polinomial (suku banyak)

POLINOMIAL(Suku Banyak)

Proyek Matematika

POLINOMIALOleh :

Arjuna Adhe Wijaya (05), Bagus Aji Pangestu (06), Dhea Rohmawati (08), Shafira Hany Maris (29)

- X MIA B-

PEMERINTAH KOTA PROBOLINGGO

DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 1 PROBOLINGGO

Jl. Soekarno Hatta 137 Probolinggo Telp./ Fax. (0335) 421566

Website: http://sman1-prob.sch.id e-mail: [email protected]

BAB IPendahuluan

BAB I

PENDAHULUAN

Suku banyak merupakan suatu konsep pengerjaan dalam proses

hitung berbentuk (anxn + an-1xn-1 +an-2xn-2 + … + xo ). Dalam kehidupan

sehari-hari penghitungan dalam suku banyak tidak terlalu digunakan karena

prosesnya terlalu banyak dan rumit. Dalam penerapannya, suku banyak

biasanya digunakan untuk membuat suatu alat transportasi atau yang lainnya.

Misal pada alat transportasi, suku banyak digunakan untuk menentukan

perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal

ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang

diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan

ukuran alat tersebut. Jika unsur-unsur tersebut diketahui maka pengerjaan

suatu alat transportasi tersebut bisa dipermudah selain itu tidak perlu ada

perasaan was-was dalam pembentukan maupun pengerjaannya. Sehingga

benda tersebut akan cepat selesai dengan hasil yang memuaskan.

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bidang lain suku banyak digunakan untuk menghitung suatu

tumpukan-tumpukan barang yang berbentuk sama dengan jumlah isi yang

berbeda. Dengan demikian pengguna bisa mengetahui berapa banyak barang

yang ada dalam beberapa tumpukan yang berbeda tempatnya dan jumlahnya.

Misalnya ada suatu box kecil yang hanya bisa diisi dengan 20 butir

telur. Lalu ada box sedang yang isinya 2 kalinya isi dari box kecil. Dan juga ada

box besar yang bisa diisi dengan 4 kalinya box kecil. Jika box kecil ada 3

tumpukan, box sedang ada 1 tumpukan, dan box besar ada 2 tumpukan maka

rumusnya yaitu :

f(x) = x3 + x32 + x2

f(x) = x3 + 4x2 + 2x

f(20) = 203 + 4.202 + 2.20

f(20) = 80000 + 1600 + 40

f(20) = 81640

Jadi jumlah keseluruhan jumlah telur

yang ada dari tumpukan-tumpukan

tersebut berjumlah 81640 butir telur.

BAB IIKajian Teori

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1 Pengertian Suku Banyak

Dalam matematika, polinomial atau suku banyak (juga ditulis

sukubanyak) adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan

perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Sebuah

polinomial dalam satu variabel dengan koefisien konstan memiliki bentuk

seperti berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2x

n-2 + … + a2x2 + a1x + a0

dengan :

an, an-1, an-2, …, a2, a1, a0 adalah bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0.

an adalah dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1, an-2 adalah koefisie dari xn-2,

…. , demikian seterusnya. a0 disebut suku tetap (konstanta). n adalah

bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak.

Pangkat tertinggi pada suatu polinomial menunjukkan orde atau derajat

dari polinomial tersebut.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1.1 Operasi Antar Suku Banyak

2.1.1.1 Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak

Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak f(x) dengan

sukubanyak g(x) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan suku-suku yangn sejenis dari kedua suku banyak itu.

Untuk mempermudah perhitungan, biasakanlah menyusun tiap suku

banyak dalam eksponen atau pangkat turun.

Contoh : f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x – 1

Tentukan : f (x) + g(x)

Jawab : = f (x) + g(x)

= (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1)

= 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1)

= 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1.1.2 Perkalian Suku Banyak

Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat

ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua

sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah

sukubanyak itu digunakan sifat distributif perkalian, baik distributif

perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian

terhadap pengurangan. Maka berlaku sifat :

am x an = amn

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1.2 Kesamaan Suku Banyak

Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak

g(x), jika kedua suku banyak itu mempunyai nilai yang sama untuk

variabel x bilangan real. Kesamaan dua suku banyak f(x) dan g(x) itu di

tulis sebagai

f(x) = g(x)

CONTOH : Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) +

3a.

