerek

ilerleme şeması kolaylıkla oluşturulabilir. 1it

anındaki nodal hız vektörü

2

2t

i i ix x x x

(4.5a)

2

2

tt

i+1 i i ix x x x

(4.5b)

şeklinde hesaplanabilir. (4.5a) integre edilerek t yerine yazıldığında

2 3

2 6

t tt

i+1 i i i ix x x x x (4.6)

85

1it zamanına ait tüm bilinmeyenler hesaplanmış olur. (4.5) ve (4.6) ifadelerinde ivme

terimlerini hesaplamak için yine (4.1) denkleminden faydalanılabilir.

-1

i i ix = M (p -k ) (4.7)

Son olarak (4.4) de dış yükün zamana göre türevini merkez farklar kullanılarak

2 t

i+1 i-1i

p pp (4.8)

şeklinde hesaplamak mümkündür. (4.4) ifadesinde iç yük vektörünün konum

vektörlerine göre türevi teğet rijitlik matrisini verecektir.

4.3.2 Sabit ivme kabulü

İvme bileşenlerinin t boyunca sabit olduğu varsayılarak daha hızlı bir ilerleme

şeması oluşturulabilir.

t ix x (4.9)

Nodal hız ve konum bileşenleri

t i+1 i i

x x x (4.10a)

2

2

tt

i+1 i i ix x x x

(4.10b)

şeklinde hesaplanacaktır. Bu şemanın en önemli avantajı ilerleme esnasında teğet

rijitlik matrisi hesabına ihtiyaç duymamasıdır. (4.10) da ivme terimlerini hesaplamak

için (4.7) ifadesi kullanılabilir.

Görüldüğü üzere açık şemalar kullanıldığında ilerleme için denklem takımı çözmeye

gerek kalmamaktadır. Duruma göre sisteme ait iç yük vektörünü ve teğet rijitlik

matrisini her t adım aralığı için güncellemek yeterli olmaktadır. Denklem

takımlarının çözümü hesap zamanının büyük bir kısmını oluşturmaktadır. Açık

şemaların denklem takımı çözümü gerektirmemesi hızlı oldukları anlamına gelmez.

Kapalı şemalara göre oldukça küçük zaman adımlarında stabil ve doğru çözüm

üretebilmektedirler.

86

Açık ilerleme şemalarında çeşitli düzenlemeler yapmak mümkündür. Bu

düzenlemeler ile şema stabilitesi arttırılabilir. Örneğin (4.10b) ifadesinde it anındaki

hız yerine ortalama hız kullanıldığında

21( )

2 2

tt

i+1 i i i+1 ix x x x x

(4.11)

şekline dönüşür ve bu şema ilk haline göre çok daha stabildir. Benzer düzenleme

doğrusal ivme kabulü için de uygulanabilir.

4.4 Kapalı Dinamik Analiz

Açık dinamik analizden farklı olarak ivme vektörü

tt

i+1 ii

x xx x

(4.12)

t t zamanına ait büyüklükler de kullanılarak yazılabilir. (4.12) de doğrusal ivme

kabulü yapılmıştır. Hız vektörü

2

2t

t

i+1 ii i

x xx x x

(4.13)

şeklinde yazılabilir. t t zamanına ait hız vektörü

2t

i i+1

i+1 i

x xx x

(4.14)

şeklinde elde edilir. Daha genel bir yaklaşım olması için (4.12) ivme teriminde

belirlenen ivme eğimi bir katsayı ile çarpılarak değiştirilebilir.

2tt

i+1 ii

x xx x

(4.15)

Bu durumda elde edilen ivme fonksiyonu genelleştirilmiş olur. Bu yöntemi ilk kez

Newmark kullanmıştır. Bu durumda t t zamanına ait hız vektörü

((1 ) ) t i+1 i i i+1

x x x x (4.16)

şekline dönüşür. 0.5 için doğrusal ivme kabulü elde edilmiş olur. (4.13) ifadesi

integre edilerek t t anındaki konum vektörü

87

2 3

2 6t

t

i+1 ii i i

x xx x x x

(4.17a)

21 1 1(( ) )

2 6 6t t i+1 i i i i+1x x x x x

(4.17a)

şeklinde hesaplanabilir. Yine genel bir yaklaşım bulmak üzere ivme vektörü

3tt

i+1 ii

x xx x

(4.18)

şeklinde ikinci bir parametre ile tanımlanıp konum vektörü

2((0.5 ) )t t i+1 i i i i+1x x x x x (4.19)

olarak da elde edilebilir. 1/ 6 için doğrusal ivme yöntemi elde edilecektir. (4.19)

ifadesi yine Newmark ‗ın önerdiği bir ifadedir. Dinamik analiz şemasını

ilerletebilmek için (4.19) ifadesindeki ivme terimi

.( ) -1

i+1 i+1 i+1x M p k (4.20a)

şeklinde yerine yazılarak ilerleme şeması

2((0.5 ) ) .( )t t i+1 i i i i+1 i+1x x x x M p k (4.20b)

elde edilir. Burada

2t -1M M (4.21)

şeklinde tanımlanmıştır. (4.20b) denkleminde bilinmeyen büyüklükler mevcuttur.

Ayrıca denklem doğrusal olmayan türdendir. (4.20b) denkleminde t süresi

boyunca sabit büyüklükler bir tarafa toplanır ve yeniden yazılırsa

2. ((0.5 ) ) .t t i+1 i+1 i i i i+1M k x x x x M p (4.22)

elde edilir. (4.22) yaddoğrusal denklem takımı Newton-Raphson yöntemi ile

çözülerek şemada ilerlemek mümkündür. Bu durumda

( . ). ( . ) MK I Δx q x Mk (4.23a)

2((0.5 ) ) .t t i i i i+1q x x x M p (4.23b)

88

doğrusal denklem takımı oluşmaktadır. Hız vektörünü güncellemek için (4.16)

ifadesi kullanılmalıdır.

4.5 Kütle Matrisinin Elde Edilmesi

Sistem kütle matrisini elde etmek üzere elastik eğriye ait şekil değiştirmiş konum

koordinatlarında yönetici diferansiyel denklem yazılacaktır. Hesapları basitleştirmek

için elemana ait elastik eğrinin şekil değiştirmiş eksen takımına bağıl olarak küçük

yer değiştirme yaptığı düşünülecektir. Bu durumda şekil değiştirmiş eksen takımı

parametreleri kullanılarak doğrusal bir yönetici denklem yazılabilir. Kesit rijitliği

sabit olduğu durum için yönetici denklem

4 2

4 2

m mv vEI q

x t

(4.24)

olacaktır. Burada birim boyun kütlesini ifade etmektedir. 4.24 denkleminde

klasik sonlu elemanlar işlemleri uygulandığıda dördüncü türevli terim iç yük

vektörünü, zamana göre ikinci türevli terim ise atalet terimlerini içeren vektörü

verecektir. Daha önceki bölümlerde iç yük vektörü daha genel bir biçimde

hesaplandığı üzere burada sadece atalet terimlerini içeren ifadeler elde edilmeye

çalışılacaktır. Bunun için elastik eğriye ait ivme fonksiyonu ve elastik eğri yaklaşım

fonksiyonları ile ifade edilmelidir.

2

2

mi i

vu

t

(4.25a)

m i iv u (4.25b)

Burada iu ler elemana ait uç deplasmanları göstermektedir. Virtüel İş Teoremi

uyarınca kütle matrisi terimleri

0

L

mi m

i

vW v dx

u

(4.26a)

iij

j

WM

u

(4.26b)

89

şeklinde elde edilebilir. Yaklaşım fonksiyonları kübik Hermit fonksiyonları olarak

seçildiğinde yerel eksen takımındaki kütle matrisi

2 2

2 2

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22420

13 3 22 4

L L

L L L LL

L L

L L L L

LM

(4.27)

şeklinde hesaplanabilir. Normal doğrultudaki atalet terimleri hesap yapmaya gerek

olmadan 0.5 L olarak eklenebilir. Son adımda yerel eksen takımındaki büyüklükler

global eksen takımına

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

Cos Sin

Sin Cos

Cos Sin

Sin Cos

T

(4.28)

dönüşüm matrisi kullanılarak

T

LM T .M .T (4.29)

ile dönüştürülerek kullanılmıştır.

4.6 Örnek Problemler

4.6.1 Örnek 1

Şekil 4.1 deki konsol kirişin Şekil 4.2 de verilen ani yüklemenin etkisi altında zaman

tanım alanında uç noktasının düşey yer değiştirme ve hız grafikleri verilmiştir.

ġekil 4.1 : Konsol kiriş örneği.

1000L

P

34560000

Kiriş Kesiti

5

5

0.01L

90

L konsol kirişin birim boyunun kütlesini göstermektedir. Çözümler yayılı kütle

hesabına göre yapılmıştır.

ġekil 4.2 : Konsol kiriş ani yükleme.

Şekil 4.3 de konsol kirişin uç noktasının zamana göre düşey deplasman grafiği

değişik zaman aralıkları için verilmiştir. Zaman aralığın

ġekil 4.3 : Düşey yer değiştirme –zaman grafiği (açık şema / 1 eleman / yayılı kütle).

Şekil 4.3 de verilen sonuçlara ait yapılan hesaplarda stabil en büyük zaman aralığının

0.002crh

olduğu belirlenmiştir. Bu zaman aralığından daha büyük aralıklar için çözüm elde

edilememiştir. Yine grafikler incelendiğinde zaman aralığının küçültülmesi ile

sonuçların belirgin ölçüde değişmediği gözlenmektedir. Bu da stabil çözüm veren

zaman aralıkları için hesap doğruluğunun iyi olduğunu göstermektedir.

