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Polycopi de cours Sur le thme

Modlisation

des coulements turbulents

Pour les tudiants :

Master Gnie Mcanique Option : Energtique

Par : Dr Faial NAIT BOUDA

Table des matires

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

1. Dfinition 1

2. Caractristiques et proprits de la turbulence 1

3. Approche de moyennisation ( statistique ) de la turbulence 3

3.1 Notion de lcoulement moyen 3

3.2 Dcomposition de Reynolds 4

3.3 Equations moyennes 5

Chapitre 2 : Les modles de turbulence

1. Introduction 8

2. Modles de fermeture du premier ordre 8

2.1 Hypothse de Boussinesq : Concept de viscosit turbulente 8

2.2 Modles zro quation : Modles algbriques 10

2.3 Modles une quation 11

2.4 Modles deux quations 12

3. Modles de fermeture du second ordre 14

4. Autres mthodes de rsolution de la turbulence 16

4.1 Simulation directe (Direct Numerical Simulation DNS) 16

4.2 Simulation des grandes chelles (Large Eddy Simulation LES) 16

Chapitre 3 : La Modlisation K-epsilon

1. Introduction 17

2. Construction de lquation de transport de k 17

3. Construction de lquation de transport de 23

4. Modle k- en convection thermique 23

5. Les lois de paroi associes au modle k- 24

6. Exemple dapplication du modle k- : convection naturelle dans une cavit 27

7. Exemple de code de calcul turbulent : TEAM 34

8. Exemple de rsultats turbulents 39

Rfrences bibliographiques 42

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

1

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

1. Dfinition :

Tout dabord, on rappelle quun coulement est dit laminaire lorsqu'il est rgulier

(qu'il ne prsente pas trop de variations spatiales ou temporelles) et bien souvent

stationnaire. Il s'agit en fait d'une solution stable des quations de Navier-Stokes, au

sens o si on modifie l'coulement, il retourne vers la solution laminaire. De faon

gnrale, la viscosit stabilise et rgularise les coulements.

Il y a lieu de signaler aussi quil nexiste pas de dfinition gnrale et prcise de la

turbulence en mcanique des fluides ltat actuel des connaissances. Ce qui peut tre

affirm ce stade est que : la turbulence est un rgime dcoulement qui commence

natre au-del dun seuil dinstabilit de lcoulement laminaire, essentiellement en

raison de la faible importance des effets visqueux comparativement aux autres effets

dentrainement, et aprs que cette instabilit devient irrversible, plus dveloppe et

chaotique.

Ce quil faut surtout retenir est que la plupart des coulements rencontrs dans la nature ou

dans lindustrie sont souvent turbulents.

2. Caractristiques et proprits de la turbulence :

La turbulence est caractrise par diffrents aspects, dont voici les principaux :

a- laspect irrgulier et alatoire en temps ou en espace :

Les grandeurs telles que la vitesse, la pression et la temprature varient de faon rapide et

alatoire. Les coulements turbulents sont donc fortement instationnaires.

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

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b- laspect tridimensionnel et rotationnel :

Les coulements turbulents sont strictement rotationnels et tridimensionnels caractriss par

la prsence dinnombrables tourbillons de quelques millimtres de grandeur dans un domaine

dcoulement de plusieurs mtres.

c- la capacit de mlange leve :

En coulement laminaire, le transport de quantit de mouvement et de chaleur se fait par

convection et par diffusion. En turbulent, les fluctuations des vitesses dcoulement et de la

temprature dans les trois directions assurent un mlange bien plus efficace.

d- laspect dissipatif :

Lnergie des coulements moyens est dissipe par les contraintes visqueuses. Pour se

maintenir, les coulements turbulents ont besoin dtre fournis en nergie, sinon ils finissent

par se relaminariser. Cette source dnergie peut avoir des origines diverses, la plus frquente

est le cisaillement ou la dformation de lcoulement moyen ; lorigine peut aussi tre des

forces extrieures.

