poligonos

EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE MATEMATICAS II BLOQUE IV: RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

NAVARRO SUAREZ JOSE LUIS, Coordinador de TELEBACHILLERATO No. 126, GUANDARO, MPIO. PENJAMILLO, Cel.: 722 143 16 91, E-mail: [email protected]

Pg. 90 Aplica lo aprendido Indica sobre la línea azul si el polígono es cóncavo, convexo regular o convexo irregular según corresponda:

CONCAVO CONCAVO

CONCAVO CONVEXO IRREGULAR

CONVEXO RREGULAR



Pg. 93 Desarrolla tu habilidad Los polígonos están en todos lados y son muy importantes en nuestra vida. ¿Por qué es impráctica una tuerca de forma hexagonal irregular?

Los lados y/o ángulos al no ser congruentes entre si y la llave con que se ajusta la tuerca solo coincidirían en determinada(s) posición(es) debido a las medidas de sus lados y ángulos. Bajo algunas circunstancias no se podría trabajar adecuadamente.

¿Sería práctico usar una tuerca en forma de heptágono regular? ¿Por qué?

Sí, siempre y cuando se manufacture una llave especialmente diseñada para dicha tuerca y No, ya que las llaves de tuercas conocidas son para tuercas hexagonales regulares.

La anterior respuesta seguramente da una de las muchas ventajas de conocer los diferentes tipos de polígonos. Señala tres ventajas más en donde describas la importancia que tiene conocer a los polígonos.

1.

En el área automotriz, en la elaboración de piezas, herramientas diversas.

2.

En la construcción (casas, edificios), utilizándolos en puertas, ventanas, pisos, estructuras.

3.

En cálculos de áreas, perímetros; para determinar el costo y la cantidad de material necesario para un corral, un muro, venta de un terreno.



Pg. 96 Si has puesto atención a tus clases seguramente has de recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo son 180°. ¿Crees que la suma de los ángulos internos de un cuadrado tengan un valor fijo?__SI__________________ ¿Cuál sería ese valor?___180°

_______________.

Piensa en un cuadrado, si se divide con una línea que va de un vértice a otro no consecutivo ¿Qué figuras se forman? ___TRIANGULOS__________. A partir de las figuras formadas podrías señalar ¿Cuántos grados suman los ángulos internos del cuadrado?__360°

____________________.

Con la construcción anterior podrías señalar ¿Cuánto suman los ángulos internos de un pentágono? Y ¿de un heptágono? Pentágono= 540° Heptágono= 900° Esto nos lleva a señalar otras propiedades de los polígonos: f) La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es 180(n-2). a + b + c + d + e =540° Compruébalo realizando la operación señalada en la propiedad. Suma de Ángulos interiores=180(n-2)=180(5-2)=540°

123.9°

91.5° 106.4°

95.0° 123.1°



Pg. 97 Desarrolla tu habilidad

. La estrella de David forma en su interior un hexágono regular. Calcula ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de dicho hexágono? Suma de Ángulos interiores=180(n-2)=180(6-2)=720° . Al ser regular, sus ángulos deben ser iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo interno del hexágono?

Medida de Ángulo interno= Suma de Ángulos interiores/n=720°/6=120° . Calcula y señala cuánto mide cada ángulo de los triángulos que

forman sus puntas. Al tratarse de triangulo equilátero, sus ángulos son iguales, es decir de 60°, ya que sumados obtenemos 180°.



Pg. 98 Aplica lo aprendido Utiliza tu transportador para verificar que los ángulos exteriores de un cuadrado y de un hexágono suman 360° cada uno. 90°(4 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠) = 360° 60°(6 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠) = 360° Señala cuánto mide cada ángulo exterior de la siguiente figura y cuánto suman éstos. Observa que los ángulos que se muestran son interiores. 128.9°+71.4°+94.4°+130.1°+64.8°= 404.6°

90°

60°

51.1°

128.9°

130.1°

64.8° 71.4°

108.6° 115.2°

49.9°

94.4°

85.6°



Pg. 101 Aplica lo aprendido Señala cuántas diagonales pueden salir de cada vértice de un eneágono. Verifica tu resultado trazándolas. 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒,𝐷𝑣 = 𝑛 − 3 = 9 − 3 = 6 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 Calcula el número de diagonales que se pueden trazar en un octágono y acto seguido verifica, trazándolas sobre la figura, que tu resultado es correcto.

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠,𝐷𝑛 = 𝑛(𝑛 − 3)/2 = 8(8 − 3)/2 = 20



Pg. 102 Desarrolla tu habilidad Investiga y discute con tus compañeros de equipo lo siguiente:

1. ¿Por qué la estructura de las celdas que constituyen a los panales de abejas son hexagonales? - -

La forma hexagonal es la más adecuada para rellenar todo un espacio.

-

Es la forma más efectiva de agrupar tantas celdas como sea posible en un espacio limitado, dejando el mínimo espacio vacío.

Las celdas en un inicio son cilíndricas y al tener contacto con todas las celdas vecinas se van haciendo hexagonales por la compactación de todas-

2. ¿Qué estructura poligonal forman los cristales de hielo en los copos de nieve? ¿A qué se

debe? -

-

Cuando el agua se congela las fuerzas de interacción entre moléculas de H2O ganan a las fuerzas derivadas del movimiento térmico y forman un conjunto rígido que presenta su estado más estable (de menor energía) cuando se ordenan... precisamente con simetría HEXAGONAL.

La estructura de los cristales a nivel atómico determina su forma final. La composición y la estructura a nivel atómico y molecular es la clave que determina la estructura, dureza y propiedades en general de todos los materiales que nos rodean.