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 1 2 3 4 5 6

dt=0.002

dt=0.001

dt=0.0005

dt=0.00025

t

w

P

t

4000

0.2 5.0

91

Eleman sayılarına göre değişen dinamik davranış grafikleri Şekil 4.4 de verilmiştir.

ġekil 4.4 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (MyBeam).

Şekil 4.4 için yapılan hesaplamalarda 0.00025dt olarak seçilmiştir. Görüldüğü

üzere 2 ve 4 eleman için 8 elemanda elde edilen çözümlere oldukça iyi

yaklaşılmıştır.

Şekil 4.5 de Sap2000 ile yapılan karşılaştırmalar sunulmuştur.

ġekil 4.5 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (Sap2000).

Şekil 4.5 deki grafikler Şekil 4.4 ile karşılaştırıldığında tez kapsamında geliştirilen

MyBeam elemanının Sap2000 e göre oldukça iyi performans sergilediği

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 1 2 3 4 5 6

1 Eleman

2 Eleman

4 Eleman

8 Eleman

t

w

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 1 2 3 4 5 6

1 Eleman

2 Eleman

4 Eleman

8 Eleman

w

t

92

görülmektedir. Özellikle 1 ve 2 eleman ile yapılan çözümlerde dinamik davranış

karakteri Sap2000 in elemanına göre oldukça başarılı olduğu görülmektedir.

4.6.2 Örnek 2

ġekil 4.6 : Serbest çerçeve dinamik analizi.

Bu örnekte Şekil 4.6 da verilen sistemin Şekil 4.2 deki anlık yükleme altındaki

dinamik tepkisi çizimlerle gösterililecektir. Çerçeve herhangi bir noktasından

mesnetlenmemiştir. ―C‖ noktasından yapılan anlık yükleme sonucu oluşan yer

değiştime çizimleri Şekil 4.7 de verilmiştir. Çözümler 1x1 eleman için yapılmıştır.

ġekil 4.7 : Serbest çerçeve anlık yükleme.

Şekil 4.7 de elestik çerçevenin beklendiği üzere aşağıya doğru ötelenirken aynı

zamanda saat yönünde dönme hareketi yapmaktadır. Bu hareket esnasında çerçevede

oluşan elastik şekil değiştirmeler çizimlerden takip edilebilmektedir.

( )P t

,EI EA

,EI EA

L

L

A

B C

1000L

Kiriş Kesiti

5

5

43456 10E

0.01L

93

5. SONLU ELEMAN GELĠġTĠRME VE ANALĠZ ÇATISI (SEGAÇ)

Yapı sistemlerinin analizinde Sonlu Elemanlar Yönteminin (SEY) kullanımı

bilgisayar teknolojilerinin yükselmesi ile hızla yaygınlaşmıştır. Günümüzde SEY

çözümleri ile hesap yapan birçok paket program ve açık kaynak kodu geliştirilmiştir.

Paket programlar kullanıcıya, uzman teorisyenler tarafından oluşturulmuş birçok

sonlu eleman modeli ve bu elemanlardan oluşan sistemleri oluşturmak, çözmek ve

çözümleri değerlendirmek için güçlü araçlar sunmaktadır.

Bununla birlikte kendi sonlu elemanını geliştirmek ve paket programa dahil etmek

isteyen kullanıcılara (teorisyen kullanıcı) yönelik yapıları sunmakta yetersiz

kalmaktadırlar. Sonlu Eleman geliştiricileri teorilerini test etmek üzere bir

programlama dili öğrenerek, kendi programlarını yazmak veya mevcut açık kaynak

kodlarını çözümleyip değiştirmek zorunda kalmaktadırlar. Her iki durumda da

harcanacak emek ve zaman oldukça dikkate değerdir.

Bu çalışma kapsamında Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı (SEGAÇ) adı

altında bahsedilen yöntemler, işaret edilen bu probleme çözüm üretmek amacıyla

geliştirilmiştir. SEGAÇ genel anlamda, Sonlu Eleman geliştiricilerine yardımcı

olmak üzere Nesne Yönelimli Programlama (NYP) teknikleri kullanılarak yazılmış

gelişkin araçlardan oluşan bir paket olarak algılanabilir. Bu paket

Rutin matematik ve SEY işlemlerini yürüten temel programlar

(FEMWORKS)

Kullanıcı özel sonlu eleman yaratmak üzere geliştirilmiş yeni bir

programlama dili (FEMLANG)

Kullanıcı elemanları ve SEGAÇ yapısını birleştiren bir geliştirme ortamı

(FEMBIND)

şeklinde üç ana bileşen içermektedir (Şekil 5.1).

94

ġekil 5.1 : SEGAÇ temel bileşenleri.

NYP teknikleri esas olarak nesne yapılarının tasarlanması ve oluşturulan nesne

yapıları arasındaki iletişimin kurulmasına dayanır. SEY kavramları olarak bilinen

―Düğüm Noktası‖, ―Eleman‖ ve ―Eleman Ağı‖ gibi yapıların her biri NYP de birer

nesne olarak tasarlanabilirler (Şekil 5.2).

ġekil 5.2 : Düğüm noktası nesnesi ve örnek kod yapısı

Nesneler çeşitli özellik ve yetenekleri olan canlı yapılar gibidir (Şekil 5.3). Nesne

içerisine tanımlanan özellikler çeşitli değerler alarak nesnenin anlık durumunu

belirler. Nesneler ayrıca işlem yapabilme yeteneğine de sahiptirler. Bu yeteneği

tanımlanan metotlar (komutlar) sayesinde kazanırlar. Nesne metotları nesne

özelliklerini kullanarak işlem yapar. Örneğin Şekil 5.2 deki ―Bağla‖ metodu, Düğüm

Noktası nesnenin sınır koşullarını değiştirme yeteneğine sahiptir.

Nesne : DüğümNoktası

Liste<Kartezyen> koord;

Liste<Değişken> değişliste;

Liste<Yük> yükliste;

Liste<SınırKoşulu> skliste;

Metot Güncelle

Metot Bağla

Düğüm Noktası Nesnesi

Koordinatlar

Değişkenler

Yükler

Sınır Koşulları

Güncelle

Bağla

FEMWORKS

Sonlu Eleman GeliĢtirme

ve

Analiz Çatısı

FEMLANG

FEMBIND

95

ġekil 5.3 : Nesne yapısı.

Nesne yetenekleri bunlarla sınırlı değildir. Aşağıda nesnelerin yapabildiği önemli

işlevler sıralanmıştır.

Farklı alt nesneleri barındırabilirler

Diğer nesnelerle durumları hakkında haberleşebilirler

Durum değişikliklerini sisteme anons edebilirler

Bir başka nesneye tüm özellik ve metotlarını aktarabilirler

Başka nesnelerden kazandıkları özellik ve metotları kendilerine göre

geliştirebilirler

NYP tekniklerini destekleyen herhangi bir programlama dilinde yaratılan nesneler

tüm bu işlevlere sahiptir. Bu işlevlerden son ikisi SEGAÇ‘ ın yaratılmasında kilit rol

oynamaktadır. Nesneler arasındaki bu ilişkiler sayesinde temel işlevleri

gerçekleştiren nesneler yazmak ve daha sonra bu işlevleri özelleştirecek yeni

nesneler tasarlamak mümkün olmaktadır. Şekil 5.4 de bir kafes sistem çubuğu ve bu

çubuklardan oluşan kafes sistemin oluşturulma adımları gösterilmiştir. Kullanıcı bu

adımlardan sadece FEMLANG bölümünde belirtilen yapıları bu dilin kurallarına

göre yazmak durumundadır. Bu bölümde yazılan tüm nesneler FEMWORKS

bölümünde daha önceden yazılmış olan temel nesnelerden tüm özellikleri miras

almaktadır. Miras alınan ve sonradan tanımlanan ek özelliklerle yeni nesneler

yaratılmış olur. Örnekte belirtilen kafes eleman ve kafes sistem tanımları bu şekilde

oluşturulmuştur. ―Kafes eleman‖, daha önceden yazılmış bir ―Eleman‖ nesnesinden

tüm özelliklerini miras almaktadır. Burada Eleman nesnesi standart sonlu eleman

işlemlerini yapmak üzere programlanmıştır. Kafes Eleman ise bir anlamda bu

işlemlerde kullanılacak verileri belirlemektedir. Böylece kullanıcı, standart sonlu

eleman işlemleri ile uğraşmak zorunda kalmayıp, sadece kendi yaratmak istediği

elemana özel verileri tasarlamakla yükümlü olacaktır.

Özellikler

NESNE

Metotlar

96

ġekil 5.4 : SEGAÇ‘ ın çalışma şekli.

5.1 Genel Sonlu Eleman Altyapısı (FEMWORKS)

Doğada bir çok nesne görüntü olarak farklı olsalar bile ortak birtakım özellik ve

davranışlar göstermektedirler. Programlama ortamında modellenmeye çalışılan

nesnelerin de ortak yönlerinin belirlenmesi oldukça önemlidir. Örneğin sonlu

elemanlar yönteminde elemanların

Serbestlik dereceleri

Denge denklemleri

Sistem global denklemine katkı yapmaları

Çeşitli matematik işlemleri yapabilme kapasiteleri

gibi bir çok ortak özellikleri vardır. Nesnelerin ortak özelliklerinin bire bir aynı

yapıda olmaları gerekmez. Örneğin her sonlu elemanın denge denklemleri farklıdır

fakat her sonlu elemanda denge denklemleri olmak zorundadır ve bu denklemler

belirli matematik işlemler sonucu oluşturularak bir vektör ile ifade edilebilirler. Yine

her sonlu eleman global bir denklem takımına kendi denklemleri ile katkı yapmak

durumundadır.

