polyakov-2

8/2/2019 polyakov-2

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Volume 103B, num ber 3 PHYSICS LETTERS 23 July 1981

Q U A N T U M G E O M E T R Y O F B O S O N IC ST R I N G S

A .M . P O L Y A K O V

L.D. Landau Insti tute for Theoretical Physics, Moscow, USSR

Received 26 May 1981

We develop a formalism for computing sums over rand om surfaces which arise in all problems containing gauge invariance(like QCD , three-dimensional Ising model etc.). These sums are reduced to the exactly solvable qua ntum theo ry o f the two -dimensional Liouville lagrangian. At D = 26 the string dynamics is that of harmonic oscillators as was predicted earlier bydual theorists, otherwise it is described by the nonlinear integrable theor y.

T h e r e a r e m e t h o d s a n d f o r m u l a e i n s c ie n c e , w h i c h

s e r v e a s m a s t e r - k e y s t o m a n y a p p a r e n t l y d i f f e r e n t p r o b -

l e m s . T h e r e s o u r c e s o f s u c h t h i n g s h a v e t o b e r e f il l e d

f r o m t i m e t o t i m e . I n m y o p i n i o n a t th e p r e s e n t ti m e

w e h a v e t o d e v e l o p a n a r t o f h a n d l i n g s u m s o v e r r a n -

d o m s u r f ac e s . T h e s e s u m s r e p l ac e t h e o l d - f a s h i o n e d

( a n d e x t r e m e l y u s e f u l ) s u m s o v e r r a n d o m p a t h s . T h e

r e p l a c e m e n t i s n e c e s s a r y , b e c a u s e t o d a y g a u ~ e i n v ar -

i a n c e p l a y s th e c e n t r a l r o le i n p h y s i c s . E l e m e n t a r y e x -

c i t a ti o n s i n g a u g e t h e o r ie s a r e f o r m e d b y t h e f l u x

l i n e s (c l o s e d i n t h e a b s e n c e o f c h a r g e s ) a n d t h e t i m e

d e v e l o p m e n t o f t h e se l i ne s f o r m s t h e w o r l d s u r f a c es .

A l l t r a n s i t i o n a m p l i t u d e a r e g i v e n b y t h e s u m s o v e r a ll

p o s s i b l e s u r f a c e s w i t h f i x e d b o u n d a r y . N o w , w h a t a r e

t h e a d v a n t a g e s a n d a p p l i c a ti o n s o f t h a t r e p r e s e n t a t i o n ?

T h e g e n e r a l p i c t u r e h a s b e e n e n v i s a g e d a s f o l l o w s

[ 1 ] . W e h a v e , p r e s u m a b l y , a t h e o r y o f f r e e s t ri n g s

w h i c h c a n m o v e t h r o u g h e a c h o t h e r w i t h o u t a n y i n te r -

a c t i o n . T h e s e s t ri n g s d o n o t c o r r e s p o n d t o t h e g e n e ra l

g a u ge t h e o r y . H o w e v e r , th e i n t e r a c t i o n a m o n g t h e

g a u g e s t r i n g s i s s u c h t h a t i t d o e s n o t d e s t r o y b u t o n l y

m o d i f i e s c o n s e r v e d c u r r e n t s o f t h e f r ee s t r in g s . T h i s

p i c t u r e i s a n a n a l o g u e o f w h a t h a p p e n s i n 2 d - in t e g r a b le

s y s t e m s ( l ik e s i n e - G o r d o n ) w i t h a c h a n g e o f t h e w o r d

" p a r t i c l e " f o r th e w o r d " s t r i n g " .

T h e a n a l o g y g o e s e v e n f u r t h e r i n t h e c a s e o f t h e Z 2 -

g a u g e g r o u p ( I s i n g m o d e l ) . I n t h i s c a s e , a s w a s s t a t e d i n

r e f . [ 1 ] a n d d e v e l o p e d i n r e f . [ 2 ] , i t w a s p o s s i b l e t o

i n t r o d u c e s o m e s o r t o f fe r m i o n i c s t r in g w h i c h r e m a i n s

f l e e , j u s t a s i n t h e 2 d - I s in g m o d e l o n e f i n d s f re e f e r m i o n

r e p r e s e n t a t i o n .

