Claudio Bonechi (clavicordo)

POLIGONI E POLIEDRI REGOLARI

7 May 2018

Dedico questo articolo a TARDOFREAK

Questa volta parliamo un po' di geometria.

I poliedri sono l'equivalente dei poligoni, trasportati nello spazio "solido" cioè a 3 dimensioni.

Un poligono è una figura chiusa formata da un certo numero di lati, ossia segmenti, che sono

disposti in modo da avere tutti in comune un'estremità, presi a due a due. Nei poliedri, il ruolo dei

lati viene svolto dalle facce, che sono a loro volta poligoni.

Mentre con i poligoni, che stanno su un piano (spazio a 2 dimensioni) abbiamo una certa

familiarità (triangoli, rettangoli, pentagoni, etc.) non altrettanto si può dire dei poliedri, anche se

conosciamo la piramide e il prisma.

Poligoni e poliedri possono essere convessi, concavi, stellati, intrecciati

I poligoni regolari sono caratterizzati da una simmetria di rotazione intorno al loro centro, il

che porta a uguaglianza di tutti i lati e di tutti gli angoli interni. Di poligoni regolari ce ne sono

infiniti, perchè possono avere un numero qualsiasi di lati.

Lo stesso però non avviene per i poliedri regolari, solidi che hanno tutte le facce uguali e che,

nello spazio a 3 dimensioni, sono soltanto 5 (a meno che non si voglia aggiungere la sfera come

poliedro regolare a infinite facce).

L'articoletto che segue, di A. Giannotta e P. Vergallo, illustra simpaticamente questra singolare

proprietà.

''Alcuni poligoni: i primi due sono convessi, il terzo è concavo, il quarto è intrecciato e stellato.''

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Terra, Fuoco, Acqua, Aria e.. i solidi di Platone.

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Una tabella riassuntiva dei poliedri regolari, con annesso lo sviluppo piano è la seguente:

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Politopi

Fin qui ci siamo fermati allo spazio euclideo a 3 dimensioni.

Ma i matematici, si sa, amano generalizzare. Che succede se si passa a spazi a 4, 5, o più

dimensioni? Innanzi tutto il nome cambia: un poliedro generalizzato si chiama politopo. Il

termine 'politopo' è stato coniato da Alicia Boole , la figlia di George Boole, quello della logica

booleana.

Noi possiamo rappresentare le figure geometriche disegnandole su un piano finchè sono a 1 o

a 2 dimensioni. Per dimensioni superiori possiamo usare la proiezione, tramite le regole della

geometria proiettiva. In pratica, vengono disegnati tutti i vertici e tutti gli spigoli come se

una luce proveniente da un punto proiettasse l'ombra di un solido trasparente; se questo punto

si trova all'infinito, i raggi proiettivi sono tutti paralleli e abbiamo un'assonometria. Possiamo

anche proiettare un solido nello spazio a 3 dimensioni, ottenendo una scultura o un a stampa

3d, con regole simili.

Un politopo particolare è il simplesso: si tratta del politopo a numero di facce minimo per ogni

spazio euclideo. Ad esempio il simplesso nello spazio a 2 dimensioni è il triangolo, mentre quello

nello spazio a 3 dimensioni è il tetraedro.

Ipercubo a 4 dimensioni proiettato sul piano

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Il simplesso viene applicato nella rappresentazione e nello studio dei problemi di

ottimizzazione, spesso riconducibili a cercare il minimo o il massimo di una "funzione obiettivo"

linerare con vincoli, utilizzando il cosiddetto "metodo del simplesso", nel quale naturalmente

non ci addentriamo.

I politopi regolari nello spazio a 4 dimensioni, detti anche "policori", sono elencati di seguito:

dove si vede che sono 6 e in cui le "facce" sono poliedri regolari.

Per concludere, ecco l'elenco dei politopi a tutte le dimensioni:

Proiezione ortogonale nel piano dei 9 vertici e 36 spigoli di un Simplesso 8-dimensionale

Politopi in spazi a dimensioni crescenti da 1 a 5, proiettati nel piano

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Notiamo che dalla sesta dimensione in poi esistono solo 3 politopi convessi e nessun

politopo non convesso.

Conclusione

Questa breve carrellata sui solidi regolari ci può richiamare alla mente l'uso della geometria per

costruire una mappa (visibile se proiettata sul piano) di situazioni e problemi del mondo reale,

che vengono modellizzati spesso in forma di tabella o matrice.

In una tabella, infatti, ogni colonna può rappresentare una caratteristica di un oggetto

indipendente dalle altre e quindi essere ricondotta a un concetto di "dimensione". Ad

esempio, potremmo avere una tabella di vendite di un prodotto in cui nella colonne si riportano

6 caratteristiche: materiale, colore, volume, costo unitario, quantità, cliente (tutte caratteristiche

tra loro indipendenti).

Ogni caratteristica può venire mappata in una dimensione e ogni riga della tabella rappresenta

le coordinate di un punto nello spazio a 6 dimensioni. IL contenuto della tabella può essere

associata a un politopo (non regolare). La situazione viene cioè rappresentata tramite la

geometria.

Tradizionalmente la "dimensionalità" è costituita da un numero intero, ma dal 1975 Benoit

Mandelbrot ha definito quegli strani oggetti che sono i frattali. Tra le "stranezze" compare

anche il fatto che la loro dimensionalità non è più un numero intero. Ma di questo

parleremo un'altra volta.

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