Autre caractristique signaler est que les nombres adimensionnels caractrisant le rgime de

lcoulement (nombre de Reynolds et nombre de Rayleigh, par exemple) sont plus levs en

turbulent que ceux dun rgime laminaire. A titre dexemple, le rgime turbulent est

observ pour un coulement :

dans une conduite : Re > 4 103

sur une plaque plane : Re > 106

Pour le cas particulier de lcoulement dun jet libre le rgime turbulent est observ pour des

nombres de Reynolds faibles, approximativement Re >10.

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

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3. Approche de moyennisation ( statistique ) de la turbulence

En plus de lapproche exprimentale, ltude des coulements turbulents peut tre mene par

des procdures numriques. Nanmoins, le calcul des coulements turbulents par rsolution

directe des quations de Navier-Stokes est trs dlicat et souvent inaccessible cause des

rsolutions spatiales trs levs ncessaires dans ce type dapproche.

3.1 Notion de lcoulement moyen

Toutes les approches pratiques de calcul (rsolution numrique) font appel la notion de

grandeur moyenne. La moyenne est, l'origine, une moyenne d'ensemble (moyenne

stochastique), c'est--dire qu'elle est prise sur un ensemble d'expriences effectues dans des

conditions identiques. L'hypothse quil est quivalent de considrer une exprience rpte

une infinit de fois ou une seule exprience mene l'infini dans le temps permet le passage

des moyennes temporelles et, par consquent, un traitement statistique des quations.

Ainsi, au lieu de chercher dterminer lvolution spatiale et temporelle des grandeurs

instantanes, on sintresse essentiellement au comportement de leurs moyennes temporelles.

Limportance et lintrt de cette procdure rsident dans le fait que :

lhypothse de bidimensionnalit dans un coulement turbulent possde plus de

signification et de justification lorsquil sagit dun coulement moyenn,

ce sont les coulements moyens, reprsentant les caractristiques globales des

coulements instationnaires, qui intressent en premier lingnieur.

Cest la raison pour laquelle les tudes sur la turbulence ce sont orientes vers la modlisation

numrique utilisant les modles statistiques.

Ainsi, afin de transformer les quations de transport de quantit de mouvement et de chaleur

en quations moyennes une dcomposition des variables instantanes de lcoulement, dite

dcomposition de Reynolds , est alors introduite.

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

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3.2 Dcomposition de Reynolds

La dcomposition de Reynolds permet de transformer les quations de Navier-Stokes et

dnergie en quations moyennes dans le temps, en exprimant chaque variable instantane

X (xi, t) , i=1,2,3, en la somme de :

sa valeur moyenne temporelle (xi)

et dune fluctuation (xi, t) (ou bien : (xi, t) )

Cest--dire : X (xi, t) = (xi) + (xi, t)

La moyenne temporelle est dfinie comme suit :

La variable X peut reprsenter, dans la plupart des cas, lune des grandeurs suivantes :

- u, v , w : composantes du vecteur vitesse et p : la pression

- et dans le cas du transfert thermique et solutal : la temprature (T) et la concentration (C).

Lorsquon applique la dcomposition de Reynolds aux quations instantanes de transport de

mouvement, ou quations de Navier-Stokes, et de lnergie on obtient un systme dquations

moyennes.

Cette moyenne vrifie les rgles dite de Reynolds :

= 0, = + , = a avec : a une constante

( = ,

avec : s variable despace ou de temps

Proprit importante retenir : ( = +

Ce traitement appliqu aux quations de transport de mouvement et dnergie qui dcrivent le

mouvement dtaill instantan du fluide, fait apparatre des termes inconnus supplmentaires

de type provenant des termes nonlinaires des quations.

Chapitre 1 : Proprits et Concepts de base

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3.3 Equations moyennes

On rappelle les quations de mouvement dun coulement incompressible de fluide newtonien

( Equations de Navier-Stokes) scrivent, sous une forme indicielle, comme suit (i,j=1,2,3) :

Equation de continuit