A l l t h e s e c o n s i d e r a t i o n s h a d o n e e s s e n t i a l f l a w : i t

w a s n o t k n o w n w h a t w a s e x a c t ly m e a n t b y t h e " f r e e

s t r i n g " . I t h a s b e e n c l e a r , t h a t j u s t a s t h e a m p l i t u d e s o f

f r e e p a r t i c l e s a r e d e f i n e d a s

G ( x , x ' ) = ~ e x p [ - m L ( P x x , ) ] , ( 1 )(paths)

w h e r e P x x ' is a p a t h c o n n e c t i n g p o i n t s x a n d x ' a n d L

is t h e l e n g t h o f t h e p a t h .. .. o n e s h o u l d d e f i n e :

G ( C ) = ~ ] e x p [ - m 2 A ( S c ) ] , ( 2 )( S c )

h e r e C i s s o m e l o o p , S C is a s u r f ac e b o u n d e d b y t h e

l o o p , A ( S c ) is t h e a r e a o f t h is s u r f a c e .

B o t h f o r m u l a s ( 1 ) a n d ( 2 ) a r e s y m b o l i c , b u t w h i le

i n t h e c as e o f ( 1 ) w e k n o w h o w t o d e c i p h e r a n d c o m -

p u t e i t , i n t h e c a s e o f ( 2 ) s u c h k n o w l e d g e is n o t a v a i l-

a b l e. I t is t h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t w o r k t o o v e r -

c o m e , a t l e a s t p a r t l y , t h i s d r a w b a c k . T h i s t a s k i s m a d e

e v e n m o r e t e m p t i n g b y t h e a r g u m e n t s g i v en in r ef . [ 2 ]

w h i c h s h o w t h a t t h e f e r m i o n i c a n a l o g u e o f ( 2 ) is d i-

r e c t ly c o n n e c t e d w i t h t h e p h y s i c s o f p h a s e t r a n s i ti o n s .

A n o t h e r p o s s i b l e a p p l i c a t i o n w o u l d b e m u l t i c o l o r e d

Q C D i n w h i c h g a u g e s t ri n g s a ls o m i g h t b e c o m e f r ee ,

w i t h t h e p o s s i bl e a d d i t i o n o f f e r m i o n i c d eg r e es o f

f r e e d o m [ 3 ] .

W e s ta r t o u r a n a l y s e s f r o m t h e p u r e l y b o s o n i c c a s e ,

0 0 3 1 - 9 1 6 3 / 8 1 / 0 0 0 0 - 0 0 0 0 / $ 0 2 . 5 0 © N o r t h -H o l l an d P u b li sh in g C o m p a n y 2 0 7

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Volum e 103B, numb er 3 PHYSICS LETTERS 23 July 1981

a n d w o r k i n e u c l i d e a n s p a c e . L e t u s d e s c r i b e o u r s u r -

f a c e b y t h e p a r a m e t r i z a t i o n × u ( ~ l , ~ 2 ) - F i r st w e n e e d

s e v e r al f a c ts c o n c e r n i n g t h e c l a s s ic a l g e o m e t r y o f s u r -

f a c e s . T h e s e f a c t s a re n o t n e w ( s o m e o f t h e m b e l o n g t o

t h e X I X t h c e n t u r y ) b u t i t i s g o o d f o r o u r p u r p o s e t oh a v e t h e i r c o l l e c t i o n a t h a n d ( s e e al s o r ef . [ 4 ] ) . T h e

a r e a s p a n n e d b y t h e s u r f a c e is g i v e n b y

A = f d Z ~ ( d e t Ilhab ]1)1/2 , hab = ~aXu3b Xp . (3 )

T h e i n t e g r a l g o e s o v e r a f i x e d r e g i o n i n t h e ~ - p la n e ( s a y ,

a un i t c i r c l e ) : ~a = ~a(s). I t i s i n v a r i a n t u n d e r :

x , ( ~ ) ~ x u ( f ( ~ ) ) ( 4 )