Çözücü

FEMLANG

Kafes

Eleman

Tüm Özelliklerini

Aktar

Kafes eleman oluştur

FEMBIND

Kafes sistem

oluştur

Eleman

FEMWORKS

Sistem

Tüm Özelliklerini

Aktar

Sistem

Bilgisi

Kafes

Eleman

Kafes

Sistem

97

FEMWORKS adı altında sunulan yapıda

Geliştirilecek sonlu elemanlar için ortak yapılar barındıran nesneler

Sistem denklem takımı oluşturmak için gerekli yapılar

İntegral ve türev gibi temel matematik işlemler için çeşitli araçlar

Yaddoğrusal denklem takımı çözmek için gerekli yapılar

bulunmaktadır. Bu bölümde bu yapıların işlevleri özet şekilde açıklanacaktır.

5.1.1 Düğüm noktası nesnesi (Node)

Düğüm noktaları ve serbestlik dereceleri sonlu eleman teorisinde önemli

kavramlardır. Düğüm noktaları uzayda belirli koordinatlarda tanımlanır. Sisteme ait

bilinmeyenler ve sınır koşulları düğüm noktalarında tanımlanır. Elemanlar, düğüm

noktaları arasındaki rijitlikler olarak düşünülebilir. Düğüm noktaları bir veya birden

fazla elemana ait olabilirler. Düğüm noktalarının ortak özellikleri aşağıdaki şekilde

belirlenmiştir.

Koordinatlar : , ,x y z

Serbestlik derecesi (Bilinmeyenlerin sayısı) : NDOF

Bilinmeyenler vektörü : [ ]v

Sınır koşulları vektörü (Tutulu olan serbestlikleri belirlemek için) : [ ]r

Nodal kuvvetler vektörü : [ ]f

Serbestlik numaraları vektörü : [ ]q

Kütle vektörü : [ ]m

Vektör büyüklükler [ ] şeklinde gösterilmiştir. Vektör boyutları düğüm noktasının

tipine göre değişebilir. Örneğin iki boyutlu bir kafes sistem düğüm noktasının iki

serbestliği (yatay ve düşey öteleme serbestlikleri) varken, iki boyutlu bir çerçeve

elemana ait düğüm noktasının üç adet serbestliği bulunmaktadır (Yatay-düşey

ötelemeler + dönme serbestliği). Tasarımlar bu şekilde soyut olmalıdır. Bir düğüm

noktasında olması gereken yapıların tipleri belirlidir fakat bu yapıların boyutları

belirli değildir. Burada tüm boyutlar NDOF ile verilen bilinmeyenlerin sayısına

bağlıdır. Şekil 5.5 de örnek bir kafes sisteme ait düğüm noktalarında tanımlanan

yapılar gösterilmektedir.

98

ġekil 5.5 : Düğüm noktalarında tanımlanan yapılar.

Bir düğüm noktasındaki bilinmeyenlerin başlangıç değerlerinin belirlenmesi

önemlidir. Bu yüzden her düğüm noktası için ―SetInitialParameters‖ (Başlangıç

parametrelerini ver) adlı bir metot tanımlanmıştır. Bu metot [ ]v vektörünün ilk

değerini belirlemek üzere kullanılmalıdır. Seçilen düğüm noktası bilinmeyenleri sıfır

ile başlıyor ise metodu kullanmaya gerek yoktur.

Yaddoğrusal hesaplamalarda iterasyon esnasında düğüm noktalarındaki

bilinmeyenlerin değerleri yeniden hesaplanıp güncellenmek durumundadır. Bunun

için düğüm noktalarında ―Update‖ (güncelle) adlı bir metot tanımlanmıştır. Yine

güncellenen degişkenler düğüm noktasının belirli özelliklerini yeniden

belirleyebilmektedir. Örneğin yer değiştirme tipinden bir değişkenin değeri

değiştiğinde düğüm noktasının koordinatlarının da değiştirilmesi gerekir. Bu tip

işlemlerin tanımlanabilmeleri için ―SetUpdatedParameters‖ isimli metot

tanımlanmıştır.

[0] 1

[1] 1

r

r

[1] 1r

15 20

[0] 15f [1] 20f

0q

1q

2q

3q

4q

7q

8q

5q

6q

9q

10q

99

Bu metotlar FEMWORKS deki diğer nesneler tarafından kullanılmaktadırlar.

Sistemin doğru işlemesi gerekli metotlardır. Bunların yanında ikinci derece öneme

sahip metotlar da mevcuttur. Örneğin bazı hızlı sınır koşulu metotları son kullanıcıya

kolaylık sağlayacaktır. Bir düğüm noktasındaki tüm serbestliklerin tutulu olmasını

sağlamak üzere ―RestraintAllDOF‖ (Tüm serbestlikleri kısıtla) isimli bir metot bu

işlevi yerine getirmektedir. Bu tip metotlar FEMWORKS ün genel yapısında

değişikliğe sebep olmadan yeni versiyonlarda sistemden kaldırılabilir veya yenileri

eklenebilir.

Bir düğüm noktası nesnesinin görüntüsü Şekil 5.6 daki gibidir.

ġekil 5.6 : Düğüm noktası nesnesi yapısı.

5.1.2 Eleman nesnesi (Element)

FEMWORKS içerisindeki en kapsamlı nesne eleman nesnesidir. Eleman türünden

nesnelerin ortak yapıları aşağıda özetlenmiştir.

Düğüm noktası listesi : Collection Node

Elemana ait bilinmeyenlerin isimleri : VarNames

100

Kesit ve malzeme özellikleri : Secpro

Elemana ait bilinmeyenlerin sistemdeki numaraları : CodeVector

Sistem matris ve vektörlerine katkı : AddToSystemMatrix

Denge denklemleri vektörü : [ ]q

Teğet rijitlik matrisi : [ , ]KT

Sistem içinde elemanı tanımlayan en önemli şey elemana ait düğüm noktalarıdır. Bu

yüzden her eleman bir düğüm noktası listesine sahiptir (Collection<Node>). Yine her

eleman için kesit ve malzeme özelliklerini belirlemek üzere tanımlanmış ―SecProp‖

(kesit özellikleri) nesnesi tanımlanmalıdır. Düğüm noktaları ve kesit özellikleri

eleman içerisinde nesne adresleri olarak tutulurlar. Böylece daha önceden

tanımlanmış düğüm noktaları ve kesit nesneleri bir çok eleman tarafından

paylaşılabilir.

Elemana atanan düğüm noktaları elemandaki bilinmeyen sayılarını otomatik olarak

belirler. Böylece hesap esnasında eleman matrislerinin boyutları ortaya çıkmış olur.

Eleman nesnesinin en temel özelliği birleştirme sürecince sistem denklemlerine

kendi denklemlerinden katkıda bulunmasıdır. Bu işlemleri ―AddToSystemMatrix‖ ve

―AddToSystemVector‖ adlı metotlar yerine getirmektedirler. Tabi birleştirme işlemi

yapabilmeleri için elemana ait düğüm noktalarının serbestlik numaralarından oluşan

bir ―kod vectörü‖ ne (CodeVector) ihtiyaç vardır. Kod vektörü eleman

denklemlerinin sistem denklemleri içersindeki yerlerini belirler.

FEMWORKS içerisinde tanımlı elemanlar yaddoğrusal hesap yapmak üzere özel

olarak tasarlanmıştır. Sistem çözümü için Newton-Raphson metodu kullanıldığı

üzere yaddoğrusal denklemlerin doğrusallaştırılması gerekmektedir. Her eleman

denge denklemleri sağlamalıdır. Denklemler eleman tipine göre değişse de bu

denklemler üzerinde yapılacak doğrusallaştırma işlemleri ortaktır. Bunun için de

elemana ait bilinmeyenlerin bulunduğu denklemleri bu bilinmeyenlere göre kısmi

türevleri alınmalıdır. Eleman nesnesi bu işlemleri otomatik olarak

gerçekleştirmektedir. Yani her eleman kendi yaddoğrusal denklem takımını

doğrusallaştırmaktadır. Bunun için her eleman ―DifferantiableVector‖

(Türevlenebilir vectör) nesnesinden türetilmiştir. Eleman denklemleri bir vektör

formunda olduğu üzere bu vektörün bilinmeyenlere göre kısmi türevlerinden oluşan

matrise ―teğet rijitlik matrisi‖ denir.

101

Şekil 5.7 de görüldüğü üzere temel eleman nesnesi üç aşamada tanımlıdır. İlk önce

―Differantiable‖ adlı nesne ―SetVar‖ ve ―GetVar‖ adlı metotları sayesinde elemana

ait bilinmeyenleri okuyabilecek ve değiştirebilecek şekilde tasarlanmıştır.

Bilinmeyenlerin isimleri ―VarNames‖ değişkenin de tutulur. VarNames değişkeni bir

kelime listesidir. Örneğin iki boyutlu bir kafes elemanın bilinmeyenleri

[―u1‖,‖w1‖,‖u2‖,‖w2‖] şeklinde isimlendirilebilir. Bu isimler elemana ait düğüm

noktalarındaki bilinmeyenleri tutan [ ]v vektörünün bileşenlerine karşı

gelmektedirler. Bu bağlantı her eleman için otomatik olarak kurulmaktadır. Verilen

isimler tanımlanan düğüm noktalarında tanımlanma sırasına göre eşleştirilmektedir.