JAWAB : Jabarkan bagian ruas kanan kesamaan

x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + 2 + 3a

x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + (2 + 3a)

Dengan menggunakan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh :

14 = 2 +3a

a = 4

Jadi, nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) + 3a adalah 4.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.2 Nilai Suku Banyak

2.2.1 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Subtitusi

Misalkan kita mempunyai sebuah fungsi f(x) = 2x2+3x-4. Untuk

menentukan nilai f untuk x = 3, kita bisa menyubtitusikan x = 3 ke dalam

fungsi di atas. Maka diperoleh :

f(x) = 2x2+3x-4

f(x) = 2(3)2+3(3) – 4

f(x) = 2(9)+9 – 4

f(x) = 2

Jadi, nilai f(x) = 2x2+3x-4 untuk x=3 adalah 23.

BAB II

KAJIAN TEORI


2.2.2 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik

Dalam menentukan nilai suku banyak dengan sintetik, harus

diurutkan suku banyak tersebut dalam pangkat turun.

Misalkan : f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x +a 0

Kita ubah f(x) menjadi f(x) = (a3x2 + a2x + a1)x +a 0

=((a3x + a2)x + a1)x +a 0

Bentuk f(x)=((a3x + a2)x + a1)x +a 0 disebut bentuk bagan. Nilai suku

banyak untuk x = k adalah f(x)=((a3x + a2)x + a1)x +a 0

Jika persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk skema atau sintetik,

tampak seperti berikut.

BAB II

KAJIAN TEORI


2.2.2 Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik

BAB II

KAJIAN TEORI

2.3 Konsep Pembagian

Hubungan antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil bagi, dan Sisa

Pembagian. Sebagai ilustrasi, misalnya bilangan 4.369 dibagi dengan 14

dapat diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti di perlihatkan

pada bagan di bawah. Dari bagan ini terlihat bahwa 4.369 dibagi dengan 14

memberikan hasil bagi 312 dengan sisa pembgian 1.

4.369 = 14 x 312 + 1

↑ ↑ ↑ ↑

Yang dibagi Pembagi hasil bagi sisa

pembagian

f(x) = p(x) x H(x) + sisa

BAB II

KAJIAN TEORI

2.3 Konsep Pembagian

2.3.1 Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk Linear

Cara yang akan digunakan untuk membagi suku banyak dengan

pembagi berbentuk linear di kenal sebagai Metode Horner. Ada 2

macam pembagi berbentuk linear yang akan dibicarakan disini, yaitu

pembagi berbentuk (x – k) dan (ax + b).

2.3.1.1 Pembagian Suku banyak dengan (x – k)

Persamaan yang menghubungkan suku banyak yang dibagi f(x)

dengan suku banyak pembagi (x – k), suku banyak hasil bagi H(x),

dan sisa pembagian S adalah

f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S

BAB II

KAJIAN TEORI

2.3.1.1 Pembagian Suku banyak dengan (x – k)

Menentukan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S pada

pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) dengan menggunakan

bantuan bagan atau skema dikenal sebagai metode pembagian

sintetik atau metode horner.

2.3.1.2 Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)

Misalkan k adalah bilangan rasional yang ditentukan oleh k = - ,

sehingga bentuk x – k menjadi x – (- ) = x + . Jika suku banyak f(x)

dibagi dengan x + memberikan hasilnya H(x) dan sisa pembagian S,

maka diperoleh hubungan.

f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S

BAB II

KAJIAN TEORI

2.3.1.2 Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b)

Berdasarkan persamaan tersebut terlihat bahwa hasil bagi H(x)

dan sisa S dapat ditentukan dengan metode pembagian sintetik atau

metode horner, hanya saja nilai k harus diganti dengan.

f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S

f(x) = (ax + b) ∙ H(x) + S

f(x) = (ax + b) ∙ + S

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa suku banyak f(x) dibagi

dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S.

Koefisien-koefisien dari H(x) dan sisa S dapat ditentukan dengan

metode pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k

harus diganti dengan k = .

