TUTORIAL

Polinomios de Taylor

Luiz Claudemir Garcia Junior

RA: 094087

1

Sumario

1 INTRODUCAO 3

2 O MATHEMATICA 4

3 COMANDOS GERAIS 5

3.1 Definindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Comandos Mathematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 POLINOMIOS DE TAYLOR 9

4.1 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Exercıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 TESTE DA SEGUNDA DERIVADA 15

5.1 Exercıcio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

1 INTRODUCAO

Ao ingressar em um curso de ciencias-exatas, o universitario se depara com o tao temido

Calculo! Para muitos, que acabaram de sair de cursinhos e colegios, onde as informacoes

sao tidas rapida e facilmente em ”pacotes”, a vida academica da universidade pode parecer

impossıvel de se levar com dias de apenas 24 horas. Porem, tambem se deparam com o

mundo mais amplo e intrinsecamente belo que somente o Calculo pode proporcionar, alem de

inumeras ferramentas que serao usadas para facilitar sua vida profissional, como calculadoras

graficas, equipamentos modernos e principalmente softwares com as mais variadas funcoes.

Este tutorial tem como finalidade ensinar aos ingressantes deste maravilhoso mundo

da faculdade a operar um dos mais importantes softwares empregados por matematicos,

fısicos e engenheiros: o Mathematica! Em vista disso, decidi que seria interessantes aos

alunos que anseiam em aprender Calculo o mais depressa posıvel uma explicacao sobre os

Polinomios de Taylor, materia dos cursos exatoides que tem a grande capacidade de confundir

profundamente quem procura aprende-la. Buscarei explicar sucintamente o que sao, para

que servem e como operar os Polinomios de Taylor no Mathematica.

3

2 O MATHEMATICA

Stephen Wolfram (nascido em 29 de agosto de 1959 em Londres) e um fısico britanico,

matematico, autor e empresario, conhecido por seu trabalho teorico em fısica de partıculas,

cosmologia, automatos celulares, complexidade, teoria e algebra computacional. Uma das

caracterısticas principais de Stephen Wolfram e o antiacademicismo: e um cientista nada

ortodoxo. Apos um inicio de carreira impressionante– publicou o primeiro artigo aos 15 anos

e terminou o doutorado no Caltech aos 20–, largou a universidade rumo a iniciativa privada.

Por um motivo nobre: ficou milionario depois de criar um software ,o Mathematica, em 1988.

O Mathematica, vale dizer, e considerado por matematicos e engenheiros um dos princi-

pais softwares de calculo disponıveis. Com uma linguagem simbolica, e nao apenas numerica,

o programa realiza calculos e elabora graficos:

”o Mathematica tornou trataveis muitos problemas considerados quase impossıveis de

resolver”, avalia o matematico Roberto de Oliveira,doutorando da Universidade de Nova

York.Segundo David Reiss, diretor de comunicacao da Wolfram Research– empresa criada

para administrar o Mathematica–, cerca de dois milhoes de pessoas usam o software em todo

o mundo. O programa, inicialmente um engenho limitado de calculo integral e diferencial

contınuo, esta na versao sete e faz, automaticamente, o que muita gente pensou que seria

impossıvel realizar sem um cerebro humano por tras.

Alem de calculo contınuo e discreto, mathematica pode ser usado para modelagem, sim-

ulacao, processamento e visualizacao de imagens e mais um monte de coisas que deixaram

Newton e Leibniz, inventores do calculo, verdadeiramente impressionados.

4

3 COMANDOS GERAIS

3.1 Definindo

E importante definirmos as formas como serao escritas, afim de aprendizagem, os muitos

comandos e funcoes do Mathematica, de forma que o aluno possa difrenciar os nomes apre-

sentados.

- Em Negrito empregarei os comandos do software para serem escritos tais como estarao

apresentados. Por exemplo:

Plot[]

3.2 Comandos Mathematicos

Para executarmos comandos no Mathematica, precisamos saber algumas regras basicas para

que o programa os aceite. Estas sao muitas, porem aqui temos o interesse de aprender as

necessarias para entender o tutorial, assim como os Polinomios de Taylor.