Örneğin iki düğüm noktalı kafes eleman için

1. Düğüm noktası [0]v ‖u1‖

1. Düğüm noktası [1]v ‖w1‖

2. Düğüm noktası [0]v ‖u2‖

2. Düğüm noktası [1]v ‖w2‖

şeklinde eşleme olacaktır. İsimlendirmede sıralama düğüm noktası serbestlik sayısı

ve elemana atanan düğüm noktalarının sırası ile belirlenmektedir. Elemanın ilk

düğüm noktasının ilk serbestliği VarNames listesinden ilk isimle eşlenmektedir. Yine

ilgili düğüm noktasının diğer serbestlikleri sırayla listedeki diğer isimlerle

eşleşmektedir. İlk düğüm noktasının tüm serbestlikleri eşlendikten sonra diğer

düğüm noktalarına ait serbestlikler de benzer şekilde listedeki diğer isimlerle

eşleştirilmektedirler. Düğüm noktası bilinmeyenlerine isim vermek, hesaplamalar

esnasında yapılan işlemleri ve analiz sonuçlarını değerlendirmeyi oldukça

kolaylaştırmaktadır.

Eleman nesnesi, içerisinde tanımlanan herhangi bir fonksiyonun, düğüm noktası

bilinmeyenlerine göre kısmi türevlerini hesaplayabilmektedirt. Bunun için

―DifferantiableVector‖ adında bir nesneden türetilerek oluşturulmuştur. Bu nesne

eleman içerisinde tanımlı herhangi bir fonksiyonlar vektörünün, yine tanımlanan

değişkenlere göre kısmi türevlerini alarak gradyan matrisini oluşturmaktadır.

Fonksiyonlar vektörü denge denklemlerine karşı gelen iç yük vektörü olduğu zaman

oluşturulan bu matris sonlu elemanlar için teğet rijitlik matrisi adını almaktadır.

Türetme işlemleri ―D‖ metodu tarafından merkez farklar kullanılarak sayısal olarak

102

gerçekleştirilmektedir. Bu nesnedeki ―FunctionDefinition‖ özelliği türevi alınacak

olan fonksiyonlar vektörünü belirlemektedir.

ġekil 5.7 : Eleman nesnesi.

103

Son olarak ―Element‖ nesnesi ―q[]‖ vektörü ile sağlanan denge denklemlerinden ―kt‖

metodu ile teğet rijitlik matrisi oluşturma yeteneği kazanmış olur. Bunun için ―q[]‖

vektörünü türevi alınacak vektör olarak tanımlamak yeterlidir. Bu işem otomatik

olarak gerçekleşmektedir.

Görüldüğü üzere herhangi bir sonlu elemanın yaddoğrusal hesaplamalar için

barındırması gereken yapıları eleman nesnesi otomatik olarak oluşturabilmektedir.

Bu da yaratılacak yeni elemanlar için son kullanıcının sadece denge denklemleri ile

uğraşması kolaylığını getirmektedir.

5.1.3 Sonlu eleman yapı sisteminin oluĢturulması (Structure)

Tanımlanan düğüm noktaları, elemanlar ve sınır koşulları bir sistem olarak

düşünülebilir. Sisteme ait tüm nesnelerin adreslerini tutan ve bunlarla ilgili çeşitli

bilgilere erişim sağlayan nesne ―Structure‖ nesnesidir. Bu nesnenin temel yapıları

aşağıdaki gibidir.

Düğüm noktası listesi : nodes

Eleman listesi : elements

Düğüm noktası ekleme metodu : AddNode

Eleman ekleme metodu : AddElement

Sistem serbestliklerini belirleyen ve çözüme hazırlayan metot : Getready

―AddNode‖ ve ―AddElement‖ metotları sisteme eklenen düğüm noktaları ve

elemanların kontrollü bir şekilde eklenmeleri sağlamaktadır. Ayrıca ekleme

esnasında sistemin geometrik sınırları da otomatik olarak güncellenmektedir.

―GetReady‖ metodu sistemin çözüm aşamasına geçilmeden önce muhakkak

çalıştırılması gereken bir metotdur. Bu metot sınır koşullarına göre sistem

serbestliklerini numaralamakta ve sistemdeki bilinmeyenlerin sayısını

belirlemektedir.

Özetle structure nesnesi, hesaplanacak olan yapıya ait tüm bilgileri tutmakla ve

analiz aşamasına geçmeden önce yapılması gereken tüm işlemleri yerine getirmekle

yükümlüdür. Nesnenin genel görüntüsü Şekil 5.8 de verilmiştir.

104

ġekil 5.8 : Structure nesnesi.

5.1.4 Sistem denklem takımının oluĢturulması (FEMAssembler)

Her sistem (structure) çözüm aşamasında doğrusal veya yaddoğrusal bir denklem

takımına dönüşmektedir. Bu dönüşüm sistemde tanımlanmış tüm elemanların

denklemleri ile global sistem denklem takımına katkı yapması şeklinde olur.

―FEMAssembler‖ nesnesi bu görevi yerine getirmektedir. Nesnenin temel yapıları

aşağıdaki gibidir.

Birleştirilecek sistem nesnesi : structure

Global denge denklemleri : [ ]K

Global teğet rijitlik matrisi : [ , ]KT

Global dış yük vektörü : [ ]Q

Global sistem bilinmeyenleri vektörü : [ ]U

Global sistem kütle matrisi : [ , ]MassMatrix

Global denklem sayısı : N

Global değişkenleri güncelleme metodu : update

Düğüm noktaları, elemanları ve sınır koşulları belli olan bir sistemi global denklem

takımına dönüştürmek için, iterasyonun her adımında yeniden oluşturulan eleman

105

denklemleri, elemanların kod vektörlerinden yararlanılarak global sistem vektöründe

ilgili yerlerine eklenirler. Bu süreç sonucunda oluşturulan vektör ve matrisler sonraki

bölümde detayları verilen ―Solver‖ nesnesine verilerek çözüm gerçekleşecektir.

―FEMAssembler‖ ın genel görüntüsü Şekil 5.9 da verilmiştir.

ġekil 5.9 : FEMAssembler nesnesi.

5.1.5 Yaddoğrusal çözücü (Solver)

Yaddoğrusal çözüm için gerekli tüm denklemler FEMAssembler nesnesi tarafından

sağlanmaktadır. ―Solver‖ nesnesi bu denklemleri Newton-Raphson yöntemi ile

çözmek için gerekli metotları içermektedir. Nesnenin yapıları aşağıdaki gibidir.

Global denklem sağlayıcı : supplier

Doğrusal denklem takımı çözücü : SolL

Yaddoğrusal denklem çözücü : SolNL

―supplier‖ özelliği ―FEMAssembler‖ türündendir ve sistem denklem takımını içerir.

Diğer metotlar ise doğrusal veya yaddoğrusal çözümleri yapmaktadırlar. Nesnenin

genel görüntüsü Şekil 5.10 da verilmiştir.

106

ġekil 5.10 : Solver nesnesi.

5.2 Yeni Bir Sonlu Eleman Yaratma ve Çözümleme Dili (FEMLANG)

FEMWORKS sayesinde son kullanıcının

Yeni bir sonlu eleman türetmek

Bir yapı sistemi oluşturmak

Analiz yapmak

için harcayacağı emek büyük ölçüde azalmaktadır. Yeni bir eleman yaratmak için ilk

adım elemanın serbestlik tipini belirleyen yeni bir düğüm noktası nesnesi

yaratmaktır. Bu nesne de ―Node‖ nesnesinden miras alınarak oluşturulur. İlgili nodun

bilinmeyenlerinin sayısını ve başlangıç değerlerinin vermek yeterli olacaktır.

Sonraki adımda ―Element‖ nesnesinden miras almak suretiyle yeni bir eleman

oluşturmak gerekir. Yeni oluşturulan bu elemanda bilinmeyenlerin isimleri ve bu

bilinmeyenlere bağlı olarak eleman denge denklemlerini tanımlamak yeterli olacatır.

Denge denklemlerini tanımlamak için gerekli olan türev ve integral gibi matematik

işlemler FEMWORKS içerisindeki çeşitli yardımcı nesneler sayesinde kolaylıkla

yapılabilmektedir.

Örnek olarak iki boyutlu bir kafes sistem elemanı türetmek için gerekli nesne yapıları

Şekil 5.11 de verilmiştir.

107

ġekil 5.11 : İki boyutlu kafes nesnesi.

Şekil 5.11 incelendiğinde Düğüm noktası yaratmak için hemen hemen hiç kod

yazmaya gerek olmadığı anlaşılabilir. Yine kafes elemanı yaratmak için

hesaplamalarda kullanılacak olan büyüklükleri tanımlamak yeterlidir. ―q‖ metodu ile

de tanımlanan bu büyüklükler cinsinden denge denklemleri vektör formda ifade

edilerek eleman yaratılmış olur.

108

5.2.1 Programlama dilinin yapısı

Mevcut programlama dillerinin birçoğu genel amaçlı kulanım için tasarlanmıştır. Bu

durum sonlu eleman geliştiricilerine zorluk yaratmaktadır. Bu çalışma kapsamında

geliştirilen FEMLANG dili, Sonlu Elemanlar Yöntemi için özel olarak tasarlanmış

olup öğrenmesi ve kullanımı oldukça kolay bir dildir.

FEMLANG yarı nesnesel bir programlama dilidir. Nesnesel programlama

kavramlarının birçoğunu içermez. Ancak FEMWORKS ün belirlediği temel

nesneleri geliştirmek üzere yeni nesneler yaratmak üzere tasarlanmıştır. Bir sonlu

elemanlar problemini çözmek için programda üç adım gereklidir.

