poliedros professor: ruy Ângelo sÓlido limitado por polÍgonos planos, de modo que: dois desses...
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POLIEDROSProfessor: Ruy Ângelo
SÓLIDO LIMITADO POR POLÍGONOS PLANOS, DE MODO QUE:
DOIS DESSES POLÍGONOS NÃO ESTÃO NUM MESMO PLANO;
CADA LADO DE UM POLÍGONO É COMUM A DOIS E SOMENTE DOIS POLÍGONOSPolígono: Figura fechada simples formada por segmentos de retas
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POLIEDROS REGULARES
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PLANIFICAÇÃO
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RELAÇÃO DE EULERUma igualdade descoberta por Euler em
1751 relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas:
V - A + F = 2.Na tabela que se segue pode verificar-se diretamente a validade desta fórmula de
Euler no caso dos cinco poliedros regulares, dos prismas e das pirâmides; a fórmula é
verdadeira para outros poliedros , mas não para todos.
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V A F V-A+F
tetraedro 4 6 4 2
cubo 8 12 6 2
octaedro 6 12 8 2
dodecaedro 20 30 12 2
icosaedro 12 30 20 2
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Exemplo
Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértices desse poliedro
Vamos inicialmente determinar o número de arestas:
Resposta: 18 arestas
Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2
Resposta Final: 12 vértices.
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PRISMAS
O estudo dos poliedros é dividido em Prismas e Pirâmides.
Vamos inicialmente trabalhar com os prismas.
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Prisma de base hexagonal
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Os prismas são formados por dois planos paralelos, em um dos planos há um polígono e todas as retas com extremidades nesse polígono tem a outra extremidades no outro plano, Veja a figura abaixo:
Podemos dizer então que um prisma possui duas bases em planos diferentes.
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Toda figura geométrica possui elementos específicos, Veja a figura abaixo, onde estão representados todos os elementos de um prisma.
Os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ são as bases desse prisma.
►Os pontos A,B,C,D,E,F,A’,B’,C’,D’,E’,F’ são os vértices do prisma.
►Os segmentos de reta: são as arestas laterais do prisma (arestas que formam as faces laterais).
►As bases também possuem arestas os segmentos de reta que formam essas arestas são:
►Uma reta perpendicular as duas bases é a altura do prisma.
Os polígonos formados pelos pontos são as faces laterais do polígono.
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Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um
polígono regular.
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Áreas das figuras planas.
Situação problema:
Um fabricante de embalagens de papelão quer
construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular.
Sabendo que a altura da caixa é de 20 cm e que o lado do
polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão
necessária para se construir essa embalagem. Admita que
se utilize 25% a mais de material do que o estritamente
calculado, devido às sobras de papelão e para que seja
possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa.
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Áreas e superfícies de prismas.
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Área do círculo
Área do retângulo
Área do quadrado
Área do triângulo
Área do paralelogramo
Área do losango
Área do trapézio
Área do hexágono
Perímetro de figuras planas
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22 bad
baS sen
dS
2
2
d
a
b
Área do retângulo
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1)Calcule a área de uma superfície retangular sabendo que a base é o dobro da medida da altura e a diagonal mede 5 metros.
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d
a
2ad 2aS
2
2dS
Área do quadrado
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2)Um hexaedro regular tem a diagonal medindo 6cm. Calcule a área total desse prisma.
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3)Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão representadas na figura abaixo. Calcule a área desse terreno.
135° 16cm
20cm
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haS bsenaS
h
a
b
D
d
2
DdS
senaS 2a a
a a
Área do paralelogramo
Área do losango
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Determine o volume do prisma oblíquo cuja base é um paralelogramo com dois ângulos de 120°.
5cm
10cm
6cm
60°
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h
a
2
3ah
4
32aS
c
b
ah cpbpappS
2
hbS
2
cbap
sencb
S2
Área do triângulo
Área do Triângulo Equilátero.
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Calcule a área de um triângulo cujas medidas dos lados são 10cm, 12cm e 8cm.
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L
L
L
L
L
L
2
33 2LS L2
hBb
S
2
b
B
h2
Bbm
m
Área do trapézio
Área do hexágono regular
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L
L L
L
L
L
LL
a
n
180
anL
S 2
cot4
2nLS
POLÍGONO REGULAR DE “n” LADOS
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Exemplo
Qual a área de um icoságono cujo apótema mede 12 cm . (Use:tg 9°= 0,16)
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r
r
r r
r
rC 2
rD 2
2rA
360
2
rS
Área do círculo
PerímetroDiâmetro
Área do setor circular
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R
r
22 rRS
22
4dDS
RD 2
rd 2
Área da coroa circular
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Cálculo de áreas especiais
Contar o número de quadrados inteiros no interior da figura; 43
Contar o número de quadrados inteiros que cobrem toda a figura. 80
Soma todos e divide por dois
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Calcule a área da figura abaixo.
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Atividade
1)Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo.Calcule o volume de chocolate contido nessa barra.
4
4
4
12
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Um poliedro é formado por 8 triângulos e 6 octógonos. Quantos vértices esse poliedro possui, sabendo que ele obedece a relação de Euler? Mostre fazendo os cálculos. (Veja a sua planificação)
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PIRÂMIDEPLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE
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1) Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar nessa barraca?
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2) Uma peça de vidro tem o formato e as medidas da figura. Supondo-a maciça, qual o volume de vidro usado para fazer essa peça?
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3)Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule o volume da pedra.
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TRONCO DE PIRÂMIDEPLANIFICAÇÃO DO TRONCO DA PIRÂMIDE
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Área lateral é a área de um retângulo .
rHA 2
CILINDRO
HAV b
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1)Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.
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2) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?
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CONE RETO CONE OBLÍQUO
CONE EQUILÁTERO.
Pelo Teorema de Pitágoras calcule h em função de R.
G=2R
G=geratriz
VOLUME
O V’
V
G=geratriz
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grAlateral
lateralbasetotal AAA
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Elementos do Cone:
Base - SRaio - rVértice - VGeratriz - gEixo - OVAltura - hSeção transversal - S'Seção reta - S''Seção meridiana - AVB
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Exemplo 1 A geratriz de um cone equilátero mede cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em cm².
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2)Bárbara colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica, conforme a figura, de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Em seguida preencheu a região toda acima da casquinha com sorvete. Mostre com cálculos onde cabe mais sorvete. Se dentro da casquinha ou na forma inventada por ela?
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(1 UFRN)
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Definição de uma esferaUma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R.
ÁreaA área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão: A = 4 π . R2
VolumeO volume da esfera é dado pela expressão:V = 4 . π . R3 3
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Questão 1Considere o planeta terra como uma esfera de raio R=6400Km. Sabendo que aproximadamente 70% de sua superfície é coberta por água e desprezando o relevo da superfície terrestre, determine a área ocupada pelas terras não submersas em nosso planeta. Considere Л=3.
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O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:
Considerando o ângulo a em graus podemos afirmar que a área do fuso é uma fração ά/ 360 da área da esfera.
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Exercício1)Dois copos, um em formato de cone circular reto e outro em formato de cilindro circular reto, tem um mesmo volume. Se o raio da base do copo cilíndrico é um terço do raio da base do copo em formato de cone, a altura do copo cilindrico vale quanto em função da altura do cone?
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2) Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o até as extremidades e se encontrando sem haver superposição. Sabendo-se que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192π cm³ , pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm², é igual a quanto?
H=12H=12
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3)Qual o volume do cubo inscrito em uma esfera de raio R=4cm
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4)(UFRN)Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm.Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente:a)8,5 cm b)8,0 cm c)7,5 cm d)9,0 cm