Para escrevermos qualquer comando, clicamos abaixo de tudo o que ja foi escrito na

”pagina”. Apos a incersao do que se deseja calcular, sempre entre colchetes, deve-se clicar,

ao mesmo tempo, Shift +Enter ou apenas Enter no teclado numerico. Dessa forma o pro-

grama entendera o comando e lhe dara a designacao de ln[a] e a resposta Out[a], sendo a o

numero de comando que ja foram aplicados. Por exemplo:

In[1]:= Simplify@81 � 45D

Out[1]=9

5

Deve ser lembrado, aqui, que a adicao de ; (ponto-e-vırgula), apos o emprego de um

comando, faz com que o programa apenas ”aceite”o comando, mas nao o calcule ou o repita.

A ”barra”na divisao executada, pode ser substituıda por uma fracao. Usando as teclas

Ctrl+ / produzimos a fracao e entao podemos digitas os numeros nos locais marcados. Por

exemplo:

Ctrl + / =□

□=

81

□=

81

45+ Shift + Enter=

9

5

Porem, e importante lembrarmos que todas as funcoes basicas de calculo podem ser

encontradas em uma unica janela chamada BasicMathImput, encontrada em Palettes na

barra de ferramentas acima da janela do Mathematica.

5

Todos os comandos do programa apenas sao aceitos se colocados com a primeira letra

maiuscula. Essa informacao tambem cabe a comando que sao ”compostos”de um ou mais

comandos, como, por exemplo o ParametricPlot3D, nos quais a letra de todas as palavras

que formam o comando devem ser maiuscula tambem. Uma ferramenta muito usada durante

os calculos e o sımbolo deIn[2]:= Integrate@%, xD

Out[2]=9 x

5

(observe que foi necessario colocarmos uma incognita x pra que o programa integre em

funcao de x)

Os comandos para produzirmos uma integral definida no Mathematica sao:

Esc int Esc, Ctrl +- (para o limite inferior), Ctrl +5 (para o limite superior), Ctrl +espaco

(para fugir dos limites), digitamos a funcao a ser integrada, Esc dd Esc e entao a incognita

de integracao. Isso tudo ficaria, por exemplo, assim:

∫ b

a

[f (x)] dx

Muitas vezes, apos escrevermos algum comando o programa ainda pede para que defi-

namos a incognita (como o caso acima) ou os limites em que desejamos que essa incognita

varie. Isso deve ser feito antes de fecharmos o colchete e,portanto, deve ser colocada en-

tre chaves,junto com seus limites, tudo separado por vırgulas. Por exemplo se queisermos

desenhar a funcao Seno de x com x variando de 0 a 2�:In[4]:= Plot@Sin@xD, 8x, 0, 2 Π<D

Out[4]=1 2 3 4 5 6

-1.0

-0.5

0.5

1.0

6

(observe que seno e escrito Sin e x deve ser colocado entre colchetes, como em toda funcao

trigonometrica)

A variavel tambem deve ser identifica quando vamos definir uma funcao. Neste caso,

escrevermos a incognita, deve vir um (under-line) apos esta. Por exemplo:In[6]:= F@x_, y_D = x2 + y2;

In[7]:= Plot3D@F@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

Out[7]=

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

2

4

6

8

Um comando muito interessante para visualiarmos interseccoes ou maximos e mınimos

e o Show[], que nos da superfıcies juntas em um mesmo quadro. Para isso, precisamos dar

uma identificacao a cada um dos graficos que iremos plotar e depois umsarmos o comando,

por exemplo:In[11]:= a = F@x_, y_D = -Ix2 + y2M;In[12]:= Plot3D@F@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

Out[12]=

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-8

-6

-4

-2

0

Um comando muito interessante para visualiarmos interseccoes ou maximos e mınimos

7

e o Show[], que nos da superfıcies juntas em um mesmo quadro. Para isso, precisamos dar

uma identificacao a cada um dos graficos que iremos plotar e depois umsarmos o comando,

por exemplo:In[6]:= F@x_, y_D = x2 + y2;

In[5]:= a = Plot3D@F@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D

Out[5]=

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-8

-6

-4

-2

0

In[6]:= b = Plot3D@2, 8x, 1 � 2, 3 � 2<, 8y, -1 � 2, 1 � 2<D

Out[6]=

0.5

1.0

1.5-0.5

0.0

0.5

0

1

2

3

4

In[7]:= Show@a, bD

-2

-1

01

2

-2

-1

01

2

-8

-6

-4

-2

0

8

4 POLINOMIOS DE TAYLOR

Podemos provar a formula dos polinomios de Taylor para funcoes de uma variavel facil-

mente pelo teorema fundamental do calculo e pelo teorema do valor medio combinados. A

partir disso, podemos adapta-la para o calculo com mais de uma variavel de forma analoga.