Düğüm noktalarını ve elemanları tanımlama (DEFINE)

Sistemi yaratma (CREATE)

Analiz ve grafik çıktı komutları (RUN)

Dilin özellikleri bir kafes sistem örneği ile açıklanmaya çalışılacaktır.

5.2.2 Örnek kafes sistem düğüm noktasının tanımlanması

FEMLANG dili ile yaratılmış örnek bir kafes iki boyutlu kafes sistem düğüm noktası

Şekil 5.12 de verilmiştir.

ġekil 5.12 : İki boyutlu kafes düğüm noktası nesnesi.

1: Define TrussNode : Node

2: get xc

3: get yc

4: set $VARNAMES : u v

5: set $COORDS : u+xc v+yc 0

6: let x = u + xc

7: let y = v + yc

8: ini x = xc

9: ini y = yc

10: out "u="+ u + "w=" + w + "t=" + t

11: End

109

Nesne tanımları ―Define‖ anahtar kelimesi ile başlar. Kelimenin kullanım formatı

aşağıdaki gibidir.

Define NesneAdı [ : FEMWORKS Temel Nesnesi ]

Burada [ ] köşeli parantez içerisine yazılan ifadeler opsiyonel (Kullanılması zorunlu

olmayan) ifade anlamındadır. Şekil 5.12 de ―TrussNode‖ adlı nesne FEMWORKS

deki ―Node‖ temel nesnesinden miras alınarak geliştirilecektir. Bu durumda

―TrussNode‖ nesnesi ―Node‖ un tüm özelliklerine zaten sahiptir demektir.

Define blokları nesnelerin neye benzediklerini, hangi özelliklere ve metotlara sahip

olduklarını tanımlarlar. Gerçek nesneler ise bu özelliklere değer verilerek yaratılırlar.

Nesneleri yaratmak için ileride açıklanacak olan ―CREATE‖ blokları kullanılacaktır.

Nesnelerin yaratılma aşamasında belirli özelliklerine değer atamak gerekmektedir.

―get‖ ile başlayan kod satırları nesne yaratılırken ne tür data bilgisinin gerektiğini

belirlemektedir. Örnekte ikinci ve üçüncü satırlarda ―xc‖ ve ―yc‖ olmak üzere düğüm

noktasının x ve y koordinatlarının belirlenmesi gerektiği bildirilmektedir. Daha açık

bir ifade ile bir düğüm noktası nesnesi x ve y koordinatları verilmeden yaratılamaz.

4. ve 5. satırlardaki ―$‖ işareti ile belirlenen anahtar kelimeler ilgili nesne için özel

işlem anahtar kelimeleridir. ―$VARNAMES‖ ifadesi ile düğüm noktasındaki

değişkenlerin adları belirlenmektedir. Kullanım formatı

set $ÖZEL_KOMUT : ifadeler

şeklindedir. Burada ―:‖ dan sonra aralarında boşluk bırakılarak yazılan tüm kelimeler

birer düğüm noktası değişkeni olarak tanımlanır ve bu değişkenleri ilerleyen

adımlarda isimleri ile kullanmak mümkündür. ―$COORDS‖ ile ilgili değişkenlerden

x,y koordinatlarına geçişin nasıl yapılacağı belirlenmektedir. Genelde düğüm noktası

koordinatları tanımlanan bilinmeyenlerin değerine göre değişmektedirler. Bu yüzden

kullanıcının seçdiği değişkenlerin hangilerinin koordinatları nasıl etkilediğini

tanımlaması zorunlu olmaktadır.

Nesnelere dinamik özellikler tanımlamak için ―let‖ satırları kullanılır. Burada 6. ve 7.

satırlarda x ve y adlı iki özellik tanımlanmıştır. Düğüm noktasının başlangıç

koordinatlarına yer değiştirmeler eklenerek son koordinatlarına erişilebilir. Daha

sonraki hesaplamalarda bu koordinatlar gerekecektir. ―let‖ ile yapılan tanımlamalar

tamamen son kullanıcıya aittir. Kullanım formatı

110

let özellik = değer

şeklindedir. Tanımlanan özelliklerin ilk değerlerini belirlemek için ―ini‖ ifadesi

kullanılabilir. Son olarak ―out‖ ile düğüm noktası nesnesinin çıktı bilgisi olarak

göstermesi istenilen ifadeler tanımlanır.

5.2.3 Örnek kafes elemanın tanımlanması

İki boyutlu bir kafes eleman tanımı Şekil 5.13 de verilmiştir

ġekil 5.13 : İki boyutlu kafes eleman nesnesi.

―Truss2D‖ elemanı FEMWORKS de tanımlı olan ―Element‖ nesnesinden miras

alınarak oluşturulmaktadır. Böylece bir sonlu elemanın sahip olması gereken ortak

tüm özelliklere sahip olacaktır. 2, 3 ve 4. Satırlarda nesne yaratılırken son kullanıcı

tarafından verilmesi gerekli olan datalar tanımlanmıştır. Kullanım formatı

get data [ as data_tipi ]

1: Define Truss2D : Element

2: get n1 as TrussNode

3: get n2 as TrussNode

4: get EA

5: set $NODES : n1 n2

6: let Lx = n2.x - n1.x

7: let Ly = n2.y - n1.y

8: let L2 = Lx*Lx+Ly*Ly

9: let #L = Math.Sqrt(L2)

10: let EPS = (L-#L)/#L

11: let NK = EA * EPS

12: set $ELEMENT_VECTOR : k

13 vec k[1] = -NK * Lx / L

14: vec k[2] = -NK * Ly / L

15: vec k[3] = NK * Lx / L

16: vec k[4] = NK * Ly / L

17: End

111

şeklindedir.Burada data tipi verilmediği zaman gelen datanın bir reel sayı olduğu

kabul edilmektedir. get satırlarında kafes elemanının ―n1‖ ve ―n2‖ adlı iki adet

―TrussNode‖ tipinden düğüm noktası ve ―EA‖ adında rijitliği belirleyici bir

büyüklüğe ihtiyaç duyduğu belirtilmektedir. 5. satırda ―$NODES‖ ile elemanın

hesaba esas düğüm noktalarının hangileri olduğu belirlenmektedir. Burada

hesaplarda kullanılmayan ve sadece bir data olarak elemana gönderilen düğüm

noktaları olma olasılığı düşünülmüştür. 6, 7 ve 8. Satırlarda sırayla elemanın yatay

izdüşüm boyu, düşey izdüşüm boyu ve eleman boyunun karesi tanımlanmıştır. Bu

satırlarda ―n1.x‖ veya ―n2.x‖ şeklindeki ifadelerin kullanımına dikkat çekmek

gerekir. ―n1‖ ve ―n2‖ nesneleri ―TrussNode‖ tipinden oldukları için ―x‖ ve ―y‖ adlı

özellikler daha önceden kullanıcı tarafından tanımlanmıştır.

9. satır dikkatle incelenmelidir. ―#L‖ ifadesi ile tek yazımda iki adet özellik

tanımlanmaktdır. ―#‖ ile başlayan özellikler, ilgili nesne ilk yaratıldığı anda ve

sonrasındaki değişen durumları için özelliğin değerlerini temsil etmektedir. Daha

açık bir anlatımla ilerideki kullanımlarda ―#L‖ olarak kullanılan ifade kafes çubuğun

ilk boyunu (nesne yaratıldığı anda hesaplanan değer), ―L‖ olarak kullanılan ifade ise

elemanın güncel boyunu temsil etmektedir. Böylece 10. satıda yapılan şekil

değiştirme (EPS = epsilon) hesabı oldukça basitleşmektedir. Şekil değiştirmemiş

sisteme ait büyüklüklere de erişmek istendiğinde ―#‖ ifadesini kullanmak yeterli

olacaktır. Bu da yaddoğrusal formülasyonları oldukça kolaylaştırmaktadır.

9. satırda dikkat edilmesi gerek önemli bir husus da ―Math.Sqrt(L2)‖ ifadesidir.

―Math‖ nesnesi Microsoft .Net Framework de tanımlı matematik fonksiyonları

barındıran bir nesnedir. Bu nesne direkt olarak FEMLANG içerisinde

kullanılabilmektedir.

Son olarak eleman denge denklemleri ―vec‖ ile başlayan satırlarda vektör formda

tanımlanmıştır. Burada ―NK‖ normal kuvvet anlamındadır ve 11. satırda nasıl

hesaplanacağı tarif edilmiştir.

Görüldüğü bir kafes eleman yaratmak için 30 satırdan daha az bir programlama

yapmak yeterli olmaktadır.

112

5.2.4 Kafes sistemin yaratılması

Düğüm noktası ve eleman tanımlandıktan sonra bir kafes sistem yaratmak için

―CREATE‖ bloğu kullanılmalıdır. Şekil 5.14 de örnek bir sistem verilmiştir.

ġekil 5.14 : İki boyutlu kafes sistem.

Bu sistemi yaratmak için yazılması gerekli program Şekil 5.15 de verilmiştir.

ġekil 5.15 : İki boyutlu kafes sistemin yaratılması.