T h e m i n i m a l a r e a i s g i v e n b y

8A = -~ habShab = O, ~hab = O(ax tLOb)6Xtt ,

o r , a f t e r i n t e g r a t i n g b y p a r t s :

Oa(X/~habObxU) = 0 , hab = OaXpObX~z. ( 5 )

T h e s a m e e q u a t i o n s c a n b e o b t a i n e d f r o m a n o t h e r

f u n c t i o n a l :

w = l f x /g g a b 3 a X u ~ b X ~ d 2~ , (6 )

w h i c h i s s u p p o s e d t o b e m i n i m i z e d b o t h i n x u ( ~ ) a n d

gab ( ~ ) " I n d e e d , t h e f i r s t v a r i a t i o n g i v es t h e L a p l a c e

e q u a t i o n

0a ( x / ~ g a b O b x p ) = 0

a n d t h e gab - v ar ia ti o n f or c es th e e n e r g y - m o m e n t u m

t e n s o r t o b e z e r o :

1 _ c d ~ . ~ X - 0Tab =O aX u3b Xu - -ggab ,r, ° e Xu a u - • (7 )

F r o m ( 7 ) f o l l o w s t h a t

gab = ~aX#ObXta •

A n o t h e r f a c t w h i c h w e n e e d i s t h a t i t i s p o s s i b l e t oc h a n g e c o o r d i n a t e s ~ ~ f ( ~ ) i n s u c h a w a y t h a t t h e

m e t r i c b e c o m e s c o n f o r m a l l y e u c l i d e a n . T h e f u n c t i o n

f = f l + i f 2 i s d e f i n e d b y t h e e q u a t i o n

Oa = ieaa,X/~ ga'b Ob f . (8 )

T h e s o l u t i o n o f ( 8 ) c a n b e c h o s e n i n s u c h a w a y t h a t

i t m a p s a u n i t d i s c o n t o i t s e l f :

f (~ ( s ) ) = ~ (a ( s ) ) (9 )

( h e r e a ( S ) i s a r e p a ra m e t e r i s a t i o n o f t h e b o u n d a r y ,

u n i q u e l y c o n n e c t e d w i t h t h e o r i g i n a l gab ( ~ ) ) ' T h e

t r a n s f o r m e d m e t r i c i s o f t h e f o r m P(~)~ab; P(~)

- - [ d [ /d ~ 12 . I f w e m i n i m i z e ( 6 ) w i t h r e s p e c t t o x u ( ~ )

w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

x u(~ ( s )) = x u( s ) , ( 1 0 )

w e g e t t h e r e l a t i o n s

Amin[X(S)] = m i n m i n W [ x ( ~ ) , { g a b (G ) ](g ab } { x . ( o }

= min W m i n [ X . ( o t ( S ) ) , 6 a b ] . ( 1 1 )( ~ ( s ) }

T h e m i n i m a l a r e a A m i n [ x ( s ) ] s a t is f i es t h e e q u a t i o n

[6Amin/6Xu(S)] 2 = ( d x u / d s ) 2 , ( 1 2 )

( d x u / d s ) 6A m in/SX , (S) = O.

U p t o n o w w e d e a l t w i t h m i n i m a l " c l a ss i c a l" s u r -

f a ce s . L e t us p r o c e e d t o t h e q u a n t u m t h e o r y . T h e m o s t

i m m e d i a t e p r o b l e m i s t o d e f i n e t h e p r o p e r m e a s u r e f o r

t h e s u m m a t i o n o v e r c o n t i n u o u s s u r fa c e s . T h i s m e a s u r e

m u s t c o u n t a l l s u r f a c e s o f a g i v e n a r e a w i t h t h e s a m e

w e i g h t . T h a t m e a n s t h a t i f w e h a v e t r a n s f o r m a t i o n g~

w h i c h m a p s a s u r f a c e S c (C i s a b o u n d a r y o f i t ) o n t o a n -

o t h e r s u r f a c e S ~ i n s u c h a w a y t h a t A (S~ ) = A (Sc )

w e m u s t h a v e f o r a n y f u n c t i o n a l ¢)[Sc]

f d u ( S ) ~(Sc) = f d u ( S ) ~ ( S O " 0 3 )