BAB II

KAJIAN TEORI

2.3.2 Pembagian Suku Banyak dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat

Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c (a ≠ 0 dan

bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan atau yang tidak dapat

difaktorkan), maka hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak itu

dapat ditentukan dengan metode pembagian bersusun pendek yang

pernah dipelajar sebelumnya.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4 Teorema Sisa

Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x)

dengan sisa pembagian S(x). Persamaan yang menyatakan hubungan

antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah:

f(x) = P(x) ∙ H(x) + S(x)dengan keterangan :

f(x) sebagai suku banyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.

P(x) sebagai suku banyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan

m≤ n.

H(x) sebagai suku banyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat suku

banyak yang di bagi dikurangi dengan derajat suku banyak pembagi.

S(x) sebagai suku banyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi atau

maksimum (m – 1) yaitu berderajat maksimum satu kurangnya dari

derajat suku bayak pembagi.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4 Teorema Sisa

2.4.1 Pembagi Berbentuk (x – k)

Jika suku banyak pembagi P(x) = (x – k), maka persamaan

sebelumnya dapat ditulis menjadi

f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S

Persamaan ini berlaku untuk semua bilangan real x. Karena suku

banyak pembagi P(x) = (x – k) berderajat satu, maka sisa pembagian S

maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x.

Sisa pembagian S di tentukan dengan menggunakan teorema berikut.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4.1 Pembagi Berbentuk (x – k)

Teorema 1

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka

sisanya ditentukan oleh :

S = f(k)

Teorema tersebut dikenal sebagai teorema sisa atau Dalil sisa

Bukti Teorema 1

Perhatikan kembali persamaan, f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S. Karena

persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan

menyulihkan atau substitusi x = k ke dalam persamaan itu, diperoleh

:

f(k) = (k – k) ∙ H(k) + S = 0 ∙ H(k) + S = 0 + S

S = f(k)

Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f(k).

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4.2 Pembagi Berbentuk (ax + b)

Dalam pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa

pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan

sisa pembagian S. Pernyataan ini dituliskan dalam persamaan berikut.

f(x) = (ax + b) ∙ + S

Persamaan diatas berlaku untuk semua bilangan real x.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4.2 Pembagi Berbentuk (ax + b)

Teorema 2

Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka

sisanya ditentukan oleh

S = f(- )

Bukti Teorema 2

Perhatikan kembali persamaan : f(x) = (ax + b) ∙ + S. Persamaan

ini berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan substitusi nilai

x = ke persamaan di atas dan akan diperoleh:

↔f( - ) = {a (- ) + b} ∙ { } + S = {- b + b} ∙ { } + S

↔ f( - ) = 0 ∙ { } + S = 0 + S

↔ S = f( - )

Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian S = f( - ).

BAB II

KAJIAN TEORI

2.4.3 Pembagi Berbentuk (x – a)(x – b)

Menurut alogaritma pembagian suku banyak dengan pembagi (x –

a)(x – b) maka f(x) dapat dituliskan sebagai berikut.

f(x) = (x – a)(x – b) .H(x) + S(x)

dengan S(x) = px + q, p dan q merupakan koefisien sisa pembagi.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.5 Teorema Faktor

Teorema Faktor di sini merupakan teorema 4 yang dibahas dalam

Laporan Matematika Polinomial tersebut.

Teorema 4

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari

f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.

Teorema tersebut dikenal sebagai teorema faktor. Dalam teorema

faktor memuat kata hubung jika dan hanya jika. Sehingga sebuah

teorema faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.

Jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan

Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x).

BAB II

KAJIAN TEORI

2.5 Teorema Faktor

Bukti Teorema 4

Misalkan (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan

sebagai f(x) = (x – k) ∙ H(x) dengan H(x) adalah suku banyak hasil bagi

dengan bentuk tertentu.

Substitusi nilai x = ke dalam persamaan f(x) = (x – k) ∙ H(x), sehingga

diperoleh:

↔ f(k) = (k – k) ∙ H(k)

↔ f(k) = 0 ∙ H(k)

↔ f(k) = 0

Jadi, jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.6 Akar – Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak

Misalkan f(x) adalah suku banyak, (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika

dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) = 0 jika dan hanya jika k adalah akar

persamaan f(x) = 0. Dengan menggunakan kaidah silogisme pada dua

pernyataan tersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak. (x – k ) adalah faktor dari f(x)

jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. k disebut akar atau nilai nol

dari persamaan suku banyak f(x) = 0.