1: Create TrussSystem : Structure

2: [TrussNode]

new n1 "0 0"

new n2 "5 0"

new n3 "10 0"

new n4 "15 0"

new n5 "2.5 3"

new n6 "7.5 3"

new n7 "12.5 3"

3: [Truss2D]

new e1 "n1 n2 1000"

new e2 "n2 n3 1000"

new e3 "n3 n4 1000"

new e4 "n1 n5 1000"

new e5 "n2 n5 1000"

new e6 "n2 n6 1000"

new e7 "n3 n6 1000"

new e8 "n3 n7 1000"

new e9 "n4 n7 1000"

new e10 "n5 n6 1000"

new e11"n6 n7 1000"

4: add e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11

5: run n1.RestraintAllDOF()

6: run n4.r[1] = 1

7: run n5.f[0] = 15

8: run n7.f[1] = -20

9: End

15 20

5

5

5

3

1000EA

X

Y

1n 4n

5n 6n

7n

1e

2e

3e

4e 5e

6e 7e 8e 9e

10e 11e

2n 3n

113

―Create‖ anahtar kelimesi ile bir nesne yaratılmak istendiği belirtilmektedir. Burada

―tanımlama‖ ve ―yaratma‖ sözcükleri farklı anlamlarda kullanılmıştır. Tanımlama

işlemleri nesnelerin özelliklerini geliştirmek ve yeni nesneler geliştirmek anlamında

kullanılmaktadır. Nesne yaratmak ise mevcut bir nesnenin özelliklerine değer

atanması anlamındadır. Yaratma işlemi bir nevi tanımlanan nesneyi hayata geçirmek

olarak algılanabilir. Şekil 5.15 de, Şekil 5.14 de görünen kafes sistemin dataları

oluşturulmaktadır. 1. satırda ―TrussSystem‖ adında FEMWORKS de tanımlı olan

―Structure‖ tipinden bir nesne tanımlanmıştır. Önceki bölümlerde açıklandığı üzere

―Structure‖ nesneleri düğüm noktası nesneleri, eleman nesneleri ve sınır koşullarını

barındırmaktadır.

2. satır bloğunun başında ―new‖ kelimesi ile yaratılacak olan tüm nesnelerin

―TrussNode‖ tipinden olduğunu bildirilmektedir. ―new‖ ile başlayan satırların

kullanım formatı

new nesne_adı [ ―parametre1 parametre2 ... ― ]

şeklindedir. Sisteme ait düğüm noktaları ―TrussNode‖ tipinden olup yaratılmaları

için başlangıç x ve y koordinatlarının verilmesi gereklidir. Dikkat edilirse sistemdeki

tüm düğüm noktalarına farklı isim verilmiştir.

3. satır bloğunda benzer biçimde ―Truss2D‖ tipinden elemanlar yaratılmaktadır.

―Truss2D‖ tanımına bakılacak olursa, yaratma işlemi için iki adet düğüm noktası ve

EA rijitlik datası verilmesi zorunludur.

4. satırda ―add‖ anahtar kelimesi ile yaratılan elemanlar sisteme dahil

edilmektedirler. Düğüm noktaları için benzer bir ―add‖ satırına ihtiyaç yoktur zira

FEMWORKS elemanların düğüm noktalarını otomatik olarak sisteme dahil

etmektedir.

5. satırda ―n1‖ isimli düğüm noktasının tüm serbestlikleri ―RestraintAllDOF()‖

metodu kullanılarak tutulu hale getirilmiştir. Bu metot yine ―Element‖ nesneleri için

FEMWORKS de tanımlanmış bir metottur.

6. satırda ―n4‖ isimli düğüm noktasının düşey serbesliği engellenmektedir. Burada

elemana ait ―r[]‖ vektörüne (mesnet koşulu vektörü) kullanıcı tarafından doğrudan

atama yapılmaktadır. 7 ve 8. satırlarda benzer şekilde düğüm noktalarının ilgili

serbestlikleri doğrultusunda yük atamaları yapılmaktadır.

114

Daha fazla düğüm noktası ve eleman olması durumunda döngü blokları kullanmak

gerekecektir. Sadeliği korumak için bu konuya değinilmeyecektir.

5.2.5 Çözücü nesnesinin yaratılması (Solver)

Oluşturulan sistemin Newton-Raphson yöntemi ile çözülebilmesi için iterasyonla

ilgili parametrelerin ayarlanması ve sistemin bir çözücü nesneye verilmesi

gerekmektedir. Bunun için Şekil 5.16 de verilen ―Solver‖ tipinden bir nesne

yaratılmalıdır.

ġekil 5.16 : Çözücü parametrelerinin ayarlanması.

Şekil 5.16 da ―solver1‖ isimli bir nesne yaratılmış ve yaddoğrusal çözüm için adım

sayısı ve göreceli yakınsama kriteri belirlenmiştir.

5.2.6 Sistemin çözümü ve sonuçların görüntülenmesi (Run)

Yapılan tüm tanımlama ve yaratma işlemlerinin ardından çözüm yapmak ve

sonuçları görüntülemek için ―Run‖ başlığıyla tanımlanan bir bloğun yazılması

gerekmektedir. Yine Şekil 5.17 de örnek bir ―Run‖ bloğu verilmiştir.

ġekil 5.17 : Analiz ve çıktıların görüntülenmesi.

2. satırda bundan önceki bölümde yaratılan ―TrussSystem‖ nesnesi ―solver1‖ e

verilerek çözüm yapılması sağlanmaktadır. 3. satırda ―TrussSystem‖ in son halinin

çizilmesi sağlanmaktadır. Çizimin nasıl yapılacağı FEMWORKS de belirlenmiştir.

1: Run

2: run solver1.Solve(TrussSystem)

3: run TrussSystem.Draw()

4: run Console.WriteLine(TrussSystem.e1.NK)

5: out TrussSystem.n1

6: End

Create solver1 : Solver

set $STEP_SIZE : 2

set $CONV_CRIT : 0.001

End

115

Esasında bu tip işlemler için de son kullanıcıya yapılar sunmak uygundur fakat tez

kapsamında bu konu gereksiz görülmüştür.

4. satırda ―e1‖ elemanına ait normal kuvvet değeri konsola yazdırılmaktadır. Konsol

ortamı program çıktılarını gösteren bir yazım ortamıdır. Son olarak ―TrussSystem‖

de tanımlı ―n1‖ düğüm noktasının daha önceden tanımlanmış olan çıktılarını

göstermesi istenmektedir.

Sonuç olarak FEMLANG sayesinde Şekil 5.14 de verilen kafes sistemin

elemanlarının yaratılması, tanımlanması ve çözümü 70 satırdan daha az bir kod

yazarak mümkün olmaktadır. Ayrıca bu dili öğrenmek ve kullanmak oldukça

kolaydır. Son olarak belirtmek gerekir ki FEMWORKS ve FEMLANG tez yazım

sürecinde halen geliştirilme aşamasındadır.

5.3 FEMBIND Hakkında

Kısaca özetlemek gerekirse, FEMLANG dilinde oluşturulan bir yapıyı FEMWORKS

ün anlayabileceği bir yapıda tekrar düzenleme ve bu iki yapıyı birleştirme işlemini

FEMBINDER gerçekleştirmektedir. FEMWORKS, Microsoft .Net ortamının bir

üyesi olan C# programlama dilinde yazılmıştır. FEMLANG dilinde programlanan

kodlar C# diline çevrilerek FEMWORKS ile birleştirilmektedirler.

116

117

6. SONUÇLAR

Tez kapsamında iki boyutlu çubuk sistemlerin sonlu yer değiştirme analizlerini

yapmak üzere geliştirilen MyBeam elemanı sayesinde yüksek performanslı statik ve

dinamik çözümler yapılabilmiştir. Elemanın geliştirilmesinde kullanılan dönel eksen

takımı formulasyonu büyük yer değiştirme analizleri için oldukça uygun bir formülasyon

tipidir. Dönel eksen takımına göreceli olarak sonlu yer değiştirme kabulü yapılmıştır ve

bu da eleman iç yük vektörünün ifadesini problemin kesin çözüme oldukça

yaklaştırmıştır.

Ayrıca klasik sonlu eleman türetme tekniklerine alternatif olarak eleman denge

denklemlerinin doğrudan integrasyonu ile elde edilen iç yük vektörü kullanımı başarılı

sonuçlar vermiştir. Bu bağlamda elemanın sonlu yer değiştirme probleminin çözümüne

yeni bir bakış açısı kazandırdığı söylenebilir.

Çubuk problemlerinin çözümünde, şekil değiştirme tansörünün seçimine ilişkin bilgiler

tartışılmış ve değişik ölçülerinin seçiminin önemi ve bu ölçülerin hesaplara olan etkisi

ortaya konulmuştur.

Tez kapsamında yaddoğrusal bir çok problem incelenmiştir. Sonlu yer değiştirme,

plastisite, burkulma ve dinamik analizlerin her birinin kendine has özellikleri vardır.

Tüm bu özellikleri ele alacak bir programlama platformunun oluşturulması sonlu eleman

teorisyenleri ve uygulamacıları için büyük önem arz etmektedir.

Geliştirilen programlama platformu sayesinde sonlu eleman programlama ve problem

çözme süreclerinde büyük kolaylıklar getirilmiştir. SEGAÇ altyapısı gelişmeye oldukça

müsayit olup ileride büyük sonlu eleman program paketleri için uygun bir platform

haline getirilmesi hedeflenmektedir.

118

119

KAYNAKLAR

[1] Turner, M.J., Dill, E. H., Martin, H. C., and Melosh, R. J., 1960. Large

Deflection of Structures Subject to Heating and External Load. J. Aero

Sci. 27, 97-106.

[2] Argyris, J. H., 1964. Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis.

Pergamon Press.

[3] Tezcan S., Ovunc B., 1966. An iteration Method for he Nonlinear Buckling of

Framed Structures, International Conference on space Structures,

University of Surrey 1966, Blackwell Scientific Publications, London.