C o n d i t i o n ( 1 3 ) l e a d s t o t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r

t h e m e a s u r e ( w e a r e n o t g i v i n g t h e d e r i v a t i o n h e r e ) :

f d u ( S ) ~ ( S )

= f [ D g a b ( ~ ) ] e x p ( - X f x / g d 2 ~ )

X f D x ( ~ )[ e x p (- l fD X / g g a b b a x u O b X , d 2 0 ]

X ¢ [ x ( ~ ) ] , ( 1 4 )

w h e r e X i s a n a r b i t r a r y p a r a m e t e r , D i s a u n i t d i s c i n

the ~ -p lane , [Dgab] i s a n i n t e g r a t i o n m e a s u r e o v e r a l l

p o s s i b l e m e t r i c s , t h e s a m e a s i n g e n e r a l r e l a t iv i t y , w i t h

s o m e g a u g e c o n d i t i o n a p p l i e d ( t h e g a u g e w i l l b e s p e -

c i f i e d l a t e r ) . T h i s e x p r e s s i o n m a y b e r e g a r d e d a s a

q u a n t u m c o u n t e r p a r t o f t h e a c ti o n ( 6 ) . T h e r o le o f

gab i n t he c l a ss i ca l l imi t i s t ha t o f a Lagrange mul t ip l i e r ,

2 0 8

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Volume 103B, number 3 PHYSICS LETTER S 23 July 1981

e n s u r i n g u s t h a t Ta b ; 0 . W e o m i t t e d i n (1 4 ) t h e b o u n d -

a r y t e r m s a s s o c i a t e d w i t h E u l e r c h a r a c t e r i s t i c s . T h e i n -

t e g r a t io n i s p e r f o r m e d w i t h t h e c o n d i t i o n xu(~(s))

=x.(s).T h e m o s t s u r p r is i n g f e a tu r e o f t h e m e a s u r e ( 1 4 ) is

t h a t t h e f u n c t i o n a l i n t e g r a l s i n i t c a n b e e x p l i c i t l y

e v a l u a t e d . T h e c o s m o l o g i c a l t e r m i n ( 1 4 ) , w h i c h h a s

b e e n a b s e n t o n t h e c l a s s i c al le v e l , i s n e c e s s a r y f o r r e -

n o r m a l i z a b i l i t y . T h e p o s s i b il i ty o f p e r f o r m i n g a n x u-

i n t e g r a t io n s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t b y t h e c o o r d i n a t e

t r a n s f o r m a t i o n ( 8 ) o n e m a k e s t h e m e t r i c c o n f o r m a l l y

e u c l i d e a n a n d t h e r e s u l t i n g i n t e g r a l d e p e n d s o n t h e

c o n f o r m a l f a c t o r o n l y th r o u g h t h e c o n f o r m a l a n o m a l y .

I n s u c h a s i t u a t i o n o n e c a n u s e a w e l l - k n o w n t r i c k [ 5 ]

i n o r d e r t o f i n d t h e p (~ ) - d e p e n d e n c e . N a m e l y , o n e h a s

t o u s e t h e r e l a t i o n

1 abf D x ( ~ ) e x p ( - ~ f x / g g ~ a X u ~ b X u ) = e x p( - F ) ,

g a b 6 F / 6 g a b = g a b ( T a b ) = ( D / 2 4 g ) [ R ( ~ ) + c o n s t ]

(15)

( h e r e R i s t h e s c a l a r c u r v a t u r e , a n d t h e s e c o n d e q u a -

t i o n ( 1 5 ) i s t h e w e l l k n o w n t r a c e a n o m a l y r e l a t i o n ) . I n -

s e r t i n g ( 1 5 ) i n t h e g a u g e gab(~) = P6ab ;R = P - 1 ~2 l o g o

o n e o b t a i n s

D f d 2 ~ [~ (0 a l o g o ) 2 + , 2 p lF - 4 8 7 r

a n d i n a r b i t r a r y c o o r d i n a t e s :

F - D f d 2 ~ d 2 ~ , g l / 2 ( ~ ) g l / 2 ( ~ , ) R ( ~ ) R ( ~ , )4 8 ~

t +XK(~,~ ) cons tfx/~d 2~ (16)