Pg. 105 Aplica lo aprendido

1. Jorge realizó un papalote de forma heptagonal y lo pintó en 7 diferentes colores como se muestra en la figura:

Al realizar la medición de un ángulo central se dio cuenta de que el ángulo formado era de 60°, señala si el heptágono formado es regular y explica tu conclusión. 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟,𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖

2. Un tangram es un juego que busca desarrollar la habilidad mental mediante la construcción de figuras a partir de los polígonos que se muestran a continuación:

Irresistible

Una empresa solicitó el diseño de un tangram, sin embargo, dicho diseño no indica la medida de los ángulos. Escribe en cada vértice de cada polígono el valor de cada ángulo bajo la consideración de que todos están dentro de un cuadrado y que la línea que va de un vértice a otro es una diagonal.

60°

45° 45° 45° 90° 45° 90° 90° 90° 90° 45° 45° 45° 90° 90° 90° 135° 90° 45° 135° 45° 45° 45° 45°



Pg. 106 Muestra tu desempeño Es momento que resuelvas la situación problema, pues ya tienes los conocimientos y manifestaste las habilidades necesarias para tal fin.

El pentágono es el edificio sede del departamento de defensa de los Estados Unidos de América. En él trabajan aproximadamente 23,000 empleados militares y civiles, y cerca de 3,000 de personal de apoyo. Su estructura consta de cinco anillos concéntricos, conectados por 10 corredores y cubre un área de 136,818 m². Cada lado exterior mide 282 m de largo por 24 m de altura. En el centro de este edificio se encuentra una pequeña estructura pentagonal sobre la cual se colocará un mástil que sostendrá la bandera estadounidense. A esta zona la llamaremos zona cero.

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔: 𝑨 = 𝟏𝟑𝟔,𝟖𝟏𝟖 𝒎², 𝑳𝒂𝒅𝒐(𝑳) = 𝟐𝟖𝟐 𝒎, 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟐𝟒 𝒎, 𝒏 = 𝟓 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

1. ¿A qué distancia de la mitad de cada lado se tendría que situar?

𝐴𝑟𝑒𝑎 =(𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)(𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎)

2 ⇛ 𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 =

2(𝐴𝑟𝑒𝑎)𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑛𝐿 = 5(282) = 1410m

𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 =2(136,818𝑚2)

1410𝑚= 𝟏𝟗𝟒.𝟎𝟔𝟖𝒎

- ¿Te ayudo? Seguramente has de recordar cómo se llama la distancia que hay del

centro a la mitad de uno de los lados de un polígono, fácil de calcular ¿no crees? ¿Qué datos necesitas? ¿Se muestran en el problema?. Recuerda que el área del pentágono regular se calcula con la fórmula: Área= (Perímetro)(Apotema)/2

2. ¿Cuál sería la distancia del mástil a un vértice del anillo exterior del edificio?

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑔𝑜, 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜; 𝑎𝑠𝑖, 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟á 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚á𝑠𝑡𝑖𝑙 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜, 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎.



𝐴𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝟏𝟗𝟒.𝟎𝟔𝟖𝒎, 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 =𝐿𝑎𝑑𝑜

2=

282𝑚2

= 𝟏𝟒𝟏𝒎

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² ⇛ 𝑐 = �(194.068𝑚)2 + (141𝑚)2 = 𝟐𝟑𝟗.𝟖𝟖𝒎

- ¿Te ayudo? Seguramente es una distancia mayor que la que calculaste en la pregunta anterior ¿Verdad? Observa que ahora es con relación a un vértice. Te recomiendo acudir al teorema de Pitágoras.

3. Se va a construir un solo pasillo que va a unir a los vértices más lejanos ¿Qué longitud tendría este pasillo? 𝐸𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑦 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑙𝑙𝑜.

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⇛ 𝑐 = �(141𝑚)2 + (194.068𝑚 + 239.88𝑚)2 = 𝟒𝟓𝟔.𝟐𝟖𝒎

- ¿Tendrá que ver con una apotema o con una diagonal? Un dibujo podría ayudarte. Tal vez necesites recurrir al Teorema de Pitágoras.

4. ¿Cuánto mide el ángulo interno de cada vértice?

𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜(𝑏) = 180 �𝑛−2𝑛�=180(

5−25

) = 𝟏𝟎𝟖°

- ¿Te acuerdas que se expuso una regla? Úsala.

5. Realiza la figura del pentágono, al final señala los cálculos y trazos que realizaste.



- ¿Te ayudo? Esto sí es más difícil, intenta resolverlo, si lo logras que bien, sino investígalo, hay formas muy atractivas.

282m

141m

194.068m

456.28m 239.88m

239.88m



Pg. 108 ¿Qué tanto aprendiste?

1. Se le pidió a un herrero que realizara una ventana con una figura poligonal en el centro cuyos ángulos internos midieran 45° cada uno. ¿Qué figura tendrá que realizar?

2. En la cafetería de una escuela se encuentra una máquina que dispensa golosinas. Dicha máquina tiene la capacidad de aceptar monedas de 10 pesos como al de la imagen. Señala el tamaño mínimo que debe tener la ranura de tal manera que pueda introducirse la moneda, que mide 1.3 cm por lado y 1.35 cm de apotema, sin importar la posición de ésta.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜² = 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎² + (𝑙𝑎𝑑𝑜

2)2

𝑟 = �(1.35𝑐𝑚)2 + (. 65𝑐𝑚)2 = 1.498𝑐𝑚

𝑅𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎 = 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 + 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑅𝑎𝑛𝑢𝑟𝑎 = 1.35𝑐𝑚 + 1.498𝑐𝑚 = 2.48𝑐𝑚

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