[4] Mallet, R. H., and Marcal, P. V., 1968. Finite Element Analysis of Non-Linear

Structures, Proc. ASCE, J. Struct. Div., 94, ST9, 2081-2105.

[5] Oden J. T., 1967. Numerical Formulation of Non-Linear Elesticity Problems.,

Proc. ASCE, J. Struct. Div., 93, ST3, 5290.

[6] Oden, J. T., 1972. Finite Elements of Continua. McGraw-Hill.

[7] Zienkiewwicz, O. C., and Taylor, R. L., 1991. The Finite Element Method

Fourth Edition Volume 2. McGraw-Hill.

[8] Tezcan, S. S., Mahapatra, B. C., and Mathews, C. I., 1950. Tangent Stiffness

Matrices for Finite Elements., IABSE Bulletin, 30 I.

[9] Reddy, J. N., 2004. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis.

Oxford University Press.

[10] Bathe, K. J., 1996. Finite Element Procedures. Prentice Hall.

[11] Crisfield, M. A., 1991. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and

Structures Volume 1. John Wiley & Sons.

[12] Bhatti A. M., 2006. Advanced Topics in Finite Element Analysis of Structures.

John Wiley & Sons.

[13] Holzapfel G. A., 2000. Nonlinear Solid Mechanics Structures. John Wiley &

Sons.

[14] Belytschko, T., Liu, W. K., and Moran, B., 2001. Nonlinear Finite Elements

for Continua and Structures. John Wiley & Sons.

[15] Pilkey, W. D., 2002. Analysis and Design of Elastic Beams-Computational

Methods. John Wiley & Sons.

[16] Bonet, J., and Wood, R. D., 1997. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite

Element Analysis. Cambridge University Press.

[17] Crisfield, M. A., 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and

Structures, Volume 2, Advanced Topics. John Wiley & Sons.

[18] Reddy, J. N., 2008. An Introduction to Continuum Mechanics With

Applications. Cambridge University Press.

120

[19] Dill, E. H., 2007. Continuum Mechanics Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity.

CRC Press.

[20] Fertis, D. G., 1998. Nonlinear Mechanics Second Edition. CRC Press.

[21] Levy, R., and Spillers, W. R., 2003. Analysis of Geometrically Nonlinear

Structures, Second Edition. Kluwer Academic Publishers.

[22] Krishnamoorthy, C. S., 1994. Finite Element Analysis – Theory and

Programming. MacGraw-Hill.

[23] Aköz, A. Y., 2005. Enerji Yöntemleri ve Yapı Sistemleri Bilgisayarla Statik ve

Dinamik Hesap. Birsen Yayınevi.

[24] Huges, T. J. R., 2000. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic

Finite Element Analysis. Prentice Hall.

[25] Smith, I. M., Griffiths, D. V., 2004. Programming the Finite Element Method.

John Wiley & Sons.

[26] Ross, C. T. F., 1996. Finite Element Programs in Structural Engineering and

Continuum Mechanics. Horwood Publishing Limited.

[27] Wen, M. T., 2005. Finite Programming in C++. iUniverse.

[28] Hinton, E., and Owen, D. R., 1980. Finite Element Programming. Academic

Press.

[29] MacKie, R. I., 2002. Object-Oriented Methods and Finite Element Analysis.

Saxe-Coburg Publications.

[30] MacKie, R. I., 2008. Programming Distributed Finite Element Analysis: An

Object Oriented Approach. Saxe-Coburg Publications.

[31] Devloo, P. R. B., 1997. An object oriented environment for scientific

programming, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 150(1–4), 133–153.

[32] Eyheramendy, D., and Zimmermann, T., 1998. Object–oriented finite

elements I. Theory and application of automatic programming, Comp.

Meth. Appl. Mech. Eng. 41–68.

[33] Patzak, B., and Bittnar, Z., 2001. Design of object finite element code,

Advances in Engineering Software, 32(10–11), 759–767.

[34] Villa, A., Rodriguez F., A., and Huerta, S., 1995. Nonlinear finite element

techniques using an object-oriented code. Barcelona. CIMNE.

[35] Gamma, E., 1994. Design patterns: elements of reusable object-oriented

software. New York. Addison-Wesley.

[36] Eyheramendy, D., 1998. FEM theory: an environment for symbolic derivations

and automatic programming of finite elements—developer‘s guide. Int

Rep, LSC, Lausanne: Swiss Fed Inst Tech 98/ 5.

[37] Ohtsubo, H., 1994. Integration of finite element analysis with object oriented

modeling. Third World Cong. Comput. Mech., Chiba, Japan. M4-1

[38] Newmark, N.M., 1959. A Method of Computation for Structural Dynamics,

Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings ASCE

85(EM5), 67-90.

121

[39] Wilson, E. L., Farhoomand, I., and Bathe, K. J., 1973. Nonlinear dynamic

analysis of complex structures, Earthquake Engineering & Structural

Dynamics Volume 1, 3, 241-252

[40] Wilson, E. L., 1962. Dynamic Response by Step-By-Step Matrix Analysis,

Proceedings, Symposium On The Use of Computers in Civil

Engineering. Labortorio Nacional de Engenharia Civil. Lisbon,

Portugal. October 1-5.

[41] Hughes, T., 1987. The Finite Element Method - Linear Static and Dynamic

Finite Element Analysis. Prentice Hall Inc.

[42] Craig, R. R., and Kurdila, A. J., 2006. Fundamentals of Structural Dynamics

Second Edition. John Wiley & Sons.

[43] Dokainish, M. A., and Subbaraj, K. A, 1989. Survey of direct time-integration

methods in computational structural dynamics. I. Explicit Methods.

Comput Struct, 32(6), 1371-86.

[44] Zienkiewicz, O. C., 1977. A new look at the Newmark, Houbolt, and other time

stepping formulas: a weighted residual approach. Earthquake Engng

Struct Dyn, 5, 413-8.

[45] Modak, S., and Sotelino, E. D., 2002. An object-oriented parallel programming

framework for linear and nonlinear transient analysis of structures.

Comput Struct, 80, 77-84.

[46] Modak, S., and Sotelino, E. D., 2000. The generalized time integration method

for structural dynamic applications. Structural engineering report

STR- 00-01. School of Civil Engineering, Purdue University, West

Lafayette, IN.

122

123

EKLER

Ek A.1 : Konsol kiriş statik analizi. MyBeam, Sap2000 ve ANSYS karşılaştırması

Ek A.2 : ―MyBeam‖ elemanının FEMLANG dili ile programlanması

Ek A.3 : Bezier eğrileri ile konsol kiriş problemi

124

EK A.1 : Konsol kiriş statik analizi. MyBeam, Sap2000 ve ANSYS karşılaştırması

ġekil A.1 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.1).

ġekil A.2 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.2).

178.5

179

179.5

180

180.5

181

181.5

182

182.5

183

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dü

şey

Yer

Değ

işti

rme

Eleman Sayısı

ANSYS

SAP2000

MyBeam

Teorik

325

330

335

340

345

350

355

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dü

şey

Yer

Değ

işti

rme

Eleman Sayısı

ANSYS

SAP2000

BEAM#

Teorik

MyBeam

125

ġekil A.3 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.4).

ġekil A.4 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 1.0).

500

520

540

560

580

600

620

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dü

şey

Yer

Değ

işti

rme

Eleman Sayısı

ANSYS

SAP2000

BEAM#

Teorik

MyBeam

650

700

750

800

850

900

950

1000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dü

şey

Yer

Değ

işti

rme

Eleman Sayısı

ANSYS

SAP2000

BEAM#

Teorik

MyBeam

126

ġekil A.5 : Mesnet Momenti (P = 1.0).

.

500

550

600

650

700

750

800

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mo

men

t

Eleman Sayısı

ANSYS

SAP2000

BEAM#

Teorik

MyBeam

127

EK A.2 : ―MyBeam‖ elemanının FEMLANG dili ile programlanması

Define BeamNode : Node

get xc

get yc

set $VARNAMES : x y t

set $COORDS : x y 0

ini x = xc

ini y = yc

let u = x - xc

let w = y - yc

End

Define Beam : Element

get n1 as BeamNode

get n2 as BeamNode

set $NODES : n1 n2

let %EI = 3456*5*5*5*5/12

let %EA = 3456*25

let #Lx = n2.x - n1.x

let #Ly = n2.y - n1.y

let L2 = Lx*Lx+Ly*Ly

let #L = Math.Sqrt(L2)

let EPS = 0.5*(L*L-#L*#L)/(#L*#L)

let NK = EA * EPS

let c = Lx/L

let s = Ly/L

let b1 = n1.t

let b2 = n2.t

let #Teta = Math.Atan2(Ly, Lx)

let a1 = Math.Tan(b1 - Teta + #Teta)

let a2 = Math.Tan(b2 - Teta + #Teta)

let m(x) = (a1 + a2) * Math.Pow(x, 3.0) / L2 - (2.0 * a1 + a2) * Math.Pow(x,

2.0) / L + a1 * x

let m1(x) = 3.0 * (a1 + a2) * Math.Pow(x, 2.0) / L2- 2.0 * (2.0 * a1 + a2) * x

/ L + a1

let m2(x) = 6.0 * (a1 + a2) * x / L2 - 2.0 * (2.0 * a1 + a2) / L

let m3(x) = 6.0 * (a1 + a2) / L2

let A(x) = Math.Sqrt(1.0 + Math.Pow(m1(x), 2.0))

let N(x) = EA * (A(x) * L / #L - 1.0)

let Nm1(x) = N(x) * m1(x)

let Nm(x) = N(x) * m(x)

let Nm1x(x) = N(x) * m1(x) * x

let T(x) = EI * (m3(x) - 0* 3.0 * m2(x) / A(x)) / Math.Pow(A(x),4.0)

let MA(x) = EI * m2(x) / Math.Pow(A(x),2.0)

let Tm1(x) = T(x) * m1(x)