Primeiramente e importante rotularmos os teoremas citados:

4.1 Teorema Fundamental do Calculo

Sendo f”(x) uma funcao contınua no intervalo [a,b] com c compreendido entre a e b, sabemos

que:

∫ b

a

[g(x)]dx = g(c).(b− a)

Podemos, entao, provar os Polinomios de Taylor partindo da funcao f”(x) contınua:

Se∫ t1

Xo[f”(t)] dt - pelo teorema fundamental do calculo - f ′(t1)− f ′(Xo)

Assim, podemos dizer que:

1.∫ X

Xo

(∫ t1

Xo

[f”(t)] dt

)

dt1 =

∫ X

Xo

[f ′(t1)− f ′(Xo)]dt1

O segundo termo da igualdade sera dividido em dois termos e ambos integrados segundo

o teorema fundamental do calculo:

→∫ X

Xo

[f ′(t1)] dt1 = f(X)− f(Xo)

→∫ X

Xo

[f ′(Xo)] dt1 =

(sendo f ′(Xo) um constante neste caso) = f ′(Xo).(X − Xo)

Portanto, voltando em 1.:∫ X

Xo

(

∫ t1

Xo[f”(t)] dt

)

dt1 = f(X)− f(Xo)− f ′(Xo).(X − Xo)

Isolando f(X) :

2.

f(X) = f(Xo) + f ′(Xo).(X − Xo) +

∫ X

Xo

(∫ t1

Xo

[f”(t)] dt

)

dt1

Pelo teorema do valor medio, podemos dizer que

∫ t1

Xo

[f”(t)] dt = f”(t1).(t1− Xo)

Assim, a expressao toda ficaria:

9

∫ X

Xo

(∫ t1

Xo

[f”(t)] dt

)

dt1 =

∫ X

Xo

[f”(Xo).(t1− Xo)] dt1 =

[

1

2f”(Xo).(t1− Xo)2

]X

Xo

=

=

[

1

2f”(Xo).(t1− Xo)2

]X

Xo

=1

2f”(Xo).(X − Xo)2 − 1

2f”(Xo).(Xo− Xo)2

Assim, voltando em 2.:

f(X) = f(Xo) + f ′(Xo).(X − Xo) +1

2f”(Xo).(X − Xo)2

Que representa a prova dos Polinomios de Taylor para ate o segundo termo, da derivada

segunda, que foi por onde comecamos a prova. Porem, e importante lembrarmos que os

polinomios podem ser infinitos, tudo dependendo de ate que termo queremos deixar o ”erro”.

O ”erro”nos Polinomios de Taylor e o ultimo termo da sequencia que calculamos. Por

exemplo, se o exercıcio pede o polinomio de determinada funcao ate a terceira casa decimal,

produzimos este ate o termo da terceira ”expansao”(o termo da derivada terceira), que sera

o ”erro”, ou o algarismo duvidoso.

Tambem e importante o fato de o denominador que aparece desde o segundo termo nos

polinomios estar na forma fatorial,seguindo a ordem do termo em que se apresenta, ficando

a funcao do polinomio, em termos genericos, da seguinte forma:

f(X) = f(Xo)+f ′(Xo).(X−Xo)+f”(Xo)

2!.(X−Xo)2+

f”’(Xo)

3!.(X−Xo)3+.......+

f ′(Xo)

n!(Xo).(X−Xo)n

sendo n igual ao numero de termo em que se apresenta.