BAB II

KAJIAN TEORI


Misalnya :

Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x3 – 7x – 6

= 0 adalah 3. Kemudian tentukan akar- akar yang lain.

Jawab :

Misalkan f(x) = x3 – 7x – 6. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar

dari f(x) = 0, cukup dperlihatkan bahwa f(3) = 0. Karena f(3) = 0, maka 3

adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x – 6 = 0.

BAB II

KAJIAN TEORI


Untuk menentukan akar-akar yang lain, dicari terlebih dahulu hasil

bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x – 3. Hasil bagi itu ditentukan dengan

metode pembagian sintetik sebagai berikut

Hasil baginya adalah H(x) =

x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).

Jadi, akar-akar yang lainnya

adalah x = -1 dan x = -2.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.7 Sifat Akar – Akar Suku Banyak

2.7.1 Pada Persamaan Berderajat 3

ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan

sifat :

Jumlah 1 akar : x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar : x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar : x1.x2.x3 = – d/a

2.7.2 Pada persamaan berderajat 4:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4dengan sifat :

Jumlah 1 akar : x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar : x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar : x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar : x1.x2.x3.x4 = e/a

BAB IIIPembahasan

Contoh Permasalahan Suku Banyak dan Penyelesaiannya

1. Polinom 2x4 – 7x3 + 8x – 12 dapat

dinyatakan sebagai?


1. Polinom dituliskan secara lengkap dengan

menambahkan variable x berpangkat

berurutan tertentu yang memiliki koefisien 0,

sehingga tidak berpengaruh pada hasil akhir

suku banyak. polinom memiliki variable

berpangkat yang terurut, dari yang paling

tinggi ke yang paling rendah. Polinom 2x4 – 7x3

+ 8x – 12 tidak memiliki variable x2, sehingga

eksponen tidak terurut. Oleh karena itu,

tambahkan 0x2 setelah 7x3 untuk

mengurutkan eksponen, sehingga menjadi x4

– 0x2 7x3 + 8x – 12.


2. Carilah sisa pembagian dari (4x3 + 2x2 – 4x +

6) : (x – 3) tanpa melakukan pembagian

terlebih dahulu!


2. Suku banyak P(x) = (4x3 + 2x2 – 4x + 6) dibagi

dengan (x – 3) sisanya adalah S = P = P (3).

Jadi, dengan mensubtitusikan x = 3 ke dalam

fungsi P(x), diperoleh, P(3) = (4(3)3 + 2(3)2 –

4(3) + 6) = 120. Dengan demikian, sisa

pembagiannya adalah 120.


3. Suku banyak f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – px +10,

untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Tentukan nilai p!


3.

f(2) = 38

f(2) = 42 – 2p

38 = 42 – 2p

2p = 4

p = 2, sehingga nilai p adalah 2.


4. Jika merupakan akar-akar persamaan 2x3

+ x2 – 13x + a = 0, tentukan nilai a!


4.

Jadi, nilai a adalah 6.


5. Tentukanlah nilai p agar pembagian (6x2 +

7x – 5) : (px – 1) menghasilkan sisa pembagian

yang bernilai 0!


5. Suku banyak P(x) = (6x2 + 7x – 5) dibagi

dengan (px – 1), sisanya adalah s = p .

Jadi, dengan mensubtitusikan x = ke dalam

fungsi P(x), diperoleh : click it!

Terima

KasihOleh :

Arjuna Adhe Wijaya (05), Bagus Aji Pangestu (06),

Dhea Rohmawati (08), Shafira Hany Maris (29)

- X MIA B-

DAFTAR PUSTAKA

⊸http://id.wikipedia.org/wiki/Polinomial diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.00

⊸Wahyudi Soegeng dalam

http://educationshare4.blogspot.com/2013/06/polinomial-suku-banyak_4.html

diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.10

⊸Alam Akbar dalam

http://akbarpelatnas11.blogspot.com/ diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul

19.25

⊸Utama Ardian Sandra dalam

http://ardiangood.blogspot.com/2011/01/penerapan-suku-banyak-polinom-

dalam.html diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 19.45

⊸Faris Irfan dalam

http://4soalmatematika.blogspot.com/2013/06/soal-suku-banyak-dengan-

pembahasan.html diunduh tanggal 16 Mei 2015, pukul 20.11

polinomial (suku banyak)

Education