128

let Tx(x) = T(x) * x

let m1x(x) = m1(x) * x

let Tmm1(x) = T(x) * m(x) * m1(x)

let A_In = Integrate(A, L, Integrator.g3)

let T_In = Integrate(T, L, Integrator.g1)

let MA_In = Integrate(MA, L, Integrator.g3)

let Tm1_In = Integrate(Tm1, L, Integrator.g2)

let m1_In = Integrate(m1, L, Integrator.g2)

let Tx_In = Integrate(Tx, L, Integrator.g2)

let m1x_In = Integrate(m1x, L, Integrator.g2)

let m_In = Integrate(m, L, Integrator.g2)

let Tmm1_In = Integrate(Tmm1, L, Integrator.g1)

let N_In = Integrate(N, L, Integrator.g2)

let Nm_In = Integrate(Nm, L, Integrator.g2)

let Nm1_In = Integrate(Nm1, L, Integrator.g2)

let Nm1x_In = Integrate(Nm1x, L, Integrator.g2)

let I1 = N_In + Tm1_In;

let I2 = Nm1_In - T_In;

$ELEMENT_VECTOR : k

k[1] = (-I1 * c + I2 * s) / A_In

k[2] = (-I1 * s - I2 * c) / A_In

k[3] = (-MA_In - Nm1x_In + Tx_In + Nm_In + Tmm1_In) / A_In

k[4] = -k[1]

k[5] = -k[2]

k[6] = -k[3] - k[1]*Ly + k[2]*Lx

Create Kiris : Structure

[BeamNode]

new nilk "0 0"

new nson "1000 0"

new n1 "500 0"

[Beam]

new e1 "nilk n1"

new e2 "n1 nson"

add e1 e2

run nilk.RestraintAllDOF()

run nson.elem_f[1]=-0.2

End

Create Solver1 : Solver

End

Run

run Solver1.Solve(new FEMAssembler(Kiris))

Console.WriteLine(Kiris.nson.w)

run Kiris.Draw()

End

129

EK A.3 : Bezier eğrileri ile konsol kiriş problemi

Cizelge A.3.1 : Konsol Kiriş Ucunda Tekil Kuvvet Probleminin Çözümleri.

; ; SS: Serbestlik Sayısı. ES:Eleman Sayısı. Tİ: Toplam İterasyon. D: Doğrusal. P:Tekil.

TEORİK BEZİER SAP2000

PL2/EI w/L u/L Derece SS Tİ w/L u/L w u ES SS w/L u/L teta w u teta

… 6 5 0.0664 0.0026 13.2720 0.5290 1 3 0.0665 0.0022 0.0998 13.29405 0.44218 0.09978

…. 8 5 0.0664 0.0026 13.2730 0.5290 2 6 0.0664 0.0025 0.0997 13.27761 0.50327 0.09967

0.2 0.066 0.003 ….. 10 5 0.0664 0.0026 13.2730 0.5290 3 9 0.0664 0.0026 0.0997 13.27492 0.51732 0.09965

D 0.067 0 …… 12 5 0.0664 0.0026 13.2730 0.5290 5 15 0.0664 0.0026 0.0996 13.27362 0.52484 0.09964

P 0.9 ……. 14 24 72 0.0664 0.0026 0.0996 13.27294 0.52898 0.09964

… 6 7 0.1923 0.0225 38.454 4.498 1 3 0.1949 0.0192 0.2943 38.98203 3.83454 0.29425

…. 8 7 0.1924 0.0225 38.47 4.497 2 6 0.1929 0.0215 0.2915 38.58303 4.29393 0.29145

0.6 0.192 0.022 ….. 10 8 0.1924 0.0225 38.471 4.498 3 9 0.1926 0.0220 0.2910 38.51832 4.40335 0.29104

D 0.200 0 …… 12 8 0.1924 0.0225 38.471 4.498 5 15 0.1924 0.0223 0.2908 38.48719 4.46232 0.29084

P 2.7 ……. 14 24 72 0.1924 0.0225 0.2907 38.47105 4.49488 0.29074

… 6 9 0.3014 0.0565 60.279 11.29 1 3 0.3115 0.0497 0.4751 62.29725 9.94645 0.47513

…. 8 9 0.3017 0.0564 60.339 11.283 2 6 0.3038 0.0542 0.4641 60.76916 10.84645 0.46408

1 0.302 0.056 ….. 10 10 0.3017 0.0564 60.346 11.287 3 9 0.3026 0.0554 0.4625 60.52446 11.08073 0.4625

D 0.333 0 …… 12 11 0.3017 0.0564 60.347 11.288 5 15 0.3020 0.0560 0.4618 60.40795 11.20907 0.46176

P 4.5 ……. 14 24 72 0.3017 0.0564 0.4614 60.34796 11.28045 0.46137

130

Cizelge A.3.1 (devam) : Konsol Kiriş Ucunda Tekil Kuvvet Probleminin Çözümleri.

; ; SS: Serbestlik Sayısı. ES:Eleman Sayısı. Tİ: Toplam İterasyon. D: Doğrusal. P:Tekil.

TEORİK BEZİER SAP2000

PL2/EI w/L u/L Derece SS Tİ w/L u/L w u ES SS w/L u/L teta w u teta

… 6 10 0.4101 0.1081 82.021 21.61 1 3 0.4351 0.0996 0.6753 87.02914 19.92044 0.67528

…. 8 11 0.4108 0.1078 82.166 21.565 2 6 0.4162 0.1047 0.6464 83.23405 20.93136 0.64638

1.5 0.411 0.108 ….. 10 11 0.4110 0.1079 82.197 21.589 3 9 0.4132 0.1064 0.6424 82.63193 21.27224 0.6424

D 0.500 0 …… 12 12 0.4110 0.1080 82.203 21.591 5 15 0.4117 0.1073 0.6405 82.34929 21.46717 0.64054

P 6.75 ……. 14 24 72 0.4110 0.1079 0.6396 82.20516 21.57765 0.63958

… 6 11 0.4918 0.1610 98.359 32.197 1 3 0.5342 0.1546 0.8454 106.8475 30.91992 0.84536

…. 8 12 0.4931 0.1603 98.619 32.065 2 6 0.5022 0.1570 0.7936 100.4382 31.40152 0.79355

2 0.493 0.161 ….. 10 12 0.4934 0.1606 98.687 32.125 3 9 0.4971 0.1588 0.7867 99.41881 31.7603 0.78665

D 0.667 0 …… 12 12 0.4935 0.1607 98.703 32.134 5 15 0.4947 0.1599 0.7835 98.94646 31.98333 0.78345

P 9 ……. 14 24 72 0.4935 0.1606 0.7818 98.70799 32.11403 0.78182

131

Cizelge A.3.1 (devam) : Konsol Kiriş Ucunda Tekil Kuvvet Probleminin Çözümleri.

; ; SS: Serbestlik Sayısı. ES:Eleman Sayısı. Tİ: Toplam İterasyon. D: Doğrusal. P:Tekil.

TEORİK BEZİER SAP2000

PL2/EI w/L u/L Derece SS Tİ w/L u/L w u ES SS w/L u/L teta w u teta

… 6 13 0.7777 0.5524 155.54 110.474 1 3 0.9332 0.6393 1.8029 186.6367 127.8501 1.80287

…. 8 13 0.8061 0.5517 161.212 110.338 2 6 0.8481 0.5674 1.4776 169.6171 113.4872 1.47758

10 0.811 0.555 ….. 10 14 0.8093 0.5529 161.856 110.57 3 9 0.8265 0.5575 1.4491 165.2953 111.4988 1.4491

D 3.333 0 …… 12 14 0.8105 0.5547 162.105 110.94 5 15 0.8160 0.5551 1.4366 163.1975 111.0128 1.43659

P 45 ……. 14 13 0.8110 0.5551 162.192 111.026 24 72 0.8112 0.5548 1.4306 162.2365 110.9671 1.43055

… 6 13 0.7961 0.6191 159.229 123.822 1 3 0.9660 0.7385 1.9597 193.1977 147.7027 1.95965

…. 8 13 0.8392 0.6315 167.847 126.304 2 6 0.8919 0.6559 1.5452 178.375 131.1712 1.5452

15 0.848 0.635 ….. 10 12 0.8458 0.6321 169.15 126.418 3 9 0.8677 0.6405 1.5196 173.5417 128.0993 1.51962

D 5.000 0 …… 12 14 0.8474 0.6344 169.481 126.879 5 15 0.8546 0.6358 1.5078 170.913 127.1589 1.5078

P 67.5 ……. 14 14 0.8481 0.6353 169.629 127.065 24 72 0.8486 0.6351 1.5021 169.712 127.0189 1.50209

132

133

ÖZGEÇMĠġ

Ad Soyad : Murat YILMAZ

Doğum Yeri ve Tarihi : Ankara 1979

Adres : İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Mekanik

Anabilim Dalı Maslak / İstanbul

Lisans : İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği

(1997-2001)

Yüksek Lisans : İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü

İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı, Yapı Mühendisliği

Programı (2001-2003)

Yayın Listesi :

Yılmaz, M., Aköz, Y. A. 2003. Elasto-plastik çerçeve sistemlerin dinamik analizi.

XIII. Ulusal Mekanik Kongresi, Bildiri, Eylül, Gaziantep Türkiye.