* Por exemplo o exercıcio:

Calcular sen(0, 1) com 3 decimais: Solucao: devemos avaliar ate o termo da terceira

expansao,ou seja, como erro (R3). Usamos Xo = 0 e X = Xo + 0, 1, justamente para o que

termo (Xo-X) seja igual ao valor 0,1 que se deseja calcular.

Com isso, desenvolvendo o plonomio de acordo com a formula,obtemos a avaliacao de

(R3):

∣R3∣ ≤(0, 1)3

3!=

10−3

6

Este erro nos coloca dentro do grau de aproximacao desejado, ou seja, com um erro que

nao excede +/

−(

10−4

6

)

10

De forma analoga, prova-se os Polinomios de Taylor para funcoes de mais de uma variavel,

que ficaria da forma (para ate o segundo termo):Hx, Y, ZL = f HXo, Yo, ZoL + f' HXo, Yo, ZoL.HX - Xo, Y - Yo, Z - ZoL +

1

2!

f'' HXo, Yo, ZoL.HX - Xo, Y - Yo, Z - ZoL2 +1

3!

f''' HXo, Yo, ZoL.HX - Xo, Y - Yo, Z - ZoL3 + ....

... ... +1

n! fn HXo, Yo, ZoL.HX - Xo, Y - Yo, Z - ZoLn

Para produzirmos o Polinomio no Mathematica, o comando ultilizado chama-se Se-

ries,e,para isso precisamos definir tambem os limites da (s) variavel (is) em questao,que

sera os limites dos proprios termos do polinomio, ou seja,de um termo ao outro.

Por exemplo a funcao Sen[t]:

Nesta funcao, notaremos que os termos pares nao aparecerao. Isso se deve pois, ao

calcularmos um polinomio de Taylor, devemos definir o X e o Xo.

Neste caso, temos X = t e Xo = 0, que resultaria no seguinte polinomio:

Sen[t] = Sen(0)+Cos(0).(t−0)+1

2!(−Sen(0)).(t−0)2+

1

3!(−Cos(0)).(t−0)3+

1

4!(Sen(0)).(t−0)4......

Sabendo que Sen (0) = 0, veremos no Mathematica, atravem do comando apresentado,

como ficaria essa funcao:

In[18]:= Series@Sin@tD, 8t, 0, 7<D

Out[18]= t -t3

6+

t5

120-

t7

5040+ O@tD8

Nota-se, tambem, a presenca do termo de numero 8 (que seria da oitava derivada), porem,

como querıamos que o polinomio fosse somente ate o setimo termo, o programa considerou

o oitavo como o ”erro”.

Na maioria dos casos, costuma-se tomar Xo = 0, pois facilita nas contas. Porem, ha

casos em que isso nao deve acontecer, como nas funcoes logarıtmicas, onde Xo deve ser igual

a 1. Se, em uma funcao logarıtmica, Xo = 0, apareceria para resolvermos Log[0], que nao

tem resultado. Porem, ao considerarmos Xo = 1, apareceria Log[1] para resolvermos, que

tem resultado igual a 0, pois qualquer coisa elevada a 0 e igual a 1. Por exemplo:

* Calcular log (1,1) com tres decimais.

Solucao: Para fazer isso, consideramos Xo=1 e X=0,1. Devemos, entao,calcular log

(1+0,1). Achamos que:

∣R3∣ ≤10−3

3

11

logo,

log(1, 1) = 0, 1− 0, 005

com um erro que nao supera 10−3

3

As funcoes geradas pelo polinomios de taylor sao funcoes que se aproximam cada vez

mais da funcao verdadeira, em um certo intervalo, quanto menor for o seu ”erro”. Para

evidenciar essa aproximacao cada vez maior, desenhamos o grafico de cada termo da serie

de Taylor como a seguir:

In[20]:= F1@t_D = t;

In[21]:= F2@t_D = F1@tD -t3

3!;

In[22]:= F3@t_D = F2@tD +t5

5!;

In[23]:= Plot@8Sin@tD, F1@tD, F2@tD, F3@tD<, 8t, -Π, Π<D

Out[23]=-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Em um grafico generico do efeio de todas as funcoes de Taylor juntas em uma curva so,

podemos ver com maior clareza a aproximacao da funcao real:

12

In[24]:= PlotB:Sin@tD, t -t3

6+

t5

120-

t7

5040>, 8t, -2 Π, 2 Π<F

Out[24]=-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

4.2 Exercıcios Resolvidos

1. Calcular sen (�6+ 0, 2

)

, com erro inferior a 10−4.