( h e r e K i s a G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e l a p l a c i a n :

a a ( V t g g a b O b ) K ( ~ , ~ ' ) = 6 ( ~ ~ ' ) ,

/ /2 i s a q u a d r a t i c a l l y d i v e r g e n t r e n o r m a l i z a t i o n o f t h e

c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ) . T h e n e x t s t e p m u s t b e t h e i n -

t e g r a t io n o v e r gab" I n o r d e r t o d o t h i s w e h a v e t o

s p e c if y a ga u ge a n d a c c o u n t f o r t h e F a d d e e v - P o p o v

d e t e r m i n a n t . W e w o u l d l i k e t o u s e t h e c o n f o r m a l

g a u g e i n w h i c h o u r e x p r e s s i o n s s i m p l i f y c o n s i d e r a b l y .

I n o r d e r t o f i n d t h e m e a s u r e o f i n t e g r a ti o n w e u s e t h e

f o l lo w i n g d e c o m p o s i t i o n o f t h e m e t r i c v a r i a t io n :

6gab(~) = 6~°(~)gab(~) + Vaeb + V bea ( 1 7 )

a n d s u b s t i t u t e i t i n t o t h e e x p r e s s i o n f o r t h e n o r m i n

t h e f u n c t i o n a l s p a c e o f p o s s i b l e m e t r i c s :

II~ gab l[ 2

= f d 2 ~ [ g ( ~ ) ] 1 / 2 ( g aa ' g b b ' + c g ab g a ' b ' ) 6 g ab fg a ,b , ,

( 1 8 )

w h e r e C i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t w h i c h w i l l d r o p o u t

o f t h e f i n a l a n s w e r . T h e e x p r e s s i o n ( 1 8 ) i s t h e o n l y

p o s s i b l e l o c a l c o v a r i a n t f o r m u l a . Su b s t i t u t i n g ( 1 7 ) i n t o

( 1 8 ) w e g e t

]If gab II = (1 + 2C ) f ( 5 ~o + VceC) 2 d 2 ~ x / g

+ f 2 b a~ ~ /g-~ba~bb , (1 9 )

dPa = V aCb + VbCa gabV ce c .

F r o m ( 1 9 ) w e d e ri v e t h e e x p r e s s io n f o r th e i n t e g r a t io n

m e a s u r e i n t h e s p a c e o f al l m e t r i c s :

dIa (ga b ) = D~o (~) De a ( ~) ( d e t 1 2 £ ) , ( 2 0 )

i n w h i c h t h e o p e r a t o r £ i s o b t a i n e d f r o m t h e l a s t t e r m

o f ( 1 9 ) a n d g i v e n b y

( £e )a = 7 b(V aeb + 7 be a - - gab V cee) . ( 2 1 )

I t r e s e m b l e s t h e o r d i n a r y v e c t o r l a p l a c ia n b u t d o e s n o t

c o i n c id e w i t h i t. I n t w o d i m e n s i o n s a n d in c o n f o r m a l l y

e u c l id e a n m e t r i c g a b = O6a b e i g e n v a lu e s o f £ a r e d e t e r -

m i n e d f r o m t h e e q u a t i o n

p- 2 ( ~ /~ Z ) ( pO~n /3 Z ) = - Xn t~ n , z = ~1 + i~2 (22 )

S i n c e t h e o p e r a t o r a t t h e l e f t - h a n d s i de o f ( 2 2 ) i s a

p r o d u c t o f t w o c o n f o r m a l l y c o v a ri a n t o p e r a t o r s .

d e t £ i s a g a in d e t e r m i n e d b y t h e c o n f o r m a l a n o m a l y ,

a n d h a s th e f o r m

- ½ l o g d e t £ = A f [ ~ ( O u ~) 2 + u2e 1 d 2 ~ ,

~0 = log p . (23 )

T h e c o n s t a n t A i s m o s t e a s i ly d e t e r m i n e d b y m a t c h i n g

( 2 3 ) w i t h p e r t u r b a t i o n t h e o r y f o r s m a l l ~0 a n d i s f o u n d

t o b e e q u a l t o

A = 1 3 / 2 4 7 r . ( 2 4 )

