polinomio de federico villareal

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polinomio

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Digno eres tu,oh Jehov,nuestro Dios mismo, de recibir la

gloria y la honra y el poder, porque t creastes todas las

cosas, y a causa de tu voluntad existieron y fueron creadas

Revelacin (apocalipsis) 4:11

Hace mucho tiempo leyendo un texto de historia del Per de Gustavo Pons Muzzo en el capitulo X IV :Las Ciencias en la Epoca Republicana encontr un personaje llamado Federico Villarreal V. (1850-1923) y segn su biografa se trat de un reconocido matemtico de finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX que descubri en 1873 un novedoso mtodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera en ese instante me entr una curiosidad por saber en que consista ese mtodo.

Pasaron los aos y en el mes de enero de este ao (2002) me enter por medio de una conversacin informal con mi amigo el futuro ilustre matemtico huaralino Edward W.Morales que l haba encontrado en al biblioteca de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos el trabajo original de Villarreal relativo a dicho mtodo y fue l mismo quin me proporcion esa valiosa informacin que le he dado forma y lo plasmo en este trabajo, ahora bien espero sinceramente, que el contenido de este trabajo sea de tu completo agrado.

Julio A. Miranda Ubaldo

En 1873, encontrndose en su pueblo natal Tcume del departamento de Lambayeque (Per), Federico Villarreal V. (1850-1923) descubre un mtodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este hecho provoc que otro matemtico peruano Cristbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a profundidad este descubrimiento y bautizase el desarrollo de la potencia del polinomio como el Polinomio de Villarreal. El historiador peruano Jorge Basadre en su Historia de la Repblica del Per (Tomo X, pag.28) dice: Es tan perfecto que aun para el caso de un binomio resulta fcil y seguro y rpido que el mtodo del binomio de Newton.

En su tesis de 1879 para optar el grado de bachiller en ciencias matemticas titulado:Frmulas y mtodos que deben completarse en matemticas puras Villarreal inserta su mtodo pasando desapercibido - segn l por el estado de las matemticas en el Per. Este novedoso mtodo Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo de 1886 en la revista La Gaceta Cientfica (2do tomo) pero como siempre sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida importancia a su trabajo.

En 1919 Vilarreal nuevamente publica su mtodo esta vez en la Revista de Ciencias bajo el ttulo de:

Elevacin de polinomios a una potencia cualquiera que es justamente el ttulo de este trabajo.

Veamos................................

Consideremos el siguiente polinomio completo y ordenado dependiente de x y de grado m:

y elevmoslo a la n-sima potencia, es de esperarse que el resultado sea otro polinomio completo y ordenado dependiente de x y de grado mn:

en resumidas cuentas:

donde y

procedamos a obtener los coeficientes :, ,......,,,y usando el mtodo de Leibnitz (mtodo de los coeficientes indeterminados).

Hagamos:

EMBED Equation.3 .....(2) y

EMBED Equation.3 ......(3)

entonces la ecuacin (1) podemos escribirla de la siguiente manera:

.....(4)

tomando derivadas a la ecuacin (4):

.....(5)

y multiplicndola por :

......(6)

pero de (4) la ecuacin (6) tambin puede escribirse como:

.....(7)

De acuerdo a la ecuacin (7) es necesario que derivemos y entonces de (2) y (3)

respectivamente:

EMBED Equation.3 .....(8)

EMBED Equation.3 .....(9)

vayamos por partes efectuando primeramente para esto multipliquemos (3) y (8), que por comodidad vamos a iniciarlo desde los primeros trminos de y , luego a este resultado le multiplicamos entonces tendremos:

Luego:

EMBED Equation.3 .....(10)

Anlogamente efectuemos siguiendo las mismas indicaciones que la multiplicacin anterior obtenindose:

Luego:

EMBED Equation.3 ......(11)

De la ecuacin (7) : (10) y (11) son iguales, ahora bien de acuerdo al mtodo de los coeficientes indeterminados para que esta igualdad se verifique cualquiera que sea el valor de x es necesario que en ambos miembros los coeficientes sean idnticos y de una misma potencia de x, entonces por comparacin:

despejando :

....(12)

despejando:

....(13)

despejando :

....(14)

despejando:

: .....(15)

y as sucesivamente:

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

.....(16)

despejando :

.......(16)

y continua..................pero nosotros hasta aqu nos quedamos.

Las expresiones (12) , (13), (14), (15) y (16) son los coeficientes del polinomio y por induccin matemtica lo podemos escribir de manera ms general as:

.....(17)

siendo: y

Esta Frmula nos permite calcular con mucha facilidad los coeficientes del polinomioa quin se le denomina, con justa razn: El Polinomio de Villarreal y a la frmula (17):Frmula de recurrencia de Villarreal.Ejemplo: Desarrollar

Solucin:

El polinomio esta completo y ordenado respecto a luego por comparacin con la expresin (1 ): ; ;

; ; ; y

procedamos a obtener los coeficientes teniendo en cuenta que: y

Usando la frmula de los coeficientes de Villarreal (17) para cada valor de .

Para :

Para

Para

Para

Para

ntese que:

Para

Al igual que en caso anterior

Para

Aqu:

Para

Aqu

.........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

y as sucesivamente siguiendo este mismo procedimiento que es bastante simple y repetitivo obtendremos los dems coeficientes:

:

Por tanto los trminos del polinomio sern:

.

Finalmente el desarrollo de la potencia del polinomio ser:

=

Este ejemplo aparece en el trabajo original de Villarreal que estamos desarrollando.

Buen provecho Seores...............................

Huaral, 25 de junio de 2002

Julio A. Miranda Ubaldo

Edward Morales Chero

jmiub@hotmail.com Walm0222.hotmail.com EMBED PBrush

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