Solucao: neste caso, tomamosX = �/6+0, 2 e Xo = �6. Produziremos, entao, o polinomio

ate a quarta expansao, com erro R4.

Pela formula dos polinomios, temos que:

sen(X+Xo) = sen(Xo)+cos(Xo).(X−Xo)− sen(Xo).(X − Xo)2

2!−cos(Xo).

(X − Xo)3

3!+R4

sen(�

6+ 0, 2

)

= sen(�/6) + cos(�/6).(0, 2)− sen(�/6).(0, 2)2

2!− cos(�/6).

(0, 2)3

3!+R4

sen(�

6+ 0, 2

)

=1

2+

√3

2.(0, 2)− 1

2

(0, 2)2

2−

√3

2

(0, 2)3

6+R4

Para R4, temos a avalicao:

∣R4∣ ≤(0, 2)4

4!=

16.10−4

24≤ 10−4,

que esta dentro da aproximacao desejada.

2. Achar o limite

Limx→0

[

−x+ senx+ x3

6

x4

]

13

Solucao: para ∣x∣ ≤ 1, temos:

sen(x)− x+x3

3!= R5(x) e ∣R5(x)∣ ≤

∣x∣5!

logo,

∣

∣

∣

∣

sen(x)− x+ x3/ 3!

x4

∣

∣

∣

∣

≤ ∣R5(x)∣∣x4∣ ≤ ∣x∣

5!

O limite desejado e, entao, igual a 0.

14

5 TESTE DA SEGUNDA DERIVADA

Uma ultilizacao mais abrangente dos Polinomios de Taylor e na hora de fazer o teste

da segunda derivada. Tal teste implica em descobrirmos , pontos de maximo , mınimo ou

pontos de Sela de funcoes de mais de duas variaveis. A prova deste teste , porem , devemos

deixar para o calculo avancado!

O teste ultiliza, para a mesma funcao que se deseja avaliar:

* A segunda derivada parcial em funcao do X - Dxx = A

* A segunda derivada parcial em funcao do Y - Dyy = B

* A derivada parcial em funcao de X e de Y - Dxy = C

Atraves das deducoes relacionadas aos polinomios de Taylor, chegamos na equacao do

descriminante:

Δ = A.B − C2

Dessa forma, temos as hipoteses:

-Se Δ < 0 - teremos um ponto de sela.

-Se Δ > 0 - teremos um ponto de maximo se Dx (primeira derivada parcial de X)< 0

-Se Δ > 0 - teremos um ponto de mınimo se Dx (primeira derivda parcial de X)> 0

Por exemplo na funcao f [x , y ] = (x2 − 2y2) e1−x2−y2 podemos identificar 2 pontos de

maximo,2 de mınimo e um ponto de sela, pois, fazendo as derivadas pelo mathematica:In[32]:= D@f@x, yD, xD

Out[32]= 2 ã1-x2-y2 x - 2 ã1-x

2-y2 x Ix2 - 2 y2M

(ou seja, a deriva da funcao f[x,y] em relacao a x)

In[34]:= D@f@x, yD, yD

Out[34]= -4 ã1-x2-y2 y - 2 ã1-x

2-y2 y Ix2 - 2 y2M

(ou seja, a deriva da funcao f[x,y] em relacao a y)

In[35]:= D@D@f@x, yD, xD, xD

Out[35]= 2 ã1-x2-y2- 8 ã1-x

2-y2 x2 - 2 ã1-x

2-y2 Ix2 - 2 y2M + 4 ã1-x

2-y2 x2 Ix2 - 2 y2M

(ou seja, a derivada da derivada (derivada segunda) da funcao f[x,y] em relacao a x (A))

In[36]:= D@D@f@x, yD, yD, yD

Out[36]= -4 ã1-x2-y2+ 16 ã1-x

2-y2 y2 - 2 ã1-x

2-y2 Ix2 - 2 y2M + 4 ã1-x

2-y2 y2 Ix2 - 2 y2M

(ou seja, a derivada da derivada (derivada segunda) da funcao f[x,y] em relacao a y (B))