C o m b i n i n g ( 2 3 ) a n d ( 1 5 ) w e o b t a i n t h e p a r t i t io n f u n c -

t i o n f o r t h e c l o s e d s u r f a c e s :

2 0 9

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Z= f D~o(~)exp(26-D f [½(ilu~°)2+/-~2e~°])(4 8 . ~ 2 5 )

T h i s e x p r e s s io n s h o w s v e r y d e a r l y t h e o r i g in o f t h e c o m -

m o n l y k n o w n c r it ic a l d i m e n s i o n 2 6 i n th e s t r i ng t h e o r y :

a t t h is v a l ue o f t h e d i m e n s i o n o n e c o u l d q u a n t i z e t h e

t h e o r y w i t h o u t b o t h e r i n g a b o u t t h e c o n f o r m a l a n o m a l y ,

a s h a s b e e n d o n e i n d u a l m o d e l s . H o w e v e r , fo r D < 2 6

i n o r d e r t o g e t p r o p e r q u a n t i z a t i o n w e m u s t e x a m i n e

t h e q u a n t u m L i o u v il le t h e o r y d e s c r ib e d b y t h e l a g ra n -

g i a n ( 2 5 ) . T h i s t h e o r y i s t w o - d i m e n s i o n a l , r e n o r m a l i z a -

b l e , a n d c o m p l e t e l y i n t e g ra b l e . A ll t h a t m e a n s t h a t i t is

e x a c t l y s o l v a b l e , j u s t a s s i n e - G o r d o n t h e o r y , a n d t h u s

i t m u s t b e p o s s i b l e t o e v a l u a t e e x p l i c i t l y t h e p a r t i t i o n

f u n c t i o n o f c l o s e d s u r f a c e s . T h i s w o r k i s i n p r o g r e s s

n o w a n d i n t h e p r e s e n t p a p e r I sh a ll o n l y d e m o n s t r a t eh o w t o e x p r e s s d i f f e r e n t p h y s i c a l q u a n t i t i e s , l i k e t h e

s p e c t r u m , sc a t t e r in g a m p l i t u d e s e t c . t h r o u g h t h e c o r r e -

l a t io n f u n c t i o n s o f q u a n t u m L i o u v il le t h e o r y . T h e

b a s i c id e a i s t o s u m o v e r s u r fa c e s w h i c h c o n t a i n a g iv e n

s e t o f p o i n t s { x / } . T h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f su c h a n

a m p l i t u d e h a s p o l e s i n g ( p / i s t he m o m e n t u m o f

p o i n t x / ) w h i c h d e f i n e t h e m a s s s p e c t r u m . T h e r e s i d ue s

o f t h e se p o l e s c a n b e i d e n t if i e d w i t h t h e s c a t t e r i n g a m -

p l i t u d e . So , w e c o n s i d e r t h e a v e r a g e

A P l . . .P N )= ( ~ f d 2 ~ / [ g ( ~ / ) ] l / 2 e x p [ i p / x ( ~ / ) ] ) . ( 2 6 )

T h e a v e r ag e i n ( 2 6 ) i s u n d e r s t o o d i n t h e s e n se o f ( 1 4 ) .

A l l f u n c t i o n a l i n t e g r a l s b e i n g g a u s s ia n , t h e y a r e e a s i l y

e v a l u a t e d w i t h t h e r e s u l t

A ( P l . . . p N ) = f D ~ 0 ( ~ ) e x p ( 2 6 - D f 2 ~ d 2 ~

X [ ~ ( 3 u t p ) 2 + / a Z e ~] )

X ; e x p ( / ~ . ~ ( ~ , ) ) / [ I d2~/

T h e f u n c t i o n K ( ~ , ~ ' , ~ o) i s a G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e

l a p l a c i a n i n t h e m e t r i c g a b = e ~ fa b " I f th e p o i n t s ~ a n d

~ ' d o n o t c o i n c i d e i t i s j u s t

K ( ~ , ~ ' ) = - ( 4 , ) - l l o g ( ~ - ~ ,) 2 . ( 2 8 )