15

In[37]:= D@D@f@x, yD, xD, yD

Out[37]= 4 ã1-x2-y2 x y + 4 ã1-x

2-y2 x y Ix2 - 2 y2M

(ou seja, a derivada em relacao a y da derivada em relacao a x da funcao f[x,y] (C))

Resolvendo A e B iguais a zero, encontramos os pontos crıticos:

P1(0, 1);P2(0,−1);P3(0, 0);P4(−1, 0);P5(1, 0)

Calculando o discriminante e a equacao A nos pontos obtidos, temos que:

Δ(−1, 0) > 0 ; A(−1, 0) > 0

(ponto de mınimo)

Δ(1, 0) > 0 ; A(1, 0) > 0

(ponto de mınimo)

Δ(0, 1) > 0 ; A(0, 1) < 0

(ponto de maximo)

Δ(0,−1) > 0 ; A(0,−1) < 0

(ponto de maximo)

Δ(0, 0) = 0

(o teste falha)

Isso pode ser visualizado no grafico da funcao:

16

In[38]:= Plot3DBf@x, yD, :x,-5

2,5

2>, :y,

-5

2,5

2>F

Out[38]=

-2

0

2

-2

0

2

-2

-1

0

1

5.1 Exercıcio Resolvido

1. Determine e classifique os pontos crıticos de f [x , y ] = 3x− x3 − 3xy2

Solucao: Esta funcao e um polinomio, e assim suas derivadas parciais existem e sao

contınuas em qualquer ponto. Igualando a zero suas derivadas parciais primeiras (para

localizar os pontos crıticos de f), obtem-se

fx(x, y) = 3− 3x2 − 3y2 = 0, fy(x, y) = −6xy = 0

A segunda destas equacoes implica que ou x ou y deve ser zero; entao, a primeira equacao

implica que a outra variavel deve ser +/-(1). Ha, pois, quatro pontos crıticos:

P1(0, 1), P2(−1, 0), P3(0, 1)eP4(0,−1).

A = fxx = −6x, B = fyy = −6x, C = fxy = −6y.

Logo,

Δ = 36(

x2 − y2)

em cada um dos pontos crıticos.

Δ(0, 1) > 0 ; A(0, 1) < 0 (maximo local)

17

D(−1, 0) > 0;A(−1, 0) > 0 (mınimo local)

D(0, 1) < 0;A(0, 1) = 0 (nao e um extremo)

Δ(0,−1) < 0 ; A(0,−1) = 0 (nao e um extremo)

Isso pode ser visualizado no grafico:

a = Plot3D[f [x, y], {x,−2, 2}, {y,−2, 2}]

-2-1

01

2

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

Para termos uma melhor visao dos pontos, plocamos planos em cadaponto (maximo,

mınimo e sela):In[42]:= b = Plot3D@2, 8x, 1 � 2, 3 � 2<, 8y, -1 � 2, 1 � 2<D

Out[42]=

0.5

1.0

1.5-0.5

0.0

0.5

0

1

2

3

4

18

In[43]:= c = Plot3D@-2, 8x, -1 � 2, -3 � 2<, 8y, -1 � 2, 1 � 2<D

Out[43]=

-1.5

-1.0

-0.5-0.5

0.0

0.5

-4

-3

-2

-1

0

In[44]:= d = Plot3D@0, 8x, -1 � 2, 1 � 2<, 8y, -1 � 2, 1 � 2<D

Out[44]=

-0.5

0.0

0.5-0.5

0.0

0.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

In[48]:= Show@b, a, c, dD

19

-2-1012

-2

-1

0

1

2

-10

-5

0

5

10

BIBLIOGRAFIA

LANG,Sarge. Calculo I. Formula de Taylor, Cap 14. Ed.Ltc,1977.

EDWARDS, Henry C;PENNEY,David E. Calculo com geometria analıtica,Cap 14.10

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GRECO,Alessandro. A busca deWolfram. Disponınel em : ¡http://veja.abril.com.br/120809/a-

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