H o w e v e r , w h e n ~ i s c l o s e t o ~ ' e x t r a c a r e i s n e e d e d . W e

h a v e t o r ec a l l a b o u t t h e c u t o f f b u il t i n o u r t h e o r y . T h e

p r o p e r d e f i n i t i o n o f K i s g i v e n b y

K ( ~ , ~ ' ) = ~ [ X n ( ~ ) X n ( ~ ' ) /X n le x p ( - E X n ) , ( 2 9 )

n

w h e r e X a r e e i g e n v a l u e s , X n a r e e i g e n f u n c t i o n s o f t h e

l a p l a c i a n a n d E i s t h e p r o p e r t i m e c u t - o f f .

U s i n g ( 2 9 ) o n e s h o w s t h a t

K ( ~ , ~ P ) = - ( 4 . ) - l lo g (1 / E) I+ ( 4 . ) , - 1 ~ (~ ) ( 3 0 )

a n d i n t h is w a y A f u n c t i o n s a r e d e t e r m i n e d b y t h e

L i o u v i l l e c o r r e l a t o r s . N o t e t h a t a t D = 2 6 o n l y w e o b -

t a in f r o m ( 2 7 ) t h e s ta n d a r d d u a l m o d e l in t h e K o b a -

N i e l s e n f o r m ( s e e re f . [ 6 ] f o r a r e v i e w ) . F o r p h y s i c a l

D o n e h a s t o s o l v e t h e L i o u v i l l e t h e o r y i n o r d e r t o f i n dt h e s c a t te r i n g a m p l i t u d e s .

A f e w w o r d s n o w a b o u t t h e q u a n t i z a t i o n o f th e

H o u v i l l e t h e o r y . T h e l a g r a n g i a n p o s s e s s e s t h e s y m -

m e t r y

~ p ( z , f ) - + ~ p ( w ( z ) , f f 2 ( z ) ) +l og [dw/dz 12 , (31 )

w h i c h i s a l l t h a t r e m a i n s f r o m t h e g e n e r a l c o v a r i a n c e

a f t e r t h e s p e c i fi c a t io n o f t h e c o n f o r m a l g a u g e . T h e

t h e o r y m u s t b e q u a n t i z e d i n s u c h a w a y , t h a t t h i s in -

v a r i a n c e r e m a i n s u n t o u c h e d . I t i s p o s s i b l e t o p r o v e

t h a t t h i s i s i n d e e d p o s s i b l e a n d l e a d s t o a u n i q u e r e n o r -

m a l i z a t i o n p r o c e d u r e .

S o , o u r m a i n c o n c l u s i o n is t h a t t h e s u m m a t i o n o f

r a n d o m s u r fa c e s is r e d u c e d t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l ,

e x a c t l y s o lv a b le t h e o r y , a n d t h a t t h e o l d " d u a l " a p -

p r o a c h t o t h e s t r i n g i s c o r r e c t o n l y a t D = 2 6 .

E x t e n s i o n o f t h e se r e s u l ts t o t h e F e r m i c as e a n d

t h e i r p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s a r e d i s c u s s e d i n o t h e r p a p e r s

[ 2 ,7 1 .

I a m g r a t e f u l t o A .A . M i g d al a n d

A . B . Z a m o l o d c h i k o v f o r v a l u ab l e c o m m e n t s a n d t o

D . G . M a k o g o n e n k o f o r t h e i n v a l u a b l e e n c o u r a g e m e n ta t t h e l a s t a n d m o s t d i f f i c u l t s t a g e o f t h is w o r k .

R e f e r e n c e s

[1] A.M . Polyakov, Phys. Lett. 82B (1979) 24 7.[2] V.G . Dotsenko and A .M. Polyakov, to be published.[3] A.A. Migdal, Nucl. Phys., to be published[4] L. Brink and J. Schwa rz, Nucl. Phys. B121 (1977) 285.[5] A.S. Schwartz , Comm un. Math. Phys. 64 (1979) 233.[6] S. Ma ndelstam, Phys. Rep. 13C (1974) 261 .[7] A.M . Polyakov, Phys. Le tt. 103B (1981) 211.

2 1 0

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